专题02 一元二次方程（期中复习讲义）（知识必备+11大核心题型+分层验收）九年级数学上学期冀教版

专题02 一元二次方程 核心考点 复习目标 考情规律 一元二次方程的概念 能准确判断一元二次方程 基础常考点，常出现在小题 一元二次方程的一般形式 能化成一般式，准确识别各系数 基础常考点，易漏 一元二次方程的解法 能选择恰当方程求根 必考点，易错配方漏项、公式记错 一元二次方程的根与系数的关系 能用根与系数的关系求值 中档题，易错漏验判别式 列一元二次方程解应用题 能解决实际问题 解答题必考，易错找错等量关系 知识点01 一元二次方程的概念 等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。 注意：一元二次方程成立必须同时满足三个条件： （1）是整式方程，即等号两边都是整式。方程中如果有分母，且未知数在分母上，那么这个方程就是分式方程，不是一元二次方程；方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程（是无理方程）；（2）只含有一个未知数；（3）未知数项的最高次数是2。 ·示例：1．含未知数在分母，不是一元二次方程； 2．含两个未知数，不是一元二次方程； 3．最高次为1，不是一元二次方程. 知识点02 一元二次方程的一般形式 一元二次方程经过整理都可化成一般形式，其中叫作二次项，是二次项系数；叫作一次项，是一次项系数；叫作常数项。 注意：（1）中的．因当时，不含有二次项，即不是一元二次方程 （2）在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，在指明一元二次方程各项系数时不要漏掉前面的性质符号。 知识点03 一元二次方程的解 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解，解决此类问题，通常是将方程的根或解反代回去再进行求解. 知识点04 解一元二次方程的方法 （1）直接开方法：方程能化成的形式,那么,进而得出方程的根； （2）配方法：①化为一般形式；②移项，将常数项移到方程的右边；③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为的形式； ⑤如果就可以用两边开平方来求出方程的解；如果，则原方程无解． （3）公式法：①化为一般形式；②求出判别式的值，判断根的情况；③在的前提下,把的值代入公式进行计算,求出方程的根。 （4）因式分解法：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边转化为两个一元一次多项式的乘积； ③令每个因式分别为零；④两个因式分别为零的解就都是原方程的解。 （5）换元法：是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现，把一些形式复杂的方程通过换元方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的。 知识点05 一元二次方程的根与系数 根与系数的关系：即的两根为，则，。利用韦达定理可以求一些代数式的值（式子变形），如 ·示例：已知方程的两根为，求和的值 由根与系数的关系可得 知识点06 列一元二次方程解应用题的具体步骤 ①审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系． ②设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数． ③列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程． ④解：准确求出方程的解． ⑤验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题． ⑥答：写出答案． 题型一 一元二次方程的概念 【例1】下列方程中，属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【例2】下列方程中，是关于x一元二次方程是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】是一个一元二次方程，则 ． 【变式1-2】已知关于的方程是一元二次方程，则 ． 【变式1-3】若关于的方程是一元二次方程，则 ． 题型二 一元二次方程的一般形式 【例3】将一元二次方程化为一般形式为（    ） A． B． C． D． 【例4】一元二次方程 化为一般形式为： ，二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 ． 【变式2-1】将一元二次方程化为一般形式是 ． 【变式2-2】一元二次方程的常数项为 ． 【变式2-3】关于x的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则m的值为（    ） A．0 B． C．3 D． 解｜题｜技｜巧 先标准化方程，再对应找系数（含符号）。无一次项则，无常数项则，避免漏符号。 题型三 一元二次方程的解 【例5】如果2是方程的一个根，那么c的值是（   ） A．3 B．2 C． D． 【例6】观察下列表格，估计一元二次方程的一个解的大致范围是（   ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 0.11 0.24 0.39 0.56 0.74 0.96 1.19 1.44 1.71 A． B． C． D． 【变式3-1】已知一元二次方程，若，则该方程一定有一个根为（   ） A． B．3 C． D．不能确定 【变式3-2】已知关于的一元二次方程有一个非零根，则的值为（　　） A． B． C． D． 【变式3-3】已知是方程的一个根，试求的值． 题型四 解一元二次方程(平方法、配方法、公式法、因式分解法) 【例7】解方程： (1) (2) 【例8】用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】按要求解下列方程 (1)（用配方法） (2)（用公式法） (3)（用因式分解法） (4)（方法不限） 【变式4-2】规定．例如，若，求的值． 【变式4-3】解下列方程： (1)； (2)． 题型五 解一元二次方程(换元法) 【例9】阅读材料，解答问题．材料：为解方程，我们可以将作为一个整体，然后设，则．原方程可化为：，解得：． 当时，，解得：； 当时，，解得：； 所以原方程的解为：． (1)方程：的解为：_______ (2)解方程：；（写出解题过程） 【例10】解方程：． 【变式5-1】换元法解方程：． 【变式5-2】阅读材料，解答问题． 解方程：． 解：把视为一个整体，设， 则原方程可化为． 解得，． 或． ，． 以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解下列方程： ． 【变式5-3】关于的方程的解是，（、、均为常数，），则方程的解是 ． 题型六 根的判别式与解的情况 【例11】关于的方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． 【例12】若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的最小正整数值是 ． 【变式6-1】对于实数m，n，定义一种运算“※”为：． (1)求的值； (2)如果关于x的方程有两个相等的实数根，求实数a的值． 【变式6-2】已知的一条边的长为5，另两边、的长是关于x的一元二次方程的两个实数根． (1)求证：无论m为何值，方程总有两个实数根； (2)当m为何值时，是等腰三角形？并求此时的周长． 【变式6-3】已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值等于（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 解｜题｜技｜巧 先确认方程为一元二次方程，即二次项系数，否则需单独分析可能为一次方程； 若，则判断解的情况：①：方程有两个不相等的实数根；②：方程有两个相等的实数根；③：方程没有实数根。 题型七 根与系数的关系 【例13】已知是一元二次方程的两个根，则的值为 ． 【例14】设是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 【变式7-1】设，是方程的两个根，则等于 ． 【变式7-2】关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求实数k的取值范围； (2)若方程两实数根满足，求k的值 【变式7-3】已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，且，则 ． 解｜题｜技｜巧 ①确认方程是一元二次方程；②保证有实数根，否则定理不适用。 ③利用根与系数的关系得到，，则可根的和/积或代数式值 题型八 一元二次方程的应用（增长率问题） 【例15】年我国新增高效节水灌溉面积万，如果要使年至年三年新增高效节水灌溉面积总和为万，那么年、年两年新增高效节水灌溉面积年均增长率为多少？ 【例16】某药品原价是50元，经过连续两次降价后，价格变为32元，如果每次降价的百分率是相同的，那么每次降价的百分率是 . 【变式8-1】某超市1月份营业额为100万元，2月、3月的营业额共400万元，如果平均每月营业额的增长率为x，则由题意可列方程（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】年我国经济回暖向好，粮食产量约为万亿斤，中国碗装了更多中国粮根据国家统计局网站信息可知年我国粮食产量约为万亿斤．（参考数据：，） (1)求这两年粮食产量的平均增长率；（结果精确到） (2)以这两年的粮食产量平均增长率，预测年我国粮食产量能否突破万亿斤？ 【变式8-3】国家统计局数据显示，我国快递业务收入逐年增加2020年某公司快递收入为400万元，2022年增长至576万元，假设该公司快递收入每年的增长率相同． (1)求该公司2020年至2022年快递业务收入的年平均增长率． (2)如果该公司业务收入的年平均增长率保持不变，那么2023年该公司快递业务收入应为多少万元？ 题型九 一元二次方程的应用（销售问题） 【例17】白露是秋季第三个节气，具有昼夜温差显著、气候转凉的特点，在这一天有收集清露、饮白露茶、吃龙眼等习俗．某水果店在白露节气来临之际，主推本地龙眼，已知该龙眼每千克成本为8元，原售价定为每千克20元时，每天可销售50千克．根据销售经验，每千克售价每降低1元，日销售量可增加10千克． (1)若将该龙眼每千克售价定为17元，每天可销售多少千克？ (2)高温天气水果难以保鲜，水果店想在保证销售量尽可能大的前提下，通过调整售价使每天的利润达到660元，每千克龙眼售价应定为多少元？ 【例18】从城市A到城市B的机票为500元，航空公司正在举行该航线的团体票优惠活动：当人数为10人及以下时不优惠；当人数超过10人时，每多1人，票价就减少20元，但票价不可低于360元．某公司举行团建，购买该航线的机票一共花了6000元，则该公司参加团建的有多少人？ 【变式9-1】某工厂每月生产800件产品，每件产品的成本为100元，分配给线上旗舰店和线下直营店两个渠道销售．线上旗舰店的产品售价y（元）与月销售量x（件）满足关系：．线下直营店的产品按照定价190元出售，并进行促销活动；月销售量不超过400件的部分，每件产品赠送成本为60元的礼品，可全部售完，超过400件的部分，因礼品已送完，则需要一次性投入成本为5000元的广告进行宣传 (1)设线上旗舰店的月销售量为a件，线下直营店的月销售量为b件，分别用含a、b的代数式表示： ①线上销售的a件产品的利润为 元； ②若，则线下销售的b件产品的利润为 元；若，则线下销售的b件产品的利润为 元． (2)假设工厂每月生产的800件产品可全部售完，请你设计一种分配方案，使得销售总利润为46200元．（注：要有解答过程） 【变式9-2】2022北京冬奥会期间，某网店直接从工厂购进、两款冰墩墩钥匙扣，进货价和销售价如下表：（注：利润=销售价进货价） 类别价格 款钥匙扣 款钥匙扣 进货价（元/件） 30 25 销售价（元/件） 45 37 (1)网店第一次用850元购进、两款钥匙扣共30件，求两款钥匙扣分别购进的件数； (2)第一次购进的冰墩墩钥匙扣售完后，该网店计划再次购进、两款冰墩墩钥匙扣共80件（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于2200元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？ (3)冬奥会临近结束时，网店打算把款钥匙扣降价促销，如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，为了尽快减少库存，应将销售价格定为每件多少元时，才能使款钥匙扣平均每天销售利润为90元？ 【变式9-3】冬季来临，某超市以每件35元的价格购进某款棉帽，并以每件58元的价格出售．经统计，10月份的销售量为256只，12月份的销售量为400只． (1)求该款棉帽10月份到12月份销售量的月平均增长率； (2)经市场预测，下个月份的销售量将与12月份持平，现超市为了减少库存，采用降价促销方式，调查发现，该棉帽每降价1元，月销售量就会增加20只．当该棉帽售价为多少元时，月销售利润达8400元？ 题型十 一元二次方程的应用（图形问题） 【例19】列方程解决实际问题： 某学校在校园开辟了一块劳动教育基地：一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为22米），用长为46米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的矩形菜地，在菜地的前端各设计了两个宽1米的小门，供同学们进行劳动实践，若设菜地的宽为x米． (1)_________米（用含x的代数式表示）； (2)若围成的菜地面积为180平方米，求此时的宽． 【例20】如图，某学校综合实践基地内有一块长方形油菜花田地（单位：m），现在其中修建一条观花道（阴影部分）供学生赏花，要求观花道的面积占长方形油菜花田地面积的．则观花道的直角边（如图所示）为 ． 【变式10-1】为庆祝六一儿童节，某书店推出了一系列优惠活动．为了鼓励广大儿童阅读《世界经典童话》（如图），购买此书籍则赠送如图2所示的精致矩形包书纸，在图2的包书纸示意图中，虚线是折痕，阴影是裁掉的部分，四角均为大小相同的正方形，正方形的边长为折进去的宽度．已知该包书纸的面积为（含阴影部分），且正好可以包好图1中的《世界经典童话》这本书，该书的长为，宽为，厚为．请求出该包书纸包这本书时折进去的宽度． 【变式10-2】如图所示，一个农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为的房墙，另外三边用长的建筑材料围成，为了方便进出，在垂直于房墙的一边留一个宽的门． (1)所围成矩形猪舍的长、宽分别是多少时，猪舍面积为？ (2)为做好猪舍的卫生防疫，现需要对围成的矩形进行硬底化，若以房墙的长为矩形猪舍一边的长，且已知硬底化的造价为60元/平方米，请你帮助农户计算矩形猪舍硬底化需要的费用． 【变式10-3】设某矩形的长和宽分别等于方程的正实数根，若矩形的周长和面积相等，则p、q的关系为 ． 题型十一 一元二次方程的应用（动态几何问题） 【例21】如图，在矩形中，，，，、分别从，，，出发沿，，，方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若，则，，．当 时，以P，Q、M，N为顶点的四边形是平行四边形． 【例22】如图，在正方形中，，动点以的速度从点出发，沿向点移动，同时动点以的速度从点出发，沿向点移动．设，两点移动的时间为．在，两点移动的过程中，当的长度为时，的值为（   ） A．2 B．4 C．2或4 D．3或4 【变式11-1】如图，是一条射线，，一只蚂蚁由点以的速度向点 爬行，同时另一只蚂蚁由点以的速度沿方向爬行，则经过 后，两只蚂蚁与点 组成的三角形的面积为． 【变式11-2】如图，在中，，，，点P从点A出发沿边向点C以的速度移动，同时点Q从点C出发沿边向点B以的速度移动．当Q点到达B点时，点P同时停止运动． (1)运动几秒时的面积为？ (2)的面积能否等于面积的一半？若能，求出运动时间，若不能，说明理由． 【变式11-3】如图，在矩形中，，，从点开始沿向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，当点运动到点时，两点停止运动，设运动时间是． (1)为何值时，在的垂直平分线上？ (2)为何值时，的长度为？ 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．下列关于的方程中一定有实数解的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在一块长，宽的矩形地面上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路与矩形的一条边平行）剩余部分种花草，要使剩余部分的面积为，则道路的宽为（   ） A． B． C． D． 3．已知，是方程的两个实数根，则的值是（　　） A． B． C． D． 4．若，则的值是（  ） A．或2 B．4 C．或4 D．2 5．若关于x的方程的一个根是2，则的值是 ． 6．已知、是方程的两个实数根，则的值为 ． 7．随着直播浪潮的袭来，各行业都开始在电商直播市场中尝试并探索更多的方法，其中直播带货就很受大众欢迎．某电商在网络直播平台上对一款成本价为50元的小商品进行直播销售，如果按每件70元销售，每天可卖出10件．通过市场调查发现，小商品售价每降低1元，日销售量增加2件．若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为 元． 8．解下列关于的一元二次方程 (1)（配方法） (2) 9．如图，有一张长方形纸板，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，制成一个高为米的长方体形状无盖纸盒，如果纸盒的容积为立方米，底面长方形的一边长为米． (1)用含的代数式表示长方形纸板的长为_________米，长方形纸板的宽为________米； (2)若图中阴影部分的面积为平方米，则纸盒的容积为多少立方米？ 10．2025年1月23日下午，习近平总书记在辽宁省本溪市考察了本钢板材冷轧厂，察看了该企业的集控中心与生产线．了解企业加快转型升级、推进高质量发展等情况．本钢某厂采用先进技术制造了一种新产品，新产品2024年12月份销售20套，由于该产品的轻量化与安全性，销量快速上升，2025年2月份该厂销售新产品达到45套． (1)求该厂2024年12月到2025年2月销售新产品的月平均增长率； (2)该厂2025年2月份销售45套新产品，每套利润是20万元．因为产品供不应求，该厂决定适当的涨价，经市场调查发现，若价格不变，3月份预计仍可销售45套新产品，当新产品每套的销售利润每涨价1万元时，平均每月少售出1套，该厂要想在3月份获利946万元，而且尽可能让顾客得到实惠，新产品每套应涨价多少万元？ 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．在中，对角线，的长是关于x的一元二次方程的两个根，则k的取值范围是（    ）． A．且 B． C． D． 2．已知分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且是关于的一元二次方程的两个根，则的值是 ． 3．解方程： 4．已知关于的方程． (1)求证：方程必有两个不等实数根； (2)当取的整数时，存在两个有理数根，求的值和这两个有理数根． 5．关于x的一元二次方程有两个实数根分别是，，若，为整数，则称为“”点． (1) （填是或否）存在“”点； (2)若关于x的一元二次方程：的“”点为，求b，c的值； (3)关于x的一元二次方程是否存在一“”点，且该点在直线上，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由． 6．如图，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是和的边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题： (1)试判断方程是不是“勾系一元二次方程”； (2)求关于x的“勾系一元二次方程”的实数根； (3)若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是12，求面积． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元二次方程 核心考点 复习目标 考情规律 一元二次方程的概念 能准确判断一元二次方程 基础常考点，常出现在小题 一元二次方程的一般形式 能化成一般式，准确识别各系数 基础常考点，易漏 一元二次方程的解法 能选择恰当方程求根 必考点，易错配方漏项、公式记错 一元二次方程的根与系数的关系 能用根与系数的关系求值 中档题，易错漏验判别式 列一元二次方程解应用题 能解决实际问题 解答题必考，易错找错等量关系 知识点01 一元二次方程的概念 等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。 注意：一元二次方程成立必须同时满足三个条件： （1）是整式方程，即等号两边都是整式。方程中如果有分母，且未知数在分母上，那么这个方程就是分式方程，不是一元二次方程；方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程（是无理方程）；（2）只含有一个未知数；（3）未知数项的最高次数是2。 ·示例：1．含未知数在分母，不是一元二次方程； 2．含两个未知数，不是一元二次方程； 3．最高次为1，不是一元二次方程. 知识点02 一元二次方程的一般形式 一元二次方程经过整理都可化成一般形式，其中叫作二次项，是二次项系数；叫作一次项，是一次项系数；叫作常数项。 注意：（1）中的．因当时，不含有二次项，即不是一元二次方程 （2）在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，在指明一元二次方程各项系数时不要漏掉前面的性质符号。 知识点03 一元二次方程的解 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解，解决此类问题，通常是将方程的根或解反代回去再进行求解. 知识点04 解一元二次方程的方法 （1）直接开方法：方程能化成的形式,那么,进而得出方程的根； （2）配方法：①化为一般形式；②移项，将常数项移到方程的右边；③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为的形式； ⑤如果就可以用两边开平方来求出方程的解；如果，则原方程无解． （3）公式法：①化为一般形式；②求出判别式的值，判断根的情况；③在的前提下,把的值代入公式进行计算,求出方程的根。 （4）因式分解法：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边转化为两个一元一次多项式的乘积； ③令每个因式分别为零；④两个因式分别为零的解就都是原方程的解。 （5）换元法：是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现，把一些形式复杂的方程通过换元方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的。 知识点05 一元二次方程的根与系数 根与系数的关系：即的两根为，则，。利用韦达定理可以求一些代数式的值（式子变形），如 ·示例：已知方程的两根为，求和的值 由根与系数的关系可得 知识点06 列一元二次方程解应用题的具体步骤 ①审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系． ②设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数． ③列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程． ④解：准确求出方程的解． ⑤验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题． ⑥答：写出答案． 题型一 一元二次方程的概念 【例1】下列方程中，属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A选项：方程中含有个未知数，且未知项的最高次数是， 是二元一次方程，不是一元二次方程，故A选项不符合题意； B选项：方程中，若，则方程是一元二次方程，若，则方程不是一元二次方程，故B选项不符合题意； C选项：方程中分母中有未知数，是分式方程， 不是一元二次方程，故C选项不符合题意； D选项：方程中含有个未知数，且未知项的最高次数是， 是一元二次方程，故D选项符合题意． 故选：D． 【例2】下列方程中，是关于x一元二次方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、是一元二次方程，符合题意； B、，方程有2个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； C、，方程不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； D、方程不知是否为0，不是一元二次方程，不符合题意； 故选：A． 【变式1-1】是一个一元二次方程，则 ． 【答案】 【详解】解：由题可得：， 解得：， ∴， 故答案为：． 【变式1-2】已知关于的方程是一元二次方程，则 ． 【答案】 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴，， 即，， ∴ 故答案为：． 【变式1-3】若关于的方程是一元二次方程，则 ． 【答案】 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴且， 解得， 故答案为：． 题型二 一元二次方程的一般形式 【例3】将一元二次方程化为一般形式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：一元二次方程化为一般形式为， 故选：B． 【例4】一元二次方程 化为一般形式为： ，二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 ． 【答案】 3 【详解】解：， ， 一元二次方程 化为一般形式为：，二次项系数为3，一次项系数为，常数项为． 故答案为：，3，，． 【变式2-1】将一元二次方程化为一般形式是 ． 【答案】 【详解】解：去括号得：， 移项、合并同类项得：， 即一般形式为． 【变式2-2】一元二次方程的常数项为 ． 【答案】 【详解】解：一元二次方程 化成一般式为，常数项为， 故答案是：． 【变式2-3】关于x的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则m的值为（    ） A．0 B． C．3 D． 【答案】C 【详解】解：将化为一般形式，得， ∵关于x的一元二次方程化为一般形式后不含一次项， ∴， 解得：． 故选：C． 解｜题｜技｜巧 先标准化方程，再对应找系数（含符号）。无一次项则，无常数项则，避免漏符号。 题型三 一元二次方程的解 【例5】如果2是方程的一个根，那么c的值是（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意，将代入方程，得： 解得． 故选：A． 【例6】观察下列表格，估计一元二次方程的一个解的大致范围是（   ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 0.11 0.24 0.39 0.56 0.74 0.96 1.19 1.44 1.71 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由表可知，时，随x的增大而增大， 当时，，当时，， 因此估计一元二次方程的一个解的大致范围是， 故选C． 【变式3-1】已知一元二次方程，若，则该方程一定有一个根为（   ） A． B．3 C． D．不能确定 【答案】B 【详解】解：当时，，所以若，则该方程一定有一个根为3． 故选B． 【变式3-2】已知关于的一元二次方程有一个非零根，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵于的一元二次方程有一个非零根， ∴， ∵， ∴方程两边同时除以，得， ∴； 故选：A ． 【变式3-3】已知是方程的一个根，试求的值． 【答案】 【详解】解：∵a是方程一个根， ∴， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 题型四 解一元二次方程(平方法、配方法、公式法、因式分解法) 【例7】解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 则， ∴， ∴， 所以． （2）解：， ∴， ∴或， ∴． 【例8】用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：依题意， ， 移项得， ， ∴， 故选：B 【变式4-1】按要求解下列方程 (1)（用配方法） (2)（用公式法） (3)（用因式分解法） (4)（方法不限） 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【详解】（1） 解： 解得：，； （2） 解：，，， ∴ ∴ ∴，； （3） 解： ∴或 解得：，； （4） 解： 或 ∴，； 【变式4-2】规定．例如，若，求的值． 【答案】， 【详解】解：由题意得，， ， ， ， ∴ 解得：，． 【变式4-3】解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）解：， 去分母得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为得，， 检验：把代入中得，， 是分式方程的解． （2）解：， ， ， ， 或， ，． 题型五 解一元二次方程(换元法) 【例9】阅读材料，解答问题．材料：为解方程，我们可以将作为一个整体，然后设，则．原方程可化为：，解得：． 当时，，解得：； 当时，，解得：； 所以原方程的解为：． (1)方程：的解为：_______ (2)解方程：；（写出解题过程） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：设，则， ∴原方程可以化为， ∴， 解得， 当时，，解得； 当时，，解得； ∴原方程的解为：； （2）解：设，则， ∴原方程可以化为， ∴， 解得， 当时，，解得； 当时，，此时方程无解； 综上所述，原方程的解为． 【例10】解方程：． 【答案】 【详解】解： 设，则原方程为 ∵, ，． ∴ 【变式5-1】换元法解方程：． 【答案】，， 【详解】解：设．则． 解得或． 当时，，即． 解得． 当时，，即． 解得，． 综上所述，原方程的解为，，． 【变式5-2】阅读材料，解答问题． 解方程：． 解：把视为一个整体，设， 则原方程可化为． 解得，． 或． ，． 以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解下列方程： ． 【答案】 【详解】解：依题意，， 设， 则原式为， ∴， 解得， 则或， 当时，即：， ， ∴， ∴； 当时， ∴， ∴， 综上：的解是． 【变式5-3】关于的方程的解是，（、、均为常数，），则方程的解是 ． 【答案】，/， 【详解】解：， 整理得：， 方程的解是，， 方程的解是，， 解得：，． 故答案为：， ． 题型六 根的判别式与解的情况 【例11】关于的方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． 【答案】且 【详解】解：∵关于的方程有两个不相等的实数根， ，，，方程有两个不相等的实数根， ， ． 又二次项系数不为0， ∴且． 【例12】若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的最小正整数值是 ． 【答案】2 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：且， ∴k的最小正整数值是2． 故答案为：2． 【变式6-1】对于实数m，n，定义一种运算“※”为：． (1)求的值； (2)如果关于x的方程有两个相等的实数根，求实数a的值． 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原方程可变形为， ∴， 整理得：， ∵方程有两个相等的实数根， ∴， ， ∴． 【变式6-2】已知的一条边的长为5，另两边、的长是关于x的一元二次方程的两个实数根． (1)求证：无论m为何值，方程总有两个实数根； (2)当m为何值时，是等腰三角形？并求此时的周长． 【答案】(1)见解析 (2)11或13 【详解】（1）证明：∵ ， ∴无论m为何值，方程总有两个实数根； （2）解：①当为腰长时，则方程必有一个根为5， ∴， ∴， ∴方程为：， ∴或， ∴等腰三角形的三边为：5，5，3， ∴周长为：； ②当为底边时，则方程有2个相同的实数根， ∴， ∴， ∴方程为：， 解得：， ∴等腰三角形的周长为：． 综上：周长为11或13． 【变式6-3】已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值等于（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：根据题意得：， 整理得：， ， 方程是一元二次方程， ， 等式两边同时除以得：， 则． 故选B． 解｜题｜技｜巧 先确认方程为一元二次方程，即二次项系数，否则需单独分析可能为一次方程； 若，则判断解的情况：①：方程有两个不相等的实数根；②：方程有两个相等的实数根；③：方程没有实数根。 题型七 根与系数的关系 【例13】已知是一元二次方程的两个根，则的值为 ． 【答案】24 【详解】解：∵是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， 故答案为：24． 【例14】设是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】2013 【详解】解：、是一元二次方程的两个实数根， ，， ． 故答案为：2013． 【变式7-1】设，是方程的两个根，则等于 ． 【答案】 【详解】解：∵是方程的两个根， ∴，， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 【变式7-2】关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求实数k的取值范围； (2)若方程两实数根满足，求k的值 【答案】(1) (2)2 【详解】（1）解：∵原方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得； （2）解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， 又∵， ∴． 【变式7-3】已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，且，则 ． 【答案】 【详解】∵，是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 故答案为：． 解｜题｜技｜巧 ①确认方程是一元二次方程；②保证有实数根，否则定理不适用。 ③利用根与系数的关系得到，，则可根的和/积或代数式值 题型八 一元二次方程的应用（增长率问题） 【例15】年我国新增高效节水灌溉面积万，如果要使年至年三年新增高效节水灌溉面积总和为万，那么年、年两年新增高效节水灌溉面积年均增长率为多少？ 【答案】 【详解】解：设年、年两年新增高效节水灌溉面积年均增长率为， 由题意得，， 解得，（不合，舍去）， 答：年、年两年新增高效节水灌溉面积年均增长率为． 【例16】某药品原价是50元，经过连续两次降价后，价格变为32元，如果每次降价的百分率是相同的，那么每次降价的百分率是 . 【答案】 【详解】解：设药品每次降价的百分率为， 根据题意，得， 解得，（不合题意，舍去）． 答：这件药品每次降价的百分率是． 故答案为： 【变式8-1】某超市1月份营业额为100万元，2月、3月的营业额共400万元，如果平均每月营业额的增长率为x，则由题意可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设平均每月增长率为， ． 故选：C． 【变式8-2】年我国经济回暖向好，粮食产量约为万亿斤，中国碗装了更多中国粮根据国家统计局网站信息可知年我国粮食产量约为万亿斤．（参考数据：，） (1)求这两年粮食产量的平均增长率；（结果精确到） (2)以这两年的粮食产量平均增长率，预测年我国粮食产量能否突破万亿斤？ 【答案】(1)这两年粮食产量的平均增长率约为； (2)预测年我国粮食产量能突破万亿斤． 【详解】（1）解：设这两年粮食产量的平均增长率为， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：这两年粮食产量的平均增长率约为； （2）解：（万亿斤）， ， 答：预测年我国粮食产量能突破万亿斤． 【变式8-3】国家统计局数据显示，我国快递业务收入逐年增加2020年某公司快递收入为400万元，2022年增长至576万元，假设该公司快递收入每年的增长率相同． (1)求该公司2020年至2022年快递业务收入的年平均增长率． (2)如果该公司业务收入的年平均增长率保持不变，那么2023年该公司快递业务收入应为多少万元？ 【答案】(1) (2)万元 【详解】（1）解：设该公司2020年至2022年快递业务收入的年平均增长率为， 由题意得：， 解得：或（舍）， 答：该公司2020年至2022年快递业务收入的年平均增长率为； （2）解：（万元）， 答：2023年该公司快递业务收入为万元． 题型九 一元二次方程的应用（销售问题） 【例17】白露是秋季第三个节气，具有昼夜温差显著、气候转凉的特点，在这一天有收集清露、饮白露茶、吃龙眼等习俗．某水果店在白露节气来临之际，主推本地龙眼，已知该龙眼每千克成本为8元，原售价定为每千克20元时，每天可销售50千克．根据销售经验，每千克售价每降低1元，日销售量可增加10千克． (1)若将该龙眼每千克售价定为17元，每天可销售多少千克？ (2)高温天气水果难以保鲜，水果店想在保证销售量尽可能大的前提下，通过调整售价使每天的利润达到660元，每千克龙眼售价应定为多少元？ 【答案】(1)龙眼每千克售价定为17元，每天可销售80千克 (2)为了销售量尽可能大，每千克龙眼售价应定为14元 【详解】（1）解：（千克）． 答：若将该龙眼每千克售价定为17元，每天可销售80千克． （2）解：设每千克龙眼售价为x元， 由题意得， 解得，， 要保证销售量尽可能大， 每千克龙眼售价应定为14元． 【例18】从城市A到城市B的机票为500元，航空公司正在举行该航线的团体票优惠活动：当人数为10人及以下时不优惠；当人数超过10人时，每多1人，票价就减少20元，但票价不可低于360元．某公司举行团建，购买该航线的机票一共花了6000元，则该公司参加团建的有多少人？ 【答案】该公司参加团建的有15人 【详解】解：设参加团建的人数为人， ∵， ∴， 当时，票价为元， ∵当人数超过10人时，每多1人，票价就减少20元，但票价不可低于360元． ∴， 解得：， ∴， 根据题意列方程：， 化简得：， 解得：或， 因， 故， 答：该公司参加团建的有15人． 【变式9-1】某工厂每月生产800件产品，每件产品的成本为100元，分配给线上旗舰店和线下直营店两个渠道销售．线上旗舰店的产品售价y（元）与月销售量x（件）满足关系：．线下直营店的产品按照定价190元出售，并进行促销活动；月销售量不超过400件的部分，每件产品赠送成本为60元的礼品，可全部售完，超过400件的部分，因礼品已送完，则需要一次性投入成本为5000元的广告进行宣传 (1)设线上旗舰店的月销售量为a件，线下直营店的月销售量为b件，分别用含a、b的代数式表示： ①线上销售的a件产品的利润为 元； ②若，则线下销售的b件产品的利润为 元；若，则线下销售的b件产品的利润为 元． (2)假设工厂每月生产的800件产品可全部售完，请你设计一种分配方案，使得销售总利润为46200元．（注：要有解答过程） 【答案】(1)①；②， (2)应分配线上旗舰店销售160件，线下直营店销售640件 【详解】（1）解：①线上销售的a件产品的利润为：元， 故答案为：； ②由题意得，若，则线下销售的b件产品的利润为：元， 若，则线下销售的b件产品的利润为：元； 故答案为：；； （2）解：设线上旗舰店的月销售量为m件，则线下直营店的月销售量为件， 当，即时，， 整理得，， ∵， ∴该方程没有实数根， 当，即时，， 整理得，， 解得，， ∴， ∴应分配线上旗舰店销售160件，线下直营店销售640件，使得销售总利润为46200元． 【变式9-2】2022北京冬奥会期间，某网店直接从工厂购进、两款冰墩墩钥匙扣，进货价和销售价如下表：（注：利润=销售价进货价） 类别价格 款钥匙扣 款钥匙扣 进货价（元/件） 30 25 销售价（元/件） 45 37 (1)网店第一次用850元购进、两款钥匙扣共30件，求两款钥匙扣分别购进的件数； (2)第一次购进的冰墩墩钥匙扣售完后，该网店计划再次购进、两款冰墩墩钥匙扣共80件（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于2200元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？ (3)冬奥会临近结束时，网店打算把款钥匙扣降价促销，如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，为了尽快减少库存，应将销售价格定为每件多少元时，才能使款钥匙扣平均每天销售利润为90元？ 【答案】(1)购进款钥匙扣20件，款钥匙扣10件 (2)当购进40件款钥匙扣，40件款钥匙扣时，才能获得最大销售利润，最大销售利润是1080元 (3)30元 【详解】（1）解：设购进款钥匙扣件，款钥匙扣件， 依题意得：， 解得：． 答：购进款钥匙扣20件，款钥匙扣10件． （2）设购进件款钥匙扣，则购进件款钥匙扣， 依题意得：， 解得：． 设再次购进的、两款冰墩墩钥匙扣全部售出后获得的总利润为元， 则． ， 随的增大而增大， 当时，取得最大值，最大值，此时． 答：当购进40件款钥匙扣，40件款钥匙扣时，才能获得最大销售利润，最大销售利润是1080元． （3）设每件款钥匙扣的售价定为元，则每件的销售利润为元，平均每天可售出件， 依题意得：， 整理得：， 解得：，． 为了尽快减少库存 售价应定为30元 答：将销售价定为每件30元时，才能使款钥匙扣平均每天销售利润为90元． 【变式9-3】冬季来临，某超市以每件35元的价格购进某款棉帽，并以每件58元的价格出售．经统计，10月份的销售量为256只，12月份的销售量为400只． (1)求该款棉帽10月份到12月份销售量的月平均增长率； (2)经市场预测，下个月份的销售量将与12月份持平，现超市为了减少库存，采用降价促销方式，调查发现，该棉帽每降价1元，月销售量就会增加20只．当该棉帽售价为多少元时，月销售利润达8400元？ 【答案】(1)该款棉帽10月份到12月份销售量的月平均增长率为 (2)该款棉帽售价为50元时，月销售利润达8400元 【详解】（1）解：设该款棉帽10月份到12月份销售量的月平均增长率为x， 由题意得：， 解得：，(不符合题意，舍去) 答：该款棉帽10月份到12月份销售量的月平均增长率为． （2）解：设该款棉帽售价为y元，则每件的销售利润为元， 根据题意得：， 解得：，(不符合题意，舍去) 答：该款棉帽售价为50元时，月销售利润达8400元． 题型十 一元二次方程的应用（图形问题） 【例19】列方程解决实际问题： 某学校在校园开辟了一块劳动教育基地：一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为22米），用长为46米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的矩形菜地，在菜地的前端各设计了两个宽1米的小门，供同学们进行劳动实践，若设菜地的宽为x米． (1)_________米（用含x的代数式表示）； (2)若围成的菜地面积为180平方米，求此时的宽． 【答案】(1) (2)10米 【详解】（1）解：由题意知，， 故答案为：； （2）解：由题意得， 整理得， 解得或， 当时，，不合题意； 当时，，符合题意； 故宽为10米． 【例20】如图，某学校综合实践基地内有一块长方形油菜花田地（单位：m），现在其中修建一条观花道（阴影部分）供学生赏花，要求观花道的面积占长方形油菜花田地面积的．则观花道的直角边（如图所示）为 ． 【答案】1 【详解】解：由题意可得， 即， 解得：或（舍）， 故答案为：1． 【变式10-1】为庆祝六一儿童节，某书店推出了一系列优惠活动．为了鼓励广大儿童阅读《世界经典童话》（如图），购买此书籍则赠送如图2所示的精致矩形包书纸，在图2的包书纸示意图中，虚线是折痕，阴影是裁掉的部分，四角均为大小相同的正方形，正方形的边长为折进去的宽度．已知该包书纸的面积为（含阴影部分），且正好可以包好图1中的《世界经典童话》这本书，该书的长为，宽为，厚为．请求出该包书纸包这本书时折进去的宽度． 【答案】折叠进去的宽度为 【详解】解：设折叠进去的宽度为， 则， 整理得， 或（不合题意，舍去）， 答：折叠进去的宽度为 【变式10-2】如图所示，一个农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为的房墙，另外三边用长的建筑材料围成，为了方便进出，在垂直于房墙的一边留一个宽的门． (1)所围成矩形猪舍的长、宽分别是多少时，猪舍面积为？ (2)为做好猪舍的卫生防疫，现需要对围成的矩形进行硬底化，若以房墙的长为矩形猪舍一边的长，且已知硬底化的造价为60元/平方米，请你帮助农户计算矩形猪舍硬底化需要的费用． 【答案】(1)所围成矩形猪舍的长、宽分别是，时，猪舍面积为 (2)矩形猪舍硬底化需要的费用为5040元 【详解】（1）解：设所围成矩形猪舍平行于墙的一边长为，则垂直于墙的一边长为， 依题意得：， 解得：，， ， ， ∴， 答：所围成矩形猪舍的长、宽分别是，时，猪舍面积为； （2）解：∵以房墙的长为矩形猪舍一边的长， ∴矩形的另一边长为 ∴（元）． 答：矩形猪舍硬底化需要的费用为5040元． 【变式10-3】设某矩形的长和宽分别等于方程的正实数根，若矩形的周长和面积相等，则p、q的关系为 ． 【答案】且 【详解】解：设，是关于x的一元二次方程的两正实数根， ∴，，且， ∵矩形的周长和面积相等， ∴， ∴， ∴且． 故答案为：且． 题型十一 一元二次方程的应用（动态几何问题） 【例21】如图，在矩形中，，，，、分别从，，，出发沿，，，方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若，则，，．当 时，以P，Q、M，N为顶点的四边形是平行四边形． 【答案】2或4． 【详解】解：由题意知，点只能在点的左侧， ①当点在点的左侧时，由， 整理得， 解这个方程，得（舍去），． 所以，当时，四边形是平行四边形． ②当点在点的右侧时，由， 整理得， 解这个方程，得（舍去），． 所以，当时，四边形是平行四边形． 所以当或时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形． 故答案为：2或4． 【例22】如图，在正方形中，，动点以的速度从点出发，沿向点移动，同时动点以的速度从点出发，沿向点移动．设，两点移动的时间为．在，两点移动的过程中，当的长度为时，的值为（   ） A．2 B．4 C．2或4 D．3或4 【答案】C 【详解】解：在正方形中，， ． 由题意，得，， ，． 如图，过点作于点， 则由勾股定理可得，， ， ． 在中， ， ， 即， 解得，． 故在，两点移动的过程中，当的长度为时， 的值为2或4． 故选：C ． 【变式11-1】如图，是一条射线，，一只蚂蚁由点以的速度向点 爬行，同时另一只蚂蚁由点以的速度沿方向爬行，则经过 后，两只蚂蚁与点 组成的三角形的面积为． 【答案】10或15或30 【详解】解： 设后两只蚂蚁与点组成的三角形面积为 有两种情况： （1）如图 1，当第一只蚂蚁在上运动时，由题意得 ， 整理得， 解得，． （2）如图 2，当第一只蚂蚁在上运动时，由题意得 ， 整理得， 解得，（舍去）． 综上所述，在后，两只蚂蚁与点组成的三角形的面积均为． 【变式11-2】如图，在中，，，，点P从点A出发沿边向点C以的速度移动，同时点Q从点C出发沿边向点B以的速度移动．当Q点到达B点时，点P同时停止运动． (1)运动几秒时的面积为？ (2)的面积能否等于面积的一半？若能，求出运动时间，若不能，说明理由． 【答案】(1)P、Q同时出发，或后可使的面积为； (2)不存在使得的面积等于面积的一半的时刻，理由见解析 【详解】（1）解：设后，可使的面积为． 由题意得，，，， ∴， 整理得：， 解得：，， 所以P、Q同时出发，或后可使的面积为． （2）解：由题意得：， ∴， 整理可得：， ，该方程无实数解， 所以，不存在使得的面积等于面积的一半的时刻． 【变式11-3】如图，在矩形中，，，从点开始沿向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，当点运动到点时，两点停止运动，设运动时间是． (1)为何值时，在的垂直平分线上？ (2)为何值时，的长度为？ 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）解：由题意得，， ∴， ∵在的垂直平分线上， ∴， ∴， 解得， ∴当时，在的垂直平分线上； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∴当或时，的长度为． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．下列关于的方程中一定有实数解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：、根的判别式，方程没有实数解，不符合题意； B、根的判别式，方程没有实数解，不符合题意； C、根的判别式，方程没有实数解，不符合题意； D、根的判别式，符合题意； 故选：． 2．如图，在一块长，宽的矩形地面上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路与矩形的一条边平行）剩余部分种花草，要使剩余部分的面积为，则道路的宽为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设道路的宽为x米， 依题意得： ， 解得：，（不合题意，舍去）， 所以，道路宽为． 故选：B． 3．已知，是方程的两个实数根，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：是方程的实数根， ， ， ， ，是方程的两个实数根， ， ． 故选：D． 4．若，则的值是（  ） A．或2 B．4 C．或4 D．2 【答案】D 【详解】解：令，由题可得：， 整理得：， ∴， ∴或， ∵ ∴， 故选：D． 5．若关于x的方程的一个根是2，则的值是 ． 【答案】 【详解】解：∵关于x的方程的一个根是2， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 6．已知、是方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵、是方程的两个实数根， ∴，， ∴． 故答案为：6． 7．随着直播浪潮的袭来，各行业都开始在电商直播市场中尝试并探索更多的方法，其中直播带货就很受大众欢迎．某电商在网络直播平台上对一款成本价为50元的小商品进行直播销售，如果按每件70元销售，每天可卖出10件．通过市场调查发现，小商品售价每降低1元，日销售量增加2件．若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为 元． 【答案】55 【详解】解：设每件售价应定为x元， 根据题意，得 解得：，， ∵商家想尽快销售完该款商品， ∴， 答：若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为55元． 故答案为：55． 8．解下列关于的一元二次方程 (1)（配方法） (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 则， ∴， 解得． （2）解：∵， ∴， ∴ ∴． 9．如图，有一张长方形纸板，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，制成一个高为米的长方体形状无盖纸盒，如果纸盒的容积为立方米，底面长方形的一边长为米． (1)用含的代数式表示长方形纸板的长为_________米，长方形纸板的宽为________米； (2)若图中阴影部分的面积为平方米，则纸盒的容积为多少立方米？ 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：纸盒的容积为立方米，底面长方形的一边长为米， ， ， 长方形纸板的长为米，长方形纸板的宽为米， 故答案为：，； （2）图中阴影部分的面积为平方米， ，即， 解得， 纸盒的容积为立方米． 10．2025年1月23日下午，习近平总书记在辽宁省本溪市考察了本钢板材冷轧厂，察看了该企业的集控中心与生产线．了解企业加快转型升级、推进高质量发展等情况．本钢某厂采用先进技术制造了一种新产品，新产品2024年12月份销售20套，由于该产品的轻量化与安全性，销量快速上升，2025年2月份该厂销售新产品达到45套． (1)求该厂2024年12月到2025年2月销售新产品的月平均增长率； (2)该厂2025年2月份销售45套新产品，每套利润是20万元．因为产品供不应求，该厂决定适当的涨价，经市场调查发现，若价格不变，3月份预计仍可销售45套新产品，当新产品每套的销售利润每涨价1万元时，平均每月少售出1套，该厂要想在3月份获利946万元，而且尽可能让顾客得到实惠，新产品每套应涨价多少万元？ 【答案】(1)该厂2024年12月到2025年2月销售新产品的月平均增长率为 (2)新产品每套应涨价2万元 【详解】（1）解：设该厂2024年12月到2025年2月销售新产品的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：该厂2024年12月到2025年2月销售新产品的月平均增长率为； （2）设新产品每套应涨价万元，则每套利润为万元，月销售量为套， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 又∵要尽可能让顾客得到实惠， ∴． 答：新产品每套应涨价2万元． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．在中，对角线，的长是关于x的一元二次方程的两个根，则k的取值范围是（    ）． A．且 B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设一元二次方程的两个根为，， 由题意得，，， 由根与系数的关系可得，，， 解得：， ∵一元二次方程有实数根， ∴， 解得：， ∴k的取值范围是． 故选：B． 2．已知分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且是关于的一元二次方程的两个根，则的值是 ． 【答案】1或2/2或1 【详解】解：①当、为腰时，， 、是关于的一元二次方程的两个根， 方程有两个相等的实数根， ， 解得：； ∴， 解得， 此时三角形三边长为：、、，符合三角形三边关系， ②当和3（或和是腰时，， 三角形不是等边三角形， 此时方程有两个不相等的实数根， 、是关于的一元二次方程的两个根， 把代入方程得， 解得：； ∴， 解得，， 此时三角形三边长为：、、，符合三角形三边关系， ∴或2． 故答案为：1或2． 3．解方程： 【答案】 【详解】解： 方程两边同乘， 解得或． 检验： 当时，，分式无意义，舍去； 当时，，分式有意义． 所以，原方程的解为． 4．已知关于的方程． (1)求证：方程必有两个不等实数根； (2)当取的整数时，存在两个有理数根，求的值和这两个有理数根． 【答案】(1)方程必有两个不等实数根； (2)m的值为1，这两个有理数根为和． 【详解】（1）证明： ． ∵， ∴， 即， ∴方程必有两个不等实数根； （2）解：∵当m取的整数时，存在两个有理数根，且， ∴， ∴原方程为，且， ∴此时原方程的解为， ∴m的值为1，这两个有理数根为和． 5．关于x的一元二次方程有两个实数根分别是，，若，为整数，则称为“”点． (1) （填是或否）存在“”点； (2)若关于x的一元二次方程：的“”点为，求b，c的值； (3)关于x的一元二次方程是否存在一“”点，且该点在直线上，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)是 (2)， (3)存在， 【详解】（1）解：由，得， ∴或， 解得，， ∵，为整数， ∴是“”点， 故答案为：是； （2）解：∵关于x的一元二次方程：的“”点为， ∴，， 故，； （3）解：假设关于x的一元二次方程存在一“”点，且该点在直线上， 由， 得， 故， 由一元二次方程的根与系数的关系得，， ∴， ∵“”点在直线上， ∴， ∴， 解得，， 所以， 整理得 ， 解得或， 当时，方程为，，，“”点坐标为，符合； 当时，和不是整数解，舍去． 综上，关于x的一元二次方程存在一“”点，且该点在直线上，此时． 6．如图，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是和的边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题： (1)试判断方程是不是“勾系一元二次方程”； (2)求关于x的“勾系一元二次方程”的实数根； (3)若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是12，求面积． 【答案】(1)是 (2) (3)2 【详解】（1）解： 根据题意得：，， ∴， ∴， ∴方程是“勾系一元二次方程”； （2）解：根据题意，得， ∵， ∴ ∴； （3）解：当时，有，即， ∵四边形的周长是12， ∴，即， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∴． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $