专题07 圆中定点、定值、定线问题四种常考题型（专项训练）数学湘教版2019高二选择性必修第一册

专题07 圆中定点、定值、定线问题 目录 A题型建模・专项突破 题型一、圆中定点问题 1 题型二、圆中定值问题 4 题型三、圆中定直线问题 6 题型四、圆中探索性、存在性问题 8 B综合攻坚・能力跃升 题型一、圆中定点问题 1．已知点为直线上任意一点，为坐标原点．则以为直径的圆除过定点外还过定点（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设垂直于直线，可知圆恒过垂足；两条直线方程联立可求得点坐标. 【解析】设垂直于直线，垂足为，则直线方程为：， 由圆的性质可知：以为直径的圆恒过点， 由得：，以为直径的圆恒过定点. 故选：D. 2．若抛物线与坐标轴分别交于三个不同的点、、，则的外接圆恒过的定点坐标为_______ 【答案】 【分析】设抛物线交轴于点，交轴于点、，根据题意设圆心为，求出，写出圆的方程，可得出关于、的方程组，即可得出圆所过定点的坐标. 【解析】设抛物线交轴于点，交轴于点、， 由题意可知，由韦达定理可得，， 所以，线段的中点为，设圆心为， 由可得，解得， ，则，则， 所以，圆的方程为， 整理可得， 方程组的解为. 因此，的外接圆恒过的定点坐标为. 故答案为：. 3．已知平面内的动点与两个定点的距离的比为，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程，并说明其形状； (2)已知，过直线上的动点分别作曲线的两条切线（为切点），证明：直线过定点，并求该定点坐标； 【答案】(1)，曲线是以为圆心，半径为2的圆；(2)证明见解析， 【分析】（1）根据已知及两点距离公式有，整理即可得曲线方程； （2）根据题设知在以为直径的圆上，并写出对应方程，结合在上，即可求直线，进而确定定点坐标； 【解析】（1）设，由，得， 化简得，即 故曲线是以为圆心，半径为2的圆； （2）由题意知，与圆相切，为切点， 则，则四点共圆 在以为直径的圆上， ，又， 则的中点为， 以线段为直径的圆的方程为， 整理得，①， 又在上，②， 由两圆方程作差即②-①得：. 所以，切点弦所在直线的方程为. 则恒过坐标点. 4．在平面直角坐标系xOy中，圆C：与圆：相切于点，且直线l：与圆C有公共点． (1)求圆C的方程； (2)设点P为圆C上的动点，直线l分别与x轴和y轴交于点M，N，求证：存在定点B，使得； 【答案】(1)(2)①证明见解析；②. 【分析】本题考查圆的标准方程，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，与圆有关的最值， （1）由两圆的位置关系求圆C方程； （2）①由，直接法得，由点P为圆C上的动点得，求B点坐标；，在圆C外，在圆C内，点P为线段BN与圆C的公共点时“”能成立．从而得直线方程． 【解析】(1)圆，即，所以圆心为，圆的半径． 由圆与圆相切于点 ，得，，即解得或由直线l：与圆C有公共点，，所以所以圆C的方程为. (2)直线l分别与x轴和y轴交点，． 设点，，则， 由得，， 即，由点P为圆C上的动点得，即 故存在定点，使得． 题型二、圆中定值问题 5．若直线被圆截得的弦长为定值，则实数的值为（  ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据圆心到直线的距离为定值，列方程来求得正确答案. 【解析】圆的圆心为，半径为， 要使弦长为定值，则需圆心到直线的距离为定值， 即为定值，所以. 故选：C. 6．（多选）下列关于直线与圆的说法正确的是（  ） A．若直线与圆相切，则为定值 B．若，则直线被圆截得的弦长为定值 C．若，则圆上仅有两个点到直线的距离相等 D．当时，直线与圆相交 【答案】ABD 【分析】计算圆心到直线的距离，利用几何法可判断AC选项的正误，求出弦长可判断B选项的正误；根据直线过圆内定点判断D． 【解析】圆的圆心为，半径为1， 对于A选项，若与圆相切， 则，可得，A正确； 对于B选项，若，圆心到直线的距离为，此时直线被圆截得的弦长为，B正确； 对于C选项，因为，圆心到直线的距离为，此时圆上有3个点到直线的距离相等，C错误； 对于D选项，当时，直线的方程为，即直线过定点，又因为，可得点在圆内，故直线与圆相交，D正确． 故选：ABD． 7．已知直线恒过定点，且以为圆心的圆与直线相切. (1)求圆的一般方程； (2)设过点的直线与圆交于，两点，判断是否为定值.若是，求出这个定值；若不是，请说明理由. 【答案】(1); (2)13 【分析】（1）由直线系方程求出定点，再由圆心到直线的距离求出半径即可得解； （2）设过点的直线方程，代入圆的方程，利用韦达定理及弦长公式 即可得解. 【解析】（1）由可得， 当时，解得， 故直线恒过定点， 所以圆心到切线的距离， 即圆的半径为2, 所以圆的方程为：， 故圆的一般方程为 （2）点到圆心的距离，故点在圆外， 如图， 过点的直线与圆相交时斜率存在，故设过点的直线方程为， 代入圆的方程可得， 当时， 设，， 则， 所以 . 即为定值13. 8．已知直线与圆. (1)求证：直线l过定点，并求出此定点坐标； (2)设O为坐标原点，若直线l与圆C交于M，N两点，且直线OM，ON的斜率分别为，，则是否为定值？若是，求出该定值：若不是，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析，定点(2)是定值，定值为 【分析】（1）由已知可得根据过定点的直线系方程计算方法可得l恒过定点 （2）设出直线的方程.联立直线与圆的方程，利用韦达定理求解进而即可得结果. 【解析】（1）由直线得， 联立，解得， 直线l恒过定点. （2）圆的圆心为，半径为，直线过点， 直线l与圆C交于M，N两点，则直线l的斜率存在，设直线l方程为， 联立，得， 设，，则，， 是定值，定值为 题型三、圆中定直线问题 9．设有一组圆，存在定直线 始终与圆相切. 【答案】或 【分析】先确定的圆心始终在直线上，再利用直线与圆的位置关系及平行线的距离计算即可. 【解析】易知圆系的圆心，半径为2，显然始终在直线上， 要满足题意则圆心到定直线的距离始终为2，即定直线到直线的距离始终为2， 不妨设直线，则， 即定直线为：或. 故答案为：或. 10．已知圆C过原点，圆心C是直线与直线的交点. (1)求圆C的标准方程； (2)若圆C与y轴交于A､B两点（A在B上方），直线与圆C交于M､N两点，直线，相交于T.请问点T是否在定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，说明理由. 【答案】(1)(2)存在， 【分析】（1）首先求出两直线的交点坐标，即可得到圆心坐标，再根据圆过原点求出半径，即可得到圆的方程； （2）设，，联立直线与圆的方程，消元列出韦达定理，由直线的方程为，直线的方程为，即可得到，从而求出定直线方程； 【解析】(1)由，得，所以圆心.又因为圆C过原点，所以， 所以圆C的标准方程为：. (2)设，，由（1）可知，，. 联立方程组，消去y并化简得，所以，. 直线的方程为① 直线的方程为② 由①②知， 由，化简得，故点T在定直线上. 11．已知圆C经过两点，圆心在直线上. (1)求圆C的标准方程； (2)若圆C与y轴相交于A，B两点（A在B上方）.直线与圆C交于M，N两点，直线，相交于点T.请问点T是否在定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，说明理由. 【答案】(1)(2)是， 【分析】（1）由已知设出圆心，再由圆心到的距离都为半径列出方程解出答案即可； （2）联立直线与圆的方程并化简，然后求出直线和的方程，进而结合根与系数的关系得到答案. 【解析】(1)依题意可设圆心，则半径， 解，，故，即圆C的标准方程为. (2)设，由（1）可知，， 联立方程组，消去x并化简得， 容易判断直线所过定点（0,1）在圆内，即直线与圆一定有两个交点， 所以， 直线的方程为…①，直线的方程为…②， 由①②可得：， 由，化简得，故点T在定直线上. 题型四、圆中探索性、存在性问题 12.已知在平面直角坐标系Oxy中，，.点P满足，设点P所构成的曲线为C，下列结论正确的是（  ） A．曲线C的方程为 B．曲线C上存在点D，使得D到点的距离为10 C．曲线C上存在点M，使得 D．曲线C上的点到直线的最大距离为9 【答案】D 【分析】根据两点坐标以及由两点间距离公式即可整理得点P所构成的曲线为C的方程为，即可判断A；利用点到圆上点距离的最大值，即可知在C上不存在点D，即可判断B；设，利用两点间距离公式得到方程和联立，无解，即可判断C；求出C的圆心到直线的距离，可得曲线C上的点到直线的最大距离为9，即可判断D. 【解析】对于A，由题意可设点， 由，，，得， 化简得，即，故A错误； 对于B，点到圆上的点的最大距离， 故不存在点D符合题意，故B错误； 对于C，设，由， 得，又， 联立方程消去得，得无解，故C错误； 对于D，C的圆心到直线的距离为， 且曲线C的半径为4，则C上的点到直线的最大距离，故D正确. 故选：D. 13．(多选)已知圆的方程为，为圆上任意一点，则以下选项正确的是（  ） A存在轴上的唯一点对，，使得为常数 B存在轴上的无数个点对，，使得为常数 C存在直线（）上的唯一点对，，使得为常数 D存在直线（）上的无数个点对，，使得为常数 【答案】BD 【分析】易得圆关于直线轴对称，设，（），，再根据对恒成立求出的关系式，再根据关于的方程的解的个数即可得出答案. 【解析】圆心坐标为，圆心在轴上， 所以圆关于直线轴对称， 设，（），， 则， 即对恒成立， 所以，所以，所以， 所以且，所以且且， 即有无数组解，所以A错误，B正确； 因为直线（）定点， 所以圆关于直线（）对称， 根据上推理得，存在直线上的无数个点对，，使得的值与的位置无关， 所以C错误，D正确． 故选：BD. 14．（多选）已知直线与圆交于、两点，点为线段的中点，点的坐标为，则下列说法正确的是（  ） A．当时， B．的最小值为 C．存在点，使 D．存在，使 【答案】AD 【分析】利用圆的弦长公式判断A、B；假设存在点，求出直线方程，判断与圆的位置关系，判断C，求出点的轨迹方程，可判断D. 【解析】当时，直线，圆心到直线的距离， 又，A正确； 由上可知圆， 圆心到直线的距离， 则，B错误； 若，则直线斜率为， 从而直线：， 此时圆心到直线的距离， 则直线与圆相离，即不存在点，使，C错误； 设点，因为直线过定点， 则，即， 化简为，为点的轨迹方程， 若，则， 即，得， 故存在存在，使，D正确. 故选：AD. 15．已知圆C与y轴相切，圆心C在射线上，且截直线所得弦长为． （1）求圆C方程； （2）已知点，直线与圆C交于A、B两点，是否存在m使得，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）；（2）不存在，理由见解析． 【分析】（1）设圆C的方程为，圆C与y轴相切，则，圆心C在射线上，所以，根据弦长公式得，解方程组即可得结果； （2）依题意得在线段的中垂线上，则，根据斜率关系即可求出参数值． 【解析】（1）设圆C的方程为 圆心C在射线上，所以 圆C与y轴相切，则 点到直线的距离 ， 由于截直线所得弦长为，所以 则得，又 所以(舍去)， 故圆C的方程为； （2）假设m存在，由（1）得，因为， 所以在线段的中垂线上，则， 因为，所以 解得； 当时，直线方程为即， 圆心到该直线的距离，该直线与圆相离，不合题意； 所以不存在实数m满足题干要求. 16．已知圆和点. (1)过作圆的切线，求切线的方程； (2)过作直线交圆于点，两个不同的点，且不过圆心，再过点，分别作圆的切线，两条切线交于点，求证：点在同一直线上，并求出该直线的方程； (3)已知，设为满足方程的任意一点，过点向圆引切线，切点为，试探究：平面内是否存在一定点，使得为定值？若存在，请求出定点的坐标，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)和.(2)证明见解析，直线方程为.(3)存在，或. 【分析】（1）讨论斜率是否存在并设直线方程，结合圆的切线性质及点线距离公式求参数，进而写出切线方程. （2）设，，由、可得、 ，即可知的方程，再由点在直线上即可证结论，并确定所在的直线. （3）若，由题设可知，假设存在使为定值，利用两点距离公式、圆的切线性质整理可得，要使多项式方程不受点位置影响，需使该多项式方程各项的系数为0，列方程求参数即可判断的存在性. 【解析】(1)当斜率不存在时，显然与圆相切； 当斜率存在时，设切线为，由圆心到切线的距离为1， ∴，解得，则，整理得. 综上，切线方程为和. (2)设，， ∴由，则，即，又，故，同理，∴直线为，又在上，∴，故恒在直线上. (3)由题设，若则，整理可得， 若存在，使为定值，而，， ∴，整理得， ∴， 整理得， 要使为定值，则，解得或. 综上，存在或，使为定值 1．设点P为直线l：上任意一点，过点P作圆O：的切线，切点分别为A，B，则直线AB必过定点（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，设为直线上的一点，由切线的性质得点、在以为直径的圆上，求出该圆的方程，与圆的方程联立可得直线的方程，将其变形分析可得直线恒过的定点. 【解析】如图，连接，， 根据题意，设为直线上的一点，则， 由于为圆的切线，则有，， 则点、在以为直径的圆上， 以为直径的圆的圆心为，半径， 则其方程为，变形可得， 联立可得直线AB：， 又由，则有AB：， 变形可得， 则有，解可得，故直线恒过定点. 故选：B. 2．以下四个命题表述错误的是（  ） A. 圆上有且仅有个点到直线的距离都等于 B. 曲线与曲线，恰有四条公切线，则实数的取值范围为 C. 已知圆，为直线上一动点，过点向圆引一条切线，其中为切点，则的最小值为 D. 已知圆，点为直线 上一动点，过点向圆引两条切线，，为切点，则直线经过点 【答案】B 【分析】选项A根据圆心到直线的距离与半径的关系来确定所求点的个数；选项B根据两曲线有四条公切线，确定曲线类型为圆，再由两圆外离列不等式求解；选项C利用圆心与切点的连线垂直切线列等式，转化为求圆心到直线上的点的距离的最小值问题；选项D，设点 为直线上一点，求出切线的方程即可判断． 【解析】选项A：圆的圆心为 ，半径 ， 所以圆心到直线的距离， 所以圆上有且仅有个点到直线的距离都等于， 故选项A正确； 选项B：方程可化为，故曲线 表示圆心为，半径 的圆， 方程可化为， 因为圆 与曲线 有四条公切线， 所以曲线也为圆，且圆心为 ，半径 ， 同时两圆的位置关系为外离，有 ，即 ， 解得，故B错误； 选项C：圆的圆心 ，半径 ， 圆心到直线的距离， 所以直线与圆相离，由切线的性质知， 为直角三角形， ，当且仅当 与直线垂直时等号成立，所以 的最小值为，故选项C正确； 选项D：设点为直线上一点，则以，为直径的圆的方程为，即：，两圆的方程相减得到直线方程为，即， 所以直线过定点，D正确． 故选：B． 3．已知直线与圆，设O为坐标原点，若直线l与圆C交于M，N两点，且直线OM，ON的斜率分别为，，则=（  ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】 【解析】由直线得， 联立，解得， 直线l恒过定点. 圆的圆心为，半径为，直线过点， 直线l与圆C交于M，N两点，则直线l的斜率存在， 设直线l方程为， 联立，得， 设，，则，， 是定值，定值为 故答案为： 4．（多选）设有一组圆Ck：（x－k）2＋（y－k）2＝4（k∈R），下列命题正确的是 （  ） A.不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上 B.所有圆Ck均不经过点（3，0） C.经过点（2，2）的圆Ck有且只有一个 D.所有圆的面积均为4π 【答案】ABD 【解析】　圆心坐标为（k，k），在直线y＝x上，A正确；令（3－k）2＋（0－k）2＝4，化简得2k2－6k＋5＝0，∵Δ＝36－40＝－4＜0，∴2k2－6k＋5＝0无实数根，B正确；由（2－k）2＋（2－k）2＝4，化简得k2－4k＋2＝0，∵Δ＝16－8＝8＞0，有两不等实根，∴经过点（2，2）的圆Ck有两个，C错误；由圆的半径为2，得圆的面积为4π，D正确. 故选：ABD. 5．（多选）已知点在直线：上，过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则（  ） A. 存在点，使得四边形为菱形 B. 四边形的面积最小值为 C. 的外接圆恒过两个定点 D. 原点到直线的距离不超过 【答案】BCD 【分析】由到直线距离结合已知条件可判断AB；由点共圆以及点求出直线，利用点到直线的距离可判断CD 【解析】对于A：当四边形为菱形时，， 则， 又到直线的距离为， 所以不存在点，使得四边形为菱形，故A错误； 对于B：由A可知，， 所以四边形的面积， 所以四边形的面积最小值为，故B正确； 对于C：设，由图象可知四点在以为直径的圆上， 圆的方程为， 即， 令，解得或， 所以的外接圆恒过两个定点，故C正确； 对于D：过的圆的方程为， 由得直线的方程为：， 则原点到直线的距离为 ，故D正确； 故选：BCD. 6．已知动圆经过坐标原点，且圆心在直线上，动圆恒过一个异于点的定点________． 【答案】， 【解析】设定点坐标，，因为圆的方程为： 所以， 即， 因为当为变量时，，却能使该等式恒成立， 所以只可能且 即解方程组可得：，或者，（舍去） 所以圆恒过一定点，. 故答案为：， 7．设有一组圆，存在定直线________始终与圆相切。 【答案】 【解析】存在直线，即或， 圆心到直线或的距离， 这两条直线始终与圆相切，C正确， 故答案为： 8．已知是圆上两点，且，直线上存在点使得，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用圆的弦长公式求得，从而得到计算得到，再利用向量线性运算的坐标表示得到关于的表示，进而代入得到关于的二次方程，利用判别式得到关于的不等式，解之即可得解. 【解析】依题意，设中点为，，，， 故，即，则， 因为，则， 故，则， 整理得，由题意可知必存在， 即方程有解，故，解得或， 即的取值范围为. 故答案为：. 9．已知圆过点，且与直线相切于点． (1)求圆的方程； (2)过点的直线与圆交于两点，若为直角三角形，求直线的方程； (3)在直线上是否存在一点，过点向圆引两切线，切点为，使为正三角形，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由． 【答案】(1)(2)或 (3)存在点或，使为正三角形 【分析】（1）设圆心为，根据圆心和切点连线与切线垂直、圆心到圆上两点的距离相等可构造方程组求得圆心坐标，进而得到半径，由此可得圆的方程； （2）由等腰直角三角形性质可知圆心到直线的距离；分别在直线斜率不存在和存在的情况下，根据构造方程求得结果； （3）由等边三角形性质可知，设，利用两点间距离公式可构造方程求得，进而得到点坐标. 【解析】（1）设圆心坐标为，则，解得：， 圆的半径，圆的方程为：. （2）为直角三角形，，， 则圆心到直线的距离；当直线斜率不存在，即时，满足圆心到直线的距离； 当直线斜率存在时，可设，即， ，解得：，，即； 综上所述：直线的方程为或. （3）假设在直线存在点，使为正三角形，，， 设，，解得：或， 存在点或，使为正三角形. 10．长为4的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，线段AB的中点P的轨迹为曲线C． （1）求曲线C的方程，并说明其形状； （2）过点作两条直线分别与曲线C交于P、Q两点，若直线MP，MQ的斜率之积为，线段PQ的中点为D，求证：存在定点E，使得为定值，并求出此定值． 【答案】（1），是以坐标原点为圆心，2为半径的圆； （2）证明见解析，此定值为． 【分析】（1）利用几何法直接求出轨迹方程，进而判断出形状；（2）设直线方程为与联立求出，由的斜率为，同理求出.根据对称性可知，判断出过. 由直角三角形的性质判断出为的中点为定值. 【解析】（1）∵，P为线段AB中点， ∴，设，则，即. 则曲线C是以坐标原点为圆心，2为半径的圆； （2） 根据题意，直线MP的斜率存在且不为0，MP设斜率为k， 则直线方程为代入中，整理得， 故，，即， 因为直线，的斜率之积为，所以的斜率为，同理：. 根据对称性可知，直线所过定点在轴上， 不妨令，得， 此时，即过， 则，所以过定点. 连接，在圆O中，由垂径定理可得：. 当D、F不重合时，即，所以为直角三角形，取的中点，则． 当D、F重合时，取的中点，则也成立． 故存在定点E，使得为定值，此定值为． 11.已知直线，圆. (1)证明：直线l与圆C相交； (2)设l与C的两个交点分别为A、B，弦AB的中点为M，求点M的轨迹方程； (3)在（2）的条件下，设圆C在点A处的切线为，在点B处的切线为，与的交点为Q.试探究：当m变化时，点Q是否恒在一条定直线上？若是，请求出这条直线的方程；若不是，说明理由. 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)点Q恒在直线上，理由见解析. 【分析】（1）求出直线过定点，得到在圆内部，故证明直线l与圆C相交；（2）设出点，利用垂直得到等量关系，整理后即为轨迹方程；（3）利用Q、A、B、C四点共圆，得到此圆的方程，联立，求出相交弦的方程，即直线的方程，根据直线过的定点，得到，从而得到点Q恒在直线上. 【解析】(1)证明：直线过定点，代入得：，故在圆内，故直线l与圆C相交； (2)圆的圆心为，设点，由垂径定理得：，即，化简得：，点M的轨迹方程为： (3)设点，由题意得：Q、A、B、C四点共圆，且圆的方程为：，即，与圆C的方程联立，消去二次项得：，即为直线的方程，因为直线过定点，所以，解得：，所以当m变化时，点Q恒在直线上. 12.已知圆，圆的圆心在直线上，且过点． (1)求圆的标准方程； (2)已知第二象限内的点在圆上，过点作圆的切线恰好与圆相切，求的斜率； (3)判断是否存在斜率为1的直线与圆交于点P，Q，与圆交于点M，N，且，若存在，求出；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2); (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）设出圆心，由得到方程，求出，得到圆心，进而求出半径，得到圆的标准方程； （2）设，则，设出切线方程，由到切线的距离为1得到方程，又，化简得到，解得，代入切线方程，化简得到，根据到的距离得到或，联立，求出，舍去不合要求的解，求出，故的斜率为； （3）设的方程为，由直线与两圆的位置关系得到不等式，求出，由垂径定理和，解得或，均不满足要求，故不存在斜率为1的直线与圆交于点P，Q，与圆交于点M，N，且. 【解析】（1）设圆的圆心为，由得 ，解得， 故圆心为，半径为， 故圆的标准方程为； （2）设，则， 显然过点的切线斜率存在， 过点的切线方程设为， 圆心到切线的距离为1，即， 即， 又，故，即，解得， 故，即，即， 圆心到的距离为2，即， 故或，解得或， 若，联立，解得，与矛盾，舍去， 若，联立，解得或0（舍去）， 故，所以， 故的斜率为； （3）不存在斜率为1的直线与圆交于点P，Q，与圆交于点M，N，且，理由如下： 设的方程为， 由题意得，圆心到的距离，解得， 圆心到的距离，解得， 故， 由垂径定理得， 解得或，均不满足要求， 故不存在斜率为1的直线与圆交于点P，Q，与圆交于点M，N，且. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 圆中定点、定值、定线问题 目录 A题型建模・专项突破 题型一、圆中定点问题 1 题型二、圆中定值问题 4 题型三、圆中定直线问题 6 题型四、圆中探索性、存在性问题 8 B综合攻坚・能力跃升 题型一、圆中定点问题 1．已知点为直线上任意一点，为坐标原点．则以为直径的圆除过定点外还过定点（  ） A． B． C． D． 2．若抛物线与坐标轴分别交于三个不同的点、、，则的外接圆恒过的定点坐标为_______ 3．已知平面内的动点与两个定点的距离的比为，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程，并说明其形状； (2)已知，过直线上的动点分别作曲线的两条切线（为切点），证明：直线过定点，并求该定点坐标； 4．在平面直角坐标系xOy中，圆C：与圆：相切于点，且直线l：与圆C有公共点． (1)求圆C的方程； (2)设点P为圆C上的动点，直线l分别与x轴和y轴交于点M，N，求证：存在定点B，使得； 题型二、圆中定值问题 5．若直线被圆截得的弦长为定值，则实数的值为（  ） A． B．0 C．1 D．2 6．（多选）下列关于直线与圆的说法正确的是（  ） A．若直线与圆相切，则为定值 B．若，则直线被圆截得的弦长为定值 C．若，则圆上仅有两个点到直线的距离相等 D．当时，直线与圆相交 7．已知直线恒过定点，且以为圆心的圆与直线相切. (1)求圆的一般方程； (2)设过点的直线与圆交于，两点，判断是否为定值.若是，求出这个定值；若不是，请说明理由. 8．已知直线与圆. (1)求证：直线l过定点，并求出此定点坐标； (2)设O为坐标原点，若直线l与圆C交于M，N两点，且直线OM，ON的斜率分别为，，则是否为定值？若是，求出该定值：若不是，请说明理由． 题型三、圆中定直线问题 9．设有一组圆，存在定直线 始终与圆相切. 10．已知圆C过原点，圆心C是直线与直线的交点. (1)求圆C的标准方程； (2)若圆C与y轴交于A､B两点（A在B上方），直线与圆C交于M､N两点，直线，相交于T.请问点T是否在定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，说明理由. 11．已知圆C经过两点，圆心在直线上. (1)求圆C的标准方程； (2)若圆C与y轴相交于A，B两点（A在B上方）.直线与圆C交于M，N两点，直线，相交于点T.请问点T是否在定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，说明理由. 题型四、圆中探索性、存在性问题 12.已知在平面直角坐标系Oxy中，，.点P满足，设点P所构成的曲线为C，下列结论正确的是（  ） A．曲线C的方程为 B．曲线C上存在点D，使得D到点的距离为10 C．曲线C上存在点M，使得 D．曲线C上的点到直线的最大距离为9 13．(多选)已知圆的方程为，为圆上任意一点，则以下选项正确的是（  ） A存在轴上的唯一点对，，使得为常数 B存在轴上的无数个点对，，使得为常数 C存在直线（）上的唯一点对，，使得为常数 D存在直线（）上的无数个点对，，使得为常数 14．（多选）已知直线与圆交于、两点，点为线段的中点，点的坐标为，则下列说法正确的是（  ） A．当时， B．的最小值为 C．存在点，使 D．存在，使 15．已知圆C与y轴相切，圆心C在射线上，且截直线所得弦长为． （1）求圆C方程； （2）已知点，直线与圆C交于A、B两点，是否存在m使得，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 16．已知圆和点. (1)过作圆的切线，求切线的方程； (2)过作直线交圆于点，两个不同的点，且不过圆心，再过点，分别作圆的切线，两条切线交于点，求证：点在同一直线上，并求出该直线的方程； (3)已知，设为满足方程的任意一点，过点向圆引切线，切点为，试探究：平面内是否存在一定点，使得为定值？若存在，请求出定点的坐标，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由. 1．设点P为直线l：上任意一点，过点P作圆O：的切线，切点分别为A，B，则直线AB必过定点（  ） A． B． C． D． 2．以下四个命题表述错误的是（  ） A. 圆上有且仅有个点到直线的距离都等于 B. 曲线与曲线，恰有四条公切线，则实数的取值范围为 C. 已知圆，为直线上一动点，过点向圆引一条切线，其中为切点，则的最小值为 D. 已知圆，点为直线 上一动点，过点向圆引两条切线，，为切点，则直线经过点 3．已知直线与圆，设O为坐标原点，若直线l与圆C交于M，N两点，且直线OM，ON的斜率分别为，，则=（  ） A．0 B．1 C． D．2 4．（多选）设有一组圆Ck：（x－k）2＋（y－k）2＝4（k∈R），下列命题正确的是 （  ） A.不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上 B.所有圆Ck均不经过点（3，0） C.经过点（2，2）的圆Ck有且只有一个 D.所有圆的面积均为4π 5．（多选）已知点在直线：上，过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则（  ） A. 存在点，使得四边形为菱形 B. 四边形的面积最小值为 C. 的外接圆恒过两个定点 D. 原点到直线的距离不超过 6．已知动圆经过坐标原点，且圆心在直线上，动圆恒过一个异于点的定点________． 7．设有一组圆，存在定直线________始终与圆相切。 8．已知是圆上两点，且，直线上存在点使得，则的取值范围为 . 9．已知圆过点，且与直线相切于点． (1)求圆的方程； (2)过点的直线与圆交于两点，若为直角三角形，求直线的方程； (3)在直线上是否存在一点，过点向圆引两切线，切点为，使为正三角形，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由． 10．长为4的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，线段AB的中点P的轨迹为曲线C． （1）求曲线C的方程，并说明其形状； （2）过点作两条直线分别与曲线C交于P、Q两点，若直线MP，MQ的斜率之积为，线段PQ的中点为D，求证：存在定点E，使得为定值，并求出此定值． 11.已知直线，圆. (1)证明：直线l与圆C相交； (2)设l与C的两个交点分别为A、B，弦AB的中点为M，求点M的轨迹方程； (3)在（2）的条件下，设圆C在点A处的切线为，在点B处的切线为，与的交点为Q.试探究：当m变化时，点Q是否恒在一条定直线上？若是，请求出这条直线的方程；若不是，说明理由. 12.已知圆，圆的圆心在直线上，且过点． (1)求圆的标准方程； (2)已知第二象限内的点在圆上，过点作圆的切线恰好与圆相切，求的斜率； (3)判断是否存在斜率为1的直线与圆交于点P，Q，与圆交于点M，N，且，若存在，求出；若不存在，请说明理由． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $