2.1等式性质与不等式性质【六大考点+六大题型】讲义-2025-2026学年高一数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版必修第一册）

本讲义聚焦等式性质与不等式性质核心知识点，先以实数比较大小的基本事实和重要不等式为基础，系统梳理等式的对称性、传递性等性质及不等式的对称性、可加可乘等性质，通过表格呈现形成结构化学习支架，辅以思维导图构建知识脉络。 资料特色在于分题型设计（比较大小、求范围等六类），结合作差法等具体方法培养推理能力（数学思维），融入糖水浓度等现实情境题发展应用意识（数学语言），高分演练分层练习助力课后查漏补缺，课中教师可依托清晰知识框架提升教学效率。

2.1：等式性质与不等式性质 【考点梳理】 【知识梳理】 知识点一：基本事实：两个实数a，b，其大小关系有三种可能，即a>b，a＝b，a<b. 依据 如果a>b⇔a－b>0. 如果a＝b⇔a－b＝0. 如果a<b⇔a－b<0. 结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小 知识点二：重要不等式 ∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立． 知识点三：等式的基本性质 (1)如果a＝b，那么b＝a. (2)如果a＝b，b＝c，那么a＝c. (3)如果a＝b，那么a±c＝b±c. (4)如果a＝b，那么ac＝bc. (5)如果a＝b，c≠0，那么＝. 知识点四：不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 ⇒ac>bc c的符号 ⇒ac<bc 5 同向可加性 ⇒a＋c>b＋d 同向 6 同向同正可乘性 ⇒ac>bd 同向 7 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 【例题详解】 题型一、由已知条件判断不等式是否正确 【例1】．（24-25高一上·广东江门·期中）下列命题是真命题的是（      ） A．若，则. B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【跟踪训练1】．（22-23高一上·四川广安·期中）下列命题中错误的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【跟踪训练2】．（25-26高一上·全国·随堂练习）已知且，则下列不等式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 题型二、作差法比较大小 【例2】．（2025高一上·上海·专题练习）若，，则M、N的大小关系是M N 【跟踪训练1】．（24-25高一上·四川宜宾·阶段练习）若，设，则的大小关系是 ．（用“＞”、“＜”、“≥”、“≤”、“=”填空） 【跟踪训练2】．（2020高一·上海·专题练习），，则，的大小关系为 ． 题型三、作商法比较大小 【例3】．（23-24高一·江苏）已知，试比较和的大小. 【跟踪训练1】．（21-22高一上·上海徐汇·阶段练习）已知，试比较与的大小. 【跟踪训练2】．（20-21高一上·全国（1）比较与的大小； 题型四、利用性质比较大小 【例4】．（2025高一上·江苏·专题练习）若、、为实数，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 【跟踪训练1】．．（25-26高一上·全国·课前预习）若，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，那么 D．若，则 【跟踪训练2】．．（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）若，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型五：利用不等式的性质求范围 【例5】．（25-26高一上·河南鹤壁·开学考试）已知实数满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】．（25-26高一上·广西崇左）已知且，求的取值范围（    ） A． B． C．或 D．或 【跟踪训练2】．（25-26高一上·全国·单元测试）已知实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型六、利用不等式的性质判断或证明 【例6】．（24-25高一上·北京西城·期末）已知实数，满足，． (1)求和的取值范围； (2)证明：． 【跟踪训练1】．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）已知，求证：； （2）已知，，，求证：． 【跟踪训练2】．（24-25高一上·海南省直辖县级单位·期中）已知，． (1)求证：； (2)求证：． 【高分演练】 一、单选题 1．（24-25高一上·江苏南通·期末）若a＞b，c＞d，则（   ） A． B．a－c＞b－d C．a－d＞b－c D．ac＞bd 2．（25-26高一上·全国）已知，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·全国·课后作业）糖水在日常生活中经常见到，可以说大部分人都喝过糖水.如果克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设糖全部溶解），糖水变甜了，将这一事实表示为不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·全国·课前预习）已知，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·上海·阶段练习）若，下列不等式：①；②；③；④.成立的有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 7．（24-25高一上·广东深圳·期末）下列命题是假命题的为（   ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若，则 8．（24-25高一上·河北廊坊·期末）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若且，则 C．若，则 D．若，，则 二、多选题 9．（24-25高一上·福建莆田·阶段练习）已知均为实数，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若， 10．（25-26高一上·河北衡水）下列不等关系正确的是（　　） A．若，则 B．若且，则 C．若且，则； D．若，则 11．（25-26高一上·湖北武汉·开学考试）若，则下列命题正确的是（   ） A．若且，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 12．（23-24高一上·贵州·阶段练习）已知，，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 13．（23-24高一上·云南玉溪·期中）若，则下列命题中错误的是（    ） A．若且，则 B．若且，则 C．若且，则 D．若，则 三、填空题 14．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，，则的取值范围是 . 15．（24-25高一上·福建漳州·阶段练习）有外表一样、重量不同的四个小球甲、乙、丙、丁，它们的重量分别是a，b，c，d，已知，，，则这四个小球中最重的是 ，最轻的是 ． 16．（2025·吉林长春·二模）正整数满足，则的最大值为 ． 17．（24-25高一上·四川眉山·期末）已知，，，则的取值范围是 . 四、解答题 18．（24-25高一上·福建厦门·阶段练习）比较下列各组中两式的大小： (1)设，，比较，大小； (2)当时，比较与的值的大小． 19．（25-26高一上·全国·单元测试）已知，． (1)求的取值范围． (2)若将条件变为“，”． （i）求的取值范围； （ii）求的取值范围． 20．（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）解决下列问题 (1).已知，，求的取值范围； (2).已知，，求的取值范围； (3).已知，比较与的大小. 21．（23-24高一上·四川南充）（1）已知，求的取值范围； （2）若，求证：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1：等式性质与不等式性质 【考点梳理】 【知识梳理】 知识点一：基本事实：两个实数a，b，其大小关系有三种可能，即a>b，a＝b，a<b. 依据 如果a>b⇔a－b>0. 如果a＝b⇔a－b＝0. 如果a<b⇔a－b<0. 结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小 知识点二：重要不等式 ∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立． 知识点三：等式的基本性质 (1)如果a＝b，那么b＝a. (2)如果a＝b，b＝c，那么a＝c. (3)如果a＝b，那么a±c＝b±c. (4)如果a＝b，那么ac＝bc. (5)如果a＝b，c≠0，那么＝. 知识点四：不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 ⇒ac>bc c的符号 ⇒ac<bc 5 同向可加性 ⇒a＋c>b＋d 同向 6 同向同正可乘性 ⇒ac>bd 同向 7 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 【例题详解】 题型一、由已知条件判断不等式是否正确 【例1】．（24-25高一上·广东江门·期中）下列命题是真命题的是（      ） A．若，则. B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】举例说明判断ABC；作差推理判断D. 【详解】对于A，取，则，，此时，A错误； 对于B，取，则，，此时，B错误； 对于C，取，则，C错误； 对于D，由，得，， 因此，即，D正确. 故选：D 【跟踪训练1】．（22-23高一上·四川广安·期中）下列命题中错误的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】C 【分析】利用不等式的性质或者特值排除法可得答案. 【详解】因为，所以，因为，所以，A正确； 因为，所以，所以，B正确； C错误，比如，而； 因为，，所以，所以，D正确. 故选：C 【跟踪训练2】．（25-26高一上·全国·随堂练习）已知且，则下列不等式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的基本性质判断D；举例说明即可判断ABC. 【详解】A：当时，，故A错误； B：当时，满足，但不成立，故B错误； C：当时，，故C错误； D：由，得，故D正确. 故选：D 题型二、作差法比较大小 【例2】．（2025高一上·上海·专题练习）若，，则M、N的大小关系是M N 【答案】 【分析】令，对进行化简后作差求解. 【详解】令，则，， ， 所以. 故答案为： 【跟踪训练1】．（24-25高一上·四川宜宾·阶段练习）若，设，则的大小关系是 ．（用“＞”、“＜”、“≥”、“≤”、“=”填空） 【答案】＞； 【分析】利用作差法求解. 【详解】解：因为， 所以， 所以 ， ， 则，即， 故答案为：＞ 【跟踪训练2】．（2020高一·上海·专题练习），，则，的大小关系为 ． 【答案】 【分析】利用作差法比大小. 【详解】由已知，，则， 当且仅当时，等号成立， 即， 故答案为：. 题型三、作商法比较大小 【例3】．（23-24高一·江苏）已知，试比较和的大小. 【答案】 【分析】方法1：采用作商比较法，结合分母有理化即可求解；方法2：先计算，从而可得，进而可求解. 【详解】（方法1）因为，所以. 所以. 因为，所以，即； （方法2）所以， 又， 所以 , 所以. 【跟踪训练1】．（21-22高一上·上海徐汇·阶段练习）已知，试比较与的大小. 【答案】 【分析】利用两个数都大于0,直接利用作商比较其大小即可. 【详解】， ，. 两数作商 ， . 【跟踪训练2】．（20-21高一上·全国（1）比较与的大小； （2）已知，试比较和的大小. 【答案】（1）答案见解析；（2）. 【分析】（1）利用作差法得出，然后对与的大小进行分类讨论，进而可得出与的大小关系； （2）将、进行分子有理化，结合作商法可得出、的大小关系. 【详解】（1）， 当时，则，则； 当时，则，则； 当时，则，则； （2），则，， ， ， ，所以，， 因此，. 【点睛】本题考查利用作差法和作商法比较大小，属于基础题. 题型四、利用性质比较大小 【例4】．（2025高一上·江苏·专题练习）若、、为实数，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 【答案】B 【分析】对于A，当时即可判断，对于B，利用作差法即可判断，对于C，取即可判断，对于D，利用作差法即可判断. 【详解】 对于A，当时，，故A错误； 对于B：因为 ，则，所以，，所以，故B正确， 对于C，取，满足，显然不成立，故C错误； 对于D： ，因为，得，又，所以，所以，故D错误. 故选：B 【跟踪训练1】．．（25-26高一上·全国·课前预习）若，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，那么 D．若，则 【答案】B 【分析】应用不等式性质及特殊值法、作差法判断各项的正误. 【详解】取，有，A错误； 因为，所以，所以，所以，B正确； 取，显然，C错误； 因为，所以，即，D错误． 故选：B 【跟踪训练2】．．（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）若，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】对于ACD，举例判断，对于B，根据不等式的性质以及作差法分析判断. 【详解】对于A，若，满足，则，所以A错误， 对于B，因为，，所以，即得，又因为， 则，所以B正确， 对于C，若，满足，则，所以C错误， 对于D，若，则，所以D错误， 故选：B. 题型五：利用不等式的性质求范围 【例5】．（25-26高一上·河南鹤壁·开学考试）已知实数满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，得到，求得，得到，即可求解. 【详解】令，联立方程组，解得 ， 则， 因为，可得， 所以，所以，即. 故选：B. 【跟踪训练1】．（25-26高一上·广西崇左）已知且，求的取值范围（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】先将用，表示出来，根据已知的与的取值范围，再利用不等式的性质求的取值范围. 【详解】设 因为， 所以， 又因为，将与的取值范围相加， 所以， 即. 故选：. 【跟踪训练2】．（25-26高一上·全国·单元测试）已知实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】方法一：利用待定系数法，结合不等式的基本性质可求得的取值范围. 方法二：利用双换元法，结合不等式的性质求得正确答案. 【详解】方法一：设，则， 所以解得即， 因为则 因此． 方法二：设，则， 所以， 又因为，所以， 因此． 故选：D 题型六、利用不等式的性质判断或证明 【例6】．（24-25高一上·北京西城·期末）已知实数，满足，． (1)求和的取值范围； (2)证明：． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）根据条件，利用不等式的性质，即可求解； （2）通过作差，得到，再根据条件，即可求解. 【详解】（1）因为，，所以， 当，时，则，，此时， 当，时，则，此时，得到， 当，时，则，此时，得到， 当，时，， 又当或时，， 综上，. （2）因为， 又，，则，， 所以，得到. 【跟踪训练1】．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）已知，求证：； （2）已知，，，求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）（2）利用不等式的性质推理即得. 【详解】（1）由，得，则， 又，则，即， 不等式两边同乘，得， 而，所以． （2）由，，得，即， 又，所以． 【跟踪训练2】．（24-25高一上·海南省直辖县级单位·期中）已知，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）利用不等式的性质证明即可； （2）应用作差法比较大小，即可证. 【详解】（1）由，则，故， 由，则，故， 所以，得证. （2）由，而， 所以，即，得证. 【高分演练】 一、单选题 1．（24-25高一上·江苏南通·期末）若a＞b，c＞d，则（   ） A． B．a－c＞b－d C．a－d＞b－c D．ac＞bd 【答案】C 【分析】根据不等式的基本性质，或举出反例，逐一检验选项即可. 【详解】 选项A：若，则.所以选项错误. 选项B：若,满足，但是.所以选项B错误. 选项C：因为所以又因为，所以所以选项C正确 选项D：若,满足，但是,所以选项D错误. 故选：C. 2．（25-26高一上·全国）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知及不等式的性质依次判断各项的正误即可. 【详解】由，得，而， 所以，得，故，B错误； 因为，所以，所以，A错误； 由两边同时乘以，且，所以，C错误； 由两边同时乘以，且，得，D正确． 故选：D 3．（25-26高一上·全国·课后作业）糖水在日常生活中经常见到，可以说大部分人都喝过糖水.如果克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设糖全部溶解），糖水变甜了，将这一事实表示为不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意分析加糖前后糖水浓度的变化即可求解. 【详解】加入克糖后糖水变甜了，即糖水的浓度增加了. 加糖之前，糖水的浓度为；加糖之后，糖水的浓度为，所以. 故选：A. 4．（25-26高一上·全国·课前预习）已知，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式的性质及特殊值法判断各项的正误. 【详解】由，知，则，A正确； 取，则，B，C错误； 因为，所以，D错误． 故选：A 5．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用不等式的性质求各项代数式的范围. 【详解】A：由不等式的同向可加性得，即，对； B：同乘，不等式变号，得，又， 由不等式的同向可加性得，即，对； C：由B项结论及，利用不等式的同向同正可乘性得，即，对； D：因为，则有又， 由不等式的同向同正可乘性得，则，错. 故选：D 6．（24-25高一上·上海·阶段练习）若，下列不等式：①；②；③；④.成立的有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】对于①②③：根据不等式的性质分析判断即可；对于④：由③可知，结合不等式性质分析判断. 【详解】对于①：因为，则，所以，故①正确； 对于②：因为，则，所以，故②错误； 对于③：因为，则， 所以，故③正确； 对于④：因为，则，可得， 即，所以，故④正确； 综上所述：成立的有3个. 故选：C. 7．（24-25高一上·广东深圳·期末）下列命题是假命题的为（   ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若，则 【答案】A 【分析】对于AＣＤ，由做差法与题意可判断选项正误； 对于B，由不等式性质可判断选项正误． 【详解】对于A，，因，则， 又，则，故A错误； 对于B，由不等式同向可加性可知，当时，，故B正确； 对于C，，因，则，又， 则，故C正确； 对于D，，因，则， ，则， 故D正确． 故选：A 8．（24-25高一上·河北廊坊·期末）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若且，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】A 【分析】利用反例可判断BDC的正误，根据不等式的性质可判断AC的正误. 【详解】对于A，取，则，若，则， 故若，则，故成立，故A正确； 对于B，取，则成立，但， 故B错误； 对于C，取，则成立，但 ， 故C错误； 对于D，取，则，， 但，故D错误； 故选：A. 二、多选题 9．（24-25高一上·福建莆田·阶段练习）已知均为实数，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若， 【答案】AB 【分析】结合不等式的性质逐项分析即可. 【详解】选项A，若，则，，即，选项A正确； 选项B，若，，则，，，即，选项B正确； 选项C，若，，取，，，，则，，，选项C错误； 选项D，若，，则，选项D错误. 故选：AB. 10．（25-26高一上·河北衡水）下列不等关系正确的是（　　） A．若，则 B．若且，则 C．若且，则； D．若，则 【答案】ABC 【分析】根据不等式的性质逐项判断即可得结论. 【详解】对于A，若，则，所以，故A正确； 对于B，若且，则，所以，故B正确； 对于C，若，，则，所以，故C正确； 对于D，若，当，则，故D不正确. 故选：ABC. 11．（25-26高一上·湖北武汉·开学考试）若，则下列命题正确的是（   ） A．若且，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 【答案】BC 【分析】举反例判断AD；作差法判断B；对于C，结合不等式的性质利用作差法判断即可. 【详解】对于A，取，满足且，但，不满足，错误； 对于B，因为，， 所以，即，正确； 对于C，， 因为，所以，所以，所以成立，正确； 对于D，取，满足且，但，不满足，错误. 故选：BC 12．（23-24高一上·贵州·阶段练习）已知，，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据条件，利用不等式的基本性质逐项判断即可. 【详解】对于A，∵，，∴，，∴，故A正确； 对于B，∵，，∴，故B正确； 对于C，∵，∴，又∵，∴，故C不正确； 对于D，∵，∴，又，∴，∴，∴，故D正确； 故选：ABD 13．（23-24高一上·云南玉溪·期中）若，则下列命题中错误的是（    ） A．若且，则 B．若且，则 C．若且，则 D．若，则 【答案】ABD 【分析】根据不等式的性质，结合作差法，比较大小即可. 【详解】对于A，因为且，则，但不确定的正负，当时，，故A错误； 对于B，，因为且，所以，则即，故B错误； 对于C，若，则，所以，故C正确； 对于D，若，则则故D错误. 故选：ABD. 三、填空题 14．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由不等式的性质即可求解. 【详解】因为， 所以，则有又， 由不等式的同向同正可乘性得，则. 故答案为： 15．（24-25高一上·福建漳州·阶段练习）有外表一样、重量不同的四个小球甲、乙、丙、丁，它们的重量分别是a，b，c，d，已知，，，则这四个小球中最重的是 ，最轻的是 ． 【答案】 丁 丙 【分析】利用不等式的性质来化简证明即可. 【详解】由，，可得， 再由，代入，可得：， 再由，因为，所以，即， 所以四个小球中最重的是丁，最轻的是丙， 故答案为：丁，丙. 16．（2025·吉林长春·二模）正整数满足，则的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】当取最小的正整数时，所求最大. 【详解】，要使其最大，则都最小即可， 因为，且为正整数，故取， 此时， 故答案为： 17．（24-25高一上·四川眉山·期末）已知，，，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用换元法，结合不等式性质，可得答案. 【详解】令，则，即， 由，即，可得，则. 故答案为：. 四、解答题 18．（24-25高一上·福建厦门·阶段练习）比较下列各组中两式的大小： (1)设，，比较，大小； (2)当时，比较与的值的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】作差法比较即可 【详解】（1）， 则. （2）， 则 19．（25-26高一上·全国·单元测试）已知，． (1)求的取值范围． (2)若将条件变为“，”． （i）求的取值范围； （ii）求的取值范围． 【答案】(1)； (2)（ⅰ）；（ii）． 【分析】（1）应用不等式的性质及已知求目标式的范围； （2）（i）联立已知不等式即可求范围；（ii）法一：首先求得，再由不等式性质求范围；法二：应用换元法及法一的过程求范围. 【详解】（1）因为，所以，又，所以． 因为，所以． （2）（i），，两式相加得，解得， 所以的取值范围为． （ii）法一：令，所以， 所以则所以． 因为，，所以，， 所以． 法二：令则且 所以． 由得，， 所以，即. 20．（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）解决下列问题 (1).已知，，求的取值范围； (2).已知，，求的取值范围； (3).已知，比较与的大小. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由不等式性质可解决问题； （2）由待定系数法结合不等式性质可得答案； （3）由作差法结合条件可比较大小. 【详解】（1）因，，则， 则； （2）设. 则.， 则； （3） 因，则， 则 21．（23-24高一上·四川南充·阶段练习）（1）已知，求的取值范围； （2）若，求证：. 【答案】（1）；（2）证明见解析 【分析】（1）根据不等式的同向可加性结合待定系数法即可求的取值范围； （2）根据不等式的性质结合逐步判断即可得结论. 【详解】（1）设， 所以，解得， ， 即 的取值范围是. （2）证明： ， ， . 1 学科网（北京）股份有限公司 $