专题07 抛物线与方程（4大题型）（期中真题分类汇编 山西专用）高二数学上学期

专题07 抛物线与方程 （4大题型） 4大高频考点概览 考点01 抛物线的定义 考点02 抛物线的方程 考点03 直线与抛物线的位置关系 考点04 抛物线综合问题 抛物线的定义 地 城 考点01 1．(23-24高二上·山西吕梁·期中)已知是坐标原点，是抛物线的焦点，是抛物线上一点，则的面积为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】 根据点在抛物线上可得，即可根据面积公式求解. 【详解】 因为是上一点，所以，解得， 又是抛物线的焦点，所以， 所以的面积为． 故选:B．    2．(21-22高二上·山西太原外国语学校·期中)已知抛物线与直线相切，为上任意一点，到的准线的距离为，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】联立直线与抛物线的方程，由直线与抛物线相切，求得抛物线，再利用抛物线的定义求解. 【详解】解：联立，得 ，解得舍 ，其焦点为， 由题， 当且仅当为线段与抛物线的交点时取等号， 故的最小值为. 故选：A. 3．(22-23高二上·山西晋中部分学校·期中)已知过抛物线的焦点F的动直线交抛物线C于A，B两点，Q为线段的中点，P为抛物线C上任意一点，若的最小值为6，则（    ） A．2 B．3 C．6 D． 【答案】C 【分析】先利用抛物线定义求得的最小值为，再去求的最小值为p，进而求得p的值 【详解】抛物线的焦点，准线， 过点Q作准线的垂线，垂足为D，交抛物线C于点P，连接，如图， 于是，在抛物线C上任取点，过作准线的垂线，垂足为，连接． 则有， （当且仅当点与点P重合且为O时取等号，） 所以的最小值为． 故选：C． 4．(21-22高二上·山西怀仁第一中学·期中)下列说法中正确的是（    ） A．椭圆的长轴长为16 B．曲线是焦点在x轴上的双曲线，则 C．动圆过点，且与直线相切，则动圆的圆心的轨迹方程为 D．圆上点E，圆上点F，则的最大值为 【答案】D 【分析】对于A结合长轴长的定义即可判断；对于B将方程化成标准形式即可判断；对于C根据抛物线的定义即可判断；对于D结合定点与圆上点的距离的最大值等于定点与圆心的距离加半径即可判断． 【详解】对于A，椭圆，，所以长轴长，故A错误； 对于B．焦点在x轴上的双曲线，可化为，可知，故B错误． 对于C，设动圆的圆心坐标为，则圆心到点的距离与直线的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为，故C错误； 对于D：圆，圆心，圆，即，圆心，，所以圆O上E点到圆M上F点的最大距离为，，D正确． 故选：D． 5．(21-22高二上·山西怀仁第一中学·期中)设抛物线的焦点为，准线为，为上一点，以为圆心，为半径的圆交于，两点．若，且的面积为﹐则抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线的定义可知，再根据三角形面积可得，进而可得抛物线方程. 【详解】∵以为圆心，为平径的圆交l于B，D两点，， 由抛物线的定义可得， ∴是等边三角形，∴， ∵的面积为， ∴， 又点F到准线的距离为， 则该抛物线的方程为， 故选：B. 6．(19-20高二下·山西·期中)已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴上，其准线为，过的直线交抛物线于，两点，作，，垂足分别为，.若，且的面积为，则抛物线的方程为 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作交直线于点，交轴于点，设点、，当焦点在轴的正半轴时，设：，由得，然后可得，从而得到，，然后由可算出. 【详解】 过点作交直线于点，交轴于点. 设点、， 当焦点在轴的正半轴时，设：，由， 得，即①. 又因为，所以， 所以②. 由①②可解得，. 在中，，， 所以， 所以，解得，此时的方程为. 同理，当焦点在轴的负半轴时，得，此时的方程为. 综上所述，抛物线的方程为. 故选：D 【点睛】本题主要考查的是抛物线定义的应用，解题的关键是画出图形，分析出图形的特点. 7．(19-20高二下·山西朔州怀仁县怀仁一中云东校区·期中)已知定点，为抛物线的焦点，为抛物线上的动点，则的最小值为 A．5 B．4.5 C．3.5 D．不能确定 【答案】C 【分析】过点作准线，垂足为，根据抛物线的定义可知，当且仅当、、三点共线时，的最小值为. 【详解】如图所示，过点作准线，垂足为， 则， 当且仅当、、三点共线时， 取得最小值. 故选：C 【点睛】本题考查了抛物线的定义、抛物线的标准方程，考查了基本运算能力，属于基础题. 8．已知为抛物线的焦点，为上一点，且，则到轴的距离为（    ） A．4 B． C．8 D．16 【答案】A 【解析】由已知求得抛物线的焦点，再设，由抛物线的性质求得，代入可得选项. 【详解】因为为抛物线的焦点，所以， 设，由抛物线的性质得：， ∴，故到的距离为4. 故选：A． 【点睛】本题考查抛物线的几何性质，抛物线的定义，属于基础题. 地 城 考点02 抛物线的方程 9．(24-25高二上·山西运城·期中)抛物线的焦点到准线的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将抛物线方程化成标准方程求出，得解. 【详解】由抛物线的标准方程为，有，得， 所以抛物线的焦点到准线的距离为. 故选：B. 10．(23-24高二上·山西朔州怀仁第一中学校·期中)已知是坐标原点，是抛物线：的焦点，是上一点，则线段的长度为（    ） A．9 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】根据点在抛物线上，求得抛物线方程即可求解. 【详解】由是上一点，得：， 解得，所以． 故选:D. 11．(22-23高二上·山西部分名校·期中)设抛物线的焦点为，点在上，，若，则（    ） A． B．4 C． D．6 【答案】A 【分析】根据题意，结合焦半径公式得，再计算即可. 【详解】解：由题知抛物线的焦点为， 因为，所以， 因为点在上， 所以，由焦半径公式得，解得， 所以，，. 故选：A 12．(22-23高二上·山西晋中部分学校·期中)抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把抛物线方程化成标准形式，直接写出准线方程作答. 【详解】抛物线的标准方程为，所以所求准线方程为. 故选：D 13．(21-22高二上·山西运城康杰中学·期中)已知抛物线的准线与圆相切，则抛物线的方程为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据抛物线准线方程，根据准线与圆相切，直接求解. 【详解】抛物线的准线方程为， 因为抛物线的准线与圆相切，所以，解得或， 所以抛物线方程为或． 故选：D． 14．(22-23高二上·山西部分名校·期中)图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线，如图2，已知该卫星接收天线的口径米，深度米，信号处理中心F位于焦点处，以顶点O为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系xOy，则该抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出抛物线的方程，根据点坐标求得正确答案. 【详解】设抛物线方程为， 依题意，代入得， 所以抛物线方程为. 故选：A 15．(21-22高二上·山西怀仁第一中学·期中)顶点在原点，焦点在y轴上，且过点的抛物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设抛物线的标准方程是，将代入求解. 【详解】设抛物线的标准方程是， 代入点， 解得， 所以， 故选：C． 16．(24-25高二上·山西晋城多校·期中)已知点是抛物线：（）上一点，若点到抛物线焦点的距离为10，且点到轴的距离为6，则 ． 【答案】2或18 【分析】由抛物线的定义求得坐标，代入抛物线方程即可求解. 【详解】由题意，，则． 又点在抛物线上，所以，将和代入可得，解得或18． 故答案为：2或18 17．(24-25高二上·山西运城·期中)已知抛物线的焦点为，则抛物线的准线方程为 ；抛物线的焦点为，若直线分别与，交于，两点，且，则 ． 【答案】 【分析】根据抛物线方程求出准线方程；设，利用抛物线定义求出，运算得解. 【详解】由抛物线，可得，抛物线的准线方程为. 设， 则， 故，所以， 所以，解得. 故答案为：；. 18．(23-24高二上·山西吕梁·期中)已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点（在第二象限），过点作抛物线的准线的垂线，垂足为，若，，则 ． 【答案】3 【分析】利用抛物线的定义可判定，则从而得出直线的斜率，设其方程与M、N坐标，联立抛物线方程结合韦达定理计算即可. 【详解】如图，的焦点为， 由拋物线的定义，知， 又，所以是等边三角形，所以，， 直线的方程为，设，， 联立方程得， 所以，． 由， 得 ，解得． 故答案为：3    19．(22-23高二下·山西忻州·期中)抛物线上的点到焦点的距离为，则 . 【答案】 【分析】由抛物线的定义可得出关于的等式，即可解得的值. 【详解】抛物线的准线方程为， 由抛物线的定义可知，抛物线上的点到焦点的距离为， 解得. 故答案为：. 20．设抛物线（）的焦点为，准线为，过抛物线上一点作的垂线，垂足为，设，与相交于点，若，且的面积为，则的值为 ． 【答案】 【详解】试题分析：抛物线的普通方程为，，， 又，则，由抛物线的定义得，所以，则， 由得，即， 所以，， 所以，解得． 【考点】抛物线定义 【名师点睛】1．凡涉及抛物线上的点到焦点的距离时，一般运用定义转化为到准线的距离进行处理． 2．若P（x0，y0）为抛物线y2＝2px（p＞0）上一点，由定义易得|PF|＝x0＋；若过焦点的弦AB的端点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），则弦长|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到． 直线与抛物线的位置关系 地 城 考点03 21．(24-25高二上·山西运城·期中)已知抛物线，过点的直线l与C相交于A，B两点，且M为弦的中点，则直线l的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出直线l的方程，与抛物线方程联立，结合中点坐标求出直线l的方程. 【详解】显然直线l不垂直于，设直线l的方程为， 由消去得，，由弦的中点为， 得，此时方程有两个不等实根， 所以直线的方程为，即. 故选：D 22．(24-25高二上·山西大同·期中)已知是抛物线的焦点，是抛物线上的两点，为坐标原点，则（    ） A．若的纵坐标为2，则 B．若直线过点，则的最小值为4 C．若，则直线恒过定点 D．若垂直的准线于点，且，则四边形的周长为 【答案】BC 【分析】由点纵坐标可得点坐标，即可判断选项A错误；设直线方程，与抛物线方程联立，利用表示，即可得到选项B正确；设直线方程，与抛物线方程联立，计算，利用可得选项C正确；利用条件计算点坐标，求出线段长计算周长可得选项D错误. 【详解】由题意得，，，准线方程. A. 由的纵坐标为2得，，故，选项A错误. B. 如图，设直线方程为：，， 由得，， ∴， ∴，当时，，选项B正确. C. 如图，设直线方程为：，， 由得，， ∴， ∴，解得， ∴直线方程为：，恒过定点，选项C正确. D.如图，设点在第四象限. 由题意得，，则. 由准线方程为得，，故，， ∴， ∴四边形的周长为，选项D错误. 故选：BC. 23．(23-24高二上·山西朔州怀仁第一中学校·期中)过抛物线：的焦点的直线与相交于，两点，直线的倾斜角为，若的最小值为8，则（    ） A．的坐标为 B．若，则 C．的中点到的准线的最小距离为4 D．当时，为的一个四等分点 【答案】BCD 【分析】根据给定条件，结合抛物线定义求出及抛物线方程，再逐项计算判断即得. 【详解】抛物线：的焦点，准线，显然直线不垂直于y轴，设直线方程为， 由消去并整理得，则，，， 因此，当且仅当时取等号，即，， 抛物线：，焦点，A错误； 显然，，则， 解得，即的斜率为，于是或，，B正确； 的中点到准线的距离，当且仅当时取等号， C正确； 当时，直线的方程为，由消去y得：， 不妨令，，于是，因此为的一个四等分点，D正确． 故选：BCD 24．(21-22高二上·山西运城·期中)已知O为坐标原点，抛物线的焦点为F，A，B为抛物线上的两个动点，M为弦AB的中点，对A，B，M三点分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为C，D，N，则下列说法正确的是（    ） A．当AB过焦点F时，为等腰三角形 B．若，则直线AB的斜率为 C．若，且，则 D．若外接圆与抛物线的准线相切，则该圆的面积为 【答案】ACD 【分析】对A，根据中位线的性质可得；对B，设出直线方程，与抛物线联立，根据向量关系求出点B，代入直线可求出斜率；对C，设，由余弦定理求出，根据抛物线性质求出即可判断；对D，求出圆心在上，即可求出半径，得出面积. 【详解】对A，因为都垂直于准线，所以，又是中点，所以是中点，则是线段的垂直平分线，所以，即为等腰三角形，故A正确. 对B，若，则在直线上，设直线AB方程为， 联立方程组可得， 设，则， 由，可得，可得， 解得，代入抛物线方程得，则，代入可得，故直线的斜率为，故B错误； 对C，由抛物线定义可得，设，则， 因为，，即， 因为是中点，所以，所以，故C正确； 对D，由外接圆性质可得，圆心一定在线段的垂直平分线上，即在直线上，又外接圆与准线相切，所以半径为，所以圆面积为，故D正确. 故选：ACD. 25．(21-22高二上·山西运城康杰中学·期中)已知抛物线的焦点为F，直线的斜率为且经过点F，直线l与抛物线C交于点A，B两点（点A在第一象限）、与抛物线的准线交于点D，若，则以下结论正确的有（    ） A． B．F为中点 C． D． 【答案】BCD 【分析】作准线于，轴于，准线于，计算得到，为中点，，，得到答案. 【详解】如图所示：作准线l于点C，轴于M，准线l于点E．直线的斜率为，    所以 ∴， 故，代入抛物线，得（舍去）；，所以，故F为中点； 又，故； ，，故． 故选：BCD． 26．(23-24高二上·江西大联考·期中)在平面直角坐标系中，直线经过抛物线的焦点，且与相交于两点，直线交的准线于点. (1)若，求直线的方程； (2)证明：直线平行于轴. 【答案】(1)或 (2)证明见解析 【分析】（1）结合焦点弦长公式得直线的斜率存在，设出直线方程，与抛物线方程联立，结合韦达定理即可求解； （2）设，由直线 ，得，再联立直线：与抛物线方程，应用韦达定理，可证明. 【详解】（1）抛物线的焦点为，准线方程为， 设， 由抛物线定义，得， 所以， 当直线的斜率不存在时，，不符合要求， 故直线的斜率存在，设直线的方程为， 联立方程，得， 则，解得， 所以直线的方程为或. （2）证明：设，则直线的方程为， 令，可得， 设直线的方程为，代入方程， 得，所以， 所以，所以直线平行于轴. 27．(21-22高二上·山西太原外国语学校·期中)已知抛物线的焦点为，点在上，其中. (1)求的值； (2)直线与相交于两点，直线是圆的两条切线，求直线的斜率. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据题意得到，得到，代入得到答案. （2）设，联立方程得到根与系数的关系，根据得到，得到直线斜率. 【详解】（1）由抛物线的定义知：点到的准线的距离为，， 的方程为，，又，. （2）法：，的倾斜角互补，斜率之和为0，的斜率存在且非零， 设，联立，得. 设，则，， 同理，， ，直线的斜率为. 法2：设，则， 同理， ，， 直线的斜率为. 28．(21-22高二上·山西怀仁第一中学·期中)在直角坐标系中，抛物线与直线交于两点，又在轴上，直线的斜率分别为． (1)设到轴的距离分别为，证明：与的乘积为定值； (2)当变化时，若总有，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）联立直线与抛物线的方程消元，然后韦达定理得到即可； （2）利用可求出答案. 【详解】（1）证明：将代入， 得． 设， 则， 从为定值． （2）由（1）知，， 从而 ， 所以． 解得． 所以当时， 总有对任意恒成立 29．(21-22高二上·山西运城康杰中学·期中)已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在y轴上，且抛物线C经过点． (1)求抛物线C的方程； (2)A，B是抛物线C上异于点P的两个动点，记直线和直线的斜率分别为，若，求证：直线过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由题设抛物线C的方程为，代入点即求； （2）由题可设直线的方程为，利用韦达定理及条件可得，即证. 【详解】（1）由题意，设抛物线C的方程为． 因为抛物线经过点， 所以，解得． 所以抛物线C的方程为． （2）由题意可知，直线的斜率一定存在，不妨设直线的方程为． 联立得． 其中，即， ∴． ∴， 即， 所以，解得． 所以直线的方程为，恒过定点． 地 城 考点04 抛物线综合问题 30．(23-24高二上·江西部分高中学校·月考)已知抛物线的焦点为，点在上，且的最小值为1. (1)求的方程； (2)过点的直线与相交于，两点，过点的直线与相交于，两点，且，不重合，判断直线是否过定点.若是，求出该定点；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)过定点，定点为 【分析】（1）根据抛物线上点的坐标特点，确定的最小值即可得，从而得抛物线方程； （2）根据直线的斜率公式结合点共线得到A、C纵坐标的关系，点斜式得到直线，从而确定定点. 【详解】（1）由题意可设，则 所以 则的最小值为，则，得. 所以的方程为. （2）因为A，C不重合，所以直线，，的斜率必然存在. 设，，. 直线的斜率， 得. 直线的斜率. 得. 由，可得. 直线的斜率. 所以直线的方程. 故直线过定点. 【点睛】关键点点睛：本题第二问解题关键是利用三点共线得到A、C纵坐标的关系，再结合点斜式方程写出直线AC的方程可得解. 31．(22-23高二上·山西高中教育发展联盟·期中)已知抛物线上一动点G，过点G作x轴的垂线，垂足为D，M是上一点，且满足. (1)求动点M的轨迹C； (2)若为曲线C上一定点，过点P作两条直线分别与抛物线交于A，B两点，若满足，求证：直线恒过定点，并求出定点坐标. 【答案】(1)； (2)证明见解析，. 【分析】（1）利用相关点代入法，设，由已知向量关系可得，代入原方程即可得解； （2）设方程为：，代入抛物线方程可得，在的情况下，可得，由，代入求得和的关系即可得解. 【详解】（1）设，则， 由，得，代入得， 所以动点的轨迹. （2）易得的斜率存在，设， ， 由联立可得：， ①， ② 将①代入②得：， 所以， 所以直线恒过定点. 32．(21-22高二上·山西运城·期中)已知斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于、两点，若. (1)求抛物线方程； (2)若为坐标原点，、为抛物线上异于原点的不同的两点，记的斜率为，的斜率为，当时，求证：直线过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）将直线的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理结合抛物线的焦点弦长公式可求得的值，进而可得出抛物线的标准方程； （2）设、，设直线的方程为，将该直线方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，利用斜率公式并结合已知条件可求得实数的值，即可得出结论. 【详解】（1）解：直线的方程为，设点、， 则得，所以， 则，解得，故抛物线方程为. （2）证明：设、， 若直线垂直于轴时，此时直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意. 设直线的方程为，联立，可得， 所以，， 又，解得， 故直线的方程为，，满足题意. 因此，直线过定点. 33．(22-23高二上·山西晋中·期末)抛物线的焦点到准线的距离为. (1)求抛物线的标准方程； (2)过焦点的直线（斜率存在且不为0）交抛物线于两点，线段的中垂线交抛物线的对称轴于点，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据抛物线的定义即可得解； （2）不妨取抛物线的方程为，设直线的方程为，、，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，利用弦长公式表示出，再求出中垂线方程，即可求出点坐标，即可求出，从而得解. 【详解】（1）因为抛物线的焦点到准线的距离为，所以， 根据建系方案的不同，抛物线的标准方程有四种可能， 分别是，，，. （2）在平面直角坐标系中，抛物线的位置并不影响的取值，因此不妨取抛物线的方程为，此时焦点， 根据题意，直线的斜率存在且不为，因此设直线的方程为， 与抛物线联立，得关于的一元二次方程， 则，设、， 则，，， ， 则， 线段的中点坐标为，中垂线方程为， 令，解得，即中垂线与轴交于， 所以，则.    34．(21-22高二上·山西吕梁·期末)已知焦点为F的抛物线上一点到F的距离是4． (1)求抛物线C的方程． (2)若不过原点O的直线l与抛物线C交于A，B两点（A，B位于x轴两侧），C的准线与x轴交于点E，直线与分别交于点M，N，若，证明：直线l过定点． 【答案】(1)； (2)证明过程见解析. 【分析】（1）利用抛物线的定义进行求解即可； （2）设出直线l的方程，与抛物线方程联立，根据一元二次方程的根与系数关系进行求解证明即可. 【详解】（1）该抛物线的准线方程为，因为点到F的距离是4， 所以有，所以抛物线C的方程为：； （2）该抛物线的准线方程为， 设直线l的方程为：， 与抛物线方程联立，得， 不妨设，因此， 直线的斜率为：，所以方程为：， 当时，，即，同理， 因为，所以有，而， 所以有，所以直线l的方程为：，因此直线l恒过. 【点睛】关键点睛：把直线l的方程为：，利用一元二次方程根与系数关系是解题的关键. 35．(21-22高二上·山西运城康杰中学·期末)已知抛物线的焦点为，过点且垂直于轴的直线交于，两点，为坐标原点，. (1)求的方程； (2)过点作两条互相垂直的直线，，直线与交于，两点，直线与交于，两点，求证：为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意可得点和点的坐标，再根据，利用平面向量数量积的坐标运算公式，即可求出，进而求出结果； （2）由题意可知直线，斜率存在且不为0，直线的方程为将其与抛物线方程联立，由韦达定理可得的表达式，再根据抛物线的性质可得，又因为，所以将换成，得，进而求出为定值. 【详解】（1）解：抛物线的焦点坐标为，将代入，得， 所以点和点的坐标为，. 所以， 所以，所以（舍去）. 所以的方程为. （2）证明：由（1）知，，由于直线，均与交于两点， 所以直线，斜率存在且不为0. 设直线的方程为，，， 联立得， 恒成立. 所以， 所以. 因为，所以将换成，得， 所以， 所以为定值. 36．(21-22高二上·山西太原·期末)已知定点，动点，线段MF的垂直平分线与直线相交于点P． (1)求动点P的轨迹方程； (2)过的直线，分别与点P的轨迹相交于点M，N（均异于点Q），记直线，的斜率分别为，，若，求证：直线MN的斜率为定值． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）由题设易知且在x轴非负方向上，利用两点距离公式可得，整理即可得轨迹方程. （2）根据题设令、，为，为，联立抛物线方程求的坐标，再应用两点式求即可证结论. 【详解】（1）由题设知：且在x轴非负方向上， 令，即，则，又， ∴，故动点P的轨迹方程为. （2）由题设，令为，为， 联立抛物线，可得：，若，， ∴，则，同理可得，则， ∴，为定值. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 专题07 抛物线与方程(4大题型) ☆4大高频考点概览 考点01抛物线的定义 考点02抛物线的方程 考点03直线与抛物线的位置关系 考点04抛物线综合问题 目目 考点01 抛物线的定义 1.(23-24高二上山西吕梁期中)已知0是坐标原点，F是抛物线C:y2=4x的焦点， M(4,y,)是抛物线C上一点，则△OFM的面积为(） A.1 B.2 C.4 D.8 2.(21-22高二上山西太原外国语学校期中)已知抛物线C:y2=2pxp>0)与直线 y=x+1相切，A(0,1),P为C上任意一点，P到C的准线的距离为d,则PA+d的最小 值为() A.v2 B.5 C.2 D.5 3.(22-23高二上山西晋中部分学校期中)已知过抛物线C:y2=2pxp>0)的焦点F的动 直线交抛物线C于A,B两点，Q为线段AB的中点，P为抛物线C上任意一点，若 PF+PQ的最小值为6，则p=() A.2 B.3 C.6 D.62 4.(21-22高二上·山西怀仁第一中学期中下列说法中正确的是() A.椭圆E:号+若=1的长轴长为16 B.曲线C:mx2-ny2=1是焦点在x轴上的双曲线，则m>n>0 C.动圆过点(1,0)，且与直线x=一1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为y2=一4x D.圆0：x2+y2=4上点E,圆M:x2+y2+4x-2y=0上点F,则EF的最大值 为2W5+2 5.(21-22高二上山西怀仁第一中学期中)设抛物线C:y2=2pXp>0)的焦点为F,准线 为1，A为C上一点，以F为圆心，FA为半径的圆交1于B,D两点.若∠ABD=90°，且 1/7 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 △ABF的面积为45，则抛物线C的方程为() A.y2=2x B.y2=4x C.y2=8x D.y2=16x 6.(19-20高二下·山西期中)己知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点F在x轴上，其准线为1， 过F的直线交抛物线于M,N两点，作MS⊥I,NT⊥1，垂足分别为S,T.若MF=3F不 ,且△ST户的面积为，则揽抛物线C的方程为 A.y2=±x B.y2=±2x C.y2=±3x D.y2=士4x 7.(19-20高二下山西朔州怀仁县怀仁一中云东校区期中)已知定点A(2,3),F为抛物线 y2=6x的焦点，P为抛物线上的动点，则PF+PA的最小值为 A.5 B.4.5 C.3.5 D.不能确定 8.已知F为抛物线C:y2=8x的焦点，M为C上一点，且MF=4,则M到x轴的距离为 () A.4 B.4V2 C.8 D.16 目目 考点02 抛物线的方程 9.(24-25高二上·山西运城期中)抛物线y=言x2的焦点到准线的距离为() A.号 B.3 c.号 D.1 10.(23-24高二上山西朔州怀仁第一中学校期中)己知0是坐标原点，F是抛物线C: y2=2px(P>0)的焦点，M(3,3)是C上一点，则线段0F的长度为() A.9 B.号 C.3 D. 11.(22-23高二上山西部分名校期中)设抛物线C:x2=8y的焦点为F,点P在C上， Q(0,6),若|PF|=|QF,则PQ=() A.42 B.4 c.45 D.6 12.(22-23高二上·山西晋中部分学校期中)抛物线y=4x2的准线方程为() A.X=-1 B.X=-青 c.y=- D.y=- 13.(21-22高二上山西运城康杰中学期中)己知抛物线y2=2ax(a∈R)的准线与圆 2/7 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 C:(x+1)2+y2=4相切，则抛物线的方程为() A.y2=12x B.y2=-4x C.y2=4x D.y2=-4x或y2=12x 14.(22-23高二上山西部分名校期中)图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为 抛物线，如图2，已知该卫星接收天线的口径AB=a米，深度MO=b米，信号处理中心F 位于焦点处，以顶点O为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系xOy,则该抛物线 的方程为() M下 B 图1 图2 A.y2=器x B.y2=影x C.x24y D.x2=2弯y 15.(21-22高二上山西怀仁第一中学期中)顶点在原点，焦点在y轴上，且过点P(-2,3) 的抛物线的标准方程是() A.y2=-号xB.y2=号x C.x2=y D.x2=-y 16.(24-25高二上山西晋城多校期中)已知点A是抛物线C:x2=2py(p>0)上一点， 若点A到抛物线焦点的距离为10，且点A到y轴的距离为6，则p= 17.(24-25高二上山西运城期中)已知抛物线C1:y2=4x的焦点为F1,则抛物线C1的准线 方程为一；抛物线C2:y2=16x的焦点为F2,若直线y=m(m≠0)分别与C1,C2交 于P,Q两点，且PF1-|QF2=3,则m= 18.(23-24高二上山西吕梁期中)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,过点F的 直线！交抛物线C于M,N两点(M在第二象限)，过点M作抛物线C的准线的垂线，垂足为 M1,若|FM|=|FM1l,|FM-|FN|=4,则P= 19.(22-23高二下山西忻州期中)抛物线x2=2py(p>0)上的点(xo7)到焦点的距离 为10，则p=一 x=2pt2 20. 设抛物线 y=2pt(p>0)的焦点为F,准线为，过抛物线上一点A作的垂线，垂 3/7 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 足为B,设C(3P,0),AF与BC相交于点E,若CA=2AF,且4ACE的面积为3V2,则p 的值为 目目 考点03 直线与抛物线的位置关系 21.(24-25高二上山西运城期中)已知抛物线C:y2=2x,过点M(号，)的直线1与C相交 于A,B两点，且M为弦AB的中点，则直线1的方程为() A.6x+6y-7=0 B.6x-6y-1=0 C.2x-6y-5=0 D.12x-6y-5=0 22.(24-25高二上山西大同期中已知F是抛物线C:y2=4x的焦点，AB是抛物线C上的 两点，0为坐标原点，则() A.若A的纵坐标为2，则AF=3 B.若直线AB过点F,则AB的最小值为4 C.若OA.O=-4,则直线AB恒过定点(2,0) D.若BB'垂直C的准线于点B,且BB引=2引OF列，则四边形OFBB的周长为3+V⑤ 23.(23-24高二上山西朔州怀仁第一中学校期中)过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F 的直线与C相交于P(xy1),Q(x2y2)两点，直线PQ的倾斜角为6，若PQ|的最小值 为8，则() A.F的坐标为(4,0) B.若1PQ1=16,则sin9=号 C.PQ的中点到C的准线的最小距离为4 D.当6=60°时，F为PQ的一个四等分点 24.(21-22高二上山西运城期中)己知O为坐标原点，抛物线y2=4x的焦点为F,A,B 为抛物线上的两个动点，M为弦AB的中点，对A,B,M三点分别作抛物线准线的垂线， 垂足分别为C,D,N,则下列说法正确的是() A.当AB过焦点F时，△MCD为等腰三角形 B.若AF=-2BP,则直线AB的斜率为±V3 C若∠AF8=120°，且8到=21A1,则器=盟 4/7 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D.若△A0F外接圆与抛物线的准线相切，则该圆的面积为景π 25.(21-22高二上山西运城康杰中学.期中)已知抛物线C:y2=2pxXp>0的焦点为F,直 线的斜率为V3且经过点F,直线1与抛物线C交于点A,B两点（点A在第一象限）、与抛 物线的准线交于点D,若AF=6,则以下结论正确的有() A.p=2 B.F为AD中点 C.BD=2BF D.BF=2 26.(23-24高二上·江西大联考期中)在平面直角坐标系x0y中，直线1经过抛物线 E:y2=12x的焦点F,且与E相交于AB两点，直线OB交E的准线于点C (1)若AB=15,求直线的方程； (2)证明：直线AC平行于x轴 27.(21-22高二上山西太原外国语学校期中已知抛物线C:y2=2pxp>0)的焦点为F, 点A(2,y)在C上，其中y。>0,|AF=司 (I)求Pyo的值： 2)直线1与C相交于P,Q两点，直线AP,AQ是圆(x-2)+y2=rr>0)的两条切线，求 直线的斜率 28.(21-22高二上山西怀仁第一中学期中)在直角坐标系x0y中，抛物线C:x2=2y与直 线1：y=kx+2(k≠0)交于M,N两点，又P(O,b)在y轴上，直线PM,PN的斜率分别为 ky k2 (I)设M,N到y轴的距离分别为d1d2,证明：d1与d2的乘积为定值； (2)当k变化时，若总有k1十k2=0,求b的值. 29.(21-22高二上山西运城康杰中学.期中)己知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在y轴上， 且抛物线C经过点P2,1). (1)求抛物线C的方程； (2)A,B是抛物线C上异于点P的两个动点，记直线PA和直线PB的斜率分别为 k1k2(kk2≠0)，若房+忘：=2，求证：直线AB过定点。 目目 考点04 抛物线综合问题 30.(23-24高二上江西部分高中学校月考)已知抛物线D:y2=2pxp>0)的焦点为F,点 5/7 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 Q在D上，且QF的最小值为1. (1)求D的方程； (2)过点M(3,-2)的直线与D相交于A,B两点，过点N3,-6的直线与D相交于B,C两 点，且A,C不重合，判断直线AC是否过定点若是，求出该定点；若不是，请说明理由. 31.(22-23高二上·山西高中教育发展联盟·期中)己知抛物线y2=9x上一动点G,过点G作 x轴的垂线，垂足为D,M是GD上一点，且满足G=G⑦ (1)求动点M的轨迹C; (2)若P(x04)为曲线C上一定点，过点P作两条直线分别与抛物线交于A,B两点，若满 足kP4十kPB=一2，求证：直线AB恒过定点，并求出定点坐标 32.(21-22高二上山西运城期中)已知斜率为2的直线经过抛物线y2=2Px(p>0)的焦 点F,且与抛物线交于A、B两点，若|AB|=10 (1)求抛物线方程； (2)若0为坐标原点，C、D为抛物线上异于原点0的不同的两点，记0C的斜率为k1,OD的 斜率为k2,当k1k2=一2时，求证：直线CD过定点 33.(22-23高二上山西晋中期末)抛物线C的焦点F到准线1的距离为2 (1)求抛物线的标准方程； (2)过焦点F的直线（斜率存在且不为0)交抛物线C于AB两点，线段AB的中垂线交抛物 F 线的对称轴于点P,求 34.(21-22高二上山西吕梁期末)已知焦点为F的抛物线C:y2=2pxp>0)上一点 P(2,t)到F的距离是4. (1)求抛物线C的方程. (2)若不过原点O的直线1与抛物线C交于A,B两点(A,B位于x轴两侧)，C的准线1与 x轴交于点E,直线OAOB与l1分别交于点M,N,若ME·NE=8,证明：直线1过定 点。 35.(21-22高二上山西运城康杰中学.期末)已知抛物线C:y2=2pxp>0)的焦点为F,过 点F且垂直于x轴的直线交C于M,N两点，0为坐标原点，OM.O=-12 (1)求C的方程； (2)过点F作两条互相垂直的直线l1,12,直线1与C交于A,B两点，直线l2与C交于D,E两 点，求证：十为定值 6/7 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 36.(21-22高二上山西太原期末)已知定点F1,0),动点M(-1,t(t∈R,线段MF的垂 直平分线与直线y=t相交于点P. (1)求动点P的轨迹方程； (2)过Q(1,2的直线l1,12分别与点P的轨迹相交于点M,N(均异于点Q),记直线l1,12的 斜率分别为k1,k2,若k1十k2=0,求证：直线MN的斜率为定值. 7/7