2.1不等式关系与不等式第一课时课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦不等式及其关系，涵盖不等关系表示、作差法比较大小及重要不等式。从限速、酸奶质量等现实问题导入，通过问题链衔接初中知识，引导学生抽象概念，搭建具体到抽象的学习支架。 其亮点是融合数学文化与现实应用，如赵爽弦图探究重要不等式，培养数学眼光。作差法步骤清晰，例1规范推理过程发展数学思维。实际问题转化为不等式模型提升数学语言表达。学生增强应用意识，教师可借结构化流程提升教学效率。

第 2 章 2.1 等式与不等式性质（第1课时） 不等关系与不等式 一.不等式及其关系 在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、大与小、长与短、高与矮、远与近、快与慢、涨与跌、轻与重、不超过和不少于等。类似于这样的问题反映在数量关系上就是相等和不相等，相等用等式表示不等用不等式表示。 【等式】指的是用等号“=”连接起来的式子 【不等式】指的是用不等号“≠”“＞”“＜”“≥”“≤” 连接起来的式子 【问题1】你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？ （1）某路段限速；； （2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%，蛋 白质的含量应不少于2.3%； （3）三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； （4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短. 设该路段行驶的汽车速度为，则 ， 设三角形三边分别为，则 设P是直线AB外任意一点，PQ是P到AB的垂 线段，C是直线AB上任意一点，则PC≥PQ A B C P Q 一.不等式及其关系 【问题2】某种杂志原本以每本2.5元的价格出售，可以售出8万本.据市场调查发现，杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少2000本.如何定价才能使涨价后的总收入不低于20万元? 【依据】总收入=销售量×售价 【分析】设涨价之后的杂志每本定价元，则销售总收入为 万元， 一.不等式及其关系 【问题2】某种杂志原本以每本2.5元的价格出售，可以售出8万本.据市场调查发现，杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少2000本.如何定价才能使涨价后的总收入不低于20万元? 【分析】设涨价之后的杂志每本定价元，则销售总收入为 万元， 单价涨了多少元 单价涨了多少个0.1元 销量少了多少个2000元 一.不等式及其关系 一.不等式及其关系 文字语言 大于，高于，超过 小于，低于，少于 大于或等于，至少，不低于 小于或等于，至多，不多于，不超过 符号语言 > < ≥ ≤ 常见的不等式关系表示 如何解不等式 ≥20呢？ 实际上，在初中我们已经通过具体实例归纳出了一些不等式的性质，那么 这些不等式的性质为什么是正确的呢？还有其他不等式的性质吗？回答这些问题 要用到关于两个实数大小关系的基本事实. 不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变 不等式的两边同乘(或除以)一个正数，不等号的方向不变 不等式的两边同乘(或除以)一个负数，不等号的方向改变 一.不等式及其关系 二.实数大小的比较 由于数轴上的点与实数一一对应，所以可以利用数轴上的点的位置关系来规定实数的大小关系；如图，设是两个实数，他们在数轴上所对应的点分别是A，B 当点A在点B的左边时 当点A在点B的右边时 当点A和点B重合时 A B A B A（B） 二.实数大小的比较   关于实数a,b大小的比较，有以下基本事实： 如果a－b是正数，那么a>b； 如果a－b等于0，那么a=b； 如果a－b是负数，那么a<b． 反之也成立． ① ② ③ 从上述基本事实可知：要比较两个实数的大小,可以转化为比较它们的差与0的大小． 0是正数与负数的分界点，它为实数比较大小提供了“标杆” 二.实数大小的比较 【例1】比较和的大小. 【解】运用作差法： 2＞0， 所以＞ 作差法比较大小的基本步骤： （1）作差： 对要比较大小的两个数(或式子)作差； （2）变形： 对差进行变形(因式分解、通分、配方等)； （3）判断符号： 结合变形的结果及题设条件判断差的符号； （4）作出结论． 探究 图2.1-3是在北京召开的第24届国际数学大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客．你能在这个图中找出一些相等关系和不等关系吗？ 探究 中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合得到方法，给出了勾股定理的证明。 大正方形的构成： 4个全等的直角三角形 1个小正方形 等面积法 第24届国际数学家大会会标是根据赵爽弦图设计的. 2.赵爽弦图的不等关系 探究 2.赵爽弦图的不等关系（面积关系） 大正方形面积>4个直角三角形的面积和 a,b>0 大正方形面积=4个等腰直角三角形的面积和 对于任意的实数a,b，a2+b2≥2ab成立吗？试证明。 三.重要不等式 作差法 一般地， ，这个不等式被称为重要不等式， 当且仅当时，等号成立. 课堂小结 1．不等式与不等关系： 2．比较两个实数大小关系的依据： 3．作差比较法： 用不等式表示不等关系，注意文字语言与符号语言之间的转化． 作差 → 变形 → 判断符号 → 作出结论 4. 重要不等式 练习(第39页） 1．用不等式或不等式组表示下面的不等关系： （1）某高速公路规定通过车辆的车货总高度h从地面算起不能超过4m； （2）a与b的和为非负实数； （3）如图，在一个面积小于350 m2的矩形地基的中心位置上建造一个仓库， 仓库的四周建成绿地，仓库的长L大于宽W的4倍． 练习(第39页） 练习(第39页） 作业 p42习题2.1的第2-3题. 习题2.1（第42页） 2．某市环保局为增加城市的绿地面积，提出两个投资方案：方案A为一次性投资500万元；方案B为第一年投资100万元，以后每年投资10万元．列出不等式表示“经过n年之后，方案B的投入不少于方案A的投入” ． 习题2.1（第42页） 习题2.1（第42页） $