21.3 第2课时 平均变化率与销售问题&第3课时 几何图形问题-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年九年级全一册数学（人教版 云南专版）

第2注 冒名师导学。预习先知 方法指导 ①数量经过连续两次增长（或降低）， 并且连续两次增长（或降低）的百分 率相同，则b=a(1士x)2,其中b,a,x 分别表示两次增长（或降低）后的变 后数、基础数、增长率（或降低率） ②利润=售价一进价：利润率=利润× 进价 100%;售价=进价+进价×利润率； 售价=标价X折扣 10 例题引路 【例1】(2025·昆明八中一模)运动员 刘浩和季博文在2024年8月8日巴黎 奥运会男子500m双人划艇项目中夺 得金牌，刘浩的故乡云南玉溪成为旅 游热度城市，国庆期间云南玉溪某景 区第一天接待游客约7000人，第三天 接待游客约8470人.设该地游客人数 的日平均增长率为x,根据题意，下面 所列方程正确的是 A.7000(1+x)3=8470 B.7000(1+x2)=8470 C.7000(1+2.x)=8470 D.7000(1+x)2=8470 【学生解答】 【例2】某商店如果将进价为8元的商 品按每件10元售出，每天可销售200 件，现采用提高售价，减少进货量的方 法增加利润，如果这种商品单价每涨 0.5元，其每天的销售量就会减少10 件，那么将售价定为多少元时，能使每 天所得利润为640元？ 【学生解答】 果时平均变化率与销售问题 ②基础过关。逐点击破 知识点1增长（下降）率问题 1.(2025·昆明初三统测)近十年来，云南铁路“八出省五出 镜”骨架网络基本成型，形成了以昆明为中心，1小时覆盖滇 中城市群，2至3小时覆盖滇西、滇南、滇东南地区，2至5小 时通达周边省会城市，6至11小时辐射北上广深和香港的 高铁交通圈.2023年春运期间，国铁昆明局累计发送旅客约 1042万人次；2025年春运期间，国铁昆明局累计发送旅客 约1485万次.设国铁昆明局春运期间累计发达旅客人次的 年平均增长率为x,则下列方程正确的是 () A.1042(1+x)2=1485 B.1042(1+2x)=1485 C.1485(1-2x)=1042 D.1485(1-x)2=1042 2.倩境题充电桩随着新能源电动汽车的快速增加，某市正在 快速推进全市电动汽车的充电桩建设，已知到2023年底， 该市约有3.5万个充电桩，根据规划到2025年底，全市的 充电桩数量将会达到5.04万个，则从2023年底到2025年 底，该市充电桩数量的年平均增长率为 知识点2营销中的利润问题 3.水果店老板以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后 以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤.通过调查发 现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20 斤，为保证每天至少售出260斤，老板决定降价销售. (1)若这种水果每斤售价降低x元，则每天的销售量是 斤；（用含x的代数式表示，需要化简） (2)销售这种水果要想每天盈利300元，老板需将每斤的 售价定为多少元？ 第二十一章一元二次方程18 可能力提升。整合运用 4.社会热点光伏发电为助力实现“双碳”目标，某 企业大力发展光伏发电装置零件制造.已知 该企业生产某种零件的成本为10元/个，且 规定该零件的售价不能超过35元/个.经市 场调研发现，该零件每周的销售量y(个)与 销售单价x(元/个)之间满足一次函数y= 一20x十1000.若要使该企业每周销售这种 零件可获利6000元，则每个零件的售价应 定为 () A.25元 B.20元或40元 C.40元 D.20元 5.(2024·重庆A卷)随着经济复苏，某公司近 两年的总收入逐年递增.该公司2021年缴 税40万元，2023年缴税48.4万元.该公司 这两年缴税的年平均增长率是 6.本土文化阳光玫瑰葡萄)(2024·昆明期中)云 南阳光玫瑰葡萄，近两年被广大消费者所熟 知，它肉质紧密，口感脆爽，甜度很高，香味 浓郁.云南某生态果园阳光玫瑰葡萄2022 年产量为60t,2024年产量为86.4t,若该生 态果园阳光玫瑰葡萄产量的年平均增长率 相同. (1)求该生态果园阳光玫瑰葡萄产量的年平 均增长率； (2)若阳光玫瑰葡萄产量的年增长率不变， 请预估2025年该生态果园阳光玫瑰葡 萄的产量 19九年级数学人教版全一册 公思维拓展。学科素养 7.新考向项目式学习根据以下素材，探索完成任务 背景素材 随着数字技术、新能源、新材料等不 断突破，我国制造业发展迎来重大机遇， 素材1 天府科技园工作实验室借助智能化，对某 款电动车的零部件进行一体化加工，随着 生产效率的提升，该零件7月份生产500 个，9月份生产720个。 该园工作实验室的零部件成本为30 元/个，销售一段时间后发现，当零部件售 价为50元/个时，月销售量为800个，若 素材2在此基础上售价每下降2元，则月销售量 将增加20个.为刺激经济的快速增长，政 府给予实验室支持，当销量不低于900个 时，每个将有5元的科技创新补贴 问题解决 任务1 求工作实验室7月份到9月份生产 零件数量的月平均增长率； 使工作实验室月销售利润达到 任务2 13500元，而且尽可能让车企得到实惠 社会普及度增加，则该零件的实际售价应 定为多少元？ 第3课时 ②基础过关○逐点击破 知识点1规则图形的面积问题 1.如图，一边靠学校院墙，其他三边用50m长 的篱笆围成一个矩形花圃，设矩形ABCD的边 AB=xm,面积180m,则下列关系式正确的 是 A.x(50-x)=180B.x(50-2x)=180 C.x(25-x)=180D.25(2x-25)=180 2.一条长为24cm的铁丝被剪成两段，将每段 都折成正方形.若两个正方形的面积和等于 20cm,则这两个正方形的边长分别为 知识点2边框与通道问题 3.(2024·玉溪期中)如图，在宽为20m、长为 32m的矩形地面上修同样宽的小路（阴影部 分)，余下的部分种上草，要使草坪的面积为 540m,求小路的宽.若设小路的宽为xm, 则根据题意所列方程正确的是 ) A.(20-x)(32-x)=540 B.(20-x)(32+x)=540 C.(20+x)(32+x)=540 D.(20+x)(32-x)=540 4.情境题打印图片如图，在打印图片之前，为确 定打印区域，需设置纸张大小和页边距（纸 张的边线到打印区域的距离)，上、下、左、右 页边距分别为acm,bcm,ccm,dcm.若纸张 大小为16cm×10cm,考虑到整体的美观 L何图形问题 性，要求各页边距相等并使打印区域的面积 占纸张的70%，则需如何设置页边距？ ccm a cm 打印区域 b cm d cm 可能力提升。整合运用 5.如图，某农户为了增加经济收入，购买了33m 的铁栅栏，准备用这些铁栅栏在靠墙（墙长 20m)围建一个中间带有铁栅栏的矩形养猪 场养猪。 (1)若要建的矩形养猪场的面积为72m,求 养猪场的边AB和BC的长度； (2)该农户想要建一个120m的矩形养猪 场.这一想法能实现吗？请说明理由. 第二十一章一元二次方程20∴.(x2+1)2-13(x2十1)十36=0.设x2十1=y,原方程可变为y2-13y十36=0，解得 y1=4,y2=9,当y=4时，x2十1=4，解得x=士√3.当y=9时，x2十1=9，解得x= 士2√2.∴.原方程有四个根x1=√3，x2=一√3，x=2√2，x4=一2√2；(3)设a十b=m, 原方程可转化为m(m-7)十10=0.整理，得m2-7m十10=0.解得1=2,2=5.：a, b,c是Rt△ABC的三边，且斜边c=4,∴.由三角形三边关系可知a十b>4,即m>4, m=5..a十b=5.由勾股定理，得a2十b2=42=16.(a十b)2=52=25,ab= a"0+的-2526-号8=6=号×号=是 2 2 计算强化专练一元二次方程的解法 1.解：(1)x-1=士2，x-1=2,或x-1=-2,x=3,2=-1:(2)4(x-2)2=121,(x 2)19x-2=士号-2=号或x一2=-号=号4=-子2解：移 4 项，得x2-4x=32.配方，得x2-4x十2=32十22，(x-2)2=36.由此可得x-2=士6， x1=8,x2=-4;(2)移项，得2x2十8x=10.二次项系数化为1，得x十4x=5.配方，得 x2十4x十22=5十22，(x十2)2=9.由此可得x十2=士3，x1=1,x2=-5.3.解：(1)a =3,b=一7，c=5.△=一4ac=(一7)2一4×3×5=一11<0.方程无实数根；(2)a=2, b=7,c=3.△=b-4ac=72一4×2×3=25>0.方程有两个不等的实数根x= 处么区-二装压-7，即=-8=一合4解：(1因式分解， 2a 2×2 得(x一7)(1一x)=0.于是得x-7=0,或1-x=0,=7,x2=1:(2)原方程可变形为 3(x一2)-x(x-2)=0.因式分解，得(x-2)(3一x)=0.于是得x-2=0,或3-x=0, x1=2,x2=3.5.解：(1)设x2=y,则原方程可化为y2-3y-4=0.解得y1=4,y2= 一1.当y=4时，x2=4,解得x=士2.当y=一1时，x2=一1，此方程无解..原方程的 解为x1=2,x2=-2;(2)设x2-2=y,则原方程可化为y2-11y十18=0.解得y=2, y2=9.当y=2时，x2-2=2,解得x=士2.当y=9时，x2-2=9,解得x=士√T. 原方程的解为x1=2,x2=一2，x=一√11，x4=√11.6.解：①当x一1≥0时，此 时x≥1，原方程化为x2-x=0,即x(x-1)=0,解得x1=1,x2=0(不符合题意，舍 去)；②当x一1<0时，此时x<1,原方程化为x十x-2=0,即(x十2)(x-1)=0,解得 x1=一2，x2=1(不符合题意，舍去)..原方程的根是x1=1,x2=一2. "21.2.4一元二次方程的根与系数的关系 新知梳理 -6c aa 例题引路 【例】解：1十=-3=1：(2)十=号=一子：(8)十=0， 2 ：(4)十=一号，山=0.【例2】解：根据根与系数的关系，得十 5 x1x2=一 5 4=)原式=（国十-2=（受）广-2×号=：(2)原式= 2 5 十x==5. x1x21 2 基础过关 1.B2.B3.A4.D5.36.C7.38.3 能力提升 9.A10.B11.±712.解：1)p1(2):x+=p,=1,1+1= 十型=卫=p.:关于x的一元二次方程x一p虹十1=0(p为常数)有两个不相等的 1 实数根西和“-p十1=0x一p十=0，即西十=p:(3):十 p,x1x2=1,且x十x=2p十1，.(x1十x2)2-2x1x2=2p十1，.p2-2=2p十1，解得 p1=3,p2=-1.当p=3时，△=p2-4=9-4=5>0.当p=-1时，△=p2-4=-3< 0,不合题意，舍去.∴.p=3. 第4页（共72页） 思维拓展 13.解：(1)解方程x2-3x十2=0，得x1=2,x2=1.x1=2x2,方程x2-3x十2=0 是“倍根方程”；(2)(x一2)(1x十n)=0,.x-2=0,或mx十n=0,x=2,x2= -”.“方程(x一2)(mx十)=0是“倍根方程”，.有以下2种情况：当-”=2×2=4 m m 时，n=一4m,即m十=0.当-开=之×2=1时，n=一m,即m十n=0,综上所述，m 与n的关系为4m十n=0或m十n=0;(3),一元二次方程a.x2十bx十c=0(62-4ac≥ 0)是“倍根方程”，设方程的两根分别为t,2t,根据根与系数的关系，得t十2t=一么， …2==品2(0)·（）=台2=9ac 重点突破专题一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 1.D2.m≤5且m≠4【变式1】m>5【变式2】n<5且m≠4【变式3m≤53号 4解：(1)-3一2(2)由题意可知十=-3,1=-2，.十=（十x)2-2x1 =(-3)2-2X(-2)=9+4=13.5.B6.解：(1)a=1,b=-(m十2)，c=m-1,△=B-4ac =[-(m十2]2-4×1×(m-1)=+4n+4-4m十4=m2+8.:2≥0，∴.m2十8>0，即 △0，∴.无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；(2)由题意，得x1十x2=十2，xx2 =1-1,十对-x1x=9,即（十x2)2-31=9,.(m十2）2-3(m-1)=9.整理，得m 十m-2=0..(m十2)(1-1)=0.解得m=-2,=1..m的值为-2或1. 21.3实际问题与一元二次方程 第1课时传播问题、循环问题与数字问题 例题引路 【例11-D合u-1）(2号xc-1)=4X7(3)=-7=84x=-7不 符合题意，舍去，只取x=8(⑤)8【例2】解：设原来的两位数十位上的数字为x,则个位上 的数字为(5-x).根据题意，得(10x十5-x)[10(5-x)十x]=736.整理，得x2-5.x十6=0.解 得x=2,=3.当x=2时，5-x=5-2=3.当x=3时，5-x=5-3=2.答：原来的两位数 是23或32. 基础过关 1.B2.1十x十x(x十1)=1693.A【变式】x(x-1)=1104.解：设九(2)班有x个同学， 则每个同学交换出(x一1)件小礼物.根据题意，得x(x一1)=1560.整理，得x一x一1560= 0.解得=40，x=-39(不符合题意，舍去.答：九(2)班有40个同学.5.x2一7x十12=0 6.C 能力提升 7.B8.1449.解：(1)设每轮分裂中平均每个有益菌可分裂成x个有益菌.根据题意，得 60x2=24000.解得=20，=一20（不符合题意，舍去）.答：每轮分裂中平均每个有益菌可 分裂成20个有益菌；(2)24000×20=480000（个）.答：经过三轮培育后有480000个有益菌. 思维拓展 10.解：(1)根据题意，得2nn一3)=14，整理，得-3m一28=0.解得n=7,或n=一4.“n≥ 3,.n=一4不符合题意，舍去..=7，即这个多边形的边数是7；(2)A同学的说法不正确， 理由如下：当7m一3)=10时，整理，得r-3n-20=0,解得n=3生8.：符合方程心 2 3一20=0的正整数n不存在，∴.多边形的对角线不可能有10条，即A同学的说法不正确， 第2课时平均变化率与销售问题 例题引路 【例1D【例2】解：设每件售价提高x元.根据题意，得10+x一8)(200一0×10)=640， 解得x=2,x2=6.又，要减少进货量，x=6,此时售价定为10十6=16（元）.答：将售价定 为16元时，能使每天所得利润为640元. 第5页（共72页） 基础过关 1.A2.20%3.解：(1)(100十200x)(2)根据题意，得(4-x-2)(100十200x)=300.整理， 得2r-3x+1=0,解得4=7=1.当x=号时，10+20×号=200<260（不符合题 意，舍去).当x=1时，100十200×1=300>260，此时售价为4一1=3（元）.答：老板需将每斤 的售价定为3元. 能力提升 4.D5.10%6.解：(1)设该生态果园阳光玫瑰葡萄产量的年平均增长率为x.根据题意，得 60(1十x)2=86.4.解得x=0.2=20%,2=一22（不符合题意，舍去）.答：该生态果园阳光 玫瑰葡萄产量的年平均增长率为20%；(2)86.4×(1十20%)=103.68(t).答：预估 2025年该生态果园阳光玫瑰葡萄的产量为103.68t, 思维拓展 7.解：任务1：设工作实验室7月份到9月份生产零件数量的月平均增长率为x,根据题 意，得500(1十x)2=720.解得x1=0.2=20%,x2=一2.2（不符合题意，舍去）.答：工作 实验室？月份到9月份生产零件数量的月平均增长率为20%；任务2：设该零件的实际 售价定为y元，则月销售量为800+5022×20=1300-10y(个).当1300-10y< 900,即y>40时，每个零件的销售利润为(y-30)元.根据题意，得(y-30)(1300一 10y)=13500.整理，得y2-160y+5250=0.解得y1=80-5√46，y2=80+5√46. (均不符合题意，舍去)当1300-10y≥900，即y≤40时，每个零件的销售利润为(y 30+5)元.根据题意，得(y-30+5)(1300-10y)=13500.整理，得y2-155y+4600 =0.解得y=40,y2=115(不符合题意，舍去).∴y=40.答：该零件的实际售价应定为 40元 第3课时几何图形问题 基础过关 1.B2.2cm,4cm3.A4.解：设页边距为xcm.根据题意，得(16-2x)(10-2x)= 16×10×70%.整理，得x2-13x十12=0.解得x1=1,x2=12(不符合题意，舍去).答： 需设置页边距为1cm. 能力提升 5.解：(1)设BC=xm,则AB=(33-3x)m.根据题意，得x(33-3x)=72.整理，得x2 一11x十24=0.解得x1=3,x2=8.当x=3时，33-3x=24>20,不符合题意，舍去，当 x=8时，33一3x=9,符合题意.答：养猪场的边AB的长为9m,BC的长为8m;(2)不 能.理由如下：假设能实现，设BC=ym,则AB=(33-3y)m.根据题意，得y(33-3y) =120.整理，得y-11y十40=0.：△=(-11)2-4×40=-39<0，.该方程无实数 根，该农户想要建一个120m的矩形养猪场的想法不能实现. 第二十一章整合与提升 高频考点突破 1.C2.-23.D4.x1=0,x2=-15.解：(1)(x-2)=9,x-2=士3，x-2=3,或 x一2=一3，x1=5,x2=一1；(2)移项，得x2十2x=3.配方，得x2十2x十12=3十12，(x 十1)2=4.由此可得x十1=士2，x1=一3，x2=1.6.C7.B8.-39.解：(1)方程 (x十2)(x十3)-k2=0化成一般式，得x2+5x十6-2=0.，△=52-4(6-k)=1十 4k2≥1>0，.方程总有两个不相等的实数根；(2)由题意，得x1十x2=一5,1x2=6一 k2.:x1x2-x-x2=7,即x1x2-(十x2)=7,.6-b2-(-5)=7,解得k=士2.k 的值为2或-2.10.D11.解：(1)长AB为28+2-3x=30-3x(m);(2)根据题意， 得x(30-3x)=72.整理，得x2-10x十24=0.解得x1=4,x2=6.当x=4时，30一3x= 30-3×4=18>16,不符合题意，舍去.当x=6时，30-3x=30-3×6=12<16,符合 题意.答：该实验田的宽为6m. 易错易混专攻 1.-32.-1 常考题型演练 1.A2.k≥一13.20234.解：(1)设每件衬衫应降价x元.根据题意，得 (40-x)(20十2x)=1200.整理，得x2-30x十200=0.解得x1=10,x2=20.:要尽快 减少库存，在获利相同的条件下，降价越多，销售越快，∴x=20.答：若商场每天要获得 第6页（共72页）