专题02 代数式（期中专项训练）七年级数学上学期新教材苏科版

专题02 代数式 题型1 代数式、单、多项式的定义 题型11 程序流程图（难点） 题型2 用字母表示数（常考点） 题型12 行、列排序问题 题型3 单、多项式的系、次、项数（常考点） 题型13 操作问题（难点） 题型4 同类项的指数对应相等求参（常考点） 题型14 规律问题——数字 题型5 整体代入求值（常考点） 题型15 规律问题——图形 题型6 不含某项、与某项无关（重点） 题型16 合并同类项与去括号化简（常考点） 题型7 绝对值在数轴中的化简（重点） 题型17 化简求值（常考点） 题型8 新定义运算（重点） 题型18 整体思想 题型9 阴影部分问题（难点） 题型19 代数式的新定义应用（难点） 题型10升、降幂排列 题型20 数轴动点求t（难点） 1 / 41 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 代数式、单、多项式的定义 1．下列各式中，不是代数式的是（   ） A． B．5 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了代数式的概念，准确理解代数式的概念是解题关键．根据代数式的概念：用运算符号（、、、、乘方）将数与表示数的字母连接起来的式子叫做代数式．单独一个数或者一个字母也称代数式．据此逐一进行判断即可得到答案． 【详解】解：A、，含有等号，不是代数式，符合题意； B、5是代数式，不符合题意； C、是代数式，不符合题意； D、是代数式，不符合题意． 故选：A． 2．下列各式中，属于单项式的是（　　） A．7 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了单项式：只含有数与字母的积的式子叫做单项式．单独的一个数或一个字母也是单项式．熟记单项式的定义是解题关键．根据单项式的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、7是单项式，则此项符合题意； B、分母中含有字母，不是单项式，则此项不符合题意； C、，不是单项式，则此项不符合题意； D、分母中含有字母，不是单项式，则此项不符合题意； 故选：A． 3．下列代数式中，是多项式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了多项式的识别，解题的关键是掌握多项式的定义． 根据多项式的定义逐项进行判断即可，即几个单项式的和叫作多项式． 【详解】解：A、该选项为单项式，不符合题意； B、该选项为单项式，不符合题意； C、 该选项为多项式，符合题意； D、该选项为单项式，不符合题意； 故选：C． 题型二 用字母表示数（常考点） 4．下列表示“a的与3的和”的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了用代数式表示，关键是根据和与倍数关系得出代数式． 根据a的用“乘法”连接，和用“加法”连接即可得出答案． 【详解】解：a的表示为， a的与3的和表示为， 故选：B． 5．用代数式表示“a与b两数的倒数和”，下列选项中正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】本题主要考查了列代数式，熟知先读的先写这一原则是解题的关键．根据先读的先写这一原则，写出代数式即可． 解：由题知， “a与b两数的倒数和”用代数式可表示为：． 故选：D． 6．船在静水中的速度为，水速为，船顺流航行的行程比逆流航行的行程多 ． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式，根据已知表示出船顺流航行的速度和逆流航行的速度，然后根据路程速度时间，可以得出船在顺水和逆水中航行的行程，然后用船顺流航行的行程减去逆流航行的行程，化简即可求出答案． 【详解】解：船在静水中的速度为，水速为， 船顺流航行的速度为，逆流航行的速度为， 船顺流航行的行程是，船逆流航行的行程是， 两个行程差为， 故答案为：． 题型三 单、多项式的系、次、项数（常考点） 7．下列说法正确的是（   ） A．是多项式 B．是四次单项式，系数是 C．是二次单项式 D．是代数式 【答案】D 【分析】本题考查了代数式，单项式，多项式，单项式的次数等知识点，熟练掌握各知识点是解题的关键． 根据代数式，单项式，多项式，单项式的次数的概念分别判断即可． 【详解】解：A、不是整式，故不是多项式，故本选项错误，不符合题意； B、是四次单项式，系数是，故本选项错误，不符合题意； C、是多项式，故本选项错误，不符合题意； D、是代数式，正确，符合题意； 故选：D． 8．下列说法正确的是（   ） A．的系数是 B．的系数为 C．的系数为5 D．的系数为1 【答案】B 【分析】此题主要考查了单项式的相关概念，关键是明确单项式的系数和次数的特点，正确识别系数和次数，根据单项式的概念，判断单项式的系数和次数即可． 【详解】解：A、的系数是，故不正确； B、的系数为，故正确； C、的系数为，故不正确； D、的系数为，故不正确． 故选：B． 9．若多项式是关于x的三次二项式，则 ， ． 【答案】 3 2 【分析】本题主要考查了多项式的次数和项，多项式的次数是多项式中最高次项的次数，多项式的项数为组成多项式的单项式的个数．根据多项式的性质进行解答即可． 【详解】解：∵多项式是关于x的三次二项式， ∴，， ∴，． 故答案为：3；2． 题型四 同类项的指数对应相等求参（常考点） 10．已知与是同类项，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查了同类项的定义，正确把握同类项的定义，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，是解题关键．利用同类项的定义得到，，得出，的值，即可得出答案． 【详解】解：∵和是同类项， ，， ∴，， 则． 故选：C． 11．若单项式与是同类项，则的值分别是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查由同类项定义求参数，熟记同类项定义是解决问题的关键．根据同类项定义可知，相同字母的指数相等，从而得到答案． 【详解】解：单项式与是同类项， ， 故选：D． 12．已知与是同类项，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了同类项的定义，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，据此求出m、n的值，再代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵单项式与是同类项， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 题型五 整体代入求值（常考点） 13．如果代数式的值等于5，那么代数式的值等于（   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了代数式求值，解题的关键是运用整体的思想． 先由题意可得，再将变形 ，然后代入求值即可． 【详解】解：∵代数式的值等于5， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 14．已知代数式的值是1，那么的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查已知式子的值，求代数式的值．根据是的2倍，整体代入即可求解． 【详解】解：∵， ∴． 故选：B 15．已知代数式的值为7，则的值为 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查了代数式的求值，掌握整体代入法是解题的关键． 根据已知条件将要求代数式变形，然后整体代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：10． 题型六 不含某项、与某项无关（重点） 16．如果关于x的多项式中不含项，则k的值为（　　） A．3 B． C．0 D．3或 【答案】B 【分析】本题考查合并同类项，掌握合并同类项的方法是解题的关键． 先将含项进行合并，再根据其系数为0进行解答即可． 【详解】解：依题意，， ∵关于x的多项式中不含项， ∴， 即． 故选：B． 17．多项式的值（   ） A．只与x的值有关 B．只与y的值有关 C．与x、y的值有关 D．与x、y的值无关 【答案】B 【分析】本题考查了整式加减中的无关型问题，熟练掌握整式加减的运算法则是解题的关键．根据整式的加减运算法则化简式子，再结合化简后式子的特征即可得出答案． 【详解】解： ， ∵的值只与y的值有关， ∴多项式的值只与y的值有关． 故选：B． 18．若多项式的值与x的取值无关，则 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式，将多项式化简，令x的系数为零即可求解． 【详解】解： ∵多项式的值与x无关，故x的系数应该为零，即， ∴． 故答案为：． 题型七 绝对值在数轴中的化简（重点） 19．有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，化简：的值为（　　） A．c B． C．0 D． 【答案】A 【分析】本题考查了数轴、化简绝对值，整式的加减运算等知识，根据数轴上的点所在的位置，准确判断各个代数式的符号是化简绝对值的关键．由有理数a、b、c在数轴上对应点的位置可知：，且，可得、、，进而化简得出结果． 【详解】解：由题意得：，， ∴、、， ∴ ． 故选：A 20．若有理数，，满足，，，则化简的结果为： A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式的加减，绝对值的意义，根据绝对值的意义，得出，进而根据得出，根据，得出或，分类讨论，进而化简，再根据整式的加减计算，即可求解． 【详解】解：∵ ， ∴． 若 ，则 ，解得 ． 但 ，且 ，若 ，则 ，符合 ． 若 ，则 ，解得 ． 此时 （因为若 ，则 ，矛盾 )，所以 ． 因此， 的可能值为 或 ． ∵： ∴ ，即 ． 由于 ，有 ． 情况一： 此时：（因为 ）． ． （因为 ）． ∴ 由于 ，有 ，所以： 情况二： 此时：（因为 ）． ．由于 ，有 ，所以 ． （因为 ）． ∴ 两种情况下，化简结果均为 故选：C． 21．有理数a，b，c在数轴上的位置如图，化简 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了化简绝对值，整式的加减计算，根据数轴上点的位置判断式子符号，先推出，据此去绝对值，然后根据整式的加减计算法则化简即可． 【详解】解：由数轴上点的位置可知， ∴， ∴ 故答案为：． 题型八 新定义运算（重点） 22．学习情境·新定义a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数．如：2的差倒数是的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，以此类推，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了数字变化规律，代数式求值， 分别求出，进而得出数字变化规律，再根据规律得出答案即可． 【详解】因为， 所以，，， 可知三个数一个循环，， 所以． 故选：A． 23．定义一种对正整数的“”运算：①当为奇数时，；②当为偶数时，（其中是使为奇数的正整数）……，两种运算交替重复进行，例如，取，则： 若，则第2023次“”运算的结果是（   ） A．1 B．4 C．2023 D．42023 【答案】B 【分析】计算出时第一、二、三、四、五、六次运算的结果，找出规律：当次数为偶数时，结果是1；次数是奇数时，结果是4，再进行解答即可， 本题考查数字类规律，解题的关键是掌握数字规律类的题计算方法． 【详解】解：当时， 第一次“F”运算为： ， 第二次“F”运算为：， 第三次“F”运算为：， 第四次“F”运算为：， 第五次“F”运算为：， 第六次“F”运算为：， 可以看出，从第四次开始，结果就只是1，4两个数轮流出现，且当次数为偶数时，结果是1；次数是奇数时，结果是4，而2023次是奇数，因此最后结果是4． 故答案为：B． 24．定义：使得成立的一对数m、n称为“友伴数对”，记为，若是“友伴数对”，则代数式的值为 ． 【答案】0 【分析】本题考查代数式求值，理解题意是解题的关键．根据题意即可求得答案． 【详解】解：∵是“友伴数对”， ∴， ∴． 故答案为：0． 题型九 阴影部分问题（难点） 25．在矩形内将两种边长分别为a和b（）的正方形纸片按图1和图2两种方式放置，矩形中未被这三张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图2中阴影部分的周长与图1中阴影部分的周长的差为l，若要知道l的值，只要测量图中哪条线段的长（    ） A． B．a C． D．b 【答案】C 【分析】本题考查了列代数式，整式的加减，周长的定义，关键是得到图2中阴影部分的周长与图1中阴影部分的周长，根据平移的知识和周长的定义，列出算式，再去括号，合并同类项即可求解． 【详解】解：图1中阴影部分的周长， 图2中阴影部分的周长， 则． 故若要知道l的值，只要测量图中线段的长． 故选：C． 26．如图，在一个长方形中放入三个大小一样的小长方形，小长方形的长为a，宽为b，则左下角阴影部分的周长与右上角阴影部分的周长差为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查列代数式，整式加减的应用，设大长方形的长为，宽为，分别表示出两个阴影部分的周长，作差即可得出结果． 【详解】解：设大长方形的长为，宽为，由图可知： 左下角阴影部分的周长为：， 右上角阴影部分的周长为：， 故左下角阴影部分的周长与右上角阴影部分的周长差为； 故选B． 27．如图，把六张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①不重叠的放在一个底面为长方形（长为，宽为）的盒子底部（如图②，盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图②中两块阴影部分的周长和是 ． 【答案】32 【分析】本题考查整式的加减，解答本题的关键是明确题意，表示出阴影部分的长和宽．根据题意，可以先设小长方形卡片的长为，宽为，然后即可表示出两个阴影部分的周长，再去括号，合并同类项即可． 【详解】解：设小长方形卡片的长为，宽为， 图②中两块阴影部分的周长和是： ， 故答案为：32． 题型十 升、降幂排列 28．把多项式按的升幂排列是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了多项式，熟练掌握多项式的升幂排列是解题的关键．按某一个字母的升幂排列是指按此字母的指数从小到大依次排列，常数项应放在最前面． 【详解】解：多项式按字母a升幂排列为． 故选：B． 29．代数式是（   ） A．按x降幂排列 B．按x升幂排列 C．按y降幂排列 D．按y升幂排列 【答案】A 【分析】本题考查整式的知识，解题的关键是掌握多项式降幂，升幂排序的定义．根据降幂排序和升幂排列的定义，依据不同的字母进行排列． 【详解】解：按某一个字母的升幂排列是指按此字母的指数从小到大依次排列，降幂则相反，常数项应该放在最前面， ∵多项式中，x的指数为：3、2、1、0，y的指数为：1、2、0、3， ∴按x降幂排列， 故选：A． 30．将按字母的降幂排列： ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的排列，解题的关键是识别每项中字母a的指数，并注意符号的正确性．按照字a的指数从大到小排列即可，排列时需保持原式中各项的符号不变． 【详解】解：原式， 故答案为：． 题型十一 程序流程图（难点） 31．按下面的程序计算：                                        当输入时，输出结果是299；当输入时，输出结果是446；如果输入的值是正整数，输出结果是257，那么满足条件的的值最多有（      ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据程序计算解答即可． 本题考查了程序式计算，熟练掌握程序式计算是解题的关键． 【详解】解：第一次直接输出结果时，则有， 解得， 第二次才能输出结果时，输入x，计算结果，小于251，作为新值再次输入，此时输出结果为257，故， 解得； 第三次才能输出结果时，输入x，计算结果，小于251，作为新值再次输入，此时新值为，继续输入，此时输出结果为257， 故， 解得； 第四次才能输出结果时，输入x，计算结果，小于251，作为新值再次输入，此时新值为，继续输入，还小于251，此时新值为， 继续输入，此时输出结果为257， 故， 解得；不符合题意，舍去， 故选：C． 32．如图所示的运算程序中，若开始输入的值为48，我们发现第1次输出的结果为24，第2次输出的结果为12，……第2023次输出的结果为（　　） A．3 B．6 C．4 D．2 【答案】D 【分析】本题考查数字的变化类、有理数运算，解答本题的关键是明确题意，根据题意和题目中的运算程序，可以写出前几次的输出结果，从而可以发现输出结果的变化规律，进而可以求得第2023次输出的结果． 【详解】解：由题意可得， 第一次输出的结果为：24， 第二次输出的结果为：12， 第三次输出的结果为：6， 第四次输出的结果为：3， 第五次输出的结果为：8， 第六次输出的结果为：4， 第七次输出的结果为：2， 第八次输出的结果为：1， 第九次输出的结果为：6， 第十次输出的结果为：3， ， ， 第2023次输出的结果为2， 故选：D． 33．根据图中的程序，当输入数值为时，输出数值y为 ． 【答案】8 【分析】此题考查有理数与程序图计算，正确理解程序图的运算顺序及取值要求是解题的关键，根据输入的数值为，则代入中得到答案． 【详解】解：输入的数值为， ∴， 故答案为8．　　　　　　 题型十二 行、列排序问题 34．“杨辉三角”是中国古代数学重要的成就之一，最早出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．若将第行的数字之和记为，则的末位数字为（   ） 第一行……………………1 第二行…………………1   1 第三行………………1   2  1 第四行……………1  3    3  1 第五行…………1  4    6   4   1 A．2 B．4 C．8 D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及列代数式，能根据题意得出及从开始，以为底数的乘方运算结果的末位数字按循环是解题的关键． 根据题意，依次求出每行的数字之和，发现规律，再结合从开始，以为底数的乘方运算结果的末位数字按循环，即可解决问题． 【详解】解：由题意可知： 第行的数字之和为， 即； 第行的数字之和为， 即； 第行的数字之和为， 即； 第行的数字之和为， 即； ， 当时，． 又因为从开始，以为底数的乘方运算结果的末位数字按循环，且， 所以的末位数字为， 即的末位数字为． 故选：D． 35．如图，一个点表示一个数，不同位置的点表示不同的数，每行各点所表示的数自左向右从小到大，且相邻两个点所表示的数相差1，每行数的和等于右边相应的数字．那么，表示2022的点在第m行，从左向右第n个位置，则的值等于（　　） A．39 B．40 C．41 D．42 【答案】C 【分析】规律：第n行的最后一位为，第n行的数的个数为，于是可解． 【详解】解：第1行                 1                          1     第2行             2   3   4                      9     第3行           5  6  7  8  9                    35     第4行     10  11  12  13  14  15  16            91     第5行 17  18  19  20  21  22  23  24  25       189            … ∴第n行的最后一位为，第n行的数的个数为， ∵第44行的末位数为1936，第45行的末位数为2025， ∴2022在第45行，第45行共有个数， ∵， ∴2022在第45行86个位置， ∴， ∴． 故选：C． 36．将自然数按以下数表排列： 第一列 第二列 第三列 第四列 第五列 … 第一行 第二行 … 第三行 … 第四行 … 第五行 … … … 数表中数在第二行第一列，与有序数对对应，数与对应，数与对应，根据这一规律，数对应的有序数对为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数字的变化规律，解题的关键根据表格得出数字的变化规律．由已知可得：第一列的奇数行的数的规律是：第几行就是几的平方；第一行的偶数列的规律是：第几列就是几的平方；根据，可得数在行，第列，结合，即可求解． 【详解】解：由已知可得：第一列的奇数行的数的规律是：第几行就是几的平方； 第一行的偶数列的规律是：第几列就是几的平方； ， 数在行，第列， ， 在第行，第列， 故数对应的有序数对为， 故答案为：． 题型十三 操作问题（难点） 37．对于多项式：，，，，我们用任意两个多项式求差后所得的结果，再与剩余两个多项式的差作差，并算出结果，称之为“全差操作”．例如：， ．， 给出下列说法：存在“全差操作”，使其结果为；至少存在一种“全差操作”，使其结果为；所有的“全差操作”共有种不同的结果．以上说法中正确的是（       ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】A 【分析】本题考查了整式的加减；根据题意，写出所有情况，计算结果，即可． 【详解】令，，，，则有以下情况 第1种： 第2种： 第3种： 第4种： 第5种： 第6种： 由上可知，存在一个“全差操作”，使其结果为0；故①说法正确； 存在一种“全差操作”，使其结果为；故②说法正确； 所有的“全差操作”共有5种不同的结果；故③说法正确． 故选：A． 38．有依次排列的3个整式：，，，对任意相邻的两个整式，都用右边的整式减去左边的整式，所得之差写在这两个整式之间，可以产生一个新整式串：，，，，，则称它为整式串1；将整式串1按上述方式再做一次操作，可以得到整式串2；以此类推通过实际操作，得出以下结论： ①整式串2为：，，，，，，，，；②整式串3的和为；③整式串3的所有整式的和比整式串2的所有整式的和小2；④整式串2025的所有整式的和为；上述四个结论正确的有（　　）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了整式的加减的应用、整式的加减的规律探索，根据题意求出第一次操作后的整式串的和、第二次操作后的整式串的和以及第三次操作后的整式串的和，从而得出规律第次操作后所有整式的和为，逐项分析即可得解． 【详解】解：∵第一次操作后的整式串为：，，，，， ∴第一次操作后的整式串的和为：， 第二次操作后的整式串为：，，，，，，，，，故①正确； 第二次操作后的整式串的和为：， 第三次操作后的整式串为：，，，，，，，，，，，，，，，，， 第三次操作后的整式串的和为：故②正确； 故第三次操作后的整式串的和与第二次操作后的整式串的和的差为：，即整式串3的所有整式的和比整式串2的所有整式的和小2，故③正确； ∴第次操作后所有整式的和为， ∴整式串2025的所有整式的和为，故④错误； 综上所述，正确的有①②③，共3个， 故选：C． 39．在“点燃我的梦想，数学皆有可衡”数学创新设计活动中，“智多星”小强设计了一个数学探究活动：对依次排列的两个整式m，n按如下规律进行操作： 第1次操作后得到整式串m，n，； 第2次操作后得到整式串m，n，，； 第3次操作后… 其操作规则为：每次操作增加的项，都是用上一次操作得到的最末项减去其前一项的差，小强将这个活动命名为“回头差”游戏． 则该“回头差”游戏第2023次操作后得到的整式中各项之和是 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减．先逐步操作前几次，找到规律，再计算即可． 【详解】解：第1次操作后得到整式串m，n，； 第2次操作后得到整式串m，n，，； 第3次操作后得到整式串m，n，，，； 第4次操作后得到整式串m，n，，，，； 第5次操作后得到的整式串，，，，，，； 第6次操作后得到的整式串，，，，，，，； 第7次操作后得到的整式串，，，，，，，，； 归纳可得：以上整式串每六次一循环， ∵， ∴第2023次操作后得到的整式中各项之和与第1次操作后得到整式串之和相等， ∴这个和为， 故答案为：． 题型十四 规律问题——数字 40．已知下列一组数：1，，，，，，用代数式表示第n个数，则第n个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查数字的变化规律， 由分子、 分母分别与序数的关系得出规律是关键 ． 根据数列中所列的数，可以发现分子是从1开始的连续奇数，分母是序号的平方． 【详解】解：第一个数：， 第二个数：， 第三个数：， 第四个数：， 第五个数：， 第n个数：． 故选：． 41．观察下列等式：，，，，……，按以上规律写出了，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了规律型-数字的变化类，正确找出数字的变化规律是解题的关键．根据数字的变化规律得到；根据数字的变化规律得到，即可作答． 【详解】解：根据式子的变化规律得， ， 故选：D． 42．已知，，，，，……，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查周期性规律的发现与应用，观察前几项的循环规律并确定周期的长度是解题的关键．根据题目给出的递推关系式计算前几项后发现数列的周期性规律，再利用周期性，即可确定的值． 【详解】解：，，，， ∴每2个一循环， ， ， 故答案为． 题型十五 规律问题——图形 43．下列图案是某大院窗格的一部分，其中“○”代表窗纸上所贴的剪纸，则第n个图中所贴剪纸“○”的个数为（        ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了图形类规律题，明确题意，准确得到规律是解题的关键．观察图形可知第一个图案为个窗花；第二个图案为个窗花；第三个图案为个窗花；……由此得到：第n个图案所贴窗花数，即可求解． 【详解】解：第一个图案为个窗花； 第二个图案为个窗花； 第三个图案为个窗花； …… 由此得到：第n个图案所贴窗花数为个． 故选：D． 44．下面是用棋子摆成的“小屋子”．摆第1个这样的“小屋子”需要5枚棋子，摆第2个这样的“小屋子”需要11枚棋子，……，摆第100个这样的“小屋子”需要的棋子数为（   ） A．596 B．601 C．599 D．600 【答案】C 【分析】本题考查图形类规律探究，解题的关键是找出图形变化的规律；通过图形之间的变化，由特殊规律推出一般性的规律，即可得解． 【详解】解：第1个这样的“小屋子”需要枚棋子， 第2个这样的“小屋子”需要枚棋子， 第3个这样的“小屋子”需要枚棋子， 第4个这样的“小屋子”需要枚棋子， ……， ∴第n个图形需要枚棋子， ∴摆第100个这样的“小屋子”需要的棋子数为（枚）； 故选：． 45．图是一组有规律的图案，它们是由等边三角形和正六边形组合而成，第1个图案有4个等边三角形，第2个图案有6个等边三角形，第3个图案有8个等边三角形，……．按此规律摆下去，第个图案有 个等边三角形（用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了图形类规律探索，根据前3个图案的等边三角形的个数得出规律即可，采用数形结合的思想，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】解：由图形可得，第1个图案有个等边三角形， 第2个图案有个等边三角形， 第3个图案有个等边三角形， ……， 第个图案有个等边三角形， 故答案为：． 题型十六 合并同类项与去括号化简（常考点） 46．化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减运算； （1）先去括号，然后合并同类项，即可求解； （2）先去括号，然后合并同类项，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 47．计算． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的加减，正确合并同类项是解题关键． （1）直接去括号，进而合并同类项得出答案； （2）直接去括号，进而合并同类项得出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 48．合并同类项： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了整式的加减，熟练掌握合并同类项法则是解题的关键． （1）根据合并同类项法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数之和，且字母连同它的指数不变即可求解； （2）先去括号，然后合并同类项，即可求解； （3）先去括号，然后合并同类项，即可求解； （4）直接合并同类项，即可求解； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型十七 化简求值（常考点） 49．先化简，再求值：．其中． 【答案】； 【分析】本题考查整式加减中的化简求值，根据去括号法则以及合并同类项法则将原式化简，然后代入数值求解即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 50．先化简，再求值： (1)，其中． (2)，其中，． 【答案】(1)，2 (2)， 【分析】本题主要考查整式的加减中的化简求值； （1）先去括号，合并同类项，再代入计算即可； （2）先去括号，合并同类项，再代入计算即可． 【详解】（1）解：原式， ， 当时， 原式． （2）解：原式， ， 当时， 原式． 51．已知，是关于的多项式，其中为常数． (1)若的值与的取值无关，求的值． (2)在（1）的条件下，先化简，再求值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减无关型问题，整式的加减-化简求值，掌握整式的运算法则是解题的关键． （1）求出的结果，再根据的值与x的取值无关，可得含x项的系数为0，据此即可列方程求解； （2）先对整式进行化简，再把（1）中所得m、n的值代入化简后的结果中计算即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵的值与的取值无关， ∴， ∴； （2）原式 ， ∵， ∴原式． 题型十八 整体思想 52．数学中运用整体思想方法在求代数式的值中非常重要．例如：已知，，则代数式． 请你根据以上材料解答以下问题： (1)若，则________； (2)已知，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的化简求值和代数式求值，解题关键是熟练掌握利用整体代入求值的方法求代数式的值． （1）把所求代数式的后两项先变形，再把代入进行计算即可； （2）把所求式子按照去括号法则去掉括号，写成含有和的形式，再把，代入进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ， 故答案为：； （2），， ． 53．【知识呈现】 我们可把中的“”看成一个字母a，使这个代数式简化为，“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，在数学中，常常用这样的方法把复杂的问题转化为简单问题． 【解决问题】 （1）上面【知识呈现】中的问题的化简结果为_____；（用含的式子表示） （2）若代数式的值为4，则代数式的值为______； 【灵活运用】应用【知识呈现】中的方法解答下列问题： （3）已知，的值为最大的负整数，求的值． 【答案】（1）；（2）；（2） 【分析】本题主要考查了代数式求值，添括号，合并同类项，正确理解并应用整体思想是解题的关键． （1）根据合并同类项的法则计算出的结果，再把结果中的a用替换即可得到答案； （2）先求出的结果，再根据求解即可； （3）先求出的值，再根据求解即可． 【详解】解：（1） ； （2）∵代数式的值为4， ∴， ∴， ∴； （3）∵的值为最大的负整数， ∴， ∴ ． 54．阅读材料： “整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，如我们把看成一个整体，． 尝试应用： （1）把看成一个整体，合并的结果是______． （2）已知，求的值． 拓广探索： （3）已知，，，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查整式的加减，解答的关键掌握整式的运算法则以及整体代入法求值． （1）根据合并同类项的法则进行求解即可； （2）把看作一个整体，再对所求的式子进行整理代入相应的值运算即可； （3）把所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可． 【详解】解：（1） ， 故答案为：； （2）∵， ； （3）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ． 题型十九 代数式的新定义应用（难点） 55．定义：若，则称a与b是关于2的平衡数． (1)3与______是关于2的平衡数，与______是关于2的平衡数（填一个含x的代数式）； (2)若，，判断a与b是不是关于2的平衡数，并说明理由． 【答案】(1)， (2)a与b是关于2的平衡数，理由见解析 【分析】本题考查了利用整式加减解决新定义问题的能力，关键是能根据题目定义准确列式、计算． （1）根据题目定义进行整式运算即可； （2）通过计算的值与2进行比较即可． 【详解】（1）解：设3的关于2的平衡数为a， 则， 解得， 3与是关于2的平衡数； 设的关于2的平衡数为b， 则， 解得， 与是关于2的平衡数， 故答案为：，； （2）a与b是关于2的平衡数，理由如下： ，， ， ， a与b是关于2的平衡数． 56．给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数为“共生有理数对”，记为．如：，那么数对都是“共生有理数对”． (1)数对__________“共生有理数对”；（填“是”或“不是”） (2)请你再写出一对符合条件的“共生有理数对”：___________； (3)若是“共生有理数对”，则是不是“共生有理数对”？说明理由． 【答案】(1)是 (2) (3)是“共生有理数对”．理由见解析 【分析】本题考查了有理数的乘法与加减法、整式加减中的化简求值，正确理解“共生有理数对”的定义是解题关键． （1）根据“共生有理数对”的定义求解即可； （2）根据“共生有理数对”的定义求解即可； （3）根据“共生有理数对”的定义即可判断． 【详解】（1）解：∵，， ∴是“共生有理数对”； 故答案为：是； （2）解：是“共生有理数对”；理由如下， ∵，， ∴是“共生有理数对”； 故答案为：； （3）解：是“共生有理数对”．理由如下： ，， ∵是共生有理数对， ∴． ∴， ∴是“共生有理数对”． 57．定义：若，则称与是关于5的平衡数． (1)4与______是关于5的平衡数，与______是关于5的平衡数；（填一个含的代数式） (2)若，，判断与是否是关于5的平衡数，并说明理由； (3)若，，且与是关于5的平衡数，若为正整数，求非负整数的值． 【答案】(1)， (2)a与b是关于5的平衡数，理由见解析 (3)0或6 【分析】本题主要考查了整式的加减计算和解一元一次方程，解题的关键在于能够准确读懂平衡数的含义．（1）根据平衡数的定义列式求解即可； （2）将a和b相加，化简，看最后的结果是否为5即可； （3）根据，，且c与d是关于5的平衡数，可以得到k和x的关系，然后利用分类讨论的方法，可以得到当x为正整数时，非负整数k的值． 【详解】（1）解：∵， ∴4与是关于7的平衡数， ∵， ∴与是关于5的平衡数， 故答案为：，； （2）a与b是关于5的平衡数， 理由： ∵，， ∴ ， ∴a与b是关于5的平衡数； （3）∵，，且c与d是关于5的平衡数， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵x为正整数，为非负整数， ∴当时，，得， 当时，，得， ∴非负整数k的值为0或6． 题型二十 数轴动点求t（难点） 58．如图：在数轴上 点表示数 ， 点表示数 ， 点表示数 ， 是最小的正整数，且 ， 满足 ． (1)若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数 表示的点重合； (2)若点A，B，C在数轴上同时开始运动，点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，点B和点C分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点A与点B之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为．请表示出，（用含t的代数式），同时的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【答案】(1) (2)，， 【分析】（1）根据绝对值的非负性及平方的非负性得到，，根据有理数的定义得出，再利用中点公式得到的中点表示的数即可； （2）根据的运动方向得到的代数式即可解答． 【详解】（1）解：∵， 满足 ， ∴，， ∴点表示的数为，点表示的数为， ∴的中点表示的数为， ∵是最小的正整数， ∴， 即点表示的数为， ∵点到的中点的距离为，且在左侧， ∴点 重合的数为， 故答案为； （2）解：∵点 以每秒 个单位长度的速度向左运动，运动前点表示的数为， ∴t秒钟过后，点表示的数为， ∵点 以每秒 个单位长度向右运动，运动前点表示的数为， ∴t秒钟过后，点表示的数为， ∵点以每秒 个单位长度的速度向右运动，运动前点表示的数为， ∴t秒钟过后，点表示的数为， ∴，， ∵,, ∴， 【点睛】本题考查了数轴点所对应的数，绝对值的非负性，平方的非负性，数轴上两点之间的距离公式，中点公式，掌握数轴上两点之间的距离公式是解题的关键． 59．如图，在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，其中是最小的正整数，且多项式是关于的二次多项式，一次项系数为． (1) ______， ______， ______； (2)若在数轴上有一点，它到点的距离与它到点的距离相等，求点与点的距离； (3)已知点与点之间的距离可表示为，点与点之间的距离表示为，若点、点和点分别以每秒个单位长度、个单位长度和个单位长度的速度在数轴上同时向左运动时，设、、三点运动时间为秒． 请用含的代数式表示 ______； 若的倍与的和不含，求的值． 【答案】(1) (2)点与点的距离为 (3)② 【分析】本题主要考查列代数式、数轴、多项式，正确列出代数式是解题的关键． （1）根据最小的正整数为1，得到，多项式的次数和系数，得到，即可得出结果； 先求出点表示的数，进而得出答案； 根据两点之间的距离公式进行计算即可； 分当点在点左右两侧进行讨论． 【详解】（1）解：是最小的正整数， ， 多项式是关于的二次多项式，一次项系数为， ， ． 故答案为：． （2）点到点的距离与它到点的距离相等， 点是线段的中点， 点对应的数为， 点对应的数为， 点与点的距离为． （3）解：由题意，、、三点表示的数分别为：， ． 故答案为：． 当点在点右侧时，设三点运动的时间为秒，则， 的倍与的和不含， ， ， 当点在点左侧时，设三点运动的时间为秒， 则， 的倍与的和不含， ， ， ． 60．如图所示，在数轴上点表示的数分别为，1，6，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为． (1)则 ， ， ； (2)点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B、点C分别以每秒2个单位长度和5单位长度的速度向右运动．请问： ①运动t秒后，点A与点B之间的距离为多少？（用含t的代数式表示） ②的值是否随着运动时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值； (3)由第（1）小题可以发现，．若点以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度向右运动．请问：随着运动时间的变化，之间是否存在类似于（1）的数量关系？请说明理由． 【答案】(1)3，5，8； (2)①；②不变，； (3)当时，；当时，；当时，；理由见解析． 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，熟练掌握数轴上的两点之间的距离的求法，采用分类讨论的思想解题，是解题此题的关键． （1）根据两点间的距离公式即可求解； （2）由点以每秒个单位长度的速度向左运动，点以每秒2个单位长度的速度向右运动，得到运动秒后，点表示的数为，点表示的数为，再根据两点间的距离公式即可得到答案；由点以每秒5单位长度的速度向右运动，得到运动秒后，点表示的数为，从而得到，再计算出，即可得到答案； （3）分别表示出的长度，然后分情况讨论得出之间的关系，即可得到答案． 【详解】（1）解：在数轴上点表示的数分别为，1，6， ，，， 故答案为：3，5，8； （2）解：点以每秒个单位长度的速度向左运动，点以每秒2个单位长度的速度向右运动， 运动秒后，点表示的数为：，点表示的数为：， 点与点之间的距离为：； 点以每秒5单位长度的速度向右运动， 运动秒后，点表示的数为：， ， ， 的值不会随着时间的变化而改变； （3）解：点以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度向右运动， 运动秒后，点表示的数为：，点表示的数为：，点表示的数为：， ，，， 当时，， 当时，， 当时，， 随着运动时间的变化，之间存在类似于（1）的数量关系． $专题02 代数式 题型1 代数式、单、多项式的定义 题型11 程序流程图（难点） 题型2 用字母表示数（常考点） 题型12 行、列排序问题 题型3 单、多项式的系、次、项数（常考点） 题型13 操作问题（难点） 题型4 同类项的指数对应相等求参（常考点） 题型14 规律问题——数字 题型5 整体代入求值（常考点） 题型15 规律问题——图形 题型6 不含某项、与某项无关（重点） 题型16 合并同类项与去括号化简（常考点） 题型7 绝对值在数轴中的化简（重点） 题型17 化简求值（常考点） 题型8 新定义运算（重点） 题型18 整体思想 题型9 阴影部分问题（难点） 题型19 代数式的新定义应用（难点） 题型10升、降幂排列 题型20 数轴动点求t（难点） 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 代数式、单、多项式的定义 1．下列各式中，不是代数式的是（   ） A． B．5 C． D． 2．下列各式中，属于单项式的是（　　） A．7 B． C． D． 3．下列代数式中，是多项式的是（   ） A． B． C． D． 题型二 用字母表示数（常考点） 4．下列表示“a的与3的和”的是（   ） A． B． C． D． 5．用代数式表示“a与b两数的倒数和”，下列选项中正确的是（    ）． A． B． C． D． 6．船在静水中的速度为，水速为，船顺流航行的行程比逆流航行的行程多 ． 题型三 单、多项式的系、次、项数（常考点） 7．下列说法正确的是（   ） A．是多项式 B．是四次单项式，系数是 C．是二次单项式 D．是代数式 8．下列说法正确的是（   ） A．的系数是 B．的系数为 C．的系数为5 D．的系数为1 9．若多项式是关于x的三次二项式，则 ， ． 题型四 同类项的指数对应相等求参（常考点） 10．已知与是同类项，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．7 11．若单项式与是同类项，则的值分别是（　　） A． B． C． D． 12．已知与是同类项，则 ． 题型五 整体代入求值（常考点） 13．如果代数式的值等于5，那么代数式的值等于（   ） A．1 B． C． D． 14．已知代数式的值是1，那么的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 15．已知代数式的值为7，则的值为 ． 题型六 不含某项、与某项无关（重点） 16．如果关于x的多项式中不含项，则k的值为（　　） A．3 B． C．0 D．3或 17．多项式的值（   ） A．只与x的值有关 B．只与y的值有关 C．与x、y的值有关 D．与x、y的值无关 18．若多项式的值与x的取值无关，则 ． 题型七 绝对值在数轴中的化简（重点） 19．有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，化简：的值为（　　） A．c B． C．0 D． 20．若有理数，，满足，，，则化简的结果为： A． B． C． D． 21．有理数a，b，c在数轴上的位置如图，化简 ． 题型八 新定义运算（重点） 22．学习情境·新定义a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数．如：2的差倒数是的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，以此类推，则（   ） A． B． C． D． 23．定义一种对正整数的“”运算：①当为奇数时，；②当为偶数时，（其中是使为奇数的正整数）……，两种运算交替重复进行，例如，取，则： 若，则第2023次“”运算的结果是（   ） A．1 B．4 C．2023 D．42023 24．定义：使得成立的一对数m、n称为“友伴数对”，记为，若是“友伴数对”，则代数式的值为 ． 题型九 阴影部分问题（难点） 25．在矩形内将两种边长分别为a和b（）的正方形纸片按图1和图2两种方式放置，矩形中未被这三张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图2中阴影部分的周长与图1中阴影部分的周长的差为l，若要知道l的值，只要测量图中哪条线段的长（    ） A． B．a C． D．b 26．如图，在一个长方形中放入三个大小一样的小长方形，小长方形的长为a，宽为b，则左下角阴影部分的周长与右上角阴影部分的周长差为（   ） A． B． C． D． 27．如图，把六张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①不重叠的放在一个底面为长方形（长为，宽为）的盒子底部（如图②，盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图②中两块阴影部分的周长和是 ． 题型十 升、降幂排列 28．把多项式按的升幂排列是（   ） A． B． C． D． 29．代数式是（   ） A．按x降幂排列 B．按x升幂排列 C．按y降幂排列 D．按y升幂排列 30．将按字母的降幂排列： ． 题型十一 程序流程图（难点） 31．按下面的程序计算：                                        当输入时，输出结果是299；当输入时，输出结果是446；如果输入的值是正整数，输出结果是257，那么满足条件的的值最多有（      ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 32．如图所示的运算程序中，若开始输入的值为48，我们发现第1次输出的结果为24，第2次输出的结果为12，……第2023次输出的结果为（　　） A．3 B．6 C．4 D．2 33．根据图中的程序，当输入数值为时，输出数值y为 ． 题型十二 行、列排序问题 34．“杨辉三角”是中国古代数学重要的成就之一，最早出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．若将第行的数字之和记为，则的末位数字为（   ） 第一行……………………1 第二行…………………1   1 第三行………………1   2  1 第四行……………1  3    3  1 第五行…………1  4    6   4   1 A．2 B．4 C．8 D．6 35．如图，一个点表示一个数，不同位置的点表示不同的数，每行各点所表示的数自左向右从小到大，且相邻两个点所表示的数相差1，每行数的和等于右边相应的数字．那么，表示2022的点在第m行，从左向右第n个位置，则的值等于（　　） A．39 B．40 C．41 D．42 36．将自然数按以下数表排列： 第一列 第二列 第三列 第四列 第五列 … 第一行 第二行 … 第三行 … 第四行 … 第五行 … … … 数表中数在第二行第一列，与有序数对对应，数与对应，数与对应，根据这一规律，数对应的有序数对为 ． 题型十三 操作问题（难点） 37．对于多项式：，，，，我们用任意两个多项式求差后所得的结果，再与剩余两个多项式的差作差，并算出结果，称之为“全差操作”．例如：， ．， 给出下列说法：存在“全差操作”，使其结果为；至少存在一种“全差操作”，使其结果为；所有的“全差操作”共有种不同的结果．以上说法中正确的是（       ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 38．有依次排列的3个整式：，，，对任意相邻的两个整式，都用右边的整式减去左边的整式，所得之差写在这两个整式之间，可以产生一个新整式串：，，，，，则称它为整式串1；将整式串1按上述方式再做一次操作，可以得到整式串2；以此类推通过实际操作，得出以下结论： ①整式串2为：，，，，，，，，；②整式串3的和为；③整式串3的所有整式的和比整式串2的所有整式的和小2；④整式串2025的所有整式的和为；上述四个结论正确的有（　　）个 A．1 B．2 C．3 D．4 39．在“点燃我的梦想，数学皆有可衡”数学创新设计活动中，“智多星”小强设计了一个数学探究活动：对依次排列的两个整式m，n按如下规律进行操作： 第1次操作后得到整式串m，n，； 第2次操作后得到整式串m，n，，； 第3次操作后… 其操作规则为：每次操作增加的项，都是用上一次操作得到的最末项减去其前一项的差，小强将这个活动命名为“回头差”游戏． 则该“回头差”游戏第2023次操作后得到的整式中各项之和是 ． 题型十四 规律问题——数字 40．已知下列一组数：1，，，，，，用代数式表示第n个数，则第n个数是（   ） A． B． C． D． 41．观察下列等式：，，，，……，按以上规律写出了，则（    ） A． B． C． D． 42．已知，，，，，……，，则 ． 题型十五 规律问题——图形 43．下列图案是某大院窗格的一部分，其中“○”代表窗纸上所贴的剪纸，则第n个图中所贴剪纸“○”的个数为（        ）． A． B． C． D． 44．下面是用棋子摆成的“小屋子”．摆第1个这样的“小屋子”需要5枚棋子，摆第2个这样的“小屋子”需要11枚棋子，……，摆第100个这样的“小屋子”需要的棋子数为（   ） A．596 B．601 C．599 D．600 45．图是一组有规律的图案，它们是由等边三角形和正六边形组合而成，第1个图案有4个等边三角形，第2个图案有6个等边三角形，第3个图案有8个等边三角形，……．按此规律摆下去，第个图案有 个等边三角形（用含的代数式表示）． 题型十六 合并同类项与去括号化简（常考点） 46．化简： (1)； (2)． 47．计算． (1)； (2)． 48．合并同类项： (1) (2) (3) (4) 题型十七 化简求值（常考点） 49．先化简，再求值：．其中． 50．先化简，再求值： (1)，其中． (2)，其中，． 51．已知，是关于的多项式，其中为常数． (1)若的值与的取值无关，求的值． (2)在（1）的条件下，先化简，再求值． 题型十八 整体思想 52．数学中运用整体思想方法在求代数式的值中非常重要．例如：已知，，则代数式． 请你根据以上材料解答以下问题： (1)若，则________； (2)已知，求代数式的值． 53．【知识呈现】 我们可把中的“”看成一个字母a，使这个代数式简化为，“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，在数学中，常常用这样的方法把复杂的问题转化为简单问题． 【解决问题】 （1）上面【知识呈现】中的问题的化简结果为_____；（用含的式子表示） （2）若代数式的值为4，则代数式的值为______； 【灵活运用】应用【知识呈现】中的方法解答下列问题： （3）已知，的值为最大的负整数，求的值． 54．阅读材料： “整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，如我们把看成一个整体，． 尝试应用： （1）把看成一个整体，合并的结果是______． （2）已知，求的值． 拓广探索： （3）已知，，，求的值． 题型十九 代数式的新定义应用（难点） 55．定义：若，则称a与b是关于2的平衡数． (1)3与______是关于2的平衡数，与______是关于2的平衡数（填一个含x的代数式）； (2)若，，判断a与b是不是关于2的平衡数，并说明理由． 56．给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数为“共生有理数对”，记为．如：，那么数对都是“共生有理数对”． (1)数对__________“共生有理数对”；（填“是”或“不是”） (2)请你再写出一对符合条件的“共生有理数对”：___________； (3)若是“共生有理数对”，则是不是“共生有理数对”？说明理由． 57．定义：若，则称与是关于5的平衡数． (1)4与______是关于5的平衡数，与______是关于5的平衡数；（填一个含的代数式） (2)若，，判断与是否是关于5的平衡数，并说明理由； (3)若，，且与是关于5的平衡数，若为正整数，求非负整数的值． 题型二十 数轴动点求t（难点） 58．如图：在数轴上 点表示数 ， 点表示数 ， 点表示数 ， 是最小的正整数，且 ， 满足 ． (1)若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数 表示的点重合； (2)若点A，B，C在数轴上同时开始运动，点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，点B和点C分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点A与点B之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为．请表示出，（用含t的代数式），同时的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 59．如图，在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，其中是最小的正整数，且多项式是关于的二次多项式，一次项系数为． (1) ______， ______， ______； (2)若在数轴上有一点，它到点的距离与它到点的距离相等，求点与点的距离； (3)已知点与点之间的距离可表示为，点与点之间的距离表示为，若点、点和点分别以每秒个单位长度、个单位长度和个单位长度的速度在数轴上同时向左运动时，设、、三点运动时间为秒． 请用含的代数式表示 ______； 若的倍与的和不含，求的值． 60．如图所示，在数轴上点表示的数分别为，1，6，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为． (1)则 ， ， ； (2)点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B、点C分别以每秒2个单位长度和5单位长度的速度向右运动．请问： ①运动t秒后，点A与点B之间的距离为多少？（用含t的代数式表示） ②的值是否随着运动时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值； (3)由第（1）小题可以发现，．若点以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度向右运动．请问：随着运动时间的变化，之间是否存在类似于（1）的数量关系？请说明理由． $