2.2基本不等式　课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件围绕基本不等式展开，以2002年国际数学家大会会标及赵爽弦图为情境导入，引导学生观察几何图形面积关系，逐步建构重要不等式，进而通过作差法、分析法严谨推导基本不等式，辅以例题及变式探究搭建学习支架。 其亮点在于融合数学眼光、思维与语言，通过赵爽弦图观察抽象数量关系，作差法和分析法培养逻辑推理，总结“积定和最小”等定理提升应用意识。采用情境导入与问题驱动，课堂小结明确符号表示及注意事项，助力学生发展抽象能力与推理意识，也为教师提供结构化教学流程。

人教A版 必修一 授课人：卢春伶 2.2 基本不等式 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 2002年国际数学家大会会标 2002年8月，第24届国际数学家大会在北京召开，大会会标是根据我国古代数学家赵爽的弦图设计的，图形旋转起来像个风车，既反映中国人在数学研究中的创新精神，又昭示着中国人民的热情好客． 赵爽弦图 情景引入 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 会标中含有怎样的几何图形？ 图案中图形的面积间的关系如何？ 观察发现 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 SS′ 数学建构 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 a b SS′ 数学建构 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 一般地，∀a，b∈R，有a2＋b2 2ab.当且仅当 时，等号成立. ≥ a＝b 数学建构——重要不等式 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 6 一般地，∀a，b∈R，有a2＋b2 2ab.当且仅当 时，等号成立. ≥ a＝b 数学建构——再探索 Q： 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 7 上述不等式是在重要不等式基础上转化出来的，是否对所有的a>0，b>0都能成立？请给出证明. 作差法 严谨证明 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 解决这样一个问题，即是需要我们对这样一个不等式给予证明。 8 分 析 法 　 分析法是一种“执果索因”的证明方法，即从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后， 把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理）为止.   严谨证明——分析法 高中数学 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 要证 ， ① 只要证 . ② 严谨证明——分析法 高中数学 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整.内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行. 3.左、右、底部：页边距不少于1英尺（PPT参考标尺的默认单位）. 英文 1.正文标题为：以Times New Roman为主,可搭配使用Arial.字号为32—36号，特别强调可以用40号. 2.正文内容为：以Times New Roman为主,可搭配使用Arial.字号为24—28号，特别强调可用32号. 3.英文每行一般不能超过15个单词；单页文字一般不能超过8行. 4.左、右、底部：页边距不少于2英寸（PPT参考标尺的默认单位）. 10 要证 ， ① 只要证 . ② 要证②，只要证 . ③ 严谨证明——分析法 高中数学 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整.内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行. 3.左、右、底部：页边距不少于1英尺（PPT参考标尺的默认单位）. 英文 1.正文标题为：以Times New Roman为主,可搭配使用Arial.字号为32—36号，特别强调可以用40号. 2.正文内容为：以Times New Roman为主,可搭配使用Arial.字号为24—28号，特别强调可用32号. 3.英文每行一般不能超过15个单词；单页文字一般不能超过8行. 4.左、右、底部：页边距不少于2英寸（PPT参考标尺的默认单位）. 11 要证 ， ① 只要证 . ② 要证②，只要证 . ③ 要证③，只要证 . ④ 严谨证明——分析法 高中数学 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整.内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行. 3.左、右、底部：页边距不少于1英尺（PPT参考标尺的默认单位）. 英文 1.正文标题为：以Times New Roman为主,可搭配使用Arial.字号为32—36号，特别强调可以用40号. 2.正文内容为：以Times New Roman为主,可搭配使用Arial.字号为24—28号，特别强调可用32号. 3.英文每行一般不能超过15个单词；单页文字一般不能超过8行. 4.左、右、底部：页边距不少于2英寸（PPT参考标尺的默认单位）. 12 要证 ， ① 只要证 . ② 要证②，只要证 . ③ 要证③，只要证 . ④ 要证④，只要证 . ⑤ 严谨证明——分析法 高中数学 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整.内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行. 3.左、右、底部：页边距不少于1英尺（PPT参考标尺的默认单位）. 英文 1.正文标题为：以Times New Roman为主,可搭配使用Arial.字号为32—36号，特别强调可以用40号. 2.正文内容为：以Times New Roman为主,可搭配使用Arial.字号为24—28号，特别强调可用32号. 3.英文每行一般不能超过15个单词；单页文字一般不能超过8行. 4.左、右、底部：页边距不少于2英寸（PPT参考标尺的默认单位）. 13 要证 ， ① 只要证 . ② 要证②，只要证 . ③ 要证③，只要证 . ④ 要证④，只要证 . ⑤ ⑤显然成立，当且仅当 时，⑤中的等 号成立． 严谨证明——分析法 高中数学 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整.内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行. 3.左、右、底部：页边距不少于1英尺（PPT参考标尺的默认单位）. 英文 1.正文标题为：以Times New Roman为主,可搭配使用Arial.字号为32—36号，特别强调可以用40号. 2.正文内容为：以Times New Roman为主,可搭配使用Arial.字号为24—28号，特别强调可用32号. 3.英文每行一般不能超过15个单词；单页文字一般不能超过8行. 4.左、右、底部：页边距不少于2英寸（PPT参考标尺的默认单位）. 14 要证 ， ① 只要证 . ② 要证②，只要证 . ③ 要证③，只要证 . ④ 要证④，只要证 . ⑤ ⑤显然成立，当且仅当 时，⑤中的等 号成立．只要把上述过程倒过来，就能直接推出基 本不等式了. 严谨证明——分析法 证明可以看出，我们经历了从要证明的问题①出发，逐步寻求使命题成立的充分条件，直至最后，归结为判定一个明显成立的公式为止，这就是分析法. Q：每一步推理的依据是什么呢？ 两边同乘以一个正数，所得不等式与原不等式同向． 两边同时加上正数a+b，同向 运用完全平方差公式打开计算，同向 两边同乘以一个负数，所得不等式与原不等式反向 都是前者成立的充分条件 高中数学 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整.内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行. 3.左、右、底部：页边距不少于1英尺（PPT参考标尺的默认单位）. 英文 1.正文标题为：以Times New Roman为主,可搭配使用Arial.字号为32—36号，特别强调可以用40号. 2.正文内容为：以Times New Roman为主,可搭配使用Arial.字号为24—28号，特别强调可用32号. 3.英文每行一般不能超过15个单词；单页文字一般不能超过8行. 4.左、右、底部：页边距不少于2英寸（PPT参考标尺的默认单位）. 15 分析法的证明格式 由于分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，所以分析法在书写过程中必须有相应的文字说明： 一般每一步的推理都用“要证…”“只要证…”的格式，当推导到一个明显成立的条件之后，指出显然…成立。 严谨证明——分析法 Q：几何角度有无意义？ 高中数学 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 D E 几何解释：半弦长小于等于半径。 如图, AB是圆的直径, O为圆心，点C是AB上一点, AC=a, BC=b. 过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD. ①如何用a, b表示OD? OD=______ ②如何用a, b表示CD? CD=______ ③OD与CD的大小关系怎样? CD_____OD A B C D E a b O F 当点C在什么位置时OD=CD？ 此时a与b的关系是？ 数学建构——几何解释 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 射影定理 基本不等式：如果a>0，b>0，则__________，当且仅当 时，等号成立. 其中，_____叫做正数a，b的算术平均数，_____叫做正数a，b的几何平均数. 基本不等式表明：两个正数的算术平均数 它们的几何平均数. a＝b 不小于 建立概念 和 积 大于等于 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 18 例1　(多选)下列说法正确的是 √ √ 例题 和 积 大于等于 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 19 例2　 变形 解： 所以x=1时， 取得最小值2. 当且仅当 即x=1时，等号成立. 应用深化 Q：在解答过程中，是否必须说明“当且仅当，即时，等号成立”？ 须要！说明“2”是的一个取值. Q：当 时， 　　　 成立吗？这时能说 是 的最小值吗？（常见错误） 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 求最值问题，考虑能不能用基本不等式——一正、二定、三相等 20 　 分析：求 的最小值，就是要求一个 使 都有 当 时，找不到能取到这个 所对应的正数 .因此所求 最小值为2.当且仅当 ， 取到最小值2. 应用深化——分析易错点 例2　 高中数学 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整.内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行. 3.左、右、底部：页边距不少于1英尺（PPT参考标尺的默认单位）. 英文 1.正文标题为：以Times New Roman为主,可搭配使用Arial.字号为32—36号，特别强调可以用40号. 2.正文内容为：以Times New Roman为主,可搭配使用Arial.字号为24—28号，特别强调可用32号. 3.英文每行一般不能超过15个单词；单页文字一般不能超过8行. 4.左、右、底部：页边距不少于2英寸（PPT参考标尺的默认单位）. 21 变式探究 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 观察这些式子，1、2积定的时候是不是都是求最小值，即此时和有最小值；而第3个，和定的时候，积有最大值。 22 最值定理 已知x，y都为正数，则 (1)如果积xy等于定值P，那么当且仅当x＝y时，和x＋y有最小值 ； (2)如果和x＋y等于定值S，那么当且仅当x＝y时，积 xy有最大值 ，简记为：积定和最 ，和定积最 . 小 大 结论总结 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 因此我们可以总结如下结论，具体多少呢？请同学们自己算一下 23 因为x<0，则－x>0， 故原式的最大值为－4. 一正 二定 三相等 易错警示：应用基本不等式求最值时，注意同时满足三个条件，才能求得. 拓广探索 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 24 基本不等式： 注意： 两个不等式的适用范围不同。 2.相同点：当且仅当=时,等号成立。 3. 叫做正数，的算术平均数， 叫做正数，的几何平均数； 1.不同点： 当且仅当a=b时,等号成立。 课堂小结 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 1.基本不等式 （1）数学符号： （2）文字语言：两个正数的算术平均数不小于它们 的几何平均数 . （3）最值定理：积定和最小，和定积最大 2.注意 （2）可以正用、逆用、常用变形一： （1）把握 “七字方针” 即 “一正，二定，三相等” a与b为正实数 得定值 若等号成立，a与b必须相等 课堂小结 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 26 下节再见！ 人教A版 必修一 授课人：卢春伶 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 用，分别替换上式中的a，b可得到a＋b≥2，当且仅当a＝b时，等号成立.我们习惯表示成≤. 如果a>0，b>0，我们用，分别替换上式中的a，b，能得到什么样的结论？ ≤ A.对∀a，b∈R，≥成立 B.若a>0，b>0且a≠b，则a＋b>2 C.对∀a，b∈R，a2＋b2≥2ab D.若a>0，b>0，则 已知x>0，求x＋的最小值. 已知x>0，求x＋的最小值. 3、已知0<x<1，求的最大值. 1、已知x>0，求4x＋的最小值. 2、已知x>1，求＋的最小值. 2 S2 原多项式可变为x＋＝－， 故有－x＋≥2＝4， 所以－≤－4，当且仅当－x＝－，即x＝－2时等号成立. 当x<0时，求x＋的最大值. 重要不等式： （a,b∈R） $