6.2.1向量的加法运算 课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学课件聚焦平面向量的加法，涵盖概念、三角形法则、平行四边形法则、运算律及应用。通过“数的运算类比向量运算”情景导入，结合位移合成、力的合成等物理背景，搭建从具体到抽象的学习支架，衔接前后知识。 亮点在于以数学眼光观察物理现象抽象向量加法，用数学思维通过问题链探究法则合理性（如共线向量加法、模长关系讨论），借数学语言解决轮渡航行、吊物受力等实际问题。采用“情境—探究—例题—应用”教学链，学生提升几何直观与应用意识，教师可直接使用分层例题与练习，提高教学效率。

第二单元 平面向量的运算 （共5课时） 人教A版必修第二册第六章 平面向量的加法 第一课时 人教A版必修第一册第五章第六单元 教学目标 课时目标 1.理解并掌握向量加法的概念. 2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算. 3.了解向量加法的交换律和结合律，并能作图解释向量加法运算律的合理性. 【思考】数有加减乘除运算，那么向量有没有加减乘除运算，如果有，该怎么运算呢？ 情景导入 我们知道，位移、力是向量，它们可以合成。能否从位移、力的合成中得到启发，引进向量的加法呢？ 【探究1】如图（1），某质点从点A经过点B到点C，则这个质点的位移怎么表示？ 图(1) 【探究2】如图（2），在光滑的平面上，一个物体同时受到两个外力与的作用，你能作出这个物体所受的合力吗？ C 图(2) 0、向量加法的物理背景 【问题1】如图（3），已知非零向量，，如何作出向量？ 图(3) 图(4) 【三角形法则】 如图（4），在平面内取任意一点A，作， 则. 首尾相连，连首尾 1、向量加法的三角形法则和平行四边形法则 图(3) 【平行四边形法则】 如图（5），以同一点为起点作， 则. 图(5) 共起点，对角连 1、向量加法的三角形法则和平行四边形法则 【问题1】如图（3），已知非零向量，，如何作出向量？ 1.向量的加法 (1)向量加法的三角形法则——物理背景：位移的合成； (2)向量加法的平行四边形法则——物理背景：力的合成. 首尾相连，连首尾 共起点，对角连 1、向量加法的三角形法则和平行四边形法则 【追问1】（1）零向量与任意向量的和是什么？ （2）若向量与互为反向量， +等于什么？ 【结论1】（1）= ； （2）若向量与互为反向量， += +() =. 1、向量加法的三角形法则和平行四边形法则 【例1】如图，已知向量，，求作向量. 图6.2-6（1） 图6.2-6（2） 1、向量加法的三角形法则和平行四边形法则 A B C A B C 【追问2】如果向量，共线，如何作出向量？还满足三角形法则或平行四边形法则吗？ = (1) 同向 (2)反向 = 1、向量加法的三角形法则和平行四边形法则 【追问3】在什么情况下，下列式子成立？一般地， ，，之间有什么关系？ （1）=+； （2）=； （3）= （4） 【结论2】一般地，我们有，当且仅当，同向时右边等号成立，当且仅当，反向时左边等号成立. 1、向量加法的三角形法则和平行四边形法则 【问题2】类比数的加法的运算律，你认为向量的加法是否也有运算律？先猜测有哪些运算律，再说明理由． 2、向量加法的运算律 【结论3】向量加法的运算律 （1）交换律： = ； （2）结合律：. 2、向量加法的运算律 【例2】　化简： （1）＋； （2）＋＋； （3）＋＋＋＋. 解　（1）＋＝＋＝. （2）＋＋＝＋＋＝（＋）＋＝＋＝0. （3）＋＋＋＋＝＋＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝0. 【练习】如图，在△ABC中，O为重心，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，化简下列三式： 2、向量加法的运算律 【例3】长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输。如图，一艘船从长江南岸A地出发，垂直于对岸航行，航行速度的大小为km/h，同时江水的速度为向东 km/h. （1）用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度； （2）求船实际航行的速度的大小（结果保留小数点后一位）与方向（用与江水速度间的夹角表示，精确到1º）． 3、向量加法的实际应用 【练习】　在静水中船的速度为20 m/min，水流的速度为10 m/min，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向. 解　作出图形，如图.船速v船与岸的方向成α角，由图可知v水＋v船＝v实际，结合已知条件，四边形ABCD为平行四边形.  在Rt△ACD中，｜｜＝｜｜＝｜v水｜＝10 m/min， ｜｜＝｜v船｜＝20 m/min， ∴cos α＝＝＝，∴α＝60°. 故船行进的方向是与水流的方向成120°角的方向. 3、向量加法的实际应用 作业布置 1. 教材P10，练习 第1，2，3，4，5题（做在书上）； 2. 课时训练6.2.1. 3、课堂练习 3、课堂练习 3、课堂练习 【练习4】如图，用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆子AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A和B处所受力的大小(绳子的重量忽略不计) 3、课堂练习 解:(1)eq \o(BC,\s\up16(→))＋eq \o(CE,\s\up16(→))＋eq \o(EA,\s\up16(→))＝eq \o(BE,\s\up16(→))＋eq \o(EA,\s\up16(→))＝eq \o(BA,\s\up16(→)). (2)eq \o(OE,\s\up16(→))＋eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(EA,\s\up16(→))＝(eq \o(OE,\s\up16(→))＋eq \o(EA,\s\up16(→)))＋eq \o(AB,\s\up16(→))＝eq \o(OA,\s\up16(→))＋eq \o(AB,\s\up16(→))＝eq \o(OB,\s\up16(→)). (3)eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(FE,\s\up16(→))＋eq \o(DC,\s\up16(→))＝eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(BD,\s\up16(→))＋eq \o(DC,\s\up16(→))＝eq \o(AD,\s\up16(→))＋eq \o(DC,\s\up16(→))＝eq \o(AC,\s\up16(→)). 【练习1】如图所示，O为正六边形ABCDEF的中心，化简下列向量. (1)eq \o(OA,\s\up15(→))＋eq \o(OC,\s\up15(→))＝________； (2)eq \o(BC,\s\up15(→))＋eq \o(FE,\s\up15(→))＝________； (3)eq \o(OA,\s\up15(→))＋eq \o(FE,\s\up15(→))＝________. eq \o(OB,\s\up15(→)) eq \o(AD,\s\up15(→)) eq \o(0,\s\up15(→)) 【练习2】已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O， 且eq \o(AO,\s\up16(→))＝eq \o(OC,\s\up16(→))，eq \o(DO,\s\up16(→))＝eq \o(OB,\s\up16(→)). 求证：四边形ABCD是平行四边形． 证明: eq \o(AB,\s\up16(→))＝eq \o(AO,\s\up16(→))＋eq \o(OB,\s\up16(→))，eq \o(DC,\s\up16(→))＝eq \o(DO,\s\up16(→))＋eq \o(OC,\s\up16(→))， 又∵eq \o(AO,\s\up16(→))＝eq \o(OC,\s\up16(→))，eq \o(OB,\s\up16(→))＝eq \o(DO,\s\up16(→))，∴eq \o(AB,\s\up16(→))＝eq \o(DC,\s\up16(→))， ∴AB＝DC且AB∥DC， ∴四边形ABCD为平行四边形． 又α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°. 所以|eq \o(AC,\s\up16(→))|＝eq \r(\a\vs4\al(|\o(AB,\s\up16(→))|2＋|\o(BC,\s\up16(→))|2))＝eq \r(8002＋8002)＝800eq \r(2)(km)． 其中∠BAC＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°. 从而救护车行驶的路程是1600 km，两次行驶的位移和的大小为800eq \r(2) km，方向为北偏东80°. 【练习3】在某地抗震救灾中，一救护车从A地按北偏东35°的方向行驶800 km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55°的方向行驶800 km送往C地医院，求这辆救护车行驶的路程及两次位移的和． 解:如图所示，设eq \o(AB,\s\up16(→))，eq \o(BC,\s\up16(→))分别表示救护车从A地按北偏东35°方向行驶800 km，从B地按南偏东55°的方向行驶800 km. 则救护车行驶的路程指的是|eq \o(AB,\s\up16(→))|＋|eq \o(BC,\s\up16(→))|； 两次行驶的位移的和指的是eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(BC,\s\up16(→))＝eq \o(AC,\s\up16(→)). 依题意，有|eq \o(AB,\s\up16(→))|＋|eq \o(BC,\s\up16(→))|＝800＋800＝1600(km)． ∴A处所受的力为5eq \r(3) N，B处所受的力为5 N. $