专题06 圆的最值与范围六种常考题型（专项训练）数学湘教版2019高二选择性必修第一册

专题06 圆的最值与范围 目录 A题型建模・专项突破 题型一、形如的最值与范围问题 1 题型二、形如的最值与范围问题 2 题型三、形如的最值与范围问题 3 题型四、弦长最值与范围问题 4 题型五、切线长最值与范围问题 5 题型六、面积最值与范围问题 6 B综合攻坚・能力跃升 题型一、形如的最值与范围问题 1．设点是曲线上的任意一点，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 2．（多选）（2021·湖北宜昌·高二期中）实数，满足，则下列关于的判断正确的是（  ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 3．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值（且）的点所形成的图形是圆，后来，人们把这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知点到两个定点，的距离之比为2，则的取值范围为 . 4．已知圆：，圆：，其中，.若两圆外切，则的取值范围为 . 5．已知圆C的圆心坐标为(2，7)，直线 是圆C的一条切线，且点 (－2，3)为圆外的一点，.若点在圆C上运动，求的最大值和最小值． 题型二、形如的最值与范围问题 6．已知是圆上的两个动点，且，点是线段的中点，则的最大值为（  ） A．12 B． C．6 D． 7．（多选）瑞士著名数学家欧拉在年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上.这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作，，点，点，且其“欧拉线”与圆相切，则下列结论正确的是（  ） A．圆上的点到直线的最小距离为 B．圆上的点到直线的最大距离为 C．若点在圆上，则的最小值是 D．圆与圆有公共点，则的取值范围是 8．点在圆上，则的范围是_______． 9．已知圆心为C的圆经过点A(0，2)和B(1，1)，且圆心C在直线l：x＋y＋5＝0上． (1)求圆C的标准方程； (2)若P(x，y)是圆C上的动点，求3x－4y的最大值与最小值． 10．已知，，，且，点． (1)求的最大值和最小值； (2)求的最大值和最小值； (3)求的最大值和最小值． 11．已知点是圆上任意一点． (1)求P点到直线的距离的最大值和最小值． (2)求的最大值和最小值． (3)求的最大值和最小值 题型三、形如的最值与范围问题 12．已知实数满足，则的最小值为（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 13.已知实数、满足方程，则最小值为（  ） A． B． C． D． 14.（多选）（24-25高二上·浙江杭州·期中）已知直线，圆，点为圆上一动点，则下列说法正确的是（  ） A．的最大值为5 B．的最大值为 C．的最大值为 D．圆心到直线的距离最大为4 15．已知满足，则的最小值为___________. 16．若直线始终平分圆的周长，则的最小值为___________. 题型四、弦长最值与范围问题 17．已知圆，直线过点，则直线被圆截得的弦长的最小值为（  ） A． B． C． D． 18．直线（其中）被圆所截得的最短弦长等于（  ） A． B． C． D． 19.（多选）已知直线：和圆：，则（  ） A．存在k使得直线与直线：垂直 B．直线恒过定点 C．直线与圆相交 D．直线被圆截得的最短弦长为 20．已知圆，直线与圆相交，则直线截圆的最短弦长为 ． 21．已知直线，圆. (1)证明：直线与圆相交. (2)记直线与圆的交点为，求的最小值. 22．已知圆，直线. (1)求证：直线恒过定点； (2)直线被圆截得的弦何时最短？并求截得的弦长最短时的值以及最短弦长； (3)在（2）的条件下，求以短弦长为直径的圆的方程. 题型五、切线长最值与范围问题 23．由直线上的一点向圆引切线，切点为，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 24．（多选）已知圆，点是圆上的点，直线，则（  ）A．直线与圆相交所得弦长是 B．的最大值是 C．圆上恰有个点到直线的距离等于 D．过点向圆引切线，为切点，则最小值为 25． （多选）设圆，直线，为上的动点，过点作圆的两条切线、，切点分别为、，则下列说法中正确的有（  ） A．的取值范围为 B．四边形面积的最小值为 C．存在点使 D．直线过定点 26．若过直线上一点作圆的两条切线，切点为，则的最小值是（  ） A． B． C． D． 27．已知圆的方程为. (1)过点的直线截圆所得弦长为，求直线的方程； (2)过直线上任意一点向圆引切线，切点为，求的最小值. 28．已知圆的圆心在直线上且与轴相切，圆被直线截得的弦长为4. (1)求圆的标准方程； (2)从圆外一点向圆引一条切线，切点为，为坐标原点，且，求的最小值. 题型六、周长、面积最值与范围问题 29．已知直线3x＋4y-12＝0与x轴，y轴相交于A，B两点，点C在圆x2＋y2-10x-12y＋52＝0上移动，则△ABC面积的最大值和最小值之差为（  ） A．6 B．9 C．12 D．15 30.过直线上一点作圆：的切线，切点为，，则四边形的面积的最小值为（  ） A． B． C．3 D． 31.已知P为圆上任意一点，A，B为直线上的两个动点，且，则面积的最大值是（  ） A．1 B． C．3 D． 32.设P为直线上的动点，PA、PB为圆的两条切线，A、B为切点，则四边形APBC面积的最小值为__________ . 33．已知圆经过点，且与直线相切，圆心在直线上. （1）求圆的方程； （2）点在直线上，过点作圆的两条切线，分别与圆切于、两点，求四边形周长的最小值. 34．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得､阿基米德齐名，他发现；平面内到两个定点的距离之比为定值且的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，．点满足，设点所构成的曲线为． (1)求点的轨迹方程； (2)若，求点的轨迹的方程； (3)过作两条互相垂直的直线与点的轨迹分别交于和四点，求四边形面积的最大值． 1．已知半径为3的圆的圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为（  ） A． B． C． D． 2．已知圆，过直线上的动点作圆C的一条切线，切点为A，则的最小值为（  ） A．2 B．4 C． D．3 3．已知圆，直线，则直线与圆相交弦长的最小值为（  ） A．4 B．2 C．6 D． 4．已知，，点P满足，则面积的最大值为（  ） A． B． C． D． 5．已知圆和两点，若圆上存在点，使得，则的取值范围为（  ） A． B． C． D． 6．已知圆，点为直线上的动点，以为直径的圆与圆相交于两点，则四边形面积的最小值为（  ） A． B． C．2 D．4 7．（多选）已知实数满足方程，则下列说法正确的是（  ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最大值为5 8．（多选）一条动直线与圆相切，并与圆相交于点，点为定直线：上动点，则下列说法正确的是（  ） A．存在直线，使得以为直径的圆与相切 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 9．（多选）已知圆，点P是直线上一动点，过点P作圆M的切线，切点分别是A、B，下列说法正确的有（  ） A．圆M上恰有一个点到直线l的距离为 B．切线长的最小值为1 C．四边形面积的最小值为1 D．直线恒过定点 10.已知实数满足，则的最大值为_________ 11．已知点为直线上的动点，过P点作圆的切线，，切点为，则周长的最小值为_________ 12．已知圆与直线，过上任意一点向圆引切线，切点为和，若线段长度的最小值为，则实数的值为____________ 13．已知圆的方程为． (1)直线过点，且与圆交于、两点，若，求直线的方程； (2)点为圆上任意一点，求的最大值和最小值． 14.已知圆M过，两点，且圆心M在上． (1)求圆M的方程； (2)设P是直线上的动点，是圆M的两条切线，为切点，求四边形PAMB面积的最小值． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 圆的最值与范围 目录 A题型建模・专项突破 题型一、形如的最值与范围问题 1 题型二、形如的最值与范围问题 4 题型三、形如的最值与范围问题 7 题型四、弦长最值与范围问题 9 题型五、切线长最值与范围问题 12 题型六、面积最值与范围问题 16 B综合攻坚・能力跃升 题型一、形如的最值与范围问题 1．设点是曲线上的任意一点，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】曲线表示以为圆心，为半径的下半圆，如图所示： 可表示点与点连线斜率 当直线与圆相切时：设直线方程为，即 圆心到直线距离， 解得或， 又，所以， 当直线经过点时，， 综上 故选：B. 2．（多选）（2021·湖北宜昌·高二期中）实数，满足，则下列关于的判断正确的是（  ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】CD 【解析】由题意可得方程为圆心是，半径为1的圆， 则为圆上的点与定点的斜率的值， 设过点的直线为，即， 则圆心到到直线的距离，即，整理可得，解得， 所以，即的最大值为，最小值为. 故选：CD. 3．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值（且）的点所形成的图形是圆，后来，人们把这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知点到两个定点，的距离之比为2，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】首先求点的轨迹方程，再根据的几何意义，转化为直线与圆有交点，即可求解. 【解析】由题意可知，， ，整理为， 所以点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，   表示圆上的点与定点连线的斜率， 设，即，如图可知，直线与圆有交点， 则，解得：. 故答案为：. 4．已知圆：，圆：，其中，.若两圆外切，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据两圆外切得到，从而将转化为点与形成直线的斜率，从而得到关于的不等式，解之即可得解. 【解析】圆和圆外切， 则，整理得到， 表示圆的点与形成直线的斜率， 易知直线斜率存在，设直线方程为，即， 所以，解得. 故答案为：. 5．已知圆C的圆心坐标为(2，7)，直线 是圆C的一条切线，且点 (－2，3)为圆外的一点，.若点在圆C上运动，求的最大值和最小值． 【答案】最大值是，最小值是 【解析】设过点的直线方程为：，即，易知直线与圆相切时，有最值，由，解得，所以的最大值是，最小值是 题型二、形如的最值与范围问题 6．已知是圆上的两个动点，且，点是线段的中点，则的最大值为（  ） A．12 B． C．6 D． 【答案】C 【分析】先根据题意求出的轨迹方程为，设到直线的距离为，由此可得，将问题转化为求圆上的点到直线距离的最大值，先求圆心到直线的距离再加半径即可求解. 【解析】根据已知有，圆心，半径，因为弦， 所以圆心到所在直线的距离， 又因为为的中点，所以有， 所以的轨迹为圆心为，半径为的圆， 的轨迹方程为； 令直线为，则到直线的距离为， 则，即，所以当最大时， 也取得最大值， 由此可将问题转化为求圆上的点到直线距离的最大值的倍， 设圆心到直线的距离为，则，所以， 所以的最大值为6. 故选：C. 7．（多选）瑞士著名数学家欧拉在年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上.这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作，，点，点，且其“欧拉线”与圆相切，则下列结论正确的是（  ） A．圆上的点到直线的最小距离为 B．圆上的点到直线的最大距离为 C．若点在圆上，则的最小值是 D．圆与圆有公共点，则的取值范围是 【答案】ACD 【解析】因为，所以是等腰三角形，可得的外心、重心、垂心都位于的垂直平分线上，由点，点可得线段的中点为，且直线的斜率，所以线段的垂直平分线的方程为，即.又圆的圆心为，直线与圆相切，所以点到直线的距离为，所以圆. 对于选项A、B：圆的圆心到直线的距离，所以圆上的点到直线的最小距离为，最大距离为，故选项A正确，选项 B错误； 对于C，令，即，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离为，解得或，则的最小值是，故选项C正确； 对于D，圆的圆心为，半径为，若该圆与圆有公共点，则，即，解得，故选项D正确. 故选：ACD. 8．点在圆上，则的范围是_______． 【答案】 【解析】设，，即， 所以， 因为，所以. 故答案为： 9．已知圆心为C的圆经过点A(0，2)和B(1，1)，且圆心C在直线l：x＋y＋5＝0上． (1)求圆C的标准方程； (2)若P(x，y)是圆C上的动点，求3x－4y的最大值与最小值． 【答案】（1）；（2）最大值为24，最小值为-26 【解析】（1）的中点为 ，又 的中垂线方程为，即， 由解得， 圆心为， ∴圆的方程为 （2）令即，直线与圆有公共点， ∴圆心到直线的距离为， 解得． 所以3x－4y的最大值为24，最小值为-26． 10．已知，，，且，点． (1)求的最大值和最小值； (2)求的最大值和最小值； (3)求的最大值和最小值． 【答案】(1)最大值为，最小值为；(2)最大值为，最小值为0； (3)最大值，最小值为. 【分析】（1）由求出点的轨迹，结合两点间距离即可求； （2）将问题转化为直线与圆有交点问题，结合点到直线的距离公式计算； （3）将问题转化为直线与圆相切问题，结合点到直线的距离公式计算. 【解析】（1）由题意，因为， 所以， 整理得， 所以点的轨迹为以为圆心，6为半径的圆. 所以点到的距离为， 所以的最小值为，最大值为. （2）设，则 ， 由题意与有交点， 所以， 解得， 所以的最大值为，最小值为0. （3）设，则 当直线与圆相切时，截距取到最值， 所以，解得或， 所以的最大值为，最小值为. 11．已知点是圆上任意一点． (1)求P点到直线的距离的最大值和最小值． (2)求的最大值和最小值． (3)求的最大值和最小值 【答案】(1)最大值为，最小值为; (2)最大值为，最小值为; (3)最大值为，最小值为 【分析】（1）转化为圆心到直线的距离的最大值和最小值； （2）解法一，转化为直线与圆有公共点，解法二，利用三角换元求最值； （3）首先设，再转化为直线与圆有交点， 【解析】（1）圆心到直线的距离为． ∴P点到直线的距离的最大值为，最小值为． （2）设，则直线与圆有公共点， ∴，解得， 则，即的最大值为，最小值为． （3）表示圆上的点与点连线的斜率为k， 设，即，直线与圆有交点， 设，解得． 则，即的最大值为，最小值为． 题型三、形如的最值与范围问题 12．已知实数满足，则的最小值为（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【解析】表示点与圆上动点之间的距离的平方，若最小，则也最小， 数形结合知的最小值为， 故的最小值为5. 故选：D 13.已知实数、满足方程，则最小值为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】圆的标准方程为，圆心为，半径长为， ，所以，原点在圆外. 的几何意义为坐标原点到圆上一点距离的平方，. 故选：A. 14.（多选）（24-25高二上·浙江杭州·期中）已知直线，圆，点为圆上一动点，则下列说法正确的是（  ） A．的最大值为5 B．的最大值为 C．的最大值为 D．圆心到直线的距离最大为4 【答案】BC 【分析】根据直线和圆的位置关系、点和圆的位置关系等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【解析】对于A，圆的方程可化为，所以圆的圆心为，半径. ，是圆上的点， 所以的最大值为，A错误. 对于B，如图所示，当直线的斜率大于零且与圆相切时，最大， 此时，且，B正确. 对于C，设， 则， 等号成立当且仅当，所以C正确. 对于D，圆心到直线的距离， 当时，， 当时，，所以D错误. 故选：BC. 15．已知满足，则的最小值为___________. 【答案】 【解析】设圆的圆心为，半径为， 表示圆上的点与原点的距离的平方， 连接，可得， 线段与圆的交点到原点的距离最小， 所以的最小值为. 故答案为：. 16．若直线始终平分圆的周长，则的最小值为___________. 【答案】 【解析】由题意直线过已知圆的圆心，圆心为，∴，即， 点在直线上， 表示直线的点到点的距离， ∴最小值为． 故答案为： 题型四、弦长最值与范围问题 17．已知圆，直线过点，则直线被圆截得的弦长的最小值为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断出与圆的位置关系，然后根据圆心到直线的距离的最大值求解出弦长的最小值. 【解析】直线恒过定点，圆的圆心为，半径为， 又，即在圆内， 当时，圆心到直线的距离最大为， 此时，直线被圆截得的弦长最小，最小值为． 故选：A. 18．直线（其中）被圆所截得的最短弦长等于（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出直线过定点，根据圆的几何性质当定点与圆心连线垂直直线时，直线截得弦最短即可得解. 【解析】因为可化为， 所以直线恒过定点， 由圆知圆心，半径， 由圆的几何性质知，当与直线垂直时，直线被圆所截得弦最短， 此时弦长为, 故选：B. 19.（多选）已知直线：和圆：，则（  ） A．存在k使得直线与直线：垂直 B．直线恒过定点 C．直线与圆相交 D．直线被圆截得的最短弦长为 【答案】ACD 【分析】对于A：根据直线方程可得斜率，结合垂直关系分析判断；对于B：将直线方程化为，即可得定点；对于C：判断定点与圆的位置关系，即可判断直线与圆的位置关系；对于D：根据题意结合圆的性质分析求解. 【解析】由题意可知：圆：的圆心为，半径， 对A：因为直线：的斜率为， 当直线的斜率为时，此时直线与直线垂直，满足题意，A正确； 对B：由可得，， 令，解得，所以直线恒过定点，故B错误； 对C：因为定点到圆心的距离为， 所以定点在圆内，所以直线与圆O相交，C正确； 对D：直线恒过定点，圆心到直线的最大距离为， 此时直线被圆O截得的弦长最短为，D正确； 故选：ACD. 20．已知圆，直线与圆相交，则直线截圆的最短弦长为 ． 【答案】 【分析】由求出直线过的定点，进而可判断定点在圆内，所以直线被圆截得的弦长最短时，，由此即可求解． 【解析】将直线整理得，， 由得，， 则直线过定点， 由得，，圆心为，半径 因为，所以点在圆内部， 当直线截圆的弦长最短时，， 所以弦长为， 故答案为：． 21．已知直线，圆. (1)证明：直线与圆相交. (2)记直线与圆的交点为，求的最小值. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】（1）求出直线所过定点，判断该定点与圆的位置关系即可推理得证. （2）利用圆的性质求出最短弦长. 【解析】（1）直线：， 令，解得， 则直线过定点， 圆的圆心，半径， 而， 因此点在圆的内部， 所以直线与圆相交. （2）由（1）知，，当且仅当时，弦长最短， 所以的最小值为. 22．已知圆，直线. (1)求证：直线恒过定点； (2)直线被圆截得的弦何时最短？并求截得的弦长最短时的值以及最短弦长； (3)在（2）的条件下，求以短弦长为直径的圆的方程. 【答案】(1)证明见解析；(2)当的方程为时最短；，最短弦长为； (3) 【分析】（1）将直线的方程可化为，解方程组得定点坐标. （2）根据圆的性质可得：当直线过圆心时，直线被圆截得的弦长最长，当直线时，直线被圆截得的弦长最短，据此运算求解. （3）利用（2）的信息直接写出圆的方程. 【解析】（1）直线的方程可化为，由，解得， 所以直线恒过定点. （2）圆的圆心，半径， 令点，当直线时，直线被圆截得的弦长最短， 直线的斜率为，由得直线的斜率为，解得 此时的方程为，即， 圆心到直线的距离为，最短弦长为 所以当的方程为时最短；，最短弦长为. （3）由（2）知，以短弦长为直径的圆的圆心为，半径为， 所以以短弦长为直径的圆的方程. 题型五、切线长最值与范围问题 23．由直线上的一点向圆引切线，切点为，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先确定圆的圆心和半径，由点到直线距离公式求出圆心到直线距离，结合得取得最小值时取得最小值和的最小值为即可求解. 【解析】圆的圆心坐标为，半径为， 所以圆心到直线的距离为， 因为，所以当取得最小值时，取得最小值， 而的最小值为，所以. 故选：. 24．（多选）已知圆，点是圆上的点，直线，则（  ）A．直线与圆相交所得弦长是 B．的最大值是 C．圆上恰有个点到直线的距离等于 D．过点向圆引切线，为切点，则最小值为 【答案】CD 【分析】根据点到直线的距离判断弦长及圆上的点到直线的距离，根据的几何意义可得最值，再根据切线长的计算公式可得最值. 【解析】    如图所示， 由已知圆，则圆心，半径， A选项：圆心到直线的距离， 则弦长为，A错； B选项：可表示点与点连线的斜率， 易知当直线与圆相切时，斜率取得最值， 设斜率，则直线，即， 则，解得， 所以，其最大值为，B错； C选项：，，所以圆上恰有个点到直线的距离等于，正确； D选项：由圆可知圆心，半径， 由切线长可知， 所以当取得最小值时，取最小值， 又，即的最小值为， 所以的最小值为，D选项正确； 故选：CD. 25． （多选）设圆，直线，为上的动点，过点作圆的两条切线、，切点分别为、，则下列说法中正确的有（  ） A．的取值范围为 B．四边形面积的最小值为 C．存在点使 D．直线过定点 【答案】ABD 【分析】根据切线长公式即可求解A，B，C，设出点的坐标，求出以为直径的圆的方程，利用两圆的方程相减得到公共弦的方程，将代入直线的方程恒成立，可得答案. 【解析】圆心到直线的距离为，    所以，因为圆的半径为，根据切线长公式可得， 当时取等号，所以的取值范围为，所以A正确； 因为，所以四边形面积等于，四边形面积的最小值为，故B正确； 因为，所以，在直角三角形中，，所以，设，因为，整理得，方程无解，所以不存在点使，故C不正确； 对于D，设，则，，以为直径的圆的圆心为，半径为，所以以为直径的圆的方程为，化简得，所以为圆与以为直径的圆的公共弦， 联立可得，两式相减可得：，即直线的方程为，即，故直线过定点，故D正确； 故选：ABD. 26．若过直线上一点作圆的两条切线，切点为，则的最小值是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用圆的几何性质，将化为，再求得两点间距离的最小值，进而求得的最小值. 【解析】圆的圆心，半径 四边形中，， 则，整理得， 又， 最小值即为圆心到直线的距离， 则 故选：D. 27．已知圆的方程为. (1)过点的直线截圆所得弦长为，求直线的方程； (2)过直线上任意一点向圆引切线，切点为，求的最小值. 【答案】(1)或；(2)6 【分析】（1）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，再由弦长公式求得结果； （2）由切线长公式可知当最小，计算可得的最小值. 【解析】（1）圆的标准方程为. ①当斜率不存在时，直线的方程为， 直线截圆所得弦长为，符合题意； ②当斜率存在时，设直线， 圆心到直线的距离为 根据垂径定理可得，即，解得. 即直线的方程为或 （2）圆心. 因为与圆相切，所以. 当最小，所以. 可得. 28．已知圆的圆心在直线上且与轴相切，圆被直线截得的弦长为4. (1)求圆的标准方程； (2)从圆外一点向圆引一条切线，切点为，为坐标原点，且，求的最小值. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）设圆心，半径为，则圆方程为，通过弦长公式列方程求得值，即可得圆的方程； （2）由，得点的轨迹方程，将的最小值转化为的最小值，即点到直线的距离为所求. 【解析】（1）因为圆心在上且与轴相切， 所以设圆心，半径为， 所以圆方程为， 又圆心到直线距离， 圆被直线截得弦长为4， 所以有：，解得， 所以圆方程为：； （2）解法一：因为，又因为，所以， 设，则，即， 所以点轨迹方程为. 因为， 所以的最小值就是的最小值， 即为点到直线的距离， 所以的最小值为. 解法二：因为，又因为，所以， 设，则，即，， ， 当时，取得最小值：， 所以的最小值为. 题型六、周长、面积最值与范围问题 29．已知直线3x＋4y-12＝0与x轴，y轴相交于A，B两点，点C在圆x2＋y2-10x-12y＋52＝0上移动，则△ABC面积的最大值和最小值之差为（  ） A．6 B．9 C．12 D．15 【答案】D 【解析】令得，令得，所以A（4，0），点B（0，3）， ∴|AB|＝5， 由x2＋y2-10x-12y＋52＝得， 所以圆的半径为3，圆心为， 圆心到直线的距离， 所以点C到直线的距离的最小值为，最大值为， 所以的最大值为，最小值为， 所以△ABC面积的最大值和最小值之差为. 故选：D 30.过直线上一点作圆：的切线，切点为，，则四边形的面积的最小值为（  ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【解析】由圆的方程可得：，则圆心为：，半径 又 为圆的切线，则    又     当四边形的面积的取最小值时，最小 又垂直于直线时，最小     四边形面积的最小值为： 故选：B 31.已知P为圆上任意一点，A，B为直线上的两个动点，且，则面积的最大值是（  ） A．1 B． C．3 D． 【答案】C 【解析】根据圆的方程，圆心到直线的距离， 所以圆上的点到直线的最大距离， 此时最大面积． 故选：C． 32.设P为直线上的动点，PA、PB为圆的两条切线，A、B为切点，则四边形APBC面积的最小值为__________ . 【答案】 【解析】圆的圆心，半径， 连接，，，可得，，且，， ， 的最小值是圆心到直线的距离， 所以四边形面积的最小值为． 故答案为：． 33．已知圆经过点，且与直线相切，圆心在直线上. （1）求圆的方程； （2）点在直线上，过点作圆的两条切线，分别与圆切于、两点，求四边形周长的最小值. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）因为圆心在直线上，所以可设，半径为， 则圆的方程为；又圆经过点，且与直线相切， 所以，解得，所以圆的方程为. （2）由题意：四边形周长，其中， 即取最小值时，此时周长最小，又因在直线上，即圆心到直线的距离时，的最小值为， 所以周长， 故四边形周长的最小值为. 34．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得､阿基米德齐名，他发现；平面内到两个定点的距离之比为定值且的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，．点满足，设点所构成的曲线为． (1)求点的轨迹方程； (2)若，求点的轨迹的方程； (3)过作两条互相垂直的直线与点的轨迹分别交于和四点，求四边形面积的最大值． 【答案】(1)‘’(2)；(3)7 【分析】（1）设点，由题设等式代入点的坐标，整理即得点的轨迹方程； （2）设点，由代入点的坐标，整理得，将其代入方程即得点的轨迹方程； （3）结合图形，过点分别作于点，作于点，记，可推得，再利用垂径定理，用表示弦长和，根据基本不等式，即可求得四边形面积的最大值. 【解析】（1）设，由可得：， 两边取平方，整理得：，即. 故点的轨迹方程为：； （2）设点，由，可得， 即则有（*）， 因点在圆上，故有， 将（*）代入上式得：，即. 故点的轨迹的方程为：； （3） 如图，过点分别作于点，作于点，记， 因,且，即得矩形,故有. 由图知, 则四边形面积为, 因，故， 由基本不等式，， 当且仅当，等号成立， 即当时，四边形面积取得最大值为7. 1．已知半径为3的圆的圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设圆心坐标，由对称知识求出圆心的坐标为，由此能求出半径为3的圆的标准方程． 【解析】设圆心坐标， 由圆心与点关于直线对称，得到直线与垂直， 结合的斜率为1得直线的斜率为， 所以，化简得①， 再由的中点在直线上， 得到，化简得② 联解①②，可得，， 圆心的坐标为， 半径为3的圆的标准方程为． 故选：D． 2．已知圆，过直线上的动点作圆C的一条切线，切点为A，则的最小值为（  ） A．2 B．4 C． D．3 【答案】C 【解析】连接，则，当最小时，最小， 又圆的圆心为，半径为， 则，故的最小值为. 故选：C. 3．已知圆，直线，则直线与圆相交弦长的最小值为（  ） A．4 B．2 C．6 D． 【答案】A 【解析】圆 ，则直线过定点， 因定点在圆内， 定点到圆心的距离为， 所以直线与圆相交弦长的最小值为. 故选：A. 4．已知，，点P满足，则面积的最大值为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，，， ，，化简得 点P的轨迹方程为： 依题意可得直线AB的方程为，即， 圆P的圆心在直线AB的方程上， 点P到直线AB的距离为圆P的半径时，的面积最大， 面积的最大值为 故选：B 5．已知圆和两点，若圆上存在点，使得，则的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】说明在以为直径的圆上， 而又在圆上，因此两圆有公共点， 则圆心距位于半径差的绝对值与半径和的闭区间中， 所以，即，又，解得. 故选：B 6．已知圆，点为直线上的动点，以为直径的圆与圆相交于两点，则四边形面积的最小值为（  ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】写出面积表达式，从而得到当与直线垂直时面积最小，代入数据计算即可. 【解析】由已知在以为直径的圆上， 所以， 又在圆上， 所以为圆的两条切线， 故 所以四边形面积， 圆的圆心坐标为，半径为， 所以， 所以， 而的最小值为点到直线的距离，此时与直线垂直，垂足为， 且点到直线的距离， 所以四边形面积的最小值为. 故选：B. 7．（多选）已知实数满足方程，则下列说法正确的是（  ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最大值为5 【答案】BCD 【分析】先根据圆的一般方程配方成标准方程确定圆心、半径，再逐项分析各个式子的几何意义即可求解. 【解析】因为，所以， 表示圆心为半径为的圆，设， 对于A，表示圆上的点与坐标原点连线的斜率，令，则， 所以当直线与圆相切于第一象限时，最大，此时， 所以，所以的最大值为，A错误； 对于B，表示圆上点到坐标原点距离的平方， 所以有，B正确； 对于C，设，所以，当直线与圆相切时， 取得最大或最小值，此时，圆心到直线的距离为半径，则， 解得，故，C正确； 对于D，表示圆上点到直线距离的倍， 圆心到直线距离为， 所以圆上点到直线的最大距离为, 所以，D正确. 故选：BCD. 8．（多选）一条动直线与圆相切，并与圆相交于点，点为定直线：上动点，则下列说法正确的是（  ） A．存在直线，使得以为直径的圆与相切 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】BCD 【解析】设线段 的中点为M ，根据圆的对称性可知点 在圆 上， 则，坐标原点到直线的距离为， 易知， 对于A：点到直线距离的最小值为 ，且， 所以以为直径的圆与相离，故A错误； 对于C：， 所以，故C正确； 对于B： ， 所以，故B正确； 对于D：由于两点在圆上，且，点到直线的距离， 求直线上点使得最小由对称性等同于求直线上一点使得的最小值问题， 设，，，点关于直线对称点为 ， 则 ，直线 ， 由 ，消去整理得， 即 ，即， 所以， ，同理 ， 所以 ，， 当且仅当三点共线时取等号， 所以当时，取最小值， 所以 的最小值为，故D正确； 故选：BCD 9．（多选）已知圆，点P是直线上一动点，过点P作圆M的切线，切点分别是A、B，下列说法正确的有（  ） A．圆M上恰有一个点到直线l的距离为 B．切线长的最小值为1 C．四边形面积的最小值为1 D．直线恒过定点 【答案】BCD 【分析】利用圆心到直线的距离可判断A，利用圆的性质可得切线长利用点到直线的距离可判断B，由题可得四边形面积为，可判断C，由题可知点，，在以为直径的圆上，利用两圆方程可得直线的方程，即可判断D． 【解析】对于A，由圆，可知圆心，半径， 所以圆心到直线的距离为， 圆上的点到直线的最小和最大距离分别为和， 由于，圆上有两个点到直线的距离距离为，故A错误； 对于B，由圆的性质可得切线长， 所以当最小时，有最小值，又， ，故B正确； 对于C，因为四边形面积为， 所以四边形面积的最小值为1，故C正确； 对于D，设，由题可知点，，在以为直径的圆上，又， 所以，即， 又圆，即， 两式子相减得：直线的方程为：，即， 由，得，即直线恒过定点，故D正确． 故选：BCD. 10.已知实数满足，则的最大值为_________ 【答案】 【解析】设，将其看作直线， 由直线与圆有公共点， 得圆心到直线的距离小于或等于圆的半径， 即，解得， 所以的最大值为， 即的最大值为 故答案为： 11．已知点为直线上的动点，过P点作圆的切线，，切点为，则周长的最小值为_________ 【答案】 【分析】先求出圆心到直线的距离，确定动点到圆心的最短距离，从而得出切线长进而求出的周长表达式，再根据函数单调性求出最小值. 【解析】设圆心到直线的动点的距离为， 根据点到直线距离公式，. 因为，是圆的切线，所以（其中）. 又因为是直角三角形，由勾股定理可得，即. 的周长为. 因为是圆的弦，且和全等，所以. 根据三角形面积公式，（其中是圆的半径）， 可得，所以， 则的周长. 因为与均在上单调递增， 所以当时，周长取得最小值. 最小值为. 故答案为： 12．已知圆与直线，过上任意一点向圆引切线，切点为和，若线段长度的最小值为，则实数的值为____________ 【答案】 【解析】圆的方程可化为， 设，则， 因为，所以， 又，所以， 又，所以， 而的最小值是圆心到直线的距离，所以， 又，所以． 故答案为：． 13．已知圆的方程为． (1)直线过点，且与圆交于、两点，若，求直线的方程； (2)点为圆上任意一点，求的最大值和最小值． 【答案】(1)或；(2)最大值为，最小值为. 【分析】（1）求出圆心到直线的距离为，对直线的斜率是否存在进行分类讨论，设出对应的直线方程，利用点到直线的距离公式求出参数值，综合可得出直线的方程； （2）取点，则，数形结合可得出的最大值和最小值，即可得解. 【解析】（1）解：圆的圆心为坐标原点，半径为， 设圆心到直线的距离为，则. ①当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时圆心到直线的距离为，合乎题意； ②当直线的斜率存在时，可设直线的方程为，即， 由题意可得，解得， 此时直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. （2）解：取点，则， 如下图所示，设直线交圆于点、， 由图可知，当点与点重合时，取最小值，且， 当点与点重合时，取最大值，且. 因此，的最大值为，最小值为. 14.已知圆M过，两点，且圆心M在上． (1)求圆M的方程； (2)设P是直线上的动点，是圆M的两条切线，为切点，求四边形PAMB面积的最小值． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）由圆心M在上可设，圆的半径为，根据圆所过两点的坐标列出方程组求出圆心和半径，即可得出圆的方程； （2）根据题中条件，得到与全等，则四边形面积为，进而可求出结果. 【解析（1）由题意，因为圆心在上，所以可设， 设圆的半径为， 又圆过，两点， 所以，解得，则圆心为， 所以圆的方程为； （2）因为是圆的两条切线，为切点， 所以，，因此与全等， 又点到直线的距离为， 则直线与圆相离， 所以四边形面积 ， 当且仅当与直线垂直时，四边形的面积最小，最小值为.    1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $