21.2一元二次方程的解法讲义 2025-2026学年沪教版（五四学制）（2024）八年级数学上册

该初中数学单元复习讲义通过知识框架系统梳理了一元二次方程解法的知识体系，涵盖因式分解法、直接开平方法等六种解法，按“定义概念-解题技巧-常考类型-易错点”模块呈现，清晰展现重难点分布与内在逻辑联系。 讲义亮点在于“示例与变式”分层练习设计，如因式分解法中系数简单整数方程示例及可提取公因式的变式题，结合易错点提醒培养数学思维。配方法应用专题通过求二次函数最值示例，发展模型意识，基础学生掌握步骤，优秀学生深化应用，助力教师实施精准教学与学生自主复习。

21.2 一元二次方程的解法 🌟【目录】 内容 知识梳理 【直接开平方法】 【配方法】） 【公式法】 【因式分解法】 题型巩固 分层练习 【基础题】 【提高题】 🌟 知识梳理 【直接开平方法】 · 适用形式：方程可化为或的形式。 · 解法步骤： 1. 将方程化为或的标准形式。 2. 若 ( a > 0 )，则或，进而求解 ( x )。 3. 若 ( a = 0 )，则 ( x = 0 )（或 ( mx + n = 0 )），有两个相等的实数根。 4. 若 ( a < 0 )，方程无实数根。 · 例如：解方程 解：， 【配方法】 · 定义：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法。 · 解法步骤（以，为例）： 1. 移项：把常数项移到方程右边，得。 2. 二次项系数化为1：方程两边同时除以二次项系数 ( a )，得。 3. 配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得。 左边化为完全平方式：。 4. 求解：若右边是非负数，则用直接开平方法求解；若右边是负数，则方程无实数根。 · 例如：用配方法解方程 解：移项： 配方：（两边加） 即 开平方：， 【公式法】 · 求根公式：对于一元二次方程，当判别式时，方程的两个实数根为： · 解法步骤： 1. 将方程化为一般形式，确定 ( a )、( b )、( c ) 的值。 2. 计算判别式。 3. 若，方程有两个不相等的实数根，代入求根公式计算； 若，方程有两个相等的实数根； 若，方程没有实数根。 · 例如：用公式法解方程 解：这里 ( a = 2 )，( b = -4 )，( c = -1 ) ， 【因式分解法】 · 原理：若两个因式的积等于零，则至少有一个因式等于零。即如果，那么 ( A = 0 ) 或 ( B = 0 )。 · 解法步骤： 1. 将方程右边化为零。 2. 将方程左边分解为两个一次因式的乘积。 3. 令每个因式分别等于零，得到两个一元一次方程。 4. 解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解。 · 常见因式分解方法： 1. 提公因式法 2. 公式法（平方差公式、完全平方公式） 3. 十字相乘法 · 例如1（提公因式法）：解方程 解：( x(x - 3) = 0 ) 或 ( x - 3 = 0 ) 解得， · 例如2（十字相乘法）：解方程 解：( (x - 2)(x - 3) = 0 ) 或 ( x - 3 = 0 ) 解得，题型巩固 题型一：直接开平方法 1. 解方程： 解析：此方程符合的形式，其中 ( a = 16 > 0 )。直接开平方可得。 答案：， 2. 解方程： 解析：此方程符合的形式，其中 ( m = 2 )，( n = -1 )，( a = 9 > 0 )。直接开平方得，然后分别求解两个一元一次方程。 答案： ( 2x - 1 = 3 ) 或 ( 2x - 1 = -3 ) ( 2x = 4 ) 或 ( 2x = -2 ) ， 题型二：配方法 3. 用配方法解方程： 解析： 1. 移项： 2. 配方：方程两边加，得 3. 即 4. 开平方： 答案：， 题型三：公式法 4. 用公式法解方程： 解析： 这里 ( a = 3 )，( b = 5 )，( c = -2 )。 判别式。 代入求根公式： 答案： ， 题型四：因式分解法 5. 用因式分解法解方程：平方差公式) 解析：方程左边是平方差形式，可分解为 ( (2x + 3)(2x - 3) )。 即 ( (2x + 3)(2x - 3) = 0 ) 答案： ( 2x + 3 = 0 ) 或 ( 2x - 3 = 0 ) ， 6. 用因式分解法解方程：( x(x - 2) + x - 2 = 0 ) (提公因式法) 解析：将 ( x - 2 ) 看作一个整体，方程左边可提公因式 ( (x - 2) )，得到 ( (x - 2)(x + 1) = 0 )。 答案： ( x - 2 = 0 ) 或 ( x + 1 = 0 ) ，分层练习 【基础题】 解下列方程（可选择适当的方法）： 7. 解析：直接开平方法。。 答案：， 解析：因式分解法（提公因式）。( x(x + 3) = 0 )。 答案：， 解析：直接开平方法。。 答案：， 解析：因式分解法（完全平方公式）。。或用配方法。 答案：两个相等的实数根) 11. 用公式法解方程： 解析：( a = 1 )，( b = -2 )，( c = -2 )。。 答案：， 【提高题】 12. 解方程： 解析：先将右边分解因式：。 原方程化为： 提公因式 ( (x - 3) )：( (x - 3)[2(x - 3) - (x + 3)] = 0 ) 化简括号内：( (x - 3)(2x - 6 - x - 3) = (x - 3)(x - 9) = 0 ) 答案：， 13. 当 ( k ) 为何值时，方程的一个根是另一个根的2倍？ 解析：设方程的两根分别为 ( t ) 和 ( 2t )。 根据韦达定理（根与系数的关系）： ( t + 2t = -(k - 1) ) 即 ( 3t = 1 - k ) ...(1) 即...(2) 由(1)得，代入(2)： 解得 答案：或 14. 用配方法求二次函数的最小值。（此题虽涉及函数，但核心是配方，作为提高） 解析：。 因为，所以。 答案：当 ( x = 2 ) 时，( y ) 的最小值为 ( 1 )。 学科网（北京）股份有限公司 $ 21.2 一元二次方程的解法 🌟【目录】 内容 知识梳理 【直接开平方法】 【配方法】） 【公式法】 【因式分解法】 题型巩固 分层练习 【基础题】 【提高题】 🌟 知识梳理 【直接开平方法】 · 适用形式：方程可化为或的形式。 · 解法步骤： 1. 将方程化为或的标准形式。 2. 若 ( a > 0 )，则或，进而求解 ( x )。 3. 若 ( a = 0 )，则 ( x = 0 )（或 ( mx + n = 0 )），有两个相等的实数根。 4. 若 ( a < 0 )，方程无实数根。 · 例如：解方程 解：， 【配方法】 · 定义：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法。 · 解法步骤（以，为例）： 1. 移项：把常数项移到方程右边，得。 2. 二次项系数化为1：方程两边同时除以二次项系数 ( a )，得。 3. 配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得。 左边化为完全平方式：。 4. 求解：若右边是非负数，则用直接开平方法求解；若右边是负数，则方程无实数根。 · 例如：用配方法解方程 解：移项： 配方：（两边加） 即 开平方：， 【公式法】 · 求根公式：对于一元二次方程，当判别式时，方程的两个实数根为： · 解法步骤： 1. 将方程化为一般形式，确定 ( a )、( b )、( c ) 的值。 2. 计算判别式。 3. 若，方程有两个不相等的实数根，代入求根公式计算； 若，方程有两个相等的实数根； 若，方程没有实数根。 · 例如：用公式法解方程 解：这里 ( a = 2 )，( b = -4 )，( c = -1 ) ， 【因式分解法】 · 原理：若两个因式的积等于零，则至少有一个因式等于零。即如果，那么 ( A = 0 ) 或 ( B = 0 )。 · 解法步骤： 1. 将方程右边化为零。 2. 将方程左边分解为两个一次因式的乘积。 3. 令每个因式分别等于零，得到两个一元一次方程。 4. 解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解。 · 常见因式分解方法： 1. 提公因式法 2. 公式法（平方差公式、完全平方公式） 3. 十字相乘法 · 例如1（提公因式法）：解方程 解：( x(x - 3) = 0 ) 或 ( x - 3 = 0 ) 解得， · 例如2（十字相乘法）：解方程 解：( (x - 2)(x - 3) = 0 ) 或 ( x - 3 = 0 ) 解得，题型巩固 题型一：直接开平方法 1. 解方程： 2. 解方程： 题型二：配方法 3. 用配方法解方程： 题型三：公式法 4. 用公式法解方程： 题型四：因式分解法 6. 用因式分解法解方程：( x(x - 2) + x - 2 = 0 ) (提公因式法) 【基础题】 解下列方程（可选择适当的方法）： 7. 11. 用公式法解方程： 【提高题】 12. 解方程： 13. 当 ( k ) 为何值时，方程的一个根是另一个根的2倍？ 解析：设方程的两根分别为 ( t ) 和 ( 2t )。 根据韦达定理（根与系数的关系）： ( t + 2t = -(k - 1) ) 即 ( 3t = 1 - k ) ...(1) 即...(2) 由(1)得，代入(2)： 解得 答案：或 14. 用配方法求二次函数的最小值。（此题虽涉及函数，但核心是配方，作为提高） 解析：。 因为，所以。 答案：当 ( x = 2 ) 时，( y ) 的最小值为 ( 1 )。 学科网（北京）股份有限公司 $