精品解析：山东省东明县第一中学2026届高三上学期开学摸底考试数学试题

山东菏泽市东明一中2026届高三开学摸底考试数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知向量与的夹角为，，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 5. 已知实数，满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，若的面积是的面积的两倍，则（ ） A. 2 B. C. D. 7. 下列函数在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知正方体，点是与的交点，点是直线上异于的一点，点是平面上的动点，满足直线与直线的夹角为，则动点的轨迹在（ ） A. 圆上 B. 椭圆上 C. 抛物线上 D. 双曲线上 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 甲、乙两名篮球运动员连续10场比赛的得分如下表所示，则下列说法正确的有（ ） 场次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲 18 20 22 13 20 27 10 21 19 30 乙 3 10 20 9 24 27 13 28 9 17 A. 甲的众数大于乙的众数 B. 甲的平均数大于乙的平均数 C. 甲的极差大于乙的极差 D. 甲的60百分位数大于乙的60百分位数 10. 已知函数的最小正周期为，则（ ） A. B. C. D. 11. 武当太极拳又称武当内家拳，是我国的一项传统武术拳种，修习太极拳可以养生祛病、强身健体、延年益寿.若张爷爷早上带着孙子小张在健身广场练习武当太极拳十三式，张爷爷按照拳法顺序从第一式打到第十三式，每种招式打一遍，小张随机打了十三式，则（ ） A. 若招式可以重复，则小张练习的可能情况数为13! B. 若招式不可重复，则小张练习的可能情况数为13! C. 若招式可以重复，小张仅有第一式与爷爷相同的可能情况数为12! D. 若招式不可重复，小张和爷爷恰有三种招式顺序不同的概率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知双曲线－＝1 (a>0，b>0) 的焦点到渐近线的距离是a，则双曲线的离心率的值是__________． 13. 若曲线与圆有公共点，且在点处的切线相同，则实数_____. 14. 已知正整数，欧拉函数表示、、、、中与互素的整数的个数，例如，，.若小明从、、、、中随机取一个数，小红从、、、、中随机取一个数，则的概率为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角的对边分别为，且． （1）求A： （2）若，的面积为，求的周长． 16. 如图，在四棱锥中，四边形是边长为的菱形，，，，点、分别为棱、的中点. （1）证明：平面； （2）若直线与平面所成角的大小为，求二面角的正弦值. 17. 已知数列的前项和为，且，，成等差数列.已知数列首项，且. （1）求数列的通项公式，并求数列的前项和. （2）若将数列中去掉数列的项后余下的项按原顺序组成数列，求的值. （3）是否存在不同的，，使得，，成等差数列？如果存在，请求出，的值；如果不存在，请说明理由. 18. 已知函数有两个极值点. （1）求实数的取值范围； （2）记两个极值点分别为，，证明：. 19. 已知点，分别是椭圆的左、右焦点，，椭圆的离心率为. （1）求椭圆的标准方程. （2）若是椭圆上的一个动点，点经过第次变动（各次变动之间相互独立）后落在的位置（异于椭圆的左、右顶点，且时，允许），点是的内心（即内切圆的圆心），满足，其中，为坐标原点. ①证明：； ②若，且对任意都有的面积为，求对任意都有的概率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东菏泽市东明一中2026届高三开学摸底考试数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解一元二次不等式求集合，由集合的交运算求解. 【详解】解：，， 故． 故选：C． 2. 在复平面内，对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数除法求解，再结合复数对应的点判断即可. 【详解】，所以对应的点位于第四象限. 故选：D 3. 已知向量与的夹角为，，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据投影向量的定义直接得解. 【详解】在上的投影向量为， 故选：A. 4. 已知，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知，结合辅助公式求出，再代入求解即可. 【详解】， 故，可得， 代入计算可得. 故选：C. 5. 已知实数，满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题设可得，再应用基本不等式求目标式的最大值. 【详解】因为，所以， 因为， 当且仅当，即时等号成立，故的最大值为. 故选：B 6. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，若的面积是的面积的两倍，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】有的面积是的面积的两倍可得，设出直线方程联立曲线，得到相应韦达定理即可计算出、，即可得解. 【详解】令为点到直线的距离， 则，, 由，故， 由抛物线定义可知，，， 则有，即， 设直线方程为，联立抛物线方程， 有，， 故，， 则，则有，故， 有，故或（负值舍去），则， 故. 故选：C. 7. 下列函数在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对A，根据解析式判断单调性得解；对B，C，D，求导，利用判断导数正负得解. 【详解】对于A，的定义域为，在上单调递增，在上单调递增，不满足在上单调递增，故A错误. 对于B，在上单调递减，不满足在上单调递增，故B错误. 对于C，，满足在上单调递增，故C正确. 对于D，在上单调递减，在上单调递增，不满足在上单调递增，故D错误. 故选：C. 8. 已知正方体，点是与的交点，点是直线上异于的一点，点是平面上的动点，满足直线与直线的夹角为，则动点的轨迹在（ ） A. 圆上 B. 椭圆上 C. 抛物线上 D. 双曲线上 【答案】D 【解析】 【分析】由题意得在以为顶点的对顶圆锥上，对顶圆锥的轴线为，进一步即可求解. 【详解】直线与直线的夹角为，则在以为顶点的对顶圆锥上，对顶圆锥的轴线为， 因为平面，所以动点的轨迹在双曲线上. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 甲、乙两名篮球运动员连续10场比赛的得分如下表所示，则下列说法正确的有（ ） 场次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲 18 20 22 13 20 27 10 21 19 30 乙 3 10 20 9 24 27 13 28 9 17 A. 甲的众数大于乙的众数 B. 甲的平均数大于乙的平均数 C. 甲的极差大于乙的极差 D. 甲的60百分位数大于乙的60百分位数 【答案】ABD 【解析】 【分析】分别根据一组数据的众数，平均数计算公式，极差和百分位数定义即可一一判断. 【详解】对于A，甲的众数为20，而乙的众数为9，故甲的众数大于乙的众数，A正确； 对于B，因甲平均数 ， 而乙平均数，故B正确； 对于C，甲的极差为，而乙的极差为，故C错误； 对于D，先把甲的得分按从小到大顺序排列为：10，13，18，19，20，20，21，22，27，30， 由知甲的60百分位数为； 再把乙的得分按从小到大顺序排列为：3，9，9，10，13，17，20，24，27，28， 则乙的60百分位数为，故D正确. 故选：ABD. 10. 已知函数的最小正周期为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A，利用周期公式计算得解；对B，求出，代入计算；对C，代入解析式计算判断；对D，代入解析式计算判断. 【详解】对于A，由题意可得，解得，故A错误； 对于B，函数的解析式为：，故， 则，故B正确； 对于C，，， 所以，故C正确； 对于D，，， 所以，故D正确. 故选：BCD. 11. 武当太极拳又称武当内家拳，是我国的一项传统武术拳种，修习太极拳可以养生祛病、强身健体、延年益寿.若张爷爷早上带着孙子小张在健身广场练习武当太极拳十三式，张爷爷按照拳法顺序从第一式打到第十三式，每种招式打一遍，小张随机打了十三式，则（ ） A. 若招式可以重复，则小张练习的可能情况数为13! B. 若招式不可重复，则小张练习的可能情况数为13! C. 若招式可以重复，小张仅有第一式与爷爷相同的可能情况数为12! D. 若招式不可重复，小张和爷爷恰有三种招式顺序不同的概率为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据排列数的公式，以及古典摡型的计算公式，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，若招式可以重复，则小张练习的可能情况数为，所以A不正确； 对于B中，若招式不可重复，则小张练习的可能情况数为，所以B正确； 对于C中，若招式可以重复，小张仅有第一式与爷爷相同的可能情况数为，所以C错误； 对于D中，若招式不可重复，小张和爷爷恰有三种招式顺序不同的概率为，所以D正确. 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知双曲线－＝1 (a>0，b>0) 的焦点到渐近线的距离是a，则双曲线的离心率的值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】求出双曲线的渐近线方程，再利用点到直线距离公式及离心率定义求解. 【详解】双曲线的渐近线方程为，即， 则焦点到渐近线的距离，解得， 所以双曲线的离心率 故答案为： 13. 若曲线与圆有公共点，且在点处的切线相同，则实数_____. 【答案】 【解析】 【分析】求导得，由题意可得，结合点在圆上可求解. 【详解】对于，，故切线斜率存在，于是，又， 解得或（舍去），于是，所以，所以. 故答案为：. 14. 已知正整数，欧拉函数表示、、、、中与互素的整数的个数，例如，，.若小明从、、、、中随机取一个数，小红从、、、、中随机取一个数，则的概率为_____. 【答案】## 【解析】 【分析】求出当，时，、的值，列举出满足的数组，结合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】由题意可得，，，，，， ，，，， 因为，， 满足的数组有：、、、， 故所求概率为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角的对边分别为，且． （1）求A： （2）若，的面积为，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用正弦定理边化角，然后利用三角公式整理计算即可； （2）先利用面积公式求出，再利用余弦定理求出，则周长可求. 【小问1详解】 由，以及正弦定理可得 即， 即， 又在中， 所以， 则在中； 【小问2详解】 由（1）可得， 所以， 由余弦定理， 解得， 所以的周长. 16. 如图，在四棱锥中，四边形是边长为的菱形，，，，点、分别为棱、的中点. （1）证明：平面； （2）若直线与平面所成角的大小为，求二面角的正弦值. 【答案】（1）证明：如图1，取的中点，连接、， 因为为的中点，所以，且， AI 又四边形为菱形，且为的中点，所以，且， 所以，且，所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接、，证明出四边形为平行四边形，可得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立； （2）连接、交于点，过点在平面内作，垂足为点，利用线面角的定义可知直线与平面所成角为，然后以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图2，连接、交于点. 因为四边形为菱形，所以，且为、的中点， 又因为，所以， 因为、平面，且，所以平面. 因为平面，所以平面平面， 过点在平面内作，垂足为点， 因为平面平面，平面平面，， 平面，所以平面， 所以为直线与平面所成的角的平面角，则. 又，，，为的中点， 所以，则为等边三角形， 因为，故也为等边三角形，且， 以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，. 取平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 则，取，可得， 则， 设二面角平面角为，则. 因此，二面角的正弦值为. 17. 已知数列的前项和为，且，，成等差数列.已知数列首项，且. （1）求数列的通项公式，并求数列的前项和. （2）若将数列中去掉数列的项后余下的项按原顺序组成数列，求的值. （3）是否存在不同的，，使得，，成等差数列？如果存在，请求出，的值；如果不存在，请说明理由. 【答案】（1），； （2）； （3）不存在，理由如下： 假设存在不同的，， 不妨假设使得，，成等差数列， 则，即， 两边除以16，得. 因为，所以，所以，所以. 当时，；当时，，这与题设矛盾， 所以不存在不同的，使得，，成等差数列. 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的性质有，结合的关系得，根据等比数列的定义得，最后应用裂项相消法求； （2）由题设递推关系得，确定前30项的构成，再应用分组求和，应用等差、等比数列前n项和公式求结果； （3）应用反证思想，结合等差数列的性质有，进而推出矛盾，即可得. 【小问1详解】 因为，，成等差数列，所以，① 所以，② 由①②，得，于是. 又，所以，所以， 因此，数列是首项为2，公比为2的等比数列. 所以，即. 又， 所以. 【小问2详解】 因为，所以， 所以数列是各项均为0的常数数列，所以， 所以，则数列是以1为首项，2为公差的等差数列. 又，，，，，，，， 所以 . 【小问3详解】 略 18. 已知函数有两个极值点. （1）求实数的取值范围； （2）记两个极值点分别为，，证明：. 【答案】（1）； （2）证明：由（1）知，， 所以， 所以. 令，则， 令，则， 所以在上单调递增. 因为，， 所以函数存在唯一零点，即， 且当时，单调递减；当时，，单调递增， 所以当时，存在最小值，即. 因为，所以，所以， 所以. 【解析】 【分析】（1）由题意知，导函数在上有两个不相等的实数根，再根据二次函数的性质进行求解即可； （2）根据题意可得，，是方程的两个不等正实根，根据韦达定理得，，代入化简，进而构造函数，再求导判断其单调性和最值，即可证明. 【小问1详解】 由题意得，，. 因为有两个极值点，所以方程有两个不相等的正根， 所以，解得. 检验：当时，由得或. 所以在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增，满足题意. 所以实数的取值范围为. 【小问2详解】 略 19. 已知点，分别是椭圆的左、右焦点，，椭圆的离心率为. （1）求椭圆的标准方程. （2）若是椭圆上的一个动点，点经过第次变动（各次变动之间相互独立）后落在的位置（异于椭圆的左、右顶点，且时，允许），点是的内心（即内切圆的圆心），满足，其中，为坐标原点. ①证明：； ②若，且对任意都有的面积为，求对任意都有的概率. 【答案】（1） （2）①证明：由内心定义可知内切圆半径， 对任意，， 即， 由于点和点在轴的同一侧，故，同号， 故，所以， ② 【解析】 【分析】（1）根据椭圆焦距及离心率可得椭圆方程； （2）①根据三角形内心的定义及三角形面积可得证； ②结合三角形内心的性质证明点只能在椭圆的上、下顶点位置.当时，表示点中恰有个在上顶点，恰有个在下顶点，对任意都有表明，任意前个点中，上顶点个数不少于下顶点个数，结合古典概型概率公式求结论. 【小问1详解】 由题可知，，解得， ，， 所以椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 ①略 ②由①可知，，因为，所以， 对任意，在中，设与轴的相切于点， 则，同理， ， ， 结合，故，又， 于是，结合，代入得， 又，取等条件为， 故点只能在椭圆的上、下顶点位置. 当时，表示点中恰有个在上顶点，恰有个在下顶点，故总的情况有种. 对任意都有表明，任意前个点中，上顶点个数不少于下顶点个数. 将前个点中上顶点的个数减去下顶点的个数记作，将所有的点连接起来，形成一条折线， 因为每次要么减少，要么增加，所以折线相当于从出发， 每次沿向量向右上方移动，或者沿向量向右下方移动，最终到结束. 目标事件为折线始终落在轴及轴上方，其对立事件为折线与有公共点. 考虑对立事件，若折线与有公共点，记第一个公共点为， 则点左侧的折线均在上方， 将这部分折线关于对称到下方，得到点到点的新折线，且与总是一一对应，种数相同. 对于，共移动次，其中向右上方移动次，向右下方移动次，共有种. 故概率为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $