精品解析：广东省肇庆市碧海湾学校等两校2025-2026学年高三上学期9月月考数学试题

广东省两校2026届高三上学期月联考 2025.9 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设为虚数单位，则复数对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】 利用复数的乘法将化为的形式,则它在复平面对应的点为,判断点所在的象限即可 【详解】由题,,则在复平面上对应的点为,在第一象限, 故选：A 【点睛】考查复数与复平面的对应关系,考查复数的乘法,属于基础题 2. 若集合，，则（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过集合B中，用列举法表示出集合B，再利用交集的定义求出． 【详解】由题意，集合， 所以 故答案为B 【点睛】本题主要考查了集合的表示方法，以及集合的运算，其中熟记集合的表示方法，以及准确利用集合的运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 3. 直线被圆截得的弦长最大值为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可求出圆心坐标和半径大小，利用弦长公式可知求出圆心到直线距离的最小值即可计算得出弦长的最大值. 【详解】将圆方程化为标准式可得，即可知圆心，半径； 根据弦长公式可知，当圆心到直线距离最小时，截得的弦长最大， 易知圆心到直线的距离为， 由三角函数值域可知当时，， 此时弦长为. 故选：A 4. 某校高一共有10个班，编号1至10，某项调查要从中抽取三个班作为样本，现用抽签法抽取样本，每次抽取一个号码，共抽3次，设五班第二次被抽到的可能性为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等即可求解. 【详解】因为总体中共有10个个体， 所以五班第一次没被抽到，第二次被抽到的可能性为 . 故选：. 5. 锐角中，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由二倍角公式结合即可化简求解. 【详解】由题意，而，所以， 所以. 故选：B. 6. 在5道试题中有3道填空题和2道选择题，不放回地依次随机抽取2道题，在第1次抽到填空题的条件下，第2次抽到选择题的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】因为第一次抽走了1道填空题，所以这道题不用再考虑，进一步按照古典概型运算公式即可得到答案. 【详解】因为第一次抽取了1道填空题，所以还剩下2道填空题，2道选择题，所以第二次抽到选择题的概率为. 故选：B. 7. 十进制计数法简单易懂，方便人们进行计算.也可以用其他进制表示数，如十进制下，；；将余数从下往上排列起来，所以125就是68这个数的七进制.表示形式就是125，个位数为5，那么用七进制表示十进制的，其个位数是（ ） A. 6 B. 5 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】利用二项式定理求出被除的余数即可. 【详解】， 且能被整除， 而， ， 被除的余数为， 用七进制表示十进制的，其个位数是. 故选：A. 8. 若实数、、满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用，可得，又，即可得出答案． 【详解】， ，， 当且仅当时，等号成立； 又， ，不妨令时，等号成立， 综上可得：． 故选：A． 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知函数，则（ ） A. 若，可得 B. 函数的值域为 C. 函数的减区间为 D. 直线与函数的图象有且仅有两个交点 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，直接分和解方程即可；对于B，分段求出值域，再求并集即可；对于C，分段求单调性即可；对于D，分段解方程即可. 【详解】对于A，当时，由，可得，正值舍去； 当时，由，可得，负值舍去， 所以或，A错误； 对于B：当，， 当时，，即函数的值域为，B正确； 对于C：当，在上单调递减，在上单调递增， 当时，在上单调递增， 所以函数的减区间为，C正确； 对于D：当，令，解得，正值舍去； 当，，解得，负值舍去， 所以直线与函数的图象有且仅有两个交点，D正确； 故选：BCD. 10. 下列命题是真命题的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据基本不等式，求得的取值范围，可判定A不正确；根据当时，得到，可判定B正确；结合配方法，可判定C正确；结合对数函数的性质，可判定D不正确. 【详解】对于A中，当时，则，当且仅当时，等号成立； 当时，则，当且仅当时，等号成立， 所以的取值范围为，所以A不正确； 对于B中，当时，可得，所以命题为真命题，所以B正确； 对于C中，由，所以命题为真命题，所以C正确； 对于D中，当时，，所以命题为假命题，所以D不正确. 故选：BC. 11. 设，都是集合的子集，如果叫做集合的长度，则下列说法正确的是（ ） A. 集合的长度为 B. 集合的长度为 C. 集合的长度最小值为 D. 集合的长度最大值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用集合可得集合的长度；由，且，求出，，由，且，求出，．所以，，或，，所以，或．由此能求出集合的长度的最小值． 【详解】，集合的长度为，选项A正确； ，集合的长度为，选项B正确； 由，且，求出，， 由，且，求出，， 分别把，的两端值代入求出： ，，或，， 所以，或． 所以，或， 综上所述，集合的长度的最小值是，选项C正确，选项D错误； 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 等比数列中， ，那么数列的前项和__________ 【答案】63 【解析】 【分析】 利用等比数列的通项公式得到关于的方程，进而代入求和公式即得． 【详解】设公比为，由题意，得解得， 所以 故答案为：63 【点睛】本题考查等比数列的通项公式，求和公式，考查计算能力，属于基础题． 13. 如图所示，正方体的棱长为3，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】该多面体为正八面体，将其转化为两个正四棱锥，通过计算两个正四棱锥的体积计算出正八面体的体积. 【详解】以正方体所有面的中心为顶点的多面体为正八面体， 也可以看作是两个正四棱锥的组合体，每一个正四棱锥的侧棱长与底面边长均为．则其中一个正四棱锥的高为h． ∴该多面体的体积V． 故答案为： 【点睛】本小题主要考查正八面体、正四棱锥体积的计算，属于基础题. 14. 已知函数若函数有四个零点，且，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】画出函数的图象，由题意得出的取值范围和的值，再利用基本不等式即可求出的取值范围． 【详解】由题意，画出函数的图象，如图所示， 又函数有四个零点，且， 所以， 且， 所以，，所以，， 所以，当且仅当时“”成立； 所以的取值范围是． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图所示，圆锥的顶点为P，底面中心为O，母线，且． （1）求圆锥的体积； （2）求二面角的大小（结果用反三角表示）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出圆锥的高，进而利用锥体体积公式得到答案； （2）作出辅助线，得到为二面角的平面角，求出各边长，得到，得到答案. 【小问1详解】 圆锥的高， 则圆锥的体积为； 【小问2详解】 取的中点，连接， 因为，所以⊥，⊥， 由图可知，二面角为锐角， 故为二面角的平面角， 因为，所以， 故， 则， 故， 故. 16. 已知数列满足：； （1）若，求的值； （2）若，记，数列的前项和为，求证：． 【答案】（1）1或4 （2） ，； ．， 为单调递减数列．， ，， ， ， 因为，所以. 【解析】 【分析】（1）由数列满足：，，代入可得． （2）由，；可得．，为单调递减数列．进而得到，，即可得出范围. 【小问1详解】 数列满足：，， ，解得或； 当时，解得或4． 当时，无解．或4． 【小问2详解】 略 17. 已知四棱锥的底面是正方形，平面． （1）设平面平面，求证：； （2）求证：平面平面． 【答案】（1）证明：因为，平面，平面，所以平面， 而平面平面，平面，所以． （2）证明：因为平面，平面，所以， 因为四棱锥的底面是正方形，所以，而与相交，与都在平面内，所以平面， 又平面，所以平面平面． 【解析】 【分析】（1）由得线面平行，再由线面平行的性质定理得线线平行； （2）证明平面后可得面面垂直． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 已知向量，，且. （1）求满足上述条件的点M(x,y)的轨迹C的方程； （2）设曲线C与直线y=kx+m(k≠0)相交于不同的两点P，Q，点A(0,1)，当|AP|=|AQ|时，求实数m的取值范围. 【答案】（1）+y2=1；（2）. 【解析】 【分析】 （1）应用向量垂直的坐标表示得x2+3y2=3，即可写出M的轨迹C的方程； （2）由直线与曲线C交于不同的两点P(x1,y1)，Q(x2,y2)，设直线y=kx+m(k≠0)，联立方程整理所得方程有，且由根与系数关系用m，k表示x1+x2，x1x2，若N为PQ的中点结合|AP|=|AQ|知PQ⊥AN可得m、k的等量关系，结合即可求m的范围. 【详解】(1)∵，即， ∴，即有x2+3y2=3， 即点M(x,y)的轨迹C的方程为+y2=1. (2)由得(1+3k2)x2+6kmx+3(m2-1)=0. ∵曲线C与直线y=kx+m(k≠0)相交于不同的两点， ∴Δ=(6km)2-12(1+3k2)(m2-1)=12(3k2-m2+1)>0，即3k2-m2+1>0 ①，且x1+x2=，x1x2=. 设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，线段PQ的中点N(x0,y0)，则. ∵|AP|=|AQ|，即知PQ⊥AN，设kAN表示直线AN的斜率，又k≠0， ∴kANk=-1.即·k=-1，得3k2=2m-1 ②，而3k2>0，有m>. 将②代入①得2m1m2+1>0，即2m<0，解得0<m<2， ∴m的取值范围为. 【点睛】思路点睛： 1、由向量垂直，结合其坐标表示得到关于x，y的方程，写出曲线C的标准方程即可. 2、由直线与曲线C相交，联立方程有，由|AP|=|AQ|得直线的垂直关系，即斜率之积为-1，进而可求参数的范围. 19. 已知函数，曲线在点处的切线方程为. （1）求，的值； （2）当时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1),;(2)实数的取值范围是. 【解析】 【详解】分析：（1）根据题意，分析可得且，解方程可得的值，即可得到答案； （2）根据题意，由（1）的结论可得，当时，恒成立等价于，设，利用导数分析即可得到答案. 详解：（1）函的定义域为， ，把代入方程中，得， 即，∴，又因为，∴， 故. （2）由（1）可知， 当时，恒成立等价于. 设， 则 ， 由于， 当时，，则在上单调递增， 恒成立. 当时，设,则.则为上单调递增函数， 又由.即在上存在，使得， 当时，单调递减，当时，单调递增； 则，不合题意，舍去. 综上所述，实数的取值范围是. 点睛：(1)证明f(x)>g(x)可转化为证明F(x)＝f(x)－g(x)的最小值大于0，再利用导数求F(x)的最小值． (2)对于F(x)＝f(x)－g(x)的最小值，不易求出的情况，也可以通过f(x)，g(x)的最值情况进行证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省两校2026届高三上学期月联考 2025.9 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设为虚数单位，则复数对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 若集合，，则（   ） A. B. C. D. 3. 直线被圆截得的弦长最大值为（ ） A. B. C. 2 D. 4. 某校高一共有10个班，编号1至10，某项调查要从中抽取三个班作为样本，现用抽签法抽取样本，每次抽取一个号码，共抽3次，设五班第二次被抽到的可能性为，则（ ） A. B. C. D. 5. 锐角中，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 在5道试题中有3道填空题和2道选择题，不放回地依次随机抽取2道题，在第1次抽到填空题的条件下，第2次抽到选择题的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 十进制计数法简单易懂，方便人们进行计算.也可以用其他进制表示数，如十进制下，；；将余数从下往上排列起来，所以125就是68这个数的七进制.表示形式就是125，个位数为5，那么用七进制表示十进制的，其个位数是（ ） A. 6 B. 5 C. 2 D. 1 8. 若实数、、满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知函数，则（ ） A. 若，可得 B. 函数的值域为 C. 函数的减区间为 D. 直线与函数的图象有且仅有两个交点 10. 下列命题是真命题的是（ ） A. B. C. D. 11. 设，都是集合的子集，如果叫做集合的长度，则下列说法正确的是（ ） A. 集合的长度为 B. 集合的长度为 C. 集合的长度最小值为 D. 集合的长度最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 等比数列中， ，那么数列的前项和__________ 13. 如图所示，正方体的棱长为3，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为_____． 14. 已知函数若函数有四个零点，且，则的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图所示，圆锥的顶点为P，底面中心为O，母线，且． （1）求圆锥的体积； （2）求二面角的大小（结果用反三角表示）． 16. 已知数列满足：； （1）若，求的值； （2）若，记，数列的前项和为，求证：． 17. 已知四棱锥的底面是正方形，平面． （1）设平面平面，求证：； （2）求证：平面平面． 18. 已知向量，，且. （1）求满足上述条件的点M(x,y)的轨迹C的方程； （2）设曲线C与直线y=kx+m(k≠0)相交于不同的两点P，Q，点A(0,1)，当|AP|=|AQ|时，求实数m的取值范围. 19. 已知函数，曲线在点处的切线方程为. （1）求，的值； （2）当时，恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $