2.3 .1二次函数与一元二次方程、不等式（第1课时）课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦二次函数与一元二次方程、不等式的联系及一元二次不等式解法，通过园艺围栏实际问题导入，回顾一次函数与方程、不等式的关系搭建学习支架，引导学生探究二次函数背景下三者的内在关联。 其亮点在于以情境创设培养数学眼光，通过图像与方程根的关系发展数学思维（几何直观、逻辑推理），用集合符号规范表达解集体现数学语言。实例丰富且步骤清晰，助力学生掌握解法，教师可高效教学，提升学生用数学解决实际问题的能力。

第 2 章 2.3 二次函数与一元二次方程不等式(第1课时) 二次函数与一元二次方程、不等式 情景引入 问题　园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉．若栅栏的长度是２４ｍ，围成的矩形区域的面积要大于20m2，则这个矩形的边长为多少米？ 设这个矩形的一条边长为xｍ， 则另一条边长为（１２－x）ｍ． 由题意，得:（１２－x）x＞２０， 其中x∈｛x｜０＜x＜１２｝． 整理得 x２－１２x＋２０＜０，x∈｛x｜０＜x＜１２｝． ① 求得不等式①的解集，就得到了问题的答案． 1.一元二次不等式的定义 定义：我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式. 一般表达式： ， ， ，， 其中a，b，c均为常数. 1.“一元”指的是只有一个未知数，不代表只有一个字母，如等； 2.“二次”指的是未知数的最高次必须存在并且是2，并且最高次系数不为0. 函数、方程、不等式知识回顾 在初中，我们从一次函数的角度看一元一次方程，一元一次不等式， 发现了三者之间的内在联系，利用这种联系可以让我们更简便的解决问题： 方程的解为 的解为 的解为 对于二次函数、一元二次方程和一元二次不等式， 他们的联系又 是怎样的呢？ 2.借助二次函数与一元二次方程的联系，获得求解医院二次不等式的一般性方法 二次函数与一元二次方程、不等式 在初中，我们从一次函数的角度看一元一次方程、一元一次不等式，发现了三者之间的内在联系，利用这种联系可以更好的解决相关问题．对于二次函数、一元二次方程和一元二次不等式，是否也有这样的联系呢？ 步骤：1．做出函数的图像； 2．求出图像与x轴交点的横坐标；（函数的零点） 3．观察图像位于x轴上方（或下方）所对应的x取值范围． 观察一下一元二次不等式和二次函数的关系 如图在坐标系中画出二次函数的图像，图像与轴有两个交点.它们的横坐标就是方程=0的两个实根，即交点坐标为(2,0)和(10，0). 我们把使得的实数叫做函数的零点. 的零点就是 【注意】零点不是点，是交点的横坐标，是数 3.二次函数的零点 从图中可以看出，二次函数的两个零点将轴分成三段. 当，函数图像位于轴下方，此时，即 ，所以，一元二次不等式的解集为： {} 上述方法可以推广到求一般的一元二次不等式 的解集.首先求出一元二次方程的根，再根据二次函数图像求解. 当时，函数图像位于轴上方，此时 ，即 ； 4.一元二次不等式的解法 () 两个不等实根 () 两个相等实根 没有实数根 {} {} R {} ∅ ∅ 4.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系(a>0的情形） 三个“二次”关系的实质用数形结合的思想来解读： 4.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系(a>0的情形） 【例1】求不等式的解集. 【分析】方程的根是函数的零点， 所以先求出的根，再根据图像求的解集. 【解】方程，因为，所以它有 两个实数根.解方程得.画出函数 的图像如图所示， 结合图像可知不等式的解集为{|} 例题精讲 【例2】求不等式9x2－6x＋1＞0的解集． 【解析】对于方程9x2－6x＋1＝0，因为Δ＝0， 画出二次函数y＝9x2－6x＋1的大致图象， 结合图象得不等式9x2－6x＋1＞0的解集为 ． 所以它有两个相等的实数根，解得x1＝x2＝ 例题精讲 例题精讲 【例3】求不等式－x2+2x－3＞0的解集． 【解析】不等式可化为x2－2x+3<0，因为∆<0 所以方程x2－2x+3=0无实数根 画出二次函数y=x2－2x+3的大致图象， 结合图象得不等式x2－2x+3<0的解集为:∅ 将原不等式化成的形式 计算的值 方程有两个不等实根( ) 原不等式的解集为 {|｝ 方程有两个相等实根( ) 原不等式的解集为 {|｝ 方程 没有实根 原不等式的解集为 R 归纳与总结 一元二次不等式解法的步骤 练习（第53页） 练习（第53页） 1.求下列不等式的解集 练习（第53页） 练习（第53页） 练习（第53页） 练习（第53页） 2.当自变量x在什么范围取值时，下列函数的值等于0？大于0？小于0？ 练习（第53页） 练习（第53页） 作业 课本P55的习题2.3的1,3,5题. 练习2.3（第55页） 练习2.3（第55页） 练习2.3（第55页） $