专题01 有理数（期中专项训练）七年级数学上学期新教材苏科版

专题01 有理数 题型1 最大、最小的数 题型11 二进制（难点） 题型2 科学记数法（常考点） 题型12 个位数字的规律问题 题型3 正反意义的量 题型13 有理数的混合运算（重点） 题型4 相反数、倒数、绝对值（常考点） 题型14 有理数的分类 题型5 数轴上有理数比较大小（常考点） 题型15 有理数的实际应用（重点） 题型6 绝对值的非负性（常考点） 题型16 拆项法 题型7 点在数轴上的平移（重点） 题型17 有理数的圈次方 题型8 绝对值分类讨论（重点） 题型18 绝对值中的最值问题（难点） 题型9 程序流程图 题型19 数轴动点求t（难点） 题型10新定义运算（常考点） 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 最大、最小的数 1．在，，，0这四个数中，最大的数是（　　） A． B．0 C． D． 2．在，，，四个数中，最小的数是（   ） A． B． C． D． 3．下列各数中，最小的数是（    ） A．0 B． C． D． 题型二 科学记数法（常考点） 4．年“五一”期间，海南省旅文厅在全岛推出场体育赛事活动，拉动相关消费约万元．数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 5．我国2024年5月发射的嫦娥六号探测器，标志着我国对月球背面的研究又进入一个新的阶段．已知月球到地球的平均距离约为384000千米，数据384000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 6．第七次人口普查结果显示我国2021年人口约为亿人，把数字用科学记数法表示为 ． 题型三 正反意义的量 7．如果米表示向东走米，那么米表示的意义是 （    ） A．向西走60米 B．向东走60米 C．向南走60米 D．向北走60米 8．云南某茶园采摘茶叶时，规定茶叶增产记为正，减产记为负．若今年春季茶叶产量比去年增产50千克记作“千克”，那么今年夏季茶叶产量比去年减产30千克应记作（　　） A．千克 B．千克 C．千克 D．千克 9．小小饭后到楼下小区花园里散步，若表示向前走，则 表示向后走． 题型四 相反数、倒数、绝对值（常考点） 10．的相反数是（　　） A． B．4 C． D． 11．若m表示的倒数，则m的值为（    ） A．3 B． C． D． 12．化简： ． 题型五 数轴上有理数比较大小（常考点） 13．a，b是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，把a，，b，按照从小到大的顺序排列是（   ） A． B． C． D． 14．实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，则 b．（填“”“”或“”） 15．在数轴上表示下列各数，并按从小到大的顺序用“<”把这些数连接起来． 按从小到大的顺序连接： 题型六 绝对值的非负性（常考点） 16．若，则（    ） A．1 B． C．2 D． 17．已知，则的值为 ． 18．已知，求式子的值． 题型七 点在数轴上的平移（重点） 19．数轴上一点表示的有理数为，若将点向右平移个单位长度后再向左平移个单位长度，则此时点表示的有理数应为（   ） A． B． C． D． 20．数轴上点M和点N表示的数分别为和2，把点M向右平移 个单位长度，可以使点M到点N的距离是3． 21．如图①，电脑显示屏上画出了一条不完整的数轴，并标出了表示的点．小明同学设计了一个电脑程序：点，分别从点同时出发，每按一次键盘，点向右平移2个单位长度，点向左平移1个单位长度．例如，第一次按键后，屏幕显示点的位置如图②． (1)第____________次按键后，点所在的位置正好是原点； (2)第6次按键后，点所在位置表示的数字与点所在位置表示的数字的差是多少？ 题型八 绝对值分类讨论（重点） 22．若，且m，n异号，则的值为（   ） A．7 B．3或 C．3 D．7或3 23．已知，，且，则的值为 ． 24．（1）若，求的值； （2）已知，，且，求的值． 题型九 程序流程图 25．[新视角 程序计算题]如图是一个简单的数值运算程序图，当输入x的值为时，输出的数值为（    ） A．1 B． C．2 D． 26．按照下列程序，如果输入的数是，则输出的数是 ． 27．如图是一个“数值转换机”（箭头是指数进入转换机的路径，方框是对进入的数进行转换的转换机）． (1)当小明输入4，7这两个数时，则两次输出的结果依次为　　 ，　　 ； (2)你认为当输入数等于　　 时（写出一个即可），其输出结果为0； (3)你认为这个“数值转换机”不可能输出　　 数； (4)有一次，小明操作的时候，输出的结果是2，聪明的你判断一下，小明输入的正整数是　　 （用含自然数n的代数式表示）． 题型十 新定义运算（常考点） 28．定义新运算：对任意有理数a，b，都有．例如．的值是（   ） A． B． C． D． 29．定义新运算符号“⊕”如下：，例如：，则 ． 30．七年级的小梅同学在学习完有理数的运算后，对运算产生了浓厚的兴趣．她借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，规则如下：． (1)求的值． (2)求的值． 题型十一 二进制（难点） 31．二进制在计算机科学中有着广泛的应用．计算机内部的所有操作都是基于二进制完成的，包 括数据的存储、传输和处理．此外，二进制还用于数字电路设计、通信技术等领域，所以我们很有必要研究二进制．将十进制中数“65”转换为二进制数为（    ） A．1000001 B．1000011 C．1001111 D．1111111 32．我们平常用的数是十进制数，如，表示十进制的数要用10个数码（又叫数字）：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9在电子数字计算机中用的是二进制，只要两个数码：0和1．如二进制中等于十进制的数5，等于十进制中的数23，那么二进制中的1011等于十进制的数 ． 33．课本再现 国际数学教育大会是全球数学教育界水平最高、规模最大的学术盛会，每四年一届，于2021年在上海举办，这是国际数学教育大会第一次在中国举办．大会标识（图1）中蕴含着很多数学文化元素，以中国传统文化中“洛书”与“河图”为原本，并将其与我国古老的八卦进行了融合，体现了我国传统文化的博大精深．其中八卦符号（图2）可以用于记数，请探究这个符号所表示的数，互相交流各自的计算方法． 提示：八卦中称为阳爻，对应数字1，称为阴爻，对应数字0，这是二进制记数法．每卦均由三个阳爻或阴爻组成，如图2，从左起第一个符号表示的二进制数为． 观察发现 （1）从左起第四个符号表示的二进制数为___________． 拓展延伸 二进制数转换成十进制数的方法是：将二进制数的每一位数乘以2的相应次方（从右往左依次为，依此类推），后相加，例如：． （2）图2中的记数符号由四个二进制数组成，将它们依次转换为十进制数，得到一个四位数，求出这个四位数； 类比迁移 （3）仿照二进制的说明与算法，将八进制数：转换成十进制数，请求出结果． 题型十二 个位数字的规律问题 34．已知，，，，，，那么的个位上的数字是（   ） A．6 B．4 C．2 D．0 35．观察下列等式：；；；；；；；；…；根据你所发现的规律，判断的个位数字应该是 ． 36．，，，． 观察上面的算式我们可以发现两位数乘11的速算方法：头尾一拉，中间相加，满十进一．请根据上面的速算方法，回答下列问题． (1)①_________；②_________；③_________； (2)已知一个两位数，十位上的数字是，个位上的数字是，将这个两位数乘11．请证明速算方法的正确性． 题型十三 有理数的混合运算（重点） 37．计算： (1) (2) (3) (4) 38．计算： (1) (2) (3) 39．计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 题型十四 有理数的分类 40．把下列各数填入相应的集合里： ，，0，，，，，，． (1)非负整数集合：{ …}； (2)正有理数集合：{ …}； (3)整数集合：{ …}． 41．把下面的有理数填在相应的大括号里： 15，，0，，，，，． 正数集合：{                         …}； 负数集合：{                         …}； 整数集合：{                         …}． 42．把下列各数填在相应的集合中： ，6，，0，，，，，，，，，2018，． 正整数集：{                  …}； 正数集：{                    …}； 负分数集：{                  …}； 非负整数集{                  …}； 分数集：{                    …}． 题型十五 有理数的实际应用（重点） 43．在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B地．约定向东为正方向，向西为负方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米)： ，，，，，，，． (1)请通过计算确定B地位于A地的什么方向？距离A地多少千米？ (2)若冲锋舟的油箱容量为26升，每千米耗油0.5升，求冲锋舟当天救灾过程中，至少还需补充多少升油，才能保证顺利完成任务到达B地？ 44．一天，检修小组乘工程车从检修站出发，沿东西方向的公路检修线路，从检修站出发到收工时，行驶记录为：，，，，，，，，，（规定向东的方向行驶为正，单位：千米） (1)收工时，工程车距检修站多远？ (2)收工后，检修小组乘工程车返回检修站，完成了一天的检修工作，若工程车每千米耗油是升，每升油价按元计算，求这一天工程车耗油多少元钱（结果精确到个位） 45．某超市购进10箱樱桃，若以每箱净重5千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，称重的记录如下（单位：千克）：、、、、、、、0、、 (1)求这10箱樱桃的总净重量是多少千克． (2)若每箱樱桃的进价为450元，超市原计划把这些樱桃全部以零售的形式出售，为保证超市仍然能获利，那么樱桃的售价应定为每千克多少元． (3)若第一天超市以（2）中的售价售出了的樱桃后，经超市进行商讨研究后，将剩余的樱桃每2千克一盒经过包装后再投入到超市销售，每盒售价为360元，包装成本费为每盒10元，人工费不计，最终全部售出，请计算该超市实际销售樱桃的总利润比原计划销售樱桃的总利润多多少元． 题型十六 拆项法 46．阅读下面的计算方法． 计算：． 解：原式 ． 上面这种解题方法叫做拆项法，试用拆项法计算：． 47．阅读下面的解题过程，并用解题过程中的解题方法解决问题． 计算：． 解：原式 ． 以上解题方法叫作“拆项法”． 请你利用“拆项法”计算下面式子的值： ． 48．阅读下面的解题过程，并用解题过程中的解题方法解决问题． 示例：计算： 解：原式= = == 以上解题方法叫做拆项法． 请你利用拆项法计算下面式子的值． 题型十七 有理数的圈次方 49．类比有理数的乘方，我们定义“除方”运算，比如：2÷2÷2可记作，记作，一般地把n个a相除记做，读作“a的圈n次方”． (1)直接写出计算结果：= ；= ． (2)我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么除方运算如何转化为乘方运算呢？方法如下： 除方乘方的形式 仿照以上例子，把除方运算写成乘方形式：=． (3)算一算： 50．【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等0）的除法运算叫作除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”， 记作，读作“的圈4次方”．一般地，把n个a相除记作，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果： _________， _________； （2）关于除方，下列说法错误的是（   ）； A．任何非零数的圈2次方都等于1 B．对于任何正整数n， C．， D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （3）试一试：仿照上面的算式，将下面运算结果直接写成幂的形式： _________； （4）想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式： _________； （5）算一算：． 51．规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如：，等，类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”，记作，读作：“的圈4次方”．一般地，把个相除记作，读作“的圈次方”． (1)直接写出计算结果：_______，______． (2)关于除方，下列说法错误的是______．（填序号） ①任何非零数的圈2次方都等于1 ②对于任何正整数，1的圈次方都等于1 ③ ④负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数 (3)算一算：． 题型十八 绝对值中的最值问题（难点） 52．认真阅读下面的材料，完成有关问题． 材料：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5、在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数、，那么A、B之间的距离可表示为． 问题1：点A、B、C在数轴上分别表示有理数：、、3，那么A到B的距离是_________，A到C的距离是_________．（直接填最后结果） 问题2：点A、B、C在数轴上分别表示有理数、、1，那么A到B的距离与A到C的距离之和可表示为_________（用含绝对值的式子表示）． 问题3：利用数轴探究： ①找出满足的的所有值是_________； ②设，当的值取在不小于且不大于3的范围时，的值是不变的，而且是的最小值，这个最小值是_________；当的值取在_________的范围时，的最小值是_________． 53．先阅读，结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： 【阅读】：表示与差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】： (1)数轴上表示和两点之间的距离是________；一般地、数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果表示数和的两点之间的距离是，那么的值为________． (2)若，，且数、在数轴上表示的点分别是点、点，则、两点间的最大距离是________，最小距离是________； (3)利用数轴找出所有符合条件的整数点，使得，这些点表示的数的和是________． (4)应用：小明妈妈要租房，使小明到学校与妈妈到上班地点距离和最小，若把租房地记作，妈妈上班地点记作，小明学校记作2，那么距离和的最小值是：________． (5)拓展：的最小值是：________． 54．认真阅读下面的材料，完成有关问题． 材料1：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5、在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可表示为． 问题（1）：点A、B、C在数轴上分别表示有理数x、、1，那么A到B的距离与A到C的距离之和可表示为 （用含绝对值的式子表示）． 问题（2）：利用数轴探究：①找出满足的x的所有值是 ，②设，当x的值取在不小于且不大于3的范围时，p的值是不变的，而且是p的最小值，这个最小值是 ；当x的值取在 的范围时，最小值是 ． 材料2：求的最小值． 分析： 根据问题（2）中的探究②可知，要使的值最小，x的值只要取到3之间（包括、3）的任意一个数，要使的值最小，x应取2，显然当时能同时满足要求，把代入原式计算即可． 问题（3）：利用材料2的方法求出的最小值． 题型十九 数轴动点求t（难点） 55．定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离的2倍，我们就称点C是【A，B】的美好点． 例如：如图1，点A表示的数为－1，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是【A，B】的美好点，但点D是【B，A】的美好点． 如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为，点N所表示的数为2 (1)点E，F，G表示的数分别是，6.5，11，其中是【M，N】的美好点的是______；写出【N，M】的美好点H所表示的数是______． (2)现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t为何值时，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点？ 56．如图，在直角三角形中，，，，．若点从点开始出发以的速度沿的方向移动，终点为，点从点开始出发以的速度沿的方向移动，终点为．如果点、同时出发，用表示移动时间． (1)分别求出点、到达终点所需的时间； (2)若点在线段上运动，点在线段上运动，则当为何值时，？ (3)当为何值时，三角形的面积等于三角形面积的？ 57．，两点在数轴上的位置如图所示，其中点对应的有理数为，且．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为秒（）． (1)直接写出当时，的长是______，此时点在数轴上对应的有理数是______； (2)请用含的代数式表示线段的长为______，此时数轴上点所对应的数表示为______； (3)在（）的条件下，点是线段的中点，点是线段的中点，求此时线段的长度． (4)为线段的中点，为线段的中点．在点从点出发沿数轴正方向运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变求出线段的长度． $专题01 有理数 题型1 最大、最小的数 题型11 二进制（难点） 题型2 科学记数法（常考点） 题型12 个位数字的规律问题 题型3 正反意义的量 题型13 有理数的混合运算（重点） 题型4 相反数、倒数、绝对值（常考点） 题型14 有理数的分类 题型5 数轴上有理数比较大小（常考点） 题型15 有理数的实际应用（重点） 题型6 绝对值的非负性（常考点） 题型16 拆项法 题型7 点在数轴上的平移（重点） 题型17 有理数的圈次方 题型8 绝对值分类讨论（重点） 题型18 绝对值中的最值问题（难点） 题型9 程序流程图 题型19 数轴动点求t（难点） 题型10新定义运算（常考点） 1 / 44 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 最大、最小的数 1．在，，，0这四个数中，最大的数是（　　） A． B．0 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数比较大小，正数大于负数，零大于一切负数，零小于一切正数；两个正数比较大小，绝对值大的数就大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小． 【详解】解：∵， ∴最大的为0， 故选B 2．在，，，四个数中，最小的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较，根据有理数大小比较的法则：正数都大于；负数都小于；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可，熟练掌握相关方法是解题关键． 【详解】解：∵， ∴四个数中，最小的数是， 故选：． 3．下列各数中，最小的数是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查绝对值和相反数，以及有理数大小的比较．根据绝对值的定义求出，根据相反数的定义求出，然后对四个数进行比较，即可得到最小的数． 【详解】，， ∴， 故选：D． 题型二 科学记数法（常考点） 4．年“五一”期间，海南省旅文厅在全岛推出场体育赛事活动，拉动相关消费约万元．数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用科学记数法表示绝对值较大的数，解题关键是掌握科学记数法的一般形式． 根据科学记数法的一般形式求解，科学记数法的一般形式为，为正整数，． 【详解】解：， 故选：B． 5．我国2024年5月发射的嫦娥六号探测器，标志着我国对月球背面的研究又进入一个新的阶段．已知月球到地球的平均距离约为384000千米，数据384000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为，其中，n为整数，可以用整数位数减1来确定；也可以看当把原数变成a时，小数点移动的位数．掌握科学记数法是解题的关键． 根据科学记数法的表示形式，其中，n为整数位数减1表示即可． 【详解】解：， 故选：C． 6．第七次人口普查结果显示我国2021年人口约为亿人，把数字用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解： 故答案为：． 题型三 正反意义的量 7．如果米表示向东走米，那么米表示的意义是 （    ） A．向西走60米 B．向东走60米 C．向南走60米 D．向北走60米 【答案】A 【分析】本题考查相反意义的量，读懂题意，理解正负数表示相反意义的量是解决问题的关键．由题中，用正数表示向东走，用负数表示向西走，结合正负数表示相反意义的量，即可得到米表示的意义． 【详解】解：米表示向东走米，那么米表示的意义是向西走60米， 故选：A． 8．云南某茶园采摘茶叶时，规定茶叶增产记为正，减产记为负．若今年春季茶叶产量比去年增产50千克记作“千克”，那么今年夏季茶叶产量比去年减产30千克应记作（　　） A．千克 B．千克 C．千克 D．千克 【答案】A 【分析】本题考查了正负数的意义，结合增产50千克记作“千克”，则减产30千克应记作“千克”，即可作答． 【详解】解：∵今年春季茶叶产量比去年增产50千克记作“千克” ∴今年夏季茶叶产量比去年减产30千克应记作“千克”， 故选：A． 9．小小饭后到楼下小区花园里散步，若表示向前走，则 表示向后走． 【答案】 【分析】此题考查的是正负数的实际应用，掌握正负数表示具有相反意义的量是解决此题的关键． 根据正负数的意义判断即可． 【详解】∵表示向前走， ∴表示向后走． 故答案为：． 题型四 相反数、倒数、绝对值（常考点） 10．的相反数是（　　） A． B．4 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数. 根据相反数的定义解答即可． 【详解】解：的相反数是． 故选：D． 11．若m表示的倒数，则m的值为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查倒数，根据积为1的两个数互为倒数进行求解即可． 【详解】解：由题意，； 故选D． 12．化简： ． 【答案】 【分析】此题考查了绝对值，根据负数的绝对值等于它的相反数进行解答即可． 【详解】解：， 故答案为： 题型五 数轴上有理数比较大小（常考点） 13．a，b是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，把a，，b，按照从小到大的顺序排列是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数，利用数轴表示有理数的大小，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先观察数轴得，故，即可作答． 【详解】解：由数轴得出， 则把a，，b，分别在数轴上表示出来： ∴， 故选：C． 14．实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，则 b．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了利用数轴比较大小，熟记数轴上右边的点表示的数总比左边的大是解题关键． 根据在数轴上，右边的点表示的数总比左边的大即可得到答案． 【详解】解：由数轴可知，， ∴ 故答案为：． 15．在数轴上表示下列各数，并按从小到大的顺序用“<”把这些数连接起来． 按从小到大的顺序连接： 【答案】数轴见解析， 【分析】本题主要考查了利用数轴比较有理数的大小，关键是掌握当数轴方向向右时，右边的数总比左边的数大．把各个数在数轴上画出表示出来，根据数轴上的数右边的数总是大于左边的数，即可把各个数按由小到大的顺序“”连接起来． 【详解】解：将各数表示在数轴上如下： 按从小到大的顺序连接：． 题型六 绝对值的非负性（常考点） 16．若，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了非负数数的性质，代数式求值，熟练掌握几个非负数的和为0，那么每个非负数都为0是解题的关键．先根据非负数的性质求出a、b的值，继而代入进行计算即可． 【详解】∵ ∴， ∴， ∴． 故选：A． 17．已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的非负性、代数式求值． 根据绝对值的非负性求出的值，再代入计算即可． 【详解】解：， ，， ，， ． 故答案为：． 18．已知，求式子的值． 【答案】9 【分析】本题考查了绝对值的非负性，表示一个数的点到原点的距离叫做这个数的绝对值，一个正数的绝对值等于它本身，零的绝对值还是零，一个负数的绝对值等于它的相反数． 先根据绝对值的非负性求出的值，然后把求得的的值代入计算即可． 【详解】解：，，，． ，，． ，，． ，，， ． 题型七 点在数轴上的平移（重点） 19．数轴上一点表示的有理数为，若将点向右平移个单位长度后再向左平移个单位长度，则此时点表示的有理数应为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴上点的平移，根据“左减右加”列式计算即可求解，掌握数轴上点的平移规律是解题的关键． 【详解】解：， ∴此时点表示的有理数应为， 故选：． 20．数轴上点M和点N表示的数分别为和2，把点M向右平移 个单位长度，可以使点M到点N的距离是3． 【答案】2或8 【分析】本题考查的是数轴，分向右平移后点M在点N的左边和右边两种情况进行讨论即可求解． 【详解】解：向右平移后点M在点N的左边， 点M向右平移个单位长度， 向右平移后点M在点N的右边， 点M向右平移个单位长度． 故答案为：2或8． 21．如图①，电脑显示屏上画出了一条不完整的数轴，并标出了表示的点．小明同学设计了一个电脑程序：点，分别从点同时出发，每按一次键盘，点向右平移2个单位长度，点向左平移1个单位长度．例如，第一次按键后，屏幕显示点的位置如图②． (1)第____________次按键后，点所在的位置正好是原点； (2)第6次按键后，点所在位置表示的数字与点所在位置表示的数字的差是多少？ 【答案】(1)3 (2)18 【分析】本题主要考查了数轴，数轴上两点间距离，根据题意列出点M、N表示的数是解题的关键． （1）设进行a次按键，由题意得，M点表示的数是，因为点M正好到达原点，所以，解得a的值，即得第几次按键后，点M正好到达原点； （2）第6次按键后，点M表示的数为，点N表示的数为，可得点M到达的点表示的数字比点N到达的点表示的数字大多少． 【详解】（1）解：∵每次点向右平移2个单位长度， 又∵， 第3次按键后，点M正好到达原点； （2）解：第6次按键后．点表示的数为，点表示的数为． ， ∴第6次按键后，点所在位置表示的数字与点所在位置表示的数字的差是18． 题型八 绝对值分类讨论（重点） 22．若，且m，n异号，则的值为（   ） A．7 B．3或 C．3 D．7或3 【答案】A 【分析】本题考查了求一个数的绝对值、有理数的减法，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键． 先化简绝对值可得，再根据异号可得或，然后代入计算即可得． 【详解】解：，， ，， 异号， 或， 或， 故的值为7， 故选：A． 23．已知，，且，则的值为 ． 【答案】或/或 【分析】本题考查了绝对值的性质，有理数的加法，熟记性质是解题的关键，难点在于确定的对应情况．根据绝对值的性质求出，然后判断出的对应情况，再根据有理数的加法运算法则进行计算即可得解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴，， 当，时，； 当，时，． 故答案为：或． 24．（1）若，求的值； （2）已知，，且，求的值． 【答案】（1）或； （2）或 【分析】此题考查了绝对值和有理数的加减，解题的关键是正确理解绝对值的意义，熟练掌握有理数的加减法法则． （1）利用绝对值定义求出的值，然后代入即可求值； （2）利用绝对值定义求出的值，然后根据，代入即可求值． 【详解】解：（1）∵， ∴， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴的值为或， （2）∵，， ∴， ∵， ∴当时，， 当时，， ∴的值为或． 题型九 程序流程图 25．[新视角 程序计算题]如图是一个简单的数值运算程序图，当输入x的值为时，输出的数值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了程序流程图与有理数计算，观察数值运算程序图，且结合输入x的值为，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵输入x的值为， ∴观察数值运算程序图，得， 故选：D 26．按照下列程序，如果输入的数是，则输出的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的乘法，绝对值． 根据有理数的乘法，按程序进行运算即可． 【详解】解：，， ，， ，， ，， ∴输出的数是． 故答案为：． 27．如图是一个“数值转换机”（箭头是指数进入转换机的路径，方框是对进入的数进行转换的转换机）． (1)当小明输入4，7这两个数时，则两次输出的结果依次为　　 ，　　 ； (2)你认为当输入数等于　　 时（写出一个即可），其输出结果为0； (3)你认为这个“数值转换机”不可能输出　　 数； (4)有一次，小明操作的时候，输出的结果是2，聪明的你判断一下，小明输入的正整数是　　 （用含自然数n的代数式表示）． 【答案】(1)1，2； (2)0（5、10、15…，5的倍数均可）； (3)负； (4)． 【分析】本题考查了数值转换，倒数、相反数、绝对值的意义等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）分别将4、7代入数值转换机，计算即可得到输出结果； （2）当输入数字为0得到结果为0； （3）数值转换机不可能输出负数； （4）根据数值转换机的规律表示出结果即可． 【详解】（1）解：若输入的数字为4时， ∵，则， ∵，则的相反数为1， ∵为正数，则倒数为1，输出结果为1， 若输入数字为7时， ∵，则， ∴相反数为， ∴的绝对值为2，输出结果为2， 故答案为：； （2）解：根据题意得：输入数字为（，5的倍数均可），结果为0， 故答案为：（，5的倍数均可）； （3）解：这个“数值转换机”不可能输出负数， 故答案为：负； （4）解：归纳总结得：小明输入的正整数是， 故答案为：． 题型十 新定义运算（常考点） 28．定义新运算：对任意有理数a，b，都有．例如．的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了有理数的减法运算，有理数的加法运算，原式利用题中的新定义计算即可得到结果． 【详解】解：根据题中的新定义得：， 故选：D． 29．定义新运算符号“⊕”如下：，例如：，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查了新运算法则和有理数运算，掌握新运算法则是解题的关键．根据新运算列出算式，然后根据有理数的加减法法则计算即可． 【详解】解：由得 ， 故答案为：6． 30．七年级的小梅同学在学习完有理数的运算后，对运算产生了浓厚的兴趣．她借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，规则如下：． (1)求的值． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解决本题的关键是准确熟练的进行计算. （1）按照定义的新运算进行计算，即可解答. （2）按照定义的新运算先算括号内的，再算括号外的. 【详解】（1）解： ． （2） ． 题型十一 二进制（难点） 31．二进制在计算机科学中有着广泛的应用．计算机内部的所有操作都是基于二进制完成的，包 括数据的存储、传输和处理．此外，二进制还用于数字电路设计、通信技术等领域，所以我们很有必要研究二进制．将十进制中数“65”转换为二进制数为（    ） A．1000001 B．1000011 C．1001111 D．1111111 【答案】A 【分析】本题考查有理数的运算，根据二进制转化为十进制的方法：除以2取余法，进行求解即可． 【详解】解： ， ∴65转换成二进制为； 故选A． 32．我们平常用的数是十进制数，如，表示十进制的数要用10个数码（又叫数字）：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9在电子数字计算机中用的是二进制，只要两个数码：0和1．如二进制中等于十进制的数5，等于十进制中的数23，那么二进制中的1011等于十进制的数 ． 【答案】11 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，弄清题中的转换方法是解本题的关键．根据题意得出二进制与十进制的转换方法，计算即可得到结果． 【详解】解：二进制数1011等于十进制的数为， 故答案为：11． 33．课本再现 国际数学教育大会是全球数学教育界水平最高、规模最大的学术盛会，每四年一届，于2021年在上海举办，这是国际数学教育大会第一次在中国举办．大会标识（图1）中蕴含着很多数学文化元素，以中国传统文化中“洛书”与“河图”为原本，并将其与我国古老的八卦进行了融合，体现了我国传统文化的博大精深．其中八卦符号（图2）可以用于记数，请探究这个符号所表示的数，互相交流各自的计算方法． 提示：八卦中称为阳爻，对应数字1，称为阴爻，对应数字0，这是二进制记数法．每卦均由三个阳爻或阴爻组成，如图2，从左起第一个符号表示的二进制数为． 观察发现 （1）从左起第四个符号表示的二进制数为___________． 拓展延伸 二进制数转换成十进制数的方法是：将二进制数的每一位数乘以2的相应次方（从右往左依次为，依此类推），后相加，例如：． （2）图2中的记数符号由四个二进制数组成，将它们依次转换为十进制数，得到一个四位数，求出这个四位数； 类比迁移 （3）仿照二进制的说明与算法，将八进制数：转换成十进制数，请求出结果． 【答案】（1）；（2）3745；（3）1045 【分析】本题主要考查了二进制数与十进制数的转换，八进制与十进制数的转换： （1）根据题意即可得到答案； （2）根据二进制数与十进制数的转换方法分别求出图2中四个二进制数转换成十进制数的结果即可得到答案； （3）仿照二进制数与十进制数的转换方法将八进制数各位上的数字乘以8的相应次方再求和即可得到答案． 【详解】解：（1）由题意得，从左起第四个符号表示的二进制数为； 故答案为：； （2）图2对应的二进制数从左往右依次为，，，， ∵， ， ， ， ∴这个四位数是3745； （3）． 题型十二 个位数字的规律问题 34．已知，，，，，，那么的个位上的数字是（   ） A．6 B．4 C．2 D．0 【答案】A 【分析】本题考查有理数乘方，解题的关键是根据已知条件，找出规律； 根据已知得出2的n次幂的个位数字以2，4，8，6四个数字循环，据此求解即可． 【详解】解：∵，，，，，， ∴2的整数次幂的个位数字是2，4，6，8，每4个数字为一个循环组依次循环， ∵， ∴的个位数字是， 故选：A． 35．观察下列等式：；；；；；；；；…；根据你所发现的规律，判断的个位数字应该是 ． 【答案】2 【分析】本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．解决本题的关键是找到2为底的幂的个位数字的循环规律．由题意可以看出，以2为底的幂的个位数字是2，4，8，6…，依次循环的．再结合即可求得答案． 【详解】通过观察发现的个位数字是2、4、8、6四个数字依次不断循环， 因为， 所以的个位数字是2， 故答案为：2． 36．，，，． 观察上面的算式我们可以发现两位数乘11的速算方法：头尾一拉，中间相加，满十进一．请根据上面的速算方法，回答下列问题． (1)①_________；②_________；③_________； (2)已知一个两位数，十位上的数字是，个位上的数字是，将这个两位数乘11．请证明速算方法的正确性． 【答案】(1)①591；②957；③ (2)证明见解析 【分析】此题考查了理解速算的计算，整式的混合运算，正确理解题意中的速算方法并应用解决问题是解题的关键． （1）根据速算方法解答即可； （2）①根据速算方法解答即可；②将①的结果加减计算，与速算方法的结果对边即可． 【详解】（1）解：①，头尾一拉为5和4，中间相加为， 所以，， 故答案为：591； ②，头尾一拉为8和7，中间相加为，满十进一， 所以，， 故答案为：957； ③，头尾一拉为9和5，中间相加为，满十进一， 所以，， 故答案为：； （2）解：的结果上百位数字位a，十位数字为，个位数字为b，这个三位数可表示为， 一个两位数，十位上的数字是，个位上的数字是，将这个两位数乘11， ， ， ， ∴该速算方法是正确的． 题型十三 有理数的混合运算（重点） 37．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据有理数加减运算法则计算即可； （2）先计算乘方，再计算括号内的，然后计算乘法和加法即可； （3）先判定正负，再把除法化成乘法，然后计算乘法即可； （4）先利用乘法分配律运算，然后进行加减运算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 38．计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则并正确求解是解答的关键． （1）先将除法转化为乘法，然后利用乘法分配律求解即可； （2）根据先乘方、再乘除，最后加减，有括号的先算括号内的运算顺序求解即可； （3）先化简绝对值以及多重符号，再计算乘除，最后计算加减，即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 39．计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，含乘方的有理数混合运算，有理数的乘法分配律，解题的关键在于正确掌握相关运算法则． （1）根据有理数的加减混合运算法则计算即可； （2）根据含乘方的有理数混合运算法则计算求解，即可解题； （3）根据含乘方的有理数混合运算法则计算求解，即可解题； （4）根据有理数的乘法分配律计算求解，即可解题． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型十四 有理数的分类 40．把下列各数填入相应的集合里： ，，0，，，，，，． (1)非负整数集合：{ …}； (2)正有理数集合：{ …}； (3)整数集合：{ …}． 【答案】(1)0， (2)，，， (3)，，0， 【分析】本题主要考查了有理数的分类，掌握有理数的相关定义是解题的关键． 根据非负整数、正有理数、整数的定义进行判断即可解答． 【详解】（1）解：非负整数集合：0，． 故答案为：0，． （2）解：正有理数集合：，，． 故答案为：，，． （3）解：整数集合：，，0，． 故答案为：，，0，． 41．把下面的有理数填在相应的大括号里： 15，，0，，，，，． 正数集合：{                         …}； 负数集合：{                         …}； 整数集合：{                         …}． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了有理数的分类，解题的关键是熟练掌握正数，负数，整数的定义． 根据正数，负数，整数的定义求解即可． 【详解】解：正数集合：{15，，， …}； 负数集合：{，，，， …}； 整数集合：{15，0，，， …}． 42．把下列各数填在相应的集合中： ，6，，0，，，，，，，，，2018，． 正整数集：{                  …}； 正数集：{                    …}； 负分数集：{                  …}； 非负整数集{                  …}； 分数集：{                    …}． 【答案】见解析 【分析】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类方式是解答本题的关键． 根据有理数的分类作答即可． 【详解】解：正整数集：{6，，2018，…}； 正数集：{6，，，，，2018，…}； 负分数集：{，，，，，…}； 非负整数集{6，0，，2018，…}； 分数集：{，，，，，，，，…}． 题型十五 有理数的实际应用（重点） 43．在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B地．约定向东为正方向，向西为负方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米)： ，，，，，，，． (1)请通过计算确定B地位于A地的什么方向？距离A地多少千米？ (2)若冲锋舟的油箱容量为26升，每千米耗油0.5升，求冲锋舟当天救灾过程中，至少还需补充多少升油，才能保证顺利完成任务到达B地？ 【答案】(1)B地位于A地的东边，距离A地21千米 (2)至少还需补充11.5升油，才能保证顺利完成任务到达B地 【分析】本题考查了正数和负数以及有理数的混合运算，正确列出算式并掌握相关运算法则是解答本题的关键． （1）根据有理数的加法，可得和，再根据向东为正，和的符号，可判定方向； （2）根据行车就耗油，可得耗油量，再根据耗油量与已有的油量，，从而可得补充油量． 【详解】（1）解： 千米)； ∴B地位于A地的东边，距离A地千米； （2） 升)； ∴至少还需补充11.5升油，才能保证顺利完成任务到达B地． 44．一天，检修小组乘工程车从检修站出发，沿东西方向的公路检修线路，从检修站出发到收工时，行驶记录为：，，，，，，，，，（规定向东的方向行驶为正，单位：千米） (1)收工时，工程车距检修站多远？ (2)收工后，检修小组乘工程车返回检修站，完成了一天的检修工作，若工程车每千米耗油是升，每升油价按元计算，求这一天工程车耗油多少元钱（结果精确到个位） 【答案】(1)收工时，工程车距检修站千米 (2)这一天工程车耗油元 【分析】本题考查了有理数加法在生活中的应用，有理数乘法的实际应用，正负数的实际应用，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）只需求得所有数据的和； （2）求得所有数的绝对值的和再加上返回的路程，即为所走的总路程，再根据每千米汽车耗油升，每升油价按元计算总费用． 【详解】（1）解：(千米)， 答：收工时，工程车距检修站千米； （2）(千米)， (元)． 答：这一天工程车耗油元． 45．某超市购进10箱樱桃，若以每箱净重5千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，称重的记录如下（单位：千克）：、、、、、、、0、、 (1)求这10箱樱桃的总净重量是多少千克． (2)若每箱樱桃的进价为450元，超市原计划把这些樱桃全部以零售的形式出售，为保证超市仍然能获利，那么樱桃的售价应定为每千克多少元． (3)若第一天超市以（2）中的售价售出了的樱桃后，经超市进行商讨研究后，将剩余的樱桃每2千克一盒经过包装后再投入到超市销售，每盒售价为360元，包装成本费为每盒10元，人工费不计，最终全部售出，请计算该超市实际销售樱桃的总利润比原计划销售樱桃的总利润多多少元． 【答案】(1)这10箱樱桃的总净重量是48千克． (2)樱桃的售价应定为每千克150元． (3)该超市实际销售樱桃的总利润比原计划销售樱桃的总利润多900元． 【分析】本题考查正负数的实际应用以及有理数四则混合运算的实际应用，读懂题意，理解利润、单价、成本之间的关系是解题的关键． （1）求出称重记录的数据之和，再与标准重量相加，即为总净重量； （2）按照获利的标准求出销售额，除以数量，即为单价； （3）求出超市实际销售樱桃的总销售额和原计划销售樱桃的总销售额，再进行计算即可． 【详解】（1）解：（千克） （千克）， 答：这10箱樱桃的总净重量是48千克． （2）解：根据题意，销售额应为：（元）， 每千克售价：（元）． 答：樱桃的售价应定为每千克150元． （3）解：包装前销售额：（元）， 包装后销售额：（元）， 买入成本：（元） 包装成本：（元）， 实际总利润与原计划总利润之差：（元）． 答：该超市实际销售樱桃的总利润比原计划销售樱桃的总利润多900元． 题型十六 拆项法 46．阅读下面的计算方法． 计算：． 解：原式 ． 上面这种解题方法叫做拆项法，试用拆项法计算：． 【答案】 【分析】本题考查有理数的加法，掌握算理是解决问题的关键．利用拆项法把每个数拆成整数部分和小数部分，分别相加进行简便运算即可． 【详解】解：原式， ， ． 47．阅读下面的解题过程，并用解题过程中的解题方法解决问题． 计算：． 解：原式 ． 以上解题方法叫作“拆项法”． 请你利用“拆项法”计算下面式子的值： ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，正确理解题干提供的计算方法是解答本题的关键． 根据题意，将带分数拆成成整数部分和分数部分的和，然后整数部分相加减，分数部分相加减，分别计算即可． 【详解】解：原式 ． 48．阅读下面的解题过程，并用解题过程中的解题方法解决问题． 示例：计算： 解：原式= = == 以上解题方法叫做拆项法． 请你利用拆项法计算下面式子的值． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，利用题目提供的方法计算即可，正确理解题干提供的计算方法是解题的关键． 【详解】解： ． 题型十七 有理数的圈次方 49．类比有理数的乘方，我们定义“除方”运算，比如：2÷2÷2可记作，记作，一般地把n个a相除记做，读作“a的圈n次方”． (1)直接写出计算结果：= ；= ． (2)我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么除方运算如何转化为乘方运算呢？方法如下： 除方乘方的形式 仿照以上例子，把除方运算写成乘方形式：=． (3)算一算： 【答案】(1)；． (2)； (3)． 【分析】（1）直接根据“除方”运算的定义，即个相除记作，计算与的值． （2）仿照所给例子，将除方运算转化为乘方形式，关键在于明确除方运算转化为乘法运算的规律． （3）先根据（2）中得出的规律将除方运算转化为乘方形式，再按照有理数的混合运算法则进行计算． 本题主要考查了新定义运算以及有理数的混合运算．熟练掌握有理数的混合运算法则，以及根据新定义运算的规则将除方运算转化为常见的乘方和乘法运算形式是解题的关键． 【详解】（1）解：，， 故答案为；． （2）解： ， 故答案为：； （3）解： ． 50．【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等0）的除法运算叫作除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”， 记作，读作“的圈4次方”．一般地，把n个a相除记作，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果： _________， _________； （2）关于除方，下列说法错误的是（   ）； A．任何非零数的圈2次方都等于1 B．对于任何正整数n， C．， D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （3）试一试：仿照上面的算式，将下面运算结果直接写成幂的形式： _________； （4）想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式： _________； （5）算一算：． 【答案】（1）4；；（2）B；（3）；（4）；（5） 【分析】（1）根据新定义解答即可； （2）根据新定义解答即可； （3）根据新定义把有理数的除方运算转化为乘方运算计算即可； （4）根据新定义把有理数的除方运算转化为乘方运算计算即可； （5）先根据新定义把有理数的除方运算转化为乘方，再计算即可． 【详解】解：（1）， ； 故答案为：4； （2）A． 任何非零数的圈2次方就是两个相同数相除，所以都等于1，所以选项A正确； B． 因为奇数个相除都是，偶数个相除都是1，所以 ，所以选项B错误； C．，所以选项C正确； D． 负数的圈奇数次方，相当于奇数个负数相除，则结果是负数，负数的圈偶数次方，相当于偶数个负数相除，则结果是正数．所以选项D正确； 故选：B （3） ； 故答案为： （4）； 故答案为： （5） 【点睛】考查了有理数的混合运算，也是一个新定义的理解与运用；一方面考查了有理数的乘除法及乘方运算，另一方面也考查了学生的阅读理解能力；注意：负数的奇数次方为负数，负数的偶数次方为正数，同时也要注意分数的乘方要加括号，对新定义，就是多个数的除法运算，要注意运算顺序． 51．规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如：，等，类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”，记作，读作：“的圈4次方”．一般地，把个相除记作，读作“的圈次方”． (1)直接写出计算结果：_______，______． (2)关于除方，下列说法错误的是______．（填序号） ①任何非零数的圈2次方都等于1 ②对于任何正整数，1的圈次方都等于1 ③ ④负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数 (3)算一算：． 【答案】(1)，； (2)③ (3)． 【分析】（1）利用定义及有理数的除法法则计算即可； （2）利用定义及有理数的除法法则计算逐项分析即可； （3）利用定义及有理数的除法法则计算逐项分析即可． 本题考查的是乘方、有理数的混合运算，解题的关键是根据新定义的计算公式逐步计算． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：，． （2）解：①．任何非零数的圈2次方表示的是两个相同非零数的商，结果都等于1，正确，不符合题意； ②．对于任何正整数n，1的圈n次方表示的是n个1相除，都等于1，正确，不符合题意； ③． ， ， 故，错误，符合题意； D．负数的圈奇数次方表示奇数个负数相除，结果是负数，负数的圈偶数次方表示偶数个负数相除，结果是正数，正确，不符合题意； 故答案为：③． （3） ． 题型十八 绝对值中的最值问题（难点） 52．认真阅读下面的材料，完成有关问题． 材料：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5、在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数、，那么A、B之间的距离可表示为． 问题1：点A、B、C在数轴上分别表示有理数：、、3，那么A到B的距离是_________，A到C的距离是_________．（直接填最后结果） 问题2：点A、B、C在数轴上分别表示有理数、、1，那么A到B的距离与A到C的距离之和可表示为_________（用含绝对值的式子表示）． 问题3：利用数轴探究： ①找出满足的的所有值是_________； ②设，当的值取在不小于且不大于3的范围时，的值是不变的，而且是的最小值，这个最小值是_________；当的值取在_________的范围时，的最小值是_________． 【答案】问题1：4，8；问题2：；问题3：①4，；②4；；2． 【分析】问题1：根据材料直接计算即可； 问题2：根据材料表示出来并化简即可； 问题3：①分三种情况讨论：x在之间（包含端点），x在3的右侧，x在左侧；②根据x的范围去掉绝对值符号即可得到最小值． 本题考查了绝对值的几何意义及数轴上两点间的距离，熟练掌握绝对值的几何意义是解题关键． 【详解】解：问题1：A到B的距离是，A到C的距离是， 故答案为：4，8； 问题2：A到B的距离与A到C的距离之和可表示为， 故答案为：； 问题3：①设点A、B、C在数轴上分别表示数、、， 则表示A到B的距离与A到C的距离之和为6， 结合数轴可知，当A在B、C之间（包含B、C）时，不符合题意， 当A在B右侧时，，解得； 当A在C左侧时，，解得； 故答案为：4，； ②对于， 当的值取在不小于且不大于3的范围时， ； 对于， 当的值取在不小于且不大于2的范围时，的值保持不变，且为其最小值， 这个最小值为； 故答案为：4；；2． 53．先阅读，结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： 【阅读】：表示与差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】： (1)数轴上表示和两点之间的距离是________；一般地、数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果表示数和的两点之间的距离是，那么的值为________． (2)若，，且数、在数轴上表示的点分别是点、点，则、两点间的最大距离是________，最小距离是________； (3)利用数轴找出所有符合条件的整数点，使得，这些点表示的数的和是________． (4)应用：小明妈妈要租房，使小明到学校与妈妈到上班地点距离和最小，若把租房地记作，妈妈上班地点记作，小明学校记作2，那么距离和的最小值是：________． (5)拓展：的最小值是：________． 【答案】(1)，或； (2)，； (3)； (4)； (5)． 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离、绝对值．解决本题的关键在于根据数轴上点的位置去掉绝对值符号，解题过程中要注意分类讨论． （1）根据数轴上两点之间的距离公式求出表示和两点之间的距离；根据数轴上两点之间的距离公式列出关于的方程，解方程求出； （2）首先根据绝对值的性质分别求出、的值，再根据数轴上两点之间的距离公式分情况求出点、点之间的距离，通过比较找出最大距离和最小距离； （3）根据数轴上两点之间的距离，可知当时，，找到之间的所有整数并求和即可； （4）分情况求出的取值范围，根据取值范围确定的最小值； （5）由（4）可知，当时，有最小值，根据规律去掉绝对值符号求合即可． 【详解】（1）解：数轴上表示和两点之间的距离是； 表示数和的两点之间的距离是， ， 整理得：， 解得：或； 故答案为：；或； （2）解：， ， 解得：或， ， ， 解得：或， 当，时，， 当，时，， 当，时，， 当，时，， 、两点间的最大距离是，最小距离是； （3）解：如下图所示， ， 表示数轴上表示的点到表示数的点之间的距离， 表示数轴上表示的点到表示数的点之间的距离， 表示到点和的距离之和等于的点， 从数轴上可知，表示数的点在数轴上表示数和之间， 这些点表示的数有、、、、、、、， 这些点表示的数的和是， 故答案为：； （4）解：当时， ， ， ， ； 当时， ， 当时， ， ， ， ， 距离和的最小值是：； （5）解：由可知当时，有最小值， ， 故答案为：． 54．认真阅读下面的材料，完成有关问题． 材料1：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5、在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可表示为． 问题（1）：点A、B、C在数轴上分别表示有理数x、、1，那么A到B的距离与A到C的距离之和可表示为 （用含绝对值的式子表示）． 问题（2）：利用数轴探究：①找出满足的x的所有值是 ，②设，当x的值取在不小于且不大于3的范围时，p的值是不变的，而且是p的最小值，这个最小值是 ；当x的值取在 的范围时，最小值是 ． 材料2：求的最小值． 分析： 根据问题（2）中的探究②可知，要使的值最小，x的值只要取到3之间（包括、3）的任意一个数，要使的值最小，x应取2，显然当时能同时满足要求，把代入原式计算即可． 问题（3）：利用材料2的方法求出的最小值． 【答案】（1）；（2）①、4；②4；不小于0且不大于2，2；（3）6 【分析】本题考查绝对值的几何意义，数轴上两点之间的距离，绝对值化简，读懂题目信息，理解绝对值的几何意义是解题的关键． （1）根据题意表示出式子即可； （2）①根据题意得到，再由数轴观察求解，即可解题； ②根据当x的值取在不小于且不大于3的范围时，结合绝对值性质化简求解，即可得到p的最小值，同理即可得到x的值取值范围，以及最小值； （3）根据材料2的方法，类比求解，即可解题． 【详解】解：（1）根据题意可知A到B的距离与A到C的距离之和可表示为， 故答案为：； （2）①， 由数轴观察可知，满足的x的所有值是、4； 故答案为：、4． ②当x的值取在不小于且不大于3的范围时， 即， 整理得， 所以这个最小值是； 同理，当时 ， 即最小值是； 故答案为：4；不小于0且不大于2；2； （3） 根据问题（2）中的探究②可知，要使的值最小，x的值只要取到3之间（包括、3）的任意一个数，且最小值是；要使的值最小，x的值只要取到2之间（包括、2）的任意一个数，且最小值是；显然x的值只要取到2之间（包括、2）的任意一个数能同时满足要求，且的最小值为． 题型十九 数轴动点求t（难点） 55．定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离的2倍，我们就称点C是【A，B】的美好点． 例如：如图1，点A表示的数为－1，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是【A，B】的美好点，但点D是【B，A】的美好点． 如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为，点N所表示的数为2 (1)点E，F，G表示的数分别是，6.5，11，其中是【M，N】的美好点的是______；写出【N，M】的美好点H所表示的数是______． (2)现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t为何值时，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点？ 【答案】(1)G，或 (2)，，3，，9， 【分析】本题考查数轴上的动点问题、数轴上两点之间的距离、点是【M，N】的美好点的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据美好点的定义，结合图，直观考察点，，到点，的距离，只有点符合条件．结合图，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点的距离是到点的距离倍的点，在点的移动过程中注意到两个点的距离的变化． （2）根据美好点的定义，，和中恰有一个点为其余两点的美好点分种情况，须区分各种情况分别确定点的位置，进而可确定的值． 【详解】（1）解：根据美好点的定义，，，，，，，，只有点G符合条件， 故答案是：． 结合图，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点的距离是到点的距离倍的点， 点N的右侧不存在满足条件的点， 点M和之间靠近点一侧应该有满足条件的点，由，则到的距离为，进而可以确定符合条件． 点的左侧距离点M的距离等于点和点的距离的点符合条件，进而可得符合条件的点是． 故答案为：或； （2）解：根据美好点的定义，，和中恰有一个点为其余两点的美好点分种情况， 第一种情况：当为【，】的美好点，点在，之间，如图， 当时，，点P对应的数为， 因此秒； 第二种情况，当为【，】的美好点，点在，之间，如图2， 当时，，点对应的数为， 因此秒； 第三种情况，为【N，M】的美好点，点在左侧，如图3， 当时，，点对应的数为， 因此秒； 第四种情况，M为【P，N】的美好点，点在左侧，如图4， 当时，，点对应的数为， 因此秒； 第五种情况，M为【N，P】的美好点，点在左侧，如图5， 当时，，点对应的数为， 因此秒； 第六种情况，M为【N，P】的美好点，点在，中间，如图， 当时，， 因此秒； 第七种情况，为【，】的美好点，点在左侧， 当时，， 因此秒， 第八种情况，N为【M，P】的美好点，点在右侧， 当时，， 因此秒， 综上所述，的值为：，，3，，9，． 56．如图，在直角三角形中，，，，．若点从点开始出发以的速度沿的方向移动，终点为，点从点开始出发以的速度沿的方向移动，终点为．如果点、同时出发，用表示移动时间． (1)分别求出点、到达终点所需的时间； (2)若点在线段上运动，点在线段上运动，则当为何值时，？ (3)当为何值时，三角形的面积等于三角形面积的？ 【答案】(1)点、到达终点所需的时间分别为、 (2) (3)或 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用： （1）利用路程除以时间进行求解即可； （2）分别表示出，列出方程进行求解即可； （3）分点在线段上运动和点在线段上运动，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：点到达终点所需的时间为． 点到达终点所需的时间为． 答：点、到达终点所需的时间分别为、． （2）当点在线段上运动，点在线段上运动时，，，则． 因为，所以，解得，所以当时，． （3）因为，，， 所以三角形的面积为． 可分以下两种情况讨论． 当点在线段上运动时，， 因为三角形的面积等于三角形面积的，所以，解得； 当点在线段上运动时，． 因为三角形的面积等于三角形面积的，所以，解得． 综上可知，当或时，三角形的面积等于三角形面积的． 57．，两点在数轴上的位置如图所示，其中点对应的有理数为，且．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为秒（）． (1)直接写出当时，的长是______，此时点在数轴上对应的有理数是______； (2)请用含的代数式表示线段的长为______，此时数轴上点所对应的数表示为______； (3)在（）的条件下，点是线段的中点，点是线段的中点，求此时线段的长度． (4)为线段的中点，为线段的中点．在点从点出发沿数轴正方向运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变求出线段的长度． 【答案】(1)，； (2)，； (3)； (4)点在运动过程中，线段的长度保持不变，为，理由见解析． 【分析】（）由题意得，再根据两点间的距离可得点表示的有理数为，得到答案； （）根据题意列出代数式即可； （）由（）得，则，然后利用线段中点和线段和差即可求解； （）分两种情况：当点P在点B的左侧时，当点P在点B的右侧时，分别求出即可． 【详解】（1）解：∵点表示的有理数为，从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴正方向运动， ∴时，，点表示的有理数为， 故答案为：，； （2）解：线段的长为，此时点在数轴上对应的有理数是， 故答案为：，； （3）解：由（）得， ∴， ∵点是线段的中点，点是线段的中点， ∴，， ∴； （4）解：点在运动过程中，线段的长度保持不变，为，理由， ∵点是线段的中点，点是线段的中点， ∴，， 当点在点的左侧时， ， 当点在点的右侧时，， 综上，点在运动过程中，线段的长度保持不变，为． 【点睛】本题考查了利用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，列代数式，线段中点和线段和差，熟练掌握以上知识点，采用分类讨论的思想是解题的关键． $