《2.3二次根式》自主学习同步练习题2025-2026学年北师大版数学八年级上册

2025-2026学年北师大版八年级数学上册《2.3二次根式》自主学习同步练习题（附答案） 一、单选题 1．下列式子中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．设，，则可以表示为（　　） A． B． C． D． 3．将式子根式外的因式移到根式内的结果是（   ） A． B． C． D． 4．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 6．设，则等于（   ） A．24 B．25 C． D． 7．在数学课上，老师将一长方形纸片的长增加，宽增加，就成了一个面积为的正方形纸片，则原长方形纸片的面积为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 8．的倒数为 ，的绝对值为 ． 9．比较大小： ． 10．若能与最简二次根式合并，则的值为 ． 11．二次根式是一个整数，那么正整数a的最小值是 ． 12．用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定．如，则 ． 13．我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式：一个三角形的三边长分别为，三角形的面积．若，则的值为 ． 14．一块正方形木板采用如下图所示的方式在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板后，剩余的木板（阴影部分）的面积为 ． 三、解答题 15．计算： (1) (2) (3) (4) 16．计算： (1)； (2)． 17．已知，，求值． 18．计算： ．（结果保留根号） 19．某居民小区有块形状为长方形的绿地，绿地的长为，宽为，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（图中阴影部分），花坛的长为，宽为． (1)求长方形绿地的周长； (2)除去修建花坛的地方，其它地方全部修建成通道，通道上铺地砖的造价为80元，求通道铺地砖需要花费多少元？ 20．小明在解决问题，已知，求的值，他是这样分析与解答的： ∵． ∴ ∴，即 ∴ ∴． 请你根据小明分析过程的思想方法，解决如下问题： (1)分母有理化：______， (2)计算：； (3)若，求的值． 参考答案 1．C 【分析】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式需同时满足以下条件：(1)被开方数中不含能开得尽方的因数；(2)被开方数中不含分母．根据最简二次根式的定义直接判断即可得到答案． 【详解】解：A．，不是最简二次根式，故不符合题意； B． ，不是最简二次根式，故不符合题意； C． 是最简二次根式，故符合题意； D． ，不是最简二次根式，故不符合题意． 故选：C． 2．D 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法．根据二次根式的乘法运算法则求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：D． 3．C 【分析】本题考查了二次根式的性质、二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．先根据二次根式有意义的条件可得，再根据二次根式的性质计算即可得． 【详解】解：由题意得：，且， ∴， 则 ， 故选：C． 4．B 【分析】本题主要考查了二次根式的加、减、乘、除法，根据二次根式的运算规则逐一验证各选项的正确性． 【详解】解：A．和不是同类二次根式，无法合并，故A错误； B．，故B正确； C．，故C错误； D．，故D错误． 故选：B． 5．A 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，积的乘方的逆运算，同底数幂乘法的逆运算，先把原式变形为，进一步变形得到，据此计算求解即可． 【详解】解： ， 故选：A． 6．A 【分析】本题考查了求代数式的值、二次根式的化简、整式的恒等变形，将所求式子进行适当的变形是解本题的关键． 首先根据，得出，再根据等式两边平方，得出，再把进行变形，然后把代入计算即可． 【详解】解：由， 可得：， ∴， ∴， ∴ ． 故选：A 7．C 【分析】本题考查了二次根式的应用，掌握算术平方根的定义及二次根式的运算法则是解题关键． 先设设原长方形纸片的长为，结合老师将一长方形纸片的长增加，宽增加，就成了一个面积为的正方形纸片，列式计算，算出原长方形纸片的长，进而求出原长方形纸片的宽，再列式计算即可得出答案． 【详解】解：依题意，设原长方形纸片的长为， ∵老师将一长方形纸片的长增加，宽增加，就成了一个面积为的正方形纸片， ∴ ∴（负值已舍去） ∴ ∴原长方形纸片的宽为： ∴原长方形纸片的面积为： 故选：C． 8． 【分析】本题主要考查绝对值的意义、倒数及分母有理化，熟练掌握绝对值的意义、倒数及最简二次根式是解题的关键． 根据绝对值的意义、倒数及分母有理化可求解． 【详解】解：的倒数是，的绝对值是， 故答案为：，． 9． 【分析】本题主要考查了二次根式的大小比较、二次根式的混合运算等知识点，掌握分子有理化是解题的关键． 先对和分子有理化，然后比较分母即可解答． 【详解】解：，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 10． 【分析】本题考查了同类二次根式，根据最简二次根式以及同类二次根式的定义，即可求出答案，熟练掌握同类二次根式是解题的关键． 【详解】解：由， ∵能与最简二次根式合并， ∴，解得：， 故答案为：． 11．2 【分析】本题主要考查二次根式的性质、二次根式的定义等知识点，掌握二次根式的性质成为解题的关键． 利用二次根式的性质可得，则是一个平方数，然后确定a的最小正整数即可． 【详解】解：∵是一个正整数， ∴是一个平方数， ∴正整数a的最小值是2． 故答案为：2． 12． 【分析】本题考查了新定义运算，二次根式的混合运算，根据新定义运算求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由题意得： ， 故答案为：． 13． 【分析】本题给出了利用三角形三边求面积的公式，已知三角形三边的长度，直接将数值代入公式，通过计算即可求出三角形面积．本题主要考查了实数的运算以及根据给定公式进行代数计算．熟练掌握实数的运算法则以及代入公式求值的步骤是解题的关键． 【详解】解： 将，，代入上式： 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了二次根式的化简和乘法，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．首先求出大正方形的边长为，小正方形的边长为，然后列式求解即可． 【详解】解：根据题意得大正方形的边长为，小正方形的边长为， ∴剩余木板的面积为：． 故答案为：． 15．(1) (2) (3) (4) 【分析】（）根据二次根式的除法运算法则计算即可； （）利用平方差公式计算即可； （）利用二次根式的性质化简，再合并即可； （）利用二次根式的性质化简，再合并即可； 本题考查了二次根式的运算，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 16．(1) (2) 【分析】本题主要考查二次根式的加减法及混合运算，熟练掌握运算法则及乘法公式是解答本题的关键． （1）将原式中的各二次根式进行化简后再合并即可； （2）原式根据平方差公式与完全平方公式，计算即可得出答案． 【详解】（1）解： ； （2） ． 17． 【分析】本题主要考查二次根式的化简求值，需要先根据已知条件判断的正负性，再对原式进行化简，最后将与的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【详解】解：已知，， 根据有理数乘法法则“同号得正”可知同号， 又∵两数之和为正， ∴， 将，，代入 原式． ∴的值． 18． 【分析】本题考查了实数大小比较，化简绝对值，二次根式的加减运算，先化简绝对值，再合并同类项进行计算即可． 【详解】解： ． 19．(1) (2)2240元 【分析】本题考查二次根式的应用，长方形的周长和面积，平方差公式．解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及其性质． （1）根据长方形的周长列出算式，再利用二次根式的混合运算顺序和运算法则计算即可； （2）先计算出空白部分的面积，然后再用空白部分的面积乘以单价即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意，长方形绿地的周长为： ， 答：长方形绿地的周长为； （2）解： ， ， 答：铺地砖需要花费2240元． 20．(1) (2)9 (3)9 【分析】本题考查的是分母有理化，构建整体代入求解代数式的值，熟练运算方法是解题的关键. （1）分子与分母都乘以，再利用平方差公式计算即可得到答案； （2）先把每一项都分母有理化，再合并同类二次根式即可得到答案； （3）先求解，再变形可得：，再整体代入即可得到答案. 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：∵， ∴， ∴，即． ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $