21.3 第1课时 传播问题、循环问题与数字问题-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年九年级全一册数学（人教版 云南专版）

21.3 第1课时 冒名师导学。预习先知 例题引路 【例1】学校要组织一次排球邀请赛，参 赛的每两个队之间都要比赛一场，根 据场地和时间等条件，赛程计划安排7 天，每天安排4场比赛，比赛组织者邀 请了多少个队参赛？ 解决方案： 解：设比赛组织者邀请了x个队参赛. (1)每个队要与其他 个队 各赛一场，由于甲队对乙队的比赛和 乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所 以全部比赛共 场： (2)根据题意，列出相应方程为 (3)解这个方程，得 （4)检验： (5)答：比赛组织者邀请了 个队 参赛。 【学生解答】 【例2】一个两位数，十位数字与个位数 字之和是5，把这个数的个位数字与十 位数字对调后，所得的新两位数与原 来的两位数的乘积为736，求原来的 两位数 【学生解答】 实际问题与一元二次方程 传播问题、循环问题与数字问题 ②基础过关。逐点击破 知识点1传播问题 1.(教材P22习题T,变式)某种植物的主干长出若干数目的 支干，每个支干又长出相同数目的小分支，主干、支干和小 分支的总数是57.设每个支干长出x个小分支，根据题意 列出方程为 ( ) A.1+x+x(1+x)=57 B.1+x+x2=57 C.x+x(1+x)=57 D.1+2x2=57 2.(2024·昭通昭阳区期中)电脑病毒传播快，如果一台电脑 被感染，经过两轮感染后就会有169台电脑被感染.若每 轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，则可列方程为 知识点2循环问题 3.情境题体育赛事)在第十九届亚运会中国国家象棋队选拔赛 的第一阶段中，采用分组单循环（每两人之间都只进行一 场比赛)制，每组x人.若每组共需进行15场比赛，则根据 题意可列方程为 ( A.2x(x-1)=15 B.2x(x+1)=15 C.x(x-1)=15 D.x(x+1)=15 【变式】单循环→双循环 参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要 比赛110场.设参加比赛的球队有x支，根据题意，可列方 程为 4.元旦当天，九(2)班每个同学都与全班其他同学交换一件 自制的小礼物，结果全班共交换小礼物1560件，则九(2) 班有多少个同学？ 第二十一章一元二次方程16 知识点3数字问题 5.两个数的积为12，和为7，设其中一个数为 x,则依题意可列方程为 (化为一般形式) 6.若两个连续奇数之积为143，则这两个数 为 A.-13,11 B.11,13 C.11,13或-13，-11D.都不是 能力提升。整合运用 7.跨学科语文读诗词，列方程：大江东去，浪淘 尽，千古风流人物，而立之年督东吴，早逝英 年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿 符.（诗词大意：周瑜英年早逝，逝世时的年 龄是一个两位数，十位数字比个位数字小3， 个位数字的平方刚好是周瑜逝世时的年 龄)，设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x, 则列出的方程正确的是 () A.10x+(x-3)=x2 B.10(x-3)+x=x2 C.10x+(x-3)=(x-3)2 D.10(x-3)十x=(x-3)2 8.如图是某月的月历表，在此月历表上可以用 一个矩形圈出3×3个位置相邻的9个数（如 6,7,8,13,14,15,20,21,22).若圈出的9个 数中，最大数与最小数的积为192，则这9个 数的和为 日一二三四五六 1234 567891011 12131415161718 19202122232425 262728293031 9.跨学科生物)（教材P1g“探究1”变式）某生物 实验室需培育一群有益菌.现有60个活体 样本，经过两轮培育后，总和达24000个，其 中每个有益菌每一次可分裂成若干个相同 数目的有益菌， (1)每轮分裂中平均每个有益菌可分裂成多 少个有益菌？ 17九年级数学人教版全一册 (2)按照这样的分裂速度，经过三轮培育后 有多少个有益菌？ 思维拓展。学科素养 10.(教材P1,习题T2变式)阅读下列内容： 我们知道n边形的对角线条数公式为： 1 n(一3.如果一个n边形共有20条对角 线，那么可以得到方程7(n-3)=20.整 理，得n2-3n-40=0.解得n=8,或n= 5..n≥3，∴.n=一5不合题意，舍去. ..n=8,即该多边形是八边形. 根据以上内容，解答下列问题： (1)若一个多边形共有14条对角线，则这 个多边形的边数是多少？ (2)A同学说：“我求得一个多边形共有10 条对角线.”你认为A同学的说法正确 吗？为什么？∴.(x2+1)2-13(x2十1)十36=0.设x2十1=y,原方程可变为y2-13y十36=0，解得 y1=4,y2=9,当y=4时，x2十1=4，解得x=士√3.当y=9时，x2十1=9，解得x= 士2√2.∴.原方程有四个根x1=√3，x2=一√3，x=2√2，x4=一2√2；(3)设a十b=m, 原方程可转化为m(m-7)十10=0.整理，得m2-7m十10=0.解得1=2,2=5.：a, b,c是Rt△ABC的三边，且斜边c=4,∴.由三角形三边关系可知a十b>4,即m>4, m=5..a十b=5.由勾股定理，得a2十b2=42=16.(a十b)2=52=25,ab= a"0+的-2526-号8=6=号×号=是 2 2 计算强化专练一元二次方程的解法 1.解：(1)x-1=士2，x-1=2,或x-1=-2,x=3,2=-1:(2)4(x-2)2=121,(x 2)19x-2=士号-2=号或x一2=-号=号4=-子2解：移 4 项，得x2-4x=32.配方，得x2-4x十2=32十22，(x-2)2=36.由此可得x-2=士6， x1=8,x2=-4;(2)移项，得2x2十8x=10.二次项系数化为1，得x十4x=5.配方，得 x2十4x十22=5十22，(x十2)2=9.由此可得x十2=士3，x1=1,x2=-5.3.解：(1)a =3,b=一7，c=5.△=一4ac=(一7)2一4×3×5=一11<0.方程无实数根；(2)a=2, b=7,c=3.△=b-4ac=72一4×2×3=25>0.方程有两个不等的实数根x= 处么区-二装压-7，即=-8=一合4解：(1因式分解， 2a 2×2 得(x一7)(1一x)=0.于是得x-7=0,或1-x=0,=7,x2=1:(2)原方程可变形为 3(x一2)-x(x-2)=0.因式分解，得(x-2)(3一x)=0.于是得x-2=0,或3-x=0, x1=2,x2=3.5.解：(1)设x2=y,则原方程可化为y2-3y-4=0.解得y1=4,y2= 一1.当y=4时，x2=4,解得x=士2.当y=一1时，x2=一1，此方程无解..原方程的 解为x1=2,x2=-2;(2)设x2-2=y,则原方程可化为y2-11y十18=0.解得y=2, y2=9.当y=2时，x2-2=2,解得x=士2.当y=9时，x2-2=9,解得x=士√T. 原方程的解为x1=2,x2=一2，x=一√11，x4=√11.6.解：①当x一1≥0时，此 时x≥1，原方程化为x2-x=0,即x(x-1)=0,解得x1=1,x2=0(不符合题意，舍 去)；②当x一1<0时，此时x<1,原方程化为x十x-2=0,即(x十2)(x-1)=0,解得 x1=一2，x2=1(不符合题意，舍去)..原方程的根是x1=1,x2=一2. "21.2.4一元二次方程的根与系数的关系 新知梳理 -6c aa 例题引路 【例】解：1十=-3=1：(2)十=号=一子：(8)十=0， 2 ：(4)十=一号，山=0.【例2】解：根据根与系数的关系，得十 5 x1x2=一 5 4=)原式=（国十-2=（受）广-2×号=：(2)原式= 2 5 十x==5. x1x21 2 基础过关 1.B2.B3.A4.D5.36.C7.38.3 能力提升 9.A10.B11.±712.解：1)p1(2):x+=p,=1,1+1= 十型=卫=p.:关于x的一元二次方程x一p虹十1=0(p为常数)有两个不相等的 1 实数根西和“-p十1=0x一p十=0，即西十=p:(3):十 p,x1x2=1,且x十x=2p十1，.(x1十x2)2-2x1x2=2p十1，.p2-2=2p十1，解得 p1=3,p2=-1.当p=3时，△=p2-4=9-4=5>0.当p=-1时，△=p2-4=-3< 0,不合题意，舍去.∴.p=3. 第4页（共72页） 思维拓展 13.解：(1)解方程x2-3x十2=0，得x1=2,x2=1.x1=2x2,方程x2-3x十2=0 是“倍根方程”；(2)(x一2)(1x十n)=0,.x-2=0,或mx十n=0,x=2,x2= -”.“方程(x一2)(mx十)=0是“倍根方程”，.有以下2种情况：当-”=2×2=4 m m 时，n=一4m,即m十=0.当-开=之×2=1时，n=一m,即m十n=0,综上所述，m 与n的关系为4m十n=0或m十n=0;(3),一元二次方程a.x2十bx十c=0(62-4ac≥ 0)是“倍根方程”，设方程的两根分别为t,2t,根据根与系数的关系，得t十2t=一么， …2==品2(0)·（）=台2=9ac 重点突破专题一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 1.D2.m≤5且m≠4【变式1】m>5【变式2】n<5且m≠4【变式3m≤53号 4解：(1)-3一2(2)由题意可知十=-3,1=-2，.十=（十x)2-2x1 =(-3)2-2X(-2)=9+4=13.5.B6.解：(1)a=1,b=-(m十2)，c=m-1,△=B-4ac =[-(m十2]2-4×1×(m-1)=+4n+4-4m十4=m2+8.:2≥0，∴.m2十8>0，即 △0，∴.无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；(2)由题意，得x1十x2=十2，xx2 =1-1,十对-x1x=9,即（十x2)2-31=9,.(m十2）2-3(m-1)=9.整理，得m 十m-2=0..(m十2)(1-1)=0.解得m=-2,=1..m的值为-2或1. 21.3实际问题与一元二次方程 第1课时传播问题、循环问题与数字问题 例题引路 【例11-D合u-1）(2号xc-1)=4X7(3)=-7=84x=-7不 符合题意，舍去，只取x=8(⑤)8【例2】解：设原来的两位数十位上的数字为x,则个位上 的数字为(5-x).根据题意，得(10x十5-x)[10(5-x)十x]=736.整理，得x2-5.x十6=0.解 得x=2,=3.当x=2时，5-x=5-2=3.当x=3时，5-x=5-3=2.答：原来的两位数 是23或32. 基础过关 1.B2.1十x十x(x十1)=1693.A【变式】x(x-1)=1104.解：设九(2)班有x个同学， 则每个同学交换出(x一1)件小礼物.根据题意，得x(x一1)=1560.整理，得x一x一1560= 0.解得=40，x=-39(不符合题意，舍去.答：九(2)班有40个同学.5.x2一7x十12=0 6.C 能力提升 7.B8.1449.解：(1)设每轮分裂中平均每个有益菌可分裂成x个有益菌.根据题意，得 60x2=24000.解得=20，=一20（不符合题意，舍去）.答：每轮分裂中平均每个有益菌可 分裂成20个有益菌；(2)24000×20=480000（个）.答：经过三轮培育后有480000个有益菌. 思维拓展 10.解：(1)根据题意，得2nn一3)=14，整理，得-3m一28=0.解得n=7,或n=一4.“n≥ 3,.n=一4不符合题意，舍去..=7，即这个多边形的边数是7；(2)A同学的说法不正确， 理由如下：当7m一3)=10时，整理，得r-3n-20=0,解得n=3生8.：符合方程心 2 3一20=0的正整数n不存在，∴.多边形的对角线不可能有10条，即A同学的说法不正确， 第2课时平均变化率与销售问题 例题引路 【例1D【例2】解：设每件售价提高x元.根据题意，得10+x一8)(200一0×10)=640， 解得x=2,x2=6.又，要减少进货量，x=6,此时售价定为10十6=16（元）.答：将售价定 为16元时，能使每天所得利润为640元. 第5页（共72页） 基础过关 1.A2.20%3.解：(1)(100十200x)(2)根据题意，得(4-x-2)(100十200x)=300.整理， 得2r-3x+1=0,解得4=7=1.当x=号时，10+20×号=200<260（不符合题 意，舍去).当x=1时，100十200×1=300>260，此时售价为4一1=3（元）.答：老板需将每斤 的售价定为3元. 能力提升 4.D5.10%6.解：(1)设该生态果园阳光玫瑰葡萄产量的年平均增长率为x.根据题意，得 60(1十x)2=86.4.解得x=0.2=20%,2=一22（不符合题意，舍去）.答：该生态果园阳光 玫瑰葡萄产量的年平均增长率为20%；(2)86.4×(1十20%)=103.68(t).答：预估 2025年该生态果园阳光玫瑰葡萄的产量为103.68t, 思维拓展 7.解：任务1：设工作实验室7月份到9月份生产零件数量的月平均增长率为x,根据题 意，得500(1十x)2=720.解得x1=0.2=20%,x2=一2.2（不符合题意，舍去）.答：工作 实验室？月份到9月份生产零件数量的月平均增长率为20%；任务2：设该零件的实际 售价定为y元，则月销售量为800+5022×20=1300-10y(个).当1300-10y< 900,即y>40时，每个零件的销售利润为(y-30)元.根据题意，得(y-30)(1300一 10y)=13500.整理，得y2-160y+5250=0.解得y1=80-5√46，y2=80+5√46. (均不符合题意，舍去)当1300-10y≥900，即y≤40时，每个零件的销售利润为(y 30+5)元.根据题意，得(y-30+5)(1300-10y)=13500.整理，得y2-155y+4600 =0.解得y=40,y2=115(不符合题意，舍去).∴y=40.答：该零件的实际售价应定为 40元 第3课时几何图形问题 基础过关 1.B2.2cm,4cm3.A4.解：设页边距为xcm.根据题意，得(16-2x)(10-2x)= 16×10×70%.整理，得x2-13x十12=0.解得x1=1,x2=12(不符合题意，舍去).答： 需设置页边距为1cm. 能力提升 5.解：(1)设BC=xm,则AB=(33-3x)m.根据题意，得x(33-3x)=72.整理，得x2 一11x十24=0.解得x1=3,x2=8.当x=3时，33-3x=24>20,不符合题意，舍去，当 x=8时，33一3x=9,符合题意.答：养猪场的边AB的长为9m,BC的长为8m;(2)不 能.理由如下：假设能实现，设BC=ym,则AB=(33-3y)m.根据题意，得y(33-3y) =120.整理，得y-11y十40=0.：△=(-11)2-4×40=-39<0，.该方程无实数 根，该农户想要建一个120m的矩形养猪场的想法不能实现. 第二十一章整合与提升 高频考点突破 1.C2.-23.D4.x1=0,x2=-15.解：(1)(x-2)=9,x-2=士3，x-2=3,或 x一2=一3，x1=5,x2=一1；(2)移项，得x2十2x=3.配方，得x2十2x十12=3十12，(x 十1)2=4.由此可得x十1=士2，x1=一3，x2=1.6.C7.B8.-39.解：(1)方程 (x十2)(x十3)-k2=0化成一般式，得x2+5x十6-2=0.，△=52-4(6-k)=1十 4k2≥1>0，.方程总有两个不相等的实数根；(2)由题意，得x1十x2=一5,1x2=6一 k2.:x1x2-x-x2=7,即x1x2-(十x2)=7,.6-b2-(-5)=7,解得k=士2.k 的值为2或-2.10.D11.解：(1)长AB为28+2-3x=30-3x(m);(2)根据题意， 得x(30-3x)=72.整理，得x2-10x十24=0.解得x1=4,x2=6.当x=4时，30一3x= 30-3×4=18>16,不符合题意，舍去.当x=6时，30-3x=30-3×6=12<16,符合 题意.答：该实验田的宽为6m. 易错易混专攻 1.-32.-1 常考题型演练 1.A2.k≥一13.20234.解：(1)设每件衬衫应降价x元.根据题意，得 (40-x)(20十2x)=1200.整理，得x2-30x十200=0.解得x1=10,x2=20.:要尽快 减少库存，在获利相同的条件下，降价越多，销售越快，∴x=20.答：若商场每天要获得 第6页（共72页）