专题06 整式的加减中6大特殊题型（期中专项训练）七年级数学上学期新教材人教版

专题06 整式的加减中特殊题型 题型1 整式加减中的无关型问题 题型4 整式加减中的整体性问题 题型2 整式加减中的缺项型问题 题型5 整式加减中的规律型问题 题型3 整式加减中的错看型问题 题型6 整式加减中的新定义问题 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 整式加减中的无关型问题（共10小题） 1．（24-25七年级上·河北保定·期中）已知 ， ． (1)求； (2)若的值与x无关，求a的值． 2．（24-25七年级上·四川广安·期中）若代数式的值与字母的取值无关， (1)求的值； (2)求代数式的值． 3．（24-25七年级上·广东东莞·期中）已知代数式，． (1)求； (2)若，求的值； (3)若的值与的取值无关，求的值． 4．（24-25七年级上·重庆石柱·期中）已知代数式：，． (1)求的表达式； (2)若的值与的取值无关，求的值． 5．（24-25七年级上·吉林长春·期中）某同学做一道数学题，已知两个多项式A、B，其中，试求．这位同学把误看成，结果求出的答案为． (1)请你替这位同学求出的正确答案； (2)若的值与x的取值无关，求y的值． 6．（24-25七年级上·江苏镇江·期中）已知，小明在计算时，误将其按计算，结果得到． (1)求代数式B的表达式； (2)若的值与无关，求的值． 7．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）已知，． (1)当，时，求的值． (2)若的值与b的取值无关，求a的值． 8．（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）已知代数式，． (1)求的值； (2)如果，满足，求上式的值； (3)如果的值与的取值无关，求的值． 9．（24-25七年级上·福建泉州·期中）已知，有个完全相同的边长为、的小长方形（如图1）和两个阴影部分的长方形拼成个宽为的大长方形（如图2），小明把这个小长方形按如图所示放置在大长方形中． (1)请用含，的代数式表示下面的问题： ①大长方形的长：__________；②阴影的面积：__________． (2)请说明阴影与阴影的周长的和与的取值无关． 10．（24-25七年级上·辽宁本溪·期中）【阅读理解】 已知；若A值与字母x的取值无关，则，解得． ∴当时，A值与字母x的取值无关． 【知识应用】 （1）已知，． ①用含m，x的式子表示； ②若的值与字母x的取值无关，求m的值； 【能力提升】 （2）如图1的小长方形，长为a，宽为2，现把6这样的个小长方形按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），左上角的面积为，右下角的面积为，设，若x无论为何值时，发现的值始终保持不变，请求出a的值． 题型二 整式加减中的缺项型问题（共10小题） 11．（24-25七年级上·四川巴中·期中）已知：关于，的多项式不含二次项，求的值． 12．（24-25七年级下·江苏徐州·阶段练习）关于的代数式化简后不含有项和常数项 (1)求和的值． (2)若，求：代数式的值． 13．（24-25七年级上·陕西西安·期中）若多项式不含三次项及一次项，请你确定，的值． 14．（24-25七年级上·天津·期中）若关于x，y的多项式不含三次项，求的值． 15．（24-25七年级上·重庆秀山·期中）已知多项式化简后不含项．回答下列问题： (1)求的值； (2)求代数式的值． 16．（24-25七年级上·广东佛山·期中）已知． (1)求的值； (2)若与互为相反数． ①求C的代数式； ②若，求C的值； (3)若的结果不含项，写出m与n的数量关系，并说明理由． 17．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）已知： (1)当时，求的值； (2)若多项式不含ab项，求m的值． 18．（24-25七年级上·内蒙古赤峰·期中）已知关于的多项式不含和项，则 ． 19．（24-25七年级上·吉林·期中）若关于的多项式不含的一次项和二次项，则 ， ． 20．（24-25七年级上·福建漳州·期中）若关于的多项式化简后不含二次项，则的值为（　　） A． B． C． D． 题型三 整式加减中的错看型问题（共10小题） 21．（24-25七年级上·四川德阳·期中）小丽做一道数学题，已知两个多项式、，且为，求“”；小丽把 错看成了，计算的结果是，那么正确的结果为（　　） A． B． C． D． 22．（24-25七年级上·广东云浮·期中）小张同学在计算时，将“”错看成了，得出的结果是． (1)请问题目中的___________，的正确结果为____________； (2)试探索：当字母b、c满足什么关系时，（1）中的结果与字母a的取值无关． 23．（24-25七年级上·四川成都·期中）（1）小刚在做“计算的值，其中，”这道题时，把，错看成“，”，但他计算的结果也是正确的，请你说明这是怎么回事． （2）李兵同学在计算时，由于马虎，将“”错看成了“”，求得的结果为，请你帮助李兵同学求出这道题的正确结果． 24．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）已知，在计算整式的加减时，小聪将“”错看成了“”，得到的结果为． (1)求整式B． (2)请你帮助小聪同学求出正确的结果． 25．（24-25七年级上·黑龙江大庆·阶段练习）某同学做数学题：已知两个多项式A，B，其中，他在求时，把错看成了，求得的结果为．请你帮助这位同学求出的正确结果． 26．（24-25七年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）马虎同学在计算A﹣（ab﹣2bc+4ac﹣3）时，由于马虎，将“A﹣”错看成了“A+”，求得的结果为3ab﹣2ac+5bc． （1）请你帮助马虎同学求出这道题的正确结果； （2）当字母a和b满足什么关系时，正确的计算结果与字母c的取值无关． 27．（24-25七年级上·新疆乌鲁木齐·期末）已知多项式，．小希在计算时把题目条件错看成了，求得的结果为，那么小希最终计算的中不含的项为（    ） A．五次项 B．三次项 C．二次项 D．常数项 28．（24-25七年级上·全国·期中）已知，，均为多项式，小方同学在计算“”时，误将符号抄错而计算成了“”，得到的结果是若，，则 ． 29．（2024七年级上·安徽·专题练习）有这样一道计算题：“计算的值，其中，”，甲同学把错看成，但计算结果仍正确，你说是怎么一回事？ 30．（24-25七年级上·广东广州·期中）学习了整式的加减法之后，老师给出了一道课堂练习题：已知两个关于的多项式、，其中，求． 小强同学把“”错看成“”，求出的结果为． (1)填空：多项式的次数为 ，常数项为 ； (2)请帮小强同学求出的正确答案； (3)若当取任意数值时，的值都是一个常数，求的值． 题型四 整式加减中的整体性问题（共10小题） 31．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）阅读材料：我们知道，，类似的，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： （1）把看成一个整体，合并的结果是 ． （2）已知，求的值； 拓展探索： （3）已知，，，求的值． 32．（24-25七年级上·河南郑州·期中）【教材呈现】如图是某版七年级上册数学教材82页的部分内容． 求代数式的值，其中，． “整体思想”是数学解题中一种非常重要的数学思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． (1)【问题解决】对议一议中的式子进行化简求值，并写出过程； (2)【简单应用】 ①已知，则_______； ②已知，求的值； (3)【拓展提高】已知且，求m的值． 33．（24-25七年级上·四川泸州·期中）【阅读与思考】有这样一道题“如果代数式的值为，那么代数的值是多少？”爱动脑筋的吴同学这样来解：原式．我们把看成一个整体，把式子两边乘以，得．整体思想是中学数学解题中的一种重要思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，仿照上面的解题方法，完成下面问题： (1)已知，则 ； (2)已知，，求的值； (3)已知，，求代数式的值． 34．（24-25七年级上·江西赣州·期中）阅读材料： “整体思想”是中学数学的重要思想方法，在解题中会经常用到． 【例】合并同类项：，类似地，我们也可以把看成一个整体，则． 尝试应用： （1）把看成一个整体，合并的结果是______； （2）已知，求的值； 拓展探索： （3）已知，，，求的值． 35．（25-26七年级上·全国·期中）阅读理解：如图式子，求式子的值，小花同学提出了一种解法如下：原式，把整体代入得到原式．仿照小花的方法，完成下面各题． (1)如果那么 ． (2)已知，求的值． (3)已知，，求的值． 36．（24-25七年级上·广东湛江·期中）【教材呈现】如图是人教版七年级上册数学教材的部分内容． “把各看成一个整体，对下列各式进行化简： ” 【问题解决】 （1）对上面的式子进行化简，写出化简过程； 【简单应用】请运用上面的化简方法，完成下列问题． （2）当，则______． （3）当，代数式的值是5，求当时，代数式的值； 【拓展延伸】 （4）已知+，，求式子的值． 37．（24-25七年级上·湖南岳阳·期中）“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．在数学中，常常用这样的方法把复杂的问题转化为简单问题．如：若代数式，可得，则代数式 【灵活运用】若，，求的值． 38．（24-25七年级上·四川绵阳·期中）数学中，运用整体思想在求代数式的值时非常重要．例如：已知，则代数式，请根据以上材料解答下列问题： (1)若，求的值； (2)若整式的值是8，求整式的值； (3)当当时，多项式的值是5，求当时，多项式的值． 39．（24-25七年级上·福建莆田·期中）理解与思考：整体代换是数学的一种思想方法．例如：若，求的值； 解题方法：我们将作为一个整体代入，则原式． 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)若，则______；（直接写出结果） (2)若，求的值． 40．（24-25七年级上·辽宁铁岭·期中）【知识呈现】“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．在数学中，常常用这样的方法把复杂的问题转化为简单问题． 例如：我们可把中的“”看成一个字母a，使这个代数式简化为． 【解决问题】 （1）上面【知识呈现】中的问题的化简结果为______；（用含x，y的式子表示） （2）若，则代数式的值为______； 【灵活运用】 应用【知识呈现】中的方法解答下列问题： （3）已知，的值为最大的负整数，求的值． 题型五 整式加减中的规律型问题（共10小题） 41．（24-25七年级下·湖南常德·期中）观察下列各式： ①； ②； ③； (1)请根据以上规律，直接写出第④个式子：______________； (2)总结上述规律，直接写出第个等式：_____________； (3)请运用你总结的规律计算：． 42．（24-25七年级上·全国·期中）探索规律 观察下面由※组成的图案和算式，解答问题： (1)请猜想 ； (2)请猜想 ； (3)请用上述规律计算： 43．（24-25七年级上·广西桂林·期中）观察下列等式，并解答问题． 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； ．．．．．． (1)按以上规律填空： ①第5个等式：___________； ②第50个等式：___________； (2)计算：． 44．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：，…… 解决下列问题： (1)按照以上的规律，写出第6个等式：________； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示）； (3)利用上述规律，计算：． 45．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）观察算式： ；；；，…． (1)请根据你发现的规律填空：( )； (2)用含n的等式表示上面的规律；（n为正整数） (3)利用找到的规律解决下面的问题： 计算： 46．（24-25七年级上·河南周口·期中）观察下列算式． …… 按照上面的规律完成下列各题： (1)第四个算式：________； (2)第五个算式为__________； (3)计算：． 47．（24-25七年级上·河南商丘·期中）观察是数学抽象的基础，在数学探究学习中，我们要善于通过观察发现规律，进而解决问题．请你擦亮眼睛，开动脑筋，解答下列问题． (1)观察下列等式：，，，根据发现的规律： ①写出第6个等式是________________________，第n个等式是______________________________； ②计算：； (2)思考运用以上方法计算：的值． 48．（24-25七年级上·江苏南通·期中）观察下列等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： 请解答下列问题： (1)按以上规律列出第5个等式：______； (2)用含有的代数式表示第个等式：______（为正整数）； (3)求的值； (4)探究计算：． 49．（24-25七年级上·河南信阳·期中）观察下列等式： 第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；… 请解答下列问题： (1)按以上规律列出第5个等式 ； (2)用含n的代数式表示第n个等式 (n为正整数)． 50．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）我国著名数学家华罗庚先生说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”，数形结合的思想方法在数学中应用极为广泛． 【规律探索】请观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： （1）在⑤后面的横线上写出相应的等式： ①；②；③；④；⑤___________； 【规律归纳】 （2）__________； （3）试用含有n的式子表示这一规律：___________=（n为正整数）； 【规律应用】 （4）请用上述规律计算： ①；        ②． 题型六 整式加减中的新定义问题（共10小题） 51．（24-25七年级上·福建厦门·期中）已知a、b是有理数， 定义一种新运算“”满足 (1)求的值； (2)求的值 52．（24-25七年级上·福建漳州·期中）定义：若，则称a与b是关于6的实验数． (1)2与______是关于6的实验数：代数式______与是关于6的实验数． (2)若，，判断a与b是否是关于6的实验数，说明理由． (3)若c与d是关于6的实验数，且，求d的值． 53．（24-25七年级上·四川成都·期中）用“”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定． 如：． (1)求的值； (2)若关于的多项式，且中不含一次项，求的值； (3)若，（其中为有理数），试比较，的大小． 54．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）已知，为有理数，现规定一种新的运算符号，定义，例如：，请根据符号的意义解答下列问题： (1)求的值； (2)求的值； (3)若，，试判断、的大小，并说明理由． 55．（24-25七年级上·湖南长沙·期中）定义：若两个数的和为a，则称这两个数是关于a的友好数，例如：，就称2与5是关于7的友好数． (1)3与__________是关于8的友好数，与__________是关于8的友好数（填一个含x的代数式）； (2)若，，判断a与b是否是关于8的友好数，并说明理由； (3)若，，且c与d是关于8的友好数，求代数式的值． 56．（24-25七年级上·江西南昌·期中）定义：若，则称与是关于2的平衡数． (1)3与 是关于2的平衡数，与 是关于2的平衡数（填一个含的代数式）． (2)若，，且与是关于2的平衡数，若为正整数，求非负整数的值． 57．（24-25七年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）定义一种新运算．观察下列算式： ． (1)填一填：______，______； (2)若，则______填“=”或“”）； (3)若，求的值． 58．（24-25七年级上·湖北恩施·期中）已知，均为有理数，现定义一种新运算“*”，满足：． (1)求的值． (2)化简，并求出当，时整式的值． 59．（24-25七年级上·湖北·期中）［定义］：已知为关于的多项式，若，其中为大于0的常数，则称是的“友好式”，叫做关于的“友好值”． ［例如］：，，，则称是的“友好式”，关于的“友好值”为5. 根据以上信息，解答下列问题： (1)已知，，则是的“友好式”吗？若是，请求出关于的“友好值”；若不是，请说明理由； (2)已知，，若是的“友好式”，且“友好值”与的取值无关，保持1不变，求的值． 60．（24-25七年级上·湖北随州·期中）（1）计算，嘉嘉同学的计算过程如下：原式 请你判断嘉嘉的计算过程是否正确，若不正确，请写出正确的计算过程． （2）定义一种运算：观察下列各式：， ①请你想一想：； ②若，那么 （填或）； ③先化简，在求值：其中． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $专题06 整式的加减中特殊题型 题型1 整式加减中的无关型问题 题型4 整式加减中的整体性问题 题型2 整式加减中的缺项型问题 题型5 整式加减中的规律型问题 题型3 整式加减中的错看型问题 题型6 整式加减中的新定义问题 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 整式加减中的无关型问题（共10小题） 1．（24-25七年级上·河北保定·期中）已知 ， ． (1)求； (2)若的值与x无关，求a的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查了整式的加减，涉及的知识有：去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）先去括号，再合并同类项即可； （2）的值与x无关时，化简后x项的系数为0，由此可解． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵ ，值与x无关， ∴ ， ∴ ． 2．（24-25七年级上·四川广安·期中）若代数式的值与字母的取值无关， (1)求的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了整式的加减： （1）利用代数式的值与的取值无关，求得的值； （2）将的值代入即可． 【详解】（1）解： ＝ ＝， ∵原代数式的值与的取值无关， ∴，， ∴，； （2）解： ， ． 3．（24-25七年级上·广东东莞·期中）已知代数式，． (1)求； (2)若，求的值； (3)若的值与的取值无关，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（）根据整式的加减计算法则列式计算即可； （）根据绝对值非负性和偶次方非负性求出，的值，然后代入求解即可； （）根据（）所求得到，根据的值与的取值无关，即含的项的系数为进行求解即可； 本题主要考查了整式的加减，绝对值非负性和偶次方非负性，整式加减中的无关型问题，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：，，． ； （2）解：∵， ∴，， ∴，， ∴原式 ； （3）解：由（）得， ∵的值与的取值无关， ∴， ∴． 4．（24-25七年级上·重庆石柱·期中）已知代数式：，． (1)求的表达式； (2)若的值与的取值无关，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减、整式的加减—无关题型，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据题意列式并结合整式的加减的运算法则计算即可得解； （2）由（1）可得，结合题意得出，代入计算即可得解． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ∵的值与的取值无关， ∴， ∴， ∴． 5．（24-25七年级上·吉林长春·期中）某同学做一道数学题，已知两个多项式A、B，其中，试求．这位同学把误看成，结果求出的答案为． (1)请你替这位同学求出的正确答案； (2)若的值与x的取值无关，求y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是整式的加减，熟知整式加减的实质是去括号、合并同类项是解答此题的关键． （1）根据列出代数式，去括号合并同类项即可； （2）先根据列出代数式，去括号合并同类项求出结果，再根据的值与x的取值无关，得出，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ； （2） ， 的值与x的取值无关， ， 6．（24-25七年级上·江苏镇江·期中）已知，小明在计算时，误将其按计算，结果得到． (1)求代数式B的表达式； (2)若的值与无关，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减． （1）根据代入计算即可； （2）由的值与无关得，得出y的值，再代入计算即可． 【详解】（1）解：由题意得：， ； （2）解：由题意得：， 的值与x无关， ， 解得：， ． 7．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）已知，． (1)当，时，求的值． (2)若的值与b的取值无关，求a的值． 【答案】(1)20 (2)2.5 【分析】本题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先化简，然后把，代入计算即可； （2）把化简后，合并关于b的同类项，然后令b的系数等于0即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ， ∵， ∴原式； （2）解：由（1）可得， ∵的值与b的取值无关， ∴， ∴． 8．（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）已知代数式，． (1)求的值； (2)如果，满足，求上式的值； (3)如果的值与的取值无关，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了整式的化简求值，非负数的性质，掌握去括号、合并同类项的法则是解决问题的关键． （1）把，代入后，再去括号、合并同类项即可； （2）根据题意求出、的值，代入计算即可； （3）先计算，再根据与的取值无关得到关于的方程，解方程即可求出的值． 【详解】（1）解：，， ． （2）解：， ，， 解得，， 则． （3）解：， 的值与的取值无关， ， 解得． 9．（24-25七年级上·福建泉州·期中）已知，有个完全相同的边长为、的小长方形（如图1）和两个阴影部分的长方形拼成个宽为的大长方形（如图2），小明把这个小长方形按如图所示放置在大长方形中． (1)请用含，的代数式表示下面的问题： ①大长方形的长：__________；②阴影的面积：__________． (2)请说明阴影与阴影的周长的和与的取值无关． 【答案】(1)①；② (2)见解析 【分析】本题考查整式的混合运算的应用，解题关键是能根据图形和题意正确列出代数式，熟练掌握整式混合运算的运算顺序和运算法则． （1）①大长方形的长为小长方形的长上宽的倍；②阴影的长为，宽为，再根据长方形的面积公式求解即可； （2）分别表示出阴影和阴影的长和宽，再求出阴影和阴影的周长和即可． 【详解】（1）解：①大长方形的长为， 故答案为：； ②阴影的长为，宽为， 阴影的面积为， 故答案为：； （2）阴影的长为，宽为，阴影的长为，宽为， 阴影与阴影的周长的和为： 阴影与阴影的周长的和与的取值无关． 10．（24-25七年级上·辽宁本溪·期中）【阅读理解】 已知；若A值与字母x的取值无关，则，解得． ∴当时，A值与字母x的取值无关． 【知识应用】 （1）已知，． ①用含m，x的式子表示； ②若的值与字母x的取值无关，求m的值； 【能力提升】 （2）如图1的小长方形，长为a，宽为2，现把6这样的个小长方形按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），左上角的面积为，右下角的面积为，设，若x无论为何值时，发现的值始终保持不变，请求出a的值． 【答案】（1）； （2） 【分析】本题考查整式的加减运算，整式加减运算中的无关型问题： （1）①去括号，合并同类项即可；②根据值与无关，合并同类项后，使的系数为0，进行求解即可； （2）分别表示出，，求出的值，根据的值始终保持不变，得到的值与无关，进行求解即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴ ； （2）； ∵的值与字母x的取值无关， ∴， ∴； （3）由题意得： ， ∴ ∵的值始终保持不变， ∴的值与x无关， ∴， ∴． 题型二 整式加减中的缺项型问题（共10小题） 11．（24-25七年级上·四川巴中·期中）已知：关于，的多项式不含二次项，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查整式加减中的无关型问题，熟练掌握整式的加减是解题的关键．先对多项式进行合并同类项，然后再根据不含二次项可求解a、b的值，进而代入求解即可． 【详解】解： ， ∵不含二次项， ∴，， ∴，， ∴． 12．（24-25七年级下·江苏徐州·阶段练习）关于的代数式化简后不含有项和常数项 (1)求和的值． (2)若，求：代数式的值． 【答案】(1)， (2)5 【分析】本题考查整式的乘法和加减运算、代数式求值． （1）先将已知代数式整理后，根据题意求得a、m值； （2）根据，求得n值，然后代值求解即可． 【详解】（1）解： ， 因代数式中不含项与常数项， ，， ，； （2）解：∵，，， ， ∴， 解得， ． 13．（24-25七年级上·陕西西安·期中）若多项式不含三次项及一次项，请你确定，的值． 【答案】， 【分析】本题考查了整式加减中的无关型问题，熟练掌握整式的加减运算法则是解题关键．先计算整式的加减，再根据三次项及一次项的系数都等于0求解即可得． 【详解】解：， ∵多项式不含三次项及一次项， ∴，， ∴，． 14．（24-25七年级上·天津·期中）若关于x，y的多项式不含三次项，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了整式加减中无关类型，正确的求得的值是解题的关键．先合并同类项，根据不含三次项，得出m、n的值，进而即可求解． 【详解】解： ， ∵关于x，y的多项式不含三次项， ∴，， 解得，， ∴． 15．（24-25七年级上·重庆秀山·期中）已知多项式化简后不含项．回答下列问题： (1)求的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1) (2)17 【分析】本题考查了整式的加减中和无关型，代数式求值，整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项． （1）先化简，再根据不含项，即项的系数为0，得关于m的方程，求解即可； （2）把m的值代入多项式计算即可． 【详解】（1）解： ， ∵不含项， ∴， ∴． （2）解：当时， ． 16．（24-25七年级上·广东佛山·期中）已知． (1)求的值； (2)若与互为相反数． ①求C的代数式； ②若，求C的值； (3)若的结果不含项，写出m与n的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)①；② (3)，理由见解析 【分析】本题考查了整式的加减运算，相反数的定义，非负数的性质，熟练掌握去括号法则与合并同类项法则是解本题的关键． （1）将A，B代入，合并同类项即可； （2）①若与互为相反数，则，进而可得；②利用平方和绝对值的非负性求出x和y的值，代入①中结论求值即可； （3）的结果不含项，则合并同类项后项的系数为0，由此可解． 【详解】（1）解： ； （2）解：①与互为相反数， ， ； ②，，， ，， ，， ，， ； （3）解：若的结果不含项，则，理由如下： ， 的结果不含项， ， ． 17．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）已知： (1)当时，求的值； (2)若多项式不含ab项，求m的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】此题考查整式的加减计算法则， （1）根据题意列式计算即可； （2）将A，B的值代入计算并化简，再根据不含项计算求出m的值． 【详解】（1）解： ∵， ∴原式； （2）解： ∵多项式不含项， ∴ ∴． 18．（24-25七年级上·内蒙古赤峰·期中）已知关于的多项式不含和项，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式的项，代数式求值．由关于x的多项式不含和项，可得，，计算求解m，n的值，然后代入求解即可． 【详解】解：∵关于的多项式不含和项， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 19．（24-25七年级上·吉林·期中）若关于的多项式不含的一次项和二次项，则 ， ． 【答案】 3 0 【分析】本题考查了多项式项的应用，熟悉掌握多项式的概念是解题的关键． 化简，令一次项和二次项系数为即可． 【详解】解：∵ ， 又∵式子不含的一次项和二次项， ∴，， 解得：，， 故答案为：；． 20．（24-25七年级上·福建漳州·期中）若关于的多项式化简后不含二次项，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的加减不含某项问题，先化简整式，进而根据化简后不含二次项，可得二次项系数为，据此列出等式解答即可求解，掌握整式的加减运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， ∵关于的多项式化简后不含二次项， ∴， ∴， 故选：． 题型三 整式加减中的错看型问题（共10小题） 21．（24-25七年级上·四川德阳·期中）小丽做一道数学题，已知两个多项式、，且为，求“”；小丽把 错看成了，计算的结果是，那么正确的结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，计算的结果是，求出多项式，再计算正确的结果即可． 【详解】解：∵，且为， ∴， ∴， 故选C． 【点睛】本题主要考查多项式的加减运算，能够熟练掌握运算法则是解题关键． 22．（24-25七年级上·广东云浮·期中）小张同学在计算时，将“”错看成了，得出的结果是． (1)请问题目中的___________，的正确结果为____________； (2)试探索：当字母b、c满足什么关系时，（1）中的结果与字母a的取值无关． 【答案】(1)， (2)当b=5c时，正确的计算结果与字母a的取值无关 【分析】（1）先根据题意列出，利用整式相加减求出A，再求正确式子的结果即可； （2）将ab﹣5ac+2写成（b﹣5c）a+2，即可得到当b=5c时，正确的计算结果与字母a的取值无关． 【详解】（1）由题意得：， ， ， 故答案为：，． （2）ab﹣5ac+2= a（b﹣5c）+2， 由题意可得：b﹣5c=0， ∴b=5c， ∴当b=5c时，正确的计算结果与字母a的取值无关． 【点睛】本题考查了整式的加减，熟知整式的加减实质上就是合并同类项是解答此题的关键． 23．（24-25七年级上·四川成都·期中）（1）小刚在做“计算的值，其中，”这道题时，把，错看成“，”，但他计算的结果也是正确的，请你说明这是怎么回事． （2）李兵同学在计算时，由于马虎，将“”错看成了“”，求得的结果为，请你帮助李兵同学求出这道题的正确结果． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，整式的加减计算： （1）先把原式去括号，然后合并同类项化简得到，再根据绝对值相同的两个数的平方的结果相等即可得到结论； （2）先根据题意求出，再计算出即可． 【详解】解：（1） ， ∵a取正负2时，的结果相等，b取正负1时，的结果相等， ∴把，错看成“，”，最后计算的结果相同，都是正确的； （2）由题意得，， ∴ ， ∴ ． 24．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）已知，在计算整式的加减时，小聪将“”错看成了“”，得到的结果为． (1)求整式B． (2)请你帮助小聪同学求出正确的结果． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减运算，熟练掌握整式加减运算法则是解题的关键． （1）依题意得，进而可求解； （2）和代入，利用去括号和合并同类项法则进行运算即可． 【详解】（1）解：依题意得： ， ∴． （2） ． 25．（24-25七年级上·黑龙江大庆·阶段练习）某同学做数学题：已知两个多项式A，B，其中，他在求时，把错看成了，求得的结果为．请你帮助这位同学求出的正确结果． 【答案】 【分析】根据加法的应用，先求出代数式A，再计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了整式的加减，解题的关键是掌握整式加减的运算顺序和运算法则，以及去括号法则． 26．（24-25七年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）马虎同学在计算A﹣（ab﹣2bc+4ac﹣3）时，由于马虎，将“A﹣”错看成了“A+”，求得的结果为3ab﹣2ac+5bc． （1）请你帮助马虎同学求出这道题的正确结果； （2）当字母a和b满足什么关系时，正确的计算结果与字母c的取值无关． 【答案】（1）ab−10ac＋9bc＋6；（2）当b＝a时，正确的计算结果与字母c的取值无关． 【分析】（1）先根据题意列出整式相加减的式子进行计算即可． （2）将ab−10ac＋9bc＋6写成（9b−10a）c＋ab＋6，即可得到当b＝a时，正确的计算结果与字母c的取值无关． 【详解】解：（1）由题意得，（3ab−2ac＋5bc）−2（ab−2bc＋4ac−3） ＝3ab−2ac＋5bc−2ab＋4bc−8ac＋6 ＝ab−10ac＋9bc＋6， ∴正确结果为：ab−10ac＋9bc＋6； （2）ab−10ac＋9bc＋6＝（9b−10a）c＋ab＋6， 由题可得，9b−10a＝0， ∴b＝a， ∴当b＝a时，正确的计算结果与字母c的取值无关． 【点睛】本题考查的是整式的加减，熟知整式的加减实质上就是合并同类项是解答此题的关键． 27．（24-25七年级上·新疆乌鲁木齐·期末）已知多项式，．小希在计算时把题目条件错看成了，求得的结果为，那么小希最终计算的中不含的项为（    ） A．五次项 B．三次项 C．二次项 D．常数项 【答案】C 【分析】先根据求出a、b的值， 继而得出，即可得出答案． 【详解】解∶由题意知 ， 而 ∴，， 解得：，， ∴ ， ∴最终计算的中不含的项为二次项， 故选∶C． 【点睛】本题主要考查整式的加减，整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是∶先去括号，然后合并同类项，熟练掌握整式加减的步骤是解题的关键． 28．（24-25七年级上·全国·期中）已知，，均为多项式，小方同学在计算“”时，误将符号抄错而计算成了“”，得到的结果是若，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的加减运算．先根据，求出B，再求出，即可． 【详解】解：根据题意，得 ， ∴ ， 故答案为：． 29．（2024七年级上·安徽·专题练习）有这样一道计算题：“计算的值，其中，”，甲同学把错看成，但计算结果仍正确，你说是怎么一回事？ 【答案】见解析 【详解】本题考查了整式的化简，熟练掌握整式的加减运算法则是解题的关键； 先对原代数式化简，结果中不含项，故计算结果与的取值无关，故甲同学把错看成，但计算结果仍正确． 【解答】解：原式， 结果中不含项， 与的取值无关． 甲同学把错看成，但计算结果仍正确． 30．（24-25七年级上·广东广州·期中）学习了整式的加减法之后，老师给出了一道课堂练习题：已知两个关于的多项式、，其中，求． 小强同学把“”错看成“”，求出的结果为． (1)填空：多项式的次数为 ，常数项为 ； (2)请帮小强同学求出的正确答案； (3)若当取任意数值时，的值都是一个常数，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了多项式的项和次数，整式的加减运算以及无关型问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先整理得，故多项式的次数为，常数项为，即可作答． （2）因为，且，故，再把，，分别代入，进行计算化简，即可作答． （3）先得出，结合当取任意数值时，的值都是一个常数，故，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，， 多项式的次数为，常数项为； 故答案为： （2）解：∵，且， ， ； （3）解： ． 当取任意数值时，的值都是一个常数， ， ． 题型四 整式加减中的整体性问题（共10小题） 31．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）阅读材料：我们知道，，类似的，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： （1）把看成一个整体，合并的结果是 ． （2）已知，求的值； 拓展探索： （3）已知，，，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了代数式求值，熟练掌握整体思想是解题的关键． （1）利用整体思想，把看成一个整体，合并即可得到结果； （2）原式可化为，把整体代入即可； （3）原式可化为，把，，整体代入进行计算即可． 【详解】（1） ， 故答案为：； （2）， ； （3），，， ． 32．（24-25七年级上·河南郑州·期中）【教材呈现】如图是某版七年级上册数学教材82页的部分内容． 求代数式的值，其中，． “整体思想”是数学解题中一种非常重要的数学思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． (1)【问题解决】对议一议中的式子进行化简求值，并写出过程； (2)【简单应用】 ①已知，则_______； ②已知，求的值； (3)【拓展提高】已知且，求m的值． 【答案】(1)； (2)； (3)1 【分析】本题主要考查了整式的加减运算，代数式的求值，整体代入是解题的关键； （1）把看作一个整体，合并同类项，即可进行化简； （2）①把看作一个整体进行化简，再代入求值即可， ②先把看作一个整体，合并同类项，再整体代入计算即可； （3）将方程化为，再将，代入求值即可． 【详解】（1）解：设， 原式 ； 当时， 原式； （2）解：①∵， ∴ 故答案为：． ②∵， ∴ ； （3）解：∵ ∴ ∵ ∴ 即 解得：． 33．（24-25七年级上·四川泸州·期中）【阅读与思考】有这样一道题“如果代数式的值为，那么代数的值是多少？”爱动脑筋的吴同学这样来解：原式．我们把看成一个整体，把式子两边乘以，得．整体思想是中学数学解题中的一种重要思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，仿照上面的解题方法，完成下面问题： (1)已知，则 ； (2)已知，，求的值； (3)已知，，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将变形为，然后将代入求值即可； （2）将变形为，然后将，代入求值即可； （3）将变形为，然后将，代入求值即可． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：； （2）解：，， ； （3）解：，， ． 【点睛】本题主要考查了整式的加减中的化简求值，去括号，合并同类项，添括号等知识点，对原式进行适当变形并运用整体代入法求值是解题的关键． 34．（24-25七年级上·江西赣州·期中）阅读材料： “整体思想”是中学数学的重要思想方法，在解题中会经常用到． 【例】合并同类项：，类似地，我们也可以把看成一个整体，则． 尝试应用： （1）把看成一个整体，合并的结果是______； （2）已知，求的值； 拓展探索： （3）已知，，，求的值． 【答案】（）；（）；（）． 【分析】（）仿照材料，把看成一个整体，即可合并；（2）（3） （）将整体代入计算即可； （）先去括号，再添括号，然后整体代入求值即可； 本题考查了合并同类项，代数式求值，利用整体代入思想解题是关键． 【详解】（）解：把看成一个整体，则， 故答案为： （）解：∵， ∴； （）解：∵，，， ∴ ． 35．（25-26七年级上·全国·期中）阅读理解：如图式子，求式子的值，小花同学提出了一种解法如下：原式，把整体代入得到原式．仿照小花的方法，完成下面各题． (1)如果那么 ． (2)已知，求的值． (3)已知，，求的值． 【答案】(1)1 (2)11 (3) 【分析】本题考查了整式的加减，求代数式的值，注意整体代入法的运用． （1）由已知可得，然后整体代入即可； （2）原式化简后，整体代入即可； （3）可化为 ，然后整体代入即可求得值． 【详解】（1）由得 所以 故答案为：1 （2）    把代入得：原式= （3） 36．（24-25七年级上·广东湛江·期中）【教材呈现】如图是人教版七年级上册数学教材的部分内容． “把各看成一个整体，对下列各式进行化简： ” 【问题解决】 （1）对上面的式子进行化简，写出化简过程； 【简单应用】请运用上面的化简方法，完成下列问题． （2）当，则______． （3）当，代数式的值是5，求当时，代数式的值； 【拓展延伸】 （4）已知+，，求式子的值． 【答案】（1） （2）2027 （3） （4） 【分析】本题主要考查了整式的加减运算，代数式的求值，解题的关键是熟练掌握整式的运算法则以及整体代入思想． （1）根据合并同类项法则计算即可； （2）把直接代入计算即可； （3）把代入，得，再把，得，制裁把人攻计算即可； （4）把变形为，再把+，，代入计算即可． 【详解】解：问题解决： （1） ． 简单应用： （2）∵， ∴ ； （3）∵，的值是5 ； ∴当时，． 拓展延伸： （3）∵，， ． 37．（24-25七年级上·湖南岳阳·期中）“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．在数学中，常常用这样的方法把复杂的问题转化为简单问题．如：若代数式，可得，则代数式 【灵活运用】若，，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减，代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 原式变形后，把已知等式代入计算即可求出值． 【详解】解：∵，， ∴ ． 38．（24-25七年级上·四川绵阳·期中）数学中，运用整体思想在求代数式的值时非常重要．例如：已知，则代数式，请根据以上材料解答下列问题： (1)若，求的值； (2)若整式的值是8，求整式的值； (3)当当时，多项式的值是5，求当时，多项式的值． 【答案】(1)9 (2)1 (3) 【分析】本题考查了求代数式的值，熟练掌握整体代入法求代数式的值，准确进行计算，是解此题的关键． （1）将变形为，再整体代入，进行计算即可； （2）先由整式的值是8得到，再将变形为，整体代入，进行计算即可； （3）先根据当时，多项式的值是5求出，再将代入得，最后整体代入，进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵整式的值是8， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵当时，多项式的值是5， ∴， ∴， ∴当时， ． 39．（24-25七年级上·福建莆田·期中）理解与思考：整体代换是数学的一种思想方法．例如：若，求的值； 解题方法：我们将作为一个整体代入，则原式． 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)若，则______；（直接写出结果） (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了求代数式的值，采用整体代入的思想是解此题的关键． （1）由题意可得，整体代入计算即可得解； （2）将式子整理变形为，整体代入计算即可得解． 【详解】（1）解：∵； ∴ ∴， 故答案为：； （2）解：， ∴． 40．（24-25七年级上·辽宁铁岭·期中）【知识呈现】“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．在数学中，常常用这样的方法把复杂的问题转化为简单问题． 例如：我们可把中的“”看成一个字母a，使这个代数式简化为． 【解决问题】 （1）上面【知识呈现】中的问题的化简结果为______；（用含x，y的式子表示） （2）若，则代数式的值为______； 【灵活运用】 应用【知识呈现】中的方法解答下列问题： （3）已知，的值为最大的负整数，求的值． 【答案】（1）；（2）3；（3） 【分析】本题考查了合并同类项，去括号与添括号，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）把合并同类项，然后把a换回即可； （2）由得，然后用整体代入法求解即可； （3）先去括号，再添括号，然后用整体代入法求解即可． 【详解】解：（1）， ∵， ∴原式． 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴． 故答案为：3； （3）∵的值为最大的负整数， ∴． ∴ ． 题型五 整式加减中的规律型问题（共10小题） 41．（24-25七年级下·湖南常德·期中）观察下列各式： ①； ②； ③； (1)请根据以上规律，直接写出第④个式子：______________； (2)总结上述规律，直接写出第个等式：_____________； (3)请运用你总结的规律计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查数字的变化规律，有理数的混合运算，解答的关键是由所给的等式总结出存在的规律． （1）观察前三个等式，找到相同点和不同点，即可解出此题． （2）根据所给的等式的特点，不难得出第n个等式为：； （3）利用（2）中的规律进行求解即可． 【详解】（1）解：①； ②； ③； 所以第④个式子右边应该是：； （2）解：由观察可得， 第n个式子应该就是：； （3）解： ． 42．（24-25七年级上·全国·期中）探索规律 观察下面由※组成的图案和算式，解答问题： (1)请猜想 ； (2)请猜想 ； (3)请用上述规律计算： 【答案】(1)100 (2) (3) 【分析】此题考查了规律型：数字的变化类及有理数的乘方运算，弄清题中的规律是解本题的关键． （1）观察由※组成的图案和下面算式，得出从1开始的连续奇数相加等于奇数个数的平方，即可得到结果； （2）观察由※组成的图案和下面算式，得出从1开始的连续奇数相加等于奇数个数的平方，即可得到结果； （3）原式变形后，利用得出的规律计算即可得到结果． 【详解】（1）解：由图得：，有1项； ，有2项； ，有3项； ，有4项； ，有5项； ∴共有项， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， 故答案为：； （3）解： ． 43．（24-25七年级上·广西桂林·期中）观察下列等式，并解答问题． 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； ．．．．．． (1)按以上规律填空： ①第5个等式：___________； ②第50个等式：___________； (2)计算：． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题考查数字的变化规律，有理数加减混合运算，通过观察已知的式子，探索出式子的一般规律，并运用规律进行计算即可． （1）通过观察已知式子即可求第5个及第50个等式； （2）原式，再运算即可． 【详解】（1）解：由前4个等式观察可得： ①第5个等式为：， ②第50个等式为：， 故答案为：；； （2）解：原式 ． 44．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：，…… 解决下列问题： (1)按照以上的规律，写出第6个等式：________； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示）； (3)利用上述规律，计算：． 【答案】(1) (2) (3)4850 【分析】本题考查对规律型问题的理解和有理数的运算能力，找到规律是解题关键． （1）根据分母不变，分子是两个数的平方差可得答案； （2）根据发现的规律写出第个等式并计算可进行验证； （3）根据，，可得原式，进而可得答案． 【详解】（1）解：第6个式子为：； 故答案为：； （2）解：猜想第个等式为：， 证明：左边右边， 故答案为：； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ， 同理， ∴ ． 故答案为：4850． 45．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）观察算式： ；；；，…． (1)请根据你发现的规律填空：( )； (2)用含n的等式表示上面的规律；（n为正整数） (3)利用找到的规律解决下面的问题： 计算： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了数字类规律探索，含乘方的有理数混合运算等知识点，根据题中所给算式发现并总结出一般规律是解题的关键． （1）根据题中所给算式发现并总结出一般规律，进而可得出答案； （2）根据题中所给算式发现并总结出一般规律，即可得出答案； （3）先对每一项进行通分，然后对每一项的分子运用所得规律，再将每一项拆分成两项之积的形式，最后约分即可得出答案． 【详解】（1）解：根据已知算式： ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：根据已知算式： ， ， ， ， ， ； （3）解：根据已知算式： ， ， ， ， ， ， ， ． 46．（24-25七年级上·河南周口·期中）观察下列算式． …… 按照上面的规律完成下列各题： (1)第四个算式：________； (2)第五个算式为__________； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3)． 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索： （1）仿照题意求解即可； （2）仿照题意写出第五个算式即可； （3）根据题意可得规律可得，据此把所求式子裂项约分即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，， （2）解：由题意得，第五个算式为， （3）解：； ； ； 以此类推可知，， ∴ ． 47．（24-25七年级上·河南商丘·期中）观察是数学抽象的基础，在数学探究学习中，我们要善于通过观察发现规律，进而解决问题．请你擦亮眼睛，开动脑筋，解答下列问题． (1)观察下列等式：，，，根据发现的规律： ①写出第6个等式是________________________，第n个等式是______________________________； ②计算：； (2)思考运用以上方法计算：的值． 【答案】(1)①；；② (2) 【分析】本题考查了规律型−数字的变化类，准确熟练的进行计算是解题的关键． （1）①观察发现，等式的左边都是一个分数，分子都是1，分母是两个连续正整数之积，等式的右边是两个分数的差，分子都是1，分母是两个连续正整数，根据规律写出第6个等式和第n个等式即可； ②利用发现的规律进行计算即可； （2）先提出，然后根据（1）中发现的规律进行计算即可． 【详解】（1）解：①∵，，， ∴第6个等式是：； 第n个等式是：； 故答案为：，； ②原式 ； （2）解：原式 ． 48．（24-25七年级上·江苏南通·期中）观察下列等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： 请解答下列问题： (1)按以上规律列出第5个等式：______； (2)用含有的代数式表示第个等式：______（为正整数）； (3)求的值； (4)探究计算：． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查数字类的规律变化，有理数的混合运算，解题关键是明确题意，发现式子的变化特点，求出式子的值． （1）根据题目中的式子的特点，可以写出第5个等式； （2）根据题目中式子的特点，可以写出第n个等式； （3）根据（2）中的结果，可以计算出所求式子的值； （4）根据题目中式子的特点，找出式子的规律，根据规律进行计算，即可求出式子的值． 【详解】（1）第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， 则第5个等式为． （2）由（1）可得，以此类推， ． （3） ， ． （4） ． 49．（24-25七年级上·河南信阳·期中）观察下列等式： 第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；… 请解答下列问题： (1)按以上规律列出第5个等式 ； (2)用含n的代数式表示第n个等式 (n为正整数)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了数字了规律探索，正确得出规律是解此题的关键． （1）根据题中给出的等式即可得出第5个等式； （2）根据题中给出的等式得出规律即可． 【详解】（1）解：由题意知，， 故答案为：，； （2）解：， ， ， ， …， ∴可推导一般性规律为：表示第个等式（为正整数）． 50．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）我国著名数学家华罗庚先生说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”，数形结合的思想方法在数学中应用极为广泛． 【规律探索】请观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： （1）在⑤后面的横线上写出相应的等式： ①；②；③；④；⑤___________； 【规律归纳】 （2）__________； （3）试用含有n的式子表示这一规律：___________=（n为正整数）； 【规律应用】 （4）请用上述规律计算： ①；        ②． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）①，② 【分析】考查了图形的变化类问题，有理数的混合运算； （1）根据图形结合规律直接写出答案即可； （2）由等式可知左边是连续奇数的和，右边是数的个数的平方，由此规律解答即可； （3）由（1）的结论可知是 个连续奇数的和，得出结果； （4）① 是连续个奇数的和，直接得出结果； ② 是连续个奇数的和，根据结论计算得出结果 【详解】解：（1）由图片知： 第1个图案所代表的算式为： ， 第 2 个图案所代表的算式为： ； 第3个图案所代表的算式为：； 第4个图案所代表的算式为：； 依此类推：第5个图案所代表的算式为： 故答案为：． （2）依此类推：第个图案所代表的算式为： ； 当 、4 时分别为： 、； 故当 ， 即 时， （3）依此类推：第个图案所代表的算式为： ； （4）①； ② 题型六 整式加减中的新定义问题（共10小题） 51．（24-25七年级上·福建厦门·期中）已知a、b是有理数， 定义一种新运算“”满足 (1)求的值； (2)求的值 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查新定义运算，有理数的混合运算，整式的加减混合运算．掌握新定义运算法则是解题关键． （1）根据新定义运算法则结合有理数的混合运算法则计算即可； （2）根据新定义运算法则结合整式的加减混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 52．（24-25七年级上·福建漳州·期中）定义：若，则称a与b是关于6的实验数． (1)2与______是关于6的实验数：代数式______与是关于6的实验数． (2)若，，判断a与b是否是关于6的实验数，说明理由． (3)若c与d是关于6的实验数，且，求d的值． 【答案】(1)4；； (2)a与b是关于6的实验数，理由见解析； (3) 【分析】本题考查整式的加减应用，理解题意，正确列出式子计算是解题的关键． （1）根据题中给出的定义计算即可； （2）计算的值，如果和等于6，则a与b是关于6的实验数，否则不是； （3）由题意得出，把c的值代入计算即可求出d的值． 【详解】（1）解：， ∴2与4是关于6的实验数； ， ∴与是关于6的实验数， 故答案为：4；； （2）解：a与b是关于6的实验数，理由： ， ∴a与b是关于6的实验数； （3）解：∵c与d是关于6的实验数，且 ∴， ． 53．（24-25七年级上·四川成都·期中）用“”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定． 如：． (1)求的值； (2)若关于的多项式，且中不含一次项，求的值； (3)若，（其中为有理数），试比较，的大小． 【答案】(1)3 (2)； (3) 【分析】本题考查了整式的加减运算，新定义，多项式的项，有理数的混合运算，读懂题目信息，理解新定义，掌握整式的加减运算法则，有理数的混合运算法则是解题的关键． （1）根据新定义的运算，把相应的值代入运算即可； （2）把相应的值代入，利用新定义的运算求解，再结合条件即可求解； （3）把相应的值代入，利用新定义的运算分别求出，，再比较大小即可． 【详解】（1）解： 3☆ ； （2）（2） ， 中不含一次项， ， ； （3）∵，，（其中为有理数） ，， ， ． 54．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）已知，为有理数，现规定一种新的运算符号，定义，例如：，请根据符号的意义解答下列问题： (1)求的值； (2)求的值； (3)若，，试判断、的大小，并说明理由． 【答案】(1)4 (2)8 (3)，理由见解析 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，有理数的混合运算，整式的加减运算； （1）根据新定义列式为，再计算即可； （2）根据新定义列式为，再进一步列式计算即可； （3）根据新定义可得：，，再计算，再根据结果进行判断即可. 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解： ； （3）解：∵，， ∴， ， ∴ . 因为，所以，所以 所以. 55．（24-25七年级上·湖南长沙·期中）定义：若两个数的和为a，则称这两个数是关于a的友好数，例如：，就称2与5是关于7的友好数． (1)3与__________是关于8的友好数，与__________是关于8的友好数（填一个含x的代数式）； (2)若，，判断a与b是否是关于8的友好数，并说明理由； (3)若，，且c与d是关于8的友好数，求代数式的值． 【答案】(1)5， (2)a与b是关于8的友好数； (3)1 【分析】本题考查有理数运算，代数式表示，整式运算． （1）根据题意列式即可得到本题答案； （2）根据题意列式并计算得到，即可得到本题答案； （3）根据题意列式并计算得到，再整体代入即可得到本题答案． 【详解】（1）解：根据题意得： ，， 故答案为：5，； （2）解：∵，， ∴ ， ∴a与b是关于8的友好数； （3）解：∵，，且c与d是关于8的友好数， ∴，即：， ∴ ． 56．（24-25七年级上·江西南昌·期中）定义：若，则称与是关于2的平衡数． (1)3与 是关于2的平衡数，与 是关于2的平衡数（填一个含的代数式）． (2)若，，且与是关于2的平衡数，若为正整数，求非负整数的值． 【答案】(1)，； (2)1或3或0 【分析】（1）根据平衡数的定义即可求出； （2）根据，，且与是关于2的平衡数，可以得到k和x的关系，然后利用分类讨论的方法，可以得到结果； 本题考查整式的加减、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答问题． 【详解】（1）解： 根据平衡数的定义，， 与是关于2的平衡数； ， 与是关于2的平衡数； 故答案为：，； （2），，且与是关于2的平衡数， ， 即：， ， 为正整数，为非负整数， 当时，，或时，，或时，， 或或， 综上所述，故非负整数的值为1或3或0． 57．（24-25七年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）定义一种新运算．观察下列算式： ． (1)填一填：______，______； (2)若，则______填“=”或“”）； (3)若，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查新定义运算，求代数式的值，整式的加减运算，准确掌握运算法则是解题的关键． （1）根据定义进行计算即可； （2）根据定义分别求出和，即可得到答案； （3）根据定义将化简，即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：，； （2）解：，， ， 故， 故答案为：； （3）解：， 即， ， ． 58．（24-25七年级上·湖北恩施·期中）已知，均为有理数，现定义一种新运算“*”，满足：． (1)求的值． (2)化简，并求出当，时整式的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题以新定义题型为背景，考查了整式的化简求值及有理数的运算，理解新定义的运算规则、准确的计算是解题关键． （1）利用新运算的定义即可求解； （2），将原整式化简后，再代值计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 将，代入得： 原式． 59．（24-25七年级上·湖北·期中）［定义］：已知为关于的多项式，若，其中为大于0的常数，则称是的“友好式”，叫做关于的“友好值”． ［例如］：，，，则称是的“友好式”，关于的“友好值”为5. 根据以上信息，解答下列问题： (1)已知，，则是的“友好式”吗？若是，请求出关于的“友好值”；若不是，请说明理由； (2)已知，，若是的“友好式”，且“友好值”与的取值无关，保持1不变，求的值． 【答案】(1)不是，理由见解析 (2)8 【分析】本题考查了整式的加减运算的新定义，解题的关键是读懂题意，熟练掌握新定义，利用新定义解决问题． （1）读懂题意，利用新定义计算并判断； （2）利用新定义列等式求出的值，即可求解． 【详解】（1）解：， 故不是； （2）解：由题意得，， 则， 解得：， ∴ 60．（24-25七年级上·湖北随州·期中）（1）计算，嘉嘉同学的计算过程如下：原式 请你判断嘉嘉的计算过程是否正确，若不正确，请写出正确的计算过程． （2）定义一种运算：观察下列各式：， ①请你想一想：； ②若，那么 （填或）； ③先化简，在求值：其中． 【答案】（1）嘉嘉的计算过程不正确，正确的计算过程见解析；（2）①； ②；③，1 【分析】本题考查了有理数的四则运算，代数式求值，整式的加减． （1）根据有理数的四则运算法则即可判断； （2）根据有理数的四则运算法则计算即可； （3）①根据题目中的式子可以猜出的结果；②根据①中的结果和，可以得到和的关系；③根据①中的结果可以化简，代入求值即可． 【详解】解：（1）嘉嘉的计算过程是不正确， 正确的计算过程如下： 原式 ； （2）①根据题意：； ②，； ， ， ； ③根据定义：， ， ， 的值为1． $