12.3.1 等腰三角形的性质（9大基础题型+5大巩固提升）（题型专练）数学华东师大版2024八年级上册

12.3.1 等腰三角形的性质 题型一：等腰三角形的定义相关求解 1．(24-25八上·云南红河州蒙自·期末)等腰三角形的一个内角是，则这个等腰三角形的底角为（   ） A． B．或 C． D． 2．若实数x、y满足，则以x、y的值为边长的等腰三角形的周长为（    ） A．20 B．16 C．20或16 D．12 3．(24-25八上·浙江台州温岭·期末)已知等腰三角形一边的长为3，另一边的长为7，则等腰三角形的周长为（   ） A．17 B．13 C．17或13 D．无法确定 4．(24-25七下·辽宁沈阳沈河区·期末)小明同学在学习了“三角形”、“特殊三角形”两堂课后，发现学习内容是逐步特殊化的过程，于是便整理了如图，那么下列选项不适合填入的是（   ） A．两条边相等 B．一个角为直角 C．有一个角 D．两条直角边相等 5．(24-25七下·四川巴中·期末)将一根长为的木条折成一边为的等腰三角形，则三角形的另外两边长分别为（    ） A．， B．，或， C．， D．， 6．(24-25七下·甘肃白银·期末)将一台带有保护套的平板电脑按图1所示的方式放置在水平桌面上，其侧面示意图如图2所示，经测量，得到，．若移动支点C的位置，使是一个等腰三角形，则的周长为（    ） A． B． C．或 D．或 7．(24-25八上·黑龙江哈尔滨南岗区第六十九中学·月考)若等腰三角形一腰上的高与底边所成的角的度数是25度，则等腰三角形顶角的度数是 度． 题型二：等腰三角形的定义与因式分解 1．(24-25八下·陕西西安第八十五中学·期末)已知，，为的三边，满足，则的形状是（　　） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰三角形 2．(23-24八上·湖北武汉·期末)的三边，，满足，则是（   ） A．等边三角形 B．腰与底不等的等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 3．(24-25八下·广东河源龙川第一实验学校·期末)若的三边长分别是a、b、c，且满足，则的形状是（　　） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 4．(24-25八下·福建泉州台商区张坂中学·期末)已知的三边长分别为，，，且满足，则一定是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形 5．(24-25上·广东东莞松山湖北区学校·期末)若a、b、c表示的三条边长，且满足，则一定是（   ）三角形． A．直角 B．三条边都不相等的 C．等腰 D．等边 6．锐角内有一点C，它关于，的对称点分别为点M，N，那么一定是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 题型三：利用“等边对等角”求角度 1．(25-26八上·北京师达中学·开学考)如图，点D在上，，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图所示，在中，，点D、E、F分别在边上，连结，且．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．(24-25八上·陕西西安周至县·期中)如图，为等边三角形，以边为腰作等腰，使，连接，若，则的度数为(   ) A． B． C． D． 4．(24-25八下·四川成都东部新区·期末)如图，中，，，将绕点逆时针旋转得到，使点C的对应点恰好落在边上，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，点D在上，点F在上，于点E，，，若，则 的度数为 ． 6．(25-26八上·重庆六校联考·月考)如图，，点落在上，且，则 度． 题型四：等腰三角形的性质中与中线相关的问题 1．已知等腰三角形的底边长为，一边上的中线把其周长分成两部分，这两部分的差为，则腰长为（    ） A． B． C．或 D． 2．等腰三角形的周长是，一腰上的中线将周长分成差为的两部分，则此三角形的底边长为 ． 3．在等腰中，一条腰上的中线将的周长分成了和两部分，这个等腰三角形的底边长为 ． 4．已知等腰三角形一腰上的中线将三角形周长分为两部分，已知底边长为，则腰长为 ． 题型五：利用“三线合一”判断选项是否正确 1．(24-25八下·河南洛阳宜阳县·期末)如图，在中，，，的延长线交于点，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 2．(24-25七下·上海普陀区万里城实验学校·月考)真如寺作为江南著名的佛教寺院，寺内大雄宝殿为元代建筑，承载着深厚的历史与艺术价值．大殿采用抬梁式结构，粗壮的梁枋构件与古朴的斗拱形制，尽显元代建筑风格，稳固的建筑结构历经岁月修缮，依然保留着原有的韵味，是上海地区现存最古老的木结构建筑之一．其顶端飞檐造型优美，可抽象为如图的等腰三角形，，是边上的一点．下列条件不能说明是的角平分线的是（   ）    A． B． C． D． 3．(24-25七下·山东青岛南区·期末)如图；在中，是的角平分线，下列结论正确的有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．(24-25八下·广东佛山顺德区容桂街道·期中)在中，，过点作，垂足为点，下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 5．(23-24七下·上海普陀区·期末)如图，在中，已知，是的中线，如果，那么以下结论中，错误的是（    ） A． B． C．的面积是面积的一半 D．的周长是周长的一半 题型六：利用“三线合一”求角度 1．(24-25八下·陕西咸阳永寿县常宁镇中学·月考)如图，是等边的边上的中线，，则的度数为 ． 2．(23-24八上·河南安阳第十中学、七中、十一中等十校联考·期中)如图，于，且，，若，则 ． 3．(24-25七下·陕西咸阳永寿县马坊中学·月考)如图，在等腰中，，，分别是的中线和高．若，则的度数为 ． 4．(24-25八·广东普宁培青中学·期中)如图，在中，，点在边上，在线段的延长线上取点，使得，连接，是的中线，若，则的度数为 ． 5．(24-25七下·山西太原小店区山西大学附属中学校·月考)加图，在中，是的中线，于点，若，则的度数为 ． 题型七：利用“三线合一”求线段长度 1．(24-25七下·上海嘉定区·期末)如图，在中，是边上的中线，作，交的延长线于点E．已知，那么 ． 2．(24-25八上·浙江台州温岭·期末)如图，中，，，E为垂足，点D在上，且，若，，则的长为 ． 3．(24-25八下·广东梅州兴宁宋声学校·月考)如图，为等边三角形，点M在的延长线上，点N 在边 上，于点D．若，则的长为 ． 4．(24-25八上·山西大同·期中)如图，在中，点E是边上一点，连接，且，过点E作于点D，若的周长为20，，则的周长为 ． 5．如图，在中，是上一点，，，垂足为，是的中点，若，则的长为 ． 6．(23-24八上·重庆沙坪坝区凤鸣山中学·期末)如图，在中，，，于点E，若，的周长为10，则的长为 ． 题型八：等腰三角形的性质与尺规作图综合 1．如图，在等边中，，点在上，且，点是上一动点，连接，以为圆心，长为半径画弧交于点，连接，如果，那么的长是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 2．(24-25九下·贵州六盘水青云学校·月考)如图，在中，，，按如下步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，两弧在的内部相交于点F，作射线交于点G．则的角度为（　　） A． B． C． D． 3．(24-25九下·贵州遵义·期中)在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，分别以为圆心大于为半径画弧，两弧交于点，连接交于点，则的度数为（　　） A． B． C． D． 4．(24-25七下·山东烟台·期末)如图，直线，以直线上的点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点B，C，D，连结，，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．如图，直线，点在直线上，以点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线、于、两点，连接、，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 6．(2024·湖南省长沙市·二模)如图，在中，，以点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 题型九：等腰三角形的性质解答题综合 1．如图，中，点E在边上，，将线段绕A 点旋转到的位置，使得，连接，与交于点G． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 2．(23-24九·江苏无锡宜兴·模拟)已知，如图，为的高，在上，且，，延长交于 (1)找出图中一对全等三角形，并证明你的结论． (2)若，且，求的面积． 3．如图，和都是等腰直角三角形，．求证： (1)； (2)． 4．如图，在中，点E在边上，，将线段绕A点旋转到的位置，使得，连接，与交于点G． (1)求证：． (2)若，，求的度数． 5．(25-26九上·浙江温州实验学校·月考)如图，四边形的对角线，相交于点，，，点在上，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 题型一：三角形的外角与“等边对等角”的综合 1．(24-25八上·江苏镇江丹阳云阳中学·调研)如图，B，D，F在上，C，E在上，且，，，则的度数是 度． 2．(24-25八下·江苏南京·模拟)如图，，那么 度． 3．(24-25八上·福建莆田莆田第二中学·期中)“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图①所示的“三等分角仪”能三等分任意一角．如图②，这个“三等分角仪”由两根有槽的棒组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，点C固定，点D，E可在槽中滑动，．若，则的度数是 ． 4．(24-25八上·湖南株洲天元中学·期末)如图，在中，,，在上取一点，延长到点，使得；连接，再在上取一点，延长到点，使得；连接，按此作法进行下去，的度数为 ． 题型二：等腰三角形中需要分情况讨论的问题 1．(24-25七下·河南开封祥符区·期末)如图，，在直线上有一点且使得是以为腰的等腰三角形，则度数应该是 ． 2．(24-25八上·黑龙江哈尔滨南岗区工业大学附属中学·期末)中，，，点是边上一点，点是射线上一点，与射线相交于点，点是的中点，若，则 度． 3．(24-25七下·上海松江区东华大学附属实验学校·期末)在中，，，点是三边上的动点．当为等腰三角形时，其顶角的度数是 ． 4．(24-25八上·陕西咸阳渭城区底张晋公庙中学·)若等腰三角形的一个角为，则这个等腰三角形的顶角度数为 ． 5．(24-25七下·河南郑州中原区·期末)如图，在中，，，点D是边上靠近点A的三等分点，点E是边上一动点，将沿折叠得．当与的一边平行时，的度数为 ． 题型三：垂直平分线的性质中最值问题 1．如图，是等边三角形，是边上的高，E是的中点，P是上的一个动点，当与的和最小时，的度数是（    ） A． B． C． D． 2．(24-25七下·甘肃兰州第十一中教育集团·期末)如图，在等边三角形中，，垂足是，且，点，分别是线段，上的动点，则的最小值是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 3．(23-24七下·陕西汉中南郑区·期末)如图，在等腰三角形中，平分，且，若、分别是、上的动点，则的最小值为 ． 4．(24-25八下·山东青岛南区琴岛学校·期中)如图，等腰底边长为，面积，腰的垂直平分线交于点，若D为边上中点，为线段上一动点，则的周长最小值为 ． 5．(24-25八上·浙江台州临海·期末)如图，在中，，，点是边上的动点，点关于直线、的对称点分别为、，当线段的长度最短时，它与所成的夹角的度数为 ． 6．(24-25八上·安徽合肥巢湖·期末)如图，在中，，，，点M在线段上运动（不包含点B），连接，将沿直线翻折得到． （1）当时，则 ． （2）在点M运动过程中，点到直线距离的最大值是 ．    7．(23-24八下·辽宁沈阳虹桥初级中学·月考)如图，在中，，、分别平分、，E为上一点，若，则的最小值为 题型四：垂直平分线的性质和中多结论问题 1．(24-25七下·河南郑州管城区·期末)如图，和均为等边三角形，且两个三角形在线段同侧，① ；② ；③ ；④ ，则上述结论中正确的是（   ） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 2．(24-25八上·江苏钟吾初级中学·期中)如图，在等边三角形中，，D为内一点，且，E为外一点，且，连接，，有下列结论：①；②；③；④若，则．其中正确结论的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．(24-25八·新疆伊犁哈萨克巩留县第二中学·期中)如图，为线段上一动点（不与点，重合），在同侧分别作正三角形和正三角形、与交于点，与交于点，与交于点，连接．以下五个结论：①；②；③；④；⑤是正三角形．其中正确的结论有（    ） A．①②③⑤ B．①③④⑤ C．①②⑤ D．②③④ 4．(24-25八上·广东深圳光明区·期末)如图，的三条边相等，三个内角也相等，且，连接，，，与交于H点，以下结论：①；②与的面积相等；③；④．其中正确的是（   ） A．①② B．③④ C．②③④ D．①②③④ 5．(24-25七下·上海长宁区·期末)如图，和均为等边三角形，且点A、B、C在同一直线上，连接交于点，连接交于点，连接，点为与的交点，以下结论不一定成立的是（　　） A． B． C． D．是等边三角形 题型五：垂直平分线的性质综合压轴题 1．(24-25七上·广东佛山顺德区均安镇文田初级中学·)如图，在等边中，点、分别是、上的点，，与交于点． (1)①说明：； ②填空：___________度； (2)如图，以为边作等边，与相等吗？说明理由： (3)如图，若点是的中点，连接、，判断与有什么数量关系？说明理由． 2．(24-25七下·陕西西安湖滨中学·月考)【问题背景】 （1）如图1，和均为等边三角形，点在同一直线上，连接． 填空：①线段之间的数量关系为__________；②的度数为__________； 【问题探索】 （2）如图2，为等腰直角三角形，，点为边上一点，以为边作等腰直角三角形，且，连接BE，若，求的面积； 【问题解决】 （3）在数学学习中，我们经常将面积之比转化为边之比，请解决以下问题： 湖滨中学规划了一块如图3所示的四边形行政楼，连接，将行政楼分成两部分，且、交于点，经测量：．若，则四边形的面积为______________． 3．(24-25七下·山东济南济阳区·月考)如图，在等边中，边厘米，若动点从点开始，按的路径运动，且速度为1厘米/秒，设点的运动时间为秒． (1)当时，判断与的位置关系，并说明理由； (2)当的面积为面积的一半时，求的值； (3)另有一点，从点开始，按的路径运动，且速度为2厘米/秒，若、两点同时出发，当、中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当为何值时，直线把的周长分成相等的两部分． 4．(24-25八上·天津经济技术开发区国际学校·期末)已知，中，，，分别以，为边在外侧作等边三角形与等边三角形． (1)如图①，求的大小； (2)如图②，连接交于点F，求证：． 5．(24-25八上·山东德州夏津县第三中学·月考)倍长中线法与作平行线是构造全等三角形常见的辅助线． (1)如图1，在中，，中线，求的取值范围． 方法一：延长到使，连接； 方法二：过点作的平行线交的延长线于． 请你从以上两种方法中选一种方法证明，并直接写出的取值范围； (2)如图2，在四边形中，，、分别在、上，且，，为的中点，求证：． 6．(24-25七下·辽宁朝阳建平县·期末)问题提出： （1）我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做“偏等积三角形”．如图1，中，，，，P为上一点，思考当点P在什么位置时，与是偏等积三角形？并说明理由． 问题探究： （2）如图2，与是偏等积三角形，，且线段的长度为正整数，过点C作交的延长线于点E，求的长； 问题解决： （3）如图3，四边形是一片绿色花园，是等腰直角三角 请问与是偏等积三角形吗？说明理由． 1．(24-25八上·黑龙江哈尔滨香坊区德强中学初中部·期中)如图，将绕点A逆时针旋转后得到（点的对应点是点，点的对应点是点），连接．若，则的大小是（   ） A． B． C． D． 2．(24-25八上·甘肃平凉华亭皇甫学校·)边长为整数，周长等于21的等腰三角形共有（　　） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 3．如图，已知，分别是的中线和高，且，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．(2025·江苏省盐城市·模拟预测)七巧板具有深厚的文化底蕴，由正方形、平行四边形和大小不一的等腰直角三角形组成，小明用七巧板拼成的丹顶鹤如图所示，且过点作直线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 5．(24-25八上·河南许昌第三初级中学·期末)如图，在中，，，以点C为圆心，长为半径作弧交于点D，分别以点A和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点E，作直线交于点F，则的度数是（   ） A． B． C． D． 6．(24-25八下·陕西咸阳乾县峰阳初级中学·期末)如图，在中，，将绕点A逆时针旋转后得到，点C的对应点E恰好落在BC上，则的值为（    ） A．30 B．35 C．40 D．50 7．(24-25八上·黑龙江哈尔滨南岗区虹桥初级中学·期中)等腰三角形的两边分别为、，则该三角形的第三边长为 ． 8．如图，在等边中，，点在上，且，点是上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段．要使点恰好落在上，则的长是 ． 9．(24-25九下·浙江宁波鄞州中学·期末)如图，在凸四边形中，，，平分，，则 ． 10．(24-25七下·四川达州渠县第三中学·月考)若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的顶角是 ． 11．(24-25八下·四川成都成华区·期末)如图，已知中，，．绕点顺时针旋转，使点落在边上，点的对应点记为点，点的对应点记为点，连接，那么的度数是 ． 12．(2025九·四川省内江市·模拟)如果一个等腰三角形的顶角为，那么其底边与腰之比等于．我们把这样的等腰三角形称作黄金三角形．如图，在中，，，看作第一个黄金三角形；作的平分线，交于点D，看作第二个黄金三角形；作的平分线，交于点E，看作第三个黄金三角形；…以此类推，第n个黄金三角形的腰长是 ． 13．如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，点、，，均为格点（网格线的交点）． (1)将线段绕点顺时针旋转，得到线段，画出线段． (2)在上找一点，使（保留作图痕迹，不写作法）． 14．(24-25七下·福建泉州科技中学·期末)如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为，，连接． (1)求证：； (2)当点，，在同一条直线上时，求的度数． 15．如图，和都是等腰直角三角形，，D为边上一点． (1)试说明； (2)若，，求的长(参考知识：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方)． 16．(24-25八下·四川成都成华区·期末)已知，在等边中，点为射线上一点（点与点不重合），连接，以为边在上方作等边，连接． (1)如图，当点是边中点时，求的度数； (2)求证：； (3)如图，当动点在的延长线上时，以为边在其下方作等边，连接，求线段，，之间的等量关系式． 1 / 90 学科网（北京）股份有限公司 $ 12.3.1 等腰三角形的性质 题型一：等腰三角形的定义相关求解 1．(24-25八上·云南红河州蒙自·期末)等腰三角形的一个内角是，则这个等腰三角形的底角为（   ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理等知识，理解并掌握等腰三角形的性质，运用分类讨论的思想分析问题是解题关键． 分两种情况讨论，当的角是底角时和当的角是顶角时，结合等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：当的角是底角时，三角形的底角就是； 当的角是顶角时，两底角相等，根据三角形的内角和定理，可得底角是； 故选B． 2．若实数x、y满足，则以x、y的值为边长的等腰三角形的周长为（    ） A．20 B．16 C．20或16 D．12 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，绝对值和算术平方根的非负性，三角形的三边关系， 先根据绝对值和算术平方根的非负性得，求出值，再根据三角形三边关系判断可得答案. 【详解】解：∵实数x、y满足 ， ∴, 解得. 当等腰三角形的腰长为4时，，不能构成三角形； 当等腰三角形的腰长为8时，等腰三角形的周长为：,符合题意. 故选：A. 3．(24-25八上·浙江台州温岭·期末)已知等腰三角形一边的长为3，另一边的长为7，则等腰三角形的周长为（   ） A．17 B．13 C．17或13 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的定义和三角形的三边关系．分腰长为3和腰长为7两种情况讨论，不合题意的舍去，据此即可求解． 【详解】解：当腰长为3时，三边分别为3、3、7，不能构成三角形， 当腰长为7时，三边分别为3、7、7，，能构成三角形，周长为：， 故选：A． 4．(24-25七下·辽宁沈阳沈河区·期末)小明同学在学习了“三角形”、“特殊三角形”两堂课后，发现学习内容是逐步特殊化的过程，于是便整理了如图，那么下列选项不适合填入的是（   ） A．两条边相等 B．一个角为直角 C．有一个角 D．两条直角边相等 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的分类以及性质，根据等腰三角形，直角三角形，等腰直角三角形的定义一一判断即可． 【详解】解：．两边相等，是等腰三角形，适合填入，故该选项不符合题意； ．有一个角是直角的三角形是直角三角形，适合填入，故该选项不符合题意； ．有一个角，可以是顶角的锐角三角形，也可是底角的等腰直角三角形，故不一定是等腰直角三角形，故该选项符合题意； ．两条直角边相等的直角三角形是等腰直角三角形 ，适合填入，故该选项不符合题意； 故选：C． 5．(24-25七下·四川巴中·期末)将一根长为的木条折成一边为的等腰三角形，则三角形的另外两边长分别为（    ） A．， B．，或， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的定义、三角形三边关系的应用，分两种情况：当为底边时，当为腰长时，分别求解即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：当为底边时，此时两腰长度相等，总周长为，故两腰之和为，每腰长为，此时三边分别为，，，满足三角形三边关系，符合题意； 当为腰长时，此时另一腰也为，底边长为，此时三边分别为、、，不满足三角形三边关系，不符合题意； 综上所述，三角形的另外两边长分别为，， 故选：D． 6．(24-25七下·甘肃白银·期末)将一台带有保护套的平板电脑按图1所示的方式放置在水平桌面上，其侧面示意图如图2所示，经测量，得到，．若移动支点C的位置，使是一个等腰三角形，则的周长为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形定义． 根据等腰三角形的定义分情况进行求解即可． 【详解】解： 是一个等腰三角形，， 当时，周长为：， 当时，周长为：， 的周长为或． 故选：D． 7．(24-25八上·黑龙江哈尔滨南岗区第六十九中学·月考)若等腰三角形一腰上的高与底边所成的角的度数是25度，则等腰三角形顶角的度数是 度． 【答案】50 【分析】此题要分两种情况推论：当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在三角形的外部，根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；当等腰三角形的顶角是锐角时，根据直角三角形的两个锐角互余，求得底角，再根据三角形的内角和是，得顶角的度数． 【详解】解：如图， （1）顶角是钝角时，， ∴顶角，不是钝角，不符合； （2）顶角是锐角时，， ，是锐角，符合． 故答案为：50． 题型二：等腰三角形的定义与因式分解 1．(24-25八下·陕西西安第八十五中学·期末)已知，，为的三边，满足，则的形状是（　　） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰三角形 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，因式分解，由，可得，然后通过等腰三角形定义即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：因为，，为的三边， 所以，，， 因为， 所以 ， 因为，，， 所以， 所以， 所以， 所以的形状是等腰三角形， 故选：． 2．(23-24八上·湖北武汉·期末)的三边，，满足，则是（   ） A．等边三角形 B．腰与底不等的等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】本题考查了等边三角形的判定，直角三角形的判定和等腰三角形的判定，能正确根据完全平方公式进行变形是解此题的关键． 方程两边乘2，再移项后分组得出，求出且且，求出，再根据等边三角形的判定得出即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 且且， 即， 所以是等边三角形， 故选：． 3．(24-25八下·广东河源龙川第一实验学校·期末)若的三边长分别是a、b、c，且满足，则的形状是（　　） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】B 【详解】题目主要考查因式分解的应用，三角形三边关系，熟练掌握因式分解的方法是解题关键 根据平方差公式和提取公因式即可得，再由三角形三边关系得出，得，即可得出结果． 【解答】解：∵， ∴， ∴，     ∴， ∵a、b、c是三角形的三边， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰三角形， 故选：B． 4．(24-25八下·福建泉州台商区张坂中学·期末)已知的三边长分别为，，，且满足，则一定是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的应用，先将进行因式分解，可得，进一步即可判断的形状． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∴是等腰三角形， 故选：D． 5．(24-25上·广东东莞松山湖北区学校·期末)若a、b、c表示的三条边长，且满足，则一定是（   ）三角形． A．直角 B．三条边都不相等的 C．等腰 D．等边 【答案】C 【分析】本题考查了利用平方差公式进行因式分解，等腰三角形的判定，三角形三边关系的应用．熟练掌握利用平方差公式进行因式分解，等腰三角形的判定，三角形三边关系的应用是解题的关键．由题意知，，由，可得，则一定是等腰三角形，然后判断作答即可． 【详解】解∶∵， ∴， ∴， ∴， ∵a、b、c表示的三条边长， ∴， ∴， ∴， ∴一定是等腰三角形， 故选：C． 6．锐角内有一点C，它关于，的对称点分别为点M，N，那么一定是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定，轴对称的性质，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质． 根据轴对称的性质可得垂直平分，垂直平分，继而可得,根据等腰三角形的判定即可求解． 【详解】解：∵点C关于，的对称点分别为点M，N， ∴垂直平分，垂直平分， ∴, ∴是等腰三角形 故选：A． 题型三：利用“等边对等角”求角度 1．(25-26八上·北京师达中学·开学考)如图，点D在上，，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据角的和差推出，，利用证明，根据全等三角形的性质定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故选：D． 2．如图所示，在中，，点D、E、F分别在边上，连结，且．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质，全等三角形的判定和性质．先根据等边对等角，得出，再证 ，推出，最后根据三角形外角的性质可推导出． 【详解】解： ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故选D． 3．(24-25八上·陕西西安周至县·期中)如图，为等边三角形，以边为腰作等腰，使，连接，若，则的度数为(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．首先求出，再利用等腰三角形的性质求解． 【详解】解：为等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； 故选：D． 4．(24-25八下·四川成都东部新区·期末)如图，中，，，将绕点逆时针旋转得到，使点C的对应点恰好落在边上，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据旋转可得，，，得，根据，即可得到的度数，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵将绕点逆时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上， ∴，，， ∴， ∴， 故选：． 5．如图，在中，，点D在上，点F在上，于点E，，，若，则 的度数为 ． 【答案】/55度 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，本题中求证是解题的关键． 通过证明，可得，得出，根据即可解题． 【详解】解：∵，， ∴，， 在和中， ， ， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 6．(25-26八上·重庆六校联考·月考)如图，，点落在上，且，则 度． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，等边对等角，三角形内角和，正确得出全等三角形对应角和对应边是解题关键．直接利用全等三角形的性质得出，，结合等边对等角，角的等量代换可得，进而求出和度数，最后利用三角形内角和等于可求得的度数． 【详解】解：， ，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 题型四：等腰三角形的性质中与中线相关的问题 1．已知等腰三角形的底边长为，一边上的中线把其周长分成两部分，这两部分的差为，则腰长为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】题目主要考查等腰三角形的定义，理解题意，结合图形分情况分析求解即可． 【详解】解：是边的中点， ． （1）如图①，当时， 即当时，； （2）如图②，当， 即时，． 综上所述，腰长为或． 故选C． 2．等腰三角形的周长是，一腰上的中线将周长分成差为的两部分，则此三角形的底边长为 ． 【答案】或 【分析】设等腰三角形的腰长为，底边长为，根据题意，构造方程组解答即可． 本题考查了等腰三角形的性质，方程组的应用，分类思想，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：如图，设等腰三角形的腰长为，底边长为， 根据题意，得或， 解得或， 故答案为：或． 3．在等腰中，一条腰上的中线将的周长分成了和两部分，这个等腰三角形的底边长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形中线性质，三角形三边的关系，根据中线的性质结合题意，可设，则，分两种情况讨论，当时，当时，解出的值即可求解，熟练掌握知识点的应用及分类讨论思想是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵腰上的中线，可设，则， 由题意得：当时，即， 解得， ∴， ∴，， ∵， ∴能构成三角形， 当时，即， 解得， ∴， ∴，， ∵， ∴能构成三角形， ∴这个三角形的底边长为或， 故答案为：或． 4．已知等腰三角形一腰上的中线将三角形周长分为两部分，已知底边长为，则腰长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形定义，三角形三边关系，设，则，又中线将三角形周长分为两部分，则分 和 两种情况分析即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，，，为中线， 设，则， ∵中线将三角形周长分为两部分， ∴ ，解得， ∴，符合题意， ，解得， ∴， 则三边为，，，不能构成三角形，不符合题意， 故答案为：． 题型五：利用“三线合一”判断选项是否正确 1．(24-25八下·河南洛阳宜阳县·期末)如图，在中，，，的延长线交于点，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质是解决问题的关键． 证明和全等得，进而根据等腰三角形“三线合一”性质得，，据此可对选项A，进行判断；再根据，得，据此可对选项D行判断；由于根据已知条件无法判定，由此即可得出答案． 【详解】解：在和中， ， ， ， 是的平分线， ， 是等腰三角形， 又是等腰的顶角的平分线， ，， 故选项A，B正确，不符合题意； ， 是等腰三角形， 又， ， 故选项D正确，不符合题意； 根据已知条件无法判定， 选项C错误，符合题意． 故选：C． 2．(24-25七下·上海普陀区万里城实验学校·月考)真如寺作为江南著名的佛教寺院，寺内大雄宝殿为元代建筑，承载着深厚的历史与艺术价值．大殿采用抬梁式结构，粗壮的梁枋构件与古朴的斗拱形制，尽显元代建筑风格，稳固的建筑结构历经岁月修缮，依然保留着原有的韵味，是上海地区现存最古老的木结构建筑之一．其顶端飞檐造型优美，可抽象为如图的等腰三角形，，是边上的一点．下列条件不能说明是的角平分线的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形“三线合一“的性质是解题的关键． 根据等腰三角形“三线合一”的性质，逐项判断即可求解． 【详解】解：∵， ∴，即是的高线， ∵是等腰三角形，， ∴是的角平分线，故A选项不符合题意； 若，不能说明是的角平分线，故B选项符合题意； ∵是等腰三角形，， ∴是的角平分线，故C选项不符合题意； ， ∴， ∴是的角平分线，故D选项不符合题意； 故选：B． 3．(24-25七下·山东青岛南区·期末)如图；在中，是的角平分线，下列结论正确的有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形全等的判定，等腰三角形的角平分线，底边上的中线，底边的高相互重合． 由于，利用等边对等角，等腰三角形三线合一定理，可知，，，从而，无法证明，进而求解即可． 【详解】∵在中，是的角平分线， ∴ ∴，，，故①②④正确； ∴，故⑤正确； 无法证明，故③错误． 综上所述，正确的有4个． 故选：C． 4．(24-25八下·广东佛山顺德区容桂街道·期中)在中，，过点作，垂足为点，下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 根据等腰三角形的性质逐项判断即可． 【详解】解：在中，，， ，，， 故选项A.B.C正确，不符合题意； 不能证明， 故选项D不正确，符合题意； 故：D． 5．(23-24七下·上海普陀区·期末)如图，在中，已知，是的中线，如果，那么以下结论中，错误的是（    ） A． B． C．的面积是面积的一半 D．的周长是周长的一半 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形三线合一的性质，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质即可判定A和B正确，结合即可判定C正确，而D错误． 【详解】解：∵ ∴是等腰三角形， ∵是的中线， ∴，，， ∴， 即， ∵， ∴， 故A，B，C正确， 的周长为：， 的周长为：， ∴，则D选择错误． 故选：D． 题型六：利用“三线合一”求角度 1．(24-25八下·陕西咸阳永寿县常宁镇中学·月考)如图，是等边的边上的中线，，则的度数为 ． 【答案】/15度 【分析】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，解题的关键是利用等边三角形的中线性质求出相关角的度数，结合等腰三角形等边对等角的性质推导角度关系． 根据等边三角形性质，得出，为中线则平分且求出和；由可得为等腰三角形，利用内角和求出的度数；最后通过与的差求出的度数． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，． ∵是边上的中线， ∴ 平分（等边三角形三线合一）， ∴，． ∵ ∴ 是等腰三角形，． 在中，， ∴， 即， 解得． ∵， ∴． 故答案为：． 2．(23-24八上·河南安阳第十中学、七中、十一中等十校联考·期中)如图，于，且，，若，则 ． 【答案】 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，利用等腰三角形三线合一的性质得到，，再证明，得到． 【详解】解：过点A作于点H， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为． 3．(24-25七下·陕西咸阳永寿县马坊中学·月考)如图，在等腰中，，，分别是的中线和高．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】此题考查等腰三角形的性质，关键是掌握等腰三角形三线合一的性质， 由直角三角形的性质求出的度数，再根据等腰三角形的性质求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，是的中线， ∴平分， ∴， 故答案为． 4．(24-25八·广东普宁培青中学·期中)如图，在中，，点在边上，在线段的延长线上取点，使得，连接，是的中线，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质与判定． 利用等腰三角形的三线合一求出，再求出即可解决问题． 【详解】解：∵，是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 5．(24-25七下·山西太原小店区山西大学附属中学校·月考)加图，在中，是的中线，于点，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，掌握等据三角形的性质是解决问题的关键． 根据三角形外角的性质得，由等腰三角形的性质可得是的平分线，即可求出的度数． 【详解】 于点， ， ， ， 是的中线， 是的角平分线， ． 故答案为：． 题型七：利用“三线合一”求线段长度 1．(24-25七下·上海嘉定区·期末)如图，在中，是边上的中线，作，交的延长线于点E．已知，那么 ． 【答案】6 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形的三线合一，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．过点作于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据等腰三角形的三线合一可得，然后根据线段的和差求解即可得． 【详解】解：如图，过点作于点， ∴， ∵， ∴， ∵在中，是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：6． 2．(24-25八上·浙江台州温岭·期末)如图，中，，，E为垂足，点D在上，且，若，，则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质，过A作于H， 由等腰三角形三线合一的性质先证明，由全等三角形的性质得出，结合已知条件以及线段的和差关系得出，进一步即可得出答案． 【详解】解：过A作于H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为：5． 3．(24-25八下·广东梅州兴宁宋声学校·月考)如图，为等边三角形，点M在的延长线上，点N 在边 上，于点D．若，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查等腰三角形的性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，根据等边三角形的性质得到，，由等腰三角形的性质得到，求出，再求出，，根据利用直角三角的性质即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ，，， ∴， ∴， ， 故答案为：3． 4．(24-25八上·山西大同·期中)如图，在中，点E是边上一点，连接，且，过点E作于点D，若的周长为20，，则的周长为 ． 【答案】26 【分析】本题考查等腰三角形的性质．熟练掌握等腰三角形三线合一是解题的关键． 由题意可知，，结合得到的周长等于的周长加上的长，即可得解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∵的周长为20， ∴， ∴的周长． 故答案为：26． 5．如图，在中，是上一点，，，垂足为，是的中点，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形三线合一定理，三角形中位线定理，熟知三角形中位线平行于第三边且等于第三边长的一半是解题的关键．由三线合一定理得到点E是的中点，进而证明是的中位线，则． 【详解】解：∵，， ∴点E是的中点， ∵F是的中点， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：6． 6．(23-24八上·重庆沙坪坝区凤鸣山中学·期末)如图，在中，，，于点E，若，的周长为10，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形三线合一是解题的关键．根据已知可得，从而可得，然后利用等腰三角形三线合一性质计算解答． 【详解】解：，且的周长为10， ， ， ， ， ， ， ，， ． 故答案为：3． 题型八：等腰三角形的性质与尺规作图综合 1．如图，在等边中，，点在上，且，点是上一动点，连接，以为圆心，长为半径画弧交于点，连接，如果，那么的长是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，连接，由题意可知，即为等边三角形，所以，推出，根据全等三角形的对应边相等知，则，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 2．(24-25九下·贵州六盘水青云学校·月考)如图，在中，，，按如下步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，两弧在的内部相交于点F，作射线交于点G．则的角度为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的尺规作法．根据，，由等边对等角，结合三角形内角和定理，可得，由尺规作图过程可知为的角平分线，由此可得． 【详解】解： ，， ， 根据尺规作图过程，可知为的角平分线， ， 故， 故选：A． 3．(24-25九下·贵州遵义·期中)在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，分别以为圆心大于为半径画弧，两弧交于点，连接交于点，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查角平分线的作图，直角三角形两锐角互余，掌握相关定义是解题的关键．先根据三角形内角和定理求出的度数，再由是的平分线得出，根据直角三角形的性质可知． 【详解】解：在中，，， ． 由作图可知，是的角平分线， ， ∴． 故选：B． 4．(24-25七下·山东烟台·期末)如图，直线，以直线上的点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点B，C，D，连结，，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及平行线的性质．由平行线的性质可得：，，由作图可得，再根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， 由作图可得：， ∴，，， ∴． 故选：C． 5．如图，直线，点在直线上，以点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线、于、两点，连接、，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查平行线的性质．根据平行线的性质解答即可． 【详解】解：点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线、于、， ， ， ， ， ， 故选：C． 6．(2024·湖南省长沙市·二模)如图，在中，，以点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查尺规作角平分线，等边对等角，三角形的内角和，根据角平分线的定义，等边对等角，求出的度数，再利用三角形的内角和进行求解即可． 【详解】解：由作图可知：平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选：B． 题型九：等腰三角形的性质解答题综合 1．如图，中，点E在边上，，将线段绕A 点旋转到的位置，使得，连接，与交于点G． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由旋转的性质可得，证明，根据全等三角形的对应边相等即可得出； （2）根据等边对等角求出，根据全等三角形的性质求出，然后利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】（1）证明：， ， 将线段绕点旋转到的位置， ， 在与中， ， ， ； （2）解：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及三角形外角的性质，证明是解题的关键． 2．(23-24九·江苏无锡宜兴·模拟)已知，如图，为的高，在上，且，，延长交于 (1)找出图中一对全等三角形，并证明你的结论． (2)若，且，求的面积． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形面积计算，熟练掌握三角形全等的判定定理，是解题的关键． （1）根据“”证明即可； （2）根据全等三角形的性质得出，，求出，根据等腰三角形的性质得出，根据三角形面积公式求出结果即可． 【详解】（1）解：， ， ， 在与中， ， ； （2）解：， ，， ， ， ， ， ， ， ． 3．如图，和都是等腰直角三角形，．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握等腰直角三角形的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键； （1）由题意易得，则有，然后可证，进而问题可求证； （2）由（1）知，则有，然后可得，进而问题可求证． 【详解】（1）证明：和都是等腰直角三角形， ， ， ． 在与中，， ， ． （2）证明：由（1）知， ． ， ， ， ． 4．如图，在中，点E在边上，，将线段绕A点旋转到的位置，使得，连接，与交于点G． (1)求证：． (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，图形的旋转，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，图形的旋转，等腰三角形的性质，三角形外角的性质是解题的关键． （1）根据旋转的性质可得：，再由，可得，可证明，即可； （2）根据等腰三角形的性质可得，从而得到，再由全等三角形的性质可得，然后根据三角形外角的性质，即可求解． 【详解】（1）证明：根据旋转的性质得：， ， ， ，， ， ． （2）解：，， ， ， ， ， ， ． 5．(25-26九上·浙江温州实验学校·月考)如图，四边形的对角线，相交于点，，，点在上，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理． （1）先证明，结合，，即可得到结论； （2）由（1）易得，根据，易证，，再根据三角形内角和定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 又∵，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴，即，， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型一：三角形的外角与“等边对等角”的综合 1．(24-25八上·江苏镇江丹阳云阳中学·调研)如图，B，D，F在上，C，E在上，且，，，则的度数是 度． 【答案】100 【分析】本题考查了等边对等角、三角形外角的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．反复运用等边对等角以及三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：100． 2．(24-25八下·江苏南京·模拟)如图，，那么 度． 【答案】75 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形外角的性质等知识点，正确运用三角形外角的性质成为解题的关键． 根据三角形内角和定理，三角形外角和内角的关系以及等腰三角形的性质，逐步推出∠GEF的度数． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：75 ． 3．(24-25八上·福建莆田莆田第二中学·期中)“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图①所示的“三等分角仪”能三等分任意一角．如图②，这个“三等分角仪”由两根有槽的棒组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，点C固定，点D，E可在槽中滑动，．若，则的度数是 ． 【答案】/27度 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．设，利用等腰三角形的性质可得，从而利用三角形的外角性质可得，然后利用等腰三角形的性质可得，再利用三角形的外角性质可得，从而可得，最后进行计算即可解答． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：． 4．(24-25八上·湖南株洲天元中学·期末)如图，在中，,，在上取一点，延长到点，使得；连接，再在上取一点，延长到点，使得；连接，按此作法进行下去，的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，理解题意、找到数字规律是解题关键． 根据等腰三角形的性质，得，根据三角形外角的性质，得，依此类推，可得、、，则得． 【详解】解：在中，，， ， ，是的一个外角， ，， 同理可得：，， ，， ……， 依次类推，． 故答案为：． 题型二：等腰三角形中需要分情况讨论的问题 1．(24-25七下·河南开封祥符区·期末)如图，，在直线上有一点且使得是以为腰的等腰三角形，则度数应该是 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形的性质分三种情况讨论即可． 根据题意分三种情况讨论：如图，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理即可得到结论． 【详解】解：∵ ①如图：当时，连接， ∵， ∴ ②如图：当时，连接， ∵， ∴ ③如图：当时，连接， ∵， 故答案为：或或. 2．(24-25八上·黑龙江哈尔滨南岗区工业大学附属中学·期末)中，，，点是边上一点，点是射线上一点，与射线相交于点，点是的中点，若，则 度． 【答案】或 【分析】本题考查三角形内角和定理，外角和定理，等腰三角形三线合一的性质，以及分类讨论思想．本题无图需分类讨论，因为已知两个角的度数，所以的形状固定．分为两种情况，点F在射线上，点E在线段上，点E在射线上，点F在线段上；即可． 【详解】解：如图1： 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵G是中点， ∴． 如图2： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵G是中点， ∴， ∴∠． 故答案为：或． 3．(24-25七下·上海松江区东华大学附属实验学校·期末)在中，，，点是三边上的动点．当为等腰三角形时，其顶角的度数是 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了等腰三角形．熟练掌握等腰三角形的性质，分情况讨论，作出图形，是解题的关键． 作出图形，然后分点P在上与上两种情况讨论求解． 【详解】解：①如图1，点P在上时， ， 顶角为； ②点P在上时， ∵， ∴， 如图2，若为顶角， 则顶角； 如图3，若为底角， 取， 则顶角为， 综上所述，顶角为或或． 故答案为: 或或． 4．(24-25八上·陕西咸阳渭城区底张晋公庙中学·)若等腰三角形的一个角为，则这个等腰三角形的顶角度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，及三角形内角和定理，不确定的角是等腰三角形的底角还是顶角，则分两种情况分析；等腰三角形的底角是，两个底角都是，结合三角形内角和是计算顶角的度数；另一种情况是就是顶角的度数． 【详解】解：（1）是等腰三角形的底角时，顶角的度数为； （2）就是顶角的度数． 综上，这个等腰三角形的顶角是或． 故答案为：或． 5．(24-25七下·河南郑州中原区·期末)如图，在中，，，点D是边上靠近点A的三等分点，点E是边上一动点，将沿折叠得．当与的一边平行时，的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题重点考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、翻折变换的性质、平行线的性质、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，由，，求得，再分两种情况讨论，一是，则，所以，由折叠得；二是，则，所以，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，且， ∴， ∴， 如图1，，则， ∴， ∵将沿折叠得， ∴； 如图2，，则， ∴， ∴， 综上所述，的度数为或， 故答案为：或． 题型三：垂直平分线的性质中最值问题 1．如图，是等边三角形，是边上的高，E是的中点，P是上的一个动点，当与的和最小时，的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是最短线路问题及等边三角形的性质，熟知两点之间线段最短是解答此题的关键． 连接，交于点P，利用等边三角形的性质可得，，从而得到当点B，P，E三点共线时，取得最小值，即可求解． 【详解】解：如图，连接，交于点P， ∵是等边三角形，， ∴，， ∴，， 即当点B，P，E三点共线时，取得最小值， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 2．(24-25七下·甘肃兰州第十一中教育集团·期末)如图，在等边三角形中，，垂足是，且，点，分别是线段，上的动点，则的最小值是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了等边三角形的对称性、“垂线段最短”等知识点．熟记相关结论是解题关键．根据等边三角形的对称性可得，根据垂线段最短即可求的最小值． 【详解】解：由等边三角形的对称性可得 故 过点作，如图所示：    则 故选：A． 3．(23-24七下·陕西汉中南郑区·期末)如图，在等腰三角形中，平分，且，若、分别是、上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了轴对称-最短路线问题，等腰三角形的性质．过点A作于点H，根据题意求得，得到是等腰三角形的中线，得到，根据，当共线时，有最小值，得到，根据等面积法求出的长． 【详解】解：过点A作于点H， ∵，平分， ∴， ∴， ∵是等腰三角形的中线， ∴点C关于的对称为点A， ∴， ∵， ∴当共线时，有最小值， ∴， ∵， ∴， ∴则的最小值为， 故答案为：． 4．(24-25八下·山东青岛南区琴岛学校·期中)如图，等腰底边长为，面积，腰的垂直平分线交于点，若D为边上中点，为线段上一动点，则的周长最小值为 ． 【答案】8 【分析】此题考查了轴对称——最短路线问题，连接，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点B关于直线的对称点为点A，故的长为的最小值，由此即可得出结论，熟知等腰三角形三线合一的性质，两点之间线段最短是解答此题的关键． 【详解】解：连接，    ∵是等腰三角形，点是边的中点， ∴， ∴， 解得：， ∵是线段的垂直平分线， ∴点B关于直线的对称点为点A， ∴的长为的最小值， ∴的周长最短， 故答案为：8． 5．(24-25八上·浙江台州临海·期末)如图，在中，，，点是边上的动点，点关于直线、的对称点分别为、，当线段的长度最短时，它与所成的夹角的度数为 ． 【答案】 【分析】连接，，，由轴对称的性质可得，，，进而可得，于是可得是等边三角形，则，，由垂线段最短可知，当时，的值最小，最小值为的长，此时由三线合一可得，然后由三角形外角的性质可得，据此即可求出的度数． 【详解】解：如图，连接，，， 点关于直线、的对称点分别为、， ，，， ， ， 是等边三角形， ，， 由垂线段最短可知：当时，的值最小，最小值为的长， 此时， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，等边三角形的判定与性质，垂线段最短，三线合一，三角形外角的性质等知识点，添加适当辅助线构造等边三角形并熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 6．(24-25八上·安徽合肥巢湖·期末)如图，在中，，，，点M在线段上运动（不包含点B），连接，将沿直线翻折得到． （1）当时，则 ． （2）在点M运动过程中，点到直线距离的最大值是 ．    【答案】 【分析】本题考查了三角形翻折的性质，等腰三角形的性质，含30度角直角三角形的性质；解题的关键是熟练掌握这些性质． （1）由折叠性质及，可求得，再由三角形内角和即可求得的度数； （2）当垂足E在线段上时，点到直线距离的最大，则；由折叠的性质及含30度直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：（1）如图，    ∵， ∴； 由折叠性质可知：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）如图，，当垂足E在线段上时，点到直线距离的最大；    ∴， 由折叠性质可知：， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 7．(23-24八下·辽宁沈阳虹桥初级中学·月考)如图，在中，，、分别平分、，E为上一点，若，则的最小值为 【答案】3 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理，三角形的角平分线的性质，含的直角三角形的性质，垂线段最短，等腰三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键． 过点D作交于点F，得出，根据，得到C、D、F三点共线，，根据即可求解． 【详解】解：过点D作交于点F， ∵、分别平分、， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴C、D、F三点共线， ∴ ∴ 当时，此时的值最小， 则， ∴ ∴的最小值为3． 故答案为：3． 题型四：垂直平分线的性质和中多结论问题 1．(24-25七下·河南郑州管城区·期末)如图，和均为等边三角形，且两个三角形在线段同侧，① ；② ；③ ；④ ，则上述结论中正确的是（   ） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．也考查了等边三角形的性质． 先根据等边三角形的性质得到，，，则，则根据“”可证明，从而可对①进行判断；再证明，则可根据“”判断，从而可对②进行判断，所以，接着根据“”证明，从而可对③进行判断；由于不是等边三角形，为等边三角形，从而可对④进行判断． 【详解】解：和均为等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ，所以①正确； ， ， ， 在和中， ， ，所以②正确； ， 在和中， ， ，所以③正确； ， 不是等边三角形， 而为等边三角形， 与不能全等，所以④错误． 故选：B． 2．(24-25八上·江苏钟吾初级中学·期中)如图，在等边三角形中，，D为内一点，且，E为外一点，且，连接，，有下列结论：①；②；③；④若，则．其中正确结论的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形的内角和定理、平行线的性质、全等三角形的性质和判定的应用．熟练掌握等边三角形的性质与全等三角形的性质和判定是解题的关键． 根据等边三角形的性质，得到等边三角形的边角关系，然后利用“边边边”证明，从而可证明结论①正确；利用“边角边”证明，从而可证明结论③正确；利用平行线的性质得出，再根据三角形的内角和定理求出，求得，则可证明是的中垂线，再根据含的直角三角形性质求出中边上的高，即可求得，即结论④正确；证明，则有，根据对顶角相等有，根据三角形的内角和定理可得，若，则，而不一定等于，故结论②错误； 【详解】解：如图，连接， 是等边三角形， ，， ，， ， ，； 结论①正确； ， ， ，， ， ． 结论③正确； ， ， ，， 设， ， ， ， ， 解得：， ， ， 是的中垂线 ，， 边上的高为， ， 结论④正确； ，， ， ， 又 ， 若，则， 而不一定等于，故结论②错误； 故①③④正确，共3个结论正确， 故选C． 3．(24-25八·新疆伊犁哈萨克巩留县第二中学·期中)如图，为线段上一动点（不与点，重合），在同侧分别作正三角形和正三角形、与交于点，与交于点，与交于点，连接．以下五个结论：①；②；③；④；⑤是正三角形．其中正确的结论有（    ） A．①②③⑤ B．①③④⑤ C．①②⑤ D．②③④ 【答案】A 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质；由于和是等边三角形，可知，，，从而证出，可推知，①正确；由得，加之，，得到，再根据推出为等边三角形，⑤正确；同理得：，即可得出②正确；根据，，可知，可知④错误；利用等边三角形的性质，，再根据平行线的性质得到，于是可知③正确． 【详解】解：∵和是等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，①正确； ， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴是等边三角形，⑤正确； 同理得：， ∴，②正确； ∵，， ∴ ∴， ∵， ∴，故④错误； ∵， ∴， ∵是等边三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴③正确； 综上，正确的有①②③⑤； 故选：A． 4．(24-25八上·广东深圳光明区·期末)如图，的三条边相等，三个内角也相等，且，连接，，，与交于H点，以下结论：①；②与的面积相等；③；④．其中正确的是（   ） A．①② B．③④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形的外角的性质，全等三角形的判定与性质. 根据等边三角形的性质以及根据即可证明；再证，可得与的面积相等和，也得到，由外角与内角的关系就可以得出结论． 【详解】证明：∵为等边三角形，， ∴， ∵， ∴（），所以①正确； ∴，， ∴， ∵ ∴， ∴与的面积相等，（故②正确）；，（故③正确）；， ∴ ，故④正确； 故选：D． 5．(24-25七下·上海长宁区·期末)如图，和均为等边三角形，且点A、B、C在同一直线上，连接交于点，连接交于点，连接，点为与的交点，以下结论不一定成立的是（　　） A． B． C． D．是等边三角形 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质与全等三角形的判定及性质，解题的关键是利用等边三角形的边和角的特点，结合全等三角形的知识进行推理判断． 通过证明三角形全等，结合等边三角形的性质，对每个选项逐一分析判断． 【详解】∵为等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， 故A正确； 故B正确； 仅根据已知条件和是等边三角形，以及，无法得出． ∵没有足够的角度或边的关系能推导出， 不一定垂直于，该选项不一定成立， 故C正确； ∵，均为等边三角形， 在和中， ∴为等边三角形， 故D正确． 题型五：垂直平分线的性质综合压轴题 1．(24-25七上·广东佛山顺德区均安镇文田初级中学·)如图，在等边中，点、分别是、上的点，，与交于点． (1)①说明：； ②填空：___________度； (2)如图，以为边作等边，与相等吗？说明理由： (3)如图，若点是的中点，连接、，判断与有什么数量关系？说明理由． 【答案】(1)①证明见解析；② (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】（）①利用证明即可；②由全等三角形的性质得，进而得到，再根据邻补角的性质即可求解； （）证明即可求证； （）如图，延长至，使得，连接，则，可证，得到，，，即得，，又由得，可得，得到，即得到，进而可证明，得到，即可得，即可求证． 【详解】（1）解：①∵是等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴； ②∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：，理由如下： ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： 如图，延长至，使得，连接，则， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角性质，平行线的判定和性质，邻补角的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 2．(24-25七下·陕西西安湖滨中学·月考)【问题背景】 （1）如图1，和均为等边三角形，点在同一直线上，连接． 填空：①线段之间的数量关系为__________；②的度数为__________； 【问题探索】 （2）如图2，为等腰直角三角形，，点为边上一点，以为边作等腰直角三角形，且，连接BE，若，求的面积； 【问题解决】 （3）在数学学习中，我们经常将面积之比转化为边之比，请解决以下问题： 湖滨中学规划了一块如图3所示的四边形行政楼，连接，将行政楼分成两部分，且、交于点，经测量：．若，则四边形的面积为______________． 【答案】（1）①；②（2）4；（3） 【分析】（1）①先证，根据全等三角形的性质得到； ②由①得．由点A，D，E在同一直线上可求出，从而可以求出； （2）先证明，根据全等三角形的性质得到，，可得，进一步可得结论； （3）如图，作等腰直角三角形，连接，则，，，证明C在上，证明，可得，，再进一步可得答案． 【详解】（1）解：①∵和均为等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：； ②∵， ∴， ∵点A，D，E在同一条直线上， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵和均为等腰直角三角形， ∴，，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴的面积为； （3）如图，作等腰直角三角形，连接， 则，，， ∵， ∴C在上， ∴，即， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴四边形的面积， 故答案为：． 【点睛】本题考查了四边形综合题，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，解题关键是作出合适的辅助线． 3．(24-25七下·山东济南济阳区·月考)如图，在等边中，边厘米，若动点从点开始，按的路径运动，且速度为1厘米/秒，设点的运动时间为秒． (1)当时，判断与的位置关系，并说明理由； (2)当的面积为面积的一半时，求的值； (3)另有一点，从点开始，按的路径运动，且速度为2厘米/秒，若、两点同时出发，当、中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当为何值时，直线把的周长分成相等的两部分． 【答案】(1)，理由见解析 (2)t的值为12秒或20秒 (3)4秒或12秒 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、动点问题、一元一次方程的应用等知识点，用时间t表示出各时段的线段的长度列出方程求解是解题的关键． （1）由题意可得此时，即此时P为的中点，再根据等边三角形的性质即可得到结论； （2）由题意得：，然后分当P为AB中点和P为中点两种情况解答即可； （3）分、、三种情况，分别根据等边三角形的性质和三角形的周长公式列一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图：当秒时，， ∵在等边中，， ∴， ∴此时P为的中点， ∴为等边的中线， ∴． （2）解：∵由题意得：， ∴如图：当P为AB中点时，满足题意， 此时，P点运动路程为： (cm)， ∴P点运动时间为： (秒)； 如图：当P为中点时，满足题意， 此时，P点运动路程为：， ∴P点运动的时间为： (秒)． ∴综上，t的值为12秒或20秒． （3）解：∵点P的速度为1厘米/秒，点Q的速度为2厘米/秒， ∴如图：当时，点P在上，点Q在上， ∴， ， ∴，解得：，符合； 当时，点Q在上，点P在上， ，， ． ∴，解得：， ∴不符合，舍去； 当时，点Q在上，点P在上， ∴， ， ∴，解得：，符合． ∴综上，符合条件的t的值为：4秒或12秒． 4．(24-25八上·天津经济技术开发区国际学校·期末)已知，中，，，分别以，为边在外侧作等边三角形与等边三角形． (1)如图①，求的大小； (2)如图②，连接交于点F，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等边三角形的性质等知识点，灵活运用全等三角形的判定与性质成为解题的关键． （1）根据等边三角形的性质得到，由，再根据角的和差即可解答； （2）如图：过E作交于点G，由（1）可得，然后根据两直线平行内错角相等得到，再根据，利用三角形的内角和定理得到，由等边三角形的性质也得到，从而得到两角相等，再由，利用“”证得，根据全等三角形的对应边相等得到，再由为等边三角形得到，等量代换可得，加上一对对顶角的相等和一对直角的相等，根据“”证得，最后根据全等三角形的对应边相等即可得证． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴． （2）证明：如图：过E作交于点G， 由（1）可得，即， ∴， 又∵， ∴， 又∵为等边三角形，， ∴， 在和中， ， ∴ ∴， 又∵为等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 5．(24-25八上·山东德州夏津县第三中学·月考)倍长中线法与作平行线是构造全等三角形常见的辅助线． (1)如图1，在中，，中线，求的取值范围． 方法一：延长到使，连接； 方法二：过点作的平行线交的延长线于． 请你从以上两种方法中选一种方法证明，并直接写出的取值范围； (2)如图2，在四边形中，，、分别在、上，且，，为的中点，求证：． 【答案】(1)见解析，； (2)见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定（）、三角形三边关系、四边形内角和、等腰三角形三线合一以及构造辅助线的方法，解题的关键是通过倍长中线或延长线段构造全等三角形，将分散的线段和角的关系进行转化． （1）延长至E使，利用证得，再根据三角形三边关系（ ）求出的取值范围． （2）延长至H使，证得且，再证得，最后由等腰三角形三线合一证． 【详解】（1）解：选方法一来证明， 是的中线， ， 在和中，， ， ， ∵在中，， ， 即：， ； （2）证明：延长到点，使，连接、、， 因点为的中点，则， 在和中， ， ，， ， ， ， ， ，且， ，又， ， 在和中， ， ， 又， ． 6．(24-25七下·辽宁朝阳建平县·期末)问题提出： （1）我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做“偏等积三角形”．如图1，中，，，，P为上一点，思考当点P在什么位置时，与是偏等积三角形？并说明理由． 问题探究： （2）如图2，与是偏等积三角形，，且线段的长度为正整数，过点C作交的延长线于点E，求的长； 问题解决： （3）如图3，四边形是一片绿色花园，是等腰直角三角 请问与是偏等积三角形吗？说明理由． 【答案】（1）当点P在中点时，与是偏等积三角形，理由见解析；（2）6；（3）是，理由见解析 【分析】本题考查了三角形的三边关系、同角的余角相等、等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． （1）设点 C到的距离为h，根据当点 P在中点时，，，根据即可得到结论； （2）设点A到的距离为n，则 ，先证明 ，结合三角形三边关系以及为偶数即可得出结果； （3）过A作于M， 过B作于N， 证明，得到，根据三角形面积的计算，推出与不全等，得出结论 【详解】解：当点 P在中点时，与是偏等积三角形，理由如下： 设点 C到的距离为h，则 当点 P在中点时， ， ， 与不全等， ∴与是偏等积三角形 （2）设点A到的距离为n，则 ， 与是偏等积三角形， , ， ， ， 在和中， ， ， ， ∵线段的长度为正整数， 的长度为偶数， 在中，， ， 即：， ； （3）①与是偏等积三角形，理由如下： 过A作于M， 过B作于N， 如图3所示： 则， 是等腰直角三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ∴与不全等， ∴与是偏等积三角形 1．(24-25八上·黑龙江哈尔滨香坊区德强中学初中部·期中)如图，将绕点A逆时针旋转后得到（点的对应点是点，点的对应点是点），连接．若，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了旋转的性质、等边对等角、三角形内角和等知识点，掌握旋转的性质对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等是解题的关键． 先利用旋转的性质得到，则根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出，于是可得到，所以，再根据角的和差即可解答． 【详解】解：∵将绕点A逆时针旋转后得到（点的对应点是点，点的对应点是点）， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 2．(24-25八上·甘肃平凉华亭皇甫学校·)边长为整数，周长等于21的等腰三角形共有（　　） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】B 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，等腰三角形的定义． 根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，设等腰三角形的腰长为x，根据三边关系列出关于x的不等式，求出x的整数解并枚举出不同的三角形即可． 【详解】解：设等腰三角形的腰长为x，则其底边长为， 因为三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边， 所以， 解得， 又边长为整数， 所以x的取值为6，7，8，9，10． 即满足条件的等腰三角形三边长为： ；；；；；共5个． 答：边长为整数，周长等于21的等腰三角形共有5个． 故选：B． 3．如图，已知，分别是的中线和高，且，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟悉掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 利用等腰三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵，为的中线， ∴平分， ∵是上的高，， ∴， ∴， 故选：B． 4．(2025·江苏省盐城市·模拟预测)七巧板具有深厚的文化底蕴，由正方形、平行四边形和大小不一的等腰直角三角形组成，小明用七巧板拼成的丹顶鹤如图所示，且过点作直线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题重点考查等腰直角三角形的性质、平行线的性质等知识，推导出是解题的关键． 由等腰直角三角形的性质得，由，得，而，则，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图， 和都是等腰直角三角形，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 5．(24-25八上·河南许昌第三初级中学·期末)如图，在中，，，以点C为圆心，长为半径作弧交于点D，分别以点A和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点E，作直线交于点F，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查作图—基本作图、等腰三角形的性质，由作图过程可知，直线，则．由等腰三角形的性质可得，则，再根据可得答案． 【详解】解：由作图过程可知，直线， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 6．(24-25八下·陕西咸阳乾县峰阳初级中学·期末)如图，在中，，将绕点A逆时针旋转后得到，点C的对应点E恰好落在BC上，则的值为（    ） A．30 B．35 C．40 D．50 【答案】A 【分析】本题考查旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理．先根据三角形内角和定理计算出，由旋转前后对应边相等可得，由等边对等角，可得，最后再应用三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：在中，， ， 由旋转知， ， ， 即旋转角为，的值为30， 故选A． 7．(24-25八上·黑龙江哈尔滨南岗区虹桥初级中学·期中)等腰三角形的两边分别为、，则该三角形的第三边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系． 分两种情况根据等腰三角形的定义求出第三边，再根据三角形三边关系判断是否构成三角形即可． 【详解】当底边为时，第三边长为，，构成三角形； 当底边为时，第三边长为，，不构成三角形； 故第三边长为 故答案为： 8．如图，在等边中，，点在上，且，点是上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段．要使点恰好落在上，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质．全等三角形的判定与性质，掌握相关知识是解决问题的关键．先计算出，根据等边三角形的性质得，再根据旋转的性质得，，根据三角形内角和和平角定义得，进而证明 ，则． 【详解】解：，， ， 为等边三角形， ， 线段绕点逆时针旋转得到线段，点恰好落在上， ，， ，， ，， ， 在和中， ， ． 故答案为：． 9．(24-25九下·浙江宁波鄞州中学·期末)如图，在凸四边形中，，，平分，，则 ． 【答案】/度 【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形全等的判定与性质及角平分线的概念，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．在上截取，通过证明，得到，，再利用邻补角的定义证得，根据四边形内角和为即可得答案． 【详解】解：如图，在上截取， 平分， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，四边形内角和为， ∴． 故答案为： 10．(24-25七下·四川达州渠县第三中学·月考)若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的顶角是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，采用分类讨论的思想解题，是解决本题的关键． 分两种情况讨论：当等腰三角形的顶角是锐角或者当等腰三角形的顶角是钝角，分别进行求解即可得到答案． 【详解】解：当等腰三角形的顶角是锐角时，如图： 则， ， 等腰三角形的顶角为； 当等腰三角形的顶角是钝角时，如图： 则， ， ， ， 等腰三角形的顶角为， 综上所述，这个等腰三角形的顶角的度数为：或， 故答案为：或． 11．(24-25八下·四川成都成华区·期末)如图，已知中，，．绕点顺时针旋转，使点落在边上，点的对应点记为点，点的对应点记为点，连接，那么的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边对等角，三角形的内角和定理，由旋转性质可知，，，，通过等边对等角可得，，最后由角度和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由旋转性质可知，，，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12．(2025九·四川省内江市·模拟)如果一个等腰三角形的顶角为，那么其底边与腰之比等于．我们把这样的等腰三角形称作黄金三角形．如图，在中，，，看作第一个黄金三角形；作的平分线，交于点D，看作第二个黄金三角形；作的平分线，交于点E，看作第三个黄金三角形；…以此类推，第n个黄金三角形的腰长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查等腰三角形的定义、与图形有关的规律探究等，正确理解题意是解题关键．由题意可知，第1个黄金三角形的腰长为1，第2个黄金三角形的腰长为，第3个黄金三角形的腰长为，…，依次类推，即可确定答案． 【详解】解：由题意可知，第1个黄金三角形的腰为， ∴第1个黄金三角形的腰长为1； 第2个黄金三角形的腰为，且， ∴，即第2个黄金三角形的腰长为； 第3个黄金三角形的腰为，且， ∴，即第3个黄金三角形的腰长为； …， 依次类推，第n个黄金三角形的腰长为． 故答案为：． 13．如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，点、，，均为格点（网格线的交点）． (1)将线段绕点顺时针旋转，得到线段，画出线段． (2)在上找一点，使（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】本题考查了旋转作图，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理． （1）作出线段绕点顺时针旋转，得到线段，即可求解； （2）作出线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接与交于点，即可求解． 【详解】（1）解：如图，线段，即为所求； （2）解：如图，点，即为所求； 作法：将线段绕点顺时针旋转，得到线段；连接与交于点． 理由：∵，， ∴， 即． 14．(24-25七下·福建泉州科技中学·期末)如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为，，连接． (1)求证：； (2)当点，，在同一条直线上时，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）由旋转的性质得，再根据三角形三边关系即可求证； （）由旋转可得 ，，即得，又可得，利用三角形内角和定理求出即可求解； 本题考查了旋转的性质，三角形三边关系，等腰三角形的性质等，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：由旋转可得，， ∵， ∴； （2）解：由旋转可得， ，， ∵点在同一条直线上， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 15．如图，和都是等腰直角三角形，，D为边上一点． (1)试说明； (2)若，，求的长(参考知识：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方)． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，全等三角形的判定和性质． （1）根据等腰三角形的定义得到，，根据角的和差得到，根据即可证明； （2）根据全等三角形的性质可知，，求出，根据题干所给参考知识计算即可． 【详解】（1）证明：∵和都是等腰直角三角形， ∴，． ∵，，， ∴． 在和中， ， ∴（）． （2）解：∵， ∴，， 又∵， ∴， 即是直角三角形， ∵在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方， ∴ ∴． 16．(24-25八下·四川成都成华区·期末)已知，在等边中，点为射线上一点（点与点不重合），连接，以为边在上方作等边，连接． (1)如图，当点是边中点时，求的度数； (2)求证：； (3)如图，当动点在的延长线上时，以为边在其下方作等边，连接，求线段，，之间的等量关系式． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)． 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握等边三角形的性质是解题的关键． （）由是等边三角形，则，又点是边中点，可求，通过等边三角形性质可得，最后利用角度和差即可求解； （）分当点在上时（点与点不重合），当点在的延长线上时两种情况证明即可； （）证明，则，由（）知，，然后通过线段和差即可求解． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， ∵点是边中点， ∴， ∴， 又∵是等边三角形， ∴， ∴； （2）证明：当点在上时（点与点不重合）， ∵是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，即， 在和， ， ∴， ∴； 当点在的延长线上时，如图， 同理可证， ∴， 综上，； （3）解：∵是等边三角形，是等边三角形， ∴，，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 由（）知，， ∴， ∴． 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