6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学课件聚焦平面向量的正交分解及坐标表示，从复习平面向量基本定理切入，通过探究不同基底表示向量a的活动引出基底选取问题，搭建从旧知到正交分解的学习支架，帮助学生自然衔接知识脉络。 其亮点在于以问题链驱动概念建构，从基底特殊化到单位正交基底再到坐标表示，层层递进培养数学思维。通过对比点与向量坐标的区别联系发展抽象能力，结合方向角位移、向量旋转等实例强化数学语言表达。既助力学生建立数形转化能力，也为教师提供结构化教学资源，提升教学效率。

平面向量的正交分解及坐标表示 授课老师：孟瑞 人教A版必修第一册第六章第三单元 复习旧知，回答问题 【回顾】什么是平面向量基本定理？ 平面向量基本定理 (1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个______向量，那么对于这一平面内的____向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝__________. (2)基底：若e1，e2不共线，我们把__________叫做表示这一平面内____向量的一个基底． 不共线 任一 所有 λ1e1＋λ2e2 {e1，e2} 复习旧知，回答问题 【探究】如图，请同桌任意给出一组基底，并用该基底表示向量a. a＝__________. ①几何表示 ②代数表示 可以看到，对于不同的基底，向量a的表示不唯一 创设情境，提出问题 【问题1】从运算的角度，你认为选取怎样的基底更好？ 【追问1】从哪些方面去特殊化基底呢？ ①夹角：两个基向量有哪些夹角比较特殊？ 1.正交分解 （1）力的正交分解：如图，重力沿互相垂直的两个方向分解就是正交分解； （2）向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫作向量的正交分解. （3）正交基底：{ 叫做平面的一组正交基底. 【追问1】从哪些方面去特殊化基底呢？ ①夹角：正交基底 ②大小：基底模长为多少更好？ 2.单位正交基底： 平面中，把两个互相垂直且模长都为1的基底叫作单位正交基底. 1.建构向量的坐标概念 O A B M N D O C a O E F 选取大小、方向与坐标轴的单位长度、方向保持一致的单位正交基，记=，把 {，} 叫做直角坐标系中的单位正交基. 【追问2】进一步，选择怎么的单位正交基更好？为什么？ 1.建构向量的坐标概念 A B O 1.建构向量的坐标概念 【问题2】用单位正交基{，}表示, , , . O a 结论：若A(x，y)，则= x+ y 1.建构向量的坐标概念 【追问】相等的两个向量的坐标表示相同吗（平移之后坐标表示会改变吗）？ 3.平面向量的坐标表示 取与x轴、y轴方向相同的单位向量{，}为基底，则有且只有一对实数x，y，使得，记作： A O 区别 表示形式不同 ＝(x，y) ，点A(x，y) 意义不同 点A(x，y)表示平面直角坐标系中的位置； ＝(x，y) 表示从起点为原点，终点为(x，y)的向量或该向量的平移. 联系 当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同 1.建构向量的坐标概念 【追问1】点的坐标A(x，y)与平面向量的坐标有什么区别与联系？ 【追问2】如图，你能得出的坐标表示吗？ 【结论】一个向量的坐标等于其终点的坐标减去起点的坐标. 若A(x1，y1)， B(x2，y2)， 则 1.建构向量的坐标概念 O 【追问3】已知你能得出，的坐标表示吗？ 4.平面向量加、减法的坐标表示 两个向量的和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差)，即，则： ； . 1.建构向量的坐标概念 由图可知，, 所以 同理， ， ， . 【例1】如图，分别用基底表示向量并求出它们的坐标. 典例讲解 【例2】在平面内，以点0的正东方向为x轴正向，正北方向为y轴的正向建立直角坐标系，质点在平面内做直线运动，分别求下列位移向量的坐标. (1) 向量a表示沿东北方向移动2个长度单位. (2) 向量b表示沿西偏北60°方向移动了3个长度单位. (3) 向量c表示沿东偏南30°方向移动了4个长度单位. 典例讲解 小结提升，形成结构 【问题3】回顾本节课的学习过程，回答以下问题： （1）什么是平面向量的坐标表示？其中的关键是什么？ （2）平面向量的坐标与点的坐标有什么联系？与有向线段的起点、终点的坐标有什么关系？ （3）为什么在平面直角坐标系中讨论向量的表示？你对向量有哪些认识？ 【例3】如图，已知平行四边形ABCD的三个顶点A(-2，1)，B(-1，3)，C(3，4)，求顶点D的坐标． 典例讲解 思考 作业布置 1.教材P36，习题6.3 第3，4，5，6题(作业本)； 2.课时训练.6.3.2—6.3.3. 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 【思考】（1）设， 是平面直角坐标系内分别与x轴、y轴方向相同的两个单位向量，且＝4 ＋2 ，＝3 ＋4 ，＝，则C点的坐标为（ ） A.（－2，1）　　　　 B.（1，－2） C.（2，－1） D.（－1，2） （2）若＝（3，4），A点的坐标为（－2，－1），则B点的坐标为（ ） A.（1，3） B.（5，5） C.（1，5） D.（5，4） （3）若＝（1，1），＝（0，1），＋＝（a，b），则a＋b＝　 .  答案　（1）D　（2）A　（3）－1 【思考】已知点A（2，3），B（5，4），＝（5λ，7λ）（λ∈R）. 若＝＋，试求λ为何值时： （1）点P在第一、三象限的角平分线上； （2）点P在第三象限内. 【变式】若本例条件不变，点P在坐标轴上，求λ的值. （1）λ＝.（2）λ＜－1. （1）当点P在x轴上时，λ＝－. （2）当点P在y轴上时，λ＝－1. 【练习1】如图，设与x轴、y轴同向的两个单位向量分别为， ，取{， }作为基底，分别用，表示向量，，，并求出向量，，的坐标； 解（1）由题图可知， ＝6 ＋2 ，＝2 ＋4 ，＝－4 ＋2 ， 则坐标表示分别为＝（6，2）， ＝（2，4），＝（－4，2）. 练习 练习 【练习2】以原点O及点A（2，－2）为顶点作一个等边△AOB，求点B的坐标及向量的坐标. （1）当点B在OA的上方时，＝（0，4）. （2）当点B在OA的下方时，＝（－2，－2）. 综上所述，点B的坐标为（2，2），的坐标为（0，4）或点B的坐标为（0，－4），的坐标为（－2，－2）. 【练习3】如果将＝（，），绕原点O逆时针方向旋转120°得到，则的坐标是（　　） A.（－，） B.（，－） C.（－1，） D.（－，） D 练习 【练习4】已知平行四边形ABCD的四个顶点A，B，C，D的坐标依次为（3，－1），（1，2），（m，1），（3，n），求msin α＋ncos α的最大值. 练习 解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴＝，又A（3，－1），B（1，2），C（m，1），D（3，n），∴（3－3，n＋1）＝（m－1，1－2），即解得 ∴msin α＋ncos α＝sin α－2 cos α＝ sin （α＋φ），其中tan φ＝－2，故msin α＋ncos α的最大值为. = +2 = + eq \o(OA,\s\up12 (→))= 2 eq \o(i,\s\up12(→))+ 2 eq \o(j,\s\up12(→)) eq \o(OB,\s\up12 (→))=－2 eq \o(i,\s\up12(→))+ 4 eq \o(j,\s\up12(→)) eq \o(OC,\s\up12 (→))=－1 eq \o(i,\s\up12(→))+ (－2) eq \o(j,\s\up12(→)) eq \o(OD,\s\up12 (→))= 4 eq \o(i,\s\up12(→))+ (－2) eq \o(j,\s\up12(→)) 【思考】如图，在平面直角坐标系xOy中，OA＝4，AB＝3，∠AOx＝45°，∠OAB＝105°， eq \o(OA,\s\up16(→))＝ eq \o(a,\s\up16(→))， eq \o(AB,\s\up16(→))＝ eq \o(b,\s\up16(→)),四边形OABC为平行四边形． (1)求向量 eq \o(a,\s\up16(→))， eq \o(b,\s\up16(→))的坐标； (2)求向量 eq \o(BA,\s\up16(→))的坐标； (3)求点B的坐标． $