第一次月考押题重难点检测卷（提高卷）（考试范围：北师大版八年级第1-2章）-2025-2026学年北师大版八年级数学上册重难点专题提升精讲精练

第一次月考押题重难点检测卷（提高卷） （满分120分，考试时间120分钟，共25题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：北师大版2024八年级勾股定理+实数； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（山西省晋中市部分学校2025-2026学年上学期第一次月考八年级数学试卷）下列各数中，是无理数的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）直角三角形两边分别为和，则第三边为（    ） A．3 B．4 C． D．4或 3．（24-25九年级上·河南新乡·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·山东烟台·期末）若最简二次根式与可以合并，则的值是（    ）． A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·吉林白山·期末）如图，在中，，分别以和为边向外作正方形和正方形．若，则正方形和正方形的面积和为（　　　） A．150 B．200 C．225 D．无法计算 6．（24-25九年级下·重庆·自主招生）将式子根式外的因式移到根式内的结果是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级下·湖北荆门·自主招生）如图，中，，，三角形的顶点在相互平行的三条直线上，且之间的距离为，之间的距离为，则的长是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级下·福建厦门·期末）因为，，，所以，若是正整数，，则与实数最接近的整数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图是一个长为，宽为，高为的仓库，在其内壁的点A（长的四等分点）处有一只壁虎．在点B（宽的三等分点）处有一只蚊子．则壁虎爬到蚊子处的最短距离应为（    ） A． B． C． D． 10．（24-25九年级上·福建泉州·期末）四条线段的长分别为1，x，5，9（其中x为正数），用它们拼成两个直角三角形，且与是其中的两条线段（如图），则x可能取值的个数为（   ） A．2 B．3 C．6 D．4 第II卷（非选择题） 二、填空题（6小题，每小题3分，共18分） 11．（2025八年级上·全国·专题练习）比较大小 ． 12．（2025八年级上·全国·专题练习）如图是一个外轮廓为长方形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位：），可以计算出两孔中心B和C的距离为 ． 13．（24-25八年级上·辽宁盘锦·期末）已知x、y是实数，，若，则 ． 14．（25-26九年级上·广东深圳·开学考试）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，若，则 ． 15．（24-25七年级上·山东东营·期末）如图，已知是腰长为1的等腰直角三角形，以的斜边为直角边，画第二个等腰，再以的斜边为直角边，画第三个等腰，……依此类推，则第2020个等腰直角三角形的斜边长是 ． 16．（2025八年级下·浙江宁波·竞赛）观察下列各式： ， ， ， ．．． 请利用你发现的规律，计算： ，其结果为 ． 三、解答题（9小题，共72分） 17．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）求下列各式中的x的值． (1)； (2)． 18．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 19．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）如图，已知，两直角边，，点为上一点，现将沿折叠，使点落在斜边上的点处， (1)求的长； (2)求的长． 20．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）某校“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量结果如下表： 课题 测量学校旗杆的高度 工具 绳子、皮尺等 测量示意图        说明：线段表示学校旗杆，垂直地面于点，如图1，第一次将系在旗杆顶端的绳子垂直到地面，还多出了一段，用皮尺测出的长度；如图2，第二次将绳子拉直，绳子末端落在地面的点处，用皮尺测出的距离． 测量数据 测量项目 数值 图1中的长度 1米 图2中的长度 5米 根据以上测量结果，请求出学校旗杆的高度． 21．（24-25七年级下·安徽·阶段练习）在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，这个定理称为“勾股定理”．即在直角三角形中（如右图），．两条直角边分别为，，斜边为．则．利用勾股定理解答下列问题： (1)在直角三角形中，，，，求的长． (2)如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的的网格中，每个小格的顶点叫做格点． ①在图中，利用勾股定理求线段的长度． ②在图中，画一条格点线段，使． 22．（24-25七年级下·山东临沂·阶段练习）如图，把两张小正方形纸片分别沿对角线剪开，拼成一张面积为的大正方形纸片． (1)小正方形纸片的边长为 ； (2)若沿此大正方形纸片边的方向剪出一张长方形纸片，能否使剪出的长方形纸片的长宽之比为，且面积为？若能，试求出剪出的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由． 23．（25-26八年级上·河南新乡·期末）某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了问题探索与分析． 【提出问题】已知，求的最小值． 【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和的线段，将代数求和转化为线段求和问题． 【解决问题】（1）如图，我们可以构造出边长为1的正方形，P为边上的动点，设则，则__________________； （2）在（1）的条件下，已知，请结合图形求的最小值； 【应用拓展】（3）直接写出的最小值为_________． 24．（辽宁省大连市高新园区名校联盟2024--2025学年4月八年级下学期数学月考试卷）在进行二次根式的化简与运算时，如遇到，，这样的式子，还需做进一步的化简，化去分母中的根号． ，① ，② ．③ 以上化简的步骤叫做分母有理化． 还可以用以下方法化简： ．④ (1)请参照③和④分别用两种不同的方法化简． (2)计算：． 25．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在长方形中，． (1)如图①，将长方形沿翻折，使点与点重合，点落在点处，求的长； (2)如图②，将沿翻折，若交于点，求的长； (3)如图③，为边上的一点，将沿翻折得到分别交边于点，且，求的长． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一次月考押题重难点检测卷（提高卷） （满分120分，考试时间120分钟，共25题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：北师大版2024八年级勾股定理+实数； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（山西省晋中市部分学校2025-2026学年上学期第一次月考八年级数学试卷）下列各数中，是无理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了无理数．解题的关键是理解有理数和无理数的概念．有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【详解】A、是开方开不尽的数，属于无理数，符合题意； B、，是整数，属于有理数，不合题意； C、有限小数，属于有理数，不合题意； D、，是整数，属于有理数，不合题意； 故选：A． 2．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）直角三角形两边分别为和，则第三边为（    ） A．3 B．4 C． D．4或 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的计算，掌握勾股定理的计算是关键．根据勾股定理分类讨论即可求解． 【详解】解：当直角三角形两直角边分别为和时，斜边，即第三边为； 当直角三角形斜边长为5，一直角边为3，则第三边长为， 综上所述，第三边长为或， 故选：D ． 3．（24-25九年级上·河南新乡·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的除法运算，二次根式的减法运算，二次根式的性质，据此相关性质进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：C． 4．（24-25八年级下·山东烟台·期末）若最简二次根式与可以合并，则的值是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查同类二次根式，化简二次根式，由最简二次根式与可以合并，可知与是同类二次根式，由此求出m的值，代入计算即可． 【详解】解：由题意知与是同类二次根式， ， 解得， ， 故选B． 5．（24-25八年级下·吉林白山·期末）如图，在中，，分别以和为边向外作正方形和正方形．若，则正方形和正方形的面积和为（　　　） A．150 B．200 C．225 D．无法计算 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．利用勾股定理，结合正方形面积公式求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴． ∵正方形的面积为，正方形的面积为， ∴正方形和正方形的面积和为． 故选：C． 6．（24-25九年级下·重庆·自主招生）将式子根式外的因式移到根式内的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质、二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．先根据二次根式有意义的条件可得，再根据二次根式的性质计算即可得． 【详解】解：由题意得：，且， ∴， 则 ， 故选：C． 7．（24-25九年级下·湖北荆门·自主招生）如图，中，，，三角形的顶点在相互平行的三条直线上，且之间的距离为，之间的距离为，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，作于，作于，可证，得到，再利用勾股定理求出即可，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，作于，作于， 则，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 8．（24-25七年级下·福建厦门·期末）因为，，，所以，若是正整数，，则与实数最接近的整数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握估算无理数大小的方法是解题的关键．先求出m的取值范围，即可确定整数m的值，于是可求出整数n的值，再估算实数的取值范围，即可得解． 【详解】解：， ， 即， 为正整数， ， 是正整数， ， ， ， 与最接近的整数是1， 即与实数最接近的整数是1， 故选：A． 9．（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图是一个长为，宽为，高为的仓库，在其内壁的点A（长的四等分点）处有一只壁虎．在点B（宽的三等分点）处有一只蚊子．则壁虎爬到蚊子处的最短距离应为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用．将点A和点B所在的面展开，则为矩形，连接，分类探讨壁虎爬到蚊子处的距离，找到最短距离即可． 【详解】解：如图， ①将正面和右面展开，过点B向底面作垂线，垂足为点C，则为直角三角形， ，， ， 故壁虎爬到蚊子处的最短距离为． ②将正面和上面展开，则A到B的水平距离为6，垂直距离为7， 此时的最短距离为， ， 故选：A． 10．（24-25九年级上·福建泉州·期末）四条线段的长分别为1，x，5，9（其中x为正数），用它们拼成两个直角三角形，且与是其中的两条线段（如图），则x可能取值的个数为（   ） A．2 B．3 C．6 D．4 【答案】C 【分析】此题考查了勾股定理的应用．首先过作交的延长线于，根据题意即可得，，，可得是最长边，长为9或，然后由勾股定理可得，然后分别从，为9或5或1；，或5或1去分析求解，即可求得答案．此题难度很大，解题的关键是注意数形结合思想，方程思想与分类讨论思想的应用，小心别漏解． 【详解】解：如图，过作交的延长线于， 根据题意得：，，， ， 是最长边，长为9或， 若，，则， 若，，则， 若，，则， 若，，则， 若，，则， 若，，则， 共6个， 故选：C． 第II卷（非选择题） 二、填空题（6小题，每小题3分，共18分） 11．（2025八年级上·全国·专题练习）比较大小 ． 【答案】< 【分析】本题考查了二次根式大小比较，求解此类问题常用的方法有：①取倒数比较；②分母有理化；③局部放缩比较；④取平方比较；⑤数形结合比较，熟练掌握相关方法是解决本题的关键．两边同时求倒数，比较倒数的大小，然后即可求得答案． 【详解】解：左边求倒数为， 右边求倒数为， ， ． 故答案为：< 12．（2025八年级上·全国·专题练习）如图是一个外轮廓为长方形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位：），可以计算出两孔中心B和C的距离为 ． 【答案】150 【分析】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是根据图形得出，的长度． 根据图形分别得出，的长度，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：由图可知：，， 根据勾股定理可得：． 故答案为：150． 13．（24-25八年级上·辽宁盘锦·期末）已知x、y是实数，，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式及非负数的性质，属于基础题，关键是根据非负数的性质先求出x及y的值再求解． 根据，可求出x，y的值，代入，即可解出a． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， 解得：，， 代入， ， 故． 故答案为：． 14．（25-26九年级上·广东深圳·开学考试）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，若，则 ． 【答案】34 【分析】本题考查勾股定理的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键． 在和中，根据勾股定理得，进一步得，再根据，，然后根据等量代换即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 在和中，根据勾股定理得：，， ∴， ∵，， ∴ ． 故答案为：34． 15．（24-25七年级上·山东东营·期末）如图，已知是腰长为1的等腰直角三角形，以的斜边为直角边，画第二个等腰，再以的斜边为直角边，画第三个等腰，……依此类推，则第2020个等腰直角三角形的斜边长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理、数字规律等知识点，找到等腰直角三角形的斜边长的变化规律是解题的关键． 先根据勾股定理计算第1个，第2个，第3个，第4个等腰直角三角形的斜边长，再找到规律，再利用规律求出第2020个等腰直角三角形的斜边长． 【详解】解：根据勾股定理可得： 第1个的斜边； 第2个的斜边； 第3个的斜边； ．．．．．． 第n个等腰直角三角形的斜边； 所以第2022个等腰直角三角形的斜边． 故答案为：． 16．（2025八年级下·浙江宁波·竞赛）观察下列各式： ， ， ， ．．． 请利用你发现的规律，计算： ，其结果为 ． 【答案】 【分析】先根据所给式子，找到规律，判断出每个式子的值，再整体求和． 本题主要考查探索规律，二次根式的化简等内容，根据给出式子，找到规律是解题关键． 【详解】解：由题意可得： ． 故答案为：． 三、解答题（9小题，共72分） 17．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）求下列各式中的x的值． (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了利用平方根和立方根的定义解方程，熟练掌握平方根和立方根的定义是解题关键； （1）先求，再根据平方根定义得，解方程即可； （2）利用立方根定义求得，然后解方程． 【详解】（1）解：， ， ， 即或， 解得或． （2）， ， 18．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)3 (2)7 (3)0 (4)， 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、平方差公式、利用平方根解方程等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）先作二次根式的乘法，再计算减法； （2）先计算除法，再计算加法； （3）先利用平方差公式计算，再计算加减； （4）移项，系数化为1，然后结合平方根的性质解该方程即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4）， 移项，得， 开平方，得， 即，． 19．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）如图，已知，两直角边，，点为上一点，现将沿折叠，使点落在斜边上的点处， (1)求的长； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，熟记性质并表示出的三边，然后利用勾股定理列出方程是解题的关键． （1）先根据勾股定理求得的长，再根据折叠的性质求得，进而即可求出的长． （2）在中，用勾股定理列方程即可求得的长． 【详解】（1）解：，，， 根据翻折的性质可得， 则． （2）解：设，由折叠可知：，， 在中， ∴ 解得： ∴的长为． 20．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）某校“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量结果如下表： 课题 测量学校旗杆的高度 工具 绳子、皮尺等 测量示意图        说明：线段表示学校旗杆，垂直地面于点，如图1，第一次将系在旗杆顶端的绳子垂直到地面，还多出了一段，用皮尺测出的长度；如图2，第二次将绳子拉直，绳子末端落在地面的点处，用皮尺测出的距离． 测量数据 测量项目 数值 图1中的长度 1米 图2中的长度 5米 根据以上测量结果，请求出学校旗杆的高度． 【答案】米 【分析】此题考查勾股定理的应用，能够用一个未知数表示出未知的两条边，再根据勾股定理列方程求解． 设旗杆的高度为米，则绳子的长度为米，在中，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】由图1可得绳子的长度比旗杆的高度多1米， 设旗杆的高度为米，则绳子的长度为米 由图2可得，在中，， 解得，， 答：旗杆的高度为12米． 21．（24-25七年级下·安徽·阶段练习）在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，这个定理称为“勾股定理”．即在直角三角形中（如右图），．两条直角边分别为，，斜边为．则．利用勾股定理解答下列问题： (1)在直角三角形中，，，，求的长． (2)如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的的网格中，每个小格的顶点叫做格点． ①在图中，利用勾股定理求线段的长度． ②在图中，画一条格点线段，使． 【答案】(1)； (2)①；②见详解． 【分析】该题考查了勾股定理． （1）利用勾股定理，求解即可． （2）①利用勾股定理求解即可． ②利用数形结合的思想解决问题即可． 【详解】（1）解：因为， 所以， 所以， 因为，所以． （2）解：①，所以． ②如图2中，线段即为所求作． 22．（24-25七年级下·山东临沂·阶段练习）如图，把两张小正方形纸片分别沿对角线剪开，拼成一张面积为的大正方形纸片． (1)小正方形纸片的边长为 ； (2)若沿此大正方形纸片边的方向剪出一张长方形纸片，能否使剪出的长方形纸片的长宽之比为，且面积为？若能，试求出剪出的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 【分析】本题考查算术平方根的应用， （1）先根据小正方形的面积是大正方形面积的一半求得小正方形的面积，进而求得小正方形的边长即可； （2）根据剪出的大长方形的面积为，列方程求得长方形的长，再与大正方形的边长进行比较即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，小正方形的面积是大正方形面积的一半， ∴小正方形的面积为， 设小正方形的边长为a， 则， ∴（负值舍去）， 故答案为：； （2）解：不能，理由如下： 大正方形的边长为：， ∵长方形的长宽之比为， ∴设长方形的长和宽分别是，， ∴， ， ∵， ， ∴长方形的长为， ，， ∵， ∴沿着大正方形边的方向不能裁出符合要求的长方形． 23．（25-26八年级上·河南新乡·期末）某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了问题探索与分析． 【提出问题】已知，求的最小值． 【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和的线段，将代数求和转化为线段求和问题． 【解决问题】（1）如图，我们可以构造出边长为1的正方形，P为边上的动点，设则，则__________________； （2）在（1）的条件下，已知，请结合图形求的最小值； 【应用拓展】（3）直接写出的最小值为_________． 【答案】（1）PA ， PD；（2）（3）7 【分析】本题考查勾股定理，利用轴对称解决线段和最小的问题： （1）利用勾股定理，即可得出结果； （2）作点D关于的对称点，连结，与交于点P，则，此时的值最小，且，即的最小值为的长， 利用勾股定理求出的长即可； （3）构造一个长方形，使两边长，，点P为边上一动点，设，则，作点D关于的对称点，连结，与交于点P，则，此时的值最小，且，即的最小值为的长，利用（1）的方法进行求解即可． 【详解】解：（1）根据题意得：； 故答案为：；； （2）作点D关于的对称点，连结，与交于点P，则， 此时的值最小，且， 即的最小值为的长， 在中，由勾股定理得：， ∴的最小值为， ∴的最小值为； （3）如图，构造一个长方形，使两边长，，点P为边上一动点，设，则，作点D关于的对称点，连结，与交于点P，则， 此时的值最小，且， 即的最小值为的长， 在中，由勾股定理得：， ∴的最小值为7， ∴的最小值为7． 24．（辽宁省大连市高新园区名校联盟2024--2025学年4月八年级下学期数学月考试卷）在进行二次根式的化简与运算时，如遇到，，这样的式子，还需做进一步的化简，化去分母中的根号． ，① ，② ．③ 以上化简的步骤叫做分母有理化． 还可以用以下方法化简： ．④ (1)请参照③和④分别用两种不同的方法化简． (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分母有理化，平方差公式，二次根式的混合运算． （1）按照分母有理化和应用平方差公式分解分子两种方法，对原式进行化简即可； （2）分母有理化，按照运算法则，进行二次根式的混合运算即可． 【详解】（1）解： ； ． （2）解： ． 25．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在长方形中，． (1)如图①，将长方形沿翻折，使点与点重合，点落在点处，求的长； (2)如图②，将沿翻折，若交于点，求的长； (3)如图③，为边上的一点，将沿翻折得到分别交边于点，且，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】设，在中，根据，构建方程即可解决问题； 首先证明，设，在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题； 设，首先证明，推出，，由，推出，，，在中，可得，解方程即可解决问题； 【详解】（1）解：根据折叠的性质，得． 因为四边形是长方形， 所以． 设，则， 在Rt中，因为， 所以，解得， 所以． （2）因为四边形是长方形， 所以． 根据折叠的性质，得． 又因为， 所以． 因为交于点， 所以， 所以， 所以． 设，则． 在Rt中，因为， 所以，解得， 所以． （3）因为四边形是长方形， 所以． 根据折叠的性质，得， 所以． 又因为， 所以，所以， 所以． 又因为， 设，则， 所以． 在Rt中，，解得， 所以． 【点睛】此题考查勾股定理，全等三角形的判定和性质，正确理解题意确定三角形的三边由勾股定理建立方程是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $