2.2基本不等式的应用第2课时课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第 2 章 2.2 基本不等式（第2课时） 基本不等式在实际问题中的应用 复习旧知 导入新知 1．重要不等式 当 a，b 是任意实数时，有a2＋b2≥______，当且仅当________时，等号成立． 2ab a＝b a＝b　 【例3】（1）用篱笆围成一个面积为100m的矩形菜园，问这个矩形的长、 宽各为多少时，所用篱笆最短。最短的篱笆是多少？ A B D C 例题精讲 解：设矩形菜园的长为x m，宽为y m， 则xy=100，篱笆的长为2（x+y）m. 等号当且仅当x=y时成立，此时x=y=10. 因此，这个矩形的长、宽都为10m时， 所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m. 【例3】（2）用段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？ 例题精讲 解：设矩形菜园的长为x m，宽为y m， 则 2（ x + y ）= 36 , x + y = 18 矩形菜园的面积为xym2 当且仅当x=y,即x=y=9时，等号成立 因此，这个矩形的长、宽都为9m时， 菜园面积最大，最大面积是81m2 $来&源：ziyuanku.com 4 例题精讲 【例5】某工厂要建一个长方形无盖贮水池，其容积为4800m3，深为3m，若池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计能使总造价最低？最低总造价是多少？ 3 x y 总结新知 求解实际问题中最值的四步骤 解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识(函数及不等式性质等)解决问题.用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行： 先读懂题意，设出变量，列出关系式； 把实际问题抽象成求式子的最大值或最小值问题； 求最大值或最小值时，一般先考虑基本不等式，求出最值，然后写出使等号成立的条件； 回归到实际问题中，正确写出答案． 练习（第48页） 1．用20 cm长的铁丝折成一个面积最大的矩形，应当怎样折？ 因为周长等于20，所以 所以： 当且仅当a = b = 5时取等号。 答：当矩形的长与宽均为5cm时，面积最大。最大值为25cm2. 练习（第48页） 2．用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m．当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ 练习（第48页） 3．做一个体积为32 m3，高为2 m的长方体纸盒，当底面的边长取什么值时，用纸最少？ 解：设底面的长与宽分别为a m, b m. a>0, b>0,因为体积等于32m3,高2m,所以 底面积为16m2,即： 所以用纸面积是： 当且仅当a=b=4时取等号。 答：当底面的长与宽均为4m时，用纸最少。 练习（第48页） 4．已知一个矩形的周长为36 cm，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱．当矩形的边长为多少时，旋转形成的圆柱的侧面积最大？ r 当矩形的长和宽分别为9时，圆柱的侧面积最大。 作业 教材第49页 --- 习题2.2第3，6，7，8题 练习2.2（第49页） 3．某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为48m2，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元．如果墙高为3m，且不计屋脊面和地面的费用，那么怎样设计房屋使总造价最低？最低总造价是多少？ 当3600y=4800x,即x=6, y=8时，z有最小值，最低造价为63400元。 练习2.2（第49页） 6．一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费y1（单位：元）与仓库到车站的距离x（单位：km）成反比，每月库存货物费用y2（单位：元）与x成正比；若在距离车站10 km处建仓库，则y1和y2分别为2万元和8万元．这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？ 练习2.2（第49页） 6．一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费y1（单位：元）与仓库到车站的距离x（单位：km）成反比，每月库存货物费用y2（单位：元）与x成正比；若在距离车站10 km处建仓库，则y1和y2分别为2万元和8万元．这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？ 所以仓库应建在距离车站5 km处，才能使两项费用之和最小，最小费用为8万元． 练习2.2（第49页） 7．一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买10 g黄金，售货员先将5 g的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5 g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．你认为顾客购得的黄金是小于10 g，等于10 g，还是大于10 g？为什么？ 练习2.2（第48页） A B C D P 2．基本不等式 (1)有关概念：当a，b均为正数时，把__________叫做正数a，b的算术平均数，把________叫做正数a，b的几何平均数． (2)不等式：当a，b是任意正实数时，a，b的几何平均数不大于它们的算术平均 数，即≤__________，当且仅当________时，等号成立． (3)变形：ab≤，a＋b≥2(其中a＞0，b＞0，当且仅当a＝b时，等号成立)． $