专题02 圆（期中知识清单，8知识&12题型&4易错清单）九年级数学上学期苏科版

专题02 圆（8知识&12题型&4易错清单） 【清单01】圆的基本概念 1.圆的定义：圆是由曲线围成的一种平面图形，也可以描述为平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形。 2.圆心：圆中心的一点，用字母O表示，它到圆上任意一点的距离都相等。 3.半径：连接圆心到圆上任意一点的线段，用字母r表示。 4.直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段，用字母d表示，直径是圆中最长的线段。 5.圆心与半径的关系：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。 6.圆的性质：在同圆或等圆内，有无数条半径和直径，所有的半径都相等，所有的直径都相等，直径的长度是半径的2倍，即d=2r。 【清单02】点与圆的位置关系 三种位置关系： 1.点在圆内：点到圆心的距离小于半径，即d<r。 2.点在圆上：点到圆心的距离等于半径，即d=r。 3.点在圆外：点到圆心的距离大于半径，即d>r。 4.判断方法：根据点到圆心的距离与半径的大小关系来判断点与圆的位置关系。 【清单03】圆的对称性 1.轴对称性：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线，因此圆有无数条对称轴。 2.中心对称性：圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。 3.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 4.垂径定理的逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 【清单04】圆的确定条件 1.不在同一直线上的三点确定一个圆。 2.三角形的外接圆：通过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心为三角形的外心，这个三角形叫圆的内接三角形。 【清单05】圆周角与圆心角的关系 1.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的一半。 2.圆周角定理的推论： （1）同弧或等弧所对的圆周角相等。 （2）直径所对的圆周角是直角。 （3）90度的圆周角所对的弦是直径。 【清单06】直线与圆的位置关系 1.相离：直线和圆无公共点，此时圆心到直线的距离大于半径，即d>r。 2.相切：直线和圆有且只有一个公共点，此时圆心到直线的距离等于半径，即d=r。 3.相交：直线和圆有两个公共点，此时圆心到直线的距离小于半径，即d<r。 4.切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 5.切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。 【清单07】圆的相关公式 1.圆的周长公式：C=2πr=πd。 2.圆的面积公式：S=πr²。 3.扇形弧长公式：l=nπr/180（n为圆心角度数）。 4.扇形面积公式：S=nπr²/360=rl/2。 5.圆锥侧面积公式：S=πrl（r为圆锥底面半径，l为圆锥母线长）。 【清单08】正多边形与圆的关系 1.圆的内接正多边形：把一个圆的圆周分成n等份，顺次连接各分点所得图形，即为圆的内接正n边形，这个圆叫做这个正n边形的外接圆。 2.正多边形的相关概念： （1）正多边形的中心：正多边外接圆的圆心。 （2）正多边形的半径：正多边形内切圆半径。 （3）正多边形的中心角：正多边形的边所对的外接圆的圆心角。 【题型一】圆中最值 【例1】如图，四边形为矩形，，，点是线段上一动点，点为线段上一点，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，圆的有关概念，由四边形为矩形，则，，则有，又，从而得，故有点在以为直径的圆上运动，取中点，连接，，所以，通过，即可求出最小值，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点在以为直径的圆上运动， 如图，取中点，连接，， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故选：． 【变式1-1】四个全等的直角三角形和小正方形组成的大正方形如图所示，以为斜边作，连结．若正方形面积分别是4和10，则的最大值和最小值差是（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆外一点到圆上距离的最值问题，正方形的性质，取中点O，以点O为圆心，为直径作圆，连接并延长，交与两点（点M在点N的左侧），根据题意，可得点P在以点为圆心，为直径的圆上运动，当两点重合时，有最大值，即最大值为，当两点重合时，有最小值，即最大值为，即可得出的最大值和最小值差是的长，由是的直径，利用大正方形的面积为10，求出的长即可得解． 【详解】解：取中点O，以点O为圆心，为直径作圆，连接并延长，交与两点（点M在点N的左侧）， ∵是直角三角形，且， ∴点P在以点为圆心，为直径的圆上运动， 当两点重合时，有最大值，即最大值为， 当两点重合时，有最小值，即最大值为， ∴的最大值和最小值差是， ∵过点O， ∴是的直径， ∴， ∵正方形面积是10， ∴， ∴， ∴的最大值和最小值差是． 故选：B． 【变式1-2】如图，、分别是正方形的边、上的动点，满足，连接、，相交于点，连接，若正方形的边长为2．则线段的最小值为 ． 【答案】 【分析】此题考查勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定及性质，圆周角定理，熟记各定义并应用解决问题是解题的关键． 先证明，推出，确定当A、G、H三点共线时，最短，运用勾股定理列式计算，由此求出答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 取的中点H，则 即G在以为直径的圆上 ∴当A、G、C三点共线时，AG最短，此时点G与点O重合， ∵AD=2，OA=OD，, ∴, 故答案为：． 【题型二】垂径定理 【例2】如图，是的直径，是的弦，，垂足为E．若，，则的长为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了垂径定理及勾股定理，熟知垂径定理及勾股定理是解题的关键． 先根据垂径定理得出的长，再利用勾股定理求出的长即可解决问题． 【详解】解∶∵是的直径，且， ∴． 在中，， ∴． 故选∶B． 【变式2-1】如图是一款轴对称“磁悬浮地漏”无水时的示意图，它由一个圆弧形密封盖与两个磁体组成下侧磁体固定不动，连接杆与地面垂直，排水口，密封盖最高点E到地面的距离为，密封盖被磁体顶起将排水口密封，所在圆的半径为 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键．连接，连接交于点H，设，根据列方程即可求得长度，进而得到半径． 【详解】 解：设所在圆的圆心为O，连接，连接交于点H， 设， 最高点E到地面的距离为6mm， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式2-2】某型号的圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下面是水平放置的破裂管道有水部分的截面．设其圆心为点，若这个输水管道有水部分的水面宽，水面最深地方的高度为．求这个圆形截面的半径． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理，解题的关键是熟练运用垂径定理． 先作辅助线，利用垂径定理求出半径，再根据勾股定理计算． 【详解】解：如图，作交于点，交于点，连接， 则， ∵， ∴， 设半径为，则， 由勾股定理得，， 即， 解得：． 答：这个圆形截面的半径是. 【题型三】直线与圆的位置关系 【例3】已知的半径为，圆心到直线l的距离为，则直线与的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切 【答案】A 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系，根据圆心到直线的距离与半径的大小关系进行判断：当时，直线与圆相交；当时，直线与圆相切；当时，直线与圆相离，即可判断求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵的半径为，圆心到直线l的距离为，， ∴直线与相离， 故选：． 【变式3-1】在平面直角坐标系中，以点为圆心，4为半径的圆与y轴的位置关系为 ． 【答案】相交 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，解决本题的关键求解圆心到y轴的距离． 根据圆心的坐标，可判断出圆心到y轴的距离即为圆心的横坐标的绝对值，判断圆心到y轴的距离与半径的大小即可． 【详解】解：∵圆的圆心为点， ∴可知圆心到y轴的距离为， ∵圆的半径为4，且， ∴该圆与y轴的位置关系为相交． 故答案为：相交 ． 【变式3-2】如图，中，，以为直径作交于点，作交于点，延长交的延长线于点． (1)求证：是圆O的切线； (2)若为等边三角形，，求圆半径的长． 【答案】(1)见详解 (2)2 【分析】（1）连接，由等腰三角形的性质得到，，等量代换得，由平行线的判定得到，进而得到，即可证得是的切线； （2）由等边三角形的性质得，再结合圆周角定理以及直角三角形的性质得，根据勾股定理列式计算，即可得到结论． 本题考查了切线的性质，等边三角形的性质，圆周角定理，勾股定理，解决本题的关键是：正确作出辅助线，证得． 【详解】（1）证明：连接， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：为等边三角形， ， 是的直径， ， ，， ， ， ， 在中，，， ， ， ． 半径的长为2． 【题型四】圆心角、弧、弦关系 【例4】如图，是的直径，点C，D在上，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据在同圆或等圆中，等弧所对的圆心角相等，同弧所对应的圆心角相等，即可解答. 【详解】解：，， . 故选：B． 【点睛】本题考查了圆的基本性质，掌握在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等是解题的关键. 【变式4-1】如图，圆O通过五边形的四个顶点．若，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】此题考查了等腰三角形的判定和性质，圆心角、弧、弦的关系，弄清圆心角、弧、弦的关系是解本题的关键． 连接，，由半径相等得到三角形，三角形，三角形都为等腰三角形，根据，，求出与的度数，根据的度数确定出度数，进而求出的度数，即可确定出的度数． 【详解】解：连接、， ， 、、皆为等腰三角形， ，， ，， 的度数为， ， ， 则的度数为． 【变式4-2】如图，是的弦，是弧的中点． (1)连接，求证：垂直平分； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，勾股定理及垂径定理，熟练掌握这些知识点的应用是解题的关键． （）由是弧的中点可知，故，再由可得出结论； （）设与交于点，由（）知，垂直平分，得出，根据勾股定理求出的长，设的半径为r，则，，在中利用勾股定理求出的值即可； 【详解】（1）证明：∵是弧的中点， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分； （2）解：设与交于点，如图， 由（）知，垂直平分， ∴， ， ∵， ∴， 设的半径为，则，， 在中由勾股定理得，即， 解得：， ∴的半径为． 【题型五】圆周角定理 【例5】如图，点A，B，C在上，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键，根据圆周角定理计算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 【变式5-1】如图，是的弦，半径于点，为直径，于点， ，， 则线段的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，连接，由垂径定理可得，设的半径为，在中，由勾股定理可得，即得，再利用勾股定理求出，进而根据三角形的面积解答即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵半径于点， ∴，， 设的半径为，则， ∴， 在中，， ∴ 解得， ∵为直径， ∴，， ∴， ∴， ∵于点， ∴， 即， 解得， 故答案为：． 【变式5-2】如图，中，为的直径，分别交于点D，E，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）先得到，再根据圆内接四边形的性质得到， 进而得到，即可得出结论； （2）先求出，连接， 根据，得到，进一步求出，再根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵为的直径， ∴，即， 又∵， ∴， ∵， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 连接，如图： ∵是的直径， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【题型六】正多边形与圆 【例6】如图，将两个全等的正六边形一边重合放置在一起，中心分别为，，公共边为，其中一个正六边形的外接圆与交于点A，若，则四边形的面积是（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形与圆、等边三角形的判定与性质、勾股定理和菱形面积的计算，连接，令与交于点，则，，，，有为等边三角形，即可求得，和，结合面积公式即可求得四边形的面积． 【详解】解：如图，连接，令与交于点， 则，，，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 则四边形为菱形， ∴四边形的面积是， 故选：D． 【变式6-1】已知正六边形的边长为9，那么它的外接圆的半径为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了正六边形的概念以及正六边形外接圆的性质，掌握正六边形的外接圆的半径等于其边长是解题的关键． 利用正六边形的概念以及正六边形外接圆的性质进而计算． 【详解】解：边长为9的正六边形可以分成六个以正六边形的中心为公共顶点，边长为9的正三角形， ∴外接圆半径是9， 故答案为：9． 【变式6-2】请用无刻度直尺完成下列作图，不写画法，保留画图痕迹（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果） (1)如图1，五边形是正五边形，画一条直线把这个五边形分成面积相等的两部分： (2)如图2，的外接圆的圆心是点，是的中点，画一条直线把分成面积相等的两部分； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图-复杂作图，正五边形的性质，垂径定理，解题的关键是掌握知识点的应用． （）连接，交于点，连接，根据正五边形的性质可得直线把五边形分成面积相等的两部分； （）连接交于点连接，得直线把分成面积相等的两部分． 【详解】（1）解：如图1，直线即为所求； ； （2）解：如图2，直线即为所求； 理由：连接交于点， ∵的外接圆的圆心是点，是的中点， ∴垂直平分， ∴是的中点， ∴直线把分成面积相等的两部分． 【题型七】内切圆 【例7】如图，在中， I是的内心，O是的外心，则（　　） A．125° B．140° C．130° D．150° 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了三角形的外接圆和圆周角定理．先利用三角形内心的性质得到，则可计算出，然后利用圆周角定理得到∠BOC的度数． 【详解】解：过点I分别作，如图 ∵点I是的内心，且结合切线性质 ∴ ∵ ∴， 即 ∴， ∵点O是的外心， ∴． 故选：B． 【变式7-1】如图，是的内切圆，若，则的度数为 ．    【答案】130 【分析】本题主要考查了三角形内切圆与内心，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据三角形内角和定理得到，再根据三角形内切圆圆心是其角平分线的交点得到，据此求出，则由三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的内切圆， ∴分别平分， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式7-2】如图，在中，． (1)在图1中作的外接圆；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，点I是内切圆的圆心，当，时，连接，求的长．（可在备用图中画出图形） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查尺规作图—作垂线，作圆，三角形的外接圆和内切圆的综合应用： （1）根据圆周角定理，得到外接圆的圆心为斜边的中点，利用尺规作垂线和尺规作圆的方法，作图即可； （2）设与各边的切点为D，E，F，连接，设的半径为r，易得四边形为正方形，切线长定理求出，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）如图，设与各边的切点为D，E，F，连接， 则，，． 设的半径为r，则， ∵， ∴为的直径， ∵，，， ∴，， ∵， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， 在中，． 【题型八】弧长与圆锥侧面积 【例8】如图（1）是博物馆屋顶的图片，屋顶由图（2）中的瓦片构成，瓦片横截面如图（3）所示，是以点为圆心， 为半径的弧，弦的长为，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的判定，求弧长，根据已知可得，则是等边三角形，进而根据弧长公式，即可求解． 【详解】解：依题意，， ∴是等边三角形． ∴． ∴的长为． 故选：D． 【变式8-1】已知圆锥的侧面积为，母线长为5，则圆锥的底面半径是 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥侧面积公式，根据，代入数据即可得到答案． 【详解】解：∵ ∴， ∴， 故答案为：． 【变式8-2】如图，以的边为直径作，点A在上，点D在线段的延长线上，． (1)求证：直线是的切线； (2)若直径，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查切线的判定及扇形面积的计算，圆周角定理，证明切线时，连接过切点的半径是解题的关键． （1）连接，则得出，可求得，可得出结论； （2）可利用的面积-扇形的面积求得阴影部分的面积． 【详解】（1）证明：连接，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即是的切线； （2）解：∵， ∴， 在中，， ∴，， 所以， 因为， 所以， 所以． 【题型九】圆内接四边形 【例9】如图，四边形内接于，，连接、，则 ． 【答案】140 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 根据圆内接四边形的性质求出，再根据圆周角定理求出． 【详解】解：四边形内接于， ， ， 由圆周角定理得：， 故答案为：140． 【变式9-1】如图，已知，，，，，，，则 ． 【答案】 【分析】根据，得到点，，，四点共圆，根据圆内接四边形的性质得到，，求得，，得到，求得，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：， 点，，，四点共圆， ，， ，， ，， ，， ， ， ， 根据题意易得， ，，，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了四点共圆，圆周角定理，圆内接四边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，证出点，，，四点共圆是解题的关键． 【变式9-2】如图，在中，弦，点在上． (1)如图①，若是的直径，求的度数； (2)如图②，在弧上取一点，若，请用含的式子表示的度数． 【答案】(1)135° (2) 【分析】（1）根据圆周角的性质和圆内接四边形性质即可求解； （2）连接，根据等弦对等弧，等弧对等角并结合圆内接四边形性质即可得到和的关系． 本题主要考查圆周角定理，圆内接四边形的性质以及等腰三角形的性质，正确运用相关知识是解答本题的关键． 【详解】（1）∵是的直径， 又 是等腰直角三角形， ∵四边形是的内接四边形， （2）如图，连接， ∵四边形是的内接四边形， 【题型十】圆中的无刻度尺作图 【例10】如图，在边长为1的正方形网格纸上，以O为圆心，为半径作圆，点O、A、B均在格点上，仅用无刻度的直尺，完成下列作图（不写作法，保留作图痕迹） (1)在图1中，①作的中点M： ②取格点C，使为的一条切线．（作出符合题意的一点即可） (2)在图2中，作直径，E为外任一点，过E作的垂线垂足为F． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)见解析 【分析】1）①在正方形网格中，利用圆的对称性和网格线的特点来确定弧的中点；②依据切线的判定定理，找到与圆半径垂直且经过半径外端的直线，从而确定切点． （2）通过构造合适的线段，利用网格的特性找到与已知线段垂直的直线，确定垂足． 【详解】（1）解：①如图，点即为所求点； ②如图所示，点C即为所求； 由网格的特点可得， 又∵是的半径 ∴为的一条切线； （2）解：如图所示，连接交于点F即为所求； 由网格的特点可得， 【点睛】本题主要考查了圆的相关性质、切线的判定以及垂直的作图，熟练掌握圆的对称性、切线的判定定理和网格的特性是解题的关键． 【变式10-1】如图，在8×8的网格中，每个小正方形的顶点称为格点，仅用无刻度的直尺在所给网格中完成下列画图，保留画图痕迹． (1)如图1，点O、A、B均是格点． ①作的中点M；②作，使得． (2)如图2，点A，B是格点，圆心在线段上，圆与网格线相交于点C，过点C作圆的切线与网格线交于P． ①作圆心O；②过点P作圆的另一条切线，切点为M（点M不与点C重合）． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)①见解析；②见解析 【分析】本题主要考查了垂径定理，切线的性质与判定，直径所对的圆周角是直角，90度的圆周角所对的弦是直径等等，熟知圆的相关知识是解题的关键． （1）①取格点C，作直线交于M，则点M即为所求；②取格点P，连接并延长交于N，则点N即为所求； （2）①取圆与格线的交点E、F，连接交于O，点O即为所求；②连接并延长交于D，延长交格线于Q，连接交于M，则点M即为所求． 【详解】（1）解：①如图所示，取格点C，作直线交于M，则点M即为所求； 由网格的特点可得，则由垂径定理可得点M为的中点； ②如图所示，取格点P，连接并延长交于N，则点N即为所求； 可证明，则可证明， 则由垂径定理可得点B为的中点，即； （2）解：①如图所示，取圆与格线的交点E、F，连接交于O，点O即为所求； 由可得是直径，而点O在上，则点O即为所求； ②如图所示，连接并延长交于D，延长交格线于Q，连接交于M，则点M即为所求； 由是直径，得到， 由网格的特点可得点P为的中点，则， 则可证明，则，即是的切线． 【变式10-2】如图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长均为的圆心和弦的端点均在格点上．只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图，不要求写出画法，并保留作图痕迹． (1)在图①中以为边画的内接正方形． (2)在图②中画圆周角，且点在格点上． (3)在图②中以点为切点画的切线，且点在格点上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了网格作图，圆的切线，圆周角定理，圆内接四边形的性质，正方形的性质，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）根据网格线的特征结合正方形的概念作图即可； （2）连接，由（1）得，取格点，连接，由圆周角定理得到，再根据圆内接四边形的性质可得； （3）取格点F、、连接，由网格特征得，且点过，即可获得答案． 【详解】（1）解：如图所示，正方形为所求： （2）解：如图所示，点为所求： 由（1）知， ∵，且四点共圆， ∴； （3）解：如图所示，为所求： 【题型十一】圆的新定义 【例11】在平面直角坐标系中，的半径为1，点是外一点，给出如下定义：若在上存在点，使得点关于某条过点的直线对称后的点在上，则称点为点关于的“关联对称点”． (1)若点在直线上； ①若点的坐标为，则，，中，是点关于的“关联对称点”的是_____； ②若存在点关于的“关联对称点”，求点的横坐标的取值范围； (2)已知点，动点满足，若点关于的“关联对称点”存在，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①，；②或 (2) 【分析】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理，平行线分线段成比例，解一元二次方程，点与圆的位置关系求最值问题，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）①根据新定义，画出图形，进而即可求解； ②设与交于点，，过点，分别作轴的垂线，垂足分别为，，根据勾股定理得出，联立直线解析式，得出交点坐标，进而根据平行线段成比例得出，同理可得的最小值为，即可求解； （2）依题意，关于的关联点在半径为3的圆内，进而根据点与圆的位置关系，求得的最值，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， 连线的中点在的内部，的中点的纵坐标为1，则点，关于y=1对称点关于的关联点是， 故答案为：，． ② 如图所示，点在线段和上， 设， 在中，， 解得（舍）， ； 同理，，， 或； （2）解：依题意，关于的关联点在半径为3的圆内，如图所示， ， 则在半径为1的上以及圆内，关于的关联点， ∴的最大值为， 如图所示，当在线段上时，取最小值， ， 四边形是矩形，则， 设，则， 在中，， 在中，， ， 解得， ． 【变式11-1】定义：对于凸四边形，对角线相等的四边形称为“等对”四边形，对角线垂直的四边形称为“垂对”四边形． (1)请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“”，错误的打“”） ①平行四边形一定不是“等对”四边形； （    ） ②“垂对”四边形的面积等于其对角线长的乘积的一半；（   ） ③顺次连接“等对”四边形四边中点而成的四边形是“垂对”四边形；（   ） (2)如图1，已知四边形既是“等对”四边形，又是“垂对”四边形，且四边形的四个顶点都在上，连接四边形的对角线，交于点P． ①记，，四边形的面积分别为，，求证： ； ②如图2，点为的中点，连接并延长交于点N，若 ，求的半径（用含，的式子表示）． 【答案】(1)①； ②；③ (2)①见解析；② 【分析】本题考查等腰三角形的性质和判定，圆周角，“等对”四边形定义，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键； （1）根据“等对”四边形和“垂对”四边形定义，判断即可求解； （2）①根据“等对”四边形的性质可知，从而推导出，为等腰直角三角形，根据勾股定理即可求解； ②根据M为的中点，可得，进而根据勾股定理求解即可； 【详解】（1）解：①平行四边形对角线不相等， 平行四边形一定不是“等对”四边形，该说法正确； ②“垂对”四边形的对角线垂直，所以“垂对”四边形的面积等于其对角线长的乘积的一半；故正确； ③顺次连接“等对”四边形四边中点而成的四边形是萎形，所以是“垂对”四边形；故正确； 故答案为：①； ②；③； （2）①∵四边形是“等对”四边形， ， ， ， 又∵四边形是“垂对”四边形， ， ，为等腰直角三角形， 设，， 则，，， ， ②， 在中， ， 又∵为的中点， ， ，，， ， 即， ， ， 即， 将代入， 得， 解得： 【变式11-2】在平面直角坐标系中，对于点，，，给出如下定义：若点以点为中心逆时针旋转后，能与点重合，则称点为线段的“完美等直点”．      (1)如图1，当，，时，线段的“完美等直点”坐标是______； (2)如图2，当，时，若直线上的一点，满足是线段的“完美等直点”，求点的坐标及的值； (3)当时，若点在以为圆心，为半径的圆上，点为线段的“完美等直点”，直接写出点的横坐标的取值范围． 【答案】(1) (2)点坐标为； (3) 【分析】（1）根据“完美等值点”的定理，可得，则是等腰直角三角形，四边形是正方形，由此即可求解； （2）当，时，，设，根据题意可证，根据全等三角形的性质即可求解； （3）根据分类讨论，当时，根据正方形的判定和性质可得点的横坐标；当时，根据“完美等值点”的概念及计算方法即可求解． 【详解】（1）解：当，，时，，， ∴，, 如图所示， ∵点绕“完美等直点”逆时针旋转， ∴，则是等腰直角三角形， ∴点的中点坐标为 ∴，且， ∴旋转中心点在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点于点重合， ∴点以点为中心逆时针旋转后， ∴线段的“完美等直点”坐标是， 故答案为：； （2）解：当，时，， ∵直线上的一点，满足是线段的“完美等直点”， ∴设，， 如图所示，过点作轴于点，作轴于点， 在中，， ∴， ∵轴， ∴，且，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，即； （3）解：如图所示，当时，，点在圆上，圆心坐标为，半径为， ∴， ∴点横坐标的取值范围为：，纵坐标的取值范围为：， 由（1）的推理可得，线段的中点坐标为，过点作线段的垂直平分线， ∴根据“完美等值点”的定义，旋转的性质可得，中心对称点在线段的垂直平分线线上，且， ∴，，即是等腰直角三角形， ∴由（1）中证明可得四边形是正方形， ∴， ∴的横坐标为； 当点三点共线时，线段的长度值最大，如图所示，以点作矩形， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴，即点的横坐标大于； 当时，，如图所示，作轴于点， ∴，，， ∴，则， ∴，即， ∵是的垂直平分线， ∴的横坐标为； 综上所述，的横坐标的取值范围为：． 【点睛】本题主要考查平面直角坐标中图形的变换规律，理解“完美等值点”的定义，掌握等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，图形运动的规律，分类讨论思想，图形结合思想是解题的关键． 【题型十二】动圆相切求t 【例12】如图，在直角梯形中，，，，，，为的直径，动点从点开始沿边向点以的速度运动，动点从点开始沿边向点以的速度运动．、分别从点、同时出发，当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为． (1)当为何值时，四边形为平行四边形？ (2)当为何值时，与相切？ 【答案】(1)当时，四边形为平行四边形 (2)当秒时，与相切 【分析】此题利用了切线的性质，平行四边形的性质，关键是用运动的观点讨论问题． （1）首先用分别表示和，然后利用平行四边形的性质对边相等就可以求出； （2）当是圆的切线时，利用切线的性质把，，，分别用表示，然后利用勾股定理就可以求出． 【详解】（1）解：∵直角梯形，， ∴， ∴当时，四边形为平行四边形； ∵，， ∴， 解得：， ∴当时，四边形为平行四边形． （2）设与相切于点，过点作，垂足为； ∵直角梯形，， ∴， ∵，， ∴，； ∵为的直径，， ∴，为的切线， 由三角形全等的性质可知，， ∴； 在中，， ∴， 即：， ∴， ， ∴，； ∵在边运动的时间为秒， ∵， ∴（舍去）， ∴当秒时，与相切． 【变式12-1】如图1，在矩形中，，，点以1.5的速度从点向点运动，点以2的速度从点向点运动．点、同时出发，运动时间为秒（），是的外接圆． (1)当时，的半径是 ，与直线CD的位置关系是 ； (2)在点从点向点运动过程中， ①圆心的运动路径长是 ； ②当与直线相切时，求的值． (3)连接，交于点，如图2，当时，求的值． 【答案】(1)，相离 (2)； (3) 【分析】（1）过点作于，交于，根据矩形的性质，得出，，再根据圆周角定理和平行线的性质，得出的直径是，，再根据题意，得出当时，，，进而根据线段之间的数量关系，得出，，再根据勾股定理，得出的值，进而得出的半径，再根据中位线的性质得出的值，进而得出的值，即可判断与直线的位置关系； （2）①根据、运动的速度与、的比相等，得出圆心在对角线上，再根据图形和题意，得出和两点在时在点重合，当时，直径为对角线，根据中点的性质得出，再根据勾股定理解得的值，进而得出的长，即为圆心的运动路径长；②当与相切时，设切点为，连接并延长交于，再根据线段之间的数量关系和题意，得出，，再根据勾股定理解得的值，再根据圆的性质，得出，再根据中位线的性质，得出，根据线段之间的数量关系，列出关于的方程，求解即可得出答案； （3）过作，交的延长线于点，连接，证明，再根据全等三角形的性质得出，根据线段之间的数量关系得出，再根据勾股定理，列出方程，求解即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，过点作于，交于， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴的直径是，， 当时，，， ∵，， ∴，， ∴， ∴的半径为， ∵，是的中点， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴与直线的位置关系是相离． 故答案为：；相离； （2）解：①如图， ∵、运动的速度与、的比相等， ∴圆心在对角线上， 由图可知，和两点在时在点重合， 当时，直径为对角线，是的中点， ∴，由勾股定理，可得， ∴， ∴圆心的运动路径长是． 故答案为：； ②如图，当与相切时， 设切点为，连接并延长交于， 则，， 则，， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴，解得， ∴的值为； （3）解：如图，过作，交的延长线于点，连接， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得（舍去），， ∴的值为． 【点睛】本题是四边形与圆的综合问题，主要考查了矩形的性质、圆周角定理、勾股定理、中位线的性质、切线的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相关的性质定理，并正确作出辅助线． 【变式12-2】在矩形中，，点P从点A出发，沿边向点B以每秒的速度移动，同时点Q从点D出发沿边向点A以每秒的速度移动，P、Q其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为t秒．解答下列问题： (1)如图①，t为何值时，的面积等于； (2)如图②，若以点P为圆心，为半径作．在运动过程中，是否存在t值，使得经过点C？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； (3)如图③，若以Q为圆心，为半径作，当与相切时． ①求t的值． ②如图④，若点E是此时上一动点，F是的中点，连接，则线段的最大值为 ． 【答案】(1)4或5秒 (2)存在， (3)①4；② 【分析】（1）利用三角形的面积公式构建方程即可解决问题． （2）连接，根据切线长定理可得，利用勾股定理构建方程即可解决问题． （3）①设与相切于点，连接，则，在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．②由①得：，，连接，取的中点M，连接，作于N，则，，根据，可得，，再求出，根据，即可解决问题． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∵的面积等于， ∴， 整理得：， 解得， 即或5秒时，的面积为20． （2）解：如图，连接， 经过点， ， ∵， ， ， 解得或（舍去）， 当时，⊙P经过点． （3）解：①如图，设与相切于点，连接，则， ， ∵为半径，且， ∴，，， ， ， ， ， 时，与相切．     ②由①得：，， 如图，连接，取的中点M，连接，作于N，则，， ∵F是的中点， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴,，, ∴, ∴， ∴, ∴， 即线段的最大值为。 故答案为： 【点睛】本题属于圆综合题，考查了矩形的性质，勾股定理，切线的判定与性质，切线长定理，三角形中位线定理，以及三角形三条边的关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题，属于中考压轴题． 【题型一】等弧与长度相等弧混淆 【例1】下列说法正确的是（　　） A．直径是经过圆心的直线 B．半圆是弧 C．大于劣弧的弧叫作优弧 D．长度相等的弧是等弧 【答案】B 【分析】本题考查圆的基本概念，需逐一分析各选项的正误 【详解】解：选项A：直径是经过圆心的线段，而非直线，直线是无限延伸的，而直径两端在圆上，有固定长度，故A错误； 选项B：半圆是圆上一条直径将圆分成的两部分，每部分均为弧，且弧的度数为，故B正确； 选项C：优弧是大于半圆（）的弧，劣弧是小于半圆的弧，但选项未限定“在同圆或等圆中”，且“大于劣弧”的弧可能仍为劣弧（如弧大于劣弧，但仍是劣弧），故C错误； 选项D：等弧需满足长度相等且在同圆或等圆中能完全重合，仅长度相等未必是等弧（如不同半径的圆中可能存在长度相等的弧），故D错误； 故选B 【变式1-1】说法：①直径是圆中最长的弦，弦是直径；②半径相等的两个半圆是等弧；③半圆是弧，但弧不一定是半圆；④长度相等的两条弧是等弧；⑤经过圆内一定点可以作无数条直径．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆的相关概念，解决本题的关键是掌握相关的概念．先回忆弦、直径、弧、半圆、等弧等相关的概念，然后根据相关概念来逐个判断即可． 【详解】①直径是圆中最长的弦，但弦不一定是直径，错误； ②半径相等的两个半圆是等弧，正确； ③半圆是弧，但弧不一定是半圆，正确； ④在等圆或同圆中，长度相等的两条弧是等弧，错误； ⑤如果该定点和圆心不重合，根据两点确定一条直线，则只能作一条直径，错误； 综上，正确的有：②③，共2个， 故选：B． 【变式1-2】以下说法中：①直径是圆中最长的弦；②半圆是圆中最长的弧；③面积相等的圆是等圆．其中正确的是 （填序号）． 【答案】①③/③① 【分析】本题考查了圆的相关概念，正确理解圆、半圆、弧和弦的定义是解题的关键．根据弦、弧、半圆和等圆的定义分别进行判断即可． 【详解】解：①直径是圆中最长的弦，故正确； ②半圆不是圆中最长的弧，故不正确； ③面积相等的两个圆半径相等，而半径相等的圆是等圆，故正确； 综上分析可知，正确的有①③． 故答案为：①③． 【题型二】垂径定理平行弦漏解 【例2】如图，，是的两条平行弦，且，，，之间的距离为5，则的直径是（    ） A． B． C．8 D．10 【答案】B 【分析】作于M，延长交于N，连接，，由垂径定理，勾股定理即可求解． 【详解】解：作于，延长交于，连接，，设， ∵、是两条平行弦 ∴ ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 直径长是， 故选：B． 【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，解题的关键是构造直角三角形，以便应用垂径定理，勾股定理进行解题． 【变式2-1】弦AB，CD是⊙O的两条平行弦，⊙O的半径为5，AB=8，CD=6，则AB，CD之间的距离为（    ） A．7 B．1 C．4或3 D．7或1 【答案】D 【分析】分两种情况进行讨论：①弦A和CD在圆心同侧；②弦A和CD在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可． 【详解】①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图①， 过点O作OF⊥CD，垂足为F，交AB于点E，连接OA，OC， ∵AB∥CD， ∴OE⊥AB， ∵AB=8cm，CD=6cm， ∴AE=4cm，CF=3cm， ∵OA=OC=5cm， ∴EO=3cm，OF=4cm， ∴EF=OF-OE=1cm； ②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图②， 过点O作OE⊥AB于点E，反向延长OE交AD于点F，连接OA，OC， ∵AB∥CD， ∴OF⊥CD， ∵AB=8cm，CD=6cm， ∴AE=4cm，CF=3cm， ∵OA=OC=5cm， ∴EO=3cm，OF=4cm， ∴EF=OF+OE=7cm． 故选D． 【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理，掌握相关的性质定理、注意进行分类讨论是解题的关键． 【变式2-2】若弦，是的两条平行弦，的半径为13，，，则，之间的距离为 【答案】7或17 【分析】本题考查了垂径定理与勾股定理，解题的关键是分情况画出图形并作出正确的辅助线． 首先根据题意分情况进行讨论分析，然后分别画出相应的图形，再根据垂径定理和勾股定理，计算出圆心到两条弦的距离，最后根据图形即可推出间的距离． 【详解】解：连接，过点O作于点M， ∵， ∴直线，设垂足为点， ， ，， ， ∴在中，， 在中，， ①如下图：当，在圆心的两侧，则它们之间的距离为， ②如下图，如果、在圆心的同侧，则它们之间的距离为， ． 综上所述，，之间的距离为7或17． 故答案为： 7或17． 【题型三】动点轨迹的误判 【例3】如图，在中，，将绕点B顺时针旋转得到，则点C在旋转过程中的旋转路径劣弧的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了旋转的性质及弧长计算，由旋转的性质可得出，，再利用弧长公式即可得出劣弧的长． 【详解】解：由旋转得，， 的长为， 故选：C． 【变式3-1】如图，将四边形绕点逆时针旋转后得到四边形，点经过的路径为弧．若，则图中阴影部分的面积为 ．    【答案】 【分析】本题考查了扇形的面积，旋转的性质，能熟记扇形的面积公式是解此题的关键，注意：一个扇形的圆心角为，半径为，则此扇形的面积公式是，根据旋转的性质和扇形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：将四边形绕点逆时针旋转后得到四边形， ，， 图中阴影部分的面积． 故答案为：． 【变式3-2】已知的三边长为，，，则三角形内切圆半径为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是勾股定理的定义、三角形的内心，解题的关键是画出图形，作于，连接，，，根据直角三角形的性质和勾股定理求出、的长，根据三角形的面积公式求出即可． 【详解】解：过点作，垂足为，连接，，，设内切圆的半径为，      设，则， 由勾股定理得：，． ． 解得：． ， ， ， ， 解得：， 故答案为：． 【题型四】三角形内切圆的半径、周长、面积公式忽略 【例4】一个等边三角形的边长为2，则这个等边三角形的内切圆半径为（ ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，等边三角形的性质，构造内切圆半径，三角形边的一半，圆心和顶点连线形成的直角三角形，利用30度直角三角形和勾股定理即可求解． 【详解】解：如图：等边的内切圆O切于D，连接，则，， ∴， ∵， ∴， ∴（负值舍去）． 故选：C． 【变式4-1】正方形的边长为，M为的中点，以为边在正方形内部作正方形（如图），将正方形绕C点顺时针旋转，连接、． (1)如图2，试判断、的关系，并证明； (2)连接BE，在正方形绕C点顺时针旋转过程中，若M点在直线上时，求的长． (3)如图3，设直线与直线的交点为P，当正方形从图1的位置开始，顺时针旋转后，直接写出P点运动路径长为______． 【答案】(1)，，证明见解析； (2)； (3)． 【分析】（1）根据正方形的性质以及旋转的性质，判定，得出，再延长交于F，交于G，根据三角形内角和的定理以及对顶角相等，得出即可； （2）在正方形绕C点顺时针旋转过程中，若M点在直线上时，需要分两种情况进行讨论，运用勾股定理求得和的长，进而得到的长； （3）当正方形旋转到点B、M、N在一条直线上时，点P到达最高点，连接，，，根据是等边三角形，求得弧的长；再根据当正方形从图4所示的位置，继续顺时针旋转后，直线与直线的交点P从图4所示的位置回到点C与点C重合，据此得出P点运动路径长． 【详解】（1），． 理由：正方形绕C点顺时针旋转， ，． 是正方形， ． 在和中， ， ， ， 如图，延长交DE于F，交于G， ， ， 又， ， ， ； （2）情况，如图，过点C作于点H． 正方形的边长为， ． 在中，由勾股定理，得， ， ． 在中，， ； 情况，如图，过点C作于点H． 正方形的边长为， ． 在中，由勾股定理得， ， ． 在中，， ； （3）如图，当正方形旋转到点B、M、N在一条直线上时，点P到达最高点，连接，，． 正方形的边长为，M为的中点， ． ， ， 由旋转得，， 是等边三角形， ， 弧的长为， 如图，当正方形从图4所示的位置，继续顺时针旋转后，直线与直线的交点P从图4所示的位置回到点C的位置， 点P的运动路径长为． 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质，勾股定理以及旋转的性质的综合应用，解决问题的关键是画出图形，作辅助线构造直角三角形，结合勾股定理进行计算求解．解题时注意分类讨论思想的运用． 【变式4-2】学校要举办运动会，九（1）班同学正在准备各种道具，小聪同学现有一块三角形的纸片，要在三角形纸片中截下一块圆形纸片做道具，要求截下的圆与三角形的三条边都相切．小聪用，，表示三角形纸片的三个顶点（如图1）．请你按要求完成： (1)尺规作图：在图1中找出圆心点（要求：保留作图痕迹，标明字母，不写作法）； (2)若纸片三边长分别是：，，，与边，，分别相切于点，，（如图2），求小聪截得的圆形道具的面积． 【答案】(1)见解析 (2)小聪截得的圆形道具的面积是 【分析】本题考查三角形内切圆，切线长定理等知识点； （1）用尺规作和的角平分线，交点即为圆心点； （2）连接，，，根据切线长定理可得，，，最后根据列方程求解即可． 【详解】（1）如图所示：点即为所求； （2）连接，，， 在中，，， ， 是直角三角形， 是的内切圆，切点为，，， ，，， ，， ， 四边形为正方形， 设， ，， ， 解得， ， 小聪截得的圆形道具的面积是． 学科网（北京）股份有限公6 / 63 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 圆（8知识&12题型&4易错清单） 【清单01】圆的基本概念 1.圆的定义：圆是由曲线围成的一种平面图形，也可以描述为平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形。 2.圆心：圆中心的一点，用字母O表示，它到圆上任意一点的距离都相等。 3.半径：连接圆心到圆上任意一点的线段，用字母r表示。 4.直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段，用字母d表示，直径是圆中最长的线段。 5.圆心与半径的关系：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。 6.圆的性质：在同圆或等圆内，有无数条半径和直径，所有的半径都相等，所有的直径都相等，直径的长度是半径的2倍，即d=2r。 【清单02】点与圆的位置关系 三种位置关系： 1.点在圆内：点到圆心的距离小于半径，即d<r。 2.点在圆上：点到圆心的距离等于半径，即d=r。 3.点在圆外：点到圆心的距离大于半径，即d>r。 4.判断方法：根据点到圆心的距离与半径的大小关系来判断点与圆的位置关系。 【清单03】圆的对称性 1.轴对称性：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线，因此圆有无数条对称轴。 2.中心对称性：圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。 3.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 4.垂径定理的逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 【清单04】圆的确定条件 1.不在同一直线上的三点确定一个圆。 2.三角形的外接圆：通过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心为三角形的外心，这个三角形叫圆的内接三角形。 【清单05】圆周角与圆心角的关系 1.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的一半。 2.圆周角定理的推论： （1）同弧或等弧所对的圆周角相等。 （2）直径所对的圆周角是直角。 （3）90度的圆周角所对的弦是直径。 【清单06】直线与圆的位置关系 1.相离：直线和圆无公共点，此时圆心到直线的距离大于半径，即d>r。 2.相切：直线和圆有且只有一个公共点，此时圆心到直线的距离等于半径，即d=r。 3.相交：直线和圆有两个公共点，此时圆心到直线的距离小于半径，即d<r。 4.切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 5.切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。 【清单07】圆的相关公式 1.圆的周长公式：C=2πr=πd。 2.圆的面积公式：S=πr²。 3.扇形弧长公式：l=nπr/180（n为圆心角度数）。 4.扇形面积公式：S=nπr²/360=rl/2。 5.圆锥侧面积公式：S=πrl（r为圆锥底面半径，l为圆锥母线长）。 【清单08】正多边形与圆的关系 1.圆的内接正多边形：把一个圆的圆周分成n等份，顺次连接各分点所得图形，即为圆的内接正n边形，这个圆叫做这个正n边形的外接圆。 2.正多边形的相关概念： （1）正多边形的中心：正多边外接圆的圆心。 （2）正多边形的半径：正多边形内切圆半径。 （3）正多边形的中心角：正多边形的边所对的外接圆的圆心角。 【题型一】圆中最值 【例1】如图，四边形为矩形，，，点是线段上一动点，点为线段上一点，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】四个全等的直角三角形和小正方形组成的大正方形如图所示，以为斜边作，连结．若正方形面积分别是4和10，则的最大值和最小值差是（    ） A．2 B． C．3 D． 【变式1-2】如图，、分别是正方形的边、上的动点，满足，连接、，相交于点，连接，若正方形的边长为2．则线段的最小值为 ． 【题型二】垂径定理 【例2】如图，是的直径，是的弦，，垂足为E．若，，则的长为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2-1】如图是一款轴对称“磁悬浮地漏”无水时的示意图，它由一个圆弧形密封盖与两个磁体组成下侧磁体固定不动，连接杆与地面垂直，排水口，密封盖最高点E到地面的距离为，密封盖被磁体顶起将排水口密封，所在圆的半径为 【变式2-2】某型号的圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下面是水平放置的破裂管道有水部分的截面．设其圆心为点，若这个输水管道有水部分的水面宽，水面最深地方的高度为．求这个圆形截面的半径． 【题型三】直线与圆的位置关系 【例3】已知的半径为，圆心到直线l的距离为，则直线与的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切 【变式3-1】在平面直角坐标系中，以点为圆心，4为半径的圆与y轴的位置关系为 ． 【变式3-2】如图，中，，以为直径作交于点，作交于点，延长交的延长线于点． (1)求证：是圆O的切线； (2)若为等边三角形，，求圆半径的长． 【题型四】圆心角、弧、弦关系 【例4】如图，是的直径，点C，D在上，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】如图，圆O通过五边形的四个顶点．若，，则的度数为 ． 【变式4-2】如图，是的弦，是弧的中点． (1)连接，求证：垂直平分； (2)若，，求的半径． 【题型五】圆周角定理 【例5】如图，点A，B，C在上，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式5-1】如图，是的弦，半径于点，为直径，于点， ，， 则线段的长为 ． 【变式5-2】如图，中，为的直径，分别交于点D，E，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 【题型六】正多边形与圆 【例6】如图，将两个全等的正六边形一边重合放置在一起，中心分别为，，公共边为，其中一个正六边形的外接圆与交于点A，若，则四边形的面积是（    ） A．4 B． C． D． 【变式6-1】已知正六边形的边长为9，那么它的外接圆的半径为 ． 【变式6-2】请用无刻度直尺完成下列作图，不写画法，保留画图痕迹（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果） (1)如图1，五边形是正五边形，画一条直线把这个五边形分成面积相等的两部分： (2)如图2，的外接圆的圆心是点，是的中点，画一条直线把分成面积相等的两部分； 【题型七】内切圆 【例7】如图，在中， I是的内心，O是的外心，则（　　） A．125° B．140° C．130° D．150° 【变式7-1】如图，是的内切圆，若，则的度数为 ．    【变式7-2】如图，在中，． (1)在图1中作的外接圆；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，点I是内切圆的圆心，当，时，连接，求的长．（可在备用图中画出图形） 【题型八】弧长与圆锥侧面积 【例8】如图（1）是博物馆屋顶的图片，屋顶由图（2）中的瓦片构成，瓦片横截面如图（3）所示，是以点为圆心， 为半径的弧，弦的长为，则的长是（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】已知圆锥的侧面积为，母线长为5，则圆锥的底面半径是 ． 【变式8-2】如图，以的边为直径作，点A在上，点D在线段的延长线上，． (1)求证：直线是的切线； (2)若直径，求图中阴影部分的面积． 【题型九】圆内接四边形 【例9】如图，四边形内接于，，连接、，则 ． 【变式9-1】如图，已知，，，，，，，则 ． 【变式9-2】如图，在中，弦，点在上． (1)如图①，若是的直径，求的度数； (2)如图②，在弧上取一点，若，请用含的式子表示的度数． 【题型十】圆中的无刻度尺作图 【例10】如图，在边长为1的正方形网格纸上，以O为圆心，为半径作圆，点O、A、B均在格点上，仅用无刻度的直尺，完成下列作图（不写作法，保留作图痕迹） (1)在图1中，①作的中点M： ②取格点C，使为的一条切线．（作出符合题意的一点即可） (2)在图2中，作直径，E为外任一点，过E作的垂线垂足为F． 【变式10-1】如图，在8×8的网格中，每个小正方形的顶点称为格点，仅用无刻度的直尺在所给网格中完成下列画图，保留画图痕迹． (1)如图1，点O、A、B均是格点． ①作的中点M；②作，使得． (2)如图2，点A，B是格点，圆心在线段上，圆与网格线相交于点C，过点C作圆的切线与网格线交于P． ①作圆心O；②过点P作圆的另一条切线，切点为M（点M不与点C重合）． 【变式10-2】如图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长均为的圆心和弦的端点均在格点上．只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图，不要求写出画法，并保留作图痕迹． (1)在图①中以为边画的内接正方形． (2)在图②中画圆周角，且点在格点上． (3)在图②中以点为切点画的切线，且点在格点上． 【题型十一】圆的新定义 【例11】在平面直角坐标系中，的半径为1，点是外一点，给出如下定义：若在上存在点，使得点关于某条过点的直线对称后的点在上，则称点为点关于的“关联对称点”． (1)若点在直线上； ①若点的坐标为，则，，中，是点关于的“关联对称点”的是_____； ②若存在点关于的“关联对称点”，求点的横坐标的取值范围； (2)已知点，动点满足，若点关于的“关联对称点”存在，直接写出的取值范围． 【变式11-1】定义：对于凸四边形，对角线相等的四边形称为“等对”四边形，对角线垂直的四边形称为“垂对”四边形． (1)请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“”，错误的打“”） ①平行四边形一定不是“等对”四边形； （    ） ②“垂对”四边形的面积等于其对角线长的乘积的一半；（   ） ③顺次连接“等对”四边形四边中点而成的四边形是“垂对”四边形；（   ） (2)如图1，已知四边形既是“等对”四边形，又是“垂对”四边形，且四边形的四个顶点都在上，连接四边形的对角线，交于点P． ①记，，四边形的面积分别为，，求证： ； ②如图2，点为的中点，连接并延长交于点N，若 ，求的半径（用含，的式子表示）． 【变式11-2】在平面直角坐标系中，对于点，，，给出如下定义：若点以点为中心逆时针旋转后，能与点重合，则称点为线段的“完美等直点”．      (1)如图1，当，，时，线段的“完美等直点”坐标是______； (2)如图2，当，时，若直线上的一点，满足是线段的“完美等直点”，求点的坐标及的值； (3)当时，若点在以为圆心，为半径的圆上，点为线段的“完美等直点”，直接写出点的横坐标的取值范围． 【题型十二】动圆相切求t 【例12】如图，在直角梯形中，，，，，，为的直径，动点从点开始沿边向点以的速度运动，动点从点开始沿边向点以的速度运动．、分别从点、同时出发，当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为． (1)当为何值时，四边形为平行四边形？ (2)当为何值时，与相切？ 【变式12-1】如图1，在矩形中，，，点以1.5的速度从点向点运动，点以2的速度从点向点运动．点、同时出发，运动时间为秒（），是的外接圆． (1)当时，的半径是 ，与直线CD的位置关系是 ； (2)在点从点向点运动过程中， ①圆心的运动路径长是 ； ②当与直线相切时，求的值． (3)连接，交于点，如图2，当时，求的值． 【变式12-2】在矩形中，，点P从点A出发，沿边向点B以每秒的速度移动，同时点Q从点D出发沿边向点A以每秒的速度移动，P、Q其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为t秒．解答下列问题： (1)如图①，t为何值时，的面积等于； (2)如图②，若以点P为圆心，为半径作．在运动过程中，是否存在t值，使得经过点C？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； (3)如图③，若以Q为圆心，为半径作，当与相切时． ①求t的值． ②如图④，若点E是此时上一动点，F是的中点，连接，则线段的最大值为 ． 【题型一】等弧与长度相等弧混淆 【例1】下列说法正确的是（　　） A．直径是经过圆心的直线 B．半圆是弧 C．大于劣弧的弧叫作优弧 D．长度相等的弧是等弧 【变式1-1】说法：①直径是圆中最长的弦，弦是直径；②半径相等的两个半圆是等弧；③半圆是弧，但弧不一定是半圆；④长度相等的两条弧是等弧；⑤经过圆内一定点可以作无数条直径．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-2】以下说法中：①直径是圆中最长的弦；②半圆是圆中最长的弧；③面积相等的圆是等圆．其中正确的是 （填序号）． 【题型二】垂径定理平行弦漏解 【例2】如图，，是的两条平行弦，且，，，之间的距离为5，则的直径是（    ） A． B． C．8 D．10 【变式2-1】弦AB，CD是⊙O的两条平行弦，⊙O的半径为5，AB=8，CD=6，则AB，CD之间的距离为（    ） A．7 B．1 C．4或3 D．7或1 【变式2-2】若弦，是的两条平行弦，的半径为13，，，则，之间的距离为 【题型三】动点轨迹的误判 【例3】如图，在中，，将绕点B顺时针旋转得到，则点C在旋转过程中的旋转路径劣弧的长为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】如图，将四边形绕点逆时针旋转后得到四边形，点经过的路径为弧．若，则图中阴影部分的面积为 ．    【变式3-2】已知的三边长为，，，则三角形内切圆半径为 ． 【题型四】三角形内切圆的半径、周长、面积公式忽略 【例4】一个等边三角形的边长为2，则这个等边三角形的内切圆半径为（ ） A． B．1 C． D． 【变式4-1】正方形的边长为，M为的中点，以为边在正方形内部作正方形（如图），将正方形绕C点顺时针旋转，连接、． (1)如图2，试判断、的关系，并证明； (2)连接BE，在正方形绕C点顺时针旋转过程中，若M点在直线上时，求的长． (3)如图3，设直线与直线的交点为P，当正方形从图1的位置开始，顺时针旋转后，直接写出P点运动路径长为______． 【变式4-2】学校要举办运动会，九（1）班同学正在准备各种道具，小聪同学现有一块三角形的纸片，要在三角形纸片中截下一块圆形纸片做道具，要求截下的圆与三角形的三条边都相切．小聪用，，表示三角形纸片的三个顶点（如图1）．请你按要求完成： (1)尺规作图：在图1中找出圆心点（要求：保留作图痕迹，标明字母，不写作法）； (2)若纸片三边长分别是：，，，与边，，分别相切于点，，（如图2），求小聪截得的圆形道具的面积． 学科网（北京）股份有限公14 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $