第13讲 圆的标准方程 讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第13讲 圆的标准方程 知识再现 一， 圆的定义 平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆． 如图，在平面直角坐标系中，⊙的圆心的坐标为，半径为，为圆上任意一点，⊙就是集合．定义中，定点指的是圆心，定长指的是圆的半径． 二， 圆的标准方程 1、圆的标准方程：我们把称为圆心为，半径长为的圆的标准方程． （2）圆的标准方程的右端，当方程右端小于或等于0时，对应方程不是圆的标准方程． 2、圆的标准方程的推导过程 （1）建系设点：建立坐标系时，原点在圆心是特殊情况，就一般情况来说，因为是定点，设，半径为，且设圆上任意一点的坐标为． （2）写点集：根据定义，圆就是集合． （3）列方程：由两点间的距离公式得． （4）化简方程：将上式两边平方得． 3、几种特殊位置的圆的标准方程 条件 方程的标准形式 圆心在原点 圆过原点 圆心在轴 圆心在轴 圆心在轴上且过原点 圆心在轴上且过原点 圆与轴相切 圆与轴相切 圆与两坐标轴都相切 三， 点与圆的位置关系 1、几何法：点，圆心，圆的半径，设与点间的距离， 点在圆外； 点在圆内； 点在圆上． 2、代数法：将点直接代入圆的标准方程进行判断，即 若点在圆外，则； 若点在圆内，则； 若点在圆上，则． 四， 圆上的点到定点的最大、最小距离 设圆心到定点的距离为，圆的半径为，圆上的动点为点． （1）若点在圆外时，，； （2）若点在圆上时，，； （2）若点在圆内时，，． 综上：，． 题型一：求圆的标准方程 例1.已知圆的圆心在，半径为，则它的方程为（    ） A． B． C． D． 解析：因为圆心为，半径为5， 所以圆的标准方程为，故选：D 例2.过点，半径最小的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 解析：过点，半径最小的圆,即以为直径， 则圆心为中点，半径为， 则圆方程为：.故选：A. 例3.已知圆经过点、，为直角三角形，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】设圆心，由题意可知，，即，解得， 因为为直角三角形，则为直角三角形，则， 即，解得，则圆的半径为， 圆心为，因此，圆的方程为或，故选：BC. 例4.求经过点且圆心在直线上的圆的标准方程为 . 【答案】 【解析】若经过点，，则圆心在直线上， 又在直线l：上，令，则， 故圆心坐标为，半径为， 故所求圆的标准方程为. 故答案为：. 变式训练 1.圆心在直线上，且过点的圆的标准方程为 . 【答案】 解析：直线的斜率为，线段的中点为， 线段的垂直平分线的方程为：，即， 联立，解得，即圆心坐标为， 半径， 所以所求圆的标准方程为：. 故答案为：. 2．已知两点、，则以PQ为直径的圆的方程是 . 【答案】 解析：、,的中点坐标为，即为圆心坐标， 又圆的半径为 则所求圆的方程为. 故答案为：. 3.若圆经过点，，且圆心在直线上，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 解析：设该圆方程为，则圆心为，有， 将点，代入， 有，化简得， 两式相减得，即有，则，， 故该圆方程为.故选：B. 题型二：点与圆的位置关系 例5.（多选）已知，两点，以线段为直径的圆为圆P，则（    ） A．在圆P上 B．在圆P内 C．在圆P内 D．在圆P外 【答案】AC 解析：以线段为直径的圆的圆心坐标为，半径， 易知，，，， 所以点在圆P上，点N在圆P外，点Q在圆P内．故选：AC． 例6.若圆C：上存在到的距离为1的点，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 解析：由题意可得圆心，半径为，则到的距离， 要使圆上存在到的距离为1的点，则，可得. 故选：B 例7．已知两直线与的交点在圆的内部，则实数k的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 解析：圆的圆心为，半径为， 由得，则两直线与的交点为， 依题意得，解得.故选：B 变式训练 1.已知点，圆的标准方程为，则点P（    ） A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．与a的取值有关 【答案】C 解析：∵，∴点P在圆外.故选：C． 2.已知两直线与的交点在圆的内部，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 解析：由，得，则两直线与的交点为， 依题意得，解得.故选：B. 3.已知点A(1，2)和圆C：，试分别求满足下列条件的实数a的取值范围. (1)点A在圆的内部；(2)点A在圆上；(3)点A在圆的外部. 【答案】(1)(2)(3) 解析：（1）因为点A在圆的内部，所以，且a不为0， 解得. 故实数a的取值范围为. （2）因为点A在圆上，所以， 解得 （3）因为点A在圆的外部，所以 且a不为0， 解得且. 故实数a的取值范围为 题型三：与圆有关的最值问题 例8.已知半径为2的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最大值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 解析：设圆心到原点的距离为，则，故选：D 例9.若实数满足，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 解析：因为表示圆心为，半径为的圆， 则表示圆上的点到点的距离的平方， 所以的最大值为.故选：D 例10.已知为圆上一点，为圆上一点，则点到点的距离的最大值为 . 【答案】 解析：圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径，所以， 当且仅当共线，且在中间时取等号， 所以点到点的距离的最大值为. 例11.已知圆:，点，.设是圆上的动点，令，则的最小值为 ． 【答案】 解析：由已知，，设，，， 所以， 因为，所以当取得最小值时，取得最小值， 由的最小值为，所以的最小值为.故答案为：. 变式训练 1.已知半径为2的圆经过点，则其圆心到原点的距离最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 解析：由题意知半径为2的圆经过点，设该圆圆心为P， 故该圆的圆心的轨迹为以为圆心，2为半径的圆， 当坐标原点、圆心P以及点三点共线且圆心P在坐标原点和之间时，圆心到原点的距离最小， 最小值为，故选：C 2.已知满足，则的取值范围是 . 【答案】 解析：表示圆上的动点与原点的距离的平方， 因为圆的圆心，半径，则， 因为，所以， 则，即， 所以的取值范围为. 故答案为：. 3.已知圆心为C的圆经过，两点，且圆心C在直线上． (1)求圆C的标准方程； (2)点P在圆C上运动，求的取值范围． 【答案】(1)；(2) 解析：（1）圆经过，两点，得圆心在的中垂线上， 又圆心C在直线上， 联立直线方程有，得，即圆心坐标为， 又，故圆C的标准方程为． （2）设，易知， 则（*）， 因为点P在圆C上运动，则， 故（*）式可化简为，， 由得的取值范围为． 题型四：与圆有关的对称问题 例12.已知圆与圆关于直线对称，则圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 解析：由题意可得，圆的圆心坐标为，半径为，设圆心关于直线的对称点为，则，解得， 所以圆的标准方程为. 故选：A 例13.若曲线上相异两点P、Q关于直线对称，则k的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 解析：若曲线上相异两点P、Q关于直线对称， 则圆心在直线上，故代入解得，故选：D． 例14.若圆和圆关于直线对称，则直线的方程是 解析：圆的圆心为，圆的圆心为， 则线段的中点为， 因为圆和圆关于直线对称，所以， 所以直线的方程是，即，故答案为： 变式训练 1.已知圆关于直线（，）对称，则的最小值为（    ） A． B．9 C．4 D．8 解析：圆的圆心为，依题意，点在直线上， 因此，即， ∴， 当且仅当，即时取“=”，所以的最小值为9.故选：B. 2.已知圆：与圆：关于直线对称，则的方程为（    ） A． B． C． D． 解析：由题意得，，则的中点的坐标为， 直线的斜率.由圆与圆关于对称，得的斜率. 因为的中点在上，所以，即.故选：C. 3.圆关于直线对称后的方程为（    ） A． B． C． D． 解析：因为圆，所以圆的圆心为，半径为， 设点关于直线对称的点为， 所以，解得：， 所以所求圆的圆心为，半径为, 故所求圆的方程为：.故选：A. 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $第13讲圆的标准方程 知识再现 一，圆的定义 平面内到定，点的距离等于定长的点的集合叫做圆. 如图，在平面直角坐标系中，⊙M的圆心M的坐标为(a,b),半径为下，P(x,y)为圆上任 意一，点，⊙M就是集合A={P‖PM=r.定义中，定点指的是圆心，定长指的是圆的半径 二，圆的标准方程 1、圆的标准方程：我们把(x-a)2+(y-b)2=r2称为圆心为M(a,b),半径长为r的圆的标准 方程. (2)圆的标准方程的右端2>0，当方程右端小于或等于0时，对应方程不是圆的标准方 程. 2、圆的标准方程的推导过程 (1)建系设，点：建立坐标系时，原，点在圆心是特殊情况，就一般情况来说，因为A是定，点， 设Aa,b,半径为r,且设圆上任意一点P的坐标为(x,y). (2)写点集：根据定义，圆就是集合P={MMA=r}. (3)列方程：由两，点间的距离公式得√(x-a)2+(y-b)2=r. (4)化简方程：将上式两边平方得(x-a)2+(y-b)2=r2 3、几种特殊位置的圆的标准方程 条件 方程的标准形式 圆心在原点 x2+y2=r2(r≠0 圆过原点 (x-a)2+(y-b)2=a2+b2(a2+b2>0 圆心在x轴 (x-a2+y2=r2(r≠0 圆心在y轴 x2+(y-b)2=r2(r≠0 圆心在x轴上且过原点 x-a+y2=a2(a≠0 圆心在y轴上且过原点 x2+(y-b)2=b2(b≠0) 第1页共10页 圆与x轴相切 (x-a)2+(y-b)2=b2(b≠0) 圆与y轴相切 (x-a2+(y-b)2=a2(a≠0 圆与两坐标轴都相切 (x-a)2+(y-b)2=a2(a=bl=O) 三，点与园的位置关系 1、几何法：点M(,o),圆心Aa,b),圆的半径r,设M与点A间的距离MA=d, d>r台点M在圆A外； d<r台点M在圆A内； d=r台点M在圆A上. 2、代数法：将点M(o,)直接代入圆的标准方程(x-Q)+(y-b)=r2进行判断，即 若点M(x,o)在圆外，则(x-a)2+(%-b)2>r2; 若点M(x,)在圆内，则(x-a+(。-b)2<r2; 若点M(o,)在圆上，则(x。-a2+(。-b)2=r2. 四，圆上的，点到定点的最大、最小距离 设圆心A到定点C的距离为d,圆的半径为F，圆上的动点为，点P. (1)若点C在圆外时，PCl=d+r,PCl=d-r； (2)若点C在圆上时，PClx=2r,PC=0; (2)若，点C在圆内时，|PCl=d+r,PCl=r-d. 综上：|PCl=d+r,PCl=ld-r. 题型一：求圆的标准方程 例1.已知圆的圆心在(-3,4)，半径为√5，则它的方程为() A.(x-3)2+y-42=5 B.(x+3)+(y+4)2=25 C.(x+3)2+(y-4)2=25 D.（x+32+(y-4)2=5 第2页共10页 例2.过点A(-1,1),B(3,-3),半径最小的圆的方程为（) A.x-1)2+(y+1)=8 B.(x+12+(y-1)2=8 C.(x-1)2+0y+1)2=32 D.x+1)2+y-1)2=32 例3.已知圆C经过点A(0,0)、B(2,0),△ABC为直角三角形，则圆C的方程为（) A.(x-12+(y-1)2=4 B.(x-1)2+(y+1)2=2 C.(x-1)2+(y-1)2=2 D.(x-1)2+(y-2)2=5 例4.求经过，点(-2,0)，(-2,2)且圆心在直线1：x+y=0上的圆的标准方程为」 变式训练 1.圆心在直线y=x+3上，且过点A2,4,B1,-3的圆的标准方程为 第3页共10页 2.已知两点P(3,)、Q(5,-3),则以PQ为直径的圆的方程是 3.若圆C经过点A2,5),B(4,3,且圆心在直线：2x+y-7=0上，则圆C的方程为（) A.(x-3)+y-6)=2 B.x-2+y-3)=4 c.x-2)2+y-3)2=8 D.(x-3)+y-6)2=10 题型二：点与圆的位置关系 例5.（多选)已知(4,9)，乃(6,3)两，点，以线段PP为直径的圆为圆P,则（) A.M(6,9)在圆P上 B.N(3,3)在圆P内 C.Q(5,3)在圆P内 D.R(2,7)在圆P外 第4页共10页 例6.若圆C:(x-3)2+(y-3)2=m+18上存在到(-1,0)的距离为1的点，则实数m的取值范 围为() A.[-18,6 B.[-2,18] C.[-2,6 D.[4,18] 例7.已知两直线y=x+2k与y=2x+k+1的交，点在圆x2+y2=4的内部，则实数k的取值 范围是()· A.-<ks-l D.-2<k<2 变式训练 1.已知点P(a,10),圆的标准方程为(x-1)+(y-1=12,则，点P(） A.在圆内 B.在圆上 C.在圆外 D,与a的取值有关 第5页共10页 2.已知两直线 y=x+2k 与 y=-x 的交点在圆 $$x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 8$$ 8的内部，则实数k的取值范围是() A.-1<k<1 B.-2<k<2 C.-3<k<3 $$D . - \sqrt 2 < k < \sqrt 2$$ 3.已知点 A(1，2) 和圆 $$C ： \left( x - a \right) ^ { 2 } + \left( y + a \right) ^ { 2 } = 2 a ^ { 2 } ，$$ ，试分别求满足下列条件的实数a的取值范围. (1)点A在圆的内部；(2)点A在圆上； (3) 点A在圆的外部. 题型三：与圆有关的最值问题 例8.已知半径为2的圆经过点(3，4)，则其圆心到原点的距离的最大值为() A.4 B.5 C.6 D.7 第6页共10页 例9.若实数x,y满足x2+y2=1,则(x-3)+(y-4)的最大值是() A.5 B.6 C.25 D.36 例10.已知P为圆(x-3)2+(y-4)2=4上一点，0为圆x2+y2=1上一，点，则点0到点P的距 离的最大值为 例11.已知圆C:(x+1)+(y-2=4,点A-2,0),B(2,0).设P是圆C上的动，点，令 d=PA+PB,则d的最小值为 第7页共10页 变式训练 1.已知半径为2的圆经过，点3,4)，则其圆心到原点的距离最小值为（) A.1 B.2 C.3 D.4 2.已知x,y满足(x-1)2+0y-2)2=16,则X+y的取值范围是 3.已知圆心为C的圆经过O(0,0),A0,2V3两点，且圆心C在直线：y=√3x上 (1)求圆C的标准方程； (2),点P在圆C上运动，求PO+PA的取值范围. 第8页共10页 题型四：与圆有关的对称问题 例12.已知圆C:x2+y2=4与圆C2关于直线2x+y+5=0对称，则圆C的标准方程为() A.(x+4)+(y+2)2=4 B.(x-4)2+(y-2)2=4 C.(x+2)+(y+4)2=4 D.(x-2)+(y-4)=4 例13.若曲线(x-1)+(y-2)=4上相异两，点卫、Q关于直线x-y-2=0对称，则k的值为 () A.1 B.2 C.3 D.4 例14.若圆C,:(x-1)2+y2=9和圆C2:(x+3)2+(y+2)2=9关于直线1对称，则直线1的方程 是」 变式训练 1.已知园(x+12+y+22=4关于直线ax+b加+1=0(a>0,b>0)对称，则。 +2的最小 b 第9页共10页 值为() B.9 C.4 D.8 2.已知圆M:x2+(y+12=1与圆N:(x-2)+(y-3)=1关于直线1对称，则1的方程为() A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0 C.x+2y-3=0 D.2x+y-3=0 3.圆C:(x-1)+(y-1)=2关于直线：y=x-1对称后的方程为(） A.(x-22+y2=2 B.（x+2)2+y2=2 C.x2+(y-22=2 D.x2+(y+1)2=2 第10页共10页