专题02 空间性量及其应用（5大题型）（期中真题分类汇编 山西专用）高二数学上学期

学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题02空间向量及其应用(5大题型) ☆5大高频考点概览 考点01空间向量及其运算 考点02空间位置关系的向量证明 考点03空间角问题 考点04空间距离问题 考点05空间中的探究性问题 目目 考点01 空间向量及其运算 1.(24-25高二上山西大同平城区恒德学校期中)已知向量à=(1，m,-1),6=(n,2,-2), 若a/b,则m+n=d() A.2 B.3 C.4 D.5 2.(24-25高二上山西晋城多校期中)若à，b,c是空间的一组基底，à-b,b+2亡，方是空 间的另一组基底，则可以是() A.a+2C B.2a-b+2c C.3a+b+2c D.-a+3b+4d 3.(24-25高二上山西大同期中)如图，在四面体0-ABC中，OA=d,OB=b,OC=c, 且OM=A,BN=号NC,则M亦=乙() M A. 号6+ 3 号+号+cā+号+ 2 3 2 3 D.-1a+6t 3 2 2 1/16 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4.2425高=上山西太原期中)已知a=1,1,m'6=-2n,6且a/6则 (m,n=() A.3,-2 B.-2,3 C.-3,2 D.2,-3 5.(23-24高二上山西运城期中)若ā，b,c构成空间的一个基底，则下列向量能构成空间 的一个基底的是(). A.a,b,a+b B.a,c,a-c C.a+b,c,a-b D.a+b+c,a+b,c 6.(23-24高二上山西太原期中)已知a=1,-1,-2,b=-1,m,2,且à⊥b,则实数 m=() A.-5 B.5 C.-1 D.1 7.(23-24高二上山西运城期中)已知向量AB=2,-1,-4,AC=4,2,0, AP=-1,2,-1,则下列说法正确的是(）· A.AB⊥AP B.BC⊥AP C.AP是平面ABC的一个法向量 D.2=23 8.(24-25高二上山西运城期中)如图，在正三棱柱ABC-A,B,C1中，P为空间内一动点， 若B莎=入B元+B克(a,μ∈0,1])则（） B A.若入=H,则点P的轨迹为线段BC1 B.若μ=1-入，则点P的轨迹为线段B1C C.存在λ，μ∈0,1，使得AP⊥平面BCC1B, D.存在入，μ∈0,1，使得AP/i平面A1B1C1 2/16 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 9.(24-25高二上·三晋联盟山西名校·期中)如图，在棱长为2的正方体ABCD-AB,1C1D1 中，F是CD的中点，则AF·AC=C D A 10.(24-25高二上·山西部分学校·期中)如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC, AB=2AC=2,沿AC将△ACD折起到△PAC的位置，使得点P到点B的距离为13， 则二面角P-AC-B的大小为一 D B 11.(24-25高二上山西运城期中)如图，在正四面体PABC中，AB=2,D为AB中点，则 PD·AC的值是一 12.(23-24高二上·山西吕梁：期中)在四面体ABCD中，BC=1,BD=2,∠ABC=90°， BC.DA=-3,则∠CBD=式 13.(24-25高二上山西晋城多校期中)已知向量à=1,2，x,b=3,1,2,c=4,3,3,且 a,6,共面，则a+6+c=d 目目 考点02 空间位置关系的向量证明 3/16 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 14.(23-24高二上山西运城部分学校期中)已知正方体ABCD-A1B1C1D的棱长为2， 若AA1,BC的中点分别为M,N,则下列说法正确的是() A.DM⊥C,N 1 B.VC-DMN=3 C.A,D∥平面B,MD D.点D到平面D,MN的距离为829 29 15.(23-24高二上山西吕梁期中)如图，四边形ABCD,ABEF都是边长为2的正方形， 平面ABCD⊥平面ABEF,P,Q分别是线段AE,BD的中点，则() B A.PQ/iDF B.异面直线AQ,PF所成角为 6 C.点P到直线DF的距离为 D.△DFQ的面积是V3 2 16.(24-25高二上·山西太原·期中)已知正四棱锥P-ABCD中，PA=AB=2V2,E是PB 的中点，O是底面ABCD的中心，则下列说法正确的是() A.DE⊥AC B.直线DE与AP所成角的余弦值为5 C.直线DE与平面ABCD所成角的余弦值为310 10 D.点O到直线DE的距离为10 17.(24-25高二上·山西大学附属中学校·期中)如图，在棱长为2的正方体 ABCD-A,B,C1D1中，点M是CC1的中点，点N是底面正方形ABCD内的动点（包括边 界)，则下列选项正确的是() 4/16 耐学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D A D A.存在点N满足LANM= 2 B.满足AN=5的点N的轨迹长度是程 C.满足MN/元平面ABC1的点N的轨迹长度是V2 D.满足B,N⊥A,M的点N的轨迹长度是2 18.(24-25高二上·山西晋城多校·期中)关于空间向量，下列说法正确的是() A.空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B.若直线1的方向向量为a=2,1,2,平面c的法向量为i=-1,0,1,则直线1/元c C.若对空间中任意一点0，有OP=O1+号O亦+}OC,则P,A.B,C四点共面 D.已知向量d=2,1,0,b=1,0,√3，则a在b上的投影向量为 19.(23-24高二上·山西运城部分学校·期中)如图，在棱长均相等的平行六面体 ABCD-A,B,C1D1中，用空间向量证明下列结论. E B 0若∠A,AD=∠A,AB=∠DAB=号求证：AC,⊥平面A,BD, (2)若E是棱CC1的中点，F是AC上靠近点C的三等分点，求证：A,F,E三点共线. 20.(23-24高二上山西大同期中)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中， 5/16 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AB=2AC=4,AA1=23,AB1AC,AD⊥BC,:垂足为D'E为线段AB上的一点 B (I)若E为线段A,B的中点，证明：DE‖平面ABC: AE (②)若平面ADE上平面ABC,求A,B的值， 目目 考点03 空间角问题 21.(24-25高二上山西运城期中)如图，已知多面体ABCDMN中，底面ABCD是边长为2 的正方形，MA=2,NC=1,MA⊥平面ABCD,NC⊥平面ABCD, BT=入BC0<<1,若异而直线AT与MD所成的角的余弦值为 10 则入的值为() 10 M 1 A. 2 4 B.1 C. 2 D. 22.(23-24高二上山西运城部分学校·期中)已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，若 AB=2AA1=2BC=2,E是CD的中点，则异面直线EB1与D1C所成角的余弦值为() . 15 B. 3 15 c.3 23.(23-24高二上·山西大同·期中)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，则() A.直线AC1与直线BD所成角为90° 6/16 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B.直线A,C,与平面A,BD所成角的正弦值为6 C.二面角C,-A1B-D的余弦值为2 D、如果AB=1,那么点C,到平面A,BD的距离为3 24.(24-25高二上山西大同·期中)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2, AP=xAD+yAA,x,y∈0,1，则() A.若x+y=1,则点P的轨迹为线段AD, B。若X=之则点P的轨迹为连接棱AD的中点和棱A,D,中点的线段 C.若x=y,则三棱锥P-ABC1的体积为定值 D.若y=之，则BP与平面ABCD所成角的余弦值的最大值为22 3 25.(24-25高二上·山西晋中榆社中学·期中)已知正四面体ABCD中，AB=1,M是BC的 中点，延长DA至D1,使得DA=AD1,点N在线段AD上（不包含端点），则直线AM与 CN夹角的余弦值的取值范围为 26.(24-25高二上山西运城期中)如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=2, AA=4,点D为AC的中点. B (1)求证：B1C1i平面ABD: (2)求直线AB与平面ABD所成的角的正弦值. 27.(24-25高二上·山西大同平城区恒德学校·期中)如图，在多面体ABCDEF中，平面 ABCD⊥平面ADEF,四边形ADEF为平行四边形，AB∥CD,AD⊥CD,∠FAD=T 4 7/16 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AF=22,AB=AD=号CD=2,P为EC的中点 (I)求证：DF⊥BC: (2)求点P到平面ABF的距离： (3)在线段BC上是否存在一点H,使得平面DHP与平面BEF的夹角的余弦值为 42?若 14 存在，求的值：若不存在，请说明理由 28.(24-25高二上·山西太原·期中)如图、四棱锥P-ABCD的底面ABCD是菱形， PA=PD=2,PB=AB=BD=2. B (I)求证：平面PAD⊥平面ABCD: (2)求平面PAB与平面PCD的夹角的余弦值. 29.(24-25高二上山西太原常青藤中学校、李林中学)已知两个非零向量ā，b,在空间任 取一点O,作OA=d,OB=b,则∠AOB叫做向量a,b的夹角，记作就a,b>(.定义d与b 的“向量积”为：石×b是一个向量，它与向量ā，b都垂直，它的模是 |a×b|=avibVsin<a,b>d.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形， PD⊥底面ABCD,DP=DA=2AB=4,E为线段AD上一点. 8/16 扇学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (I)求乙BC×B2Vi的值. (2)若E为AD的中点，求二面角P-EB-A的正弦值. (3)若M为线段PB上一点，且满足AD×B驴=λEM,求入. 30.(24-25高二上山西运城期中)如图，已知正四棱台ABCD-A1B,C1D1的上，下底面 分别是边长为2和4的正方形，A1A=5,点P是棱BC1上的动点（包括端点）. A B D B (1)证明：平面A1B,C⊥平面ABB1A1: Q洁平面AB,C与半面PCD的夹角的余弦值为，未点P到平面AB,A的距底 31.(24-25高二上·山西晋城多校·期中)如图，在平面四边形ABCD中，AB=BC=AC=2, AC⊥CD,CD=2V3,3BE=EC,点M,N分别是AC,AD的中点，将△ABC沿AC 翻折至△PAC,且点P在平面ABCD上的射影为平面ACD内一点O,且OE/平面PAD. B M N (1)试确定O点具体位置； (2)求二面角E-AD-C的余弦值. 9/16 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 目目 考点04 空间距离问题 32.(23-24高二上山西朔州怀仁第一中学校：期中)如图，在四棱锥P-ABCD中，平面 PCD⊥平面ABCD,底面ABCD是矩形，AB=2BC=6,PC⊥PD,PC=PD,点O 是CD的中点，则线段PB上的动点E到直线AO的距离的最小值为() P D ----- B A.3 B.2 c.6 D.3 33.(22-23高二上山西长治上党区第一中学校等名校·期中)如图，在正三棱柱 ABC-A1B1C1中，若AB=BB1=2,则点C到直线AB1的距离为() B A.V14 B.4 c.14 D.M4 2 3 4 34.(23-24高二上·山西运城期中)已知=-1,0,1为直线AB的一个方向向量，点 A1,2,-1,P2,-1,2,则点P到直线AB的距离为(). A.4 B.17 c.3V2 D.V19 35.(23-24高二上山西太原·期中)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E是 CC1的中点，则点A到直线DE的距离为() 10/16 专题02 空间向量及其应用 （5大题型） 5大高频考点概览 考点01 空间向量及其运算 考点02 空间位置关系的向量证明 考点03 空间角问题 考点04 空间距离问题 考点05 空间中的探究性问题 空间向量及其运算 地 城 考点01 1．(24-25高二上·山西大同平城区恒德学校·期中)已知向量，，若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】由向量平行的坐标表示，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，易知，不满足题意， 所以，所以，，所以. 故选：B. 2．(24-25高二上·山西晋城多校·期中)若是空间的一组基底，是空间的另一组基底，则可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基底的概念判断每一个选项即可. 【详解】，是空间的两组基底， 所以，，不共面，，，不共面，设， 当时， 即时，不能作为基底． 对于A，，，，，此时，，故不能作为基底； 对于B，，，，，此时，，故不能作为基底； 对于C，，，，，此时，无解，故可以作为基底； 对于D，，，，，此时，，故不能作为基底． 故选：C 3．(24-25高二上·山西大同·期中)如图，在四面体中，，且，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的线性运算即可得到结果. 【详解】由题意得，， ， ∴. 故选：C. 4．(24-25高二上·山西太原·期中)已知，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量共线的坐标表示得到方程，解出即可. 【详解】显然，则，解得， 则. 故选：C. 5．(23-24高二上·山西运城·期中)若构成空间的一个基底，则下列向量能构成空间的一个基底的是（    ）. A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】要判断一组向量能否构成空间的一个基底，即判断这组向量是否不共面，逐一分析各选项，找出不共面的向量组即可． 【详解】对于A，因为， 所以，，共面，不能构成空间的一个基底，故A错误； 对于B，因为， 所以，，共面，不能构成空间的一个基底，故B错误； 对于C，假设，，共面，则存在实数，使得， 由于为空间的一个基底，所以可得实数的解为， 但与矛盾，假设不成立，即不共面，能构成空间的一个基底，故C正确； 对于D，因为， 所以共面，不能构成空间的一个基底． 故选：C． 6．(23-24高二上·山西太原·期中)已知，且，则实数（    ） A． B．5 C． D．1 【答案】A 【分析】根据向量垂直列方程，化简求得的值. 【详解】由于，所以. 故选：A 7．(23-24高二上·山西运城·期中)已知向量，，，则下列说法正确的是（    ）. A． B． C．是平面的一个法向量 D． 【答案】ABC 【分析】应用空间向量数量积公式计算判断A，B，应用线面垂直判定定理结合法向量定义判断C，应用向量减法及模长公式计算判断D. 【详解】对于A：因为，所以，A选项正确； 对于B：，所以，B选项正确； 对于C：因为，，平面，所以平面，所以是平面的一个法向量，C选项正确； 对于D：因为，所以，D选项错误； 故选：ABC. 8．(24-25高二上·山西运城·期中)如图，在正三棱柱中，P为空间内一动点，若，则（   ） A．若，则点P的轨迹为线段 B．若，则点P的轨迹为线段 C．存在，，使得平面 D．存在，，使得平面 【答案】AB 【分析】由共面向量定理可得点在侧面内（含边界），利用共线向量判断AB；借助向量数量积判断CD. 【详解】在正三棱柱中，由，得点在侧面内（含边界）， 对于A， 由，得，点的轨迹为线段，A正确； 对于B，由，得，则， 即，又，因此点的轨迹为线段，B正确； 对于C，，，则与不垂直， 即直线与直线不垂直，从而不存在，使得平面，C错误； 对于D，平面的法向量为，由选项C知，与不垂直， 因此不存在，使得平面，D错误. 故选：AB 9．(24-25高二上·三晋联盟山西名校·期中)如图，在棱长为的正方体中，是的中点，则 . 【答案】6 【分析】，为等边三角形，利用向量数量积的定义求即可. 【详解】棱长为的正方体中， 连接，则是边长为的等边三角形， .. 故选： 10．(24-25高二上·山西部分学校·期中)如图，在平行四边形ABCD中，，，沿AC将折起到的位置，使得点P到点B的距离为，则二面角的大小为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用空间向量数量积运算律求解即得. 【详解】依题意，，，则，，， 设的大小为，则与互补，而， 则，， 于是，解得， 因此，又，所以. 故答案为： 11．(24-25高二上·山西运城·期中)如图，在正四面体中，，D为中点，则的值是 ． 【答案】 【分析】根据向量线性运算用已知向量表示，再根据向量数量积运算得解. 【详解】 . 故答案为：. 12．(23-24高二上·山西吕梁·期中)在四面体中，，，，，则 ． 【答案】 【分析】根据空间向量数量积的运算进行求解即可. 【详解】因为，所以， 又，所以， 所以. 又，，所以 ， 所以. 又，所以． 故答案为： 13．(24-25高二上·山西晋城多校·期中)已知向量，，，且共面，则 ． 【答案】 【分析】根据共面，结合空间向量共面定理先求出x的值，再计算的值. 【详解】共面，则存在非零实数，满足， 则 即解得 所以，则， 所以． 故答案为：. 地 城 考点02 空间位置关系的向量证明 14．(23-24高二上·山西运城部分学校·期中)已知正方体的棱长为2，若的中点分别为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．平面 D．点到平面的距离为 【答案】ABD 【分析】建立空间直角坐标系，确定各点坐标，根据得到A正确，计算体积得到B正确，与相交，C错误，确定平面的法向量，根据距离公式计算即可. 【详解】如图所示，以为坐标原点， 以所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系． 则，， 对选项A：，，，正确； 对选项B：，正确； 对选项C：若平面，平面， 平面平面，故，不成立，错误； 对选项D：，． 设平面的一个法向量为，则，取，， 则点到平面的距离为，正确． 故选：ABD 15．(23-24高二上·山西吕梁·期中)如图，四边形，都是边长为2的正方形，平面平面，，分别是线段，的中点，则（    ）    A． B．异面直线，所成角为 C．点到直线的距离为 D．的面积是 【答案】ACD 【分析】先利用面面垂直的性质推得，，两两垂直，从而建立空间直角坐标系，进而利用向量法逐一分析判断各选项即可. 【详解】因为四边形，都是正方形，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，则， 所以，，两两垂直， 以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示，    则，，，，， 又，分别是线段，的中点，所以，， 所以，， 又，不共线，所以，故A正确； ，，设异面直线，所成角为， 则，又，所以， 即异面直线，所成角为，故B错误； 由，，得， 所以点到直线的距离为，故C正确； 因为，所以到的距离即为到的距离， 所以的面积，故D正确． 故选：ACD． 16．(24-25高二上·山西太原·期中)已知正四棱锥中，，是的中点，是底面的中心，则下列说法正确的是（   ） A． B．直线与所成角的余弦值为 C．直线与平面所成角的余弦值为 D．点到直线的距离为 【答案】ACD 【分析】以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间坐标系，计算可判断A；利用向量夹角公式计算即可判断B；利用直线与平面所成角的向量公式计算可判断C；利用点到直线距离的向量公式计算可判断D. 【详解】连接，则为的交点，， 正四棱锥中，，平面， 则，， 以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间坐标系， 由题意得， 则， ∵，∴，即，故A正确； ∵， ∴直线与所成角的余弦值为，故B错误； 平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为，， 则， 所以， 即直线与平面所成角的余弦值为，故C正确； ， 则点到直线的距离为，故D正确. 故选：ACD. 17．(24-25高二上·山西大学附属中学校·期中)如图，在棱长为2的正方体中，点是的中点，点是底面正方形ABCD内的动点（包括边界），则下列选项正确的是（   ）    A．存在点满足 B．满足的点的轨迹长度是 C．满足平面的点的轨迹长度是 D．满足的点的轨迹长度是 【答案】ACD 【分析】对A，利用正方体中的垂直关系建立空间直角坐标系，设出对应点的坐标，翻译条件求出轨迹方程，注意变量的取值范围，求解轨迹长度，再根据判断即可；对B，由A可得在底面内轨迹的长度是以为圆心，1为半径的圆周长的，进而可得弧长；对C，设面的法向量，根据线面平行的向量方法可得的轨迹方程为，进而可得轨迹的长度；对D，根据求解的轨迹方程即可. 【详解】    如图建立空间直角坐标系，则有，，，，，， 对于A选项，若，则，且，，则， 即，故轨迹方程为， 当时，，点既在轨迹上也在底面内，故存在这样的点存在，故A正确. 对于B选项，，， 在底面内轨迹的长度是以为圆心，1为半径的圆周长的， 故长度为，B错误 对于C选项，，，设面的法向量 故有，解得故 平面，，的轨迹方程为 ，，在底面内轨迹的长度为，C正确 对于D选项，， ，，的轨迹方程为 ，，在底面内轨迹的长度为，D正确 故选：ACD 18．(24-25高二上·山西晋城多校·期中)关于空间向量，下列说法正确的是（   ） A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线 C．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面 D．已知向量，，则在上的投影向量为 【答案】ACD 【分析】利用空间向量共面定理可判断三向量共面和四点共面，利用直线的方向向量与平面的法向量垂直，不一定能判断线面平行，还有可能线在面内，利用投影向量的定义来计算出结果. 【详解】对于A选项，根据共线向量的概念，可知空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，A正确； 对于B选项，直线的方向向量为，平面的法向量为，则，则，所以或，B错误； 对于C选项，对空间中任意一点，有， 则， 整理得，， 由此可得有公共点的三向量共面，即，，，四点共面，C正确； 对于D选项，则在方向上的投影向量为 ，D正确． 故选：ACD. 19．(23-24高二上·山西运城部分学校·期中)如图，在棱长均相等的平行六面体中，用空间向量证明下列结论． (1)若，求证：平面； (2)若是棱的中点，是上靠近点的三等分点，求证：三点共线． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）记，表示出，然后利用数量积证明，，再由线面垂直判定定理可证； （2）利用基底表示出，由共线定理可证. 【详解】（1）记， 由题意得， 设棱长为，则， ， ， 同理可证， ，平面， 平面 （2）由题意，， 故 ， 又， 所以，由于有公共点 故三点共线． 20．(23-24高二上·山西大同·期中)如图，在直三棱柱中，，垂足为，为线段上的一点. (1)若为线段的中点，证明： 平面； (2)若平面平面，求的值. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）利用棱长求出，进而得到D是中点，利用中位线证明，进而证明线面平行； （2）建立空间直角坐标系，根据面面垂直时两个面的法向量也互相垂直，列出方程进行求解即可. 【详解】（1）连接，在直三棱柱中，有， . 为中点， 又为中点， ， ， ， 又平面平面， 平面. （2）建立如图所示的空间直角坐标系，则， ， 设， 则， 设平面的法向量， 则，取，得， 设平面的法向量， 则，取，得， 平面平面， ，解得， 当平面平面时，. 空间角问题 地 城 考点03 21．(24-25高二上·山西运城·期中)如图，已知多面体中，底面是边长为的正方形，，，平面，平面，，若异而直线与所成的角的余弦值为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以点为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，求出的坐标，结合条件运算得解. 【详解】以点为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系， 则， 所以，， ， 可得 ， 所以， 所以，可得． 故选：C. 22．(23-24高二上·山西运城部分学校·期中)已知长方体中，若是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量法求解异面直线所成角即可. 【详解】依题意，建立如图的空间直角坐标系， 则， 设异面直线与所成的角为，则 故选：B 23．(23-24高二上·山西大同·期中)在正方体中，则（    ） A．直线与直线所成角为 B．直线与平面所成角的正弦值为 C．二面角的余弦值为 D．如果，那么点到平面的距离为 【答案】AB 【分析】建立适当的空间直角坐标系，验证是否成立即可判断A；求出面的一个法向量以及，从而由线面角的正弦公式即可判断B；分别求出两平面的法向量，利用向量夹角公式即可判断C；点到平面的距离为，由此即可判断D. 【详解】如图所示： 设正方体的边长为1，以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 因为，所以，所以直线与直线所成角为，A正确； 设面的一个法向量为，， 则，即， 不妨令，得，即取， 又因为， 设直线与平面所成角为，则，B正确； 设平面的一个法向量为，， 则，即， 不妨令，得，即取， 又面的一个法向量为， 设二面角的平面角为， 则，C错误； 因为面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为，D错误. 故选：AB. 24．(24-25高二上·山西大同·期中)在正方体中，，，则（    ） A．若，则点的轨迹为线段 B．若，则点的轨迹为连接棱的中点和棱中点的线段 C．若，则三棱锥的体积为定值 D．若，则与平面所成角的余弦值的最大值为 【答案】BCD 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，求出点的坐标，可判断AB选项；利用空间向量法可判断CD选项. 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、、 、， 因为， 对于A选项，当时，则点的轨迹为线段，A错； 对于B选项，若，即点， 此时，点的轨迹为连接棱的中点和棱中点的线段，B对； 对于C选项，若，即点，其中， ，，设平面的法向量为， 则，取，可得， ，则点到平面的距离为， 因为的面积为定值，故三棱锥的体积为定值，C对； 对于D选项，若，则，其中， 易知平面的一个法向量为， 设直线与平面所成的角为， 则， 当时，取最小值，此时取最大值，且，则， 因此，当时，则与平面所成角的余弦值的最大值为，D对. 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：对于立体几何的综合问题的解答方法： （1）立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求解轨迹的长度及动态角的范围等问题，解决方法一般根据线面平行，线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程； （2）对于线面位置关系的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面位置关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论，则否定假设； （3）对于探索性问题用向量法比较容易入手，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若有解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在. 25．(24-25高二上·山西晋中榆社中学·期中)已知正四面体中，，是的中点，延长至，使得，点在线段上(不包含端点)，则直线与夹角的余弦值的取值范围为 . 【答案】 【分析】选取为基底，用基底表示向量，，将直线与直线的夹角转化为两条直线的方向向量的夹角，由公式求解即可. 【详解】如图所示，    可设，选取为基底， 由题意知， ， 而 ， 从而 ， ， 所以 ， 设，因为，所以， 而，因为 ， 设，则， 所以 ， 由解得 故直线与夹角的余弦值的取值范围为. 故答案为：. 26．(24-25高二上·山西运城·期中)如图，在正三棱柱中，，，点D为的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成的角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）连接与交于点，利用线面平行的判定推理即得. （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的向量求法求解即得. 【详解】（1）在正三棱柱中，连接与交于点，连接DE， 由四边形是矩形，得点是的中点，又点是AC的中点， 则，又平面平面， 所以平面. （2）取的中点，连接DF，在等边中，点为AC的中点，则， 以点为原点，直线DB，DC，DF分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系． 则 ， 设平面的法向量为，则，令，得， 而，则， 所以直线AB与平面所成角的正弦值为. 27．(24-25高二上·山西大同平城区恒德学校·期中)如图，在多面体中，平面平面，四边形为平行四边形，，，，，，为的中点. (1)求证：； (2)求点到平面的距离； (3)在线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）由余弦定理可得的值，再由勾股定理逆定理可得，由面面垂直的性质定理可得平面，即可证明； （2）以为原点，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算以及点到面的距离公式代入计算，即可得到结果； （3）由空间向量的坐标运算以及二面角的公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）证明：在中，因为，，， 所以， 所以，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以. （2）由（1）可得，，又，所以，，两两垂直，以，，所在的直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，， 所以，，. 设平面的一个法向量，则，即， 令，则，，所以， 所以点到平面的距离. （3）假设存在，设，则， 所以， 设平面DHP的一个法向量，因为， 所以，即， 令，则，， 所以， 设平面的一个法向量，因为，， 所以，即， 令，则，，所以， 设平面与平面的夹角为， 则， 解得或（舍）， 所以存在点，使得满足要求，此时，即. 28．(24-25高二上·山西太原·期中)如图、四棱锥的底面ABCD是菱形，，. (1)求证：平面平面ABCD； (2)求平面PAB与平面PCD的夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）作出辅助线，得到，求出各边长，由勾股定理逆定理得到，从而得到线面垂直，面面垂直； （2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出两平面的法向量，利用向量夹角余弦公式求出答案. 【详解】（1）证明：设是AD的中点，连结OP，OB， ， ，，由勾股定理得， ， ， ∵四边形ABCD是菱形， ∴，故为等腰直角三角形， ∴， ∵， ， ， ∵平面，， 平面ABCD， ∵平面， 平面平面ABCD； （2）由（1）得，，，以为原点， OA，OB，OP所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图的空间直角坐标系， 则，，，，， 设是平面PAB的一个法向量， 则令，则， 设是平面PCD的一个法向量， 则令，则， 设平面PAB与平面PCD的夹角为， ， 平面PAB与平面PCD的夹角的余弦值为. 29．(24-25高二上·山西太原常青藤中学校、李林中学·)已知两个非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量的夹角，记作．定义与的“向量积”为：是一个向量，它与向量都垂直，它的模是.如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面， 为线段上一点. (1)求的值． (2)若为的中点，求二面角的正弦值． (3)若为线段上一点，且满足，求． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用空间关系求出夹角的正弦值，再利用定义求即可； （2）利用空间直角坐标系法来求二面角的余弦值的绝对值，再求其正弦值即可； （3）利用定义求，再求，则可求. 【详解】（1）由题意，底面为矩形， ， 底面，底面， ， 又 ，且平面， 平面，又 平面， ，则在直角三角形中，有 . （2）以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.， ， 又为的中点，则，， 平面的一个法向量为，设平面的法向量为， 则，令，则. 故平面的一个法向量为，设二面角的平面角为，且， 则， 故. 故二面角的正弦值为. （3）由（1）可得，由题意，设，， 则 则， 由可知，，且， 由，则，解得； 则，则解得，， 则，又，解得. 30．(24-25高二上·山西运城·期中)如图，已知正四棱台的上，下底面分别是边长为2和4的正方形，，点P是棱上的动点（包括端点）． (1)证明：平面平面； (2)若平面与平面的夹角的余弦值为，求点P到平面的距离． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）以下底面正方形的中心为原点，建立如图所示空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，运算证明； （2）设，根据条件求出，再利用向量法求出点到平面的距离. 【详解】（1）以下底面正方形的中心为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 由于，上、下底面分别是边长为2和4的正方形，可求出四棱台的高为， 则， 于是 ， 设平面的法向量为，则， 取，可得， 设平面的法向量为， 则，取，可得 ， 由于，则平面的法向量与平面法向量垂直，则平面平面. （2）设，且，则， 设平面的法向量为， 则，取，可得 ， 设平面与平面的夹角为，则，化简即（ ，解出， 因此， 则点到平面的距离为. 31．(24-25高二上·山西晋城多校·期中)如图，在平面四边形中，，，，，点，分别是，的中点，将沿翻折至，且点在平面上的射影为平面内一点，且平面． (1)试确定点具体位置； (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1)是的中点． (2)． 【分析】（1）过作交于，通过说明四边形是平行四边形，即可求解； （2）建系，求得两平面法向量，代入夹角公式即可. 【详解】（1），， 又平面，平面，， 又，都在平面内，平面，． ，，即在线段上，过作交于， 又，，即，且． 平面，则平面与平面交于，且点在上， ，平面， 平面平面，． 又，四边形是平行四边形 ，是的中点． （2）建立如图所示空间直角坐标系， 则，，， 由，得， 所以， 设为平面的一个法向量， 则取，可得：，则， 平面的法向量可取为， 所以 即二面角的余弦值为． 地 城 考点04 空间距离问题 32．(23-24高二上·山西朔州怀仁第一中学校·期中)如图，在四棱锥中，平面平面，底面是矩形，，，，点是的中点，则线段上的动点到直线的距离的最小值为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】作出辅助线，得到线面垂直，进而得到线线垂直，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，设，求出点到直线距离，求出最小值. 【详解】取的中点为，连接，，，因为，为的中点， 所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以⊥平面， 因为平面， 所以， 又底面是矩形，所以， 以点为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系如图所示， 由，，，得， 所以，，， 则，设， 则，， ， ， 因此点到直线的距离 ， 故当时，取最小值， 即线段上的动点到直线的距离的最小值为． 故选：C． 33．(22-23高二上·山西长治上党区第一中学校等名校·期中)如图，在正三棱柱中，若，则点到直线的距离为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取的中点，以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【详解】取的中点，则， 以为原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系， 则， 所以， 所以在上的投影的长度为， 故点到直线的距离．    故选：B. 34．(23-24高二上·山西运城·期中)已知为直线的一个方向向量，点，，则点P到直线的距离为（    ）. A．4 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据点到直线的距离的向量求法计算可得结果. 【详解】，故， 所以， 设直线与直线所成角为， 则，可得， 因此点到直线的距离为． 故选：B. 35．(23-24高二上·山西太原·期中)如图，正方体的棱长为2，是的中点，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得正确答案. 【详解】建立如图所示空间直角坐标系， ， 所以点到直线的距离为. 故选：D 36．(23-24高二上·山西运城部分学校·期中)已知空间中的三点，则点到直线的距离为 ． 【答案】/ 【分析】求出直线的单位方向向量为，利用点到直线的空间向量距离公式求出答案. 【详解】设直线的单位方向向量为． 则， ， ，， 点到直线的距离 故答案为： 37．(23-24高二上·山西大同·期中)在长方体中，分别是棱上的动点（不含端点），且，则三棱锥体积的取值范围是 . 【答案】 【分析】直接建立空间直角坐标系或者应用等体积法做即可. 【详解】法一：以为原点，分别以直线为轴建立空间直角坐标系. 如图所示，    设，而， 则， 设平面的一个法向量为， 则，令，则 所以平面的一个法向量为， 点到平面的距离 因为 设中的边上的高为，则 ， 所以（）， 所以三棱锥的体积的取值范围是， 故答案为： 法二：设，延长到，使得， 则，，则，于是，    而长方体的对角面是矩形，则有， 又平面，平面，于是平面， 所以到平面的距离等于到平面的距离， 由等体积法可知， 又 ， 故，所以， 故答案为： 38．(23-24高二上·山西·期中)如图，在棱长为3的正方体中，点E在线段BD上，点F在线段上，且，．    (1)求到直线EF的距离； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系.可根据题意写出各个点的坐标，进而求出到直线EF的距离; （2）知平面的法向量，再把平面的法向量表示出来，平面与平面夹角的余弦值为，计算即可求出答案. 【详解】（1）以D为坐标原点，DA，DC，所在的直线分别为x轴、y轴、z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系．    则，，，，， 所以到直线EF的距离为． （2）由（1）得，，则． 易得平面的一个法向量为． 设平面的法向量为，则，得， 取，则，，得， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 39．如图，已知斜三棱柱在底面上的射影恰为的中点又知. (1)求证:平面; (2)求到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由已知可得平面平面，由面面垂直的性质可得平面，则，再结合可证得结论， （2）取的中点，以为坐标原点，，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，利用空间向量计算可得； 【详解】（1）证明：∵在底面上的射影为的中点， ∴平面平面， ∵，且平面平面，平面， ∴平面， ∵平面， ∴， ∵，且，平面， ∴平面． （2）解：取的中点，以为坐标原点，，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， ∵平面，平面，∴， ∴四边形是菱形， ∵是的中点，∴， ∴，，，， ∴，， 设平面的法向量，则， ，取， ， 到平面的距离． ，平面，平面     平面， 到平面的距离等于到平面的距离. 40．(23-24高二上·山西朔州怀仁第一中学校·期中)如图，在多面体中，四边形为正方形，平面，，，． (1)求平面与平面所成锐二面角的余弦值； (2)在棱上是否存在点，使得直线与所成角的余弦值为?若存在，求点到平面的距离；若不存在，说明理由． 【答案】(1)； (2)存在，距离为. 【分析】（1）根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用面面角的向量求法求解即得. （2）由（1）中坐标系，由异面直线所成角的余弦求出点，再利用向量法求出点到平面的距离. 【详解】（1）由四边形为正方形，平面，知直线两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，， 设平面的一个法向量，则，令，得， 设平面的一个法向量，则，令，得， 设平面和平面所成锐二面角为，则 所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为． （2）假设存在，又，则，， 由直线与所成角的余弦值为，得， 解得，则存在点，为棱的中点时满足条件， 即，，， 设平面的一个法向量，则，令，得， 所以点到平面的距离为. 地 城 考点05 空间中的探究性问题 41．(23-24高二上·山西孝义·月考)如图，在棱长为3的正方体中，点是棱上的一点，且.    (1)若点满足，求证：平面； (2)底面内是否存在一点，使得平面?若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，. 【分析】（1）以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量和，再计算，从而可证明； （2）假设底面内存在一点，使得平面，从而根据列式可求解. 【详解】（1）以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示.    所以，，，，，， 所以，. 设平面的一个法向量， 所以， 令，解得，， 所以平面的一个法向量. 若，则， 所以， 所以，， 又平面，所以平面. （2）假设底面内存在一点，使得平面， 设， 又，所以， 又平面的一个法向量，所以， 所以，解得，， 所以底面内存在一点，使得平面，此时. 42．(22-23高二上·山西晋中平遥县第二中学校·)如图，平面，，，，，. (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)线段上是否存在一点，使得平面.若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线与平面所成角的正弦值. （2）设，根据与平面的法向量平行来求得点的位置. 【详解】（1）如图，以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系. 由已知可得，，，. ，，. 设平面的法向量，由得， 可得平面的一个法向量， 所以直线与平面所成角的正弦值. （2）假设存在点，满足条件. 可设，，所以，所以. 若符合题意，则，则，无解， 所以不存在符合题意的点. 43．(23-24高二上·山西吕梁·期中)如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，且，，平面平面，． (1)求证：平面平面； (2)在棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说用理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在； 【分析】（1）根据题意，由面面垂直的性质定理可得平面，即可证明平面平面； （2）根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）证明：在中，，，由余弦定理，得 ，所以，即． 因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面． 又平面，所以平面平面． （2） 设，的中点分别为，，连接，， 因为，为的中点，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以． 因为，分别为，的中点，所以，又，所以，即，，两两互相垂直，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，，， 设，则，所以． ，，设是平面的法向量，则即令，则，，即平面的一个法向量为． 设直线与平面所成角为，又， 则， 即，解得． 所以存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，此时． 44．(22-23高二上·山西大同·期中)如图，在三棱锥中，侧面是等边三角形，，. (1)证明：平面平面； (2)若 ，则在棱上是否存在动点，使得平面与平面所成二面角的大小为 . 【答案】(1)证明见解析； (2)存在.M为靠近P三等分点 【分析】（1）取的中点，连接 ，证明平面，根据面面垂直的判定定理即可证明结论； （2）建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，设，求得平面的法向量，利用向量的夹角公式求得 ，即可求得答案 根据线面 【详解】（1）证明：取 的中点，连接 ， 因为为等边三角形，所以， 在中，有， 又因为，所以 ， 所以，即， 又因为，平面，所以平面， 又因为平面 ，所以平面平面. （2）不妨设，在中，，所以， 在底面内作于点，则 两两垂直， 以点为原点，所在的直线为轴， 所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 则，，， 所以，，，， 设， 则， 设平面的法向量为， 所以 ， 令，可得，，所以， 可取平面ABC的一个法向量为， 所以， 整理可得，即，解得或（舍去）. 所以，所以当时，二面角的大小为 . 45．(22-23高二上·山西太原·期中)如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面，点分别为的中点，且. (1)若，求直线与平面所成角的正弦值； (2)若直线与平面所成角的正弦值的取值范围为，求平面与平面的夹角的余弦值的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，建立空间直角坐标系，从而求得平面的法向量与，由此可求得直线与平面所成角的正弦值； （2）设，从而分别求得平面与平面的法向量与及，从而由题意条件求得，进而可求得平面与平面的夹角的余弦值的取值范围. 【详解】（1）因为，则，即， 又因为平面，所以， 故建立如图所示的空间直角坐标系，则， 故， 设平面的一个法向量为，则，即， 令，则，故， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. . （2）设，则，故， 设平面的一个法向量为，则，即， 令，则，故， 易得平面的一个法向量为，又， 设直线与平面所成角为，则， 即，解得， 设平面与平面的夹角为，则， 因为，所以，则，故，即. 所以平面与平面的夹角的余弦值的取值范围为. 46．(21-22高二上·山西运城·期中)如图所示，在五面体ABCDE中，为正三角形，四边形ACDE为直角梯形，其中，，，平面平面ABC，，动点F在棱AB上，且. (1)当时，求证：平面EFC； (2)是否存在点F，使得EF与平面CBE所成角的正弦值为?若存在，确定点F的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，F为靠近B的4等分点 【分析】（1）连接AD交CE于H，根据线段关系得到，得到证明. （2）证明平面ABC，建立空间直角坐标系，计算各点坐标，计算平面CBE的法向量，根据，利用向量的夹角公式计算得到答案. 【详解】（1）如图，连接AD交CE于H，∵，∴，又∵， ∴，又∵平面EFC，平面EFC，∴平面EFC （2）∵平面平面ABC，平面平面，， 平面ACDE，∴平面ABC. 取AC中点O为坐标原点，OB为x轴，OA为y轴，过点O且平行AE的直线为z轴， 建立空间直角坐标系如图所示， ，，，，， 设平面的法向量为 则即，取得到， 又∵， EF与平面CBE所成角的正弦值等于， 解得或，又∵，∴， ∴当F为靠近B的4等分点时，EF与平面CBE所成角的正弦值为. 47．(21-22高二上·山西怀仁第一中学·期中)如图所示．四棱柱的棱长均为6，侧棱与底面垂直，且，M是侧棱上的点，，N是线段上的动点． (1)若以D为坐标原点，以为y轴正方向，以为z轴正方向建立空间直角坐标系，写出点的坐标； (2)求点到平面的距离； (3)若平面与平面夹角的余弦值为，试确定点N的位置． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）易知是正三角形，取的中点E，连接，可得，然后以D为坐标原点，分别以为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系求解； （2）由（1）求得平面的一个法向量及的坐标，然后由求解； （3）设点，得到，求得平面的一个法向量，然后由求解． 【详解】（1）解：由题意可知，四边形是菱形，又，连接， 所以是正三角形， 取的中点E，连接． 所以． 又因为四棱柱的侧棱与底面垂直，所以两两垂直， 以D为坐标原点，分别以为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系． 已知直四棱柱的棱长均为6， 因为，且， 所以， 所以的坐标为； （2）由（1）及题意，得相关点的坐标为 ． 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，则， 即平面的一个法向量为， 又， 所以点到平面的距离为； （3）由（1）（2）及题意，设点， 则， 设平面的一个法向量， 则，即， 取则． 则有． 化简可得， 解得或， 因为， 所以， 所以， 故当点N位置在的线段上，与的距离等于2时， 平面与平面夹角的余弦值为. 48．(21-22高二上·山西怀仁第一中学·期中)已知在四棱锥中，底面为菱形，平面分别为的中点，点在棱上移动． (1)证明：无论在棱上如何移动都有平面平面； (2)若，在线段上是否存在一点，使得二面角的正弦值为．若存在，试确定的位置；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，为的中点或为上靠近的五等分点处 【分析】（1）在平面中可找到直线，使得平面；（2）建立空间直角坐标系利用空间向量来进行解决. 【详解】（1）证明  连接，∵底面为菱形，， 为正三角形，为的中点，， 又，．平面，平面，． 平面，平面．平面， ∴平面平面． （2）由（1）知，两两垂直．以为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 设菱形的边长为2， 则． ，，设，则． 设平面的一个法向量为， 则令，则．则． 设平面的一个法向量为，则 令，则． ∵二面角的正弦值为，∴二面角的余弦值为． ， ， 即， 或． 故为的中点或为上靠近的五等分点处． 49．(21-22高二上·山西运城康杰中学·期中)如图，在四棱锥中，． (1)求证：平面平面； (2)在线段上是否存在异于P，C的一点M，使平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出点M的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，点M为线段的中点 【分析】（1）由已知得，利用余弦定理求得，由勾股定理证得，利用线面垂直的判定定理证得平面，再利用面面垂直的判定定理证得结论； （2）取的中点，连结，利用面面垂直的性质定理知平面，建立如图所示的空间直角坐标系，设，利用空间向量求出平面与平面所成锐二面角的余弦值，列出等式求出，即得解. 【详解】（1）因为， 所以． 在中由余弦定理得， 所以， 所以，所以， 因为，、平面， 所以平面， 因为平面， 所以平面平面． （2）取的中点O，连结，因为，所以以点D为坐标原点，方向为x轴，y轴，以垂直于平面方向为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则． 因为，所以，即． 假设存在点M满足题意，设，则， 不妨设，即，得， 所以． 设为平面的法向量，则 即令得． 因为平面， 所以为平面的法向量． 因为平面与平面夹角的余弦值为， 所以，解得． 所以点M为线段的中点． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $