专题06期中解答压轴题（三大题型）（期中真题汇编 北京专用）高二数学上学期

专题06 期中解答压轴题（三大题型） 3大高频考点概览 考点01 集合新定义 考点02 圆 考点03 圆锥曲线-椭圆 地 城 考点01 集合新定义 1．(24-25高二上·北京八一学校·期中)实数集R上的函数，不妨称为“集合的标记函数”.对于两个集合A和，定义集合.当集合且集合时， (1)求与的值； (2)求集合（用列举法表示）； (3)用表示有限集合所包含元素的个数.已知集合是正整数集的有限子集，求的最小值，并说明理由. 【答案】(1)，； (2) (3)6，详见解析. 【分析】（1）利用题给定义即可求得与的值； （2）利用题给定义按元素x与集合的关系分类讨论即可求得集合； （3）利用题给定义结合元素x与集合的关系分类讨论，即可求得的最小值. 【详解】（1）由题给定义可得，，； （2）由，可得， ， 则时，；时，； 或时，， 则时，x可能为， 则. （3）由题意得，对于集合, ①若，则， ②若，则， 则若最小，必有属于集合C， 是否属于集合C不影响的值， 集合C不能含有之外的元素， 所以当集合C是集合的子集与集合的并集时， 取得最小值6. 2．(24-25高二上·北京陈经纶中学·期中)已知n是正整数，集合.若集合且P中元素个数为k，则称P是的k元子集.若P是的一个k元子集，且对任意：，都存在P中若干个不同元素，，，，满足，则称P是的k元基子集. (1)判断是否是的4元基子集，说明理由； (2)设P是的7元子集，判断P是否一定是的7元基子集，说明理由； (3)若的任意k元子集均是k元基子集，求k的最小值. 【答案】(1)是，理由见解析， (2)不是，理由见解析， (3)15 【分析】（1）根据4元基子集的定义即可验证求解， （2）根据4元基子集的定义举反例即可说明， （3）先用反证法证明不符要求，即可得，设，由于0可以表示为中若干个元素之和, 根据对称性只证明整数，均可表示为中若干个元素之和,，即可根据①②两种情况求解即可. 【详解】（1）由于， 因为且， 所以是的4元基子集 （2）P不一定是的7元基子集，理由如下： ， 取，则，故4不能写成中若干个元素之和， 所以不是的7元基子集 （3）当时，考虑的元子集， 当时，中的元素均不是正数， 此时中的正整数均不能写成中若干个元素之和， 当时，中所有的正元素之和为， 故不能写成中若干个元素之和, 所以， 设，则, 任取的15元子集，因为，所以或存在使得, 所以0可以表示为中若干个元素之和, 由对称性，只需要证明整数，均可表示为中若干个元素之和, 设， 因为中至多包含11个非正数，所以， 下面证明这11个数中至少有个数可表示为中若干个不同元素之和, ①若中存在不小于的数，设其中最小的一个为， 则，所以中至少有个数可表示为中若干个不同元素之和, ②若，设在所有可表示中若干个元素之和的数中，小于的最大数为， 则，所以，解得， 设是在中的补集， 则对于任意的，均有， 即中至少有个数可表示为中若干个不同元素之和, 设,， 因为的元素个数，中的元素个数，又, 所以，即不为空集，， 设，则可表示为中若干个不同元素之和, 所以可表示为中若干个不同元素之和, 综上可得：最小值为15 3．(24-25高二上·北京师范大学附属中学·期中)由个实数组成的有序实数组称维向量.设，称为的转置，记作.将个维向量的转置从左至右顺次排列构成数阵，记.例如，，则.对任意维向量和数阵，定义如下运算： ①，特别地，若，则称与正交;若，则称为单位向量. ②. ③对任意且，其中. (1)设，直接写出和; (2)已知3维向量均为单位向量，且两两正交.设，若存在正整数，使得，求a，b，c，d的值及的最小值； (3)已知4维向量均为单位向量且两两正交，其中.设，若对任意4维向量，都存在正整数使得且的最小值为12，给出一组满足上述条件的，并说明理由. 【答案】(1)； (2)的最小值为6 (3)，理由见解析 【分析】（1）利用新定义可求解； （2）利用新定义结合已知可得，，计算可得，可求的最小值； （3）利用新定义，以及的矩阵的运算性质，结合已知可写出. 【详解】（1）； （2）因为两两正交，所以， 又均为单位向量，所以， 因为，所以， 所以， 所以， ， 所以的最小值是6. 综上，的最小值为6. （3）设是任意2维向量，则有如下性质： ①当时，对于任意正整数，都有. ②当时，对于任意正整数，都有. ③设点是平面直角坐标系xOy中的一点，将点绕原点逆时针旋转得到点，则点分别对应向量与. 所以， 设，则可以设为， 则可化简为，可以取， 所以， 则有， 记，即. 根据上述性质，不妨设， 取， 则， 根据性质①和性质②，， 根据性质②和性质③，，其中. 设，可得为定值，记为， 设，则， 因为存在正整数使得且的最小值为12， 所以且. 可取，即， 所以. 4．(24-25高二上·北京清华大学附属中学朝阳学校·期中)已知集合，，若中元素的个数为，且存在，，使得，则称是的子集. (1)若，写出的所有子集； (2)若为的子集，且对任意的，，存在，使得，求的值； (3)若，且的任意一个元素个数为的子集都是的子集，求的最小值. 【答案】(1)； (2)2； (3)13. 【分析】（1）根据子集的定义， 即可容易求得； （2）取，求得，再利用反证法假设，推得与矛盾即可； （3）令，讨论时不满足题意，再验证时的情况满足题意，即可求得的最小值. 【详解】（1）当时，，的所有子集为. （2）当时，取，因为，所以是的子集，此时； 若，设且， 根据题意，，其中； 因为，所以，所以； 又因为，所以； 因为，所以， 所以； 因为，所以， 所以，与矛盾. 综上所述，. （3）设 ， 设的元素个数为， 若不是的子集， 则最多能包含中的一个元素以及中的元素； 令，易验证不是的子集， 当时，的任意一个元素个数为的子集都不是的子集， 所以，若的任意一个元素个数为的子集都是的子集，则； 当时，存在，使得中必有两个元素属于， 同时中两个元素之和为的某个正整数指数幂， 所以是的子集； 所以，的最小值为. 【点睛】关键点点睛：本题考查集合新定义问题，处理问题的关键是充分把握题中对子集的定义，同时要熟练的使用证明方法，属综合困难题. 5．(24-25高二上·北京第一○一中学·期中)已知集合（，），若与满足，且（），则称集合可分，称为的一个分法. (1)已知是的一个分法，试写出，，，，，的值； (2)若集合可分，证明：集合的分法一定有偶数个； (3)判断，是否可分.若可分，写出共有几种分法，并推出所有的分法；若不可分，说明理由. 【答案】(1) (2)证明见解析； (3)答案见解析； 【分析】（1）由题可得与的值，后由题可得的可能值，讨论后可得答案； （2）证明集合的任意一种分法，与另一种分法相互对应即可； （3）由题可得表达式，利用为整数，可完成判断.后利用列举法结合（2）中结论可推出所有分法. 【详解】（1）由题及集合互异性，可知互不相同. 则，. 因，则，又1，2，4，则或5. 若，与题意不符，则. 此时，1到8 中还剩下3与7，则. 综上，； （2）证明：若可分，则存在与满足 ，且（）. 下面证明：若 为的一个分法， 则 也为的一个分法，且与不同. 因， 则. 又因互不相同，则互不相同. 结合，则为的一个分法. 又因为奇数，则. 若，因， 则要使此时的 存在，则为奇数，当为偶数时,. 则为的一个分法，且与不同. 则对的任意一种分法，存在一种不同分法与其相互对应，则集合的分法一定有偶数个； （3）由题，， 又（），则. 则.因为正整数，则能被4整除. 当时，能被4整除，则可分；当时，不能被4整除，则不可分. 设点，其中，则有5种可能性. 又由（2）分析可知，对于的一种可能性，也为一种可能性， 则要求的所有分法，只需求出为的情况. I若，则有3种可能性， i当，则有2种可能性， 若，则，不存在； 若，则，； ii当，则有两种可能性， 若，则，不存在； 若，则，不存在； iii当，则有2种可能性， 若，则，； 若，则，不存在； II若，则有4种可能性， i当，则有2种可能性， 若，则，不存在； 若，则，； ii当，则有2种可能性， 若，则不存在； 若，则，不存在； iii当，则有3种可能性， 若，则，不存在； 若，则或，不存在； 若，则，不存在； iv当，则有2种可能性， 若，则，； 若，则，不存在； III若，则有4种可能性， 此时，，又当为时， 为，则只需要讨论两种可能性. i当，则有3种可能性， 若，则不存在； 若，则，不存在； 若，则或，不存在； ii当，则有3种可能性， 若，则，； 若，则不存在； 若，则不存在. 综上可知结合（2）中分析可知： 当；； ；； ；； ；； ；时， 为的一种分法，共10种分法. 6．(24-25高二上·北京延庆区·期中)给定正整数，设集合.对于集合中的任意元素和，记.设，且集合，对于中任意元素，若则称具有性质. (1)判断集合是否具有性质，集合是否具有性质；（直接写出答案，结论不需要证明） (2)判断是否存在具有性质的集合，并加以证明； (3)若集合具有性质，证明：. 【答案】(1)集合具有性质，集合B不具有性质 (2)不存在具有性质的集合，证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据定义，直接判断； （2）首先由题设，再分的不同值，结合性质，即可判断选项； （3）记，则，利用反证法，逐步推理证明. 【详解】（1）集合具有性质， 集合B不具有性质. （2）当时，集合A中的元素个数为4.由题设. 假设集合A具有性质，则 ①当时，，矛盾. ②当时，，不具有性质，矛盾. ③当时，. 因为和至多一个在A中；和至多一个在A中；和至多一个在A中，故集合A中的元素个数小于4，矛盾. ④当时，，不具有性质，矛盾. ⑤当时，，矛盾. 综上，不存在具有性质的集合. （3）记，则. 若，则，矛盾.若，则，矛盾. 故. 假设存在使得，不妨设，即. 当时，有或成立. 所以中分量为1的个数至多有. 当时，不妨设. 因为，所以的各分量有个1，不妨设. 由时，可知，中至多有1个1， 即的前个分量中，至多含有个1. 又，则的前个分量中，含有个1，矛盾. 所以.因为， 所以.所以. 7．(24-25高二上·北京清华大学附属中学·期中)设为一个（即行列）的数表.对任意，记第行第列元素为且.若存在，，使得，则称有序数组为一个同角矩形数组. (1)直接分别写出下列两个数表中，同角矩形数组的个数； ①： 1 1 1 1 -1 1 1 1 1 ②： 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 (2)若数表中没有同角矩形数组，求的最大值； (3)若，求出中同角矩形数组个数的最小值，并证明同角矩形数组的个数达到最小值时，的每行每列都恰有3个1和3个. 【答案】(1)：5；：4 (2)4 (3)6；证明见解析 【分析】（1）由同角矩形数组定义按行列顺序寻找可得； （2）根据抽屉原理，从首行前3列入手，逐行排数，找寻规律.先用反证法求证，再找到没有同角矩形数组的数表即可得； （3）举出一个数表，含有6个同角矩形数组个数，再证明同角矩形数组个数可得.从满足题意的数表中分析规律，逐行（列）分析同角矩形数组的个数满足的条件，再累计计数，利用不等式求最值可得. 【详解】（1）中含5个同角矩形数组，分别为； 中含4个同角矩形数组，分别为. （2）①首先证明：若数表中没有同角矩形数组，则. 下面用反证法证明. 证明：假设，若是一个数表， 由题意，对任意，记第行第列元素为且. 则根据抽屉原理可知，第一行中的5个元素中必然至少有3个元素相同. 不妨设前3列3个数都为1， 若数表中没有同角矩形数组， 则第2行到第5行，任何一行前3列至多1个1， 否则某一行的两个“”必与第一行中的两个“”对应到一个同角矩形数组. 即任何一行前3列只能是这3种情况之一. 故由抽屉原理，第2行到第5行这4行中必然有两行的前3列元素相同， 从而这两行中的“”对应到一个同角矩形数组，这与数表中没有同角矩形数组矛盾. 故假设错误，. 由上分析，在数表中总能找到同角矩形数组， 当时，自然也都总能找到同角矩形数组，故. ②给出下面一个数表，不含同角矩形数组. 综上所述，若数表中没有同角矩形数组，则的最大值为4. （3）①给出下面一个数表，在数表中满足每行每列有3个“”和3个“”， 它所含同角矩形数组的个数为6 这6个同角矩形数组分别为 . 规律分析：观察上面的数表，不妨取第二行入手寻找数表中数字与同角矩形之间的规律. 可以发现第二行的3个“”，分别在第列中， 如果存在一个同角矩形数组，选定该数组的一边是位于第二行的“”， 则该同角矩形数组相对的另一边中的“”必然是在第列中， 而第列中共有9个“”，除去第二行的3个“”，剩下的6个“”只能分布在其他行中， 由抽屉原理，必然有2个“”分在同一行中，它们与第二行的两个“”对应到一个同角矩形数组. 将分析推广到一般，下面分析计算任意一行对应的同角矩形数组的个数. ②证明任意数表的同角矩形数组的个数不小于6. 证明：在数表中， 设集合为第行中“”所在列号的集合，为第行中“”所在列号的集合， 则. 记集合中元素的个数为，集合中元素的个数为，. 设第列中有个“”，个“”，则，. 对6行中任取一行，设为第行（）， 由以上规律分析可知， 第行中“”所对应的同角矩形数组个数至少为， 第行中“”所对应的同角矩形数组个数至少为， 对行逐个计算并求和，注意到每个同角矩形数组有两行，故除以2以消除重复的计算. 故可得同角矩形数组个数 （） 其中，， 又的计算求和中每个被计算次，同理中每个被计算次. 又， 所以， 当且仅当等号成立，. 将以上化简式子，代回（）式分析可得， . 故任意数表的同角矩形数组的个数不小于6，得证. 综上所述，同角矩形数组的个数的最小值为6. 由不等式成立条件，每行中必恰有3个“”，3个“”. 由行列可互换的对称性，则每列中也恰有3个“”，3个“”. 地 城 考点02 圆 1．(24-25高二上·北京通州区·期中)在平面直角坐标系中，已知圆过点且圆心在轴上，与直线交于不同的两点、，且. (1)求圆的方程； (2)设圆与轴交于，两点，点为直线上的动点，直线，与圆的另一个交点分别为，，且，在直线两侧，求证：直线过定点，并求出的值. 【答案】(1) (2)证明见解析， 【分析】（1）设出圆心坐标，由可得，则可计算出，即可得圆心坐标，借助圆心坐标与点坐标即可得半径，即可得圆的方程； （2）求出，两点坐标后，设出点坐标，即可表示出，则，从而可设出直线、方程，从而联立曲线，得到，两点坐标，利用计算即可得. 【详解】（1）因为圆心在轴上，故可设， 由，故点、点都在线段的垂直平分线上，所以， 则有，则，解得， 则，故圆的方程为：； （2）由圆的方程为：，令，则，则可设，， 设，，，则，， 设，则，直线的方程为：， 代入圆的方程消去得：，， ，， 直线的方程为：， 代入圆的方程消去得：，， 则，， 设直线过定点，则直线斜率为：， 即有，整理得， 所以，故直线过定点. 2．(24-25高二上·北京理工大学附属中学·期中)设二次函数的图象与两坐标轴的交点分别记为，，，曲线是经过这三点的圆． (1)求圆的方程； (2)过作直线与圆相交于，两点． （i）是否是定值？如果是，请求出这个定值； （ii）设，求的最大值． 【答案】(1) (2)（i）是定值，定值为2；（ii） 【分析】（1）分别求出，，的坐标，假设圆的一般方程，代入求解即可； （2）（i）当直线的斜率不存在时，求出的坐标，进而可求的值，当直线斜率存在时，假设直线方程，与圆联立得到韦达定理，运用两点间的距离公式分别求出并化简，然后计算即可；（ii）同（i）分直线斜率存在和直线斜率不存在两种情况讨论，当直线斜率存在时，易求得，当直线斜率不存在时，运用两点间距离公式及韦达定理求出关于的表达式，结合函数性质即可求最大值. 【详解】（1）设二次函数与x轴分别交于，与y轴交于点，令，则， 即，令，则，则， 设圆C的方程为， 将点M、N、G的坐标代入可得，解得， 则，化为标准式为. （2）是定值. （i）当直线的斜率不存在时，则方程为， 联立，可得或， 即，则，，则； 当直线的斜率存在时，设方程为，设， 联立直线与圆的方程，消去y可得， 由韦达定理可得， 且， ， 则 ； 综上所述，是定值. （ii）由（i）可知，当直线的斜率不存在时，， 且，则，，则； 当直线的斜率存在时，设方程为， 则 令，则 令 当，即时，； 当，即时，； 当，即，时， 取最大值.所以. 3．(24-25高二上·北京丰台区·期中)已知圆M的圆心在y轴上，半径为2，且经过点. (1)求圆M的标准方程； (2)设点，过点D作直线，交圆M于P，Q两点（P，Q不在y轴上），过点D作与直线垂直的直线，交圆M于E，F两点，记四边形EPFQ的面积为S，求S的最大值. 【答案】(1) (2)7 【分析】（1）设圆心坐标为，根据半径列式求出b，即可求得答案； （2）讨论直线斜率是否存在，存在时，结合点到直线的距离公式、圆的弦长以及直线的垂直关系求出四边形EPFQ的面积的表达式，利用基本不等式即可求得答案. 【详解】（1）因为圆M的圆心在y轴上，可设圆心坐标为， 又因为半径为2，且经过点， 所以，解得：， 所以圆M的标准方程为：. （2）直线的斜率存在，设直线的方程，即， 则圆心到直线的距离， 所以， 若，则直线斜率不存在， 则，则， 若，则直线得方程为，即， 则圆心到直线的距离，所以，        则 , 当且仅当，即时取等号， 综上所述，因为， 所以S的最大值为7. 4．(24-25高二上·北京大兴区·期中)已知圆：及其上一点． (1)若圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，求圆的标准方程； (2)设过点的直线与圆相交的另一交点为，且为直角三角形，求的方程； (3)设动点，若圆上存在两点，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）求得圆的圆心和半径，从而求得圆的标准方程. （2）利用圆心到直线的距离列方程，求得直线的斜率，从而求得直线的方程. （3）将原问题转化为即可求解. 【详解】（1）圆的方程可化为， 所以圆心为，半径为. 由于圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上， 结合图象可知圆的圆心为，半径为， 所以圆的标准方程为. （2）由于，所以三角形是等腰直角三角形，且， 所以到直线的距离为， 所以直线的斜率存在，设直线的方程为， 则，两边平方并化简得， 解得或， 所以直线的方程为或， 即或. （3），所以， 因为，为圆上的两点，所以， 由，得，即，， ， 解得，即实数的取值范围为． 5．(24-25高二上·北京房山区·调研)已知点和圆C：. (1)求圆C的圆心坐标及半径的大小； (2)求过点P且与圆C相切的直线方程； (3)若直线：与圆C交于O，A两点，直线：与圆C交于O，两点,且，求证：直线AB恒过定点. 【答案】(1)圆心为，半径为 (2)， (3)证明见解析 【分析】（1）将圆的一般式化为标准式即可； （2）利用求圆切线的方式求解即可； （3）设的直线方程为，，然后联立方程组求解，根据找到参数的值或关系求定点即可. 【详解】（1）由题可知， 所以圆的圆心为，半径为. （2）当过点直线斜率不存在时，为，显然此时与圆相切； 当过点直线斜率存在时，设为，若与圆相切， 则有 所以过点P且与圆C相切的直线方程为，. （3）由题可知， 显然可以竖直，但是不能水平，故设的直线方程为， 联立 得 所以有 所以 由题可知， 所以有 所以此时 此时的直线方程为 故过定点. 地 城 考点03 圆锥曲线-椭圆 1．(24-25高二上·北京第八中学·期中)已知椭圆经过点，离心率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)设椭圆的左、右两个顶点分别为，为直线上的动点，且不在轴上，直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为，为椭圆的左焦点，求证：的周长为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）、利用已知条件列出方程组，求解，从而得到椭圆得标准方程； （2）、设出直线、的方程，与椭圆方程联立，求出坐标，计算，求出直线的方程，分析出故直线经过定点，从而求出的周长为定值． 【详解】（1），， 椭圆经过点，， ，，椭圆C的标准方程为． （2）解法一：证明：由题意可知，，设， 直线的方程为，直线的方程为， 联立方程组可得， 可得，所以， 则，故． 由可得，可得，所以， 则，故， 所以， 故直线的方程为， 即，， 故直线过定点，所以的周长为定值8． 当时，或，可知是椭圆的通径， 经过焦点，此时的周长为定值， 综上可得，的周长为定值8． 解法二：当直线斜率存在时，设其方程为：， 由． 设，则有， 直线，令，得， 直线，令，得，所以， 由， 所以， 即， 化简得或． 时直线过点（舍），所以， 即直线的方程为，过定点． 当直线的斜率不存在时，设其方程为：， 则有，代入， 直线也过定点， 综上所述，直线始终经过椭圆的右焦点，故的周长为定值． 解法三：当M位于椭圆的上顶点，则此时，直线与相交于点， 则直线的方程为， 联立椭圆方程可得：，则可知， 易知直线经过椭圆的右焦点，此时的周长为定值， 猜想，若的周长为定值，则直线经过椭圆的右焦点． 证明如下： 依题意直线的斜率不为0，设直线的方程为， 代入椭圆方程得：， 设，则． 直线，令，得， 直线，令，得， 因为 ， 所以直线的交点在直线上，即过直线上的点T所作的两条直线和分别与椭圆相交所得的两点M、N形成的直线始终经过椭圆的右焦点， 故的周长为定值． 2．(24-25高二上·北京西城区北京师范大学附属实验中学·期中)用一个矩形铁皮制作成一个直角圆形弯管（如图1）：将该矩形铁皮围成一个圆柱体（如图2），再用一个与圆柱底面所成的平面截圆柱，将圆柱截成两段，再将这两段重新拼接就可以得到直角圆形弯管．现使用长为，宽为的矩形铁皮制作一个直角圆形弯管，当得到的直角圆形弯管的体积最大时（不计拼接损耗部分），解答下列问题． (1)求该直角圆形弯管的体积； (2)已知在制造直角圆形弯管时截得的截口是一个椭圆，求该椭圆的离心率； (3)如图3，若将圆柱被截开的一段的侧面沿着圆柱的一条母线剪开，并展成平面图形（如图4），证明：该截口展开形成的图形恰好是某正弦型函数的部分图象，并指出该正弦型函数的最小正周期与振幅． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析，最小正周期为，振幅为 【分析】（1）易知直角圆形弯管的体积即为切割前圆管体积，且当矩形的长或宽作为圆柱的高时，体积最大，分别求两种情况的体积； （2）根据圆柱截面的性质可得，即可得离心率； （3）以椭圆的短轴所在直线在底面的投影为轴建立平面直角坐标系，设对于底面圆上一点，则与所连接的弧长为， 假设短轴对应的高度为，可得点对应到椭圆上的点的高度，即可得截口展开形成的图形的函数，进而可得最小正周期与振幅. 【详解】（1）易知直角圆形弯管的体积即为切割前圆管体积， 且当矩形的长或宽作为圆柱的高时，体积最大， 当矩形的长作为圆柱的高时， 圆柱体的底面圆周长为，则底面半径为，高为，体积为； 当矩形的宽作为圆柱的高时， 圆柱体的底面圆周长为，则底面半径为，高为，体积为； 所以体积为； （2）设该椭圆为， 因此，即， 所以； （3）以椭圆的短轴所在直线在底面的投影为轴建立平面直角坐标系， 设对于底面圆上一点，则与所连接的弧长为， 假设短轴对应的高度为，则点对应到椭圆上的点的高度为， 所以，截口展开形成的图形的函数解析式为， 最小正周期为，振幅为. 3．(24-25高二上·北京铁路第二中学·期中)已知和是椭圆，上两点，是坐标原点. (1)求椭圆的离心率； (2)若过点的直线交于另一点，且的面积为，求直线的方程； (3)过中点的动直线与椭圆有两个交点，，试判断在轴上是否存在点使得.若存在，求出点纵坐标的取值范围；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）将点代入椭圆方程，然后解方程得到椭圆方程，最后求离心率即可； （2）根据坐标得到直线的方程，然后利用点到直线的距离和的面积列方程得到 ，最后分和两种情况求解即可； （3）设直线的方程，与椭圆方程联立，然后利用韦达定理得到， 最后根据恒成立列不等式求解即可. 【详解】（1） 将点和代入椭圆方程可得，解得， 所以椭圆的方程为， 所以离心率. （2）由题意得， ， 所以直线的方程为，即， 设点，则点到直线的距离， 所以，整理得， 当时，联立，无解，所以不成立； 当时，联立，解得或， 即点或， 当时，，所以直线的方程为，即， 当时，，所以直线的方程为，即， 综上可得直线的方程为或. （3）若过中点的动直线的斜率存在，则可设该直线的方程为， 设，，， 联立得， ，， ，， 所以 ， 因为恒成立，所以， 解得； 若过点的动直线的斜率不存在，则，， 此时需， 综上可得，，即点纵坐标的取值范围为. 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 专题06期中解答压轴题( 三大题型) ☆3大高频考点概览 考点01集合新定义 考点02圆 考点3圆锥曲线-椭圆 考点01 集合新定义 1425商二上北家人一学校明实数象R上的函数。x=品，经好不纺稀为“集合M的标记质 数”，对于两个集合A和B,定义集合A⊕B=x∈RfAx+fBx=1儿当集合A=1,3,4,7,9且集合 B=2,3,5,7,8时， (1)求f41与fB1的值： (2)求集合A⊕B(用列举法表示)： (3)用M表示有限集合M所包含元素的个数.已知集合C是正整数集的有限子集，求C⊕A+C⊕B的最 小值，并说明理由。 2.(24-25高二上·北京陈经纶中学期中)已知n是正整数，集合Mn={x∈ZV-n≤x≤n}.若集合PCM,且 P中元素个数为k,则称P是Mn的k元子集若P是Mn的一个k元子集，且对任意：X∈M,都存在P中 若千个不同元素a1,Q2,…,a11≤l≤k,满足x=01+a2+…+a1,则称P是Mn的k元基子集. (1)判断P={-3,-1,1,3}是否是M3的4元基子集，说明理由： (2)设P是M4的7元子集，判断P是否一定是M4的7元基子集，说明理由： (3)若M10的任意k元子集均是k元基子集，求k的最小值 3.(24-25高二上·北京师范大学附属中学·期中)由个实数组成的有序实数组 称维向量.设 a,a2,...,an 1/6 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 a a=a1,02,,a称，为a的转置，记作。将n个n维向量61,02，，6的转置6,6,6从左至右顺 次排列构成n×n数阵C,记C=6,6,6例如，61=(1,2,6=(3,4)，则C=) 对任意n维向量 Q=a,a2,a,B=b,b2,b和数阵C=6,d,,d定义如下运算 ①a⑧B=a1b1+a2b2+..+anbn,特别地，若a⑧BT=0,则称c与B正交；若a⑧a=1,则称c为单位向 量 ②a⑧C=a⑧6，a⑧65，，a⑧6 ③对任意m∈N且m≥2，a⑧Cm=a⑧Cm-1⑧C,其中C=C. 0=10,d-是.马6-要，竖努.c=8,8L直接号a8c®c 。1V3 2已知3维岗61,0.0,6，a),)6,=b,cd(c<0均为单位向量，且两两正交毯 a=2,10,C=d,6,6若存在正整数m使得。®C=a求a,b,cd的值及m的最小值： (3)已知4维向量61,62,03,6，均为单位向量且两两正交，其中62=(0,1,0,0)设C=6,65,65,6,若对任 意4维向量a,都存在正整数m使得a⑧Cm=α且m的最小值为12，给出一组满足上述条件的61,63，δ4， 并说明理由. 4.(24-25高二上·北京清华大学附属中学朝阳学校·期中己知集合A=1,2,3,…,nn∈N,n≥3，WCA, 若W中元素的个数为mm≥2，且存在u,v∈Wu≠v,使得u+v=2k∈N,则称W是A的Pm子集. (1)若n=4,写出A的所有P3子集： (2)若W为A的Pm子集，且对任意的s,t∈Ws≠t,存在k∈N,使得s+t=2,求m的值； (3)若n=20,且A的任意一个元素个数为m的子集都是A的Pm子集，求m的最小值. 2/6 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 5.(24-25高二上·北京第一O一中学期中)已知集合Tn=a∈N*a≤2nl(n∈N,n≥4)，若 a=x1,x2,…,xn与B=y1,y2,…,yn满足x1,X2,…,XnUy1,y2,,yn=Tn,且Xky=k( k=1,2,·,n),则称集合Tn可分，称a,B为Tn的一个分法， (1)已知x,6,y,Z,1,u,V,w是T4的一个分法，试写出x,y,z,u,V,w的值； (2)若集合Tn可分，证明：集合Tn的分法一定有偶数个： (3)判断T5,T6是否可分若可分，写出共有几种分法，并推出所有的分法；若不可分，说明理由. 6.(24-25高二上·北京延庆区·期中)给定正整数n≥2，设集合 M=aa=t1,t2,…,tn,tk∈0,1，k=1,2,…,n.对于集合M中的任意元素B=x1X2,…,xn和 y=y1,y2,…,yn,记B·y=X1y1+x2y2+…+xnyn.设ACM,且集合 A=ala=t1,2,,t,i=1,2,n,对于A中任意元素a,a,若，a=P,ij, 则称A具有性质 1,i≠j, Tn,pl. (1)判断集合A=1,1,0,1,0,1,0,1,1是否具有性质T3,2,集合 B=1,1,0,0,1,0,1,0,0,1,1,0,1,0,0,1是否具有性质T4,2；(直接写出答案，结论不需要证明) (2)判断是否存在具有性质T4,p的集合A,并加以证明： (3)若集合A具有性质Tn,p,证明：t1+t2++tn=pj=1,2,…,n. 7.(24-25高二上北京清华大学附属中学·期中)设A为一个n×n(即n行n列)的数表.对任意1≤i,j≤n,记 第i行第j列元素为a,且a,∈-1,1.若存在1≤i1<i2≤n,1≤j<j2≤n,使得ai,j=a,=a,。=ai'则 称有序数组i1,i2,j1,j2为一个同角矩形数组， (1)直接分别写出下列两个数表中，同角矩形数组的个数： ①A1: 3/6 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1 11 ②A2: -1 -11 -1 1 (2)若数表A中没有同角矩形数组，求n的最大值： (3)若n=6,求出A中同角矩形数组个数的最小值，并证明同角矩形数组的个数达到最小值时，A的每行每 列都恰有3个1和3个-1. -1 -1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 -1 目目 考点02 圆 1.(24-25高二上·北京通州区·期中)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C过点Q1,-V3且圆心C在x轴上， 与直线：y= x+1交于不同的两点M、N,且QN=QM. 3 (1)求圆C的方程： (2)设圆C与y轴交于A,B两点，点P为直线y=4上的动点，直线PA,PB与圆的另一个交点分别为R,S, 4/6 函学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 且R,S在直线AB两侧，求证：直线RS过定点H(O,t),并求出t的值. 2.(24-25高二上·北京理工大学附属中学·期中)设二次函数y=x2-3的图象与两坐标轴的交点分别记为M, N,G,曲线C是经过这三点的圆： (1)求圆C的方程； (2)过P(-1,0)作直线1与圆C相交于A,B两点 (i)iPAV.VPBV是否是定值？如果是，请求出这个定值； (i)设Q(0,-2),求就QA+元QB2的最大值. 3.(24-25高二上·北京丰台区·期中)已知圆M的圆心在y轴上，半径为2，且经过点A(-2,2) (1)求圆M的标准方程： (2)设点D(0,1),过点D作直线l1,交圆M于P,Q两点(P,Q不在y轴上)，过点D作与直线l垂直的 直线l2,交圆M于E,F两点，记四边形EPFQ的面积为S,求S的最大值， 4.(24-25高二上北京大兴区·期中)已知圆M:x2+y2-12x-14y+60=0及其上一点A(2,4): (1)若圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程： (2)设过点A的直线I与圆M相交的另一交点为B,且△ABM为直角三角形，求I的方程： (3)设动点T(t,0),若圆M上存在P,Q两点，使得+卫=TO,求实数t的取值范围. 5.24-25高二上·北京房山区·调研)已知点P0,1和圆C:x2+y2-6x=0, (1)求圆C的圆心坐标及半径的大小： (2)求过点P且与圆C相切的直线方程； (3)若直线l1:y=k1x与圆C交于O,A两点，直线2：y=k2X与圆C交于O,B两点，且2k1k2+1=0,求 证：直线AB恒过定点 考点03 圆锥曲线-椭圆 Le425备=上家第人中学期已有(：子长-1o>b0经过点儿 3 离心率为e=2 ()求椭圆C的标准方程； (2)设椭圆C的左、右两个顶点分别为A1,A2,T为直线：x=4上的动点，且T不在x轴上，直线TA,与C的 另一个交点为M,直线TA2与C的另一个交点为N,F为椭圆C的左焦点，求证：△FMN的周长为定值. 2.(24-25高二上·北京西城区北京师范大学附属实验中学·期中)用一个矩形铁皮制作成一个直角圆形弯管 (如图1)：将该矩形铁皮围成一个圆柱体（如图2），再用一个与圆柱底面所成45°的平面截圆柱，将圆 柱截成两段，再将这两段重新拼接就可以得到直角圆形弯管.现使用长为2T,宽为π的矩形铁皮制作一个 5/6 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 直角圆形弯管，当得到的直角圆形弯管的体积最大时（不计拼接损耗部分），解答下列问题. 图1 图2 图3 图4 (1)求该直角圆形弯管的体积： (2)已知在制造直角圆形弯管时截得的截口是一个椭圆，求该椭圆的离心率： (3)如图3，若将圆柱被截开的一段的侧面沿着圆柱的一条母线剪开，并展成平面图形（如图4)，证明： 该截口展开形成的图形恰好是某正弦型函数的部分图象，并指出该正弦型函数的最小正周期与振幅. 3 3.(24-25高二上·北京铁路第二中学期中)已知A0,3和P3, 2是椭圆下：x,+Y=1,a之b>0上两点， O是坐标原点. (1)求椭圆Γ的离心率： (2)若过点P的直线交T于另一点B,且△ABP的面积为9，求直线l的方程： (3)过OA中点C的动直线与椭圆T有两个交点M,N,试判断在y轴上是否存在点T使得TM·TN≤0.若存 在，求出T点纵坐标的取值范围；若不存在，说明理由. 6/6