21.1 一元二次方程-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年新教材九年级全一册数学（人教版2024 贵州专版）

第二 冒名师导学。预习先知 新知梳理 ①等号两边都是整式，只含有一个未 知数（一元），并且未知数的最高次 数是 的方程，叫做一元 二次方程. ②-般形式：a.x2+bx十c=0(a≠0).其 中，a是二次项系数，b是一次项系 数，c是常数项， ③根据实际问题列方程。 例题引路 【例1】将一元二次方程2y2-3=√2y 化为一般形式，并写出它的二次项系 数、一次项系数和常数项. 【学生解答】 【例2】根据下列问题设未知数列方程， 并将所列方程化成一元二次方程的一 般形式。 (1)为响应“足球进校园”的号召，某校 组织足球比赛，赛制为单循环形式 (每两个队之间都要比赛一场)，计 划安排55场比赛，求参赛的足球队 个数； (2)小明用一根30cm长的铁丝围成一 个斜边长为13cm的直角三角形， 求该直角三角形的两直角边长. 【学生解答】 十一章一元二次方程 21.1一元二次方程 ②基础过关○逐点击破 知识点1一元二次方程的定义以及一般形式 1.下列关于x的方程中，是一元二次方程的有 A.2x+1=0 B.y2+x=1 C.x2-1=0 D.x+im) 2.一元二次方程5.x2+3x-6=0的二次项系数为 一次项系数为 ,常数项为 3.若(m一2)x2+4x一1=0是关于x的一元二次方程，则m 的取值范围是 知识点2一元二次方程的根 4.下列各数是方程x2一x一2=0的根的是 ( A.-2 B.0 C.-1 D.1 5.(2024·遵义期末)已知关于x的一元二次方程x一2x十 a2-1=0有一个根为x=0,则a的值为 A.0 B.±1 C.1 D.-1 【变式1】(2024·四川凉山州)若关于x的一元二次方程 (a十2)x2+x十a2一4=0的一个根是x=0,则a的值 为 A.2 B.-2 C.2或-2 【变式2】已知m是方程x2一2x一5=0的一个根，则代数 式m2-2m的值为 知识点3用一元二次方程刻画实际问题中的数量关系 6.情境题修建花圃)（教材P4习题T4变式）为美化环境，某园 林部门计划在某地修建一个面积为200m的矩形花圃， 它的长比宽多10m.设宽为xm,可列方程为 A.x(x-10)=200 B.2x+2(x+10)=200 C.x(x+10)=200 D.2x+2(x-10)=200 数学I九年级全册1 可能力提升。整合运用 7.(教材P,“问题1”变式)如图是一块矩形铁 皮，长50cm,宽30cm,在它的四个角各切去 一个同样的正方形，然后将四周突出部分折 起，就能制作一个无盖方盒，要制作的无盖 方盒的底面积为800cm.设切去的正方形 的边长为xcm,可列方程为 A.4x2=800 B.50×30-4x2=800 C.(50-x)(30-x)=800 D.(50-2x)(30-2x)=800 8.（2024·遵义期中)如果a是一元二次方程 2x2=6x-4的根，则代数式a2-3a十2024 的值为 () A.2021B.2022C.2023D.2024 9.已知关于x的方程(k-3)xk-1一5x=2. (1)当k为何值时，方程是关于x的一元二 次方程？ (2)若方程是关于x的一元一次方程，求 的值. 2第二十一章一元二次方程 10.(教材P,习题T2变式)根据下列问题列出 一元二次方程，并将其化成一般形式 (1)两个连续奇数的平方和为130，求这两 个奇数； (2)一个QQ群里共有x个好友，每个好友 都分别给群里其他好友发送一条消息， 这样共有756条消息. 思维拓展。学科素养 11.新视角新定义将4个数a,b,c,d排成2行 2列，两边各加一条竖线，记成：·定 义&|=ad-bc.上述记法就叫做二阶 行列式那么中}-2表示的方 程是一元二次方程吗？若是，请写出它的 一般形式参考答案 第二十一章一元二次方程 21.1一元二次方程 新知梳理 ①2（二次） 例题引路 【例1】解：2y2-3=√2y的一般形式是2y2一√2y-3=0,其中二次项系数是2，一次项 系数是一√2，常数项是一3.【例2】解：(1)设参赛的足球队有x个.根据题意，得 x(,1)=55.整理化简，得x2-x-10=0:(2)设该直角三角形的一直角边长为 2 xcm,则另一直角边长为(17-x)cm,根据题意，得x2十(17-x)2=13.整理化简，得 x2-17x+60=0. 弥基础过关 1.C2.53-63.m≠24.C5.B【变式1】A【变式256.C 能力提升 7.D8.B9.解：(1)根据题意，得k-1=2,且k-3≠0，解得k=-1.∴.当k=-1 时，方程是关于x的一元二次方程；(2)当k-3=0时，解得=3，此时方程为-5x=2, 是一元一次方程.当k-1|=1时，解得k=0,或k=2,方程分别为-3x一5x=2和一x 一5x=2,都是一元一次方程.综上所述，当k的值为3或0或2时，方程是关于x的一 元一次方程.10.解：(1)设这两个连续奇数分别为n,n十2，则有n2十(n十2)2=130， 她 n2+2-63=0:(2)x(x-1)=756,x2-x-756=0. 思维拓展 11.解：根据题意，得(x十1)·2x-(x十2)(x-2)=22,.2x2+2x-x2十4=22，即x 封 +2x一18=0，它符合一元二次方程的定义，是一元二次方程，其一般形式为x2+2x一 18=0. 21.2解一元二次方程 物 21.2.1配方法 第1课时 用直接开平方法解一元二次方程 新知梳理 ①两个不等 一√D无两个相等0gD-”二D-” 例题引路 0【例1】解：1)3x2=9,x2=3,x=±5，x=5,x=-√5；(2)16x2=12,x2= 3 4x 线 2=-3 【例214(x-2)=25(x-2)2=2约 A 2 基础过关 1.D2.B3解：1r=子=士子=子=号(25x=-5=-1 -1<0,.方程无实数根.4.D5.C6.解：(1)(x十1)2=5，x十1=士5，x十1= 厅，或x+1=-5=-1+64=-1后，21-到-81-=±号1- 专或1-= 4 1 9 51=5x2=5 能力提升 7.B8.5(答案不唯一，只要c≥0即可)9.4或-210.解：(1)4x2=1,x2= 第1页（共78页） ±7=7x=-合(2)r-3=1,x=4x=士2=2w=-2:(3x-2) 门 (3-2x),x-2=±(3-2x),x-2=3-2x,或x-2=-(3-2x),x1=3,x=1. 11.解：把x=3代入原方程，得(3-1)2=十2.化简，得2=2，∴.k=士2..原方程 为(x-1)2=4,.x-1=士2，.x1=3,x2=-1,故另一个根为x=-1. 思维拓展 12.解：(1)由题意，得4△3=4-32=7；(2)由题意，得(x十2)△5=(x十2)2-52=0， 即(x十2)2=25.解得x1=3,x2=-7;(3)由题意，得3△(x-8)=32-(x-8)2=9-(x -8)2=0.解方程9-(x-8)=0,得x=11,x2=5.当11是该直角三角形的斜边长 时，第三边长为√11一5=4√6；当11是该直角三角形的直角边长时，第三边长为 √1+5=√146.综上所述，该直角三角形的第三边长为4√6或√146. 第2课时用配方法解一元二次方程 新知梳理 ①完全平方形式②(1)1右边(2)一次项系数一半的平方(3)≥< 例题引路 【例】解：移项，得2x十4红=-1.二次项系数化为1，得产十2x=一号配方，得十 2红+1r=-吉+1，+10-安曲此可得十1=±9-号-1=号1 【例2】证明：2x2-4x十9=2(x2-2x)+9=2(x2-2x十12-1)十9=2(x-1)2+7. 无论x取何值，总有(x-1)≥0，∴.2(x-1)2十7>0，.2x2-4x十9恒大于零. 基础过关 1B2.①)42(2)号3解：1)移项，得x+4红=3.配方，得2十4x十2=3十 22,(x十2)2=7.由此可得x十2=±√7，x1=-2十√7，x2=-2-√7；(2)移项、合并同类 项，得x-3x=-5配方，得r-3x十(2)广=-5十（受）（号）=-：原 方程无实数根。4.D5解：(1二次项系数化为1，得-2x=子配方，得2-2z +1=+1,一0=年由此可得一1=士号=1+号=1号：(2移项、 合并同类项，得2x2-4红=1.二次项系数化为1，得x-2x=之·配方，得r-2x十1 =合+1，c一1=是由此可得-1=士√层=1+9=196解： 3 (1)②(2)移项，得x2-4x=1.配方，得x2-4x十4=1十4，(x-2)2=5.由此可得x一 2=±√5，x1=2十5，x2=2-√5. 能力提升 7.D8.二9.解：A-B=(2x2-4x-1)-(x2-6x-6)=2x2-4x-1-x2十6x十6= x2+2x+5=(x+1)2+4.(x+1)2≥0，.(x+1)2+4>0,.A-B>0,.A>B. 思维拓展 10.解：(1)24(2)由题意，得x2+16x-5=x2+2×8x+82-82-5=(x十8)2-69. :不论x取何值，(x十8)2总是非负数，即(x十8)2≥0，.(x十8)2-69≥-69，∴.当x =-8时，x2+16x-5有最小值，最小值为-69：(3)由题意，得S=(2a十5)(3a+2)= 6a2+4a+15a+10=6a2+19a+10,S2=5a(a+5)=5a2+25a,..S1-S,=6a2+19a+ 10-5a2-25a=a2-6a十10=a2-2a·3十32-32+10=(a-3)2十1.不论a取何值， (a-3)2总是非负数，即(a-3)2≥0，∴.(a-3)2+1≥1>0，.S-S>0,.S>S. 21.2.2公式法 新知梳理 ①6-4ac两个不等的两个相等的无②b2-4ac≥0 第2页（共78页） 例题引路 【例1】解：(1)a=2,b=3,c=-4,△=b2-4ac=32-4×2×(-4)=41>0,方程有两个 不等的实数根：(2)方程化为5x2-7x十5=0，a=5,b=-7,c=5,△=b2-4ac=(-7) -4×5×5=一51<0，方程无实数根.【例2】解：a=1,b=1,c=-1.△=b2-4ac=12 一4X1X(-1)=5>0.方程有两个不等的实数根工=二b士4ac=5,即 2a 2×1 =二1+5 2 ,w=二1⑤ 2 基础过关 1.C2.D3B4解：1Da=3,6=2.c=子4=6-4ac=2-4X3×号=0.方程有 两个相等的实数根；(2)方程化为20x2十8.x十1=0.a=20,b=8,c=1.△=b2-4ac=8 一4×20×1=-160.方程无实数根.5.A6.47.一1,3，-18.解：(1)a=1,b =-6,c=4.△=b-4ac=(-6)2-4×1×4=20>0,方程有两个不等的实数根x= -b±B-4ac=-（-6)±V20=3±5，即x=3+5,x=3-5:(2)a=2,b= 2a 2×1 -3,c=-1,△=b-4ac=(-3)2-4×2×(-1)=17>0,方程有两个不等的实数根x =二b±4ac=二（二3》厘-3±厘，即1=3+应，，=3- 2a 2X2 4 4 9≥是且0 能力提升 10.c11.-8 12.8或913.解：：使方程有两个不相等的实数根，.△=仔-4ac =b-4c>0,即b2>4c,.②③均可.选②解方程，则这个方程为x2十3x十1=0，∴x= 生证-二3法5=35=3选③解方程，则这个方程为 2a 2 2 x+3x-1=0,:x=二b±4ac=二3±厘，：西=二3+厘， 2a 2 2 x2= -3-3 2 思维拓展 14.解：(1)△ABC是等腰三角形.理由如下：把x=-1代入原方程，得2a十c-4b十2a -c=0,∴.4a-4b=0,∴.a=b,∴.△ABC是等腰三角形；(2)当△ABC是等边三角形时， a=b=c,∴.原方程可化为(2a十a)x2+4ax十2a-a=0,∴.3ax2+4ax十a=0.又：a> 0,∴.3x2十4x十1=0，∴.△=4-4×3×1=4>0，∴.方程有两个不等的实数根x= =出即=-1=号 2×3 21.2.3因式分解法 新知梳理 ①一元一次方程②两个一次因式的积 例题引路 【例1】解：(1)移项，得x2一2x=0.因式分解，得x(x-2)=0.于是得x=0,或x-2=0, x1=0,x2=2;(2)移项，得2(x-1)2十x-1=0.因式分解，得(x-1)[2(x-1)十1]=0， (x-1D(2x-1)=0.于是得x一1=0，或2x-1=0,=1,=子，【例2】解：1)移 项，得x2十2x=323.配方，得x2+2x十12=323+12，(x+1)2=324.由此可得x十+1= ±18，x1=-19,x2=17;(2)移项，得7x(3-x)十2(3-x)=0.因式分解，得(3-x)(7x 十2)=0.于是得3-x=0,或7x十2=0x1=3,x=-7, 2 第3页（共78页）