专题09 期中解答题压轴突破（4大题型）（期中真题分类汇编 山西专用）高二数学上学期

专题09 期中解答题压轴突破 （4大题型） 4大高频考点概览 考点01 空间向量 考点02 直线方程 考点03 圆与方程 考点04 圆锥曲线 空间向量 地 城 考点01 1．(24-25高二上·山西大同·期中)如图，在以为顶点的圆锥中，点是圆锥底面圆的圆心，是圆锥底面圆的直径，为底面圆周上的两点，且为等边三角形，是母线的中点，. (1)求平面ADE与平面ACE的夹角的余弦值； (2)设AE与PO交于点，求直线CM与平面ADE所成角的正弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求两个平面的法向量，利用公式求解即可. （2）利用几何性质求的长，得到点的坐标，计算，利用公式求直线与平面所成角的正弦值. 【详解】（1） 如图，以为原点建立空间直角坐标系. 由题意得，，，，，， ∴. 设平面的法向量为， ∴，可取， 设平面的法向量为， ∴，可取. 设平面ADE与平面ACE的夹角为， 则. （2） 如图，过点作于点，则为中点，且， ∴， 由得，，∴，即， ∴. 设直线CM与平面ADE所成角为， . 2．(24-25高二·山西山西大学附属中学校·月考)已知是棱长为的正四面体，设的四个顶点到平面的距离所构成的集合为，若中元素的个数为，则称为的阶等距平面，为的阶等距集． (1)若为的1阶等距平面且1阶等距集为，求的所有可能值以及相应的的个数； (2)已知为的4阶等距平面，且点与点，，分别位于的两侧．是否存在，使的4阶等距集为，其中点到的距离为？若存在，求平面与夹角的余弦值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)当的值为时，有4个；当的值为时，有3个 (2) 【分析】（1）分两种情况得出的所有可能值以及相应的的个数； （2）先根据已知得出，再结合空间向量计算求得余弦值. 【详解】（1）情形一：分别取的中点， 由中位线性质可知， 此时平面为的一个1阶等距平面， 为正四面体高的一半，等于. 由于正四面体有4个面，这样的1阶等距平面平行于其中一个面，有4种情况； 情形二：分别取的中点， 将此正四面体放置到棱长为1的正方体中， 则为正方体棱长的一半，等于. 由于正四面体的六条棱中有3组对棱互为异面直线， 这样的1阶等距平面平行于其中一组异面直线，有3种情况. 综上所述，当的值为时，有4个；当的值为时，有3个. （2）在线段上分别取一点， 使得，，，则平面即为平面. 如图，取中点，连接，以为坐标原点，所在直线分别为轴， 过点且与平面垂直的直线为轴建立空间直角坐标系， ，设 ， ， 设平面法向量为 所以，即， 所以， 又平面的法向量为， 设平面与夹角为 所以， 所以平面与夹角余弦值为. 【点睛】关键点点睛：解题的关键在于有时候分类讨论要恰当划分，做到不重不漏，从而即可顺利得解. 3．(24-25高二上·山西实验中学·)如图，四棱锥中，底面，，，. (1)若G点为的重心，求； (2)若，证明：平面； (3)若，且二面角的正弦值为，求. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）设出空间的一组基向量，将用基向量表示，运用数量积的运算律即可求得； （2）利用题设条件，先由线线垂直证明平面，得出，再证，在底面上，可得，最后由线线平行证线面平行即得； （3）设，，建立空间直角坐标系，求出相关点和平面法向量的坐标，利用向量夹角的坐标公式列出方程，求得，即得. 【详解】（1）设，，，则，， ，. 如图，连接并延长交于点,连接,则 两边取平方得. ∴，∴. （2）因为平面，而平面，所以， 又，，平面，所以平面， 而平面，所以. 因为，所以，在底面上，可知， 又平面，平面，所以平面. （3） 设，，则①，因，如图， 过点作的平行线，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系. 此时有 因设平面的法向量为， 则，故可取； 又设平面的法向量为， 则，故可取； 则， 由题意，，即② 联立① ② ，解得故 【点睛】关键点点睛：本题主要考查空间向量在证明线面关系，空间角等方面的应用，属于较难题. 解题的关键在于结合图形，要么选择空间的一组基底，将相关向量用基底表示，通过向量的线性运算和数量积运算求得结论；要么建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算解决问题. 4．(23-24高二上·山西孝义·月考)如图，在四棱柱中，四边形是平行四边形，，，，，为的中点，且.    (1)求证：平面； (2)若平面与平面的夹角的余弦值为，求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2)或. 【分析】（1）在中，由余弦定理求得，结合，得到，进而证得平面，得到，利用线面垂直的判定定理，即可证得平面； （2）取的中点，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，设，分别求得平面和的一个法向量和，结合题意和向量的夹角公式，列出方程求得或，分离讨论求得三棱锥的体积. 【详解】（1）证明：由四边形是平行四边形，，，且为的中点， 则在中，，，， 由余弦定理得， 所以，即， 又由，且，平面，所以平面， 因为平面，所以， 又因为，且，平面，所以平面. （2）解：取的中点，连接，则，又平面，平面， 所以，以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴，轴和轴建立空间直角坐标系，如图所示. 设， 可得，，，，， 所以，， 设平面的一个法向量为，则， 令，可得，所以平面的一个法向量， 又由，， 设平面的一个法向量为，则， 令，可得，，所以平面的一个法向量， 所以，解得或， 因为，又平面，平面，所以平面， 当时， ； 当时， ， 综上可得，三棱锥的体积为或.    5．(22-23高二上·山西太原·期中)如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面，点分别为的中点，且. (1)若，求直线与平面所成角的正弦值； (2)若直线与平面所成角的正弦值的取值范围为，求平面与平面的夹角的余弦值的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，建立空间直角坐标系，从而求得平面的法向量与，由此可求得直线与平面所成角的正弦值； （2）设，从而分别求得平面与平面的法向量与及，从而由题意条件求得，进而可求得平面与平面的夹角的余弦值的取值范围. 【详解】（1）因为，则，即， 又因为平面，所以， 故建立如图所示的空间直角坐标系，则， 故， 设平面的一个法向量为，则，即， 令，则，故， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. . （2）设，则，故， 设平面的一个法向量为，则，即， 令，则，故， 易得平面的一个法向量为，又， 设直线与平面所成角为，则， 即，解得， 设平面与平面的夹角为，则， 因为，所以，则，故，即. 所以平面与平面的夹角的余弦值的取值范围为. 6．(19-20高二上·山西运城·期末)如图，在四面体中，平面，.，.M是的中点，P是的中点，点Q在线段上，且. （1）证明：； （2）若二面角的大小为60°，求的大小. 【答案】（1）证明见解析（2） 【分析】(1)以的中点为原点建立空间直角坐标系，设出C的坐标，然后算出和的坐标，证明即可； (2)算出平面的一个法向量，利用二面角的大小为60°求出C的坐标即可. 【详解】（1）证明：如图，取的中点O，以O为原点，，所在射线y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系. 由题意知 设点C的坐标为， 因为， 所以 因为点M为的中点，故 又点P为的中点，故 所以， 所以. （2）解：设为平面的一个法向量 由， 知 取，得. 又平面的一个法向量为，于是 即.① 又，所以， 故 即.② 联立①②，解得（舍去）或. 所以. 又是锐角，所以. 【点睛】用空间向量的知识能够很好的解决立体几何中平行、垂直和线线角、线面角、面面角等问题，只是对计算能力要求较高. 7．(19-20高二上·山西长治第二中学·期中)如图，在四棱锥中，底面是圆内接四边形，，，. (1)求证：平面⊥平面； (2)若点在平面内运动，且平面，求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 【答案】（1）证明见解析；（2） 【分析】（1）连接，交于点，连接，先通过证明，得出平面，再根据面面垂直的判定定理由平面证明平面BED⊥平面即可；（2）取的中点，的中点，先通过平面//平面得出点在线段上，然后建立空间直角坐标系并设，从而求出平面的法向量及的坐标，设直线与平面所成的角为，则，最后根据即可求出的最大值. 【详解】(1)证明：如图，连接，交于点，连接， 因为，，， 所以，易得， 所以， 所以. 又，，所以⊥平面， 又平面，所以. 又底面是圆内接四边形， 因为， 在中，由，，可得，， 所以，， 易得与相似，所以， 即. 又、平面，， 所以平面， 又平面，所以平面BED⊥平面. (2)解：如图，取的中点，的中点，连接，，， 则，由(1)知，，即， 所以为正三角形，所以，又， 所以平面//平面， 所以点在线段上. 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，， ，， 设平面的法向量， 则，即， 令，则， 设，可得 ， 设直线与平面所成的角为， 则， 因为，所以当时，取得最大值. 故直线与平面所成角的正弦值的最大值为. 【点睛】本题第一问主要考查由线线垂直证明线面垂直，再由面面垂直的判定定理证明面面垂直，第二问先确定点在线段上，然后建立空间直角坐标系并求出平面的法向量及直线的方向向量的坐标即可研究线面角的正弦值的最值问题，本题综合性强、计算量大，属中等难度题. 8．如图，三棱柱中，四边形为菱形，，，侧面侧面，在线段上移动（不含端点），为棱的中点. (1)若为线段的中点，为的中点，连接并延长交于，求证：∥平面； (2)若二面角的平面角的余弦值为，且，求的值. 【答案】(1)见解析； (2)的值为. 【分析】（1）构造平面∥平面，再利用面面平行的性质得到线面平行； （2）建立空间直角坐标系，设点坐标，利用向量的方法求出二面角的余弦值，列方程求即可. 【详解】（1） 如图，取中点，连接，在中，为中点，∴∥， ∵为三棱柱，∴四边形为平行四边形， 又分别为的中点， ∴∥，又且，且， ∴平面∥平面，又平面，∴∥平面. （2） 连接，∵四边形为菱形，∴又，∴为正三角形. ∵为的中点，∴， 又∵侧面侧面，且平面平面，平面， ∴平面，在平面内过点作交于点， 分别以的方向为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，. 又，∴点的坐标为， ∴. ∵，∴，∴， 设平面的法向量为， 由，得， 令，得，所以平面的一个法向量为. 由题意可知平面的一个法向量为. 设二面角的平面角为，则， ∴，故的值为. 9．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD垂直于底面ABCD，PD＝DC，点E是PC的中点． （Ⅰ）求证：PA∥平面EBD； （Ⅱ）求二面角E-BD-P的余弦值． 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）. 【详解】试题分析：（Ⅰ）几何法：连接,连接,根据线面平行的判定定理可先证明线线平行，即证明；向量法：以点D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴建立直角坐标系，求平面的法向量，若，说明与法向量垂直，即与平面平行； （Ⅱ）向量法求二面角的余弦值，即先求两个平面的法向量，而平面的法向量就是,即求. 试题解析：解：(Ⅰ)法一：以点D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴建立直角坐标系，设正方形的边长为1，则 ∴,． 设平面EBD的法向量为， 可求得,∴,∴∥平面EBD． 即PA∥平面EBD． 法二：连接AC，设AC∩BD＝O，连接OE，则OE∥PA，∴PA∥平面EBD. (Ⅱ)设平面PBD的法向量为． ∴，∴二面角E-BD-P的平面角的余弦值为. 考点：1.线面平行的判定定理；2.空间向量的应用. 10．如图所示，在多面体，四边形，均为正方形，为的中点，过的平面交于 （1）证明：； （2）（理科做） 求二面角余弦值． （3）（文科做） 若正方形边长为2，求多面体的体积． 【答案】（1）详见解析；（2）；（3）． 【详解】试题分析：（1）因为，平面，平面，所以平面，又平面，平面平面=，所以//．（2）将几何体补成正方体知，⊥平面，所以⊥, ⊥平面，所以⊥，所以交线⊥平面．二面角的平面角与∠相等，即可求出结果．（3）根据空间几何体的特征，可知四棱锥的高为2，然后根据体积公式即可求出结果． 试题解析：（1）因为，平面，平面，所以平面，又平面，平面平面=，所以//． （2）将几何体补成正方体知，⊥平面，所以⊥ ⊥平面，所以⊥，所以交线⊥平面．二面角的平面角与∠相等，余弦值为 （3）由题意可知，四棱锥． 考点：1．线面平行的性质定理；2．二面角；3．几何体的体积． 11．如图，四棱锥P—ABCD的底面为菱形且，PA⊥底面ABCD，AB=2，PA=，E为PC的中点． （1）求直线DE与平面PAC所成角的大小； （2）求二面角E—AD—C的余弦值． 【答案】（1）（2） 【详解】试题分析：（1）求线面角转化求直线的方向向量与平面法向量的夹角，连，交于点，连结，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，写出各点坐标，可知是平面的一个法向量，所以线与平面所成角转化为求（2）二面角可转化为求两半面的法向量的夹角； 是平面的一个法向量,可求平面的一个法向量，二面角的余弦值为 试题解析：（1）如图，连，交于点，又由底面为菱形可得，且点是的中点，连结，又为的中点，所以，由底面，可得底面 以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系 则有，，， ，， ， 依题意得即为平面的一个法向量 又，所以 所以 直线与平面所成角的大小为 （2）由底面可知是平面的一个法向量 设为平面的一个法向量 又 由与得 令，得，所以 由图可知二面角为锐角，故二面角的余弦值为 考点：线面角与二面角 12．在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，且平面. （1）求证：； （2）过直线且垂直于直线的平面交于点E，且三棱锥的体积取到最大值， ①求此时的长度； ②求此时二面角的余弦值的大小. 【答案】（1）详见解析；（2）①，②. 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理可得平面，进而即得； （2）由题可知三棱锥的底面面积为定值，设，结合条件可得该三棱锥的高，利用基本不等式即得；建立空间直角坐标系，利用坐标法可得二面角的余弦值. 【详解】（1）连接AC，因为四边形ABCD是正方形， 所以，因为平面，平面， 所以，又， 所以平面，又平面PAC， 所以； (2)①设，由题可知三棱锥的底面面积为定值， 则， ，， 又平面，， 得， 设三棱锥的高为， 则， 所以 ， 当且仅当，即时，三棱锥的高有最大值，即三棱锥的体积取到最大值， 所以； ②以点A为原点，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系， 则，由上可知 ， 所以＝＋ ＝，， 设平面ADE的法向量，则， 即，令 ，则， 由题可知平面BDE的法向量 ， 所以 ，又二面角为锐角， 所以二面角的余弦值的大小为. 地 城 考点02 直线方程 13．(24-25高二上·山西晋中·期末)在直角坐标系中，，两点的坐标分别为，，直线，相交于点，它们的斜率之积为，点的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)若斜率为且不经过原点的直线与交于，两点，线段的中点为，直线的斜率记为，求的值； (3)在（2）的条件下，点为上一点，且不与的顶点重合，点关于轴的对称点为，若直线与关于直线对称，求证：，，三点共线. 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）利用斜率的坐标公式列式化简即得. （2）根据给定条件，利用点差法列式，结合斜率的坐标公式求得答案. （3）设点及直线的斜率，直线与椭圆方程联立，利用韦达定理及斜率坐标公式，结合（2）证得的斜率相等即可. 【详解】（1）设点，依题意，，，整理得， 所以的方程是. （2）设，则， 由点均在曲线上，得， 两式相减得，则， 而，所以. （3）设点，则，设直线的斜率为，则的斜率为， 直线的方程为，直线的方程为， 由消去得， 则①， 同理②， 直线的斜率，则 ，将①②代入并整理， 得③，而，即， 因此，由（2）知，，则， 又直线有公共点，所以，，三点共线. 【点睛】思路点睛：涉及直线被圆锥曲线所截弦中点及直线斜率问题，可以利用“点差法”，设出弦的两个端点坐标，代入曲线方程作差求解. 14．(23-24高二下·山西长治·期末)已知双曲线的右顶点到的一条渐近线的距离为. (1)求的方程； (2)设过点的直线交于两点，过且垂直于轴的直线与直线交于点，证明：以线段的中点为圆心且过坐标原点的圆还过其他定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意得出，再利用点到直线的距离求解b即可； （2）先证明圆心在直线上，再由圆的性质可以求出圆经过另一个定点. 【详解】（1）由于是右顶点，故. 而到渐近线的距离均为， 故由已知有. 所以，解得. 故的方程为. （2）如图所示，记，并设的中点为，设， 由于，假设的斜率不存在， 那么的方程是，该直线与只有一个公共点，矛盾； 所以的斜率存在，故可设其方程为. 将该直线与联立，得， 即. 所以该方程的两根之和为. 但，故此方程已有一根，从而另一根为. 又. 此时，由，知直线的方程为， 而过且垂直于轴的直线为，故. 这就得到的中点的坐标为. 由于 . 所以圆心在直线上， 设原点关于直线的对称点为, 则有，解得， 所以， 因为，点O在圆上，所以点T也在圆上， 故以线段的中点为圆心且过坐标原点的圆一定经过. 【点睛】关键点点睛：第（2）问关键在于知道圆心在直线上，又圆E经过原点，根据圆的性质可知，原点关于直线的对称点一定在圆E上. 15．(21-22高二上·山西怀仁第一中学·期末)已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆C上，且满足． (1)求椭圆C的标准方程； (2)设直线与椭圆C交于不同的两点M，N，且（O为坐标原点）．证明：总存在一个确定的圆与直线l相切，并求该圆的方程． 【答案】(1)； (2)理由见解析，圆的方程为. 【分析】(1)根据给定条件可得，结合勾股定理、椭圆定义求出a，b得解. (2)联立直线l与椭圆C的方程，利用给定条件求出k，m的关系，再求出原点O到直线l的距离即可推理作答. 【详解】（1）因，则，点在椭圆C上，则椭圆C的半焦距,， ，因此，，解得，， 所以椭圆C的标准方程是：. （2）由消去y并整理得：， 依题意，，设， ，因， 则 ， 于是得，此时，，则原点O到直线l的距离， 所以，存在以原点O为圆心，为半径的圆与直线l相切，此圆的方程为. 【点睛】思路点睛：涉及动直线与圆锥曲线相交满足某个条件问题，可设直线方程为， 再与圆锥曲线方程联立结合已知条件探求k，m的关系，然后推理求解. 16．(20-21高二上·山西长治长治学院附属太行中学·期末)在平面直角坐标系中，如图，已知的左、右顶点为、，右焦点为，设过点的直线、与椭圆分别交于点、，其中，，． （1）设动点满足，求点的轨迹； （2）设，，求点的坐标； （3）设，求证：直线必过轴上的一定点（其坐标与无关）． 【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析． 【分析】（1）根据椭圆的标准方程可得、、的坐标,设动点，根据条件，结合两点间距离公式,化简即可得解； （2）根据，代入椭圆方程即可求得、的坐标，进而求得直线与直线的方程，联立两条直线方程即可求得交点的坐标； （3）设出直线与直线的方程，分别联立椭圆方程即可表示出、的坐标，讨论与，并分别求得的值，即可求得所过定点的坐标. 【详解】（1）设点，则，，， 由，得， 化简得， 故所求点的轨迹为直线． （2）将，分别代入椭圆方程，以及，， 得，， 直线方程为，即， 直线方程为，即， 联立方程组，解得， 所以点的坐标为． （3）点的坐标为， 直线的方程为，即， 直线的方程为，即， 分别与椭圆联立方程组，同时考虑到，， 解得、， 若，且,得， 此时直线的方程为，过点； 若，则，直线的斜率， 直线的斜率， 所以,所以直线过点， 因此直线必过轴上一定点. 17．(19-20高二上·山西吕梁孝义·期末)已知椭圆 的离心率为，又点在该椭圆上. （1）求椭圆的方程； （2）若斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，，求的最大面积. 【答案】（1）（2） 【解析】（1）根据椭圆离心率，椭圆上一点的坐标以及列方程组，解方程组求得的值，进而求得椭圆的方程. （2）设出的坐标以及直线的方程，联立直线的方程和椭圆，化简后根据判别式求得的取值范围，并写出根与系数关系，利用弦长公式求得，求得到直线的距离，由此求得面积的表达式，利用平方的方法，结合基本不等式，求得的最大面积. 【详解】（1）依题意，得，解得， 椭圆的方程为. （2）设，， 直线的方程为， 则有 整理，得 由， 解得. 由根与系数的关系，得：， . 设为点到直线的距离， 则， 即，即 当且仅当时取等号， 所以时，的面积取得最大值为. 【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆中的三角形的面积的最值，考查运算求解能力，属于中档题. 18．(17-18高二上·山西太原·期中)已知圆与圆 (1)若直线与圆相交于两个不同点，求的最小值； (2)直线上是否存在点，满足经过点有无数对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，并且直线被圆所截得的弦长等于直线被圆所截得的弦长？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在点满足题意. 【分析】（1）动直线恒过定点，根据圆的几何条件可得取最小值时，，根据垂径定理解出的最小值；（2）两弦长相等转化为对应圆心距相等，根据点到直线距离公式展开得关于斜率k的恒等式，再根据恒等式成立的条件解出点坐标 【详解】（1）直线过定点，取最小值时， ，∴ （2）设，斜率不存在时不符合题意，舍去； 斜率存在时，则即， 即， 由题意可知，两弦长相等也就是和相等即可，故， ∴，化简得：对任意恒成立， 故，解得 故存在点满足题 圆与方程 地 城 考点03 19．(24-25高二上·山西大同·期中)已知动点到直线的距离比到点的距离大1，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)过原点的一条直线与圆相切，交曲线于另一点，且，求圆的方程； (3)已知直线与曲线交于，两点，若，求面积的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）依题意可得动点到直线的距离与到点的距离相等，根据抛物线的定义计算可得； （2）设 ，由求出点坐标，即可求出的方程，再求出圆心到直线的距离，即可求出半径，从而得解； （3）联立方程组结合韦达定理计算求参数范围，再应用面积公式求最值即可. 【详解】（1）因为动点到直线的距离比到点的距离大1， 所以动点到直线的距离与到点的距离相等， 根据抛物线的定义可知，点在以为焦点，为准线的抛物线上， 即动点的轨迹为； （2）设 ，由，解得， 由对称性，不妨取，则， 直线方程为，即，由圆的圆心到的距离为， 所以， 故圆的方程为. （3）因为，显然直线的斜率不可能为零， 设直线：，， 由，可得， 由， 所以， 因为，所以， 即， 亦即， 将代入得，，， 所以，且，解得或． 设点到直线的距离为，所以， 所以 ， 所以的面积， 而或， 所以当时，的面积. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 20．(22-23高二上·山西平遥中学校·期末)已知椭圆过点，． (1)求椭圆的标准方程； (2)若点是圆上的一点，过点作圆的切线交椭圆于，两点，证明：以为直径的圆过原点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意列出方程组，求得的值，即可得到椭圆的标准方程； （2）当直线的斜率不存在时，得到直线的方程，求出点的坐标，可证得；当直线的斜率存在时，设方程为，由直线与圆相切得，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理与向量数量积运算的坐标表示，证明即可． 【详解】（1）由题意知，解得，， 所以椭圆的标准方程是； （2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为或． 若直线的方程为，不妨设，，所以，所以； 若直线的方程为，不妨设，，所以，所以； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 又直线与圆相切，所以，即． 设，， 由，得， 所以， ，， 所以 ，所以．    综上，以为直径的圆过原点． 21．(22-23高二上·山西太原·期中)已知直线过点，且被圆截得的弦的长为. (1)求直线的方程； (2)若直线的斜率存在，圆过两点，且圆心在上，求圆的方程. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）分类讨论直线斜率存在与不存在两种情况，利用弦长公式与点线距离公式即可得解； （2）利用两圆相减得到公共弦所在直线的结论，假设圆的方程，从而由圆的一般方程可得圆心，将其代入，由此可求得圆的方程. 【详解】（1）当直线的斜率不存在时，直线方程为，易得与圆的交点为，此时弦长为，满足条件； 当直线的斜率存在时，设直线方程，即， 因为圆，所以圆心，半径，设圆心到直线的距离为， 因为，所以由弦长公式得，得， 所以，解得， 所以，直线方程为，即， 综上：直线的方程为或. （2）由（1）得直线的方程为，圆， 根据题意知直线是圆与圆的公共弦所在直线，而公共弦所在直线方程可由两圆方程相减得到， 故设圆的方程为，即， 则其圆心坐标为， 因为圆心在上，所以，解得， 所以圆的方程为. 22．已知抛物线的焦点为，且与圆上点的距离的最小值为． （1）求； （2）若点在上，是的两条切线，是切点，求面积的最大值． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）根据圆的几何性质可得出关于的等式，即可解出的值； （2）设点、、，利用导数求出直线、，进一步可求得直线的方程，将直线的方程与抛物线的方程联立，求出以及点到直线的距离，利用三角形的面积公式结合二次函数的基本性质可求得面积的最大值. 【详解】（1）[方法一]：利用二次函数性质求最小值 由题意知，，设圆M上的点，则． 所以． 从而有 ． 因为，所以当时，． 又，解之得，因此． [方法二]【最优解】：利用圆的几何意义求最小值 抛物线的焦点为，， 所以，与圆上点的距离的最小值为，解得； （2）[方法一]：切点弦方程+韦达定义判别式求弦长求面积法 抛物线的方程为，即，对该函数求导得， 设点、、， 直线的方程为，即，即， 同理可知，直线的方程为， 由于点为这两条直线的公共点，则， 所以，点A、的坐标满足方程， 所以，直线的方程为， 联立，可得， 由韦达定理可得，， 所以，， 点到直线的距离为， 所以，， ， 由已知可得，所以，当时，的面积取最大值. [方法二]【最优解】：切点弦法+分割转化求面积+三角换元求最值 同方法一得到． 过P作y轴的平行线交于Q，则． ． P点在圆M上，则 ． 故当时的面积最大，最大值为． [方法三]：直接设直线AB方程法 设切点A，B的坐标分别为，． 设，联立和抛物线C的方程得整理得． 判别式，即，且． 抛物线C的方程为，即，有． 则，整理得，同理可得． 联立方程可得点P的坐标为，即． 将点P的坐标代入圆M的方程，得，整理得． 由弦长公式得 ． 点P到直线的距离为． 所以 ， 其中，即． 当时，． 【整体点评】（1）方法一利用两点间距离公式求得关于圆M上的点的坐标的表达式，进一步转化为关于的表达式，利用二次函数的性质得到最小值，进而求得的值；方法二，利用圆的性质，与圆上点的距离的最小值，简洁明快，为最优解；（2）方法一设点、、，利用导数求得两切线方程，由切点弦方程思想得到直线的坐标满足方程，然手与抛物线方程联立，由韦达定理可得，，利用弦长公式求得的长，进而得到面积关于坐标的表达式，利用圆的方程转化得到关于的二次函数最值问题；方法二，同方法一得到，，过P作y轴的平行线交于Q，则．由求得面积关于坐标的表达式，并利用三角函数换元求得面积最大值，方法灵活，计算简洁，为最优解；方法三直接设直线，联立直线和抛物线方程，利用韦达定理判别式得到，且．利用点在圆上，求得的关系，然后利用导数求得两切线方程，解方程组求得P的坐标，进而利用弦长公式和点到直线距离公式求得面积关于的函数表达式，然后利用二次函数的性质求得最大值； 23．(19-20高二上·山西·期中)已知直线与圆交于两点. （1）求的斜率的取值范围； （2）若为坐标原点，直线与的斜率分别为，，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】（1）（2）是定值，详见解析 【分析】（1）变换得到，得到直线过点，设，利用直线和圆的位置关系得到，计算得到答案. （2）联立，根据韦达定理得到，计算，化简计算得到答案. 【详解】（1）由，可得. 由，解得，所以恒过定点. 故可设的方程为，即. 由已知可得圆的标准方程为，圆心，半径， 则由直线与圆相交，可得. 解得，所以的斜率的取值范围为. （2）是定值 联立，消去，整理得. 设，，由韦达定理得， 则 为定值. 【点睛】本题考查了斜率范围和定值问题，利用韦达定理求解是常用方法，需要熟练掌握，意在考查学生的计算能力. 24．(19-20高二上·山西太原·期中)已知圆，点是直线上的动点，过点作圆的切线，，切点分别为，. （1）当时，求点的坐标； （2）设的外接圆为圆，当点在直线上运动时，圆是否过定点（异于原点）？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由. 【答案】（1）或；（2）是过定点，. 【分析】（1）由题知，可设，切线长，半径，圆心与点的长度组成直角三角形，故有，结合两点间距离公式和直线方程，可求得点的坐标； （2）可先设，则，整理得的外接圆方程为，结合代换得，要使圆恒过定点满足，即，解出对应的，即可求解 【详解】（1）设，∵，∴，， ∵，∴， ∴解得或   ∴或； （2）设，则， ∴的外接圆方程为，    ∵，∴， ∴，令 则或（舍去），∴圆过定点. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，两点间距离公式的应用，求证轨迹恒过定点问题，解题关键在于正确表示出外切圆方程，学会利用直线上的点满足的方程进行代换，将方程转化成恒成立问题，属于中档题 25．(18-19高二上·山西晋中·期末)已知动点M到点与点的距离之比等于2，记动点M的轨迹为曲线C． 求曲线C的方程； 过点作曲线C的切线，求切线方程． 【答案】（1）；（2）或 【分析】（1）设点的坐标为，根据距离公式列等式，化简即可得出曲线的方程； （2）对切线斜率是否存在进行分类讨论，结合圆心到直线的距离等于2可得出切线的方程． 【详解】（1）设动点的坐标为， 则， 所以，化简得， 因此，动点的轨迹方程为； （2）当过点的直线无斜率时，直线方程为， 圆心到直线的距离等于，此时直线与曲线相切； 当切线有斜率时，不妨设斜率为， 则切线方程为，即， 由圆心到直线的距离等于半径可知，，解得． 所以，切线方程为． 综上所述，切线方程为或． 【点睛】此类问题为“隐形圆问题”，常规的处理办法是找出动点所在的轨迹（通常为圆），常见的“隐形圆”有： （1）如果为定点，且动点满足，则动点 的轨迹为圆； （2）如果中，为定长，为定值，则动点的轨迹为一段圆弧． 26．(18-19高二上·山西运城中学、芮城中学·期中)已知圆，为圆内一点，为圆上的动点，且，是的中点. （1）求点的轨迹方程； （2）过点的直线与点的轨迹交于两点，求的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）设点，由，可得，化简即可得结果；（2）讨论两种情况，求出斜率不存在时的值，斜率存在时，设出直线方程，与圆的方程联立，利用韦达定理根据平面向量数量积的坐标表示，表示出，利用基本不等式可得结果. 【详解】（1）设点， 依题得， 即， 化简得 （2）设 ①当直线的斜率不存在时，其方程为，则 代入，得，则， 所以此时 ②当直线的斜率存在时，设其方程为， 联立，得， 则. . 设，则 当时，； 当时，. ， 综上所述 【点睛】本题主要考查轨迹方程及直线与圆的位置关系，属于难题. 求轨迹方程的常见方法有:①直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将代入. 27．(17-18高二上·山西运城盐湖区·期末)抛物线y2＝4x的内接三角形的一个顶点在原点，三边上的高线都通过抛物线的焦点，求此三角形外接圆的方程． 【答案】 【分析】因为抛物线关于x轴对称，三边上的高过焦点，所以另两个顶点A，B关于x轴对称即是等腰三角形. C点即为的外接圆圆心，OC是外接圆的半径. 【详解】因为抛物线关于x轴对称，三边上的高过焦点，所以另两个顶点A，B关于x轴对称即是等腰三角形.利用三角形的几何性质列出代数关系式求解． 作AO的中垂线MN，交x轴于C点，而Ox是AB的中垂线，故C点即为的外接圆圆心，OC是外接圆的半径. 设，，连结BF，则. 因为，，所以. 整理，得. 则不合题意，舍去. 因为AO的中点为，且， 所以直线MN的方程为. 把代入，得. 又因为点C是MN与x轴的交点. 所以. 而的外接圆半径，于是得到三角形外接圆方程为 【点睛】抛物线的几何性质求解方程是常规考点，根据题目的条件利用几何关系列出交点坐标的关系式，根据韦达定理转化为参数的关系式求解． 28．(17-18高二上·山西陵川第一中学校·期中)已知直线与圆. （1）判断直线与圆的位置关系； （2）过点作两条互相垂直的直线.若与圆相交于两点，与圆相交于两点，求的最大值. 【答案】(1)直线与相交；(2). 【详解】试题分析：（1）根据直线过定点 ，而 在圆内，所以直线与相交；（2）设圆心到直线的距离分别为，则，由直角三角形可知，，由不等式，求的最大值. 试题解析：（1）直线的方程变形为，∴直线过定点. ∵到圆心（原点）的距离，∴点在圆内， ∴直线与相交. （2）设圆心到直线的距离分别为，则. 由直角三角形可知，， 由不等式知： . 当且仅当，. ∴时取等号. 点睛：本题主要考查了直线与圆的位置关系以及直线与圆相交时的最值问题，属于中档题．解答本题的第二问的关键是利用不等式，得出最大值． 29．(17-18高二上·山西太原·期中)已知圆与圆，点在圆上，点在圆上． （1）求的最小值； （2）直线上是否存在点，满足经过点由无数对相互垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，并且直线被圆所截得的弦长等于直线被圆所截得的弦长？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）；（2）存在点满足题意 【详解】试题分析：（1）根据圆的几何条件可得为两圆心连线与两圆交点时最小，再根据两点间距离公式计算结果（2）两弦长相等转化为对应圆心距相等，根据点到直线距离公式展开得关于斜率k的恒等式，再根据恒等式成立的条件解出点坐标 试题解析：（1）为两圆心连线与两圆交点时最小，此时 （2）设，斜率不存在时不符合题意，舍去；斜率存在时，则即，即， 由题意可知，两弦长相等也就是和相等即可，故即，化简得：对任意恒成立，故，解得，故存在点满足题意． 地 城 考点04 圆锥曲线 30．(24-25高二上·山西三晋卓越联盟·)已知圆，点，点是圆上任意一点.线段的垂直平分线与半径相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)证明：直线是曲线的切线. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）因为结合椭圆的定义求得曲线的方程. （2）设直线的方程为再结合判别式得出是的切线. 【详解】（1）由线段的垂直平分线的性质，得， 所以， 所以点的轨迹，即曲线是以点C，D为焦点的椭圆，设的方程为， 则，焦距，即， 所以， 故曲线的方程为. （2）设，则的中点为，又， 所以直线的方程为， 因为点在圆上，所以， 所以直线的方程可化为， 所以， 由，得， 将代入上式，得 ， 由，得， 所以， 所以， 所以是的切线. 31．(24-25高二上·山西实验中学·)设，向量分别为平面直角坐标内x，y轴正方向上的单位向量，若向量，且． (1)求点的轨迹C的方程； (2)设椭圆，曲线C的切线交椭圆E于A、B两点，试证：的面积为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用平面向量的模的几何意义、椭圆的定义、椭圆的标准方程运算即可得解. （2）利用直线与椭圆的位置关系、点到的直线距离公式、三角形面积公式运算即可得解. 【详解】（1） 如上图，由题意，∵，， ∴即为点与点的距离， 即为点与点的距离， ∴由可得， ∴由椭圆的定义可知点的轨迹是以、为焦点的椭圆， 且长轴长为，，则， ∴由椭圆的标准方程知点的轨迹的方程为，即. （2） 如上图，由题意，直线是曲线：的切线， ∴由可得：， 则，化简得：. 由题意，直线交椭圆：于、两点， ∴由可得：， 设、，则，， ∴， 又∵，∴. 且由知， ∴. 又∵中边上的高即为点到直线的距离， ∴由点到直线距离公式得，又∵， ∴， 即的面积为定值. 【点睛】方法点睛：直线与椭圆的相交弦长的求解方法： 1.当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解. 2.当直线的斜率存在时，斜率为的直线与椭圆相交于、两个不同的点，则弦长公式的常见形式有如下两种： （1）； （2）（）. 32．(24-25高二上·山西晋城·)几何学伴随着人类文明而产生，对人类文明进步作出了不可磨灭的贡献.在现代数学里，几何学与代数、分析、数论等多个方向关系极为密切，几何的思想成为了数学最重要的思想之一，几何对物理、化学、生物、工程等各个领域也有着极其重要的作用.目前，几何学大致包含了欧式几何、射影几何、解析几何等几类不同思路的研究方法.其中，射影几何学中的极点与极线理论对于研究圆锥曲线提供了新的思考方式.对于椭圆，极点（不是坐标原点）对应的极线为：.已知椭圆：的长轴长为，左焦点与抛物线的焦点重合，对于椭圆，极点对应的极线为，过点的直线与椭圆交于，两点，在极线上任取一点，设直线MQ，NQ，PQ的斜率分别为，，（，，均存在）. (1)求极线的方程； (2)求证：. 【答案】(1). (2)证明见解析 【分析】（1）由长轴长和焦点坐标求出椭圆的的值，得到椭圆方程，按定义得到极线的方程； （2）作出图像，设出直线的方程后联立方程组，整理得到二元一次方程，由韦达定理得到的代数式，设点坐标，表示出，然后化简即可得证. 【详解】（1）由椭圆：的长轴长为， 则，解得， 又椭圆的左焦点与抛物线的焦点重合， 所以，解得. 所以椭圆的方程为. 由题意可知，对于椭圆， 极点对应的极线的方程为，即. （2）如图：    显然不存在时，不存在交点，∴一定存在， 设， 联立方程组，整理得， ，即， 设交点，则，， 设，则，，， ， ， ， ， 即. 33．(24-25高二上·山西晋城多校·期中)已知双曲线：（，）的右焦点为，右顶点为，直线：与轴交于点，且． (1)求的方程； (2)点为上不同于点的动点，直线交轴于点，过作的两条切线，分别交轴于，两点，交轴于，两点． ①证明：是的中点； ②证明：． 【答案】(1) (2)①证明见解析；②证明见解析 【分析】（1）利用双曲线的几何性质，分别得出c的取值、的长度表达式，根据题意建立等量关系从而求出a，b，c的值，最终得到双曲线的标准方程. （2）根据题意设出点B坐标，以及过B点与双曲线相切的直线方程，可得P，Q纵坐标表达式，联立直线与双曲线方程，结合韦达定理可得出两条切线斜率的关系，再表示出直线BF方程，可表示出R点坐标，进而结合中点坐标公式证得是的中点；同样可表示出坐标，进而得到各条线段长度表达式，代入后再结合前面的关系得证. 【详解】（1）如图所示， 由右焦点为得， 因为，所以， 若，则，即，无解； 若，则，即，所以， 故的方程为． （2）如图所示， 设，易知过点且与相切的直线斜率存在且不为， 设为，与联立消去整理得 ， 由， 整理得， 设两条切线，的斜率分别为，，则． ①因为，， 直线的方程为，则， 所以， 故是的中点． ②由题意，，，， 所以，， 由，得， 所以， 得证． 【点睛】关键点点睛：本题关键在于正确表示出题干所述各点的坐标，利用直线与双曲线相切的关系，结合得出两条切线斜率的关系，再表示出各条线段长度，通过化简最终证得题中结论. 34．(23-24高二下·山西运城三晋卓越联盟·期中)已知A，B分别是双曲线的左、右顶点，是上异于A，B的一点，直线PA，PB的斜率分别为，且. (1)求双曲线的方程; (2)已知过点的直线交于两点（异于A，B），直线与直线交于点.求证:点在定直线上. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）由可求，利用两点斜率公式表示，由条件列方程求，由此可得双曲线方程； （2）设的方程为， ，利用设而不求法可得， 求直线直线与直线的交点坐标，由此证明结论. 【详解】（1）由题意可知， 因为，所以. 设，则，所以， 又， 所以. 所以双曲线的方程为. （2）若直线的斜率为，则直线与双曲线交于点，与条件矛盾， 所以直线的斜率不能为0， 设的方程为. 联立，化简得 所以，所以， ， 直线AD的方程为， 直线BE的方程为. 联立直线AD与BE的方程，得， 所以， 所以， 所以 . 所以点的横坐标始终为1，故点在定直线上. 【点睛】方法点睛：（1）解答直线与双曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． （2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． 35．(23-24高二下·山西太原尖草坪区第一中学校·)已知椭圆C：过点，且它的长轴长是短轴长的3倍．斜率为的直线l与椭圆C交于A，B两点（如图所示，点P在直线l的上方）． (1)求椭圆C的方程； (2)试判断直线PA，PB的斜率和是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)是定值，0 【分析】（1）由题意列出关于的方程组，求出它们的值，即可求得答案； （2）设直线l的方程为，联立椭圆方程，可得根与系数的关系式，由此化简直线PA，PB的斜率和的表达式，即可得出结论. 【详解】（1）由题意知椭圆C：过点，且它的长轴长是短轴长的3倍， 故，解得， 故椭圆C的方程为； （2）由题意设直线l的方程为，当l经过时， ， 由于点P在直线l的上方，故； 联立，得，需满足 即， 设，，则， 则， 而 即，故直线PA，PB的斜率和为定值,定值为0. 36．(23-24高二上·山西大同·期中)椭圆的左､右焦点分别为，左､右顶点分别为，点在上.已知面积的最大值为，且与的面积之比为. (1)求的方程； (2)不垂直于坐标轴的直线交于两点，与不重合，直线与的斜率之积为.证明：过定点. 【答案】(1) (2)过定点. 【分析】（1）根据几何关系得到点为椭圆的上顶点或下顶点时，面积最大，结合与面积之比，得到方程组，求出，得到椭圆方程； （2）方法一：设的方程，代入，得到两根之和，两根之积，根据斜率之积得到方程，求出或，检验后得到符合要求，并求出所过定点； 方法二：设直线的方程为，椭圆方程变形得到，联立得到，若是上的点，则斜率为，得到，故，求出，求出定点坐标. 【详解】（1）当点为椭圆的上顶点或下顶点时，的面积最大， 此时， 又， 故，解得， 曲线的方程为. （2）方法一：设直线的方程为，代入得 ， 设， 得，    则， ， 即，解得或. 当时，此时，直线过定点， 而与不重合，不合题意. 当时，此时， 此时直线过定点，满足要求. 方法二：由题意，直线不经过点， 设直线的方程为①. 由方程得. ②. 由①②得， . 若是上的点，则斜率为， ， 的斜率，即，解得. 的方程为，即，故过定点. 【点睛】处理定点问题的思路： （1）确定题目中的核心变量（此处设为）， （2）利用条件找到与过定点的曲线的联系，得到有关与的等式， （3）所谓定点，是指存在一个特殊的点，使得无论的值如何变化，等式恒成立，此时要将关于与的等式进行变形，直至找到， ①若等式的形式为整式，则考虑将含的式子归为一组，变形为“”的形式，让括号中式子等于0，求出定点； ②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去变为常数. 37．(22-23高二上·山西长治上党区第一中学校等名校·期中)已知左、右焦点分别为的双曲线，其实轴长为8，其中一条渐近线的斜率为． (1)求双曲线的标准方程； (2)若点为双曲线右支上除顶点外的任意一点，证明：双曲线在点处的切线平分． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据条件，直接求出即可求出双曲线的标准方程； （2）先设出的方程为，利用为双曲线的切线得到，再利用点在双曲线上，得到，进而可求出切线与轴的交点坐标，从而可求出，再求出，从而得到，即可证明出结果. 【详解】（1）由题意知， 因为一条渐近线的斜率为，所以，即， 所以双曲线的标准方程为． （2）设点，显然切线的斜率存在． 设的方程为， 由，消得， 由， 整理得， 又，得到， 所以，得到，解得． 设切线与轴交于点，则， 所以，即． 因为， 所以， 又， 所以， 则是的内角平分线，故切线平分．    【点睛】关键点晴，本题的关键在于通过证明，进而证明切线平分，先利用几何条件分别求出，即可证明结果. 38．(21-22高二上·山西太原外国语学校·期中)已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求的方程； (2)若直线交椭圆于两点，点恒在以为直径的圆内，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据和离心率定义以及点在曲线上即可求解；（2）联立直线和椭圆，借助韦达定理和点在圆内的向量表达即可进一步求解. 【详解】（1）设椭圆的焦距为，则 解得 故的方程为. （2）联立 得， 设， 则. 由题：任意. ， ， 对任意恒成立， 解得. 的取值范围是. 39．(22-23高二上·山西晋城一中教育集团南岭爱物学校·月考)已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为4，且点椭圆C上． (1)求椭圆C的方程； (2)设P是椭圆C长轴上的一个动点，过P作方向向量的直线l交椭圆C于A、B两点，求证：为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】(1)设椭圆方程，将点代入求； (2)将直线方程与椭圆方程联立得，将用两点间距离公式化为 ，用直线将转化为，代入韦达定理计算得定值. 【详解】（1）因为C的焦点在x轴上且长轴为4，则， 故可设椭圆C的方程为， 因为点在椭圆C上，所以， 解得，所以椭圆C的方程为． （2）设，因为直线l方向向量，所以直线l的方程设为， 由得(*) 设，，则、是方程(*)的两个根， 所以有，， 所以 (定值)． 所以为定值． 40．(21-22高二上·山西运城·期中)已知圆：，定点，Q为圆上的一动点，点P在半径CQ上，且，设点P的轨迹为曲线E. (1)求曲线E的方程； (2)过点的直线交曲线E于A，B两点，过点H与AB垂直的直线与x轴交于点N，当取最大值时，求直线AB的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】(1)结合已知条件可得到点P在线段QF的垂直平分线上，然后利用椭圆定义即可求解；(2)结合已知条件设出直线的方程，然后联立椭圆方程，利用弦长公式求出，再设出直线NH的方程，求出N点坐标，进而求出，然后表示出，再利用换元法和均值不等式求解即可. 【详解】（1）设点的坐标为， ∵， ∴点P在线段QF的垂直平分线上， ∴， 又∵，∴ ∴点P在以C，F为焦点的椭圆上，且， ∴， ∴曲线的方程为：. （2）设直线AB方程为，， 由，解得， ，解得， 由韦达定理可知，，， ∴ ∵AB与HN垂直，∴直线NH的方程为， 令，得，∴， 又由，∴， ∴ 设则 ∴ 当且仅当即时等号成立，有最大值，此时满足， 故， 所以直线AB的方程为：，即或. 41．在平面直角坐标系中，已知点、，点的轨迹为. （1）求的方程； （2）设点在直线上，过的两条直线分别交于、两点和，两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和. 【答案】（1）；（2）. 【分析】(1) 利用双曲线的定义可知轨迹是以点、为左、右焦点双曲线的右支，求出、的值，即可得出轨迹的方程； (2)方法一：设出点的坐标和直线方程，联立直线方程与曲线C的方程，结合韦达定理求得直线的斜率，最后化简计算可得的值. 【详解】(1) 因为， 所以，轨迹是以点、为左、右焦点的双曲线的右支， 设轨迹的方程为，则，可得，， 所以，轨迹的方程为. （2）[方法一] 【最优解】：直线方程与双曲线方程联立 如图所示，设, 设直线的方程为．    联立, 化简得，， 则． 故． 则． 设的方程为，同理． 因为，所以， 化简得， 所以，即． 因为，所以． [方法二] ：参数方程法 设．设直线的倾斜角为， 则其参数方程为， 联立直线方程与曲线C的方程， 可得， 整理得． 设， 由根与系数的关系得． 设直线的倾斜角为，， 同理可得 由，得． 因为，所以． 由题意分析知．所以， 故直线的斜率与直线的斜率之和为0． [方法三]：利用圆幂定理 因为，由圆幂定理知A，B，P，Q四点共圆． 设,直线的方程为， 直线的方程为, 则二次曲线． 又由，得过A，B，P，Q四点的二次曲线系方程为： ， 整理可得： ， 其中． 由于A，B，P，Q四点共圆，则xy项的系数为0，即. 【整体点评】(2)方法一：直线方程与二次曲线的方程联立，结合韦达定理处理圆锥曲线问题是最经典的方法，它体现了解析几何的特征，是该题的通性通法，也是最优解； 方法二：参数方程的使用充分利用了参数的几何意义，要求解题过程中对参数有深刻的理解，并能够灵活的应用到题目中. 方法三：圆幂定理的应用更多的提现了几何的思想，二次曲线系的应用使得计算更为简单. 42．(19-20高二下·山西·期中)设点和分别是椭圆上不同的两点，线段最长为4． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线过点，且，线段的中点为，求直线的斜率的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【分析】(1)根据已知条件，可知，进而可得椭圆的标准方程； (2)根据已知条件，设直线的方程，再与椭圆的标准方程联立，结合韦达定理以及，可得的范围，再根据点差法找出与的关系即可求解. 【详解】(1)因为线段最长为4，所以，即， 所以椭圆的标准方程为． (2)由题意知，直线的斜率存在且不为0，设其方程为， 联立，整理得， 由，可得． 设，，则，， 所以． 因为，所以， 即，故． 设直线的斜率为， 因为，两式相减得， 所以，则， 故直线的斜率的取值范围是． 【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去(或)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． (2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． 43．(20-21高二上·山西八校联考·月考)已知椭圆的离心率为，直线与以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆相切. （1）求椭圆的方程； （2）设是椭圆的上顶点，过点分别作直线交椭圆于两点，设两直线的斜率分别为，且，证明直线过定点，并求出此定点的坐标. 【答案】（1）；（2）证明见解析，定点坐标. 【分析】（1）根据与以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆相切求解出的值，再结合离心率求解出的值，则椭圆的方程可求； （2）先考虑直线的斜率是否存在，当斜率存在时，联立直线与椭圆方程得到坐标的韦达定理形式，将用韦达定理形式表示，由此化简计算得到直线方程中的关系式，从而确定出定点坐标；当斜率不存在时，直接利用坐标分析求解即可. 【详解】（1）由条件可知：与圆相切，所以， 又因为，所以， 所以椭圆的方程为：； （2）由题意可知：，当的斜率存在时，设，， 因为，所以，所以， 又因为，所以，所以， 所以，所以， 所以，又因为不经过，所以， 所以，所以，所以，所以直线过定点； 当直线的斜率不存在时，设，代入可得， 因为，所以，所以，此时也经过点， 综上可知：直线过定点，定点坐标为. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中过定点问题的两种求解方法： （1）若设直线方程为或，则只需要将已知条件通过坐标运算转化为之间的线性关系，再用替换或用替换代入直线方程，则定点坐标可求； （2）若不假设直线的方程，则需要将直线所对应线段的两个端点的坐标表示出来，然后选择合适的直线方程形式表示出直线方程，由此确定出定点坐标. 44．(20-21高二上·山西运城高中联合体·调研)已知椭圆C:的离心率为，点为C上一点. （1）求椭圆C的标准方程； （2）设坐标原点为O，点A､B在C.上，点P满足，且直线OA，OB的斜率之积，证明为定值． 【答案】（1）；（2）证明见详解． 【分析】（1）将点代入方程结合离心率列方程组求解值，即可求方程； （2）当直线的斜率不存在时，设，根据条件直接计算的值；当直线的斜率存在时，设直线方程为，代入椭圆方程得两根关系，利用斜率关系求得，，根据条件计算得结果． 【详解】（1）由题意得 解得 所以椭圆C的标准方程为； （2）设，当直线的斜率不存在时， 因为直线，的斜率之积，所以，即 又在椭圆上，所以，， 因为，所以 ； 当直线的斜率存在时，设直线方程为 联立方程组得消去得 设则 因为直线，的斜率之积，所以，则 又在椭圆上，所以①，② 所以， 又①＋②得 又因为，所以 ； 综上为定值20． 【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意： (1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件； (2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题09 期中解答题压轴突破 (4大题型) ☆4大高频考点概览 考点01 空间向量 考点02 了 直线方程 考点03圆与方程 考点04 圆锥曲线 目目 考点01 空间向量 1,(24-25高二上山西大同·期中)如图，在以P为顶点的圆锥中，点0是圆锥底面圆的圆心， AB是圆锥底面圆的直径，C,D为底面圆周上的两点，且△ACD为等边三角形，E是母线PB的 中点，P0=AB=4 -- B D (I)求平面ADE与平面ACE的夹角的余弦值； (2)设AE与PO交于点M,求直线CM与平面ADE所成角的正弦值 2.(24-25高二山西山西大学附属中学校·月考)己知2是棱长为2的正四面体ABCD,设2的 四个顶点到平面a的距离所构成的集合为M,若M中元素的个数为k,则称α为2的k阶等距平 面，M为2的k阶等距集， (I)若a为2的1阶等距平面且1阶等距集为{a,求a的所有可能值以及相应的a的个数； (2)已知B为的4阶等距平面，且点A与点B,C,D分别位于B的两侧.是否存在B,使2的4 阶等距集为b,2b,3b,4b,其中点A到B的距离为b?若存在，求平面BCD与B夹角的余弦值； 若不存在，说明理由， 3.(24-25高二上·山西实验中学)如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD, PA=AC=2,BC=1,AB=3. 1/12 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 P . (I)若G点为△PBC的重心，求AG: (2)若AD⊥PB,证明：AD/平面PBC; (③)若AD1DC,且二面角A-CP-D的正弦值为9，求AD, 4.(23-24高二上山西孝义·月考)如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABCD是平行 四边形，AB=1,BC=4,∠ABC=60°，C1C1CD,E为AD的中点，且C1E⊥EC D B (1)求证：C1E⊥平面ABCD; (2)若平面BDC1与平面ADD1A1的夹角的余弦值为，求三棱锥B1-BDC1的体积 5,(22-23高二上·山西太原期中)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA1 平面ABCD,点M,N分别为BC,PA的中点，且AB=AC=1,AD=V2 W D M (1)若PA=1,求直线MN与平面PBC所成角的正弦值； (②)若直线AC与平面PBC所成角的正弦值的取值范围为(0，身， 求平面PBC与平面ABCD的夹 角的余弦值的取值范围」 2/12 扇学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 6.(19-20高二上·山西运城期末)如图，在四面体A-BCD中，AD1平面BCD,BC⊥CD AD=2,BD=2V2M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ=3QC B D (1)证明：PQ⊥AD; (2)若二面角C-BM-D的大小为60°，求∠BDC的大小 7.(19-20高二上·山西长治第二中学期中)如图，在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD是圆内接 四边形，CB=CD=CE=1,AB=AD=AE=V3,EC⊥BD (I)求证：平面BED⊥平面ABCD; (②)若点P在平面ABE内运动，且DP/平面BEC,求直线DP与平面ABE所成角的正弦值的最 大值 8.如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，四边形A1C1CA为菱形，∠B1A1A=∠C1A1A=60 ,AC=4,AB=2,侧面ACC1A1⊥侧面ABB1A1,Q在线段AC上移动（不含端点)，P为棱AA1 的中点 C D P A B 3/12 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (I)若Q为线段AC的中点，H为BQ的中点，连接AH并延长交BC于D,求证：ADI平面B1PQ; (2)若二面角B1-PQ-C1的平面角的余弦值为，且A0=AC,求的值 131 9.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD垂直于底面ABCD,PD=DC, 点E是PC的中点. p D C B (I)求证：PAI平面EBD; (I)求二面角E-BD-P的余弦值. 10.如图所示，在多面体A1B1D1DCBA,四边形AA1B1B,ADD1A1,ABCD均为正方形，E为B1 D1的中点，过A1,D,E的平面交CD1于F A D B A B (1)证明： EFI∥B,C (2)(理科做)求二面角E-A1D-B1余弦值， (3)(文科做)若正方形4ABCD边长为2，求多面体D14EFD的体积 11.如图，四棱锥P一ABCD的底面为菱形且∠DAB=60°，PA1底面ABCD,AB=2a,PA= 2W5a,E为PC的中点. 4/12 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (I)求直线DE与平面PAC所成角的大小； (2)求二面角E一ADC的余弦值， 12.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，且PA⊥平面ABCD. E B (1)求证：PC⊥BD; (2)过直线BD且垂直于直线PC的平面交PC于点E,且三棱锥E-BCD的体积取到最大值， ①求此时PA的长度； ②求此时二面角A-DE-B的余弦值的大小 目目 考点02 直线方程 13.(24-25高二上·山西晋中期末)在直角坐标系x0y中，A,B两点的坐标分别为(-3,0)， (3,0),直线MA,MB相交于点M,它们的斜率之积为-三，点M的轨迹为曲线C (1)求C的方程； (2)若斜率为k1且不经过原点0的直线与C交于D,E两点，线段DE的中点为Q,直线0Q的斜 率记为k2,求k1·k2的值； (3)在(2)的条件下，点P为C上一点，且不与C的顶点重合，点P关于x轴的对称点为P',若 直线PD与PE关于直线PP对称，求证：O,Q,P'三点共线 14.Q324商=下山西长治期末己知双曲线C:兰兰=1(a>0,b>0的右顶点4A(1,0到 5/12 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C的一条海近线的距离为9 (1)求C的方程； (2)设过点(1,1)的直线交C于P,Q两点，过P且垂直于x轴的直线与直线AQ交于点R,证明：以 线段PR的中点为圆心且过坐标原点的圆还过其他定点 15.(21,2高二上山西怀仁第一中学期末)已知椭圆c后+若=1(a>b>0)的左、右焦点 分别为F1,F2,点P(2,2在椭圆C上，且满足PF2·F2F=0. (1)求椭圆C的标准方程； (2)设直线y=kx+m与椭圆C交于不同的两点M,N,且0M1ON(0为坐标原点).证明 总存在一个确定的圆与直线1相切，并求该圆的方程. 16.(20-21高二上·山西长治长治学院附属太行中学.期末)在平面直角坐标系x0y中，如图， 已知写+号=1的左、右顶点为A、B,右焦点为，设过点Tm)的直线TA、TB与椭圆分别 交于点M(x1y1)、N(x2y2),其中m>0,y1>0,y2<0. M F B衣 (1)设动点P满足PF2-PB2=4,求点P的轨迹； (2)设x1=2,x2=子求点T的坐标： (3)设t=9,求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）. 17.(19-20高二上山西吕梁孝义期末已知椭圆器+片=1(Q>b>0)的离心率为号，又 点A(1,V2在该椭圆上 (1)求椭圆E的方程； (2)若斜率为V2的直线与椭圆E交于不同的两点B,C,求△ABC的最大面积， 18.(17-18高二上山西太原期中)己知圆C1:x2+0y+2)2=4与圆C2:(x-4)2+y2=4 (1)若直线mx-y+(m-1)=0(m∈R)与圆C1相交于A,B两个不同点，求AB的最小值； (2)直线x=3上是否存在点P,满足经过点P有无数对互相垂直的直线L1和l2,它们分别与圆C1 和圆C2相交，并且直线1被圆C1所截得的弦长等于直线l2被圆C2所截得的弦长？若存在，求 6/12 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 故存在点P(3,-3)满足题 目目 考点03 圆与方程 19.(24-25高二上山西大同期中)已知动点P到直线x=-2的距离比到点F(1,0)的距离大1， 记动点P的轨迹为曲线C (1)求曲线C的方程； (2)过原点0的一条直线与圆E:(x+3)2+y2=r2(r>0)相切，交曲线C于另一点Q,且I0Q =2V3,求圆E的方程； (3)已知直线与曲线C交于M,N两点，若FM·FN=0,求△MFN面积的最小值 20.(2.23高=二上山西平遥中学校期已知椭圆C塔+发=1(a>0,b>0)过点(-3②，(2， 蚂. (1)求椭圆C的标准方程； (②若点P是圆0：x2+y2=上的一点，过点P作圆0的切线交椭圆C于A,B两点，证明以AB 为直径的圆过原点0， 21,(22-23高二上山西太原期中)已知直线过点(1,2)，且被圆0：x2+y2=4截得的弦AB的 长为2W3 (1)求直线的方程： (2)若直线的斜率存在，圆C过A,B两点，且圆心在x+y-1=0上，求圆C的方程 22.已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,且F与圆M:x2+(y+4)2=1上点的距离的最 小值为4 (1)求p: (2)若点P在M上，PA,PB是C的两条切线，A,B是切点，求△PAB面积的最大值， 23.(19-20高二上山西期中)已知直线：(m+2)x+(1-2m)y+4m-2=0与圆C:x2-2x+y2 =0交于M,N两点 (1)求的斜率的取值范围； (2)若0为坐标原点，直线OM与ON的斜率分别为k1,k2,试问k1+k2是否为定值？若是， 求出该定值；若不是，请说明理由 24.(19-20高二上·山西太原期中)己知圆0：x2+y2=4,点P是直线l:x-2y-8=0上的动点， 7/12 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 过点P作圆O的切线PA,PB,切点分别为A,B. (1)当PA=2V3时，求点P的坐标； (2)设AAP0的外接圆为圆M,当点P在直线l上运动时，圆M是否过定点（异于原点O)? 若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由 25.(18-19高二上山西晋中.期末)已知动点M到点A(-2,0)与点B(1,0)的距离之比等于2， 记动点M的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)过点P(4,-4)作曲线C的切线，求切线方程， 26.(18-19高二上山西运城中学、芮城中学·期中)已知圆x2+y2=4,A(1,1)为圆内一点， P,Q为圆上的动点，且∠PAQ=90°，M是PQ的中点. (1)求点M的轨迹方程； (2)过点B(0,1)的直线与点M的轨迹交于C,D两点，求OC.OD的取值范围 27.(17-18高二上·山西运城盐湖区期末)抛物线y2=4x的内接三角形的一个顶点在原 点，三边上的高线都通过抛物线的焦点，求此三角形外接圆的方程 28.(17-18高二上山西陵川第一中学校期中)已知直线：mx-y+m+V2=0与圆C:x2+y2 =4. (1)判断直线与圆C的位置关系； (2)过点P(1②作两条互相垂直的直线l1,l2.若l1与圆C相交于E,F两点，l2与圆C相交于G,H 两点，求EF+|GH的最大值 29,(17-18高二上山西太原期中)已知圆C1:x2+y2=4与圆C2:(x-4)2+(y-2)2=4,点A 在圆C1上，点B在圆C2上. (1)求AB的最小值； (2)直线x=3上是否存在点P,满足经过点P由无数对相互垂直的直线l1和2，它们分别与 圆C1和圆C2相交，并且直线l1被圆C1所截得的弦长等于直线2被圆C2所截得的弦长？若存在， 求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 目目 考点04 圆锥曲线 30.(24-25高二上·山西三晋卓越联盟)己知圆C:(x+1)2+y2=16,点D(1,0),点P是圆C上 任意一点线段DP的垂直平分线与半径CP相交于点Q,当点P在圆C上运动时，点Q的轨迹为 8/12 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 曲线Γ (1)求r的方程； (②)证明：直线是曲线T的切线 31.(2425高二上山西实验中学)设x,yER,向量，j分别为平面直角坐标内x,y轴正方向 上的单位向量，若向量a=(x+V3i+yj,b=(x-3)i+yj,且|+b=4. (1I)求点M(x,y)的轨迹C的方程； (Q)设椭圆E名+学=1，曲线C的切线y=x+m交椭圆E于A、B两点，试证：△0AB的 面积为定值. 32.(24-25高二上山西晋城)几何学伴随着人类文明而产生，对人类文明进步作出了不可磨 灭的贡献在现代数学里，几何学与代数、分析、数论等多个方向关系极为密切，几何的思 想成为了数学最重要的思想之一，几何对物理、化学、生物、工程等各个领域也有着极其重 要的作用.目前，几何学大致包含了欧式几何、射影几何、解析几何等几类不同思路的研究 方法其中，射影几何学中的极点与极线理论对于研究圆锥曲线提供了新的思考方式对于椭 圆器+若=1(Q>b>0),极点P(xo(不是坐标原点)对应的极线为lp:答+罗=1已 知椭圆E:三+茶=1(a>b>0)的长轴长为42，左焦点与抛物线y2=-8x的焦点重合，对 于椭圆E,极点P(-4,0)对应的极线为lp,过点P的直线l与椭圆E交于M,N两点，在极线lp上 任取一点Q,设直线MQ,NQ,PQ的斜率分别为k1,k2,k3(k1,k2,k3均存在) (1)求极线L的方程； (2)求证：k1+k2=2k3 33.(2425高二上山西晋城多校期中)已知双曲线C:等-卡=1(a>0,b>0)的右焦点 为F(4,0),右顶点为A,直线l:x=1与x轴交于点M,且aAM=|AF· (1)求C的方程； (2)点B为l上不同于点M的动点，直线BF交y轴于点R,过B作C的两条切线，分别交y轴于P, Q两点，交x轴于S,T两点. ①证明：R是PQ的中点； ②证明：微-器 34.(23-24高二下山西运城三晋卓越联盟期中)已知A,B分别是双曲线C: a2 b2 9/12 扇学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 =1(a>0,b>0)的左、右顶点，P是C上异于A,B的一点，直线PA,PB的斜率分别为k1, k2,且k1k2=|AB=4 (1)求双曲线C的方程； (2)已知过点(4,0)的直线交C于D,E两点（异于A,B),直线AD与直线BE交于点Q.求证：点Q 在定直线上 35.23-24高二下山西太原尖草坪区第一中学校)已知椭圆c:三+若=1〔Q>b>0过点P x2 (3V2,V2,且它的长轴长是短轴长的3倍，斜率为的直线1与椭圆C交于A,B两点（如图 所示，点P在直线1的上方). ()求椭圆C的方程； (②)试判断直线PA,PB的斜率和是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理 由。 36.(23-24高二上山西大同期中)椭圆层+兰=1(Q>b>0)的左、右焦点分别为P1,P2,左、 右顶点分别为A,B,点P在T上.已知△APF1面积的最大值为号，且△APB与△F1PF2的面积 之比为2：1 (1)求T的方程； (2)不垂直于坐标轴的直线交T于M,N两点，M,N与A不重合，直线AM与AW的斜率之积为- 亚明：过定点 37.(22-23高二上·山西长治上党区第一中学校等名校期中)已知左、右焦点分别为F1,F2的 双曲线C二兰=1(a>0,b>0),其实轴长为8，其中一条海近线的斜率为 (1)求双曲线C的标准方程； (2)若点P为双曲线C右支上除顶点外的任意一点，证明双曲线C在点P处的切线PT平分∠F1P F2. 38.(21-2高二上山西太原外国语学校期中)已知椭圆c塔+发=1(a>b>0)的离心率为 10/12