21.1一元二次方程的概念讲义 2025-2026学年沪教版数学八年级上册

该初中数学讲义以“一元二次方程的概念”为核心，通过知识框架系统梳理定义、一般形式、参数求解、解的判断与参数确定五大模块，用要点归纳呈现知识脉络，明确重难点分布及内在联系。 讲义亮点在于“示例-变式”分层练习设计，如通过“判断方程是否为一元二次方程”示例及变式题，结合“三是否”解题技巧培养抽象能力与推理意识。易错点标注及综合练习题助力不同层次学生巩固，教师可据此实施精准教学，学生自主复习更具针对性。

21.1 一元二次方程的概念 本讲内容总结： 本节主要学习一元二次方程的基础概念，包含： 1. 一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程。 1. 化成一元二次方程的一般形式：将方程整理为 的形式。 1. 由一元二次方程的定义求参数：主要利用“未知数最高次数为2”即 项系数 这一条件。 1. 判断是否是一元二次方程的解：将一个数代入方程左右两边，若值相等，则该数是方程的解。 1. 由一元二次方程的解求参数：将方程的解代入原方程，形成一个关于参数的新方程，解此方程即可。 模块一：一元二次方程的定义 【知识点定义概念】 一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。 【解题技巧】 判断“三是否”： 1. 是否整式：方程两边必须是整式（分母中不含未知数）。 1. 是否一元：只含有一个未知数。 1. 是否二次：化简后，未知数的最高次数是2。 【易错点】 · 将分式方程、根式方程误认为一元二次方程。 · 忽略二次项系数不为0的条件，特别是方程中含有参数时。 【知识点常考类型】 类型：识别给定方程是否为一元二次方程。 【示例与变式】 示例1： 下列方程中，是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 变式1-1： 下列关于的方程：① ；② ；③ ；④ 。其中一定是一元二次方程的是 ______ (填序号)。 模块二：化成一元二次方程的一般形式 【知识点定义概念】 一般形式： 是常数，且。 · 是二次项， 是二次项系数。 · 是一次项， 是一次项系数。 · 是常数项。 【解题技巧】 1. 去：去分母、去括号。 1. 移：将所有项移到等号左边，使右边为0。 1. 合：合并同类项。 1. 定：按未知数的降幂排列，通常写成 的形式。 【易错点】 · 去括号、移项时符号出错。 · 未将方程化为右边为0的形式。 · 写系数时漏掉前面的符号。 【知识点常考类型】 类型：将方程化为一般形式，并指出各项系数。 【示例与变式】 示例2： 将方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项。 变式2-1： 一元二次方程化为一般形式后，其常数项为（ ） A. 2 B. -2 C. -3 D. -8 模块三：由一元二次方程的定义求参数 【知识点定义概念】 方程 要成为一元二次方程，核心条件是 。 【解题技巧】 对于含参数的方程 ，若它是一元二次方程，则： 1. 令最高次项（项）的系数 。 1. 解这个关于参数的不等式或方程。 【易错点】 · 只考虑未知数的次数，忽略二次项系数不为0的条件。 【知识点常考类型】 类型：根据一元二次方程的定义，求方程中参数的值或取值范围。 【示例与变式】 示例3： 当为何值时，方程是关于的一元二次方程？ 变式3-1： 若关于的方程是一元二次方程，则 ______。 模块四：判断是否是一元二次方程的解 【知识点定义概念】 方程的解（根）：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值。 【解题技巧】 检验方法：将数值代入原方程。 · 若 左边 = 右边，则是方程的解。 · 若 左边 ≠ 右边，则不是方程的解。 【易错点】 · 代入计算时出错，特别是负数和乘方运算。 【知识点常考类型】 类型：判断一个数是否是一元二次方程的根。 【示例与变式】 示例4： 判断和是不是方程的根。 变式4-1： 已知一元二次方程的一个根为，则的值为（ ） A. 2 B. -2 C. 4 D. -4 模块五：由一元二次方程的解求参数 【知识点定义概念】 若 是方程 的一个根，则 必定成立。 【解题技巧】 1. 代入：把已知的根代入原方程。 1. 求解：解这个关于参数的新方程。 【易错点】 · 代入后得到关于参数的方程求解错误。 【知识点常考类型】 类型：已知方程的一个根，求方程中的字母参数。 【示例与变式】 示例5： 已知关于的一元二次方程的一个根是，则的值为多少？ 变式5-1： 若是关于的方程的一个解，则的值是多少？ 六、综合练习题 1. 下列关于的方程中，一定是一元二次方程的是（ ） · A. · B. · C. · D. 1. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） · A. · B. · C. · D. 1. 将方程化成一般形式为____________________。 1. 关于的方程是一元二次方程，则的值为______。 1. 已知是方程的一个根，则的值是______。 1. 判断是否是方程的根。 1. 若关于的一元二次方程 的一个解是，则的值是______。 1. 若是方程的一个根，则代数式的值为______。 1. 已知关于的方程。 · (1) 当为何值时，方程为一元一次方程？ · (2) 当为何值时，方程为一元二次方程？ 1. 已知是方程的一个根，求的值。 学科网（北京）股份有限公司 $ 21.1 一元二次方程的概念 本讲内容总结： 本节主要学习一元二次方程的基础概念，包含： 1. 一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程。 1. 化成一元二次方程的一般形式：将方程整理为 的形式。 1. 由一元二次方程的定义求参数：主要利用“未知数最高次数为2”即 项系数 这一条件。 1. 判断是否是一元二次方程的解：将一个数代入方程左右两边，若值相等，则该数是方程的解。 1. 由一元二次方程的解求参数：将方程的解代入原方程，形成一个关于参数的新方程，解此方程即可。 模块一：一元二次方程的定义 【知识点定义概念】 一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。 【解题技巧】 判断“三是否”： 1. 是否整式：方程两边必须是整式（分母中不含未知数）。 1. 是否一元：只含有一个未知数。 1. 是否二次：化简后，未知数的最高次数是2。 【易错点】 · 将分式方程、根式方程误认为一元二次方程。 · 忽略二次项系数不为0的条件，特别是方程中含有参数时。 【知识点常考类型】 类型：识别给定方程是否为一元二次方程。 【示例与变式】 示例1： 下列方程中，是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 答案解析： A. 方程分母中含有未知数，不是整式方程，故不是一元二次方程。 B. 未指明二次项系数，若，则不是一元二次方程。 C. 方程化简后为，即，符合一元二次方程的定义。 D. 方程中含有两个未知数和，是二元二次方程。 答案：C 变式1-1： 下列关于的方程：① ；② ；③ ；④ 。其中一定是一元二次方程的是 ______ (填序号)。 答案解析： ① 是，符合定义。 ② 否，含有两个未知数和。 ③ 否，是分式方程。 ④ 是，因为，二次项系数恒不为0。 答案：①④ 模块二：化成一元二次方程的一般形式 【知识点定义概念】 一般形式： 是常数，且。 · 是二次项， 是二次项系数。 · 是一次项， 是一次项系数。 · 是常数项。 【解题技巧】 1. 去：去分母、去括号。 1. 移：将所有项移到等号左边，使右边为0。 1. 合：合并同类项。 1. 定：按未知数的降幂排列，通常写成 的形式。 【易错点】 · 去括号、移项时符号出错。 · 未将方程化为右边为0的形式。 · 写系数时漏掉前面的符号。 【知识点常考类型】 类型：将方程化为一般形式，并指出各项系数。 【示例与变式】 示例2： 将方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项。 答案解析： 去括号： 移项： 合并同类项： ∴ 一般形式为 。 二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 。 答案：一般形式为 ；系数分别为 ，， 变式2-1： 一元二次方程化为一般形式后，其常数项为（ ） A. 2 B. -2 C. -3 D. -8 答案解析： 去括号： 合并： 移项： 合并： ∴ 常数项为 。 答案：A 模块三：由一元二次方程的定义求参数 【知识点定义概念】 方程 要成为一元二次方程，核心条件是 。 【解题技巧】 对于含参数的方程 ，若它是一元二次方程，则： 1. 令最高次项（项）的系数 。 1. 解这个关于参数的不等式或方程。 【易错点】 · 只考虑未知数的次数，忽略二次项系数不为0的条件。 【知识点常考类型】 类型：根据一元二次方程的定义，求方程中参数的值或取值范围。 【示例与变式】 示例3： 当为何值时，方程是关于的一元二次方程？ 答案解析： 要使该方程为一元二次方程，必须满足： 1. 未知数的最高次数为2，即 ，解得 ，所以 或 。 1. 二次项系数不能为0，即 ，所以 。 综合以上两点，。 答案： 变式3-1： 若关于的方程是一元二次方程，则 ______。 答案解析： 由一元二次方程定义，需满足： 解 得 ，。 由 得 。 ∴ 。 答案： 模块四：判断是否是一元二次方程的解 【知识点定义概念】 方程的解（根）：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值。 【解题技巧】 检验方法：将数值代入原方程。 · 若 左边 = 右边，则是方程的解。 · 若 左边 ≠ 右边，则不是方程的解。 【易错点】 · 代入计算时出错，特别是负数和乘方运算。 【知识点常考类型】 类型：判断一个数是否是一元二次方程的根。 【示例与变式】 示例4： 判断和是不是方程的根。 答案解析： 将代入方程： 左边 ，右边 。 左边 右边，所以是方程的根。 将代入方程： 左边 ，右边 。 左边 右边，所以也是方程的根。 答案： 和 都是方程的根 变式4-1： 已知一元二次方程的一个根为，则的值为（ ） A. 2 B. -2 C. 4 D. -4 答案解析： 将代入方程得： 答案：C 模块五：由一元二次方程的解求参数 【知识点定义概念】 若 是方程 的一个根，则 必定成立。 【解题技巧】 1. 代入：把已知的根代入原方程。 1. 求解：解这个关于参数的新方程。 【易错点】 · 代入后得到关于参数的方程求解错误。 【知识点常考类型】 类型：已知方程的一个根，求方程中的字母参数。 【示例与变式】 示例5： 已知关于的一元二次方程的一个根是，则的值为多少？ 答案解析： 因为是方程的一个根，所以将代入方程，等式成立。 代入得： 计算： 合并： 解得： 答案： 变式5-1： 若是关于的方程的一个解，则的值是多少？ 答案解析： 将代入方程。 解得： 答案： 六、综合练习题 1. 下列关于的方程中，一定是一元二次方程的是（ ） · A. · B. · C. · D. 1. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） · A. · B. · C. · D. 1. 将方程化成一般形式为____________________。 1. 关于的方程是一元二次方程，则的值为______。 1. 已知是方程的一个根，则的值是______。 1. 判断是否是方程的根。 1. 若关于的一元二次方程 的一个解是，则的值是______。 1. 若是方程的一个根，则代数式的值为______。 1. 已知关于的方程。 · (1) 当为何值时，方程为一元一次方程？ · (2) 当为何值时，方程为一元二次方程？ 1. 已知是方程的一个根，求的值。 七、综合练习题答案解析 1. 答案：D · 解析：A项，可能为0；B项，展开后项抵消，变为一元一次方程；C项，分母含未知数，不是整式方程；D项符合定义。 1. 答案：A · 解析：标准形式中，，，。 1. 答案： · 解析：去括号：；移项合并：；得。 1. 答案： · 解析：由定义得 。由得，。由得。故。 1. 答案： · 解析：将代入方程得，即。 1. 答案：是 · 解析：将代入方程左边：。左边=右边=0，故是方程的根。 1. 答案： · 解析：将代入方程得，即，所以。则。 1. 答案： · 解析：因为是方程的根，所以满足，即。则代数式。 1. 答案： · (1) · (2) 且 · 解析： · (1) 方程为一元一次方程，需满足二次项系数为0且一次项系数不为0。 · 即 。由得。由得。故。 · (2) 方程为一元二次方程，需满足二次项系数不为0。 · 即 ，解得 且 。 1. 答案： · 解析：因为是方程的根，所以满足。 · 由此可得两个重要等式： · · (由原方程移项可得) · 将第二个等式代入所求代数式： · · 代入已知值： · · · 答案： 学科网（北京）股份有限公司 $