第一次月考押题重难点检测卷（提高卷）（考试范围：北师大版九年级第1-2章）-2025-2026学年北师大版九年级数学上册重难点专题提升精讲精练

第一次月考押题重难点检测卷（提高卷） （满分120分，考试时间120分钟，共25题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：北师大版九年级特殊平行四边形+一元二次方程； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（2025九年级·全国·专题练习）下列方程为一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·吉林白山·期末）下列说法正确的是（　　　） A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．对角线互相平分的四边形是平行四边形 C．矩形的对角线互相垂直 D．菱形的对角线相等 3．（25-26九年级上·全国·阶段练习）《四元玉鉴》是中国元代数学重要著作之一，由数学家朱世杰所著．书中有这样一道方程的应用题：今有锦一匹，先卖三尺，余卖得钱二贯九百七十五文．只云匹长不及尺价四十七文，问匹长、尺价各几何？译文：今有一匹锦，先卖掉三尺，剩下的卖了二贯九百七十五文；已知这匹锦的长度数比一尺锦的价格数少四十七文，问：这匹锦的长和每尺的价格各是多少？（备注：1贯＝1000文），设这匹锦的长为x尺，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 4．（2025九年级·全国·专题练习）如果关于的方程可以用直接开平方法求解，那么满足的条件是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·广西梧州·期末）矩形中，，，将矩形绕点按顺时针方向旋转后得到矩形．若边交线段于，且，则的值是（    ） A． B． C． D． 6．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作，垂足为点E，连接，若，，则的长为（    ） A．2 B． C．3 D．4 7．（25-26九年级上·全国·阶段练习）若关于x的方程有两个实数根，且两根之和不小于－6，则代数式化简的结果是（　） A． B．1 C． D． 8．（2025·广东清远·一模）如图，小青用四根长度相同的木条制作能够活动的菱形学具，他先把活动学具做成图1所示的菱形，并测得，对角线，接着把活动学具做成图2的正方形，则图2中对角线的长为（    ） A． B． C． D． 9．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）若关于的方程的两根之和为，两根之积为，则关于的方程的两根之积为（ ） A． B． C． D． 10．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，为正方形中边上的一点，且，、分别为边、上的动点，且始终保持，则的最小值为(   )                                         A．5 B． C． D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（6小题，每小题3分，共18分） 11．（24-25九年级上·全国·阶段练习）已知菱形中对角线、相交于点，添加条件 可使菱形成为正方形． 12．（24-25九年级下·江西赣州·阶段练习）已知、是方程的两个实数根，则的值为 ． 13．（24-25八年级下·云南德宏·期末）如图，四边形是菱形，已知相交于点O，那么菱形的面积为 ． 14．（25-26九年级上·重庆·开学考试）已知在正比例函数中，的值随着的增大而增大，且关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则所有满足条件的整数的值之和为 ． 15．（24-25九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）非零实数满足，则 ． 16．（2025八年级下·浙江宁波·竞赛）如图，在长方形中，在上取点E，连接，点D关于的对称点F落在边上，在，上分别取点G、H，连接，，．若，，且，，则的长是 ． 三、解答题（9小题，共72分） 17．（24-25九年级上·河南新乡·期中）解下列方程： (1) (2)． 18．（25-26九年级上·全国·阶段练习）已知关于x的一元二次方程（a，b，c为常数，且）． (1)若，求x的值； (2)若，求证：方程总有实数根． 19．（24-25八年级下·吉林白山·期末）图1、图2、图3均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A，点B均在格点上．在给定的网格中按要求画图，使所画图形各不相同，且所画图形的顶点均在格点上． (1)在图1中，以为边画一个正方形； (2)在图2中，以为边画一个四边形，使其两条对角线的长度均与线段AB相等； (3)在图3中，以为边画一个面积为7的平行四边形． 20．（2024-2025学年山东省青岛市局属四校九年级（上）期末数学试卷）如图，在平行四边形中，对角线、相交于点O，，E、F、G分别是、、的中点．求证： (1)； (2)连接，求证：四边形是菱形． 21．（湖南省长沙市师大附中集团联考2025-2026学年九年级上学期数学第一次月考试题）白露是秋季第三个节气，具有昼夜温差显著、气候转凉的特点，在这一天有收集清露、饮白露茶、吃龙眼等习俗．某水果店在白露节气来临之际，主推本地龙眼，已知该龙眼每千克成本为8元，原售价定为每千克20元时，每天可销售50千克．根据销售经验，每千克售价每降低1元，日销售量可增加10千克． (1)若将该龙眼每千克售价定为17元，每天可销售多少千克？ (2)高温天气水果难以保鲜，水果店想在保证销售量尽可能大的前提下，通过调整售价使每天的利润达到660元，每千克龙眼售价应定为多少元？ 22．（2024·广东·模拟预测）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：不论k为何值，方程总有两个不相等的实数根． (2)若为该方程的两个实数根，且满足． ①求k的值； ②若菱形的一条对角线的长为，另一条对角线的长为，求菱形的面积． 23．（25-26九年级上·广东揭阳·阶段练习）如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作，交直线于E，垂足为F，连接． (1)求证：； (2)当D在中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由； (3)若D为中点，则当满足什么条件时，四边形是正方形？请说明你的理由． 24．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）如果关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的3倍，那么称这样的方程是“3倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，则方程 是“3倍根方程”． (1)通过计算，判断是否是“3倍根方程”． (2)若关于x的方程是“3倍根方程”，求代数式的值； (3)已知关于x的一元二次方程（是常数）是“3倍根方程”，请写出的值． 25．（25-26九年级上·全国·阶段练习）如图，在四边形中，点E是直线上一点，将射线绕点A逆时针旋转α交直线于点F． (1)如图①，若四边形为菱形，，则与之间的数量关系是 ； (2)如图②，若四边形为正方形，，连接，当点E在的延长线上时，试猜想线段与之间的数量关系，并加以证明； (3)若四边形为正方形，，连接，当时，请直接写出的长． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一次月考押题重难点检测卷（提高卷） （满分120分，考试时间120分钟，共25题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：北师大版九年级特殊平行四边形+一元二次方程； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（2025九年级·全国·专题练习）下列方程为一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程，只含有一个未知数且未知数的最高次数是的整式方程是一元二次方程，据此判断即可求解，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：、是一元一次方程，该选项不合题意； 、是代数式，不是方程，该选项不合题意； 、是一元二次方程，该选项符合题意； 、含有两个未知数，不是一元二次方程，该选项不合题意； 故选：． 2．（24-25八年级下·吉林白山·期末）下列说法正确的是（　　　） A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．对角线互相平分的四边形是平行四边形 C．矩形的对角线互相垂直 D．菱形的对角线相等 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定与性质，矩形的性质，熟练掌握相关图形的判定与性质是解题的关键．根据平行四边形的判定，菱形的判定与性质，矩形的性质等定理，即可判断答案． 【详解】A、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故选项A错误，不符合题意； B、原说法正确，符合题意； C、矩形的对角线相等，但不一定垂直，故选项C错误，不符合题意； D、菱形的对角线互相垂直，但不一定相等，故选项D错误，不符合题意． 故选：B． 3．（25-26九年级上·全国·阶段练习）《四元玉鉴》是中国元代数学重要著作之一，由数学家朱世杰所著．书中有这样一道方程的应用题：今有锦一匹，先卖三尺，余卖得钱二贯九百七十五文．只云匹长不及尺价四十七文，问匹长、尺价各几何？译文：今有一匹锦，先卖掉三尺，剩下的卖了二贯九百七十五文；已知这匹锦的长度数比一尺锦的价格数少四十七文，问：这匹锦的长和每尺的价格各是多少？（备注：1贯＝1000文），设这匹锦的长为x尺，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程，熟练运用实际问题列一元二次方程是解题的关键．由题意可得这匹锦卖掉三尺后的长和一尺锦的价格，再列出方程即可． 【详解】这匹锦的长为x尺，则这匹锦卖掉三尺后的长为尺，一尺锦的价格为文， 根据题意，得． 故选：D． 4．（2025九年级·全国·专题练习）如果关于的方程可以用直接开平方法求解，那么满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用直接开平方法解一元二次方程，根据完全平方是非负数列出关于的不等式即可求解，掌握直接开平方法是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故选：． 5．（24-25八年级下·广西梧州·期末）矩形中，，，将矩形绕点按顺时针方向旋转后得到矩形．若边交线段于，且，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设的值是，那么，，在中根据勾股定理即可列出关于的方程，解方程就可以求出． 【详解】解：设的值是， ∵矩形中，，，且， 那么，， 在中，， ， ， 即． 故选：C． 6．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作，垂足为点E，连接，若，，则的长为（    ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质，斜边的中线等于斜边的一半，解题关键是掌握菱形的面积公式为两条对角线的乘积的一半． 根据菱形的面积公式求出的长，再根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半直接求出． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，解得， ∵菱形的对角线，相交于点O，， ∴菱形的面积为， ∴， 解得：， ∵， ∴在中，． 故选：A． 7．（25-26九年级上·全国·阶段练习）若关于x的方程有两个实数根，且两根之和不小于－6，则代数式化简的结果是（　） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，化简绝对值，熟练掌握根的判别式和根与系数的关系，是解题的关键．先根据根的判别式得出，再根据根与系数的关系得出，然后化简绝对值即可． 【详解】∵方程有两个实数根， ∴， ∴， 设关于x的方程的两个实数根为，， ∴， ∵两根之和不小于， ∴， 解得：， ∴， ∴ 故选：D． 8．（2025·广东清远·一模）如图，小青用四根长度相同的木条制作能够活动的菱形学具，他先把活动学具做成图1所示的菱形，并测得，对角线，接着把活动学具做成图2的正方形，则图2中对角线的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查菱形的性质、等边三角形的性质与判定、勾股定理及正方形的性质，熟练掌握菱形的性质、等边三角形的性质与判定及正方形的性质是解题的关键；由题意易得菱形的边长为，然后可得正方形的边长也为，然后问题可求解． 【详解】解：连接图1中的对角线，如图所示： ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 连接图2中的对角线，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴， ∴； 故选C． 9．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）若关于的方程的两根之和为，两根之积为，则关于的方程的两根之积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，则，利用换元的思想是解决问题的关键． 把方程看作关于的一元二次方程，则利用关于的方程的两根为得到，然后利用根与系数的关系即可解答本题． 【详解】解：把方程看作关于的一元二次方程， 设关于的方程的两根为， 则方程的两根为， 关于的方程的两根之和为，两根之积为， ， ． 故选：D． 10．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，为正方形中边上的一点，且，、分别为边、上的动点，且始终保持，则的最小值为(   )                                         A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理的应用等．过点作，过点作交于点，连接，则四边形为平行四边形，证得当、、三点在同一直线上时，有最小值，即为的长，过点作于点，设与相交于点，证明，得到是等腰直角三角形，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，过点作，过点作交于点，连接，则四边形为平行四边形， ， ， 当、、三点在同一直线上时，有最小值，即为的长， 过点作于点，设与相交于点， 四边形是正方形，， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 由勾股定理得， ， 即的最小值为． 故选：D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（6小题，每小题3分，共18分） 11．（24-25九年级上·全国·阶段练习）已知菱形中对角线、相交于点，添加条件 可使菱形成为正方形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了菱形的性质、正方形的判定等知识点，熟练掌握菱形的性质及正方形的判定是解题的关键．根据菱形的性质及正方形的判定来添加合适的条件即可解答． 【详解】解：根据对角线相等的菱形是正方形，可添加：； 根据有一个角是直角的菱形是正方形，可添加：； 故添加的条件为：或． 故答案为：（不唯一）． 12．（24-25九年级下·江西赣州·阶段练习）已知、是方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，先根据一元二次方程解的定义、根与系数的关系可得，，然后整体代入即可求值． 【详解】解：∵、是方程的两个实数根， ∴，， ∴． 故答案为：6． 13．（24-25八年级下·云南德宏·期末）如图，四边形是菱形，已知相交于点O，那么菱形的面积为 ． 【答案】24 【分析】本题考查了菱形的面积公式，熟练掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键． 根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求解即可． 【详解】解：菱形的面积为：， 故答案为：24． 14．（25-26九年级上·重庆·开学考试）已知在正比例函数中，的值随着的增大而增大，且关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则所有满足条件的整数的值之和为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正比例函数图象及性质，一元二次方程根的情况，解题的关键是根据题意列出不等式，算出不等式解集，求出整数解，即可解决问题． 【详解】解：∵正比例函数中，y的值随着x的增大而增大， ∴， ∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 即； ∴， ∵为整数， ∴可取1，2，3； ∴满足条件的整数的值之和为：， 故答案为：6． 15．（24-25九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）非零实数满足，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了方程的解以及一元二次方程的根与系数的关系，能熟练利用方程解的定义得到m，n是方程的两实数根是解题的关键． 根据已知判断出m，n是方程的两实数根，然后利用根与系数的关系即可求解． 【详解】解：∵非零实数，满足等式，， ∴m，n是方程的两实数根， ∴，， ∴， 故答案为：． 16．（2025八年级下·浙江宁波·竞赛）如图，在长方形中，在上取点E，连接，点D关于的对称点F落在边上，在，上分别取点G、H，连接，，．若，，且，，则的长是 ． 【答案】 【分析】根据轴对称的性质可得，，由勾股定理可求出，进而求出和，由轴对称的性质、等腰三角形的性质、平行线的性质看得出是等腰直角三角形，由直角三角形的边角关系可求出答案． 【详解】解：连接， 在长方形中，， 由轴对称的性质可得，， 在中，， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又 ∵， ∴，即， ∴是等腰直角三角形， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查轴对称的性质，矩形的性质以及直角三角形的边角关系，勾股定理，二次根式的性质，掌握轴对称的性质，矩形的性质以及直角三角形的边角关系是解决问题的关键． 三、解答题（9小题，共72分） 17．（24-25九年级上·河南新乡·期中）解下列方程： (1) (2)． 【答案】(1) ， (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． （1）根据公式法求解即可． （2）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； 【详解】（1）解：， ∴， ∴， ∴， 所以，． （2）解：， ， 或， ． 18．（25-26九年级上·全国·阶段练习）已知关于x的一元二次方程（a，b，c为常数，且）． (1)若，求x的值； (2)若，求证：方程总有实数根． 【答案】(1)x的值为1或 (2)见解析 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式， 对于（1），先得出一元二次方程的一般形式，再根据因式分解法求解即可； 对于（2），求出，再整理可得结果，然后根据结果判断即可. 【详解】（1）解：∵， ∴， 即， 解得， ∴x的值为1或； （2）证明：∵， ∴， ∴ ， ∴方程总有实数根． 19．（24-25八年级下·吉林白山·期末）图1、图2、图3均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A，点B均在格点上．在给定的网格中按要求画图，使所画图形各不相同，且所画图形的顶点均在格点上． (1)在图1中，以为边画一个正方形； (2)在图2中，以为边画一个四边形，使其两条对角线的长度均与线段AB相等； (3)在图3中，以为边画一个面积为7的平行四边形． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【分析】本题考查了网格作图，运用网格求面积，正方形的性质，平行四边形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合网格特征以及正方形的性质进行作图即可； （2）结合网格特征以及题干要求进行作图即可； （3）结合网格特征以及平行四边形的面积为7进行作图即可． 【详解】（1）解：正方形如图所示： （2）解：四边形如图所示： （3）解：平行四边形如图所示： 平行四边形的面积． 20．（2024-2025学年山东省青岛市局属四校九年级（上）期末数学试卷）如图，在平行四边形中，对角线、相交于点O，，E、F、G分别是、、的中点．求证： (1)； (2)连接，求证：四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由平行四边形的性质可得，由等腰三角形的性质可得出； （2）由直角三角形的性质和三角形中位线定理可得到，根据平行四边形的性质和菱形的判定定理即可得到结论． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，即， 又∵， ∴， 又∵点E是的中点， ∴； （2）证明：∵E、F分别是、的中点， ∴，， ∵点G是斜边上的中点， ∴， 又∵平行四边形中，，， ∴，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，菱形的判定，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形中位线的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 21．（湖南省长沙市师大附中集团联考2025-2026学年九年级上学期数学第一次月考试题）白露是秋季第三个节气，具有昼夜温差显著、气候转凉的特点，在这一天有收集清露、饮白露茶、吃龙眼等习俗．某水果店在白露节气来临之际，主推本地龙眼，已知该龙眼每千克成本为8元，原售价定为每千克20元时，每天可销售50千克．根据销售经验，每千克售价每降低1元，日销售量可增加10千克． (1)若将该龙眼每千克售价定为17元，每天可销售多少千克？ (2)高温天气水果难以保鲜，水果店想在保证销售量尽可能大的前提下，通过调整售价使每天的利润达到660元，每千克龙眼售价应定为多少元？ 【答案】(1)龙眼每千克售价定为17元，每天可销售80千克 (2)为了销售量尽可能大，每千克龙眼售价应定为14元 【分析】该题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意． （1）根据“原售价定为每千克20元时，每天可销售50千克，每千克售价每降低1元，日销售量可增加10千克”列式计算即可． （2）设每千克龙眼售价为x元，根据利润数量每千克的利润，列方程解答即可． 【详解】（1）解：（千克）． 答：若将该龙眼每千克售价定为17元，每天可销售80千克． （2）解：设每千克龙眼售价为x元， 由题意得， 解得，， 要保证销售量尽可能大， 每千克龙眼售价应定为14元． 22．（2024·广东·模拟预测）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：不论k为何值，方程总有两个不相等的实数根． (2)若为该方程的两个实数根，且满足． ①求k的值； ②若菱形的一条对角线的长为，另一条对角线的长为，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)①②3 【分析】此题考查了根与系数的关系，根的判别式，菱形的性质，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键． （1）表示出根的判别式，判断其正负即可作出判断； （2）利用根与系数的关系，求出的值，进而求出的长，根据菱形的面积公式进行计算即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴ ， ∴不论k为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：①∵，为该方程的两个实数根， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②由①知：， ∴，， ∴菱形的面积为． 23．（25-26九年级上·广东揭阳·阶段练习）如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作，交直线于E，垂足为F，连接． (1)求证：； (2)当D在中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由； (3)若D为中点，则当满足什么条件时，四边形是正方形？请说明你的理由． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是菱形；理由见解析 (3)当，四边形是正方形，理由见解析 【分析】（1）根据，结合得，则，结合，证出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质得． （2）由题（1）得，根据直角三角形斜边上的中线的性质，得，可判定四边形是平行四边形，又根据，判定平行四边形是菱形． （3）根据三角形内角和，当时，得，得出，根据等腰三角形的性质得出，即，又根据正方形的判定，即可判定四边形是正方形． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． （2）解：四边形是菱形． 理由：∵D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是菱形． （3）解：当，四边形是正方形． 理由：∵，， ∴， ∴， ∵D是的中点， ∴，即， ∵由（2）得四边形是菱形， ∴四边形是正方形． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，三角形内角和定理和直角三角形斜边上的中线的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质． 24．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）如果关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的3倍，那么称这样的方程是“3倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，则方程 是“3倍根方程”． (1)通过计算，判断是否是“3倍根方程”． (2)若关于x的方程是“3倍根方程”，求代数式的值； (3)已知关于x的一元二次方程（是常数）是“3倍根方程”，请写出的值． 【答案】(1)是“3倍根方程” (2)50或 (3)17或 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，解一元二次方程，代数式求值，掌握知识点的应用是解题的关键． （1）利用因式分解法解方程，得，然后根据“3倍根方程”定义即可； （2）由得，，根据“3倍根方程”定义可得或，然后代入求解即可； （3）由关于的一元二次方程（m是常数）是“3倍方程”，设是的三倍，根据根与系数的关系得，，，解得，然后分情况代入解方程即可． 【详解】（1）解（1）∵， ∴解得． ∵， ∴是“3倍根方程”． （2）∵， 解得  ． ∵是“3倍根方程”， 分情况讨论： ①则：． ②则：． （3）∵（是常数）是“3倍根方程”， ∴不妨设是的三倍， 由韦达定理：，解得． 当时， ， ∴． 当， ， ∴． 25．（25-26九年级上·全国·阶段练习）如图，在四边形中，点E是直线上一点，将射线绕点A逆时针旋转α交直线于点F． (1)如图①，若四边形为菱形，，则与之间的数量关系是 ； (2)如图②，若四边形为正方形，，连接，当点E在的延长线上时，试猜想线段与之间的数量关系，并加以证明； (3)若四边形为正方形，，连接，当时，请直接写出的长． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)或10 【分析】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等内容，解题的关键是掌握以上性质，并构造辅助线． （1）根据菱形的性质得出是等边三角形，得出相等的角和边，证明即可得出结论； （2）在上取点，使得，连接，根据条件证明，得出，再证明，即可得出结论； （3）根据题意分两种情况进行讨论，借助于（2）的思路，证明三角形全等，得出相等的边，然后假设边的长度，利用勾股定理，列方程求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下： 如解图，连接AC， ∵四边形是菱形， ∴， ∴. ∵， ∴是等边三角形， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： 如图，在上取点，使得，连接， ∵四边形是正方形， ∴， 在和中，， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴. 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即； （3）解：①如图，当点E在线段上时，将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到， ∴， ∵四边形是正方形，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴. 设，则， 在中，由勾股定理得，即，解得，即； ②如图，当点E在延长线上时，取的中点，连接， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得，即， 解得， 即. 综上所述，的长为或10. 学科网（北京）股份有限公司 $