专题01 一元二次方程重难点题型专训（3个知识点+8大题型+4大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（沪教版2024）

专题01 一元二次方程重难点题型专训 （3个知识点+8大题型+4大拓展训练+自我检测） 题型一 一元二次方程的定义 题型二 化成一元二次方程的一般式 题型三 由一元二次方程的定义求参数 题型四 判断是否是一元二次方程的解 题型五 由一元二次方程的解求参数 题型六 一元二次方程的解的估算 题型七 根据一元二次方程的解代入求值 题型八 根据一元二次方程的解求另一方程的解 拓展训练一 根据一元二次方程的定义求参综合 拓展训练二 根据一元二次方程的解求参综合 拓展训练三 两个一元二次方程解的关联性综合 拓展训练四 一元二次方程的新定义问题 知识点一、一元二次方程的定义 只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程. 判断一个方程是否为一元二次方程，必须抓住以下三个条件：①是整式方程，②只含有一个未知数，③未知数的最高次数是2次的，三个条件，任何一个不满足，则方程不是一元二次方程. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）下列是关于x的一元二次方程的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程需满足：①整式方程；②仅含一个未知数；③未知数的最高次数为2． 根据一元二次方程的定义进行判断即可． 【详解】解：A：，仅为代数式，无等号，不是方程，不符合题意． B：，化简为，未知数次数为1，是一元一次方程，不符合题意． C：含项，分母含未知数，属于分式方程，非整式方程，不符合题意． D：，满足整式方程、仅含x且最高次数为2，符合题意． 故选D． 2．（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）请写出一个有一根为1的一般形式的一元二次方程 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查方程的根的定义，所写的方程只要把代入成立即可．设方程的两根是1和2，因而方程是，化成一般式即可，本题答案不唯一． 【详解】解：设方程的两根是1和2，则根据因式分解法可得方程为， 即． 故答案为：（答案不唯一）． 知识点二、一元二次方程的一般形式 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理后都可以化成的形式，这种形式就叫做一元二次方程的一般形式. 其中，是二次项，是二次项系数；是一次项，b是一次项系数，c是常数项. 1.由一元二次方程定义可知：二次项系数不等于0，一次项系数和常数项均可以等于0，即“，b和c均可以为0”； 2.一般情况下，二次项系数为正数，若二次项系数为负数，可以在方程两边同时乘，使二次项系数变为正数； 3.在求各项系数时，应先把一元二次方程化成一般形式，并且在说明各项系数的时，一定要带上前面的符号. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·上海嘉定·随堂练习）方程化为一般形式后，a，b，c的值为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，解题的关键是熟记一元二次方程一般式的概念．将化为一般形式即可求解． 【详解】解：将化为一般形式为：， 由此可知：，，． 故选：C． 2．（24-25八年级上·上海宝山·期中）一元二次方程化为一般形式是： ． 【答案】 【分析】本题考查的是一元二次方程的一般形式，根据一元二次方程的一般形式直接求出即可． 【详解】解：一元二次方程化为一般形式是， 故答案为：． 知识点三、一元二次方程的根 能使一元二次方程左、右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（根）. 1.一元二次方程根的情况：（关于根的个数判断在后面会详细讲解，这里先做个简单的了解） ①可能有两个不相等的实数根； ②可能有两个相等的实数根； ③可能没有实数根. 2.关于一元二次方程根的结论： ①若，则必有一个根，反之也成立； ②若，则必有一个根，反之也成立； ③若一元二次方程有一个根，则，反之也成立. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·上海嘉定·期末）如果是一元二次方程的一个根，则常数a的值是（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，将代入方程，解关于a的一元一次方程即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， 解得， 故选：D． 2．（24-25八年级上·上海长宁·期末）关于x的一元二次方程的一个根为2，则p的值是 ． 【答案】7 【分析】本题考查了方程根的意义，熟知根的意义是解题的关键．把代入方程进行求解即可． 【详解】关于x的一元二次方程的一个根为2， ， 解得． 故答案为：7． 【经典例题一 一元二次方程的定义】 【例1】（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）下列方程中是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，未知项的最高次数是的整式方程是一元二次方程，解决本题的关键是根据一元二次方程的定义进行判断． 【详解】解：A选项：方程中只含有一个未知数，未知项的最高次数是，是整式方程，所以方程是一元二次方程，故A选项符合题意； B选项：方程中含有二个未知数，未知项的最高次数是，所以方程不是一元二次方程，故选项B不符合题意； C选项：方程中的未知数在分母的位置，是分式方程，不是一元二次方程，故C选项不符合题意； D选项：方程整理后得到：，整理后是一元一次方程，不是一元二次方程，故D选项不符合题意． 故选：A． 1．（24-25八年级上·上海静安·期中）关于x的一元二次方程的一次项系数为4，则m的值为（　　） A．3 B．0 C．3或－3 D．0或3 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，及一元二次方程的定义，根据一元二次方程的一般形式可知，一元二次方程的二次项系数不能为0以及题干中方程的二次项系数是确定，另外一次项系数等于4，确定，据此解答． 【详解】解：∵一元二次方程的一次项系数等于4， ∴ 即， ∴或． 又∵二次项系数不为0， ∴， 解得， ∴． 故选：A． 2．（24-25八年级上·上海长宁·期末）写出一个二次项系数为，且一根为的一元二次方程是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解答本题的关键．根据一元二次方程的一般形式写出符合题意的方程即可． 【详解】解：由题意知二次项系数为，且一根为的一元二次方程可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 3．（24-25八年级上·上海金山·阶段练习）若关于x的方程：是一元二次方程，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】方程可整理为，再根据一元二次方程定义直接列式即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴ ∵是关于的一元二次方程， ∴， 则， 故答案为：． 【点睛】本题考查根据一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义：是解决问题的关键． 4．（24-25八年级上·上海青浦·课后作业）方程． （1）m取何值时，方程是一元二次方程，并求此方程的解； （2）m取何值时，方程是一元一次方程． 【答案】（1）m=－4，x=±1；（2）m=2或m=1或m=－3 【分析】（1）根据一元二次方程的定义得到：m﹣2≠0且，解答即可； （2）根据一元一次方程的定义得到：m－2=0或且2m+2≠0． 【详解】（1）依题意得：m﹣2≠0且，解得：m=－4，此时方程为：，解得：x=±1．即当m=－4时，它是一元二次方程，方程的解为x=±1． （2）依题意得：m－2=0，或且2m+2≠0，解得：m=2或m=1或m=－3． 即当m=2或m=1或m=－3时，它是一元一次方程． 【点睛】本题考查了一元一次方程和一元二次方程的定义，属于基础题，掌握定义即可正确解答该题． 【经典例题二 化成一元二次方程的一般式】 【例2】（24-25八年级上·上海松江·期中）已知一元二次方程的二次项系数为1，一次项系数、常数项分别是（   ） A．3、5 B．、5 C．3、 D．、 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式：，其中叫做二次项，a为二次项系数；叫做一次项，b为一次项系数；c为常数项，熟练掌握知识点是解题的关键．先将原方程化为一般形式，再求解即可． 【详解】解：将化为一般式为， ∴一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是， 故选：D． 1．（24-25八年级上·上海普陀·期中）方程化为一元二次方程的一般形式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，首先利用单项式乘以多项式把等号左边展开，然后移项，把等号右边化为，再化简即可．解题的关键是掌握：任何一个关于的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式，这种形式叫一元二次方程的一般形式． 【详解】解：， ，即， ∴， ∴方程化为一元二次方程的一般形式是． 故选：A． 2．（24-25八年级上·上海徐汇·期中）方程化为一般形式后，当二次系数为正数时，一次项系数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式及有关概念，先移项，得到其一般式，由此得到答案． 【详解】解：， 移项，得， 它的一次项系数是， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·上海奉贤·阶段练习）一元二次方程化成一般形式后，二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 ． 【答案】 2 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握形如的式子叫做一元二次方程是解题的关键． 先将方程化为一般形式，即可求解． 【详解】解：将方程化成一般形式为， ∴二次项系数为2，一次项系数为，常数项为． 故答案为：． 4．（24-25八年级上·上海嘉定·课后作业）已知关于x的一元二次方程没有实数根，甲由于看错了二次项系数，误求得两根为1和4；乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为和，则的值为 ． 【答案】或 【分析】先利用两根分别表示出错误的方程为：对于甲：设，得： ；对于乙：设，得：，乙的错误不可能是看错了一次项系数的符号，分两种情况：①若乙看错了二次项系数的符号，那么甲和乙的方程里面一次项和常数项分别相等；②若乙看错了常数项的符号，那么甲和乙的方程里面一次项相等，常数项互为相反数，分别求出的关系，再用表示出，求代数式的值即可． 【详解】解：对于甲：设，得： ； 对于乙：设，得：， 分情况讨论： ①若乙看错了二次项系数的符号，那么， 解得：，不符合题意，舍去； ②若乙看错了常数项的符号，那么， 解得：， 则 ； ③若乙看错了一次项的符号，那么 解得：， 则 ； 故答案为：或． 【点睛】本题考查了一元二次方程的特点，以及方程之间的关系，需要利用方程的两根来表示出两个错误的方程，并通过比较后，得出初步判断为无论怎么错误，甲和乙的方程里面常量相等这个关键的等量关系，然后通过等量代换求解． 【经典例题三 由一元二次方程的定义求参数】 【例3】（24-25八年级上·上海宝山·期末）关于x的一元二次方程不含x的一次项，则（　　） A．3 B．1 C．0 D．4 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的定义，理解一元二次方程的基本定义是解题关键．根据一次项的定义先确定一次项，然后确定系数即可． 【详解】解 ：∵一元二次方程，即不含x的一次项， ∴， ∴， 故选A． 1．（2025八年级上·上海嘉定·专题练习）若关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（　　） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义以及判别式的应用，根据题意得出，，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】 解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴，， ∴m且． 故选：D． 2．（24-25八年级上·上海崇明·期中）把方程化成一般式得，则的值为 ． 【答案】3 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式为．先去括号，再移项，再合并同类项，即可答案． 【详解】解：， ， ， ， ∵把方程化成一般式得， ∴ ∴． 故答案为：3． 3．（24-25八年级上·上海宝山·期中）若关于的一元二次方程化成一般形式后，其二次项系数为1，常数项为 ，则该方程中的一次项系数为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，先把原方程进行化简整理，从而可得，然后根据题意可得，从而可得：，再把a的值代入中，进行计算即可解答． 【详解】解：， ， ， ， 由题意得：， 解得：， ∴该方程中的一次项系数， 故答案为：5． 4．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）已知关于x的一元二次方程，如果a，b，c满足，我们就称这个一元二次方程为波浪方程． (1)判断方程是否为波浪方程，并说明理由． (2)已知关于x的波浪方程的一个根是，求a，b的值； (3)若一个波浪方程的两个根分别为，，求这个波浪方程． 【答案】(1)方程为波浪方程，理由见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解的定义，波浪方程的定义，熟知波浪方程的定义是解题的关键： （1）直接根据波浪方程的定义判断即可； （2）先根据波浪方程的定义得到，再由一元二次方程的解的定义得到，据此联立①②求解即可； （3）根据根与系数的关系推出，根据波浪方程的定义得到，据此得到关于m的方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：方程为波浪方程，理由如下： 由题意得，， ∴， ∴方程为波浪方程， （2）解：∵关于x的方程为波浪方程， ∴，且， ∴， ∵是关于x的方程的一个根， ∴， 联立①②解得； （3）解：∵一个波浪方程的两个根分别为，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴这个波浪方程为． 【经典例题四 判断是否是一元二次方程的解】 【例4】（24-25八年级上·上海松江·期末）若关于的一元二次方程满足，则该一元二次方程的根是（　　） A．1，2 B．1，0 C．，0 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的根，熟练掌握一元二次方程的根是解题的关键 根据当时，；当时，作答即可． 【详解】解：∵， ∴当时，；当时，， ∴方程的根是或， 故选：D． 1．（24-25八年级上·上海虹口·期中）若一元二次方程有一个根是，则这个方程可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．根据一元二次方程的解的定义判断即可． 【详解】解：A、当时，，则不是方程的根，本选项不符合题意； B、当时，，则是方程的根，本选项符合题意； C、当时，，则不是方程的根，本选项不符合题意； D、当时，，则不是方程的根，本选项不符合题意； 故选：B． 2．（24-25八年级上·上海闵行·期末）请写出一个关于的一元二次方程，使该方程有一个正根和一个负根，那么这个方程可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了一元二次方程根，根据一元二次方程有一个正根和一个负根解答即可，掌握因式分解的应用是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程有一个正根和一个负根， ∴这个方程可以是， 即， 故答案为：． 3．（2025·上海松江·模拟预测）若是方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程根和系数的关系，代数式求值，由一元二次方程根的定义和一元二次方程根和系数的关系可得，，，再把代数式转化为，最后代入计算即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ∴，，， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（2025·上海闵行·模拟预测）已知关于x的方程有两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围； (2)若，且k和方程的根都是整数，则_________． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了由一元二次方程根的判别式求参数的取值范围，一元二次方程根的定义，掌握根的判别式是解题的关键． （1）方程化为：，由一元二次方程根的判别式：时，方程有两个不相等的实数根；据此即可求解； （2）根据题意可得是整数的平方，再根据结合（1）中，进行逐一判断即可求解． 【详解】（1）解：方程化为：， 一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得：， 故的取值范围：． （2）解：方程的根都是整数， 是整数的平方， ， 取，， 由（1）知， ∴． 【经典例题五 由一元二次方程的解求参数】 【例5】（2025·上海嘉定·模拟预测）已知一元二次方程有一个根是2，则的值为（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程中计算求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程有一个根是2， ∴， ∴， 故选：B． 1．（24-25八年级上·上海闵行·期中）已知关于的方程与有相同的解，则与之间的等量关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元二次方程，首先解两个方程，找到它们的解，再根据有相同解的条件建立关于和的关系式． 【详解】解：解方程，得和． 解方程，得． 若是第二个方程的解，则． 若是第二个方程的解，则． ∴或， ∴或即． 故选：D． 2．（2025八年级上·上海普陀·模拟预测）已知m为方程的根，那么的值为 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，代数式求值，一元二次方程的解是使方程两边相等的未知数的值，则，进而可得，，进一步可得，再把所求式子变形为，据此求解即可． 【详解】解：∵m为方程的根， ∴， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：0． 3．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）已知关于的一元二次方程有一个根为． （1）用含的式子表示，则 ． （2）若是一元二次方程的另一个根，则 ． 【答案】 / 【分析】本题考查一元二次方程根的定义及根与系数的关系， （1）根据一元二次方程根的定义将代入方程即可得出结论； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，再结合（1）结论即可得解； 解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，． 【详解】解：（1）∵是关于的一元二次方程的一个根， ∴， ∴， 故答案为：； （2）由题意知：关于的一元二次方程两个根为和， ∴，即， 由（1）知：， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·上海闵行·期中）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个实数根，求的范围； (2)设方程的两个实数根是，，若，试求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解， （1）根据方程的根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围；（2）根据一元二次方程的解，可得出，，将其代入，可得出，再结合（1）中的取值范围即可得到的取值范围； 解题的关键：（1）利用根的判别式可确定的取值范围；（2）利用一元二次方程的解得出，． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程即有两个实数根， ∴， ∴解得：， ∴的范围是； （2）∵，是方程的两个实数根 ∴，， ∴ ∵， ∴． 【经典例题六 一元二次方程的解的估算】 【例6】（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）根据下表中的对应值，判断方程的一个解的范围是（    ） x A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的近似解，找到相近的函数值分别为正值、负值对应的自变量即可求解． 【详解】解：∵当时，； 当时，； ∴方程的一个解的范围是 故选：C 1．（24-25八年级上·上海嘉定·课后作业）输入一组数据，按下列程序进行计算，输出结果如下表： 输出 分析表格中的数据，估计方程的一个正数解的大致范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解，根据表格得，当时，，即，从而可以判断时的大致范围，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】根据表格得，当时，， 即， ∴方程的正数解的大致范围为， 故选：． 2．（24-25八年级上·上海宝山·期中）探索一元二次方程的一个正数解的过程如表： x 0 1 2 3 4 5 13 23 可以看出方程的一个正数解应界于整数a和整数b之间，的值为 ． 【答案】3 【分析】观察图表，确定的值为0时的范围，然后确定对应的的范围，进而可得结果． 【详解】解：由图表可知，， ∴对应的的范围为， ∴，， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解．解题的关键在于理解一元二次方程的解的含义． 3．（24-25八年级上·上海松江·期中）根据表格对应值： 判断关于x的方程的一个解x的范围是 ． 【答案】 【分析】结合表格可知：当时，；当时，；所以方程的一个解x的范围为：． 【详解】解：由表格可知： 当时，； 当时，； ∴方程的一个解x的范围为：． 故答案为： 【点睛】本题考查一元二次方程的根，解题的关键是理解方程根的定义，找出当时，；当时，． 4．（24-25八年级上·上海嘉定·单元测试）小贝在做“一块矩形铁片，面积为，长比宽多，求铁片的长”时是这样做的：设铁片的长为，列出的方程为，整理，得小贝列出方程后，想知道铁片的长到底是多少下面是它的探索过程： 第一步：           所以 第二步：                          所以 ． (1)请你帮小贝填完空格，完成她未完成的部分． (2)通过以上探索，可以估计出矩形铁片的长的整数部分为多少十分位为多少 【答案】(1)见解析 (2)矩形铁片的长的整数部分为3，十分位为3 【分析】本题考查了求一元二次方程的近似解，解题的关键是掌握求一元二次方程近似解的方法和步骤． （1）分别计算当、、、时代数式的值，即可补充表格； （2）根据（1）中得出的x的取值范围，即可解答． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴补充表格如下： 第一步：           3 所以 第二步：                          所以 ． （2）解：由（1）可得：， ∴矩形铁片的长的整数部分为3，十分位为3． 【经典例题七 根据一元二次方程的解代入求值】 【例7】（24-25八年级上·上海松江·期末）问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的一半． 解：设所求方程的根为，则，所以．把代入已知方程，得，化简，得所求方程为．这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 应用：已知方程，求一个关于的一元二次方程，使它的根是已知方程根的相反数，则所求方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意得到，代入求解即可； 【详解】由题意可知：， ∴， ∴； 故答案选A． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，关键是根据已知条件找出x，y的关系． 1．（24-25八年级上·上海静安·阶段练习）若 代入的一个根，则 m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的根，将代入方程即可求出答案． 【详解】解：将代入， ∴， ∴， 故答案为： 2．（2025八年级上·上海嘉定·专题练习）判断根的方法：分别将未知数的值代入原方程，看左右两边 ， 则是，否则不是． 【答案】 是否相等 相等 【分析】根据方程的解的定义的判定即可求解． 【详解】判断根的方法∶分别将未知数的值代入原方程，看左右两边是否相等，相等则是，否则不是． 故答案为：是否相等，相等 【点睛】本题考查了方程的解，解题的关键是掌握方程的根满足两个条件：（1）根就是未知数的值；（2）使方程两边相等． 3．（2025八年级上·上海·专题练习）阅读下题的材料： 已知：是一元二次方程的根，求的值． 小明是这样做的：将代入中，得到；两边同时除以，得到；解得． 小芳觉得小明的做法不对，将其改为：将代入中，得到；移项，得；解得，，．你认为他们两人的做法正确吗？说明理由． 【答案】都不对，见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程的定义，由是关于的方程的一个根可得，接着对进行因式分解为，可求出的值；根据方程是一元二次方程可知：二次项系数，据此可得到的取值． 【详解】解：两人的做法都不对． 不能直接约去，因为有可能有0． 正确的解答：把代入，化简，得 ， ， 或，， 解得或，． 是一元二次方程， ， 或． 4．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）【阅读材料】 【问题】已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以，把，代入已知方程，得． 化简，得，故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）： 【类比探究】 （1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为_______； 【拓展运用】 （2）已知关于的一元二次方程有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数． 【答案】类比探究（1）；拓展运用（2）所求方程为 【分析】本题考查了一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，本题是一道材料题，解题时，要提取材料中的关键性信息． （1）利用题中的方法，设所求方程的根为，则，把代入已知方程得出，即可得解； （2）利用题中的方法，所求方程的根为，则，于是，把代入方程得，化为整式方程即可得出答案． 【详解】解：【类比探究】（1）设所求方程的根为，则， ， 把代入方程，得：， 故答案为：； 【拓展运用】（2）设所求方程的根为，则，于是， 把代入方程，得， 去分母，得， 若，有，于是，方程有一个根为，不合题意， ∴，故所求方程为． 【经典例题八 根据一元二次方程的解求另一方程的解】 【例8】（2025·上海徐汇·模拟预测）已知是关于x的方程的一个解，该方程的另一个解为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的解，一元二次方程解的判别式，一元二次方程的解与系数的关系．分别根据一元二次方程的解，一元二次方程解的判别式，一元二次方程的解与系数的关系逐项判断即可． 【详解】解：是方程的解， ， ，故A错误； 由题意得，该方程有两个实数根， ， ∴，故B错误； 的两个解为，， ， ，故C正确，D错误． 故选：C． 1．（24-25八年级上·上海宝山·期中）已知一元二次方程x2﹣6x+c＝0有一个根为2，则另一根及c的值分别为（　　） A．2，8 B．3，4 C．4，3 D．4，8 【答案】D 【分析】设方程的另一个根为t，根据根与系数的关系得到t+2＝6，2t＝c，然后先求出t，再计算c的值． 【详解】解：设方程的另一个根为t， 根据题意得t+2＝6，2t＝c， 解得t＝4，c＝8． 故选：D． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=-，x1x2=． 2．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）已知关于的方程的一个根为1，则该方程的另一根为 ． 【答案】 【分析】设该方程的两根为x1、x2，根据一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与积，结合“已知关于x的方程的一个根是1”即可解答． 【详解】解：设该方程的两根为x1，x2， 则x1+x2＝﹣a，x1x2＝a-2 ∵该方程的一个根为x1=1， ∴1+x2＝﹣a， ∴x2＝a-2， ∴-a-1=a-2， 解得a= ∴x2＝a-2 =-2 =． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了根与系数的关系、一元二次方程的解等知识点，正确掌握一元二次方程根与系数的关系是解答本题的关键． 3．（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）已知方程的一个根，则方程的另一根为 ，的值为 ． 【答案】 【分析】根据根与系数的关系，可求出两根的和与两根的积，将已知的根代入即可求出另一根及m的值． 【详解】解：设原方程的两根为x1、x2； 则：x1+x2=3，x1x2=m； ∵x1=-2， ∴x2=3-x1=5，m=x1x2=-10； 即方程的另一根是5，m的值为-10． 故答案为5，-10． 【点睛】此题主要考查的是一元二次方程根与系数的关系．利用根与系数的关系可以简化计算过程，已知方程的一根球未知系数以及方程的另一根是中考中常见的题型，需要熟练掌握． 4．（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）已知关于的一元二次方程． (1)若是这个方程的一个根，求的值和另一根． (2)当这个方程有两个不相等的实数根时，求的取值范围． 【答案】(1)，方程的另一根是 (2) 【分析】此题考查一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解，解题的关键是掌握根的判别式与根的个数之间的关系． （1）将代入求出m的值，再解一元二次方程即可； （2）求出根的判别式，令根的判别式大于0，解不等式即可． 【详解】（1）解：∵是这个方程的一个根， ∴． ∴． ∴原方程为， ∴， ∴或， 解得， 即方程的另一根是． （2）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴． ∴． 【拓展训练一 根据一元二次方程的定义求参综合】 1．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）若关于的一元二次方程． 有两个实数根，则实数的取值范围是 （    ） A． B．且 C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程的定义以及根的判别式的意义可得且，求出的取值范围即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个实数根， ∴， ∴且， 故选：C． 2．（24-25八年级上·上长宁·期中）如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，二次根式的意义，理解和掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 利用一元二次方程的定义、二次根式的意义以及根的判别式的意义得到，，且，然后求出不等式的公共部分即可． 【详解】解：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：且． 故答案为：且． 3．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）已知关于的一元二次方程． (1)求的值； (2)解这个一元二次方程． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据一元二次方程的定义（含有一个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程）进行解答即可； （2）利用公式法求解即可． 本题考查了一元二次方程的定义以及解一元二次方程，解题时，要注意两个方面：1、一元二次方程包括三点：①是整式方程，②只含有一个未知数，③所含未知数的项的最高次数是2；2、一元二次方程的一般形式是． 【详解】（1）解：依题意，得， 解得． ∴a的值为3． （2）解：把代入原方程，得， ， ， 解得，． 【拓展训练二 根据一元二次方程的定义求参综合】 1．（24-25八年级上·上海虹口·期末）已知关于x的一元二次方程： ①若方程的两个根为和1，则； ②若，则方程有一根为； ③无论或，方程都有两个不相等的实数根； ④若是方程的一个根，则式子一定成立． 以上说法正确的有（   ） A．①②③ B．②③ C．②③④ D．③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解与根的判别式等知识，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系，灵活应用方程的根与等式的变形是解题关键． ①利用根与系数关系求出b、c表达式，验证等式是否成立； ②代入验证是否满足方程； ③根据所给式子，利用判别式分别对方程的根的情况进行判断即可； ④将所求式子作差，判断差的情况即可． 【详解】解：①∵方程的两个根为和1， ∴ ， ，∴，， ∴，故说法①不正确； ②若，代入得，即方程有一根为，故②正确； ③当时，，所以该方程必有两个不相等的实数根， 当时，，所以该方程必有两个不相等的实数根， 故说法③正确； ④∵是方程的一个根，∴ ， ∵ ∴，故说法④正确． 综上，正确说法为②③④， 故选：C． 2．（24-25八年级上·上海松江·期末）已知下面三个关于的一元二次方程，，恰好有一个相同的实数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，把代入，，，然后三个等式相加可得，然后进行确定，从而求解，解题的关键是正确理解使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解． 【详解】解：把代入，，得： ，，， 得：， ∴， ∵， ∴， 故答案是：． 3．（24-25八年级上·上海静安·期中）已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围； (2)若是方程的一个实数根，且满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了根的判别式，因式分解法解一元二次方程，掌握方程根的情况与跟的判别式的关系是解题的关键． （1）由方程根的情况，根据判别式可得到关于的不等式，则可求得的取值范围； （2）由方程根的定义，可用表示出，代入已知等式可得到关于的方程，则可求得的取值范围． 【详解】（1）根据题意，得， ， ； （2）解：是方程的一个实数根， ， 则， ， ， ， 解得或（舍） ． 【拓展训练三 两个一元二次方程解的关联性综合】 1．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）已知一元二次方程满足，且有两个相等的实数根，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查根的判别式．根据题意得出，，，再由有两个相等的实数根可知，即可得出本题答案． 【详解】解：由题意知，， ∴，，． ∵一元二次方程有两个相等的实数根，， ∴， ∴，故选项A正确，不符合题意； ∵一元二次方程有两个相等的实数根，， ∴， ∴，故选项B正确，不符合题意； ∵一元二次方程有两个相等的实数根，， ∴， ∴，故选项C正确，不符合题意； ∵一元二次方程有两个相等的实数根，， ∴， ∴． 又∵，， ∴，故选项D错误，符合题意． 故选：D． 2．（2025·上海闵行·模拟预测）阅读理解：已知实数m，n满足，且，可以把m，n看成是方程的两个不相等的实数根，根据根与系数的关系可得，． 类比探究：已知实数m，n满足，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程．根据题意得到m，是方程的实数根，解方程得到解为，根据m，n的取值分情况讨论即可． 【详解】解：∵实数m，n满足， ∴m，是方程的实数根， 解方程得， ∴分情况讨论： ①若，则； ②若，则 若，，，不合题意，舍去； 若，，，不合题意，舍去． 综上所述，． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·上海崇明·期中）定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中，，为常数（且）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的倒方程是________； (2)若是一元二次方程的倒方程的解，求出的值； (3)若，是一元二次方程的倒方程的两个不相等的实数根，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3)53 【分析】此题考查了新定义——倒方程、一元二次方程的根的概念以及根与系数的关系．理解新定义，一元二次方程根的概念以及根与系数关系，是解题的关键． （1）根据新定义的含义可得答案； （2）根据题意得到方程的倒方程为，把代入即可得到c的值； （3）根据题意得到方程的倒方程为，再结合方程根的性质以及根与系数关系求解即可． 【详解】（1）解：根据新定义，方程的倒方程是：； 故答案为：； （2）解： 由题知，方程的倒方程为， 将代入此方程得，，解得； （3）解：由题知，一元二次方程的倒方程是， ∵，是此方程的两个不相等实数根， ∴，，， ∴， ∴ ． 【拓展训练四 一元二次方程的新定义问题】 1．（24-25八年级上·上海嘉定·单元测试）定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足a﹣b+c=0那么我们称这个方程为“美好”方程，如果一个一元二次方程2x2+mx+n=0既是“和谐”方程又是“美好”方程，则mn值为（    ） A．2 B．0 C．﹣2 D．3 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的定义，可判定“和谐”方程的一个根为1，“美好”方程的一个根为-1，则2+m+n=0，2-m+n=0，然后求出m、n的值后计算mn的值． 【详解】解：根据题意得“和谐”方程的一个根为1，“美好”方程的一个根为-1， 所以一元二次方程2x2+mx+n=0的根为1和-1， 所以2+m+n=0，2-m+n=0，解得m=0，n=-2， 所以mn=0． 故选B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 2．（24-25八年级上·上海宝山·期中）定义新运算：，若，是关于一元二次方程的两实数根，则的值为 ． 【答案】0 【分析】由a、b是关于一元二次方程的两实数根，可得出a2-a=-m、b2-b=-m，根据定义新运算的定义式，将b*b-a*a展开，代入数据即可得出结论． 【详解】解：∵a、b是关于一元二次方程的两实数根， ∴a2-a=-m，b2-b=-m， ∴b*b-a*a=b（b-1）-a（a-1）=b2-b-（a2-a）=-m-（-m）=0． 故答案为：0． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解以及实数的运算，根据一元二次方程的解找出a2-a=-m，b2-b=-m，是解题的关键． 3．（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）定义一种新运算“a*b”：当a≥b时，a*b＝a＋3b；当a＜b时，a*b＝a－3b，例如：3*（﹣4）＝3＋（﹣12）＝﹣9，（﹣6）*12＝﹣6－36＝﹣42 (1)x2*（x2﹣2）＝30，则x＝ ； (2)小明在计算（﹣3x2＋6x﹣5）*（﹣x2＋2x＋3）随取了一个x的值进行计算，得到的结果是40，小华说小明计算错了，请你说明小华是如何判断的． 【答案】(1)±3 (2)见解析 【分析】（1）认真阅读题目，理解新运算的定义，然后计算即可； （2）先判断出（﹣3x2＋6x﹣5）与（﹣x2＋2x＋3）大小关系，然后根据新运算定义计算． 【详解】（1）解：∵x2*（x2﹣2）＝30，x2≥（x2﹣2） ∴x2＋3（x2－2）＝30，解得x＝±3， 故答案为：±3． （2）解：∵（﹣3x2+6x﹣5）－（﹣x2+2x+3）＝﹣2x2+4x﹣8＝﹣2（x﹣1）2﹣6＜0， ∴﹣3x2+6x﹣5＜﹣x2+2x+3， （﹣3x2+6x﹣5）*（﹣x2+2x+3）＝（﹣3x2+6x﹣5）﹣3（﹣x2+2x+3）＝﹣3x2+6x﹣5+3x2﹣6x﹣9＝﹣14， ∵化简后的结果与x取值无关， ∴不论x取何值，结果都应该等于﹣14，不可能等于40， ∴小华说小明计算错误． 【点睛】本题考查解一元二次方程的能力和新定义的应用，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 1．（24-25八年级上·上海静安·期中）下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的定义即形如的整式方程叫做一元二次方程判断． 本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解： A. ，不是一元二次方程，不符合题意； B. ，是一元二次方程，符合题意； C. ，不是整式方程，不符合题意；     D. ，是一元一次方程，不符合题意； 故选：B． 2．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A．2，1，5 B．2，1， C．2，0， D．2，0，5 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式．根据一元二次方程的一般形式：（，，是常数且）中，叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，直接进行判断即可． 【详解】解：一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是2，1，． 故选：B． 3．（24-25八年级上·上海虹口·期中）已知关于的一元二次方程的常数项是，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式和一元二次方程的定义，首先要把方程化成一般形式即可求解，解题的关键是理解，一元二次方程的一般形式是：（，，是常数且）特别要注意的条件，其中叫二次项，叫一次项，是常数项，其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】解：由得，， ∵的常数项是， ∴，解得：， 故选：． 4．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）根据下列表格中的对应值，可以判断关于的一元二次方程的一个解的范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据表格中与的值的特征，确定出解的范围即可． 【详解】解：根据表格得： 当时，， 当时，， 则关于的一元二次方程的一个解的范围是． 故选：C． 【点睛】此题考查了估算一元二次方程的近似解，弄清表格中的数据是解本题的关键． 5．（24-25八年级上·上海虹口·期末）列表法解方程，可能不是最直接或最高效的方法，但在某些情况下，它可以作为一种可视化的工具来帮助我们理解方程的解，如下表，根据表格可知方程：的解是（   ） -2 -1 0 1 2 3 … 6 2 0 0 2 6 … A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，解决此题的关键是正确的理解方程解的定义． 由方程可以转化为，从表格中我们可以找到当或时，的值为6，即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴ 由表格可知，当或时，的值为6， ∴或， 故选：D 6．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）方程是关于一元二次方程，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，解题的关键是根据一元二次方程定义确定方程中未知数的最高次数以及二次项系数的条件． 根据一元二次方程的定义，方程中未知数最高次数为2且二次项系数不为0，据此确定a的值． 【详解】根据题意可得： 未知数的最高次数，即， 二次项系数，即， 综合以上两个条件，只能取， 故答案为：． 7．（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）已知一元二次方程的二次项系数为3，则一次项系数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，多项式的项和单项式的系数等知识点，注意：找多项式的项或项的系数时，带着前面的符号．根据一元二次方程的一般形式得出答案即可． 【详解】解：∵一元二次方程的二次项的系数为3， ∴一次项的系数为， 故答案为：． 8．（24-25八年级上·上海奉贤·期中）若关于的一元二次方程化成一般形式后二次项的系数为，一次项的系数为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，先把方程化成一般式，再根据题意解答即可求解，掌握一元二次方程的一般式是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ∵化成一般形式后二次项的系数为，一次项的系数为， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（24-25八年级上·上海宝山·期中）“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程．”这是我国古代著名数学家刘徽对《九章算术》中方程一词给出的注释．对于一些特殊的方程，我们给出定义：若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”，已知关于x的一元二次方程和一元一次方程为“相伴方程”，则c的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了解一元一次方程，一元二次方程的解，先解一元一次方程得出，再结合题意得出是一元二次方程的解，代入计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：解方程可得：， ∵关于x的一元二次方程和一元一次方程为“相伴方程”， ∴是一元二次方程的解， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（24-25八年级上·上海嘉定·期末）若定义：方程是方程的“倒方程”．则下列四个结论： ①如果是的倒方程的一个解，则． ②一元二次方程与它的倒方程有公共解． ③若一元二次方程无解，则它的倒方程也无解． ④若，则与它的倒方程都有两个不相等的实数根．上述结论正确的有 ．（填序号即可） 【答案】②③④ 【分析】本题考查了一元二次方程的解，以及根的判别式．根据倒方程的定义和一元二次方程根的定义对①进行判断；一元二次方程与它的倒方程有公共解，可以判定②正确；利用倒方程的定义和根的判别式的意义对③④进行判断． 【详解】解：①的倒方程为， 把代入方程得， 解得，所以原说法错误； ②一元二次方程与它的倒方程有公共解，公共解是， 原说法正确； ③若一元二次方程无解，则其判别式小于0，而倒方程的判别式和原方程的判别式相同，则其值也小于0，故它的倒方程也无解，原说法正确，； ④当时，一元二次方程的根的判别式， 也为一元二次方程，此方程的根的判别式， 所以这两个方程都有两个不相等的实数根，所以④正确，符合题意； 故答案为：②③④． 11．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）已知关于的方程（为常数）是一元二次方程，则应该满足什么条件？ 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此求解即可． 【详解】解：∵关于的方程（为常数）是一元二次方程， ∴， ∴． 12．（2025·上海松江·模拟预测）先化简，再求值： ．其中m是方程的根． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，一元二次方程解的定义．先计算括号内的，再计算除法，然后根据一元二次方程解的定义可得，然后代入，即可求解． 【详解】解：                      ． ∵是方程的根， ∴， ∴原式． 13．（24-25八年级上·上海静安·期末）已知是关于x的一元二次方程的两实根． (1)求k的取值范围； (2)若是方程的根，求k的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式和己知方程的根求参数，熟练掌握根的判别式是解题的关键， （1）根据方程有两实根可得，代入数值解不等式即可得到答案； （2）由是方程的根，代入即可求k的值． 【详解】（1）解：∵有两实根， ∴， ∴， 解得：， （2）解：∵是方程的根， ∴， 解得：或． 14．（2025·上海宝山·模拟预测）关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)如果是符合条件的最大整数，且一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（）根据，解不等式即可求解； （）求出，解方程求出或，代入方程求出的值即可； 本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解和定义，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可得， ， ∴； （2）解：∵，是符合条件的最大整数， ∴， ∴方程为， 解得，， ∵一元二次方程与方程有一个相同的根， 当时，， 解得； 当时，， 解得， ∵， ∴， ∴舍去； ∴． 15．（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）阅读与思考： 下面是小华求一元二次方程的近似解的过程． 如图，这是一张长、宽的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样大小的正方形，可制成一个底面积是的无盖长方体纸盒．小华在做这道题时，设剪去的正方形边长为，列出关于x的方程，整理得．    他想知道剪去的边长到底是多少，下面是他的探索过程． 探索方程的解： 第一步： x 0 1 2 17 9 因此：____________． 第二步： x 1.5 1.6 1.7 1.8 0.75 0.36 因此：____________. （1）请你帮助小华完成表格中未完成的部分，并写出x的范围； （2）通过以上探索，请直接估计出x的值．（结果保留一位小数） 【答案】（1），，，，（2） 【分析】 （1）第一步: 代入及, 可求出的值, 进而可得出;第二步: 根据及时, 的值，进而可得出； （2）由的结论, 可得出的值约为. 【详解】 解：（1）第一步: 当时, ， 当时, , ∴； 第二步: 当时,， 当时,， ∴ . 故答案为：，，，； （2）通过以上探索,的值约为. 【点睛】 本题考查了估算一元二次方程的近似解，熟练掌握用列举法估算一元二次方程的近似解的方法是解题的关键. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 一元二次方程重难点题型专训 （3个知识点+8大题型+4大拓展训练+自我检测） 题型一 一元二次方程的定义 题型二 化成一元二次方程的一般式 题型三 由一元二次方程的定义求参数 题型四 判断是否是一元二次方程的解 题型五 由一元二次方程的解求参数 题型六 一元二次方程的解的估算 题型七 根据一元二次方程的解代入求值 题型八 根据一元二次方程的解求另一方程的解 拓展训练一 根据一元二次方程的定义求参综合 拓展训练二 根据一元二次方程的解求参综合 拓展训练三 两个一元二次方程解的关联性综合 拓展训练四 一元二次方程的新定义问题 知识点一、一元二次方程的定义 只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程. 判断一个方程是否为一元二次方程，必须抓住以下三个条件：①是整式方程，②只含有一个未知数，③未知数的最高次数是2次的，三个条件，任何一个不满足，则方程不是一元二次方程. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）下列是关于x的一元二次方程的是（  ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）请写出一个有一根为1的一般形式的一元二次方程 ． 知识点二、一元二次方程的一般形式 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理后都可以化成的形式，这种形式就叫做一元二次方程的一般形式. 其中，是二次项，是二次项系数；是一次项，b是一次项系数，c是常数项. 1.由一元二次方程定义可知：二次项系数不等于0，一次项系数和常数项均可以等于0，即“，b和c均可以为0”； 2.一般情况下，二次项系数为正数，若二次项系数为负数，可以在方程两边同时乘，使二次项系数变为正数； 3.在求各项系数时，应先把一元二次方程化成一般形式，并且在说明各项系数的时，一定要带上前面的符号. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·上海嘉定·随堂练习）方程化为一般形式后，a，b，c的值为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（24-25八年级上·上海宝山·期中）一元二次方程化为一般形式是： ． 知识点三、一元二次方程的根 能使一元二次方程左、右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（根）. 1.一元二次方程根的情况：（关于根的个数判断在后面会详细讲解，这里先做个简单的了解） ①可能有两个不相等的实数根； ②可能有两个相等的实数根； ③可能没有实数根. 2.关于一元二次方程根的结论： ①若，则必有一个根，反之也成立； ②若，则必有一个根，反之也成立； ③若一元二次方程有一个根，则，反之也成立. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·上海嘉定·期末）如果是一元二次方程的一个根，则常数a的值是（    ） A．2 B． C． D．4 2．（24-25八年级上·上海长宁·期末）关于x的一元二次方程的一个根为2，则p的值是 ． 【经典例题一 一元二次方程的定义】 【例1】（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）下列方程中是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·上海静安·期中）关于x的一元二次方程的一次项系数为4，则m的值为（　　） A．3 B．0 C．3或－3 D．0或3 2．（24-25八年级上·上海长宁·期末）写出一个二次项系数为，且一根为的一元二次方程是 ． 3．（24-25八年级上·上海金山·阶段练习）若关于x的方程：是一元二次方程，则a的取值范围是 ． 4．（24-25八年级上·上海青浦·课后作业）方程． （1）m取何值时，方程是一元二次方程，并求此方程的解； （2）m取何值时，方程是一元一次方程． 【经典例题二 化成一元二次方程的一般式】 【例2】（24-25八年级上·上海松江·期中）已知一元二次方程的二次项系数为1，一次项系数、常数项分别是（   ） A．3、5 B．、5 C．3、 D．、 1．（24-25八年级上·上海普陀·期中）方程化为一元二次方程的一般形式是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·上海徐汇·期中）方程化为一般形式后，当二次系数为正数时，一次项系数是 ． 3．（24-25八年级上·上海奉贤·阶段练习）一元二次方程化成一般形式后，二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 ． 4．（24-25八年级上·上海嘉定·课后作业）已知关于x的一元二次方程没有实数根，甲由于看错了二次项系数，误求得两根为1和4；乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为和，则的值为 ． 【经典例题三 由一元二次方程的定义求参数】 【例3】（24-25八年级上·上海宝山·期末）关于x的一元二次方程不含x的一次项，则（　　） A．3 B．1 C．0 D．4 1．（2025八年级上·上海嘉定·专题练习）若关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（　　） A． B．且 C． D．且 2．（24-25八年级上·上海崇明·期中）把方程化成一般式得，则的值为 ． 3．（24-25八年级上·上海宝山·期中）若关于的一元二次方程化成一般形式后，其二次项系数为1，常数项为 ，则该方程中的一次项系数为 ． 4．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）已知关于x的一元二次方程，如果a，b，c满足，我们就称这个一元二次方程为波浪方程． (1)判断方程是否为波浪方程，并说明理由． (2)已知关于x的波浪方程的一个根是，求a，b的值； (3)若一个波浪方程的两个根分别为，，求这个波浪方程． 【经典例题四 判断是否是一元二次方程的解】 【例4】（24-25八年级上·上海松江·期末）若关于的一元二次方程满足，则该一元二次方程的根是（　　） A．1，2 B．1，0 C．，0 D．1 1．（24-25八年级上·上海虹口·期中）若一元二次方程有一个根是，则这个方程可以是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·上海闵行·期末）请写出一个关于的一元二次方程，使该方程有一个正根和一个负根，那么这个方程可以是 ． 3．（2025·上海松江·模拟预测）若是方程的两个实数根，则的值为 ． 4．（2025·上海闵行·模拟预测）已知关于x的方程有两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围； (2)若，且k和方程的根都是整数，则_________． 【经典例题五 由一元二次方程的解求参数】 【例5】（2025·上海嘉定·模拟预测）已知一元二次方程有一个根是2，则的值为（   ） A．2 B． C．3 D． 1．（24-25八年级上·上海闵行·期中）已知关于的方程与有相同的解，则与之间的等量关系为（   ） A． B． C． D． 2．（2025八年级上·上海普陀·模拟预测）已知m为方程的根，那么的值为 ． 3．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）已知关于的一元二次方程有一个根为． （1）用含的式子表示，则 ． （2）若是一元二次方程的另一个根，则 ． 4．（24-25八年级上·上海闵行·期中）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个实数根，求的范围； (2)设方程的两个实数根是，，若，试求的取值范围． 【经典例题六 一元二次方程的解的估算】 【例6】（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）根据下表中的对应值，判断方程的一个解的范围是（    ） x A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·上海嘉定·课后作业）输入一组数据，按下列程序进行计算，输出结果如下表： 输出 分析表格中的数据，估计方程的一个正数解的大致范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·上海宝山·期中）探索一元二次方程的一个正数解的过程如表： x 0 1 2 3 4 5 13 23 可以看出方程的一个正数解应界于整数a和整数b之间，的值为 ． 3．（24-25八年级上·上海松江·期中）根据表格对应值： 判断关于x的方程的一个解x的范围是 ． 4．（24-25八年级上·上海嘉定·单元测试）小贝在做“一块矩形铁片，面积为，长比宽多，求铁片的长”时是这样做的：设铁片的长为，列出的方程为，整理，得小贝列出方程后，想知道铁片的长到底是多少下面是它的探索过程： 第一步：           所以 第二步：                          所以 ． (1)请你帮小贝填完空格，完成她未完成的部分． (2)通过以上探索，可以估计出矩形铁片的长的整数部分为多少十分位为多少 【经典例题七 根据一元二次方程的解代入求值】 【例7】（24-25八年级上·上海松江·期末）问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的一半． 解：设所求方程的根为，则，所以．把代入已知方程，得，化简，得所求方程为．这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 应用：已知方程，求一个关于的一元二次方程，使它的根是已知方程根的相反数，则所求方程为（    ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·上海静安·阶段练习）若 代入的一个根，则 m的值为 ． 2．（2025八年级上·上海嘉定·专题练习）判断根的方法：分别将未知数的值代入原方程，看左右两边 ， 则是，否则不是． 3．（2025八年级上·上海·专题练习）阅读下题的材料： 已知：是一元二次方程的根，求的值． 小明是这样做的：将代入中，得到；两边同时除以，得到；解得． 小芳觉得小明的做法不对，将其改为：将代入中，得到；移项，得；解得，，．你认为他们两人的做法正确吗？说明理由． 4．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）【阅读材料】 【问题】已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以，把，代入已知方程，得． 化简，得，故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）： 【类比探究】 （1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为_______； 【拓展运用】 （2）已知关于的一元二次方程有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数． 【经典例题八 根据一元二次方程的解求另一方程的解】 【例8】（2025·上海徐汇·模拟预测）已知是关于x的方程的一个解，该方程的另一个解为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·上海宝山·期中）已知一元二次方程x2﹣6x+c＝0有一个根为2，则另一根及c的值分别为（　　） A．2，8 B．3，4 C．4，3 D．4，8 2．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）已知关于的方程的一个根为1，则该方程的另一根为 ． 3．（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）已知方程的一个根，则方程的另一根为 ，的值为 ． 4．（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）已知关于的一元二次方程． (1)若是这个方程的一个根，求的值和另一根． (2)当这个方程有两个不相等的实数根时，求的取值范围． 【拓展训练一 根据一元二次方程的定义求参综合】 1．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）若关于的一元二次方程． 有两个实数根，则实数的取值范围是 （    ） A． B．且 C．且 D．且 2．（24-25八年级上·上长宁·期中）如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是 ． 3．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）已知关于的一元二次方程． (1)求的值； (2)解这个一元二次方程． 【拓展训练二 根据一元二次方程的定义求参综合】 1．（24-25八年级上·上海虹口·期末）已知关于x的一元二次方程： ①若方程的两个根为和1，则； ②若，则方程有一根为； ③无论或，方程都有两个不相等的实数根； ④若是方程的一个根，则式子一定成立． 以上说法正确的有（   ） A．①②③ B．②③ C．②③④ D．③④ 2．（24-25八年级上·上海松江·期末）已知下面三个关于的一元二次方程，，恰好有一个相同的实数根，则的值为 ． 3．（24-25八年级上·上海静安·期中）已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围； (2)若是方程的一个实数根，且满足，求的值． 【拓展训练三 两个一元二次方程解的关联性综合】 1．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）已知一元二次方程满足，且有两个相等的实数根，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 2．（2025·上海闵行·模拟预测）阅读理解：已知实数m，n满足，且，可以把m，n看成是方程的两个不相等的实数根，根据根与系数的关系可得，． 类比探究：已知实数m，n满足，且，则 ． 3．（24-25八年级上·上海崇明·期中）定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中，，为常数（且）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的倒方程是________； (2)若是一元二次方程的倒方程的解，求出的值； (3)若，是一元二次方程的倒方程的两个不相等的实数根，求代数式的值． 【拓展训练四 一元二次方程的新定义问题】 1．（24-25八年级上·上海嘉定·单元测试）定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足a﹣b+c=0那么我们称这个方程为“美好”方程，如果一个一元二次方程2x2+mx+n=0既是“和谐”方程又是“美好”方程，则mn值为（    ） A．2 B．0 C．﹣2 D．3 2．（24-25八年级上·上海宝山·期中）定义新运算：，若，是关于一元二次方程的两实数根，则的值为 ． 3．（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）定义一种新运算“a*b”：当a≥b时，a*b＝a＋3b；当a＜b时，a*b＝a－3b，例如：3*（﹣4）＝3＋（﹣12）＝﹣9，（﹣6）*12＝﹣6－36＝﹣42 (1)x2*（x2﹣2）＝30，则x＝ ； (2)小明在计算（﹣3x2＋6x﹣5）*（﹣x2＋2x＋3）随取了一个x的值进行计算，得到的结果是40，小华说小明计算错了，请你说明小华是如何判断的． 1．（24-25八年级上·上海静安·期中）下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A．2，1，5 B．2，1， C．2，0， D．2，0，5 3．（24-25八年级上·上海虹口·期中）已知关于的一元二次方程的常数项是，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）根据下列表格中的对应值，可以判断关于的一元二次方程的一个解的范围是（  ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·上海虹口·期末）列表法解方程，可能不是最直接或最高效的方法，但在某些情况下，它可以作为一种可视化的工具来帮助我们理解方程的解，如下表，根据表格可知方程：的解是（   ） -2 -1 0 1 2 3 … 6 2 0 0 2 6 … A． B． C． D．或 6．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）方程是关于一元二次方程，则的值为 ． 7．（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）已知一元二次方程的二次项系数为3，则一次项系数为 ． 8．（24-25八年级上·上海奉贤·期中）若关于的一元二次方程化成一般形式后二次项的系数为，一次项的系数为，则的值为 ． 9．（24-25八年级上·上海宝山·期中）“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程．”这是我国古代著名数学家刘徽对《九章算术》中方程一词给出的注释．对于一些特殊的方程，我们给出定义：若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”，已知关于x的一元二次方程和一元一次方程为“相伴方程”，则c的值为 ． 10．（24-25八年级上·上海嘉定·期末）若定义：方程是方程的“倒方程”．则下列四个结论： ①如果是的倒方程的一个解，则． ②一元二次方程与它的倒方程有公共解． ③若一元二次方程无解，则它的倒方程也无解． ④若，则与它的倒方程都有两个不相等的实数根．上述结论正确的有 ．（填序号即可） 11．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）已知关于的方程（为常数）是一元二次方程，则应该满足什么条件？ 12．（2025·上海松江·模拟预测）先化简，再求值： ．其中m是方程的根．              13．（24-25八年级上·上海静安·期末）已知是关于x的一元二次方程的两实根． (1)求k的取值范围； (2)若是方程的根，求k的值． 14．（2025·上海宝山·模拟预测）关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)如果是符合条件的最大整数，且一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时的值． 15．（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）阅读与思考： 下面是小华求一元二次方程的近似解的过程． 如图，这是一张长、宽的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样大小的正方形，可制成一个底面积是的无盖长方体纸盒．小华在做这道题时，设剪去的正方形边长为，列出关于x的方程，整理得．    他想知道剪去的边长到底是多少，下面是他的探索过程． 探索方程的解： 第一步： x 0 1 2 17 9 因此：____________． 第二步： x 1.5 1.6 1.7 1.8 0.75 0.36 因此：____________. （1）请你帮助小华完成表格中未完成的部分，并写出x的范围； （2）通过以上探索，请直接估计出x的值．（结果保留一位小数） 学科网（北京）股份有限公司 $$