专题04 整式的加减（期中复习讲义）（知识必备+14大核心题型+分层验收）七年级数学上学期新教材人教版

专题04 整式的加减（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 单项式的概念 能正确理解单项式的概念 基础必考点，常出现在小题 多项式的概念 能正确理解多项式的概念 基础必考点，常出现在小题 整式的概念 掌握整式的概念与分类，学会表示整式 重要考点，关键要掌握整式的概念 合并同类项 理解合并同类项的概念，学会对式子进行合并同类项 重要考点，常出现在大题，计算题型为主 添括号、去括号 掌握添括号、去括号的方法和技巧 基础必考点，常出现在小题中，做题时需注意括号和负号的添加 整式的加减 掌握整式加减计算规则 核心考点，常出现在解答题中，有计算题型 整式加减中的无关型问题 掌握整式加减中的无关型问题的解决方法与技巧 重要考点，常出现在小题中 整式加减的应用 掌握整式加减的应用，学会用整式表示数量关系 核心考点，常出现在大题中 知识点01 单项式 1.单项式的定义：如，，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式. （1）单项式中不含加减运算，只包含数字与字母或字母与字母的乘法运算； （2）分母中含有字母的的式子不是单项式. 2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数. （1）确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数； （2）圆周率π是常数，单项式中出现π时，应看作系数； （3）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写； （4）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数. 3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数. （1）没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏； （2）对于单独一个非零的数，规定它的次数是0. 知识点02 多项式 1.多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式； 2.多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项； （1）多项式的每一项包括它前面的符号； （2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如是一个三项式. 3.多项式的次数：一个多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数. （1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数； （2）一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出； （3）一个多项式是几次、有几项就叫几次几项式，如是二次三项式. 知识点03 整式 整式：单项式与多项式统称为整式. 单项式、多项式、整式与代数式这四者之间的关系：单项式、多项式必是整式，整式必是代数式，但反过来就不一定成立. 分母中含有字母的式子一定不是整式，但是代数式. 知识点04 合并同类项 同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项．几个常数项也是同类项. 1.判断几个项是否是同类项有两个条件：①所含字母相同；②相同字母的指数分别相等，同时具备这两个条件的项是同类项，缺一不可； 2.同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关； 3.一个项的同类项有无数个，其本身也是它的同类项； 4.同类项不一定只有两项，也可以是三项、四项或更多项，但至少有两项，且每一项都是单项式. 5.合并同类项的概念：根据乘法分配律把同类项合并成一项叫做合并同类项. 6.合并同类项的法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母与字母的指数不变. 7.合并同类项的一般步骤（一找、二移、三合、四排）： （1）找出同类项，当项数较多时，可作合适的标记； （2）运用加法交换律、结合律将多项式中的同类项合并； （3）利用合并同类项法则，合并同类项； （4）合并后的结果是多项式，一般按照某一个字母的升幂/降幂排列. 8.易错点： （1）不是同类项的不能合并，无同类项的项不能遗漏,在每步运算中照抄； （2）所有的常数项都是同类项，合并时把它们结合在一起，运用有理数的运算法则进行合并； （3）系数相加(减)，字母部分不变，不能把字母的指数也相加(减)； （4）若两个同类项的系数互为相反数，则合并同类项的结果为0. 知识点05 添括号、去括号 1.去括号法则： 括号前面是“＋”号，把括号和前面的“＋”号去掉，括号里各项符号都不改变，如； 括号前面是“－”号，把括号和前面的“－”号去掉，括号里各项符号都要改变，如. （1）当括号前的因数不是“±1”时，要利用乘法分配律将括号外的因数与括号内的每一项都相乘去掉括号，不要漏乘括号里的任何一项； （2）对于多重括号，去括号时可以先去小括号，再去中括号，也可以先去中括号．再去小括号．但是一定要注意括号前的符号； （3）去括号只是改变式子形式，不改变式子的值，它属于多项式的恒等变形. 2.添括号法则： 添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号，如； 添括号后，括号前面是“-”号，括到括号里的各项都要改变符号，如． 知识点06 整式的加减 1.利用合并同类项和去括号法则，我们可以进行整式的加减运算. 整式的加减运算，像数的运算一样满足各种运算律，如果有括号要先去括号，再合并同类项. 2.整式加减注意事项：整式加减的结果要最简，不能有同类项，含字母的项的系数不要出现带分数（化成假分数），能去括号的要去括号，一般不含有括号. 3.整式加减的应用 （1）整式的化简求值 一般这类题会利用整体代入法求值，从题中条件中不易直接得到某个字母的具体值，可以将原式化为已知条件中字母间的关系，然后将某个式子的值作为一个整体代入计算. （2）整式中“不含”与“无关”类问题的求解方法 若整式加减运算结果“不含x项”或整体的值“与x的值无关”，实质是指去括号并合并同类项后含字母x的项的系数为0. （3）解决多项式能否被一个数整除类问题 判断一个多项式是否能被一个数整除，关键是看这个多项式是否能化为这个数和某个多项式（多项式的值为整数）乘积的形式. 多位数的表示方法：相同的字母在不同的数位上所表示的数值不同，若一个三位数数，百位数是x，十位数是y，个位数是z，则这个三位数数可表示为100x+10y+z. 知识点07 代数式的化简求值 1.求代数式的值时，如果代数式中含有同类项和括号，通常先去括号，合并同类项后再计算. 2.整式的化简求值步骤（一化、二代、三计算）： （1）利用整式的加减运算将整式化简； （2）把已知字母或某个整式的值代入化简后的式子； （3）依据有理数的运算法则进行计算. 题型一 单项式的相关概念 解｜题｜技｜巧 数与字母的积称为单项式；注意单项式的系数是除字母外的数字，要看是否有负号； 【典例1】（24-25七年级上·海南海口·期中）下列各式中：，，，，，单项式有（    ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】D 【分析】本题考查了单项式，根据单项式的定义判断即可求解，掌握单项式的定义是解题的关键． 【详解】解：，，， ，中，单项式有，，，共3个， 故选：D． 【典例2】（24-25七年级上·湖南岳阳·期中）下列说法错误的是（    ） A．是单项式 B．的系数是 C．是一次单项式 D．的次数是 【答案】D 【分析】此题考查了单项式有关概念，根据单项式定义、系数、次数的定义来求解，解题的关键是需灵活掌握单项式的定义，系数和次数的定义，单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 【详解】、是单项式，原选项说法正确，不符合题意； 、的系数是，原选项说法正确，不符合题意； 、是一次单项式，原选项说法正确，不符合题意； 、的次数是，原选项说法错误，符合题意； 故选：． 【变式1】（24-25七年级上·海南海口·期中）下列说法中正确的是（） A．的系数是 B．的系数是 C．的系数是 D．的次数是 【答案】A 【分析】本题考查了单项式的系数和次数，根据单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数求解即可． 【详解】A．的系数是，原说法正确； B．的系数是，原说法错误； C．的系数是，原说法错误； D．的次数是，原说法错误； 故选：A． 【变式2】（24-25七年级上·江西南昌·期中）有三个条件：①只含有字母a，b，c；②系数为； ③次数为4； 能满足这三个条件的所有单项式 为 ． 【答案】，， 【分析】本题考查的知识点是单项式的定义，单项式的系数、次数，解题关键是熟练掌握单项式的定义．单项式是数或字母的积，可以是单独的一个数或一个字母；单项式的系数是指代数式的单项式中的数字因式，单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和，符合以上定义的单项式即为本题的解． 【详解】解：根据单项式的定义，单项式的系数、次数含义可得， 故符合题意的有：，，2． 故答案为：，，． 【变式3】（24-25七年级上·福建厦门·期中）给出以下七个代数式： ，，，，，， 请按要求进行分类 (1)分成两类，分类方法是：分成含字母与不含字母两类 其中①含字母的有： ②不含字母的有： (2)模仿（1）的分类方式 分成三类，分类方法是 其中① ② ③ 【答案】(1)①、、、、；②、 (2)分成单项式次数为0、1、3三类，①、；②、；③、、 【分析】本题主要考查了单项式以及单项式的次数． （1）根据单项式的分类，即可求解； （2）根据单项式的次数，即可求解． 【详解】（1）解：①含字母的有：、、、、； ②不含字母的有：、； （2）解：模仿（1）的分类方式分成三类，分类方法是（分成单项式次数为0、1、3三类） 其中①单项式次数为0的有：、； ②单项式次数为1的有：、； ③单项式次数为3的有：、、 题型二 单项式规律题 解｜题｜技｜巧 观察单项式的类型，用通过看系数、项、指数的变化，如果出现一正一负这种情况的时候，要用（-1）来进行调节 【典例1】（24-25九年级下·云南文山·期中）按一定规律排列的单项式：，第个单项式是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了与单项式有关的规律探索，观察可知，第个单项式的系数为序号的平方减1，次数为序号减1，据此可得答案． 【详解】解：第1个单项式的系数为，次数为， 第2个单项式的系数为，次数为， 第3个单项式的系数为，次数为， 第4个单项式的系数为，次数为， 第5个单项式的系数为，次数为， ……， 以此类推，可知第5个单项式的系数为，次数为，即第个单项式是， 故选：A． 【典例2】（24-25七年级上·贵州黔南·期中）按一定规律排列的单项式：，，，，，…其中第个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了单项式的数字类规律探索，对单项式正确进行等价变形是解题关键． 对所给的单项式进行整理后即可求解． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ∴第n个单项式为． 故选：B． 【变式1】（24-25九年级下·江西抚州·期中）观察下列关于x的单项式，探究其规律：…  按照上述规律，第10个单项式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查数字规律，熟练掌握规律是解题的关键．根据题意得到规律进行解答即可． 【详解】解：由题意可得：第个单项式为， 故第10个单项式是， 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级上·江西赣州·期中）观察下列一串单项式的特点：．按此规律，第9个单项式为 ，试猜想第n（n为正整数）个单项式为 ． 【答案】 / 【分析】本题考查的是单项式的规律，根据题意找出各式子的规律是解答此题的关键．通过观察题意可得，x的指数为n时，2的指数为，由此可解出本题． 【详解】当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 以此类推，当时，， 则第n个单项式为． 故答案为：，． 【变式3】（24-25七年级上·安徽芜湖·期中）【观察与发现】 ，，，，，，…， (1)直接写出：第7个单项式是______；第8个单项式是______； (2)第2n（n大于0的整数）个单项式是什么？并指出它的系数和次数． 【答案】(1)； (2)；系数为：，次数为： 【分析】（1）观察单项式的系数、字母指数，即可求解； （2）根据题意可得出通用规律，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知： 单项式的系数依次为： 的指数依次为： 故第7个单项式是： 第8个单项式是： （2）解：由（1）可得出第个单项式为： 故第个单项式是：，它的系数为：，次数为： 【点睛】本题是以单项式为背景的规律题目．确定单项式的系数规律、字母指数规律是解题关键． 题型三 多项式的相关概念 解｜题｜技｜巧 几个单项式的和称为多项式； 【典例1】（24-25七年级上·重庆江津·期中）式子，，，，，，中，多项式有（   ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】D 【分析】本题考查了多项式的概念，几个单项式的和叫作多项式．根据多项式的定义逐个判断即可． 【详解】解：依题意，，，是多项式， ∴多项式有3个， 故选：D． 【典例2】（24-25六年级上·山东烟台·期末）对代数式，，，，，判断正确的是（    ） A．只有个单项式 B．只有个单项式 C．有个整式 D．有个二次多项式 【答案】A 【分析】本题考查了整式，单项式，多项式的概念，熟练掌握整式，单项式，多项式的概念是解答本题的关键．单项式和多项式统称为整式；数与字母的乘积，这样的代数式叫做单项式，单独一个数或一个字母也是单项式；几个单项式的和叫做多项式；次数最高的项的次数，叫做多项式的次数；按照以上概念逐个判断即可． 【详解】解：、、是单项式， 是二次多项式，是三次多项式， 、、、、是整式， 以上代数式中共有个单项式，个二次多项式，个三次多项式，个整式， 故选：A． 【变式1】（24-25七年级上·河北保定·期中）在代数式，，，，，中，多项式的个数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查多项式的定义，熟练掌握多项式的定义是解题的关键．根据多项式的定义即可得到答案． 【详解】解：根据多项式的定义，几个单项式的和称为多项式， 故多项式有，，， 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级上·广东韶关·期中）下列说法正确的是（   ） A．0不是代数式 B．和都是多项式 C．的项分别是，，6 D．的次数是3 【答案】D 【分析】根据代数式的定义可判断选项A；根据多项式的定义“几个单项式的和叫做多项式”可判断选项B；根据多项式的项的定义“每个单项式叫做多项式的项”可判断选项C；根据多项式的次数的定义“多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数”可判断选项D；即可得到答案． 【详解】解：A、0是代数式，故该选项说法错误，不符合题意； B、不是多项式，是多项式，故该选项说法错误，不符合题意； C、的项分别是，，，故该选项说法错误，不符合题意； D、的最高项次项的次数是3次，所以的次数是3，故该选项说法正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了代数式和多项式，解题的关键是掌握代数式的定义和多项式的定义． 【变式3】（24-25七年级上·山东济宁·期中）下列选项中，说法正确的是（    ） A．的次数是次 B．多项式是四次三项式 C．的常数项为 D．不是多项式 【答案】D 【分析】根据单项式和多项式的概念即可求解 【详解】A、的次数是次，故该选项错误，不符合题意； B、多项式是二次三项式，故该选项错误，不符合题意； C、的常数项为，故该选项错误，不符合题意； D、不是多项式，故该选项正确，符合题意 故选：D． 【点睛】本题考查了单项式和多项式的概念，掌握相关概念是解决问题的关键 题型四 多项式系数、指数中字母求值 【典例1】（24-25七年级上·河北保定·期中）若多项式是关于，的三次三项式，则有理数的值为（    ） A． B．1 C． D．3 【答案】A 【分析】此题主要考查了多项式．直接利用多项式的次数与项数确定方法分析得出答案． 【详解】解：∵多项式是关于x，y的三次三项式， ∴， ∴． 故选：A． 【典例2】（24-25七年级上·重庆·期中）若代数式是关于，的三次二项式，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了多项式的项数，次数，整式的加减运算，理解并掌握多项式的项数，次数的计算方法是解题的关键． 先确定最高次数的项为三次，可得，运用合并同类项的方法进行计算，确定为二项，由此即可求解． 【详解】解：代数式是关于，的三次二项式， ∴原式 ∴， 解得，， 当时，原式， ∴， 解得，； 当时，原式， ∴， 解得，； ∴的值为2， 故选：C ． 【变式1】（24-25七年级上·江西赣州·期中）若多项式是一个关于x，y的三次三项式，则m的值为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了多项式，熟练掌握一个多项式有几项就叫几项式，次数最高的项的次数是几就叫几次多项式是解题的关键． 根据题意得到，或，求出或，即可得到答案． 【详解】解：多项式是一个关于x，y的三次三项式， ，或， 或， 故答案为：或． 【变式2】（24-25七年级上·江苏无锡·期中）已知多项式是关于x的二次三项式，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式的项数，次数的求解．根据多项式的性质进行解答．多项式的次数是多项式中最高次项的次数，多项式的项数为组成多项式的单项式的个数． 【详解】解：∵多项式是关于x的二次三项式， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级上·河南南阳·期中）已知多项式是一个五次四项式，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式项和次数的定义，几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，多项式里次数最高项的次数叫做多项式的次数，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵多项式是关于x的五次四项式， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 题型五 多项式升幂（降幂）排列 解｜题｜技｜巧 多项式的升幂与降幂，要看是哪个字母，只针对这一个字母进行升幂或者降幂排列，其他字母可以不管； 【典例1】（24-25七年级上·河南南阳·期中）把按字母y的升幂排列后，其中的第2项是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多项式的重新排列，先按y的升幂排列，再找出第二项即可．我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列．要注意，在排列多项式各项时，要保持其原有的符号．此题还要注意分清按哪个字母的降幂或升幂排列． 【详解】解：∵多项式按字母的升幂排列为：， ∴其中的第二项是． 故选：A． 【典例2】（24-25七年级上·湖南益阳·期中）已知多项式，按照y的降幂排列 ． 【答案】 【分析】此题考查了多项式的次数排列，本题降幂排列即从y的最高次幂排到最低次幂． 先分清各项，然后按降幂排列的定义解答． 【详解】解：多项式按y降幂排列为 故答案为：． 【变式1】（24-25七年级上·陕西渭南·期中）将多项式按字母y的升幂排列为 ． 【答案】 【分析】考查了多项式，我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列．要注意，在排列多项式各项时，要保持其原有的符号． 先分清多项式的各项，然后按多项式升幂排列的定义排列． 【详解】解：把多项式按字母y升幂排列为：． 故答案为：． 【变式2】现有下列单项式：，如果要组合成一个七次三项式，那么按照x的降幂排列，这个多项式可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了多项式的概念，根据题目要求写一个七次三项式，并按照x的降幂排列即可． 【详解】解：根据题意得， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式3】（24-25七年级上·河南安阳·期中）已知多项式是六次四项式． (1)写出n的值；并将多项式按x的升幂排列； (2)求该多项式各项系数之和． 【答案】(1)；； (2) 【分析】本题考查了多项式的概念及降幂排列．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数． （1）利用多项式的定义即可求出n的值，然后根据升幂排列的定义求解； （2）计算各项系数之和即可求解． 【详解】（1）解：∵多项式是六次四项式， ∴， ∴； 按x的升幂排列为； （2）解：∵多项式， ∴多项式各项系数之和． 题型六 整式的相关概念 解｜题｜技｜巧 记住单项式和多项式合起来称为整式； 【典例1】（24-25七年级上·全国·期中）下列代数式是整式的有（   ） ①； ②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧ A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题考查整式的判断，根据单项式和多项式统称为整式，进行判断即可． 【详解】解：由题意，①③⑤⑦⑧，是整式，②④⑥分母中有字母，不是整式； 故选C． 【典例2】（24-25七年级上·四川资阳·期中）下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥．其中整式的个数有（   ） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 【答案】D 【分析】此题主要考查了整式的定义．利用整式包括单项式和多项式求解即可． 【详解】解：下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥； 其中整式有①；②；③；⑤；共4个． 故选：D． 【变式1】（24-25七年级上·上海杨浦·期中）在下列代数式：，，，，，，中，整式有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式的定义，解题的关键在于能够熟练掌握整式的定义． 根据整式的定义：整式为单项式和多项式的统称，是有理式的一部分，在有理式中可以包含加，减，乘，除、乘方五种运算，但在整式中除数不能含有字母，进行判断即可． 【详解】解：下列代数式：，，，，，，中， 属于整式的有：，，，，． ∴一共有5个整式． 故选：C． 【变式2】（24-25七年级上·内蒙古包头·期中）式子，，，，，，，，中，代数式有个，整式有个，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了代数式的识别，一般地，用运算符号加、减、乘、除、乘方、开方把数或者表示数的字母连接起来，所得到的式子叫做代数式．含“=”、“”、“”、“”、“”的式子都不是代数式．整式的定义：单项式和多项式统称为整式．利用代数式、整式的定义得出答案． 【详解】解：式子，，，，，，，，中， 代数式：，，，，，，，共7个，， 整式：，，，，，共5个，则， ∴， 故答案为：2． 【变式3】（24-25七年级上·广西南宁·期中）指出下列哪些是单项式，哪些是多项式，哪些是整式，把序号填写到对应横线上： ①；②；③5；④；⑤；⑥；⑦； 单项式：___________． 多项式：___________． 整式：___________． 【答案】①③⑤⑦；②④⑥；①②③④⑤⑥⑦ 【分析】本题考查了单项式、多项式、整式的定义，根据单项式、多项式、整式的定义逐个判断即可． 【详解】解：单项式：①③⑤⑦， 多项式：②④⑥， 整式：①②③④⑤⑥⑦， 故答案为：①③⑤⑦；②④⑥；①②③④⑤⑥⑦． 题型七 合并同类项 解｜题｜技｜巧 所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项．几个常数项也是同类项；合并同类项的时候要注意合并完全，不能出现遗漏； 【典例1】（24-25七年级上·全国·期中）下列各组式子中，两个单项式是同类项的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】此题考查了同类项的概念，根据同类项的概念逐项判断即可，解题的关键是掌握同类项定义中的两个“相同”：（）所含字母相同；（）相同字母的指数相同． 【详解】解：、和所含字母相同，但相同字母的指数不相同，不是同类项，故不符合题意； 、与所含字母相同，相同字母的指数相同，是同类项，故符合题意； 、与所含字母相同，但相同字母的指数不相同，不是同类项，故不符合题意； 、与所含字母不相同，不是同类项，故不符合题意； 故选：． 【典例2】（25-26七年级上·全国·期中）若单项式与是同类项，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了同类项的定义，代数求值等，解题的关键是掌握同类项的定义． 根据同类项的定义得出的值，然后代入求值即可． 【详解】解：∵单项式与是同类项， ∴， ∴， 故选：C． 【变式1】（24-25七年级上·全国·期中）若单项式与单项式的和仍是单项式，则 ． 【答案】25 【分析】此题主要考查了同类项的定义．根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，可得x的指数要相等，y的指数也要相等，即可得到m，n的值，再代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵单项式与单项式的和仍是单项式， ∴与是同类项， ∴， 解得， ∴． 故答案为：25． 【变式2】（24-25七年级上·四川泸州·期中）化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减； （1）直接合并同类项，即可求解； （2）先去括号，然后合并同类项，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式3】（24-25七年级上·江苏扬州·期中）化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了合并同类项，整式的加减计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）合并同类项时，只对同类项的系数进行加减计算，字母和字母的指数保持不变，据此求解即可； （2）先去括号，然后合并同类项即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型八 去括号与添括号 解｜题｜技｜巧 添（去）括号法则：括号外是“+”，添(去)括号不变号；括号外是“-”，添(去)括号都变号. 【补充】去括号和添括号是两种相反的变形，因此可以相互检验正误. 【典例1】（24-25八年级上·四川德阳·期中）在下列去括号或添括号的变形中，错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题需要根据去括号和添括号的法则，对每个选项逐一进行分析判断，确定其变形是否正确．本题主要考查了去括号和添括号的法则，熟练掌握“去括号和添括号时，括号前符号对括号内各项符号的影响”是解题的关键． 【详解】解： ，故A项正确，不符合题意． ，故B项正确，不符合题意． ，故C项错误，符合题意． ，故D项正确，不符合题意． 故选： ． 【典例2】（24-25七年级下·北京通州·期中）下列去括号结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了去括号，去括号时，先把括号前面的系数的绝对值与括号内的每一项都相乘，当括号前是“”时，把括号和它前面的“”去掉，括号内的各项都不改变符号，当括号前是“”时，把括号和它前面的“”去掉，括号内的各项都改变符号，据此求解即可． 【详解】解：A、，原式去括号错误，不符合题意； B、，原式去括号错误，不符合题意； C、，原式去括号错误，不符合题意； D、，原式去括号正确，符合题意； 故选：D． 【变式1】（24-25七年级上·河南驻马店·期中）化简的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减，熟练掌握去括号法则和合并同类项法则是解题的关键． 根据去括号法则和合并同类项法则逐步化简即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级上·北京·期中）已知，则代数式的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查代数式求值，注意整体代入． 根据已知条件得到，整体代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：3 【变式3】（24-25七年级上·重庆·期中）已知，则代数式的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查的是求解代数式的值，添括号的应用，把原式化为，再把整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ， ． 故答案为：2． 题型九 整式的加减运算 解｜题｜技｜巧 运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项. 【补充说明】整式加减实际上就是：去括号、合并同类项； 【典例1】（24-25七年级上·全国·期中）化简： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了整式的加减计算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）直接合并同类项即可； （2）先去括号，再合并同类项； （3）先去括号，再合并同类项； （4）先去括号，再合并同类项． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【典例2】（24-25七年级上·湖北荆门·期中）化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的加减计算，合并同类项：合并同类项时，只对同类项的系数进行加减计算，字母和字母的指数保持不变，据此求解即可． （1）先去括号，再合并同类项， （2）先去括号，然后合并同类项即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解：原式 ． 【变式1】（24-25七年级上·河北张家口·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是整式的加减运算，掌握“去括号，合并同类项的法则”是解本题的关键． （1）先去括号，再合并同类项即可； （2）先去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： （2） = = 【变式2】（24-25七年级上·广东广州·期中）化简： (1)． (2)． (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本本题考查了整式的加减混合运算，掌握去括号和合并同类项法则是解题关键． （1）根据整式的减法运算法则计算即可； （2）根据整式的加减法运算法则计算即可； （3）先按去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： 【变式3】（24-25七年级上·湖南郴州·期中）已知关于x的多项式：， (1)试求的值； (2)试比较M、N的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的加减计算，解题的关键在于能够熟练掌握整式的加减计算法则． （1）把代入，然后去括号合并同类项； （2）用作差法求解即可． 【详解】（1）∵ ∴ （2）∵ ∴ ， ∵， ∴， ∴． 题型十 整式的加减中的化简求值 解｜题｜技｜巧 整式加减运算，化简求值时一定要先化简，在进行计算求值；顺序不能搞乱，如果直接代入求出的结果是不得分的； 【典例1】（25-26七年级上·全国·期中）化简求值： (1)，其中． (2)已知，，求的值，其中，． 【答案】(1)；5 (2)；−22 【分析】本题主要考查了整式化简求值，解题的关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则，注意括号前面为负号时，将负号和括号去掉后，括号里每一项的符号要发生改变． （1）先去括号，再合并同类项，然后再把数据代入求值即可； （2）先根据整式加减运算法则进行化简，然后再把数据代入求值即可． 【详解】（1）解： ， 当时，原式． （2）解：∵，， ∴ ， 当，时， 原式． 【典例2】（25-26七年级上·全国·期中）已知，求的值． 【答案】42 【分析】本题考查了整式的加减运算及求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键，先进行减法运算，再代入求值计算即可． 【详解】解： 当时， 原式 ． 【变式1】（24-25七年级上·全国·期中）回答下列各题． (1)先化简，再求值：，其中，． (2)，其中 【答案】(1)， (2)， 【分析】此题考查了整式的加减，化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）原式去括号，合并同类项，再代入求值； （2）原式去括号，合并同类项，再代入求值． 【详解】（1）解： ， 当，时， 原式 （2）解： ， 当， 原式＝． 【变式2】（24-25七年级上·全国·期中）求多项式的值，其中（提示：分别把看作一个整体）． 【答案】22 【分析】此题考查了整式的化简求值，熟练掌握运用合并同类项法则是解答此题的关键．先求出，分别将看作整体，利用合并同类项进行化简，然后再将的值代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 【变式3】（24-25七年级上·四川泸州·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】，12 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先根据整式的加减运算法则化简得，然后将代入求值即可． 【详解】解： ； 当时，原式． 题型十一 整式的加减中的无关型问题 解｜题｜技｜巧 整式加减中的无关型问题主要是涉及到某一项或者某个字母，这时候我们需要把含有这一项或者这个字母的单项式全部合并起来，再令这一项的系数为0，即可求出结果； 【典例1】（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）已知多项式不含项和项，则的值为（　 ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查多项式的概念，掌握相关知识是解决问题的关键．根据多项式的相关概念解答即可． 【详解】解：项系数为，项合并同类项后系数为， ∵多项式不含项和项， ∴， ∴，， 则． 故选：D． 【典例2】（24-25七年级上·广东惠州·期中）无论取何值，多项式的值不变，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】此题考查了整式加减中的无关型问题，熟练掌握整式加减的运算法则是关键．去括号合并同类项得到，根据题意得到，，即可得到答案． 【详解】解：原式展开并合并同类项： ∵无论取何值，多项式的值不变， ∴，， ∴，， 故选：A 【变式1】（24-25七年级上·重庆·期中）若多项式中不含项，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了整式的加减，先合并同类项，根据题意令项的系数为，即可求解． 【详解】解： 依题意， 解得： 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级上·福建莆田·期中）如果整式和整式的和为一个常数，我们称、为常数的“和谐整式”．例如：和为数的“和谐整式”．若关于的整式与为常数的“和谐整式”．则常数的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减，解题的关键是理解和谐整式的概念，正确计算．根据题意得，则，解得，，将代入，进行计算即可得． 【详解】解：∵关于x的整式与为常数k的“和谐整式”， ∴， ， 则 解得，， ∴， 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级上·江苏扬州·期中）已知，． (1)化简； (2)当，，求的值； (3)若的值与b的取值无关，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了整式的加减运算，求代数式的值，整式加减中的无关型问题，正确运算是解题的关键． （1）将，代入中，然后去括号，合并同类项即可； （2）将（1）中所得的结果进行变形，然后将，整体代入进行计算即可； （3）根据（1）求出的答案，先把b提出来，再根据的值与b的取值无关，可求出a的值即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：∵，， ∴ ； （3）解：， ∵的值与b的取值无关， ∴， ∴． 题型十二 整式加减的应用 解｜题｜技｜巧 整式加减的应用，关键在于列出关系式； 【典例1】（24-25七年级上·吉林·期中）如图，长方形纸片的长是，宽是，分别以、为圆心、为半径，剪去两个圆． (1)用含、的式子表示阴影部分图形的周长和面积，并化简； (2)若，请求出阴影部分图形的周长和面积（取3）． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了列代数式，代数式求值，熟练掌握相关的面积和周长公式，是解题的关键． （1）根据圆的周长公式和面积公式，列出代数式即可； （2）把，代入代数式，求出代数式的值即可． 【详解】（1）解： ； ； （2）解：当，，π取3时， ， ． 【典例2】（24-25七年级上·湖南株洲·期中）为鼓励居民节约用电，某市电力公司采用分段计费方式计算电费：每月用电不超过180度时，按每度元计费：每月用电超过180度但不超过280度时，其中的180度仍按原标准收费，超过部分按每度元计费．收费标准如表： 用电量 不超过180度 超过180度但不超过280度的部分 超过280度的部分 收费标准（元/度） (1)若小明家10月用电量为160度，则他们家10月的电费是_____元． (2)若小明家11月用电量为230度，则他们家11月的电费是_____元． (3)若小明家12月用电量为度；请用含的代数式表示他们家12月应缴的电费． 【答案】(1)10月的电费是80元 (2)11月的电费是120元 (3)见详解 【分析】本题考查了列代数式，有理数的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，再结合10月用电量为160度，进行列式计算，即可作答． （2）先理解题意，再结合11月用电量为230度，进行列式计算，即可作答． （3）理解题意，进行分类讨论，根据不同情况进行列式化简，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，（元） ∴10月的电费是80元； （2）解：依题意，（元） ∴11月的电费是120元； （3）解：依题意，当时，则电费是元； 当时， ∴， 则电费是元； 当时， ∴， 则电费是元． 【变式1】（24-25七年级上·辽宁鞍山·期中）如图，一扇窗户，窗框为铝合金材料，上面是由三个大小相等的扇形组成的半圆窗框构成，下面是由两个大小相等的长x，宽y的长方形窗框构成，窗户全部安装玻璃．（本题中取3，长度单位为米） (1)一扇这样窗户一共需要铝合金多少米？（用含的式子表示） (2)一扇这样窗户一共需要玻璃多少平方米？铝合金窗框宽度忽略不计（用含的式子表示） 【答案】(1)一扇这样窗户一共需要铝合金米 (2)一扇这样窗户一共需要玻璃平方米 【分析】本题考查列代数式的实际应用，整式加减运算的实际应用，解题的关键是掌握长方形及半圆的周长、面积公式． （1）先根据图形得出半圆的半径，再计算出窗框的周长即可； （2）将两个长方形的面积和半圆的面积求和即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 取3． 原式 各：一扇这样窗户一共需要铝合金米； （2）解：根居题意得： 取， ∴原式 答：一扇这样窗户一共需要玻璃平方米． 【变式2】24-25七年级上·贵州安顺·期中）项目式学习． 【项目主题】校园分布图制作． 【项目背景】为了让初一新生更快熟悉校园生活，善思小组成员准备为初一新生制作简易版校园分布图． 【实践操作】操作一：善思小组根据校园的活动区域分布，将校园分布图分为教学区、操场、学生活动中心、图书馆四个主要区域； 操作二：根据小组成员的实际测量与记录，绘制如图所示的校园总体分布图（单位：）． 【项目思考】 (1)用整式表示这个学校的操场和学生活动中心一共占地多少面积； (2)若，b的倒数是，求这个学校的操场和学生活动中心一共占地多少面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了列代数式，代数式求值，绝对值意义，倒数定义，解题的关键是理解题意，熟练掌握长方形的面积公式． （1）根据长方形的边长和面积公式表示出学校的操场和学生活动中心一共占地的面积即可； （2）根据，b的倒数是，得出，，然后代入求值即可． 【详解】（1）解：学校的操场的占地面积为， 学生活动中心的占地面积为， 这个学校的操场和学生活动中心一共占地面积为： ； （2）解：∵，b的倒数是， ∴，， ∵， ∴， 把，代入得： 原式， 答：这个学校的操场和学生活动中心一共占地． 【变式3】（24-25七年级上·广东深圳·期中）类比同类项的概念，我们规定：所含字母相同，并且相同字母的指数之差的绝对值都小于或等于1的项是“准同类项”． 例如：与是“准同类项”． (1)给出下列四个单项式： ①；②；③；④ 其中与是“准同类项”的是___（填写序号） (2)已知均为关于的多项式，，．若C的任意两项都是“准同类项”，求n的值． (3)已知D，E均为关于a，b的单项式，，其中，若D，E是“准同类项”，求出①x的最大值是____；②x的最小值是_____． 【答案】(1)①③ (2)3或4 (3)①；② 【分析】本题主要考查整式的混合运算，绝对值的计算，理解题意，掌握绝对值的计算是关键． （1）根据准同类项的定义进行验证即可； （2）根据进行计算，再根据定义计算即可； （3）根据D与E是“准同类项”，得到或3或4，或2或3，然后再分时或时，再根据准同类项的定义计算即可． 【详解】（1）解：①与，相同字母的指数：，相同字母的指数：，符合题意； ②与，相同字母的指数：，相同字母的指数：，不符合题意； ③与，相同字母的指数：，相同字母的指数：，符合题意； ④与，相同字母的指数：，相同字母的指数：，多余了一个字母，不符合题意； ∴根据“准同类项”得①③， 故答案为：①③． （2）解：∵，， ∴， ∵C的任意两项都是“准同类项”， ∴当与是“准同类项”时，可以是任意数； 当与是“准同类项”时，， 解得，或； 当与是“准同类项”时， 解得，或， 当时，与不是“准同类项”，故舍去， ∴综上所述，或4； （3）解：∵，，与是“准同类项”， ∴，， ∴或3或4，或2或3， 又， ①当时，， ∴，要使x最大，， ∴； 要使x最小，若，得， ∴x的最大值为，最小值为4． ②当时，，， ∴， 当时，x取最小值为， 当时，x取最大值为； 综上所述，x的最大值为，最小值为． 题型十三 带有绝对值的字母化简问题 解｜题｜技｜巧 带有绝对值的字母化简问题，要考虑字母式子的取值范围，最后根据绝对值里边的式子的正负性去掉绝对值符号； 【典例1】（25-26七年级上·全国·期中）若，则的结果为（    ） A．0 B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式的减法、取绝对值等知识点，掌握取绝对值的方法成为解题的关键． 先运算整式减法化简，然后再求绝对的即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选B． 【典例2】（24-25七年级上·湖北荆门·期中）若，，且，则的值为（　　） A．4 B．2或4 C．2或 D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的性质，解题的关键是熟练掌握绝对值等于一个正数的数有两个． 先根据绝对值的性质求出、的值，再根据绝对值的性质得出，分两种情况计算的值即可得出答案． 【详解】解：，， ， ， 又， ∴， ∴， 需要分为两种情况， 第一种：，则； 第二种：，则， 故选B． 【变式1】（24-25七年级下·黑龙江绥化·期中）已知有理数a、b、c在数轴上的位置如图，化简的值为（    ） A． B． C．a D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴，绝对值，去括号，合并同类项，解题的关键是判断出． 由图可知，，然后确定各项的符号，去掉绝对值号，计算答案． 【详解】解：由图可知， ∴，， ∴ ． 故选：B． 【变式2】（25-26七年级上·全国·期中）若m、n、p、q为有理数，且，则 ． 【答案】5或或 【分析】本题考查了绝对值、有理数的加减乘除运算的应用，依据题意，正确分情况讨论是解题关键． 分三种情况，分别化简绝对值，计算有理数的加减法即可得． 【详解】解：由题意，分以下两种情况： （1）当m、n、p、q都是负数时， 则； （2）当m、n、p、q中有两个负数，两个正数时，不妨设， 则； （3）当m、n、p、q都是正数时， 则； 综上，的值是5或或 故答案为：5或或． 【变式3】（24-25七年级下·黑龙江绥化·期中）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】三个有理数，，满足，求的值． 【解决问题】解：由题意，得，，三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①，，都是正数，即时， 则； ②当，，中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设， 则． 综上所述，值为或． 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题： 三个有理数，，满足，求的值． 【答案】或 【分析】本题考查带有字母的绝对值化简，熟练掌握是解答本题的关键． 根据，判断出，，都是负数或其中一个为负数，另两个为正数，得出，，的正负，原式利用绝对值的代数意义化简计算即可． 【详解】解：， ，，都是负数或其中一个为负数，另两个为正数， ①，，都是负数，即时， 则， ②当，，中有一个为负数，另两个为正数时，不妨设， 则， 综上所述，值为或． 题型十四 整式加减中的新定义运算 【典例1】（24-25七年级上·重庆·期中）对于有理数，定义一种新运算“”，规定． (1)计算：； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题中给出的运算法则进行计算即可； （2）根据题中给出的运算法则列式进行计算即可． 本题考查的是有理数的混合运算，整式的加减运算，熟知有理数混合运算的法则是解题的关键． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ． 【典例2】（24-25七年级上·江苏盐城·期中）定义：若，则称、是“海春轩数”．例如：，因此3和1.5是一组“海春轩数”． (1)2与_________是一组“海春轩数”； (2)若、是一组“海春轩数”，求代数式的值． 【答案】(1)2； (2)6． 【分析】本题主要考查整式的加减，代数式求值，解题的关键是掌握去括号、合并同类项法则． （1）根据新定义可得答案； （2）由新定义得出，再代入化简即可． 【详解】（1）解：， 与2是一组“海春轩数”， 故答案为：2； （2）解：由题意得 原式． 【变式1】（24-25七年级上·陕西榆林·期中）定义一种新运算：对任意有理数都有，例如：．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，新定义，根据新定义得到，再去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 【变式2】（24-25七年级上·河南周口·阶段练习）给出如下定义：我们把有序实数对叫做关于x的二次多项式的特征系数对，把关于x的二次多项式叫做有序实数对的特征多项式． (1)关于x的二次多项式的特征系数对为______； (2)若有序实数对的特征多项式与的和为N，当，时，求N的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了新定义，整式加减运算，求代数式的值，理解新定义，能根据特征数对写出对应的二次多项式是解题的关键． （1）由特征数对的定义可得即可求解； （2）由特征数对的定义分别得到对应的二次多项式，求出和的结果，将，代入求值即可． 【详解】（1）中， 二次多项式的特征系数对为． （2）因为有序实数对的特征多项式为， 所以， 当，时，． 【变式3】（24-25七年级上·江苏盐城·期中）我们定义：如果两个多项式与的和为常数，则称与互为“友好多项式”，这个常数称为它们的“友好值”．如与互为“友好多项式”，它们的“友好值”为7． (1)下列各组多项式互为“友好多项式”的是________（填序号）； ①与 ②与 ③与 (2)若多项式与多项式（，为常数）互为“友好多项式”，①求、的值；②求多项式、的“友好值”． 【答案】(1)①③ (2)①，；②11 【分析】此题考查了整式的加减运算，代数式求值，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）根据“友好多项式”的概念将各项多项式相加求解判断即可； （2）①首先计算，然后根据“友好多项式”的概念得到，，即可求出、的值； ②将，代入求解即可． 【详解】（1）①∵，是常数， ∴与互为“友好多项式”； ②，不是常数， ∴与不互为“友好多项式”； ③，是常数， ∴与互为“友好多项式”； 综上所述，互为“友好多项式”的是①③； （2）①∵多项式与多项式（，为常数）互为“友好多项式”， ∴ ∴， ∴，； ②∵， ∴多项式、的“友好值”． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25七年级下·贵州安顺·期中）已知下列各式： ，其中单项式的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】本题考查单项式，根据单项式的定义数字与字母的积的形式，其中单个数字或单个字母也是单项式，进行判断即可． 【详解】解：中是单项式的有，共5个； 故选D． 2．（24-25七年级上·全国·期中）多项式最高次项系数为（　　） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多项式的项与次数，熟练掌握多项式的项与次数的概念是解题的关键． 该多项式的最高次项为，故其系数为． 【详解】解：多项式的最高次项系数为． 故选：A． 3．（24-25七年级上·四川资阳·期中）下列判断正确的是（   ） A．的常数项是3 B．是单项式 C．的系数是2 D．是二次三项式 【答案】D 【分析】此题主要考查了单项式和多项式．直接利用单项式的次数与系数、多项式的项数与次数确定方法分别分析得出答案． 【详解】解：A、的常数项是，故本选项错误，不符合题意； B、是多项式，故本选项错误，不符合题意； C、的系数是，故本选项错误，不符合题意； D、是二次三项式，故本选项正确，符合题意； 故选：D． 4．（25-26七年级上·全国·期中）一个两位数，十位数字为a，个位数字为b，若把十位数字与个位数字对调，得到一个新的两位数，则原两位数与新两位数的差为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式的加减运算，列代数式，先分别表示原两位数为，新两位数为，再列式，去括号合并同类项，得． 【详解】解：依题意，原两位数为，新两位数为， 则， ∴原两位数与新两位数的差为， 故选：A． 5．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）若单项式与的和仍为单项式，则的值是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了代数式求值，同类项的定义，关键是把握两点：一是所含字母相同，二是相同字母的指数也相同，两者缺一不可． 根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，可得x的指数要相等，y的指数也要相等，即可得到m，n的值，然后代入求值即可． 【详解】解：由题意得，单项式与是同类项， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）多项式是 次四项式. 【答案】四/4 【分析】本题主要考查了多项式的项和次数． 多项式中的每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高项次数，就是这个多项式的次数，由此即可得出答案； 【详解】解：由题可知，多项式的次数的最高次项是、，它们的次数都是， ∴多项式是一个四次四项式； 故答案是： 四． 7．（24-25七年级上·全国·期中）已知关于的多项式是不含项的三项式，若，则该多项式的值为 ． 【答案】47 【分析】本题考查了多项式的项的定义与代数式求值，解题的关键是根据多项式不含项求出的值． 利用“不含项”的条件，令项的系数为0，求解，将和代入化简后的多项式，计算其值． 【详解】解：由题意得： ， ， 当时， 原式 ． 故答案为：47． 8．（25-26七年级上·全国·期中）已知整式，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的加减，掌握有理数的加减法则和去括号是解题的关键． 先去括号，再合并同类项即可． 【详解】解： 故答案为：． 9．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）化简 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式加减运算，解题的关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则，注意括号前面为负号时，将负号和括号去掉后，括号里每一项的符号要发生改变． （1）根据合并同类项法则进行计算即可； （2）先去括号，然后再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 10．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）先化简，再求值，其中， 【答案】；56 【分析】本题主要考查了整式化简求值，解题的关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则，注意括号前面为负号时，将负号和括号去掉后，括号里每一项的符号要发生改变．先根据整式加减运算法则进行化简，然后再把数据代入求值即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式 ． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 11．（24-25七年级下·广西柳州·期中）下列各式运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查合并同类项，根据合并同类项法则逐项判断即可． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故本选项运算错误； B、，故本选项运算错误； C、与不是同类项，不能合并，故本选项运算错误； D、，故本选项运算正确． 故选：D 12．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）整式，5，，，，，中单项式的个数有（        ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题考查了单项式的定义，根据单项式的定义判断即可，掌握单项式的定义是解题的关键． 【详解】解：， ∴整式，5，，，，，中单项式有，5，，，，共个， 故选：C． 13．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）一个多项式加得，则这个多项式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式的加减，根据合并同类项法则求解即可． 【详解】解： 故选：C． 14．（25-26七年级上·全国·期中）要使多项式中不含项，那么的值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查多项式的化简，多项式不含某一项的条件． 合并同类项，令的系数为，即可得的值． 【详解】解： ∵多项式中不含项， ∴， ∴． 故选：C． 15．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）若单项式的次数是3，当时，此单项式的值是 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了单项式的概念，单项式中的数字因数叫做单项式的系数，系数包括它前面的符号，单项式的次数是所有字母的指数的和． 先根据单项式的概念求出的值，再将代入计算即可． 【详解】∵单项式的次数是3， ∴， ∴， ∴单项式为， 当时，此单项式的值是， 故答案为：． 16．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）若是关于x的五次四项式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的概念，几个单项式的和叫做多项式，多项式中的每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项，多项式的每一项都包括前面的符号，多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数． 根据多项式的概念求出，，进而代入计算即可． 【详解】∵是关于x的五次四项式， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 17．（25-26七年级上·江苏·期中）已知，，无论x取何值，恒成立，则 【答案】2 【分析】本题考查整式的加减，根据题意可以得到关于a的等式，从而可以求得a的值，本题得以解决． 【详解】解：∵，，无论x取何值，恒成立， ∴ ， ∴， 解得． 故答案为：2． 18．（24-25七年级上·全国·期中）图中三个图是由若干盆花组成的形如三角形的图案，每条边上（包括两个顶点）有n（n大于1）个花盆，每个图案花盆的总数为S．按此推断，当时， ． 【答案】30 【分析】本题考查图形类规律探究，根据给出的图形，推出第个图案中，花盆的总数，进行求出时，的值即可． 【详解】解：依题意得：，． ，． ，． … ∴第个图案中，花盆的总数为：． 故当时，． 故答案为：30． 19．（24-25七年级下·广西贵港·期中）先化简，再求值： (1)，其中． (2)，其中，． 【答案】(1)，2 (2)， 【分析】本题主要考查整式的加减中的化简求值； （1）先去括号，合并同类项，再代入计算即可； （2）先去括号，合并同类项，再代入计算即可． 【详解】（1）解：原式， ， 当时， 原式． （2）解：原式， ， 当时， 原式． 20．（24-25七年级上·湖北黄石·期中）小红、小明、小丽和小刚四位同学为了参加学习小组活动，需要购买一些笔记本和圆珠笔．已知笔记本的单价是元，圆珠笔的单价是元，由小红和小明两人分别去买．小红买了3本笔记本，2支圆珠笔；小明买了4本笔记本，3支圆珠笔． (1)小红和小明一共花了多少钱？ (2)他们两人谁花的钱多？多多少？ (3)由于四人要平摊费用，后来结算时，发现在买之前，小明给了小红一元钱，小丽给了小明二元钱；买完东西后，小红和小明身上都没钱了，而小丽和小刚都还有足够的钱．现在他们要马上结算，请你给他们设计一个结算方案，即谁给谁多少钱，才能使大家做到平摊费用，相互之间不欠钱．要说明理由，并写出计算化简过程． 【答案】(1)元 (2)小明花钱多，多元 (3)小丽给小明元，小刚给小明元，小刚给小红元；理由见解析 【分析】本题主要考查了整式加减的应用，列代数式，解题的关键是理解题意，列出代数式，熟练掌握整式加减运算法则． （1）根据小红和小明购买的数量，结合笔记本和圆珠笔的单价，列出代数式即可； （2）求出，然后根据，，进行判断即可； （3）先求出每个人应该花元，再求出小红和小明应该收到的钱，小丽和小刚应该拿出的钱，然后列式计算即可． 【详解】（1）解：小红和小明一共花了： 元； 答：小红和小明一共花了元； （2）解： ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴小明花钱多，多元． （3）解：方案：小丽给小明元，小刚给小明元，小刚给小红元；理由如下： 每个人应该花元， 小红应该收到： 小明应该收到：元， 小丽应该再出：元， 小刚应该出：元， 那么小丽应该给小明：元， 小刚给小明： 元， 小刚给小红： 元， 故小丽给小明元，小刚给小明元，小刚给小红元． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 21．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知，且，则的值为（    ） A．或5 B．或5 C．1或 D．1或 【答案】D 【分析】此题考查的是绝对值的意义、乘方的意义、乘法法则和代数式求值，掌握绝对值的意义、乘方的意义、乘法法则是解决此题的关键． 根据绝对值和有理数的乘方求出，的值，根据，得到，异号，分两种情况分别计算即可． 【详解】解：∵，， ，， ， ，异号， 当，时，； 当，时，． 综上所述，的值为1或． 故选：D． 22．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）下列说法：①倒数等于本身的数是； ②互为相反数的两个非零数的商为；③如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等；④有理数可以分为正有理数和负有理数；⑤单项式的系数是，次数是6；⑥多项式是三次三项式，其中正确的个数是（         ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了单项式和多项式的相关定义，倒数和相反数的定义，有理数的分类等知识，根据单项式和多项式的相关定义，倒数和相反数的定义，有理数的分类，绝对值的意义判断即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：①倒数等于本身的数是，说法正确，故①符合题意； ②互为相反数的两个非零数的商为，说法正确，故②符合题意； ③如果两个数的绝对值相等，那么这两个数可能相等，也可能互为相反数，故③不符合题意； ④有理数可以分为正有理数、负有理数和，故④不符合题意； ⑤单项式的系数是，次数是5，故⑤不符合题意； ⑥多项式是三次三项式，说法正确，故⑥符合题意； 综上，符合题意的有个， 故选：B． 23．（25-26七年级上·全国·期中）下列说法正确的是（   ） A．的系数是，次数是3 B．多项式的次数是2，项数是3 C．单项式与是同类项 D．多项式按x的降幂排列为 【答案】B 【分析】本题考查单项式与多项式的项、系数、次数，同类项．根据单项式与多项式的项、系数、次数，同类项的概念逐项判断即可． 【详解】解：A、的系数是，次数是4，故本选项说法错误； B、多项式中，是常数项，因此它的次数是2，项数是3，故本选项的说法正确； C、单项式与中，a的指数不同，b的指数不同，它们不是同类项，故本选项的说法错误； D、多项式按x的降幂排列为，故本选项的说法错误． 故选：B 24．（24-25七年级上·四川巴中·期中）对于每个正整数，设表示的末位数字，例如：（的末位数字），（的末位数字），（的末位数字）…，则的值是（    ） A．4040 B．4030 C．4020 D．4048 【答案】D 【分析】本题考查数字的变化类，根据题意，可以写出前几个式子的值，然后即可发现式子的变化特点，，，，，五个数依次循环出现，进而求出所求式子的值． 【详解】解：由题意可得， 因为，， 所以， 以此类推，得 ， ， ， ， ， ， ， …… ∵， ∴ ， 故选：D． 25．（24-25七年级下·浙江温州·期中）观察：， ， ， ，… 据此规律，求的个位数字是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式的运算，找出等式的规律是解题的关键．依据题意，得出规律为，将，代入，得出，先根据的整数次幂找到个位数字的规律，得出的个位数字是，即可求解． 【详解】解：由上面的规律可知：， 当，时，， ∴； ∵，，，，，，...， ∵， ∴的个位数字是， ∴的个位数字是． 故选：C． 26．（24-25七年级上·陕西榆林·期中）已知多项式是五次三项式，是该多项式二次项的系数，则的值为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了多项式和代数式求值，能理解多项式的系数、次数、项的概念是解题的关键．根据多项式的有关定义求出a、b的值，然后代入即可求出答案． 【详解】解：多项式是五次三项式， ， 解得， 又该多项式二次项为， ∴二次项的系数为，则， ， 故答案为：10． 27．（24-25七年级上·吉林·期中）若关于x、y的多项式 化简后不含项，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减中无关型问题，根据化简后不含的项，即的系数为0，进而可求解． 【详解】解： ， ∵化简后不含的项， ∴， 解得：， 故答案为：． 28．（24-25七年级上·全国·期中）以下说法：①的倒数是；②的系数是；③若，且，则的值为9；④若多项式与的差不含项，则m的值为3；⑤已知，则的值为9．其中正确的有 ．（填序号） 【答案】①④⑤ 【分析】本题考查倒数、单项式的系数、绝对值和乘方、代数式求值、合并同类项等知识，涉及知识点较多，熟练掌握相关知识是解答的关键． 根据倒数定义可判断①；根据单项式的数字因式是系数可判断②；根据绝对值和乘方、乘法运算法则求得m、n值，即可判断③；根据整式的加减运算法则可判断④；代入求值可判断⑤，进而可得答案． 【详解】解：①的倒数是，故①正确； ②的系数是，故②错误； ③若，且，则，或，， ∴的值为或，故③错误； ④∵ ， 若多项式与的差不含项， 则，解得，故④正确； ⑤已知， 则，故⑤正确． 故答案为：①④⑤． 29．（24-25七年级上·全国·期中）计算： (1)； (2)． (3) (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查整式的运算，熟练掌握去括号，合并同类项的法则，是解题的关键： （1）合并同类项即可； （2）去括号，合并同类项即可； （3）去括号，合并同类项即可； （4）去括号，合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 30．（24-25七年级上·广东中山·期中）中山市某楼盘准备推出一套小户型商品房，该户型商品房的单价是万元，面积如图所示（单位：，卫生间的宽未定，设宽为），售房部为购房者提供了以下两种优惠方案： 方案一：整套房的单价为万元，其中厨房可免费赠送一半的面积； 方案二：整套房按原销售总金额的9折出售． (1)用含x的式子表示该户型商品房的面积及方案一、方案二中购买一套该户型商品房的总金额； (2)当时，通过计算说明哪种方案更优惠？优惠多少万元？ 【答案】(1)该户型商品房的面积为，方案一中购买一套该户型商品房的总金额为万元，方案二中购买一套该户型商品房的总金额为万元 (2)方案二更优惠，优惠万元 【分析】本题考查了整式加减的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）先求出该户型商品房的面积，再根据两种方案分别列式计算即可； （2）把分别代入两种方案表示总金额的整式计算即可． 【详解】（1）解：该户型商品房的面积为（）； 方案一中购买一套该户型商品房的总金额为（万元）； 方案二中购买一套该户型商品房的总金额为（万元）； （2）解：当时， （万元）， （万元）， （万元）， 所以方案二更优惠，优惠万元． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 整式的加减（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 单项式的概念 能正确理解单项式的概念 基础必考点，常出现在小题 多项式的概念 能正确理解多项式的概念 基础必考点，常出现在小题 整式的概念 掌握整式的概念与分类，学会表示整式 重要考点，关键要掌握整式的概念 合并同类项 理解合并同类项的概念，学会对式子进行合并同类项 重要考点，常出现在大题，计算题型为主 添括号、去括号 掌握添括号、去括号的方法和技巧 基础必考点，常出现在小题中，做题时需注意括号和负号的添加 整式的加减 掌握整式加减计算规则 核心考点，常出现在解答题中，有计算题型 整式加减中的无关型问题 掌握整式加减中的无关型问题的解决方法与技巧 重要考点，常出现在小题中 整式加减的应用 掌握整式加减的应用，学会用整式表示数量关系 核心考点，常出现在大题中 知识点01 单项式 1.单项式的定义：如，，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式. （1）单项式中不含加减运算，只包含数字与字母或字母与字母的乘法运算； （2）分母中含有字母的的式子不是单项式. 2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数. （1）确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数； （2）圆周率π是常数，单项式中出现π时，应看作系数； （3）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写； （4）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数. 3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数. （1）没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏； （2）对于单独一个非零的数，规定它的次数是0. 知识点02 多项式 1.多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式； 2.多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项； （1）多项式的每一项包括它前面的符号； （2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如是一个三项式. 3.多项式的次数：一个多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数. （1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数； （2）一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出； （3）一个多项式是几次、有几项就叫几次几项式，如是二次三项式. 知识点03 整式 整式：单项式与多项式统称为整式. 单项式、多项式、整式与代数式这四者之间的关系：单项式、多项式必是整式，整式必是代数式，但反过来就不一定成立. 分母中含有字母的式子一定不是整式，但是代数式. 知识点04 合并同类项 同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项．几个常数项也是同类项. 1.判断几个项是否是同类项有两个条件：①所含字母相同；②相同字母的指数分别相等，同时具备这两个条件的项是同类项，缺一不可； 2.同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关； 3.一个项的同类项有无数个，其本身也是它的同类项； 4.同类项不一定只有两项，也可以是三项、四项或更多项，但至少有两项，且每一项都是单项式. 5.合并同类项的概念：根据乘法分配律把同类项合并成一项叫做合并同类项. 6.合并同类项的法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母与字母的指数不变. 7.合并同类项的一般步骤（一找、二移、三合、四排）： （1）找出同类项，当项数较多时，可作合适的标记； （2）运用加法交换律、结合律将多项式中的同类项合并； （3）利用合并同类项法则，合并同类项； （4）合并后的结果是多项式，一般按照某一个字母的升幂/降幂排列. 8.易错点： （1）不是同类项的不能合并，无同类项的项不能遗漏,在每步运算中照抄； （2）所有的常数项都是同类项，合并时把它们结合在一起，运用有理数的运算法则进行合并； （3）系数相加(减)，字母部分不变，不能把字母的指数也相加(减)； （4）若两个同类项的系数互为相反数，则合并同类项的结果为0. 知识点05 添括号、去括号 1.去括号法则： 括号前面是“＋”号，把括号和前面的“＋”号去掉，括号里各项符号都不改变，如； 括号前面是“－”号，把括号和前面的“－”号去掉，括号里各项符号都要改变，如. （1）当括号前的因数不是“±1”时，要利用乘法分配律将括号外的因数与括号内的每一项都相乘去掉括号，不要漏乘括号里的任何一项； （2）对于多重括号，去括号时可以先去小括号，再去中括号，也可以先去中括号．再去小括号．但是一定要注意括号前的符号； （3）去括号只是改变式子形式，不改变式子的值，它属于多项式的恒等变形. 2.添括号法则： 添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号，如； 添括号后，括号前面是“-”号，括到括号里的各项都要改变符号，如． 知识点06 整式的加减 1.利用合并同类项和去括号法则，我们可以进行整式的加减运算. 整式的加减运算，像数的运算一样满足各种运算律，如果有括号要先去括号，再合并同类项. 2.整式加减注意事项：整式加减的结果要最简，不能有同类项，含字母的项的系数不要出现带分数（化成假分数），能去括号的要去括号，一般不含有括号. 3.整式加减的应用 （1）整式的化简求值 一般这类题会利用整体代入法求值，从题中条件中不易直接得到某个字母的具体值，可以将原式化为已知条件中字母间的关系，然后将某个式子的值作为一个整体代入计算. （2）整式中“不含”与“无关”类问题的求解方法 若整式加减运算结果“不含x项”或整体的值“与x的值无关”，实质是指去括号并合并同类项后含字母x的项的系数为0. （3）解决多项式能否被一个数整除类问题 判断一个多项式是否能被一个数整除，关键是看这个多项式是否能化为这个数和某个多项式（多项式的值为整数）乘积的形式. 多位数的表示方法：相同的字母在不同的数位上所表示的数值不同，若一个三位数数，百位数是x，十位数是y，个位数是z，则这个三位数数可表示为100x+10y+z. 知识点07 代数式的化简求值 1.求代数式的值时，如果代数式中含有同类项和括号，通常先去括号，合并同类项后再计算. 2.整式的化简求值步骤（一化、二代、三计算）： （1）利用整式的加减运算将整式化简； （2）把已知字母或某个整式的值代入化简后的式子； （3）依据有理数的运算法则进行计算. 题型一 单项式的相关概念 解｜题｜技｜巧 数与字母的积称为单项式；注意单项式的系数是除字母外的数字，要看是否有负号； 【典例1】（24-25七年级上·海南海口·期中）下列各式中：，，，，，单项式有（    ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【典例2】（24-25七年级上·湖南岳阳·期中）下列说法错误的是（    ） A．是单项式 B．的系数是 C．是一次单项式 D．的次数是 【变式1】（24-25七年级上·海南海口·期中）下列说法中正确的是（） A．的系数是 B．的系数是 C．的系数是 D．的次数是 【变式2】（24-25七年级上·江西南昌·期中）有三个条件：①只含有字母a，b，c；②系数为； ③次数为4； 能满足这三个条件的所有单项式 为 ． 【变式3】（24-25七年级上·福建厦门·期中）给出以下七个代数式： ，，，，，， 请按要求进行分类 (1)分成两类，分类方法是：分成含字母与不含字母两类 其中①含字母的有： ②不含字母的有： (2)模仿（1）的分类方式 分成三类，分类方法是 其中① ② ③ 题型二 单项式规律题 解｜题｜技｜巧 观察单项式的类型，用通过看系数、项、指数的变化，如果出现一正一负这种情况的时候，要用（-1）来进行调节 【典例1】（24-25九年级下·云南文山·期中）按一定规律排列的单项式：，第个单项式是（　　） A． B． C． D． 【典例2】（24-25七年级上·贵州黔南·期中）按一定规律排列的单项式：，，，，，…其中第个单项式是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级下·江西抚州·期中）观察下列关于x的单项式，探究其规律：…  按照上述规律，第10个单项式是 ． 【变式2】（24-25七年级上·江西赣州·期中）观察下列一串单项式的特点：．按此规律，第9个单项式为 ，试猜想第n（n为正整数）个单项式为 ． 【变式3】（24-25七年级上·安徽芜湖·期中）【观察与发现】 ，，，，，，…， (1)直接写出：第7个单项式是______；第8个单项式是______； (2)第2n（n大于0的整数）个单项式是什么？并指出它的系数和次数． 题型三 多项式的相关概念 解｜题｜技｜巧 几个单项式的和称为多项式； 【典例1】（24-25七年级上·重庆江津·期中）式子，，，，，，中，多项式有（   ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【典例2】（24-25六年级上·山东烟台·期末）对代数式，，，，，判断正确的是（    ） A．只有个单项式 B．只有个单项式 C．有个整式 D．有个二次多项式 【变式1】（24-25七年级上·河北保定·期中）在代数式，，，，，中，多项式的个数是 ． 【变式2】（24-25七年级上·广东韶关·期中）下列说法正确的是（   ） A．0不是代数式 B．和都是多项式 C．的项分别是，，6 D．的次数是3 【变式3】（24-25七年级上·山东济宁·期中）下列选项中，说法正确的是（    ） A．的次数是次 B．多项式是四次三项式 C．的常数项为 D．不是多项式 题型四 多项式系数、指数中字母求值 【典例1】（24-25七年级上·河北保定·期中）若多项式是关于，的三次三项式，则有理数的值为（    ） A． B．1 C． D．3 【典例2】（24-25七年级上·重庆·期中）若代数式是关于，的三次二项式，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D． 【变式1】（24-25七年级上·江西赣州·期中）若多项式是一个关于x，y的三次三项式，则m的值为 ． 【变式2】（24-25七年级上·江苏无锡·期中）已知多项式是关于x的二次三项式，则的值为 ． 【变式3】（24-25九年级上·河南南阳·期中）已知多项式是一个五次四项式，求的值． 题型五 多项式升幂（降幂）排列 解｜题｜技｜巧 多项式的升幂与降幂，要看是哪个字母，只针对这一个字母进行升幂或者降幂排列，其他字母可以不管； 【典例1】（24-25七年级上·河南南阳·期中）把按字母y的升幂排列后，其中的第2项是（   ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25七年级上·湖南益阳·期中）已知多项式，按照y的降幂排列 ． 【变式1】（24-25七年级上·陕西渭南·期中）将多项式按字母y的升幂排列为 ． 【变式2】现有下列单项式：，如果要组合成一个七次三项式，那么按照x的降幂排列，这个多项式可以是 ． 【变式3】（24-25七年级上·河南安阳·期中）已知多项式是六次四项式． (1)写出n的值；并将多项式按x的升幂排列； (2)求该多项式各项系数之和． 题型六 整式的相关概念 解｜题｜技｜巧 记住单项式和多项式合起来称为整式； 【典例1】（24-25七年级上·全国·期中）下列代数式是整式的有（   ） ①； ②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧ A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【典例2】（24-25七年级上·四川资阳·期中）下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥．其中整式的个数有（   ） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 【变式1】（24-25七年级上·上海杨浦·期中）在下列代数式：，，，，，，中，整式有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式2】（24-25七年级上·内蒙古包头·期中）式子，，，，，，，，中，代数式有个，整式有个，则 ． 【变式3】（24-25七年级上·广西南宁·期中）指出下列哪些是单项式，哪些是多项式，哪些是整式，把序号填写到对应横线上： ①；②；③5；④；⑤；⑥；⑦； 单项式：___________． 多项式：___________． 整式：___________． 题型七 合并同类项 解｜题｜技｜巧 所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项．几个常数项也是同类项；合并同类项的时候要注意合并完全，不能出现遗漏； 【典例1】（24-25七年级上·全国·期中）下列各组式子中，两个单项式是同类项的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【典例2】（25-26七年级上·全国·期中）若单项式与是同类项，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1】（24-25七年级上·全国·期中）若单项式与单项式的和仍是单项式，则 ． 【变式2】（24-25七年级上·四川泸州·期中）化简： (1) (2) 【变式3】（24-25七年级上·江苏扬州·期中）化简： (1) (2) 题型八 去括号与添括号 解｜题｜技｜巧 添（去）括号法则：括号外是“+”，添(去)括号不变号；括号外是“-”，添(去)括号都变号. 【补充】去括号和添括号是两种相反的变形，因此可以相互检验正误. 【典例1】（24-25八年级上·四川德阳·期中）在下列去括号或添括号的变形中，错误的是（   ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25七年级下·北京通州·期中）下列去括号结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级上·河南驻马店·期中）化简的结果是 ． 【变式2】（24-25七年级上·北京·期中）已知，则代数式的值为 ． 【变式3】（24-25七年级上·重庆·期中）已知，则代数式的值是 ． 题型九 整式的加减运算 解｜题｜技｜巧 运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项. 【补充说明】整式加减实际上就是：去括号、合并同类项； 【典例1】（24-25七年级上·全国·期中）化简： (1) (2) (3) (4) 【典例2】（24-25七年级上·湖北荆门·期中）化简： (1) (2) 【变式1】（24-25七年级上·河北张家口·期中）计算： (1)； (2)． 【变式2】（24-25七年级上·广东广州·期中）化简： (1)． (2)． (3) 【变式3】（24-25七年级上·湖南郴州·期中）已知关于x的多项式：， (1)试求的值； (2)试比较M、N的大小． 题型十 整式的加减中的化简求值 解｜题｜技｜巧 整式加减运算，化简求值时一定要先化简，在进行计算求值；顺序不能搞乱，如果直接代入求出的结果是不得分的； 【典例1】（25-26七年级上·全国·期中）化简求值： (1)，其中． (2)已知，，求的值，其中，． 【典例2】（25-26七年级上·全国·期中）已知，求的值． 【变式1】（24-25七年级上·全国·期中）回答下列各题． (1)先化简，再求值：，其中，． (2)，其中 【变式2】（24-25七年级上·全国·期中）求多项式的值，其中（提示：分别把看作一个整体）． 【变式3】（24-25七年级上·四川泸州·期中）先化简，再求值：，其中． 题型十一 整式的加减中的无关型问题 解｜题｜技｜巧 整式加减中的无关型问题主要是涉及到某一项或者某个字母，这时候我们需要把含有这一项或者这个字母的单项式全部合并起来，再令这一项的系数为0，即可求出结果； 【典例1】（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）已知多项式不含项和项，则的值为（　 ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25七年级上·广东惠州·期中）无论取何值，多项式的值不变，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式1】（24-25七年级上·重庆·期中）若多项式中不含项，则 ． 【变式2】（24-25七年级上·福建莆田·期中）如果整式和整式的和为一个常数，我们称、为常数的“和谐整式”．例如：和为数的“和谐整式”．若关于的整式与为常数的“和谐整式”．则常数的值是 ． 【变式3】（24-25七年级上·江苏扬州·期中）已知，． (1)化简； (2)当，，求的值； (3)若的值与b的取值无关，求的值． 题型十二 整式加减的应用 解｜题｜技｜巧 整式加减的应用，关键在于列出关系式； 【典例1】（24-25七年级上·吉林·期中）如图，长方形纸片的长是，宽是，分别以、为圆心、为半径，剪去两个圆． (1)用含、的式子表示阴影部分图形的周长和面积，并化简； (2)若，请求出阴影部分图形的周长和面积（取3）． 【典例2】（24-25七年级上·湖南株洲·期中）为鼓励居民节约用电，某市电力公司采用分段计费方式计算电费：每月用电不超过180度时，按每度元计费：每月用电超过180度但不超过280度时，其中的180度仍按原标准收费，超过部分按每度元计费．收费标准如表： 用电量 不超过180度 超过180度但不超过280度的部分 超过280度的部分 收费标准（元/度） (1)若小明家10月用电量为160度，则他们家10月的电费是_____元． (2)若小明家11月用电量为230度，则他们家11月的电费是_____元． (3)若小明家12月用电量为度；请用含的代数式表示他们家12月应缴的电费． 【变式1】（24-25七年级上·辽宁鞍山·期中）如图，一扇窗户，窗框为铝合金材料，上面是由三个大小相等的扇形组成的半圆窗框构成，下面是由两个大小相等的长x，宽y的长方形窗框构成，窗户全部安装玻璃．（本题中取3，长度单位为米） (1)一扇这样窗户一共需要铝合金多少米？（用含的式子表示） (2)一扇这样窗户一共需要玻璃多少平方米？铝合金窗框宽度忽略不计（用含的式子表示） 【变式2】24-25七年级上·贵州安顺·期中）项目式学习． 【项目主题】校园分布图制作． 【项目背景】为了让初一新生更快熟悉校园生活，善思小组成员准备为初一新生制作简易版校园分布图． 【实践操作】操作一：善思小组根据校园的活动区域分布，将校园分布图分为教学区、操场、学生活动中心、图书馆四个主要区域； 操作二：根据小组成员的实际测量与记录，绘制如图所示的校园总体分布图（单位：）． 【项目思考】 (1)用整式表示这个学校的操场和学生活动中心一共占地多少面积； (2)若，b的倒数是，求这个学校的操场和学生活动中心一共占地多少面积． 【变式3】（24-25七年级上·广东深圳·期中）类比同类项的概念，我们规定：所含字母相同，并且相同字母的指数之差的绝对值都小于或等于1的项是“准同类项”． 例如：与是“准同类项”． (1)给出下列四个单项式： ①；②；③；④ 其中与是“准同类项”的是___（填写序号） (2)已知均为关于的多项式，，．若C的任意两项都是“准同类项”，求n的值． (3)已知D，E均为关于a，b的单项式，，其中，若D，E是“准同类项”，求出①x的最大值是____；②x的最小值是_____． 题型十三 带有绝对值的字母化简问题 解｜题｜技｜巧 带有绝对值的字母化简问题，要考虑字母式子的取值范围，最后根据绝对值里边的式子的正负性去掉绝对值符号； 【典例1】（25-26七年级上·全国·期中）若，则的结果为（    ） A．0 B． C． D．无法确定 【典例2】（24-25七年级上·湖北荆门·期中）若，，且，则的值为（　　） A．4 B．2或4 C．2或 D． 【变式1】（24-25七年级下·黑龙江绥化·期中）已知有理数a、b、c在数轴上的位置如图，化简的值为（    ） A． B． C．a D． 【变式2】（25-26七年级上·全国·期中）若m、n、p、q为有理数，且，则 ． 【变式3】（24-25七年级下·黑龙江绥化·期中）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】三个有理数，，满足，求的值． 【解决问题】解：由题意，得，，三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①，，都是正数，即时， 则； ②当，，中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设， 则． 综上所述，值为或． 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题： 三个有理数，，满足，求的值． 题型十四 整式加减中的新定义运算 【典例1】（24-25七年级上·重庆·期中）对于有理数，定义一种新运算“”，规定． (1)计算：； (2)计算：． 【典例2】（24-25七年级上·江苏盐城·期中）定义：若，则称、是“海春轩数”．例如：，因此3和1.5是一组“海春轩数”． (1)2与_________是一组“海春轩数”； (2)若、是一组“海春轩数”，求代数式的值． 【变式1】（24-25七年级上·陕西榆林·期中）定义一种新运算：对任意有理数都有，例如：．先化简，再求值：，其中． 【变式2】（24-25七年级上·河南周口·阶段练习）给出如下定义：我们把有序实数对叫做关于x的二次多项式的特征系数对，把关于x的二次多项式叫做有序实数对的特征多项式． (1)关于x的二次多项式的特征系数对为______； (2)若有序实数对的特征多项式与的和为N，当，时，求N的值． 【变式3】（24-25七年级上·江苏盐城·期中）我们定义：如果两个多项式与的和为常数，则称与互为“友好多项式”，这个常数称为它们的“友好值”．如与互为“友好多项式”，它们的“友好值”为7． (1)下列各组多项式互为“友好多项式”的是________（填序号）； ①与 ②与 ③与 (2)若多项式与多项式（，为常数）互为“友好多项式”，①求、的值；②求多项式、的“友好值”． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25七年级下·贵州安顺·期中）已知下列各式： ，其中单项式的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（24-25七年级上·全国·期中）多项式最高次项系数为（　　） A． B．1 C． D． 3．（24-25七年级上·四川资阳·期中）下列判断正确的是（   ） A．的常数项是3 B．是单项式 C．的系数是2 D．是二次三项式 4．（25-26七年级上·全国·期中）一个两位数，十位数字为a，个位数字为b，若把十位数字与个位数字对调，得到一个新的两位数，则原两位数与新两位数的差为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）若单项式与的和仍为单项式，则的值是 ． 6．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）多项式是 次四项式. 7．（24-25七年级上·全国·期中）已知关于的多项式是不含项的三项式，若，则该多项式的值为 ． 8．（25-26七年级上·全国·期中）已知整式，，则 ． 9．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）化简 (1) (2) 10．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）先化简，再求值，其中， 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 11．（24-25七年级下·广西柳州·期中）下列各式运算正确的是（　　） A． B． C． D． 12．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）整式，5，，，，，中单项式的个数有（        ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 13．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）一个多项式加得，则这个多项式为（    ） A． B． C． D． 14．（25-26七年级上·全国·期中）要使多项式中不含项，那么的值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 15．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）若单项式的次数是3，当时，此单项式的值是 ．（结果保留） 16．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）若是关于x的五次四项式，则 ． 17．（25-26七年级上·江苏·期中）已知，，无论x取何值，恒成立，则 18．（24-25七年级上·全国·期中）图中三个图是由若干盆花组成的形如三角形的图案，每条边上（包括两个顶点）有n（n大于1）个花盆，每个图案花盆的总数为S．按此推断，当时， ． 19．（24-25七年级下·广西贵港·期中）先化简，再求值： (1)，其中． (2)，其中，． 20．（24-25七年级上·湖北黄石·期中）小红、小明、小丽和小刚四位同学为了参加学习小组活动，需要购买一些笔记本和圆珠笔．已知笔记本的单价是元，圆珠笔的单价是元，由小红和小明两人分别去买．小红买了3本笔记本，2支圆珠笔；小明买了4本笔记本，3支圆珠笔． (1)小红和小明一共花了多少钱？ (2)他们两人谁花的钱多？多多少？ (3)由于四人要平摊费用，后来结算时，发现在买之前，小明给了小红一元钱，小丽给了小明二元钱；买完东西后，小红和小明身上都没钱了，而小丽和小刚都还有足够的钱．现在他们要马上结算，请你给他们设计一个结算方案，即谁给谁多少钱，才能使大家做到平摊费用，相互之间不欠钱．要说明理由，并写出计算化简过程． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 21．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知，且，则的值为（    ） A．或5 B．或5 C．1或 D．1或 22．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）下列说法：①倒数等于本身的数是； ②互为相反数的两个非零数的商为；③如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等；④有理数可以分为正有理数和负有理数；⑤单项式的系数是，次数是6；⑥多项式是三次三项式，其中正确的个数是（         ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 23．（25-26七年级上·全国·期中）下列说法正确的是（   ） A．的系数是，次数是3 B．多项式的次数是2，项数是3 C．单项式与是同类项 D．多项式按x的降幂排列为 24．（24-25七年级上·四川巴中·期中）对于每个正整数，设表示的末位数字，例如：（的末位数字），（的末位数字），（的末位数字）…，则的值是（    ） A．4040 B．4030 C．4020 D．4048 25．（24-25七年级下·浙江温州·期中）观察：， ， ， ，… 据此规律，求的个位数字是（   ） A． B． C． D． 26．（24-25七年级上·陕西榆林·期中）已知多项式是五次三项式，是该多项式二次项的系数，则的值为 ． 27．（24-25七年级上·吉林·期中）若关于x、y的多项式 化简后不含项，则 ． 28．（24-25七年级上·全国·期中）以下说法：①的倒数是；②的系数是；③若，且，则的值为9；④若多项式与的差不含项，则m的值为3；⑤已知，则的值为9．其中正确的有 ．（填序号） 29．（24-25七年级上·全国·期中）计算： (1)； (2)． (3) (4)． 30．（24-25七年级上·广东中山·期中）中山市某楼盘准备推出一套小户型商品房，该户型商品房的单价是万元，面积如图所示（单位：，卫生间的宽未定，设宽为），售房部为购房者提供了以下两种优惠方案： 方案一：整套房的单价为万元，其中厨房可免费赠送一半的面积； 方案二：整套房按原销售总金额的9折出售． (1)用含x的式子表示该户型商品房的面积及方案一、方案二中购买一套该户型商品房的总金额； (2)当时，通过计算说明哪种方案更优惠？优惠多少万元？ 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $