专题08 期中选填压轴突破（4大题型）（期中真题分类汇编 山西专用）高二数学上学期

学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题08期中选填压轴突破（4大题型) ☆4大高频考点概览 考点01空间向量 考点02直线方程 考点03圆与方程 考点04园锥曲线 目目 考点01 空间向量 1.(22-23高二上山西部分名校·期中)己知正四面体ABCD的棱长为6，P是四面体ABCD 外接球的球面上任意一点，则PA·PB的取值范围为() A.6-6V6,6+6V6 B.9-93,9+93 C.33-3V6,3V3+36 D.3V2-36,32+36 2.(22-23高二下山西吕梁名师高级中学校·开学考)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的 棱长为2，线段B,D1上有两个动点E,F(E在F的左边)，且EF=V2.下列说法错误的 是() D A.当E,F运动时，不存在点E,F使得AE⊥CF B.当E,F运动时，不存在点E,F使得AE‖BF C.当E运动时，二面角E-AB-C的最大值为45° D.当E,F运动时，二面角A-EF-B为定值 3.(22-23高二上山西朔州平鲁区李林中学·月考)在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D 中，EF是正方体ABCD-A1BC1D1外接球的直径，点P是正方体ABCD-A1B1C1D1 表面上的一点，则PE·PF的取值范围是() 1/17 耐学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.-2,0 B.-1,0 c.0,1 D.0,2 4.(16-17高二下·江西南昌第二中学·期中)在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,底 面ABCD为矩形，AB=PA.若BC边上有且只有一个点Q,使得PQ⊥QD,此时二面角 A-PD-Q的余弦值为() 30 6 2 B. C. 6 6 D. 6 5.(24-25高二上山西名校期末)如图，在棱长为2的正方体ABCD-A,B1C1D1中， E,F分别是棱BC1,C1D1的中点，P在线段B,D1上，Q在底面ABCD内，则下列结论 正确的是() D Q· ·三棱锥P-QEF的体积为定值 B.若PQ/元平面CEF,则点Q的轨迹长度为√2 C.存在PQ⊥平面CEF D.平面CEF截以P为球心，PQ长为半径的球所得的截面面积的取值范围为 32π104π 9’9 6.(24-25高二上山西大同·期中)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2, AP=xAD+yAAx,y∈0,1，则() A.若x+y=1,则点P的轨迹为线段AD1 B。若X=之则点P的轨迹为连接棱AD的中点和枝A,D,中点的线段 C.若x=y,则三棱锥P-A1BC1的体积为定值 D。若y=2则BP与平面ABCD所成角的余弦值的最大值为22 3 7.(23-24高二下山西太原小店区山西百校联考·期末)如图，在棱长均为1的平行六面体 2/17 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ABCD-A1B1C1D1中，BB1⊥平面ABCD,∠ABC=60°，P,Q分别是线段AC和线段 A,B上的动点，且满足BO=入BA,CP=1-入CA,则下列说法正确的是() A D A A当a=,PQ A D B.当入=时，若P0=xA恋+y市+zAAX,y,2∈R,则x+y+2=0 C,当1=，直线PQ与直线CC所成角的大小为号 31 D.当入∈0,1时，三棱锥Q-BCP的体积的最大值为 48 8.(23-24高二上山西运城稷山县稷山中学·月考)如图所示，正方体ABCD-A1B,C1D1 的棱长为1，E、F、G分别为BC、CC1、BB的中点，则下列说法正确的是() D G D B A.直线D,D与直线AF垂直 B.直线A,G与平面AEF平行 C.平面AEF截正方体所得的截面面积为 9 D.点A,与点D到平面AEF的距离相等 9.(23-24高二上山西运城教育发展联盟·调研)已知正方体ABCD-A1B,C1D1棱长为 1,M为棱CC1中点，P为正方形AB,C1D1上的动点，则() 3/17 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.满足MP⊥AM的点P的轨迹长度为2 B.满足MP∥平面BDA,的点P的轨迹长度为2 C.存在点P,使得平面AMP经过点B D.存在点P满足PA+PM=6 10.(23-24高二上·山西孝义·月考)在棱长为2的正方体ABCD-A,B,C1D,中，点P满足 AP=λAC+μAD,其中入∈0,1，μ∈(0,1，则() A.平面PAC⊥平面AB,CD B.当入+μ=1时，三棱锥A1-PBC1的体积为定值 C,当=子时，存在点P,使得BP1PC D.当入=时，存在点P,使得BC1上平面PCD 11.(21-22高二上山西运城教育发展联盟·月考)在棱长为1的正方体ABCD-A1B,C1D1 中，点P为线段A1C上的动点（包含线段的端点），点M,N分别为线段A,C1,CC1的 中点，则下列说法正确的是() A.当AC=3AP时，点A'p'D,'B,四点共面 B.异面直线AB,与MN的距离为 6 2 C.三棱锥P-DMN的体积为定值 D.不存在点P,使得AP⊥DM 12.(24-25高二山西山西大学附属中学校：月考)在棱长为1的正方体ABCD-A1B,C1D1 中，P为棱BB上一点，且BP=2PB,Q为正方形BB,CC内一动点（含边界），若 D.Q三且D,Q与平面A,PD所成的角最大时，线段AQ的长度为 13.(23-24高二上山西大同期中)在长方体ABCD-A1B1C1D1中， DD,=2DA=2DC=2,E,F分别是棱AB,CC1上的动点（不含端点），且AE=CF,则 三棱锥A1一竺（体积的取值范围是， 14.(22-23高二上·山西晋城第一中学校月考)阅读材料：空间直角坐标系0-xyz中，过点 4/17 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 Pxo,yo,乙o且一个法向量为i=a,b,c的平面a的方程为 ax-xo+by-yo+cz-Zo=0,阅读上面材料，解决下面问题：已知平面@的方程为 3x-5y+z-7=0,直线l是两平面x-3y+7=0与4y+2z+1=0的交线，则直线l与平面 a所成角的正弦值为_· 目目 考点02 直线方程 15.(21-22高二上·山西运城教育发展联盟·月考)设平面点集D包含于R,若按照某对应法 则f,使得D中每一点Px,y都有唯一的实数z与之对应，则称f为在D上的二元函数，且 称D为f的定义域，P对应的值z为f在点P的函数值，记作z=fx,y,若二元函数 f(x,y)=x2+y2+(x+12+y2+(2-x2+(y+4+Vx2+(2+y,其中-1≤x≤2， -4≤y≤0，则二元函数f(x,y)的最小值为() A.5 B.6 C.7 D.8 16.(24-25高二上山西大同：期中)已知实数a,b,c,d满足3a-4b+3=0,3c-4d-7=0 ,则(a-c}+b-d}的最小值为（) A.1 B.2 C.3 D.4 17.若直线！与函数fx=e-2x>1和gx=lnx的图象分别相切于点A,B,则AB=( () A.2 B.2V2 c.2 D.23 18.(24-25高二上山西阳泉·期末)已知点A是抛物线y=4x上的一个动点，点B是直线 y=x+4上的一个动点，则AB的最小值为() A.32 C.2 D.2 2 B.42 3 19.(24-25高二上山西实验中学)已知曲线C的参数方程为，且点P(x,y)在曲线C上， 则y+-1 的取值范围是() X 5/17 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3 3 0,3 2 3 20.(24-25高二上山西部分学校·期中)已知点A1,2,直线1： 1+2x+1-入y+2入+7=07∈R,则A到1的距离的最大值为() A.3 B.V10 C.32 D.5 21.(24-25高二上山西名校)已知A-1,3,直线l:m+2x-m+1y+2m-1=0,过 点A作l的垂线，垂足为B,则点B到x轴的距离的最小值为() A.25-4 B.4-5 C.4+5 D.8-2V5 22.(24-25高二上山西实验中学)直线l:(2-m)x+(2m+1)y+3m+4=0分别与x轴，y 轴交于A、B两点，若三角形AOB面积为5，则实数m的解有几个() A. B.2 C.3 D.4 23.(24-25高二山西山西大学附属中学校·月考)已知点P和非零实数入，若两条不同的直线 11,L2均过点P,且斜率之积为入，则称直线L1,1是一组“P,共轭线对”，如直线 :y=2x,6:y=方x是一组-0共矩线对”，其中0是坐标原点.已，是一组“ O3共轭线对”，则l1,12的夹角的最小值为() C. 4 D.2 24.(23-24高二下·山西晋城部分高中学校期末)如图，过圆0：x2+y2=9内一点M1,2作 两条弦AB,CD,且AB过圆心O,CD=5,则sin∠CMA=元() V22 B.55 c.ū 10 A. D. 10 10 5 5 25.(23-24高二下山西吕梁)已知P是圆0：x+y2=1上一动点，则点P到直线 6/17 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1:2+入X-1+入y-6-4入=0入∈R的距离的取值范围为() A.0,2V2-1 B.1,2V2+1 C.0,22+1 D.0,2V2+1 26.(22-23高二上山西高中教育发展联盟·期中)已知圆0：x2+y2=9,点P为直线 1:3x+4y-20=0上一动点，过点P向圆O引两条切线PA,PB,A,B为切点，则下列说 法正确的是() A.PA长度的最小值为7 B.cos∠APB的最大值为6 C.当(POV.VABV元最小时，直线AB的方程为12x+16y-45=0D.定点 7 4 20'5 到动直线AB距离的最大值是V2 724有三士西去医明末化为0方型标题点，发线C:号芳1Q>0,b0 ）的东、有然点分别为。F高心率为更M为双线C上一点M平分 ∠F,MF2,且F,N·MN=0,ON=4,则下列结论正确的是() A.双曲线C的标准方程为Xy B.ON∥MF2 16 C.双曲线C的焦距为4V5 D.点M到两条渐近线的距离之积为 5 28.(21-22高二上山西长治第二中学·月考)已知点P在圆(x-5)2+(y-4)2=9上，点 A(3,0),B(0,2),则下列选项正确的是() A.P到AB的距离小于8 B.P到AB的距离大于2 C.当∠PAB最小时，乙PAVi11 D.当∠PAB最大时元PAVY11 29.(24-25高二下山西长治)“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼-闵可夫斯基所创词汇， 7/17 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 其定义如下：在平面直角坐标系中有两点MX,yNX,y,其“曼哈顿距离” IMNI=x-x+y-y2 ,下列结论正确的是() A.若P(1,3),Q(-2,1),则PQI=5 B.若P(5,0),Q(t,1),且IPQ=5,则t=1 C.若点P(2,2),点Q是直线y=x+3上的动点，则PQ的最小值为3 D.若点P(-1,1),点Q是曲线y2=x上的动点，则PQI的最小值为2 30.24-25高二上~山西运城：期未已知P为双曲线C:X-,=1上一点，F1,F,为其左右 8 焦点，过点P作C的一条渐近线的垂线，垂足为A,则下列说法正确的是() PF PF2 A. PF2 PF 有数大号 B.△F,PF2的内心为I,I到y轴的距离为1 C.若∠F1PF2=60°，则△F1PF2的面积为4V5 31.(24-25高二上山西太原山西大学附属中学校·月考)以下四个命题表述正确的是( A.圆x2+y=2上有且仅有2个点到直线l:x-y+1=0的距离都等于 2 2 B.已知点P(x,y)在圆C:x-12+y-12=2上，则x+y的最大值是4 C.已知圆C:x2+y=2,P为直线x+y+23=0上一动点，过点P向圆C引一条切线 PA,其中A为切点，则PA的最小值为4 D.已知圆C:x2+y2=4,点P为直线：2x+y-8=0上一动点，过点P向圆C引两条 切线PA,PB,A,B为切点，则直线AB经过点 目目 考点03 圆与方程 8/17 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 32.(19-20高二上山西·期中)若直线y=kx-1与函数f(x)= -2x-x,0≤x≤2的 -x2+6x-8,2<x≤4 图象恰有3个不同的交点，则k的取值范围为() A.i B. D 13 C. 4’4 33.(18-19高二上·山西运城中学、芮城中学·期中)若曲线C1:x2+y2一2x=0与曲线C2: yy-mx+3m)=0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是 3 A. 80四03 33 B. 3’3 9 33 3,+0 3’3 34.(18-19高二上山西运城中学、芮城中学·期中)已知圆C1:x+y2+4y+3=0,圆 C2:x2+y2-6x+2y+6=0,M,N分别为圆C1和圆C2上的动点，P为直线l:y=x+1上 的动点，则MPV+iNPV的最小值为 A.2V10-3B.2V10+3 C.V10-3 D.10+3 35.直线y=x十b与曲线x=1-y有且只有一个公共点，则b的取值范围是() A.=2 B.-1<b<1或b=-V2 C.-1<bs1 D.-1<bs1或b=-V2 36.(24-25高二上山西太原第五中学·月考)在平面直角坐标系xOy内，若直线 1:x+y+m=0绕原点O逆时针旋转90°后与圆C:(x-1)+(y-2)2=1有公共点，则实数m 的取值范围是() A.[-3-1,3-1 B.-1,2+1 C.-1,3+1 D.-2-1,2-1 9117 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 37.若直线kx-y-2=0与曲线1-(y-12=x-1有两个不同的交点，则实数k的取值 范围是() c2, 4 D 38.(24-25高二上山西晋城多校期中)已知点Ax1,y1,Bx2,y2,定义 x+y2+x2+y1为A,B的“对称距离”.若点A,B在圆C:x-4+y=4上，则 A,B的“对称距离”的最小值为() A.2 B.2V2 C.V2+1 D.492-4 39.(23-24高二上·山西朔州怀仁第一中学校·期末)战国时期成书《墨经》有载曰：“景， 日之光反烛人，则景在日与人之间”这是中国古代人民首次对平面镜反射的研究，体现了 传统文化中的数学智慧在平面直角坐标系OXy中，一条光线从点M2,3射出，经y轴反射 后与圆C:x2-6x+y2+4y+12=0相切，则反射光线所在直线的斜率为() 5 c号 D.4 40.(23-24高二上·山西朔州怀仁调研)直线1：kx-y-2k+1=0与曲线 C:y+1=--x2+6x-5有交点，则实数k的取值范围是() A. 2 -00, U2,+o C. D.-∞，-2U 41.(23-24高二上山西吕梁孝义·月考)已知两点A(-3,0),B(3,0),若在直线 :ax-y-5a=0上存在4个点P:(i=1,2,3,4),使得△P,AB为直角三角形，则实数a的取 值范围为() 33 4二o0,-16016,+0o B 4’4 C 10/17 专题08 期中选填压轴突破 （4大题型） 4大高频考点概览 考点01 空间向量 考点02 直线方程 考点03 圆与方程 考点04 圆锥曲线 空间向量 地 城 考点01 1．(22-23高二上·山西部分名校·期中)已知正四面体的棱长为6，P是四面体外接球的球面上任意一点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，求得该正四面体的外接球的半径，进而得 ，再根据求解即可. 【详解】如图，设分别为正四面体棱中点， 作平面，垂足为， 所以，由正四面体的性质知三点共线，且，且其外接球的球心在上，记为， 因为正四面体的棱长为6， 所以，， 设四面体外接球的半径为，即， 所以，，即，解得， 所以，， 因为P是四面体外接球的球面上任意一点， 所以， 因为， ， 所以 ， 因为， 所以 故选：B 【点睛】方法点睛：对于立体几何的外接球问题，通常处理方法为，找到球心在某个特殊平面上的投影，进而找到球心的位置，设出未知数，根据半径相等列出方程，求出半径，从而求出表面积或体积. 2．(22-23高二下·山西吕梁名师高级中学校·开学考)如图，正方体的棱长为2，线段上有两个动点（在的左边），且．下列说法错误的是（    ） A．当运动时，不存在点使得 B．当运动时，不存在点使得 C．当运动时，二面角的最大值为 D．当运动时，二面角为定值 【答案】C 【分析】 建立坐标系，利用向量法判断AC；由反证法判断B；平面即为平面，平面即为平面，从而得出二面角为定值. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， 则． 因为在上，且，， 可设，则， 则， 所以， 故恒为正，故A正确． 若，则四点共面，与和是异面直线矛盾，故B正确． 设平面的法向量为， 又，所以，即， 取，则， 平面的法向量为，所以． 设二面角的平面角为，则为锐角，故， 因为，在上单调递减， 所以，故， 当且仅当时，取得最大值，即取最小值，故C错误． 连接．平面即为平面，而平面即为平面，故当运动时，二面角的大小保持不变，故D正确． 故选：C 3．(22-23高二上·山西朔州平鲁区李林中学·月考)在棱长为的正方体中，是正方体外接球的直径，点是正方体表面上的一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出正方体的外接球的半径，可得出，求出的取值范围，进而可求得的取值范围. 【详解】设正方体的外接球的球心为，设球的半径为， 则，可得，所以，， ， 当点与正方体的侧面或底面垂直时，的长取最小值，即， 当点与正方体的顶点重合时，的长取最大值，即， 所以，，所以，. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题考查空间向量数量积取值范围的求解，注意到为的中点，结合向量数量积的运算性质得出，将问题转化为求的取值范围，进而求解. 4．(16-17高二下·江西南昌第二中学·期中)在四棱锥中，平面，底面为矩形，.若边上有且只有一个点，使得，此时二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由线面垂直的性质与判定可证得平面，进而得到，设，，，利用勾股定理可得关于的方程，由方程有且仅有一个范围内的解，由求得的值；以为坐标原点，利用二面角的向量求法可求得结果. 【详解】平面，平面，， 又，，平面，平面， 又平面，； 设，，， ，，， ，即， 关于的方程有且仅有一个范围内的解，对称轴为， ，解得：，， 以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，， 轴平面，平面的一个法向量； 设平面的法向量， 则，令，解得：，，， ， 由图形可知：二面角为锐二面角，二面角的余弦值为. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用向量法求解二面角的问题；解题关键是能够根据线面垂直的判定与性质证得，从而利用勾股定理构造关于的一元二次方程，根据其根的分布可求得和的长度，进而得到利用向量法求解时所需的线段长度. 5．(24-25高二上·山西名校·期末)如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别是棱，的中点，P在线段上，Q在底面内，则下列结论正确的是（   ） A．三棱锥的体积为定值 B．若平面，则点Q的轨迹长度为 C．存在平面 D．平面截以P为球心，PQ长为半径的球所得的截面面积的取值范围为 【答案】ABD 【分析】求出三棱锥体积判断A；建立空间直角坐标系，利用空间向量求出点Q的轨迹判断B；利用空间位置关系的向量证明判断C；求出点到平面的距离，利用球的截面性质求解判断D. 【详解】对于A，由，得的面积为定值， 由平面平面，得三棱锥的高为定值2， ，A正确； 对于B，建立如图所示的空间直角坐标系，则， 设平面的法向量为，， 则，令，得， 设，， ，，则， 由平面， 得， 即点的轨迹方程为，令，得；令，得. 又点在底面内， 因此点的轨迹长度即为两点间的距离，B正确； 对于C，若存在平面，则，由， 得，，因此不存在平面，C错误； 对于D，由平面，得点到平面的距离为定值， 而，则， 而，则该球的半径， 截面圆的半径满足， 则截面面积的取值范围为，D正确. 故选：ABD 【点睛】思路点睛：涉及探求几何体中点的轨迹问题，可以建立空间直角坐标系，利用空间向量的运算建立动点坐标的关系解决. 6．(24-25高二上·山西大同·期中)在正方体中，，，则（    ） A．若，则点的轨迹为线段 B．若，则点的轨迹为连接棱的中点和棱中点的线段 C．若，则三棱锥的体积为定值 D．若，则与平面所成角的余弦值的最大值为 【答案】BCD 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，求出点的坐标，可判断AB选项；利用空间向量法可判断CD选项. 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、、 、， 因为， 对于A选项，当时，则点的轨迹为线段，A错； 对于B选项，若，即点， 此时，点的轨迹为连接棱的中点和棱中点的线段，B对； 对于C选项，若，即点，其中， ，，设平面的法向量为， 则，取，可得， ，则点到平面的距离为， 因为的面积为定值，故三棱锥的体积为定值，C对； 对于D选项，若，则，其中， 易知平面的一个法向量为， 设直线与平面所成的角为， 则， 当时，取最小值，此时取最大值，且，则， 因此，当时，则与平面所成角的余弦值的最大值为，D对. 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：对于立体几何的综合问题的解答方法： （1）立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求解轨迹的长度及动态角的范围等问题，解决方法一般根据线面平行，线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程； （2）对于线面位置关系的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面位置关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论，则否定假设； （3）对于探索性问题用向量法比较容易入手，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若有解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在. 7．(23-24高二下·山西太原小店区山西百校联考·期末)如图，在棱长均为1的平行六面体中，平面，分别是线段和线段上的动点，且满足，则下列说法正确的是（    ）    A．当时， B．当时，若，则 C．当时，直线与直线所成角的大小为 D．当时，三棱锥的体积的最大值为 【答案】ABD 【分析】利用直棱柱的性质，以及空间向量的有关知识逐项计算可得结论. 【详解】对于A，当时，分别是线段和线段的中点， 所以也是的中点，所以，故A正确； 对于B，当时，， 所以，，，满足，故B正确； 对于C，过作交于，      可知面，与直线成角即为， 当时，，在中， 则， 所以，所以，故C错误； 对于D，易知是正三角形， 三棱锥体积为 ， 当且仅当，即时取等号，故D正确； 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题D选项解决的关键是，分析得是正三角形，从而得到所需各线段长，从而利用三棱锥的体积公式即可得解. 8．(23-24高二上·山西运城稷山县稷山中学·月考)如图所示，正方体的棱长为，、、分别为、、的中点，则下列说法正确的是（    ）．    A．直线与直线垂直 B．直线与平面平行 C．平面截正方体所得的截面面积为 D．点与点到平面的距离相等 【答案】BCD 【分析】根据空间向量数量积计算判断A； 通过线面平行的定义判断B； 根据截面形状计算面积判断C； 根据图形关系判断点到平面距离是否相等即可判断D. 【详解】如图所示，在棱长为的正方体中，建立以为原点，以、、所在的直线为轴、轴、轴的空间直角坐标系，    因为、、分别为、、的中点， 则、、、， 对于A选项，、，∴，故A错误； 对于B选项，连接、，∵，∴、、、四点共面， ∵、，∴四边形为平行四边形， ∴，又平面，平面， ∴平面，故B正确； 对于C选项，连接、，∵， ∴四边形为平面截正方体所得的截面， 、、， ∴四边形为等腰梯形，高为， 则四边形的面积为，故C正确； 对于D选项，连接交于点， 则是的中点，且是线段与平面的交点， ∴点和点到平面的距离相等，故D正确； 故选：BCD 【点睛】方法点睛：本题考查立体几何的综合问题，此类问题常见的处理方法为： （1）几何法：通过图形特征转化，结合适当的辅助线进而求解； （2）坐标法：通过建立恰当的空间直角坐标系，结合空间坐标运算公式求解； （3）基底法：通过向量的基底转化以及向量的运算法则进行求解. 9．(23-24高二上·山西运城教育发展联盟·调研)已知正方体棱长为为棱中点，为正方形上的动点，则（    ） A．满足的点的轨迹长度为 B．满足平面的点的轨迹长度为 C．存在点，使得平面经过点 D．存在点满足 【答案】AB 【分析】对于A，建立空间直角坐标系，找出的坐标，设，进而对B进行计算验证即可； 对于B，利用线面平行的判定定理找出的轨迹，进而求解判断即可； 对于C，连接，取的中点，连接，，得到平面截正方体所得截面与正方形没有交点，进而即可判断； 对于D，借助空间直角坐标系，求得的最小值及处于边界处的的值，进而判断即可. 【详解】如图，以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，    则，，设，且，， 所以，，， 对于A，由，得，即， 因为，，所以点的轨迹为线段，且，， 则，即点的轨迹长度为，故A正确； 对于B，取的中点，的中点，如图，    因为点为的中点，由正方体的性质知，， 因为平面，平面， 所以平面，同理可得平面， 又，， 所以平面平面，又平面， 所以平面， 所以点的轨迹为线段，故B正确； 对于C，如图，连接，取的中点，连接，，    则平面截正方体所得截面为，与正方形没有交点， 所以不存在点，使得平面经过点，故C错误； 对于D，由A知，点关于平面的对称点为， 所以当三点共线时最小， 即， 且当与重合时，， 当与重合时，， 当与重合时，， 当与重合时，， 综上所述，不存在点满足，故D错误. 故选：AB. 【点睛】方法点睛：立体几何中关于动点轨迹问题，常常结合线、面判定定理及性质寻求，或借助空间直角坐标系进行辅助计算求解. 10．(23-24高二上·山西孝义·月考)在棱长为2的正方体中，点满足，其中，，则（    ） A．平面平面 B．当时，三棱锥的体积为定值 C．当时，存在点，使得 D．当时，存在点，使得平面 【答案】ABD 【分析】首先以点为原点建立空间直角坐标系，分别求平面和平面的法向量，利用法向量的关系，即可判断A；利用向量法求点到平面的距离，即可判断B；利用向量数量积，即可判断C；要证明线面垂直，转化为证明线线垂直，即可判断D. 【详解】以点为坐标原点，，，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，    则，，，，，，，. 设平面的一个法向量为，，， 则，令，解得，， 所以平面的一个法向量， 又，， 因为， 故.设平面的一个法向量为， 则，令，解得，， 所以平面的一个法向量，又，所以， 所以平面平面，故A正确； 当时，点，设平面的一个法向量，，， 则， 令，解得，，所以平面的一个法向量为， 且，所以点到平面的胜离为， 又的面积为定值，故三棱锥的体积为定值，故B正确； 当时，此时，所以，， 所以， 所以不存在点，使得，故C错误； 当，此时，所以，，， 因为，要使平面， 则，解得，符合题意， 故存在点，使得平面，故D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：本题考查利用坐标法，解立体几何中的位置关系，本题的关键是点坐标的设法问题，利用坐标法解决位置关系问题. 11．(21-22高二上·山西运城教育发展联盟·月考)在棱长为1的正方体中，点为线段上的动点（包含线段的端点），点，分别为线段，的中点，则下列说法正确的是（    ） A．当时，点，，，四点共面 B．异面直线与的距离为 C．三棱锥的体积为定值 D．不存在点，使得 【答案】AC 【分析】对于A，借助空间向量判断共面即可；对于B，建立空间直角坐标系，利用空间向量求距离即可判断； 对于C，证明直线A1C//平面DMN即可判断；对于D，利用空间直角坐标系中向量坐标运算即可判断作答. 【详解】在棱长为1的正方体中，点为线段上的动点，如图，    对于A，因，则 ，共面， 且它们有公共点A，点，，，四点共面，A正确； 对于B，建立如图所示的空间直角坐标系，则，A1(1，0，1)， ，设与都垂直的向量， 因此，，令，得，则异面直线与的距离，B不正确； 对于C，因点，分别为线段，的中点，则，平面DMN，平面DMN，于是得平面DMN， 因此，上任意点P到平面DMN的距离都相等，而点D，M，N都是定点，即面积是定值，则三棱锥的体积为定值，C正确； 对于D，令，，则，而， 于是得，当时，，即，因此当点P与点C重合时，，D不正确. 故选：AC 12．(24-25高二·山西山西大学附属中学校·月考)在棱长为1的正方体中，为棱上一点，且，为正方形内一动点（含边界），若且与平面所成的角最大时，线段的长度为 . 【答案】/ 【分析】建立空间直角坐标系，先求得点的轨迹，结合空间向量表示出与平面所成的角的正弦值，进而确定的坐标，从而求解. 【详解】以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， ，，，，，设， 则，， 设平面的一个法向量为， 则，即取，则. 在正方体中，可得平面，且平面， 所以，则， 所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆弧，其圆心角为， 则，则，即， 又，设与平面所成的角为， 所以， 又，当且仅当时，等号成立， 所以，即时，与平面所成的角最大， 即，所以. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：求解立体几何中的动态问题与存在性问题的策略： 1、解答方法：一般时根据线面平行，线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程； 2、对于线面位置关系的存在性问题，首先假设存在，然后再该假设条件下，利用线面位置关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论，则否定假设； 3、对于探索性问题用向量法比较容易入手，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若由解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在，同时，用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导思想是解答此类问题的关键. 13．(23-24高二上·山西大同·期中)在长方体中，分别是棱上的动点（不含端点），且，则三棱锥体积的取值范围是 . 【答案】 【分析】直接建立空间直角坐标系或者应用等体积法做即可. 【详解】法一：以为原点，分别以直线为轴建立空间直角坐标系. 如图所示，    设，而， 则， 设平面的一个法向量为， 则，令，则 所以平面的一个法向量为， 点到平面的距离 因为 设中的边上的高为，则 ， 所以（）， 所以三棱锥的体积的取值范围是， 故答案为： 法二：设，延长到，使得， 则，，则，于是，    而长方体的对角面是矩形，则有， 又平面，平面，于是平面， 所以到平面的距离等于到平面的距离， 由等体积法可知， 又 ， 故，所以， 故答案为： 14．(22-23高二上·山西晋城第一中学校·月考)阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为 ． 【答案】/ 【分析】根据阅读材料可得平面的一个法向量，再在两平面的交线上取两个点，从而得交线的方向向量，由此利用向量夹角余弦的坐标表示即可得解． 【详解】因为平面的方程为，所以平面的一个法向量， 又直线：上有两个点，， 所以直线的方向向量为， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 故答案为：． 地 城 考点02 直线方程 15．(21-22高二上·山西运城教育发展联盟·月考)设平面点集包含于，若按照某对应法则，使得中每一点都有唯一的实数与之对应，则称为在上的二元函数，且称为的定义域，对应的值为在点的函数值，记作，若二元函数，其中，，则二元函数的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】二元函数的几何意义是动点到定点距离的和，结合三点确定的线段和差关系即可得解. 【详解】依题意，因，，则点在由直线围成的矩形ABCD区域内(含边界)，如图， 而表示动点到定点距离的和，在矩形ABCD及内部任取点P， 连接PO，PA，PQ，PC，AC，于是有，当且仅当点P在线段OQ上时取“=”，，当且仅当点P在线段AC上时取“=”， 于是得，当且仅当点P是线段OQ与AC的交点时取“=”， 显然直线AC：与y轴交点在线段OQ上，即当点时，， 所以二元函数的最小值为7. 故选：C 16．(24-25高二上·山西大同·期中)已知实数满足， ， 则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据题意，结合两平行直线距离公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意可得，是直线上的点， 是直线上的点，则两直线平行， 的最小值是平行直线之间的距离的平方， 可得最小值为. 故选：D 17．若直线与函数和的图象分别相切于点，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】先设切点，再求导函数得出点斜式即切线方程，结合公切线列方程求解得出点，最后应用两点间距离求解. 【详解】设，， 因为，， 所以函数的图象在点处的切线方程为，即， 函数的图象在点处的切线方程为，即， 因为直线是两函数图象的公切线，所以， 由①可得，代入②得， 因为，所以，所以，， 所以. 故选：C． 18．(24-25高二上·山西阳泉·期末)已知点是抛物线上的一个动点，点是直线上的一个动点，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】直线与抛物线相切时，切点到直线的距离即为最小值，由此可求解． 【详解】设直线与抛物线相切于点，显然切点位于第一象限， 在第一象限内，由，得，则， 所以，即，所以点的坐标为， 所以的最小值为点到直线的距离，即. 故选：A 19．(24-25高二上·山西实验中学·)已知曲线C的参数方程为，且点在曲线C上，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意得曲线C是半圆，借助已知动点在半圆上动，所求式子 ，为半圆上动点P与点C（0，1）连线斜率，数形结合即可求解． 【详解】解：因为，即 ， 所以，其中 由题意作出图形： 而， 令，则可看作半圆上的动点到点的连线的斜率， 由题意可得当直线与半圆相切时斜率最大， 如图直线与半圆相切，在直角三角形中，， 由图形知，的取值范围是. 则的取值范围是． 故选：D． 【点睛】本题考查曲线的参数方程与标准方程的转化，作出图形是解题关键.重点考查了已知两点坐标写斜率，及直线与圆的相切与相交的关系，还考查了数形结合和等价转化的思想． 20．(24-25高二上·山西部分学校·期中)已知点，直线l：，则A到l的距离的最大值为（    ） A．3 B． C． D．5 【答案】D 【分析】先求出定点，再根据当时，点P到l的距离最大，运用两点间距离公式计算即可. 【详解】将直线l的方程变形为，由， 得，所以直线l过定点， 当时，点P到l的距离最大，故最大距离为. 故选：D. 21．(24-25高二上·山西名校·)已知，直线：，过点作的垂线，垂足为，则点到轴的距离的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先判断直线过定点，再根据几何关系确定点的轨迹方程，再根据直线与圆的位置关系，即可求解. 【详解】由，得. 令，解得，即过定点， 所以点在以为直径的圆上， 其中圆心，半径为.因为圆心到轴的距离为4， 所以点到轴的距离的最小值为. 故选：B 22．(24-25高二上·山西实验中学·)直线分别与x轴，y轴交于A、B两点，若三角形面积为5，则实数m的解有几个（   ） A．     B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】确定直线斜率存在，分别令、得直线的横纵截距，求三角形面积根据面积值解方程得m，即可得结论. 【详解】由题可知，直线的斜率存在且不为0， 故，即且， 令，得；令，得；即， 所以，所以， 则或，解得或， 故解得的实数m的解有4个. 故选：D. 23．(24-25高二·山西山西大学附属中学校·月考)已知点和非零实数，若两条不同的直线，均过点，且斜率之积为，则称直线，是一组“共轭线对”，如直线，是一组“共轭线对”，其中是坐标原点．已知，是一组“共轭线对”，则，的夹角的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由“共轭线对”的定义，结合直线的夹角公式及基本不等式即可求解. 【详解】设直线的斜率为，则直线的斜率为，两直线的夹角为， 则，当且仅当，即时取等号， 又，所以， 故选：B. 24．(23-24高二下·山西晋城部分高中学校·期末)如图，过圆内一点作两条弦，且过圆心，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取的中点，连接，根圆的弦长求出，根据两点的距离公式求出，再求出即可. 【详解】取的中点，连接，则， 圆的半径， 则， ， 所以. 故选：B. 25．(23-24高二下·山西吕梁·)已知P是圆上一动点，则点P到直线的距离的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，得到过定点，得到点在圆上，且，结合直线与圆的位置关系，即可求解. 【详解】因为直线，可化为， 由，解得，所以l过定点， 又因为点在圆上，且， 又由圆，可得圆心为，半径， 当时，点P到的距离最大，最大距离为，此时， 所以直线的斜率为1，此时无解，故直线l不存在，所以距离； 当直线与圆O相交时，点P到l的距离最小，最小距离为0， 故点P到的距离的取值范围为. 故选：D. 26．(22-23高二上·山西高中教育发展联盟·期中)已知圆，点P为直线上一动点，过点P向圆O引两条切线，A，B为切点，则下列说法正确的是（    ） A．长度的最小值为 B．的最大值为 C．当最小时，直线的方程为 D．定点到动直线距离的最大值是 【答案】ACD 【分析】对于A，利用圆心与切点的连线垂直切线列等式，转化为求圆心到直线上的点的距离的最小值问题，对于B，无限接近，的值无限接近1，对于C，由四边形等面积法将求的最小值转化为求的最小值，即当时，取得最小值，联立直线与直线方程可求出点坐标，再由点，点求出以为直径的圆的方程，从而可求出公共弦的方程，对于D，求出直线过的定点，可求出定点到动直线距离的最大值. 【详解】对于A，圆：的圆心，半径， 则圆心到直线的距离为， 所以直线与圆相离，由切线的性质可知为直角三角形， 所以， 当且仅当与直线垂直时取等号，所以长度的最小值为，所以A正确， 对于B，越小，的值越大，当的长无限大时，无限接近，的值无限接近1，所以B错误， 对于C，圆：的圆心，半径，如图，连接， 则, 所以要求的最小值，只要求出的最小值，即时取得最小值， 所以，所以直线的方程为，即， 由，解得，即， 因为，所以也在以为直径的圆上， 因为以为直径的圆为， 即， 所以直线的方程为，即， 所以当最小时，直线的方程为，所以C正确， 对于D，设，因为为直线任一点，所以， 因为圆的两条切线，A，B为切点， 所以，所以也在以为直径的圆上， 令的中点为，则，则以为直径的圆为 ， 因为圆， 所以直线的方程为， 因为，所以直线的方程为， 即， 由，得， 所以直线恒过定点， 所以定点到动直线距离的最大值是 ， 所以D正确， 故选：ACD. 27．(23-24高二上·山西太原·期末)已知为坐标原点，双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，离心率为，为双曲线上一点，平分，且，，则下列结论正确的是（    ） A．双曲线的标准方程为 B． C．双曲线的焦距为 D．点到两条渐近线的距离之积为 【答案】BCD 【分析】不妨设为双曲线的右支上一点，延长交于点，根据三角形全等进而得，，再结合双曲线的定义，中位线定理得，由离心率求出可得双曲线方程可判断ABC；设，则，求出点到两条渐近线的距离之积可判断D. 【详解】对于A，不妨设点在双曲线的右支上，延长相交于点， 因为平分，且，所以， 在中，，所以， 所以，， 即为线段的中点，可得为的中位线， 根据双曲线的定义， 因为为的中位线，所以，即， 离心率为，可得，所以， 所以双曲线的标准方程为，故A错误； 对于B，因为为的中位线，，即，故B正确； 对于C，因为，所以双曲线的焦距为，故C正确； 对于D，双曲线的标准方程为， 所以渐近线方程为，即， 设，则，即， 点到两条渐近线的距离之积为，故D正确.    故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于延长相交于点，结合几何关系得到为的中点，进而求得双曲线的解析式. 28．(21-22高二上·山西长治第二中学·月考)已知点在圆上，点，则下列选项正确的是（    ） A．到的距离小于8 B．到的距离大于2 C．当最小时， D．当最大时 【答案】ACD 【分析】AB选项，到的距离的最大最小距离分别是圆心到的距离加上或减去半径得到，CD选项结合图像，计算切线长即可. 【详解】由直线的截距式方程马上得到，方程为： ，即，过圆心 作，垂足为，且和圆相交于，由点到直线的距离公式，，于是，如图所示，于是到的距离的范围是，由于，于是A正确，B错误； 的最大值最小值如图所示显然是恰好成为直线和圆的切点时取得，即在切点时，最小，即在切点时，最大，两处切线长都等于，CD选项都对. 故选：ACD 29．(24-25高二下·山西长治·)“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼-闵可夫斯基所创词汇，其定义如下：在平面直角坐标系中有两点，，其“曼哈顿距离”．下列结论正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，且，则 C．若点，点Q是直线上的动点，则的最小值为3 D．若点，点Q是曲线上的动点，则的最小值为2 【答案】AC 【分析】利用“曼哈顿距离”的定义即可判断AB，对于C设，则利用三角不等式即可判断，对于D设，则，由二次函数即可判断. 【详解】对于A：，故A正确； 对于B：或1，故B错误； 对于C：设，所以，故C正确； 对于D：设，所以， 当时，，所以当时，则的最小值为，故D错误， 故选：AC. 30．(24-25高二上·山西运城·期末)已知为双曲线上一点，为其左右焦点，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，则下列说法正确的是（    ） A．有最大值 B．的内心为，到轴的距离为1 C．若，则的面积为 D．点到双曲线的两条渐近线的距离之积为定值 【答案】ABD 【分析】由双曲线的定义结合二次函数的性质可得A正确；由双曲线的定义结合几何关系可得B正确；由双曲线的定义结合余弦定理和三角形的面积公式可得C错误；由渐近线方程和点到直线的距离可得D正确； 【详解】对于A，由双曲线的定义可得设，， 令，，则， 因为，所以， 所以，故A正确； 对于B，设的内切圆半径为，在右上，由双曲线方程可知，， 设三角形内切圆三边的切点分别为，如图， 由几何关系可得， 所以，解得， 所以，所以到轴的距离为1，故B正确； 对于C，设 则由余弦定理可得， 即， 又，所以，所以，故C错误； 对于D，设，渐近线方程， 点到渐近线的距离， 同理到渐近线的距离， 所以， 因为点在双曲线上，所以，代入上式可得点到双曲线的两条渐近线的距离之积为定值，故D正确； 故选：ABD. 31．(24-25高二上·山西太原山西大学附属中学校·月考)以下四个命题表述正确的是（ ） A．圆上有且仅有2个点到直线的距离都等于 B．已知点在圆上，则的最大值是4 C．已知圆，为直线上一动点，过点向圆引一条切线，其中为切点，则的最小值为4 D．已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线，，为切点，则直线经过点 【答案】BD 【分析】选项A根据圆心到直线的距离与半径的关系来确定所求点的个数；选项B设，利用圆心到直线的距离不等于半径得到不等式，求出的范围；选项C利用圆心与切点的连线垂直切线列等式，转化为求圆心到直线上的点的距离的最小值问题；选项D，设点为直线上一点，求出切线的方程即可判断． 【详解】选项A：圆的圆心为 ，半径 ， 所以圆心到直线的距离， 所以圆上有且仅有个点到直线的距离都等于，故A错误； 选项B：圆的圆心为，半径， 设，则，解得， 所以的最大值是4，故B正确； 选项C：圆的圆心 ，半径 ， 圆心到直线的距离， 所以直线与圆相离，由切线的性质知，为直角三角形， 所以 ， 当且仅当与直线垂直时等号成立，所以的最小值为，故C错误； 选项D：设点为直线上一点， 则以，为直径的圆的方程为，即：， 两圆的方程相减得到直线方程为， 即，令，解得， 所以直线过定点，故D正确． 故选：BD． 圆与方程 地 城 考点03 32．(19-20高二上·山西·期中)若直线与函数的图象恰有3个不同的交点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】画出函数图像，直线过定点，根据直线与圆的上半部和下半部关系计算得到答案. 【详解】的图象由圆的下半部分与圆的上半部分组成 直线过定点. 当直线与圆的上半部分相切时， 解得或（舍去） 当直线经过点时，. 数形结合可得：. 故选 【点睛】本题考查了函数图像的交点问题，画出函数图像根据函数图像求解是解题的关键. 33．(18-19高二上·山西运城中学、芮城中学·期中)若曲线C1：x2＋y2－2x＝0与曲线C2：y(y－mx+3m)＝0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可知曲线表示一个圆，曲线表示两条直线和，把圆的方程化为标准方程后找出圆心与半径，此圆与有两交点，由两曲线要有4个交点可知，圆与要有2个交点，根据直线过定点，先求出直线与圆相切时的值，然后根据图象可写出满足题意的的范围. 【详解】 由题意可知曲线表示一个圆，化为标准方程得： 圆心坐标为，半径； 表示两条直线和， 由直线可知，此直线过定点， 直线和圆交于点和， 因此直线与圆相交即可满足条件， 当直线与圆相切时，圆心到直线的距离， 化简得，解得， 而时，直线方程为，两直线重合，不合题意， 则直线与圆相交时，，故选A. 【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，属于中档题.解答直线与圆的位置关系的题型，常见思路有两个：一是考虑圆心到直线的距离与半径之间的大小关系（求弦长问题需要考虑点到直线距离、半径，弦长的一半之间的等量关系）；二是直线方程与圆的方程联立，考虑运用韦达定理以及判别式来解答. 34．(18-19高二上·山西运城中学、芮城中学·期中)已知圆，圆，分别为圆和圆上的动点，为直线上的动点，则的最小值为 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出圆的圆心坐标和半径，作出圆关于直线的对称圆，连结，则与直线的交点即为点，此时点为与圆的交点关于直线对称的点，为与圆的交点，的最小值为. 【详解】 由圆，圆， 可知圆圆心为，半径为1，如图， 圆圆心为，半径为2， 圆关于直线的对称圆为圆， 连结，交于，则为满足使最小的点， 此时点为与圆的交点关于直线对称的点，为与圆的交点， 最小值为， 而， 的最小值为，故选A. 【点睛】本题考查了圆方程的综合应用，考查了利用对称关系求曲线上两点间的最小距离，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题. 解决解析几何中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将解析几何中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解. 35．直线y＝x＋b与曲线x＝有且只有一个公共点，则b的取值范围是(　　) A．|b|＝ B．－1<b<1或b＝－ C．－1<b≤1 D．－1<b≤1或b＝－ 【答案】D 【分析】对曲线两边平方，结合范围，得到曲线是右半个圆，画出曲线的图象，再画出斜率为1的直线，平移直线，找到只有一个公共点的b的取值范围. 【详解】解：x＝两边平方可得，，所以曲线为圆的右半部分. 画出曲线的图像和y=x的图像，对y=x进行平移，由数形结合可知： 当时，直线与圆有且只有一个公共点； 当直线与半圆相切时有且只有一个公共点，此时圆心到直线的距离 解得：b=，检验b=时无交点，所以b=； 综上：－1<b≤1或b＝－. 故答案选D． 【点睛】本题考查直线与半圆的位置关系，考查数形结合的思想，易错点是丢掉相切的情况. 36．(24-25高二上·山西太原第五中学·月考)在平面直角坐标系内，若直线绕原点逆时针旋转后与圆有公共点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求旋转后的直线，再根据直线与圆的位置关系，即可求解 【详解】直线的斜率为，过点，绕原点逆时针旋转后，斜率为，过点，得到直线， 若该直线与圆存在公共点， 则圆心到直线的距离， 解得， 故选：D. 37．若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分和去掉的绝对值，作出直线与曲线的图象，根据图象求解. 【详解】当时，曲线为（）， 表示以为圆心，1为半径的圆的右半圆； 当时，曲线为（）， 表示以为圆心，1为半径的圆的左半圆； 所以曲线的图象如图所示： 当直线位于与之间或与之间时， 直线与曲线有两个不同的交点， 当直线位于时，直线与圆相切， 则，解得； 当直线位于时，； 直线位于与之间时，. 同理可得，直线位于与之间时，. 综上，实数的取值范围是. 故选：C 38．(24-25高二上·山西晋城多校·期中)已知点，，定义为，的“对称距离”．若点，在圆：上，则，的“对称距离”的最小值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】分析得到点，的“对称距离”，相当于点关于直线：的对称点与点的距离，设圆关于的对称圆为圆，转化为两圆上的点，的距离的最小值，由于两圆外离，点到的距离的最小值的两倍即为所求，得到答案. 【详解】点，的“对称距离”， 相当于点关于直线：的对称点与点的距离， 所以当点，在圆上时，点在圆关于的对称圆上， 又圆心到直的距离，所以圆与相离，从而圆与圆外离． 所以，的“对称距离”的最小值，即为两圆上的点，的距离的最小值， 也即点到的距离的最小值的两倍， 其中点到的距离最小值为圆心到直的距离减去半径，即， 所以所求最小值为． 故选：D 39．(23-24高二上·山西朔州怀仁第一中学校·期末)战国时期成书《墨经》有载曰：“景，日之光反烛人，则景在日与人之间.”这是中国古代人民首次对平面镜反射的研究，体现了传统文化中的数学智慧.在平面直角坐标系中，一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】先得到关于轴的对称点，然后根据反射光线经过，设出反射光线的方程，根据反射光线与圆相切列出关于的方程，则结果可求. 【详解】如图，设点与点关于轴对称，则点的坐标为， 反射光线所在直线经过点，且与圆相切， 设反射光线所在直线的斜率为，则反射光线所在直线的方程为，即， 圆的圆心为，半径， 则由圆心到反射光线所在直线的距离等于半径，可得， 即，解得或. 故选：A. 40．(23-24高二上·山西朔州怀仁·调研)直线与曲线有交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据曲线的方程确定为以为圆心，2为半径的下半圆，进一步利用经过定点的直线系和曲线的交点确定直线的斜率，最后确定实数k的取值范围． 【详解】 ,所以直线恒过定点，且斜率为； 曲线，整理得， 故该曲线是以为圆心，2为半径的下半圆， 如图所示，令，代入，整理得，解得或； 故， ，所以直线与曲线有交点，只需或即可， 故选：B. 41．(23-24高二上·山西吕梁孝义·月考)已知两点，若在直线上存在4个点,使得为直角三角形，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分类讨论直角顶点的位置，由题意可得直线与圆相交，从而解得的范围. 【详解】由直线得，，即直线恒过. 当时，l的方程为， 此时l上的点与A,B两点共线，不能构成三角形，此时不合题意，故. 要使为直角三角形，则直角顶点可能， 如图，当直角顶点为时，即直线与直线交点满足题意； 当直角顶点为时，即直线与直线交点满足题意； 要使在直线上存在4个点,使得为直角三角形， 则直线l与以为直径的圆相交， 此时直线与以为直径的圆的两交点，满足题意； 因为以为直径的圆为, 所以,解得． 故a的取值范围为． 故选：D． 42．(23-24高二上·山西吕梁·期中)已知，直线与的交点在圆 上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线过定点以及垂直关系确定点在以为直径的圆上，进而根据两圆的位置关系即可求解. 【详解】由直线，的方程知直线过定点，直线过定点， 又，所以，即，所以点在以为直径的圆上， 的中点,, 故在圆上，又在圆上，所以圆与圆有交点， 即，又，所以，即的取值范围是． 故选:D． 43．(24-25高二上·山西现代双语学校南校·月考)已知椭圆的左、右焦点分别为与，点P是椭圆C上的动点，点Q是圆上任意一点，O为坐标原点.若的最小值为，则下列说法中正确的是（   ） A． B．的最大值为5 C．存在点使得 D．的最小值为 【答案】ABC 【分析】首先得到圆心坐标与半径，即可判断点在椭圆外部，在求出，即可求出可判断A；再根据数量积的运算律及椭圆的性质判断B、C，再结合椭圆的定义可判断D. 【详解】对于A，椭圆，则，所以， 圆的圆心为，半径， 所以，所以点在椭圆外部，又，当且仅当、、三点共线（在之间）时等号成立，所以，解得，所以，解得（负值舍去），故A正确； 对于B， ， 又，所以，所以， 即的最大值为5，当且仅当点在左、右顶点时取最大值，故B正确； 对于C，设点为椭圆的上顶点，则，， 所以，所以，所以， 则存在点使得，，故C正确； 对于D，因为 ， 当且仅当四点共线（且、在之间）时等号成立，故D错误. 故选：ABC. 【点睛】方法点睛：对于D选项，关键点是转化为求的最小值，且当且仅当四点共线（且、在之间）时等号成立. 44．(23-24高二上·山西太原·期中)已知点在圆上，点在上，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．过作圆的切线，切点分别为，则的最小值为 D．过P作直线，使得直线与直线的夹角为，设直线与直线的交点为，则的最大值为 【答案】ACD 【分析】根据直线和圆的位置关系、点到直线的距离公式、圆与圆的位置关系、弦长等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为，直线和圆相离， 所以的最小值为，A选项正确. 由于是直线上任意一点，所以没有最大值， B选项错误. 对于D选项，由于直线与直线的夹角为， 所以等于到直线的距离的倍， 所以的最大值为，D选项正确. 对于C选项，设，的中点为， ， 所以以为圆心，为半径的圆的方程为， 整理得， 由、两式相减并化简得， 即直线的方程为， 到直线的距离为， 所以， 对于函数， 所以恒成立，当时， 取得最小值为， 所以，所以， 所以，所以C选项正确. 故选：ACD 【点睛】方法点睛：求解直线和圆的位置关系有关题目，主要的方法是数形结合的数学思想方法，根据图象以及圆的几何性质来对问题进行研究.求解圆与圆相交所得弦长，可利用两个圆的方程相减来求得相交弦所在直线方程. 45．(24-25高二上·山西吕梁·期末)下列说法正确的是（    ） A．曲线表示圆 B．过点作圆的切线，其切线长为 C．过圆与可作4条公切线 D．直线的倾斜角范围是 【答案】BCD 【分析】将曲线方程配方可判断A；利用切线长公式求出切线的长可判断B；判断两圆的位置关系可判断C；求出斜率的范围，可得倾斜角的范围，从而可判断D. 【详解】对A选项，曲线可化为，不是圆，所以A错误； 对B选项，切线长为 ，所以B正确； 对C选项，因为圆的圆心坐标为，半径为2， 的圆心坐标为，半径为1， 所以两圆圆心距为大于两半径之和， 所以两圆相离，可作4条公切线，所以C正确； 对D选项，设直线的倾斜角的倾斜角为，， 因为直线的斜率，所以倾斜角范围．所以D正确， 故选：BCD. 46．(24-25高二上·山西名校·期末)已知圆：与直线：，点在圆上，点在直线上，则（   ） A．直线与圆相离 B．过点的直线被圆截得的弦长的最小值为 C． D．从点向圆引切线，切线长的最小值是 【答案】ACD 【分析】由圆心到直线的距离可判断A；最短的弦长为垂直与该直径的弦长可判断B；当的值最小时，则，可判断C；当时，切线长最小，可判断D． 【详解】 A：圆，， 圆心，半径，圆心到直线的距离为 ，直线与圆相离，故A正确； B：设过点的直线方程为， 所以该直线被圆截得最短的弦长为垂直与该直径的弦长， 和圆心的距离为， 最短弦长为，故B错误； C：当的值最小时，则， 的最小值是圆心到直线的距离减去半径，即，故C正确； D：从点向圆引切线，当时，切线长最小，最小值是，故D正确. 故选：ACD． 47．(24-25高二上·山西阳泉·期末)已知直线，则下列选项正确的是（    ） A．当直线与直线平行时， B．当直线与直线垂直时， C．直线与轴正半轴和正半轴围成的三角形面积的最小值是 D．直线和圆相交于两点，则最小值是4 【答案】AD 【分析】利用直线平行、垂直的判定求参数判断A、B；求直线与坐标轴的交点，应用三角形面积公式及基本不等式求面积的最小值，注意取值条件，判断C；将直线化为，即可得定点计算求出的最大值即可得出最小值判断D. 【详解】A：由题意，，则，A对； B：由题意，，则，B错； C：由题意，直线与负半轴均有交点， 令，则，令，则，知， 所以直线与轴正半轴和正半轴围成的三角形面积， 则， 当且仅当时取等号，所以直线和正半轴和正半轴构成的三角形面积最小值是4，C错误； D：直线可化为，联立，直线恒过点， 则垂直于直线时，原点到直线的距离最大， 最大值为，则最小值是，D对. 故选：AD 48．(24-25高二上·山西晋城·)已知直线：，圆：的半径为2，点在圆上，则下列说法正确的是（   ） A． B．直线与圆相离 C．过圆心且与直线垂直的直线方程为 D．到直线的距离等于的点只有1个 【答案】BD 【分析】对于A，由圆的半径为2，求出，即可判断；对于B，由点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，即可判断；对于C，由点斜式求出过圆心且与直线垂直的直线方，即可判断；对于D，由圆心C到直线的距离结合半径，可得圆上到直线的距离等于的点的个数，即可判断. 【详解】对于A，圆：的标准方程为， 所以圆心，半径， 由圆的半径为2，则，解得，故A错误； 对于B，因为直线方程为， 则圆心到直线的距离， 所以直线与圆相离，故B正确； 对于C，因为直线垂直的直线斜率为， 则过圆心且与直线垂直的直线方程为， 即，故C错误； 对于D，因为圆心到直线的距离， 由，所以到直线的距离等于的点只有1个，故D正确. 故选：BD. 地 城 考点04 圆锥曲线 49．(23-24高二上·山西太原·期中)已知椭圆的左、右焦点分别为，点M在C上，点N的坐标为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义转化，结合三点共线来求得的取值范围. 【详解】依题意，，，， ，， 所以，当位于线段与椭圆交点处时等号成立. 根据椭圆的定义可知， 如图所示，设的延长线与椭圆相交于， 则当位于时，取得最大值为， 综上所述，的取值范围为. 故选：B 【点睛】在椭圆中，求解椭圆上的点到焦点、定点的距离的和或差的最值，可以考虑通过椭圆的定义进行转化，然后结合三点共线来确定最值.在解题过程中，要画出对应的图象，结合图象来进行求解. 50．已知椭圆，为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义结合余弦定理求出的值，利用，根据向量模的计算即可求得答案. 【详解】由题意椭圆，为两个焦点，可得，    则①，即， 由余弦定理得， ，故，② 联立①②，解得：， 而，所以， 即， 故选：B 【点睛】方法点睛：本题综合考查了椭圆和向量知识的结合，解答时要注意到O为的中点，从而可以利用向量知识求解. 51．(20-21高二下·山西·)如图，O是坐标原点，P是双曲线右支上的一点，F是E的右焦点，延长PO，PF分别交E于Q，R两点，已知QF⊥FR，且，则E的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令双曲线E的左焦点为，连线即得，设，借助双曲线定义及直角用a表示出|PF|，，再借助即可得解. 【详解】如图，令双曲线E的左焦点为，连接， 由对称性可知，点是线段中点，则四边形是平行四边形，而QF⊥FR，于是有是矩形， 设，则，，， 在中，，解得或m＝0（舍去）， 从而有，中，，整理得，， 所以双曲线E的离心率为． 故选：B 52．(19-20高二上·山西朔州应县第一中学校·期末)已知椭圆（），，为椭圆上的两点，线段的垂直平分线交轴于点，则椭圆的离心率的取值范围是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，的坐标分别为 和．因线段的垂直平分线与轴相交，故不平行于轴，即．又交点为，故．把点坐标代入，同时把，代入椭圆方程，最后联立方程即可得到关于和的关系式，最后根据和的范围确定的范围，再根据椭圆的性质即可求出离心率． 【详解】设，的坐标分别为 和． 因线段的垂直平分线与轴相交，故不平行于轴，即． 又交点为，故，即① ∵，在椭圆上， ∴ ． 将上式代入①，得② ∵，可得③． ∵，且， ∴， ∴， ∴，所以椭圆的离心率的取值范围是． 故选：C. 【点睛】本小题考查椭圆性质、直线方程等知识，以及综合分析能力，属于难题． 53．(19-20高二上·山西运城·期末)已知双曲线的左、右焦点分别为、，过且与x轴垂直的直线与双曲线的两条渐近线分别交于A、B两点，，若双曲线上存在一点P使得，则t的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】先由求出，然后求t的最小值要转化为求的最小值，在求的最小值时要用双曲线的定义将转化为，最后可得当点共线时，最小 【详解】 因为两条渐近线的方程为：，直线的方程为： 所以、 所以 由可知， 所以 所以   又因为 所以，可解得 因为双曲线上存在一点P使得 所以求t的最小值即为求的最小值 易得要使最小，点应在双曲线的右支上 由双曲线的定义可得： 所以 所以 由图可知，当点共线时，最小 最小值为 所以的最小值为 故选：D 【点睛】本题只要考查双曲线的定义、方程、几何性质和双曲线中的最值问题，属于较难题，双曲线中的最值问题一般要利用定义将双曲线上一点到两个焦点的距离相互转化. 54．(18-19高二上·山西芮城县·期末)如图：已知双曲线中，为左右顶点，为右焦点，为虚轴的上端点，若在线段上（不含端点）存在不同的两点,使得构成以为斜边的直角三角形，则双曲线离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将原问题转化为直线与圆相交的问题，结合双曲线的性质求解离心率的取值范围即可. 【详解】原问题等价于以为直径的圆与线段有两个交点， 很明显，则，据此可得：， 以为直径的圆圆心坐标为，半径为， 的方程为，即， 据此有：，结合整理可得： ，故， 据此可得：， 结合可得：双曲线离心率的取值范围是. 本题选择A选项. 【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a，c，代入公式； ②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)． 55．(18-19高二上·山西长治二中·期末)已知椭圆：的左右焦点分别为，为椭圆上的一点与椭圆交于．若的内切圆与线段在其中点处相切，与切于，则椭圆的离心率为 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合题意,证明得到三角形为等边三角形,对三角形运用余弦定理,计算离心率,即可. 【详解】 结合题意可知结合内切圆的性质,可得,结合椭圆的性质 ,而,所以,结合内切圆的性质,可以得出结合椭圆的性质,可得,由此可知为等边三角形,进而得出,对三角形运用余弦定理,得到 ,解得,故选D. 【点睛】本道题考查了椭圆基本性质,考查了余弦定理,难度偏难. 56．(24-25高二上·山西吕梁·期末)下面四个选项中，正确的是（    ） A．双曲线绕坐标原点O逆时针旋转得到曲线 B．曲线是由双曲线绕原点O顺时针旋转得到的 C．曲线的离心率为 D．曲线的渐近线方程是 【答案】B 【分析】根据旋转变换公式求得逆时针旋转得到曲线判断A；求得旋转后的曲线方程为双曲线是可判断B，进而判断C；利用B中结论，根据双曲线的性质，结合对称性可判断D. 【详解】对于选项A，设双曲线上任一点， 点绕坐标原点O逆时针旋转后得到斜双曲线C上一点． 则：，即，代入双曲线得：．故A错误； 对于选项B，C，设为上任一点， 点绕坐标原点O逆时针旋转后得到双曲线 上一点．则：， ∴∴……① 又……② 把①②代入得：， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， 所以双曲线是 所以此双曲线的离心率 ， 即曲线的离心率为，故B正确，C错误； 对于选项D，因为的渐近线为， 设渐近线上一点绕原点O顺时针旋转后为， 则，同理可得渐近线绕原点O顺时针旋转后的渐近线为和，因为与关于y轴对称， 所以渐近线也关于y轴对称，故渐近线为和．故D错误， 故选：B． 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键有两个：一是对旋转变换公式的理解与灵活应用；二是在解析过程中，对复杂的计算一定细心. 57．(24-25高二上·山西名校·期末)已知抛物线的准线与坐标轴的交点为，为抛物线的焦点，点在抛物线上，且，当最大时，点恰好在以，为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，由抛物线定义和两点间的距离公式，结合基本不等式可求得的最大值，以及点的坐标，再由双曲线的定义和离心率公式，可得所求值. 【详解】过点作准线的垂线交准线于点，则，由可得，设，则. 令，则， 当，即时，取到最大值，此时. 不妨设，因为双曲线的焦点坐标为， 所以可设双曲线的方程为，将代入上式，求得. 设该双曲线的离心率为，则，所以. 故选：B. 【点睛】本题考查抛物线的定义、方程和性质，以及双曲线的定义和性质，考查方程思想和运算能力. 58．(24-25高二上·山西三晋卓越联盟·)已知，是双曲线的左、右焦点，过的直线交C的右支于A，B两点，若，，则（    ）． A．C的离心率为2 B． C．的面积为4 D．的周长为18 【答案】ABD 【分析】由双曲线方程可得，由，可得∽，据此可得题中所涉线段长度，即可判断选项正误. 【详解】如图所示，不妨设A在第一象限，则， 由于，得，， 由于，所以∽， 故，可得，故， 而，故，由，得， 对于A，C的离心率，故A正确； 对于B，由以上分析可知，故B正确； 对于C，在中，，，， 故，故C错误； 对于D，的周长为，故D正确. 故选：ABD． 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用相似三角形的判定定理和性质定理得到比例式. 59．(24-25高二上·山西阳泉·期末)已知双曲线的左顶点为，右顶点为，第一象限的点在上，且点不与点重合，若直线与直线的斜率分别为，则下列命题中正确的是（    ） A．存在点，使 B．存在点，使 C．对任意点，均有 D．对任意点，均有 【答案】BC 【分析】设， 则，对于A，可得，则，代入即可判断；对于B，由，得，代入即可判断；对于C，由，得，再计算斜率乘积即可判断C；对于D，由，若，即，代入，得即可判断D. 【详解】由题意，得左顶点，右顶点， 设，则， 所以. 对于A，由，得， 所以. 若，则，即， 代入，得，显然此方程无实数根，故A错误； 对于B，，若，则， 解得，代入，解得，故B正确； 对于C，由，得， 所以，故C正确； 对于D，， 若，则，即，代入，得，显然只存在一个点满足题意，故D错误. 故选：BC. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是采用设点法，再结合点在双曲线上一一计算即可. 60．(24-25高二上·山西太原山西大学附属中学校·月考)已知椭圆分别为的左、右焦点，A，B分别为的左、右顶点，点是椭圆上的一个动点，且点到距离的最大值和最小值分别为3和1.下列结论正确的是（ ） A．椭圆的离心率为 B．存在点，使得 C．若，则外接圆的面积为 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】A由题可得，然后可计算离心率；B等价于判断方程组是否有解；C设，由余弦定理及题目条件可得，然后由正弦定理可得外接圆半径，即可判断选项正误；D设，可将化为，后由基本不等式可得最小值. 【详解】A选项，因为点是椭圆上的一个动点，且点到距离的最大值和最小值分别为3和1， 所以，解得：，所以，则椭圆， 椭圆的离心率，故A正确； B选项，若椭圆上存在点，使得，则点在圆上， 又因为方程组无解，所以不存在点，使得，故B错误； C选项，设，则， 若，又， 所以，即， 在中，由余弦定理可得 ， 因为，所以， 设外接圆的半径为 根据正弦定理可知，，则， 即外接圆的面积为，故C正确； D选项，设，则 ， 令，则， 所以， 当且仅当，即时取“=”， 所以的最小值为，故D正确. 故选：ACD 61．(24-25高二上·山西晋城多校·期中)已知双曲线，的左、右焦点分别为，，斜率为的直线经过且与的右支交于，两点，为坐标原点，则（   ） A． B．若，则 C． D．若，则的面积为 【答案】BCD 【分析】A选项，求出双曲线的两渐近线，数形结合得到的取值范围；B选项，根据，推出；C选项，由双曲线定义得到，求出，从而得到；D选项，由双曲线定义得到，结合余弦定理得到方程组，求出，求出三角形面积. 【详解】对于A，根据的渐近线方程为， 直线经过且与的右支交于，两点， 结合图象可得，所以A错误． 对于B，由题意得，解得，故， 在中，为的中点，且， 故， 因为， 所以，所以，所以B正确． 对于C，， 下面说明双曲线上右支上的点横坐标越小，越小， 设右支上的点为，， 则， 故随着的增大，增大， 由于与双曲线的右支交于两点，所以当与双曲线的渐近线平行时， 最小（不能达到）， 不妨设此时：，代入双曲线的方程得，解得， 所以， 则，所以C正确． 对于D，由，两边平方得①， 在中由余弦定理得， 即②，所以②－①得， 所以的面积为，所以D正确． 故选：BCD 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： （1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 62．(24-25高二上·山西大同·期中)已知是抛物线的焦点，是抛物线上的两点，为坐标原点，则（    ） A．若的纵坐标为2，则 B．若直线过点，则的最小值为4 C．若，则直线恒过定点 D．若垂直的准线于点，且，则四边形的周长为 【答案】BC 【分析】由点纵坐标可得点坐标，即可判断选项A错误；设直线方程，与抛物线方程联立，利用表示，即可得到选项B正确；设直线方程，与抛物线方程联立，计算，利用可得选项C正确；利用条件计算点坐标，求出线段长计算周长可得选项D错误. 【详解】由题意得，，，准线方程. A. 由的纵坐标为2得，，故，选项A错误. B. 如图，设直线方程为：，， 由得，， ∴， ∴，当时，，选项B正确. C. 如图，设直线方程为：，， 由得，， ∴， ∴，解得， ∴直线方程为：，恒过定点，选项C正确. D.如图，设点在第四象限. 由题意得，，则. 由准线方程为得，，故，， ∴， ∴四边形的周长为，选项D错误. 故选：BC. 63．(23-24高二上·山西吕梁·期中)已知双曲线过点且与双曲线共渐近线，直线与双曲线交于，两点，分别过点，且与双曲线相切的两条直线交于点，则下列结论正确的是（    ） A．双曲线的标准方程是 B．若的中点为，则直线的方程为 C．若点的坐标为，则直线的方程为 D．若点在直线上运动，则直线恒过点 【答案】BC 【分析】A选项，根据两双曲线共渐近线设出双曲线方程，代入点运算得解判断；B选项，运用点差法求得直线的斜率，即可得出直线方程可判断；C选项，设，将直线代入双曲线E方程，由，解得斜代回可得直线的方程；D选项，设出点，类比C选项，求出直线的方程，设出点代入直线，的方程比较可得直线的方程，从而得解. 【详解】因为双曲线与双曲线共渐近线， 所以可设双曲线的方程为，又双曲线过点， 所以，即，所以双曲线的标准方程是，故A错误； 设，，由，在双曲线上，得两式相减， 得，即， 又的中点为，所以，，所以， 直线的方程为，即，故B正确； 设直线，代入曲线E的方程得，，令，得 ，解得，则切线方程为， 即直线的方程为，故C正确； 设，由选项C同理可得直线的方程为，由点在直线上运动，可设， 因为点在与上，所以，因此直线的方程为， 即，令，解得， 所以直线恒过点，故D错误． 故选：BC． 64．(23-24高二上·山西运城部分学校·期中)已知椭圆的左、右焦点分别是，过的直线交椭圆于两点，下列说法正确的是（    ） A．若椭圆上存在点，使，且，则 B．若的最大值为6，则 C．若的方程为是线段的中点，，则 D．若关于直线的对称点在椭圆上，则的离心率为 【答案】BCD 【分析】由椭圆定义和勾股定理联立求解可判断A；利用椭圆定义和焦点弦中通径最短可判断B；利用点差法求解可判断C；利用点到直线的距离公式求，结合椭圆定义建立齐次式即可求出离心率，可判断D. 【详解】由，得，即，又，则． 即，，A错误；    ，当线段长度最小时，最大． 当线段垂直于轴时，．故，即，B正确； 由题知．由点差法得， 又，得，C正确； 关于直线的对称点在椭圆上． 连接，交于点，则，且是的中点， 又是的中点．是的中位线，且． 点到直线的距离，, 由得 由 则D正确． 故选：BCD    1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $