2.4.1 圆的标准方程（导学案）数学人教A版2019选择性必修第一册

2.4.1 圆的标准方程 导学案 （1）探索并掌握圆的标准方程. （2）会根据不同的已知条件求圆的标准方程. （3）能圆的标准方程写出圆的半径和圆心坐标. （4）能准确判断点与圆的位置关系. （5）加深对数形结合思想的理解和加强待定系数法的运用． 第一环节 情境引入 情境引入 月亮,是中国人心目中的宇宙精灵,古代人们在生活中崇拜、敬畏月亮,在文学作品中也大量描写. 圆在生活中无处不在，之前我们学习了直线有自己的方程，那么圆会有自己的方程吗? 回顾：前面我们学习直线方程时，确定一条直线的几何要素是什么？ 问题：如果我们要确定一个圆又需要哪些几何要素呢？ 尝试：如图，在平面直角坐标系中，的圆心的坐标为，半径为，为圆上任意一点，根据圆的定义，得出； 要求：利用两点间的距离公式，表示， 思考：能否将以上过程进行一般化处理？如：令圆心A(a,b)，半径为r 一般化：如图，在平面直角坐标系中，的圆心的坐标为，半径为，为圆上任意一点，根据圆的定义，得出； 思考：是否在圆上的点都满足这个方程？ 思考：满足这个方程的坐标的点是否都在圆上？ 定义：以点C(a,b)为圆心，以r为半径的圆的标准方程为： _________________________________ 特别地：1、圆心在坐标原点，半径为r的圆的标准方程：____________________ 2、圆心在坐标原点，半径为1的圆的标准方程：_____________________（_______） 牛刀小试 练1：圆的圆心是，半径是，对吗？请说明理由． 练2：点以原点为圆心，2为半径的圆的标准方程是______. 练3：圆C：的圆心坐标和半径是(　 　) A．(2,1)，3 B．(2,－1), C．(－2,1) ,3 D．(－2,－1), 练4：圆心为且过原点的圆的方程是（     ） A． B． C． D． 例1求圆心为，半径为5的圆的标准方程，并判断点，是否在这个圆上． 归纳总结： 1、已知圆的圆心坐标和半径写圆的标准方程： ① 准备 和 ② 将圆心坐标a,b和半径r的值代入圆的 即可 注意：左边是平方和的样子，不需要去括号，右边半径的平方要计算出结果 2、如何判断点是否在圆上？ 将点的坐标代入圆的标准方程， 方程则在圆上，反之，不在圆上 探究：点A(1,1)，B(3,0)，与圆x2＋y2＝4的关系如图所示，将点代入方程等号左边，与等号右边比较大小，得出什么结论？ 结论：将点的坐标代入圆的方程等号左边： 左边<右边⟺点在 ；左边>右边⟺点在 ；左边=右边⟺点在 一般化：点在圆内、在圆外、在圆上的条件： _________________________________________________ 推广：点，圆，点在圆内、在圆外、在圆上的条件分别是什么？ 学生：类比以上探究的结果，得出结论： _________________________________________________ 总结：点与圆位置关系判断方法： 位置关系 判断方法 几何法 代数法 点在圆上 点在圆内 点在圆外 牛刀小试 练5．已知圆，则下列各点在圆上的是（    ） A． B． C． D． 练6．已知圆，则下列点在圆C内的是（    ） A． B． C． D． 练7．已知点，圆，则（    ） A．A，B都在C内 B．A在C外，B在C内 C．A，B都在C外 D．A在C内，B在C外 练8．若点的坐标是，圆的方程为，则（   ） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆内或圆上 D．点在圆上或圆外 练9．点与圆的位置关系为（    ） A．点在圆外 B．点在圆内 C．点在圆上 D．与的值有关 例2 的三个顶点分别是，，，求的外接圆的标准方程． 知识小贴士：的外接圆的圆心是的外心，即三边垂直平分线的交点． 教师：以上求圆的标准方程的方法叫做 （ 法） 师生：归纳总结待定系数法求圆的标准方程： ① ：设所求圆的标准方程为(x−a)2+(y−b)2=r2 ② ：由已知条件,建立关于a,b,r的方程组; ③ ：解方程组,求出a,b,r; ④ ：将a,b,r代入所设方程,得所求圆的方程. 例3 已知圆心为的圆经过，两点，且圆心在直线上，求此圆的标准方程． 问题：是否还有其他角度建立方程呢？ 追问：除了待定系数法外，是否还有其他方法求该圆的标准方程呢？ 以上求圆的标准方程的方法叫做 . 师生总结：几何法求圆的标准方程： ① ：设所求圆的标准方程为(x−a)2+(y−b)2=r2 ② ：它是利用图形的几何性质,如圆的性质等,直接求出圆的圆心和半径 ③ ：将圆心坐标和半径代入所设方程,得所求圆的方程. 题型一：求圆的标准方程 例题：（1）求圆心为，半径为5的圆的标准方程， （2）圆心为的过点，求该圆的标准方程. （3）的三个顶点分别是，，，求的外接圆的标准方程． （4）已知圆心为的圆经过和原点，且圆心在直线上，求此圆的标准方程． 题型二：根据点与圆的位置关系求参数（值）范围 例题（1）若点在圆上，则实数a等于__________. 方法总结：点在圆上等价于点的坐标满足圆的方程，将点的坐标代入圆的标准方程，解方程即可得解. （2）已知点在圆的内部，则a的取值范围是　　　.  方法总结：利用点在圆内（圆外）的条件建立不等式，解不等式即可得解.注意 、 、 . 题型三：与圆有关的最值问题 例题（1）若P(x，y)为圆C(x＋1)2＋(y-1)2＝上任意一点，请求出P(x，y)到原点的距离的最大值和最小值． （2）若P(x，y)是圆C(x－3)2＋y2＝4上任意一点，请求出P(x，y)到直线x－y＋1＝0的距离的最大值和最小值． 方法总结：1、圆上的动点到定点的距离最值问题： ①求距离：利用圆心和定点的坐标，求两定点之间的距离d ②求最值：圆上的动点到定点的距离的最大值为 ，圆上的动点到定点的距离的最小值为 2、圆上的动点到定直线的距离最值问题： ①求距离：用点到直线距离公式求圆心到定直线的距离d ②求最值：圆上的动点到定直线的距离的最大值为 ，圆上的动点到定直线的距离的最小值为 1．（高二上·新疆昌吉·期末）圆的圆心和半径分别是（     ） A．， B．，2 C．，1 D．， 2．（23-24高二上·广东惠州·期中）点与圆的位置关系为（    ） A．点在圆外 B．点在圆内 C．点在圆上 D．与m的值有关 3．（24-25高二上·贵州黔东南·期末）若圆的圆心为，则点到直线的距离为（    ） A．2 B． C． D． 4．（24-25高二上·陕西榆林·期末）若直线是圆的一条对称轴，则（    ）． A． B．0 C． D．1 5．（23-24高二上·河北邯郸·期末）已知圆过点，则圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·重庆渝中·期末）已知圆C经过两点，且圆心C在直线上，则圆C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 1．圆的标准方程 (1)圆的定义：平面上到 的距离等于 的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径. (2)确定圆的基本要素是 和 ，如图所示. (3)圆的标准方程：圆心为，半径长为的圆的标准方程是 .当时，方程为，表示以 为圆心，半径为的圆. 2．点与圆的位置关系：()， 其圆心为，半径为，点，设. 位置关系 与的大小 图示 点P的坐标的特点 点在圆外 点在圆上 点在圆内 3．如图，圆外一点到圆上任意一点距离的最小值 ，最大值 ． 4．如图，直线与圆相离，圆上任意一点到直线距离的最小值 ，最大值 ． d为圆心到直线的距离 学科网（北京）股份有限公司1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.4.1 圆的标准方程 导学案 （1）探索并掌握圆的标准方程. （2）会根据不同的已知条件求圆的标准方程. （3）能圆的标准方程写出圆的半径和圆心坐标. （4）能准确判断点与圆的位置关系. （5）加深对数形结合思想的理解和加强待定系数法的运用． 第一环节 情境引入 情境引入 月亮,是中国人心目中的宇宙精灵,古代人们在生活中崇拜、敬畏月亮,在文学作品中也大量描写. 圆在生活中无处不在，之前我们学习了直线有自己的方程，那么圆会有自己的方程吗? 回顾：前面我们学习直线方程时，确定一条直线的几何要素是什么？ 两个点或者一个点和直线方向（倾斜角） 问题2：如果我们要确定一个圆又需要哪些几何要素呢？ 确定一个圆的几何要素：圆心和半径 尝试：如图，在平面直角坐标系中，的圆心的坐标为，半径为，为圆上任意一点，根据圆的定义，得出； 要求：利用两点间的距离公式，表示， 根据两点间的距离公式有，两边平方得到 （1） 思考：能否将以上过程进行一般化处理？如：令圆心A(a,b)，半径为r 一般化：如图，在平面直角坐标系中，的圆心的坐标为，半径为，为圆上任意一点，根据圆的定义，得出； 根据两点间的距离公式有，两边平方得到 （1） 思考：是否在圆上的点都满足这个方程？ 预设：有上述过程可知，若点在上，则点M的坐标满足方程（1） 思考：满足这个方程的坐标的点是否都在圆上？ 预设：若点的坐标满足方程(1)，就说明点与圆心间的距离为，点就在圆上． 定义：以点C(a,b)为圆心，以r为半径的圆的标准方程为： 特别地：1、圆心在坐标原点，半径为r的圆的标准方程： 2、圆心在坐标原点，半径为1的圆的标准方程：（单位圆） 牛刀小试 练1：圆的圆心是，半径是，对吗？请说明理由． 解析：不对，圆心是(－m，－n)，半径是 |a| 练2：点以原点为圆心，2为半径的圆的标准方程是______. 解析： 练3：圆C：的圆心坐标和半径是(　 B 　) A．(2,1)，3 B．(2,－1), C．(－2,1) ,3 D．(－2,－1), 练4：圆心为且过原点的圆的方程是（     ） A． B． C． D． 解析：圆心为的圆的方程为， 又因为原点在圆上，则， 所以. 故选：D. 例1求圆心为，半径为5的圆的标准方程，并判断点，是否在这个圆上． 预设：分析：根据点的坐标与圆的方程的关系，只要判断一个点的坐标是否满足圆的方程，就可以得到这个点是否在圆上． 详解：圆心为，半径为5的圆的标准方程是 把点的坐标代入方程的左边，得，左右两边相等，点的坐标满足圆的方程，所以点在这个圆上． 把点的坐标代入方程的左边，得，左右两边不相等，点的坐标不满足圆的方程，所以点不在这个圆上（如图）． 归纳总结： 1、已知圆的圆心坐标和半径写圆的标准方程： ① 准备圆心坐标(a,b)和半径r ② 将圆心坐标a,b和半径r的值代入圆的标准方程即可 注意：左边是平方和的样子，不需要去括号，右边半径的平方要计算出结果 2、如何判断点是否在圆上？ 将点的坐标代入圆的标准方程，满足方程则在圆上，反之，不在圆上 探究：点A(1,1)，B(3,0)，与圆x2＋y2＝4的关系如图所示，将点代入方程等号左边，与等号右边比较大小，得出什么结论？ 预设：点A: 点A在圆内 点B: 点B在圆外 点C: 点C在圆上 结论：将点的坐标代入圆的方程等号左边： 左边<右边⟺点在圆内；左边>右边⟺点在圆外；左边=右边⟺点在圆上 一般化：点在圆内、在圆外、在圆上的条件： 推广：点，圆，点在圆内、在圆外、在圆上的条件分别是什么？ 学生：类比以上探究的结果，得出结论：、、 总结：点与圆位置关系判断方法： 位置关系 判断方法 几何法 代数法 点在圆上 点在圆内 点在圆外 牛刀小试 练5．已知圆，则下列各点在圆上的是（    ） A． B． C． D． 解析：将选项中的各点代入方程，显然ABD均不满足该方程， 只有C选项满足该方程. 故选：C 练6．已知圆，则下列点在圆C内的是（    ） A． B． C． D． 解析：对于A，因为，所以点在圆外，所以A错误， 对于B，因为，所以点在圆上，所以B错误， 对于C，因为，所以点在圆上，所以C错误， 对于D，因为，所以在圆内，所以D正确. 故选：D 练7．已知点，圆，则（    ） A．A，B都在C内 B．A在C外，B在C内 C．A，B都在C外 D．A在C内，B在C外 解析：由题意，，所以A在C内，B在C外. 故选：D. 练8．若点的坐标是，圆的方程为，则（   ） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆内或圆上 D．点在圆上或圆外 解析：因为， 当且仅当时取等号，所以点在圆内或圆上． 故选：C 练9．点与圆的位置关系为（    ） A．点在圆外 B．点在圆内 C．点在圆上 D．与的值有关 解析：    在圆外 故选： 例2 的三个顶点分别是，，，求的外接圆的标准方程． 知识小贴士：的外接圆的圆心是的外心，即三边垂直平分线的交点． 分析：不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，三角形有唯一的外接圆．显然巳知的三个点不在同一条直线上．只要确定了，，，圆的标准方程就确定了． 解析：设所求的方程是 ① 因为，，三点都在圆上，所以它们的坐标都满足方程①． 于是 即 观察上面的式子，我们发现，三式两两相减，可以消去，，，得到关于，的二元一次方程组 解此方程组，得 代入，得． 所以，的外接圆的标准方程是． 教师：以上求圆的标准方程的方法叫做待定系数法（代数法） 师生：归纳总结待定系数法求圆的标准方程： ①设：设所求圆的标准方程为(x−a)2+(y−b)2=r2 ②列：由已知条件,建立关于a,b,r的方程组; ③解：解方程组,求出a,b,r; ④代：将a,b,r代入所设方程,得所求圆的方程. 例3 已知圆心为的圆经过，两点，且圆心在直线上，求此圆的标准方程． 预设：设所求的方程是，由题意可得： 所以，所求圆的标准方程是． 问题：是否还有其他角度建立方程呢？ 分析：设圆心的坐标为．由已知条件可知，，且．由此可求出圆心坐标，进而求出圆的半径． 详解：设圆心的坐标为．因为圆心在直线上， 所以 ①． 因为，是圆上两点，所以． 根据两点间距离公式，有，即 ②． 由①②可得，．所以圆心的坐标是． 圆的半径． 所以，所求圆的标准方程是． 追问：除了待定系数法外，是否还有其他方法求该圆的标准方程呢？ 分析：因为线段AB是圆的一条弦，根据平面几何知识，圆心C也在线段AB的中垂线上，由此可得到另一种解法． 详解：设线段的中点为．由，两点的坐标为，，可得点的坐标为，直线的斜率为． 因此，线段的垂直平分线的方程是，即． 由垂径定理可知，圆心C也在线段AB的垂直平分线上，所以它的坐标是方程组 的解． 解这个方程组，得 所以圆心C的坐标是． 圆的半径． 所以，所求圆的标准方程是． 以上求圆的标准方程的方法叫做几何法. 师生总结：几何法求圆的标准方程： ①设：设所求圆的标准方程为(x−a)2+(y−b)2=r2 ②求：它是利用图形的几何性质,如圆的性质等,直接求出圆的圆心和半径 ③代：将圆心坐标和半径代入所设方程,得所求圆的方程. 题型一：求圆的标准方程 例题：（1）求圆心为，半径为5的圆的标准方程， 预设：圆心为，半径为5的圆的标准方程是 （2）圆心为的过点，求该圆的标准方程. 预设：由题意可得，圆的半径 又圆心为 所以所求圆的标准方程是 （3）的三个顶点分别是，，，求的外接圆的标准方程． 预设：设所求的方程是，由题意可得： 即 观察上面的式子，我们发现，三式两两相减，可以消去，，，得到关于，的二元一次方程组 解此方程组，得 代入，得． 所以，的外接圆的标准方程是． （4）已知圆心为的圆经过和原点，且圆心在直线上，求此圆的标准方程． 预设：设线段的中点为．由已知条件可得点的坐标为，直线的斜率为． 因此，线段的垂直平分线的方程是，即． 设圆心坐标为，由题意可得 的解． 解这个方程组，得 所以圆心C的坐标是． 圆的半径． 所以，所求圆的标准方程是． 题型二：根据点与圆的位置关系求参数（值）范围 例题（1）若点在圆上，则实数a等于__________. 预设：因为点在圆上， 所以，解方程得： 方法总结：点在圆上等价于点的坐标满足圆的方程，将点的坐标代入圆的标准方程，解方程即可得解. （2）已知点在圆的内部，则a的取值范围是　　　.  预设：由题意可知 解不等式组解得 . 所以，a的取值范围是 方法总结：利用点在圆内（圆外）的条件建立不等式，解不等式即可得解.注意分母≠0、偶次方的被开方数≥0、对数的真数＞0. 题型三：与圆有关的最值问题 例题（1）若P(x，y)为圆C(x＋1)2＋(y-1)2＝上任意一点，请求出P(x，y)到原点的距离的最大值和最小值． 预设：如右图，由题意可得，求的最大值和最小值 由两点之间距离公式可得： 圆心与原点（定点）确定的直线与圆相较于与A、B两点， 易知，当动点P运动到A点时， 取最小值： 当动点P运动到B点时， 取最大值： （2）若P(x，y)是圆C(x－3)2＋y2＝4上任意一点，请求出P(x，y)到直线x－y＋1＝0的距离的最大值和最小值． 预设：P(x，y)是圆C上的任意一点，而圆C的半径为2，圆心C(3,0)， 圆心C到直线x－y＋1＝0的距离d＝＝2， 过圆心做直线的垂线交圆于点A、B 易知，动点P运动到A点时，取最小值为 动点P运动到B点时，取最大值为 方法总结：1、圆上的动点到定点的距离最值问题： ①求距离：利用圆心和定点的坐标，求两定点之间的距离d ②求最值：圆上的动点到定点的距离的最大值为d+r，圆上的动点到定点的距离的最小值为d−r 2、圆上的动点到定直线的距离最值问题： ①求距离：用点到直线距离公式求圆心到定直线的距离d ②求最值：圆上的动点到定直线的距离的最大值为d+r，圆上的动点到定直线的距离的最小值为d−r 1．（高二上·新疆昌吉·期末）圆的圆心和半径分别是（     ） A．， B．，2 C．，1 D．， 解析：由圆的方程，可得它的圆心和半径分别为，．故选：D． 2．（23-24高二上·广东惠州·期中）点与圆的位置关系为（    ） A．点在圆外 B．点在圆内 C．点在圆上 D．与m的值有关 解析：，在圆外，故选：A. 3．（24-25高二上·贵州黔东南·期末）若圆的圆心为，则点到直线的距离为（    ） A．2 B． C． D． 解析：因为圆，所以圆心的坐标为则圆心到直线的距离为.故选：D. 4．（24-25高二上·陕西榆林·期末）若直线是圆的一条对称轴，则（    ）． A． B．0 C． D．1 解析：圆的圆心坐标为， 因为直线是圆的一条对称轴， 所以直线过点，所以，解得． 故选：C． 5．（23-24高二上·河北邯郸·期末）已知圆过点，则圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 解析：由在圆上，故圆心在直线上， 由在圆上，故圆心在直线上， 即圆心，半径， 故方程为. 故选：A. 6．（24-25高二上·重庆渝中·期末）已知圆C经过两点，且圆心C在直线上，则圆C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 解析：设圆的标准方程为， 由题意得， 解得， 故圆的方程为， 故选：B 1．圆的标准方程 (1)圆的定义：平面上到 的距离等于 的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径. (2)确定圆的基本要素是 和 ，如图所示. (3)圆的标准方程：圆心为，半径长为的圆的标准方程是 .当时，方程为，表示以 为圆心，半径为的圆. 【答案】 2．点与圆的位置关系：()， 其圆心为，半径为，点，设. 位置关系 与的大小 图示 点P的坐标的特点 点在圆外 点在圆上 点在圆内 【答案】 3．如图，圆外一点到圆上任意一点距离的最小值 ，最大值 ． 4．如图，直线与圆相离，圆上任意一点到直线距离的最小值 ，最大值 ． d为圆心到直线的距离 【答案】 学科网（北京）股份有限公司1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $