16.1 幂的运算 　教学设计　2025-2026学年人教版（2024）数学八年级上册

16.1　幂的运算（第1课时） ( 教学目标 ) 　　1．理解同底数幂乘法的运算法则，会用这一法则进行同底数幂的乘法运算． 　　2．体会数式通性和从具体到抽象的思想方法在研究数学问题中的作用． 　　3．通过同底数幂乘法的运算法则的推导和应用，使学生初步理解特殊—一般—特殊的认知规律． ( 教学重点 ) 　　同底数幂乘法的运算法则． ( 教学难点 ) 　　正确理解和应用同底数幂乘法的运算法则． ( 教学过程 ) 知识回顾 　　1．一般地，n个相同的乘数a相乘，即，记作 an ，读作“ a的n次方 ”． 　　当an看作a的n次方的结果时，也可读作“ a的n次幂 ”． 　　2．求n个相同乘数的积的运算，叫作 乘方 ，乘方的结果叫作 幂 ． 　　3．（1）(－a)n表示 n个－a相乘 ，底数是 －a ，指数是 n ，读作“ －a的n次方 ”． 　　（2）－an表示 n个a乘积的相反数 ，底数是 a ，指数是 n ，读作“ a的n次方的相反数 ”． 新知探究 一、探究学习 【问题】乘方的意义：an＝，由此填写下表． 幂 底数 指数 积的形式 53 (－2)5 (a＋1)3 【师生活动】学生作答，教师补充和纠正． 【答案】 幂 底数 指数 积的形式 53 5 3 5×5×5 4 (－2)5 －2 5 (－2)×(－2)×(－2)×(－2)×(－2) (a＋1)3 a＋1 3 (a＋1)×(a＋1)×(a＋1) 　　【设计意图】检验学生对乘方运算的理解和掌握，为下文做铺垫． 二、新知精讲 　　【问题】一种电子计算机每秒可进行1亿亿（1016）次运算，它工作103 s可进行多少次运算？ 　　【师生活动】教师引导，学生作答，教师补充，然后进一步讲解计算步骤． 　　【分析】总次数＝单位时间工作次数×工作时间，即总次数＝1016×103． 　　【答案】解：根据乘方的意义，可得 　　1016×103＝ 　　 　　 ＝1019． 　　【新知】同理，对于任意底数a与任意正整数m，n，有 　　 am·an 　　 　　 　　． 　　即am·an（m，n都是正整数）． 　　可得同底数幂乘法的运算法则： 　　符号语言：am·an（m，n都是正整数）． 　　文字语言：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 　　【设计意图】由简单实例出发，让学生经历特殊—一般—特殊的探究过程，加深对新知的理解． 　　【问题】当同底数幂的个数为3个或者3个以上时，该运算法则是否依然成立？ 　　【师生活动】小组讨论，代表回答，教师给出答案并讲解新知． 　　【答案】根据乘方的意义，当m，n，p都是正整数时， 　　 am·an·ap 　　 　　 　　所以，同底数幂乘法的运算法则依然成立． 　　【新知】am·an·ap（m，n，p都是正整数）． 　　【设计意图】锻炼学生的团队协作能力和推理能力． 三、典例精讲 　　【例1】计算： 　　（1）x2·x5； （2）a·a6； 　　（3）(－2)×(－2)4×(－2)3； （4）xm·x3m+1． 　　【答案】解：（1）x2·x5； 　　（2）a·a6； 　　（3）(－2)×(－2)4×(－2)3＝(－2)1+4+3＝(－2)8＝256； 　　（4）． 　　【新知】a＝a1． 　　【设计意图】检验学生对同底数幂乘法的运算法则的理解和掌握，使学生意识到a＝a1． 【例2】计算： （1）； （2）(－m)·(－m)4·(－m5)； 　　（3）． 　　【答案】解：（1）原式； 　　（2）原式＝(－m)·(－m)4·(－m)5 　　 ＝(－m)1+4+5 　　 ＝(－m)10 　　 ＝m10； 　　（3）原式＝＝． 　　【新知】当底数不同时，转化为同底数幂后，再进行运算． 　　【设计意图】针对底数不同的情形，让学生有先转化再运算的意识． 　　【例3】如果2x＝m，(－2)y＝n，其中x为偶数，求的值． 　　【分析】同底数幂的乘法可以逆用，即＝am·an·ap， 　　所以＝(－2)x·(－2)y·(－2)3． 　　【答案】解：因为＝(－2)x·(－2)y·(－2)3， 　　已知x为偶数，所以(－2)x＝2x＝m． 　　又因为(－2)3＝－8， 　　所以(－2)x·(－2)y·(－2)3＝－8×2x×(－2)y＝－8mn． 　　【新知】同底数幂乘法的逆运算：同底数幂乘法的运算法则可以逆用， 　　即＝am·an（m，n都是正整数）． 　　当指数为多项式且项数大于等于3时同样适用， 　　即＝am·an·ap（m，n，p都是正整数）． 【设计意图】通过本例，使学生意识到同底数幂乘法还可进行逆运算的应用． 四、课堂活动 观察下列动图，进一步巩固对同底数幂乘法运算法则的理解和记忆． 课堂小结 课后任务 　　完成教材第99页练习第1~2题． ( 教学反思 ) ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 16.1　幂的运算（第2课时） ( 教学目标 ) 　　1．掌握幂的乘方的运算法则，知道这个法则是根据乘方的意义和同底数幂的乘法法则推导出来的，能熟练地进行幂的乘方的运算，会双向应用幂的乘方公式． 　　2．掌握积的乘方的运算法则，能进行积的乘方的有关计算，会逆用积的乘方的运算法则进行相关的化简与运算． ( 教学重点 ) 　　幂的乘方的运算法则，积的乘方的运算法则． ( 教学难点 ) 　　幂的乘方的运算法则、积的乘方的运算法则的探究和应用． ( 教学过程 ) 知识回顾 　　1．同底数幂的乘法的运算法则： 　　符号语言： （m，n都是正整数）． 　　文字语言： 　　 同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 　　2．am·an·ap＝ （m，n，p都是正整数）． 　　3．a＝ a1 ． 　　4．当底数不同时，转化为 同底数幂 后，再进行运算． 　　5．同底数幂的乘法的逆运算：同底数幂的乘法的运算法则可以逆用， 　　即 （m，n都是正整数）． 　　当指数为多项式且项数大于等于3时同样适用， 　　即 （m，n，p都是正整数）． 新知探究 一、探究学习 【问题】（1）一个正方体的棱长是102，则它的体积是多少？ （2）100个104相乘，可以记作什么？ （3）先说出下列各式的意义，再计算下列各式： (23)2表示____________； (a4)3表示____________； (am)5表示____________． 从上面的计算中，你发现了什么规律？ 　　【师生活动】学生作答，教师引导并讲解新知． 　　【答案】（1）(102)3＝102×102×102＝＝106． 　　（2）(104)100． 　　（3）2个23相乘　　3个a4相乘　　5个am相乘 　　(23)2＝23×23＝＝26； 　　(a4)3＝a4·a4·a4＝＝a12； 　　(am)5＝am·am·am·am·am＝＝a5m． 　　规律：(am)n＝amn． 　　说明：(am)n＝（乘方的意义） 　　 ＝（同底数幂的乘法的运算法则） 　　 ＝amn． 　　【新知】(am)n＝amn（m，n都是正整数）． 　　幂的乘方，底数不变，指数相乘． 　　多重乘方可以重复运用上述法则： 　　[(am)n]p＝amnp（m，n，p都是正整数）． 　　幂的乘方的逆运算：amn＝(am)n＝(an)m（m，n都是正整数）． 　　【设计意图】通过提问学生的形式回顾乘方的意义和同底数幂的乘法运算法则，运用这两个知识点讲解幂的乘方的运算法则． 　　【问题】你能比较同底数幂的乘法与幂的乘方的运算法则吗？ 　　【师生活动】学生作答，教师补充并给出正确答案． 【答案】 幂的运算 公式 运算的种类 计算结果 底数 指数 同底数幂的乘法 am·an＝ 乘法 不变 相加 幂的乘方 (am)n＝amn 乘方 不变 相乘 　　【设计意图】通过对比使学生进一步巩固幂的乘方的运算法则，并能够区分同底数幂的乘法和幂的乘方． 二、拓展提升 　　【思考】(－a2)5和(－a5)2的结果相同吗？为什么？ 　　【师生活动】学生作答，教师补充并给出正确答案． 　　【答案】不相同． 　　(－a2)5表示5个－a2相乘，其结果带有负号； 　　(－a5)2表示2个－a5相乘，其结果没有负号． 　　【归纳】1．进行幂的乘方运算时，要注意系数为－1时的“－”号、括号里的“－”号与括号外的“－”号的区别． 　　2．当算式中不止一种运算时，要分清运算的顺序及运算的法则． 【设计意图】让学生在进行幂的乘方运算时有注意符号和运算顺序的意识． 三、典例精讲 　　【例1】计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 　　【答案】解：（1）； 　　（2）； 　　（3）； 　　（4）． 　　【新知】幂的运算——定符号，用法则： 当运用幂的有关运算法则计算时，要注意区别幂的乘方和同底数幂的乘法法则的应用．若幂中含有负号，先确定符号，再利用法则进行计算；若式子中同时含有乘方与乘法运算，先算乘方，再算乘法． 　　【设计意图】检验学生关于幂的运算法则的理解和掌握情况． 　　【例2】若2x＝5，2y＝3，则＝_______． 　　【答案】75 　　【解析】因为2x＝5，2y＝3， 　　所以 　　 ＝22x×2y 　　 ＝(2x)2×2y 　　 ＝52×3 　　 ＝75． 　　【新知】整体代入法： 当已知中的字母不能求出时，把待求的代数式用已知的代数式表示出来，然后用整体代入的方法进行求解． 　　【设计意图】检验学生逆用同底数幂的乘法的运算法则、运用幂的乘方的运算法则和活用已知条件的能力，讲解整体代入的方法． 　　【例3】已知a＝2555，b＝3444，c＝4333，d＝5222，则这四个数从大到小的排列顺序是_______________． 　　【答案】b＞c＞a＞d 　　【解析】观察指数555，444，333，222，它们都是111的整数倍． 　　a＝2555＝(25)111＝32111， b＝3444＝(34)111＝81111， 　　c＝4333＝(43)111＝64111， d＝5222＝(52)111＝25111． 　　因为81＞64＞32＞25，所以b＞c＞a＞d． 　　【新知】逆用幂的运算法则： 　　（1）作用：逆用幂的运算法则，常能化繁为简，化难为易，有事半功倍的效果． 　　（2）变化规律： 　　①指数为和的形式，转化为同底数幂的乘法； 　　②指数为积的形式，转化为幂的乘方． 　　【设计意图】通过举例让学生意识到逆用幂的运算法则的重要性． 四、课堂活动 观察下列动图，进一步巩固对幂的乘方的运算法则的理解和记忆． 五、探究学习 　　【问题】如图，时代中学准备将边长为a m的正方形花坛，扩大成边长为2a m的正方形花坛．扩大后新花坛的面积是多少平方米？ 　　【师生活动】学生作答，教师补充并给出正确答案． 　　【答案】新花坛的边长为2a m，所以新花坛的面积是(2a)2 m2． 　　【设计意图】通过生活中的实际举例引入积的乘方的运算问题，为下文作铺垫． 　　【问题】怎么计算(2a)2？ 　　【师生活动】学生作答，教师补充并给出正确答案． 　　【答案】根据乘方的意义， 　　(2a)2 ＝2a·2a 　　 ＝(2×2)·(a·a) 　　 ＝4a2（m2）． 　　所以，扩大后新花坛的面积是4a2 m2． 　　【设计意图】运用乘方的意义解决计算问题，为下文进一步提出的问题指明方向． 　　【问题】用同样的方法，你会计算(ab)2和(ab)3吗？ 　　【师生活动】学生作答，教师补充并给出正确答案． 　　【答案】(ab)2＝(ab)(ab) 　　 ＝(a·a)·(b·b) 　　 ＝a2b2． 　　(ab)3＝(ab)(ab)(ab) 　　 ＝(a·a·a)·(b·b·b) 　　 ＝a3b3． 　　【问题】你发现了什么规律？你能说明这个猜想是正确的吗？ 　　【师生活动】学生作答，教师补充并给出正确答案． 　　【答案】猜想：积的乘方等于各乘数乘方的积． 　　一般地，设n是正整数，a，b是任意底数， 　　(ab)n＝……………………乘方的意义 　　 ＝……………………乘法运算律 　　 ＝anbn．……………………乘方的意义 　　【新知】于是，我们就得到积的乘方的运算法则： 　　(ab)n＝anbn（n是正整数）． 　　即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 　　【设计意图】通过一步步的设问、解答，让学生逐步了解并掌握积的乘方的运算法则． 　　【问题】当乘数的个数大于等于3时，这个运算法则还成立吗？ 　　【师生活动】小组讨论并由学生代表作答，教师补充并给出正确答案． 　　【答案】当n是正整数，a，b，c是任意底数时， 　　(abc)n＝ 　 　＝ 　　 ＝anbncn． 　　【新知】(abc)n＝anbncn（n是正整数）． 　　【设计意图】通过进一步追问，让学生明白积的乘方的运算法则对于多乘数的情形同样成立． 　　【思考】如何简便计算82×(0.125)2？ 　　【师生活动】学生作答，教师补充并给出正确答案． 　　【答案】用积的乘方的逆运算： 　　82×(0.125)2＝(8×0.125)2＝12＝1． 　　【新知】有时为了简便运算，需要用到积的乘方的逆运算： 　　anbn＝(ab)n（n是正整数）． 　　【设计意图】通过举例，让学生意识到掌握和活用积的乘方的逆运算的重要性． 六、典例精讲 　　【例4】计算： 　　（1）(2a)3； （2）(－5b)3； 　　（3）(xy2)2； （4）(－2x3y)4． 　　【答案】解：（1）(2a)3＝23·a3＝8a3； 　　（2）(－5b)3＝(－5)3·b3＝－125b3； 　　（3）(xy2)2＝x2·(y2)2＝x2y4； 　　（4）(－2x3y)4＝(－2)4·(x3)4·y4＝16x12y4． 　　【总结】运用积的乘方的运算法则进行计算时，注意每个因式都要乘方，尤其是不要漏掉字母的系数的乘方． 　　【设计意图】检验学生对积的乘方的运算法则的掌握情况，提醒学生注意不要漏掉系数的乘方． 　　【例5】计算： 　　（1）(5ab2)3； （2）(2×102)2； 　　（3）(－3×103)3； （4）[m(n＋3)]9． 　　【答案】解：（1）(5ab2)3＝53·a3·(b2)3＝125a3b6； 　　（2）(2×102)2＝22×(102)2＝4×104； 　　（3）(－3×103)3＝(－3)3×(103)3＝－27×109＝－2.7×1010； 　　（4）[m(n＋3)]9＝m9(n＋3)9． 　　【总结】anbn＝(ab)n（n是正整数）中的“a”和“b”可以代表一个单项式，也可以代表一个多项式． 　　【设计意图】巩固学生对积的乘方的运算法则的理解和掌握，点明运算法则中“a”和“b”的意义． 　　【例6】如何简便计算0.042 022×[(－5)2 022]2？ 　　【答案】解法一： 　　 0.042 022×[(－5)2 022]2 　　＝(0.22)2 022×54 044 　　＝0.24 044×54 044 　　＝(0.2×5)4 044 　　＝14 044 　　＝1． 　　解法二： 　　 0.042 022×[(－5)2 022]2 　　＝0.042 022×[(－5)2]2 022 　　＝0.042 022×252 022 　　＝(0.04×25)2 022 　　＝12 022 　　＝1． 　　【总结】逆用积的乘方公式anbn＝(ab)n时，要灵活运用．对于不符合公式的形式，要通过恒等变形将其转化为公式的形式，再运用公式进行简便运算． 　　【设计意图】加强学生对积的乘方的逆运算的应用意识． 七、课堂活动 　　观察下列动图，进一步巩固对积的乘方运算法则的理解和记忆． 课堂小结 课后任务 　　完成教材第101页练习1~3题． ( 教学反思 ) 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