21.2.1 第1课时 用直接开平方法解一元二次方程-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年九年级全一册数学（人教版 云南专版）

参考答案 第二十一章 一元二次方程 21.1一元二次方程 新知梳理 02 例题引路 【例1】解：2y2-3=√2y的一般形式是2y2-√2y-3=0,其中二次项系数是2，一次项 系数是一√2，常数项是一3.【例2】解：(1)设参赛的足球队有x个.根据题意，得 x(x。D=55.整理化简，得x2一x-10=0:(2)设该直角三角形的一直角边长为 2 xcm,则另一直角边长为(17-x)cm根据题意，得x2十(17-x)2=13.整理化简，得 x2-17x+60=0. 基础过关 弥1.B2.D3.m≠24.C5.A【变式】16.C7.(50-2x)(30-2x)=8008.A 能力提升 9.D10.A11.解：(1)根据题意，得k-1=2,且k-3≠0，解得k=-1..当k=-1 时，方程是关于x的一元二次方程；(2)当k-3=0时，解得k=3,此时方程为一5x=2, 是一元一次方程；当|k-1|=1时，解得k=0,或k=2,方程分别为-3x-5.x=2和-x -5x=2,都是一元一次方程.综上所述，k的值为3或0或2.12.解：(1)设这两个连 续奇数分别为n,n十2.根据题意，得n2十(n十2)2=130.整理化简，得n十2n-63=0; (2)根据题意，得x(x-1)=756.整理化简，得x2-x-756=0. 她 思维拓展 13.解：根据题意，得(x十1)·2x-(x十2)(x-2)=22,∴2x2十2x-x2十4=22，即x 十2x一18=0，它符合一元二次方程的定义，是一元二次方程，其一般形式为x2十2x一 18=0. 21.2解一元二次方程 21.2.1配方法 物 第1课时 用直接开平方法解一元二次方程 新知梳理 ①两个不等 一√p两个相等0无®D-卫二D一n 1 例题引路 【11懈18r=92=3=士5=，=-：215x=12=号-号 哈 2 2 【例211(x-2)=25(x-2)-91-2=±号 9 1 2 -2 基础过关 1.D2C3B41解：0r=号=士号=是=号：25x=-5 =-1.:-1<0,.方程无实数根.5.D6.解：(x十1)2=5，x十1=士5，x=-1士 6,=-1+5m=-1-6,(21-xy=0=81-x=±寺x=1士台 1 9 5x=5 能力提升 7.C8.B9.5(答案不唯一，只要c≥0即可)10.4或-211.解：(1)4x2=1,x2= 子=±3=w=-合：(2)42x+10=25.2x+1)=空，2x+1=±号x 1 1 1 4 51 3 7 「42x= (3)x2-3=1,x2=4,x=士2x1=2,=-2:(4)(x 第1页（共72页） -2)2=(3-2x)2,x-2=士(3-2x),x-2=3-2x,或x-2=-(3-2x),x1= 3x-1. 思维拓展 12.解：(1)由题意，得4△3=4-32=7：(2)由题意，得(x十2)△5=(x十2)2-52=0， 即(x十2)2=25.两边直接开平方，得x十2=士5，解得x1=3,x2=一7：(3)由题意，得 3△(x-8)=32-(x-8)2=9-(x-8)2=0.解方程9-(x-8)2=0,得x1=11,x2=5. 当11是该直角三角形的斜边长时，第三边长为√1一5=4√6.当11是该直角三角 形的直角边长时，第三边长为√/11十5=√146，综上所述，该直角三角形的第三边长 为4√6或√146. 第2课时用配方法解一元二次方程 新知梳理 ①完全平方形式②1右边一次项系数一半的平方≥< 例题引路 【例1】解：移项，得2x十4红=一1.二次项系数化为1，得父十2红=一子配方，得x十 2x十=吉+1,6十1-由此可得十1=±号周-号-1喝=号-1 【例2】证明：2x2-4x十9=2(x2-2x)十9=2(x2-2x+12-1)+9=2(x-1)2+7. :无论x取何值，总有(x-1)≥0，∴.2(x-1)2十7>0,2x-4x十9恒大于零。 基础过关 1.C2.(①)42(2)号号3解：)移项，得r+4x=3.配方，得+r+2=3 十22，(x十2)=7.由此可得x十2=±√7，x1=-2十√7，x2=-2-√7；(2)移项，得 x十x=子.配方，得r+x+(合)=是+（合）：(+）=1.由此可得x+合 士1，==-号4D5解：1)二次项系数化为1，得2-2x=子配方，得 2-2x+1=+1,红-1-年由此可得x-1=±号x=1+号=1-号 2 (2)移项，得日-合=一子二次项系数化为1，得-3=-2.配方，得2-8x十 (径)=-2+(2)，(-名)=子由此可得x-多=±=2x=1. 能力提升 6.D【变式】C7.1或-38.解：(1)C(2)②(3)移项，得x2-8x=1.配方，得x2 -8x十42=1十42，(x-4)2=17.由此可得x-4=士√/17，x1=4+V√17，x2=4-√17. 9.解：A-B=(2x2-4x-1)-(x-6x-6)=2x2-4x-1-x2+6x+6=x2十2x+5= (x+1)2十4.(x十1)2≥0，.(x十1)2十4>0，.A-B>0,.A>B. 思维拓展 10.解：(1)：x2-4x十y十2y十5=0，.x2-4x十4+y2+2y+1=0,即(x-2)2+(y+ 1)2=0.(x-2)2≥0，(y+1)≥0，.(x-2)2=0,(y+1)2=0,.x-2=0,y+1=0, 即x=2,y=-1;(2)1(3):a2+6=12a+8b-52,∴.a2+b2-12a-8b+52=0,∴.a2 -12a+36+b2-8b+16=0,即(a-6)2+(b-4)2=0.:(a-6)2≥0，(b-4)2≥0，∴.(a -6)2=0,(b-4)2=0,∴a-6=0,b-4=0,即a=6,b=4.:△ABC是等腰三角形， .c的值为6或4. 21.2.2公式法 新知梳理 ①6-4ac两个不等的两个相等的无②b2-4ac≥0 例题引路 【例1】解：(1)a=2,b=3,c=-4.△=-4ac=32-4×2×(-4)=41>0.方程有两个 不等的实数根；(2)方程化为5x2-7x十5=0.a=5,b=-7,c=5.△=b-4ac=(-7) -4×5×5=-51<0.方程无实数根.【例2】解：a=1,b=1,c=-1.△=b-4ac=1 一4X1×(一1）=5>0.方程有两个不等的实数根工=二士4匹=5，即 2a 2×1 =15,=1E 2 2 第2页（共72页） 基础过关 1.C2.D3解：1)a=3,6=2c=子△=B-4ac=2-4X3×号-0.方程有两个 相等的实数根；(2)方程化为20x2+8x十1=0.a=20,b=8,c=1.△=b2-4ac=8-4× 20×1=-16<0.方程无实数根.4.(1)C(2)C(3)c>15.A6.解：a=2,b= -3,c=-1.△=62-4ac=(-3)2-4×2×(-1)=17>0.方程有两个不等的实数根 x=二b吐4ac-（-3》）亚-3±亚，即x=3+亚，，=3二亚 2a 2×2 4 4 4 能力提升 7.C8>-号9.8或910.解：使方程有两个不相等的实数根，且a=14= b2-4ac=b-4c>0,即6>4c,∴.②③均可.选②解方程，则这个方程为x2十3.x十1= 0,解得=二35=3选③解方程，则这个方程为r十3x一1=0，解得 2 =3+压，x,=二3， 2 2 .11.解：(1)根据题意，得△=(-2)2-4(4-m)=4m 12>0,解得m>3(2):m>3.5m-3>0,小÷”2·号 1-m2 m+1 1+m)1-m.2 -3 思维拓展 12.解：(1)△ABC是等腰三角形.理由如下：把x=-1代入原方程，得2a十c-4b十2a 一c=0,.4a一4b=0,.a=b,.△ABC是等腰三角形：(2)当△ABC是等边三角形时， a=b=c,∴.原方程可化为(2a十a)x2十4ax十2a-a=0,∴.3ax2十4ax十a=0.又，a> 0∴32+4x+1=0,心4=44X3X1=4>0,.x二装}=一3里.即x1=1, x=一3· 21.2.3因式分解法 新知梳理 ①一次式 例题引路 【例1】解：移项，得2(x-1)+x-1=0.因式分解，得(x-1)[2(x-1)+1]=0.于是得 x-1=0,或2x-1=0,=1=号，【例2】解：1)移项，得r+2x=323,配方，得 x2十2x十12=323十12，(x十1)2=324.由此可得x十1=士18，x=-19,x=17:(2)移 项，得7x(3-x)十2(3-x)=0.因式分解，得(3-x)(7x十2)=0.于是得3-x=0,或 7z+2=0,=84=-号 基础过关 1.B2.C3.(1)x1=0,x2=-1(2)x1=0,x2=14.解：(1)移项，得x2+3x=0.因 式分解，得x(x十3)=0.于是得x=0,或x十3=0，x1=0,x2=-3;(2)因式分解，得(x -5)”=0.于是得x-5=0,x1=x2=5.5.D6.解：(1)原方程可变形为x(x十4)- (x十4)=0.因式分解，得(x十4)(x-1)=0.于是得x十4=0，或x-1=0,x1=-4,x2 =1;(2)移项，得x2-4x=-1.配方，得x2-4x十2=-1十22，(x-2)=3.由此可得 x-2=±√3，x1=2十√3，x2=2-√5.7.未考虑x-7=0x=7 能力提升 8.B9.-3或410.711.解：(1)移项，得3x2-6x=2.二次项系数化为1，得x2 2x=号配方，得-2x+1=-号+，即(-1)y=号由此可得x-1=士雪， 3m=1+ =1-,(2)移项，得5-2)+2(-2)=0.因式分解，得（怎-25一2） 3 十2]=0,2-2)5x-8)=0.于是得x-2=0,或5x-8=0,=2,4=号 思维拓展 12.解：(1)B(2)(x2+1)2-13.x2十23=0，.(x2十1)2-13x2-13+13十23=0， 第3页（共72页）21.2解一元二次方程 21.2.1配方法 第1课时 用直接开平方法解一元二次方程 名师导学©预习先知 8 基础过关。逐点击破 新知梳理 知识点1形如x2=p(p≥0)的一元二次方程的解法 ①方程x2=p的根的情况： 1.下列方程能用直接开平方法解的是 当p>0时，方程有 A.x2-x=0 B.x2+2=0 的实数根= 2=√币 C.x2+x=1 D.x2-3=1 x=当=0时，方程有 2.一元二次方程x2=4的根为 的实数根=2= A.x=2 B.x=-2 当<0时，方程 实数根 C.x1=2,x2=-2 D.x=4 ②形如(m.x十n)2=p(m≠0，p≥0)的 方程的根是x1= X2= 3.如果代数式2x2-4的值为14，那么x的值是 例题团路 A.3 B.±3 C.-3 D.√3 【例1】用直接开平方法解下列方程： 4.解下列方程： (1)3.x2-9=0;(2)16.x2-9=3. (1)4x2=9; (2)5x2+8=3. 【名师点拨】将方程化为x2=p的形 式，两边直接开平方即可 【学生解答】 知识点2形如(mx+n)2=p(m≠0，p≥0)的一元二 次方程的解法 5.一元二次方程(x十6)2=16可转化为两个一元一次方程， 其中一个一元一次方程是x十6=4，则另一个一元一次方 程是 【例2】解方程：4(x-2)2-25=0. 解：移项，得 A.x-6=-4 B.x-6=4 方程两边同除以4，得 C.x+6=4 D.x+6=-4 直接开平方，得 6.解下列方程： 或2= 即x一2=5， (1)(x+1)2-5=0: (2)100(1-x)2=64. 解得x1= 【学生解答】 3九年级数学人教版全一册 习能力提升。整合运用 (3)(x-3)(x十√3)=1； 7.下列解方程的过程中，正确的是 ( A.x2=2解：x=2 B.2y2=16解：2y=±4，∴.y1=2,y2=-2 C.2(x-1)2=8解：(x-1)2=4,x-1= (4)x2-4x+4=(3-2x)2. ±√4，x-1=±2，∴x1=3,x2=-1 D.x2=-3解：x1=√一3，x2=-√一3 8.若a为方程(x-√17)2=100的一根，b为方 程(y一4)2=17的一根，且a,b都是正数，则 a一b的值为 ( 公思维拓展。学科素养 A.5 B.6 12.新视角新定义)对任意实数a,b,规定一种新 C.√83 D.10-√17 运算“△”：a△b=a2-b2. 9.新视角结论开放题若关于x的一元二次方程 (1)求4△3； (x十3)2=c有实数根，则c的值可以为 (2)求(x十2)△5=0中x的值： .(写出一个即可) (3)数学思想分类讨论已知直角三角形的两 10.新视角程序应用)如图所示是一个简单的数 边长是方程3△(x一8)=0的两根，求 值运算程序，则输入x的值为 该直角三角形的第三边长. 输入x了一x-1月一×(-3)—输出-27 11.用直接开平方法解下列方程： (1)2x2+3=-2x2+4; (2)4(2x+1)2-1=24; 第二十一章一元二次方程4