2.4.1 圆的标准方程（教学课件）数学人教A版2019选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦圆的标准方程及点与圆位置关系，从生活中的圆（如月亮）切入，联系直线方程，通过回顾确定直线的要素引出确定圆的圆心和半径，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点是以探究为主线，从具体圆心半径推导一般方程培养数学抽象（数学眼光），结合待定系数法与几何法（数学思维），题型涵盖求方程、位置关系及最值问题，真题感知增强应用。帮助学生深化数形结合，教师可直接用于教学提升效率。

第二章 直线与圆的方程 2.4.1 圆的标准方程 ·选择性必修第一册· 1 学习目标 探索并掌握圆的标准方程. （重点） 会根据不同的已知条件求圆的标准方程. （难点） 能圆的标准方程写出圆的半径和圆心坐标. 能准确判断点与圆的位置关系.（重点） 加深对数形结合思想的理解和加强待定系数法的运用．（难点） 2 3 4 5 情景导入 01 2.4.1圆的标准方程 创设背景，引入新知 圆在生活中无处不在， 之前我们学习了直线有自己的方程， 那么圆会有自己的方程吗? 月亮,是中国人心目中的宇宙精灵,古代人们在生活中崇拜、敬畏月亮,在文学作品中也大量描写。 02 新课探究 2.4.1 圆的标准方程 探究新知 回顾 思考：如果我们要确定一个圆又需要哪些几何要素呢？ 前面我们学习直线方程时，确定一条直线的几何要素是什么？ 两个点 或者 一个点和直线方向（倾斜角） 提示 回顾初中对“圆”的定义可以找到答案 圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合． 确定一个圆的几何要素：圆心和半径 探究新知 尝试 要求： 思考 能否将以上过程进行一般化处理？如：令圆心，半径为 探究新知 一般化 要求： 探究新知 思考：是否在圆上的点都满足这个方程？ 思考：满足这个方程的坐标的点是否都在圆上？ 探究新知 定义 特别的：1.圆心在坐标原点，半径为 r 的圆的标准方程： 以点为圆心，以为半径的圆的标准方程为： 特别的：2.圆心在坐标原点，半径为1的圆的标准方程： 单位圆 牛刀小试 解析 B 牛刀小试 解析 03 应用新知 2.4.1 圆的标准方程 应用新知 例 1： 分析 根据点的坐标与圆的方程的关系，只要判断一个点的坐标是否满足圆的方程，就可以得到这个点是否在圆上． 解析 应用新知 例 1： 分析 根据点的坐标与圆的方程的关系，只要判断一个点的坐标是否满足圆的方程，就可以得到这个点是否在圆上． 解析 点与圆的位置关系如右图所示: 应用新知 总结 第 1 步 准备圆心坐标(a,b)和半径 r 第 2 步 将圆心坐标a,b和半径 r 的值代入圆的标准方程即可 1.已知圆的圆心坐标和半径写圆的标准方程： 注意：左边是平方和的样子，不需要去括号，右边半径的平方要计算出结果 2.如何判断点是否在圆上？ 将点的坐标代入圆的标准方程，满足方程则在圆上，反之，不在圆上 04 点与圆的位置关系 2.4.1 圆的标准方程 探究新知 点与圆的关系如图所示，将点代入方程等号左边，与等号右边比较大小，得出什么结论？ 点A在圆内 点B在圆外 点C在圆上 探究 点A: 点B: 点C: 结论 将点的坐标代入圆的方程等号左边： 左边右边点在圆内；左边右边点在圆外；左边右边点在圆上 探究新知 一般化 推广 探究新知 总结 牛刀小试 解析 牛刀小试 解析 牛刀小试 解析 牛刀小试 解析 牛刀小试 解析 05 应用新知 2.4.1 圆的标准方程 应用新知 例 2： 知识小贴士： 分析 不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，三角形有唯一的外接圆． 显然已知的三个点不在同一条直线上．只要确定了a，b，r，圆的标准方程就确定了． 应用新知 例 2： 解析 应用新知 例 2： 解析 待定系数法 应用新知 总结 待定系数法求圆的标准方程的基本步骤： ①设：设所求圆的标准方程为 ②列：由已知条件,建立关于 a,b,r 的方程组; ③解：解方程组,求出a,b,r; ④代：将 a,b,r 代入所设方程,得所求圆的方程. 应用新知 例 3： 学以致用：先用待定系数法解答该题 解法一 思考：是否还有其他角度建立方程呢？ 应用新知 例 3： 分析 解法二 应用新知 例 3： 分析 解法二 应用新知 例 3： 思考：除了待定系数法外，是否还有其他方法求该圆的标准方程呢？ 分析 因为线段AB是圆的一条弦，根据平面几何知识，圆心C也在线段AB的中垂线上，由此可得到另一种解法． 解法三 应用新知 例 3： 解法三 几何法 应用新知 总结 几何法求圆的标准方程： ①设：设所求圆的标准方程为 ②求：它是利用图形的几何性质,如圆的性质等,直接求出圆的 圆心和半径，如弦中垂线的交点 ③代：将圆心坐标和半径代入所设方程,得所求圆的方程. 重要题型 06 2.4.1 圆的标准方程 应用新知 解析 题型一 求圆的标准方程 例题 应用新知 题型一 求圆的标准方程 例题 解析 应用新知 题型一 求圆的标准方程 例题 解析 待定系数法 应用新知 题型一 求圆的标准方程 例题 解析 应用新知 题型一 求圆的标准方程 例题 解析 几何法 重要题型专练 题型二 根据点与圆的位置关系求参数（值）范围 例题 解析 总结：点在圆上等价于点的坐标满足圆的方程，将点的坐标代入圆的标准 方程，解方程即可得解. 重要题型专练 题型二 根据点与圆的位置关系求参数（值）范围 例题 总结：1.利用点在圆内（圆外）的条件建立不等式，解不等式即可得解. 2.注意分母≠0、偶次方的被开方数≥0、对数的真数＞0. 解析 重要题型专练 题型三 与圆有关的最值问题 之 圆上的动点到定点的距离最值问题 例题 解析 重要题型专练 题型三 与圆有关的最值问题之圆上的动点到定直线的距离最值问题 例题 解析 重要题型专练 总结 1.圆上的动点到定点的距离最值问题： ①求距离：利用圆心和定点的坐标，求两定点之间的距离 d ②求最值：圆上的动点到定点的距离的最大值为 d+r 圆上的动点到定点的距离的最小值为 d−r 2.圆上的动点到定直线的距离最值问题： ①求距离：用点到直线距离公式求圆心到定直线的距离 d ②求最值：圆上的动点到定直线的距离的最大值为 d+r 圆上的动点到定直线的距离的最小值为 d−r 真题感知 07 2.4.1 圆的标准方程 真题感知 解 析 真题感知 解 析 真题感知 解 析 真题感知 解 析 真题感知 解 析 真题感知 解 析 课堂笔记 07 2.4.1 圆的标准方程 课堂笔记 课堂笔记 课堂笔记 05 小结及课后作业 2.4.1 圆的标准方程 课堂小结 作业布置 作业1：完成教材：第85页 练习1,2,3,4. 作业2：配套辅导资料对应的《圆的标准方程》.  ·选择性必修第一册· 本课结束 感谢您的聆听 练1：圆的圆心是，半径是，对吗？请说明理由． 不对，圆心是(－m，－n)，半径是 |a| 练2：点以原点为圆心，2为半径的圆的标准方程是_________________. 练3：圆C：的圆心坐标和半径是(　 　) A．(2,1)，3 B．(2,－1), C．(－2,1) ,3 D．(－2,－1), 练4：圆心为且过原点的圆的方程是（     ） A． B． C． D． 圆心为的圆的方程为， 又因为原点在圆上，则， 所以. 故选：D. 练5：已知圆，则下列各点在圆上的是（     ） A． B． C． D． 将选项中的各点代入方程，显然ABD均不满足该方程，只有C选项满足该方程. 故选：C 练6：已知圆，则下列点在圆C内的是（     ） A． B． C． D． 对于A，因为，所以点在圆外，所以A错误， 对于B，因为，所以点在圆上，所以B错误， 对于C，因为，所以点在圆上，所以C错误， 对于D，因为，所以在圆内，所以D正确. 故选：D 练7：已知点，圆，则（     ） A．A，B都在C内 B．A在C外，B在C内 C．A，B都在C外 D．A在C内，B在C外 由题意，，所以A在C内，B在C外. 故选：D. 练8：若点的坐标是，圆的方程为，则（    ） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆内或圆上 D．点在圆上或圆外 因为， 当且仅当时取等号，所以点在圆内或圆上． 故选：C 练9：点与圆的位置关系为（     ） A．点在圆外 B．点在圆内 C．点在圆上 D．与的值有关      在圆外；故选： （1）若点 在圆 上，则实数a等于_____. 因为点 在圆 上， 所以 ，解方程得： （2） 已知点 在圆 的内部， 则a的取值范围是　 　.  由题意可知 解不等式组解得 .所以，a的取值范围是 . （1）若P(x，y)为圆C(x＋1)2＋(y-1)2＝eq \f(1,4)上任意一点，请求出 P(x，y)到原点的距离的最大值和最小值． P B A C O 如右图，由题意可得，求 的最大值和最小值 由两点之间距离公式可得： 圆心与原点（定点）确定的直线与圆相较于与A、B两点， 易知，当动点P运动到A点时， 取最小值： 当动点P运动到B点时， 取最大值： （2）若P(x，y)是圆C(x－3)2＋y2＝4上任意一点，请求出P (x，y) 到直线x－y＋1＝0的距离的最大值和最小值． P(x，y)是圆C上的任意一点， 而圆C的半径为2，圆心C(3,0)， 圆心C到直线x－y＋1＝0的距离d＝eq \f(|3－0＋1|,\r(12＋－12))＝2eq \r(2)， 过圆心做直线的垂线交圆于点A、B，易知： 动点P运动到A点时， 取最小值为 动点P运动到B点时， 取最大值为 1．（高二上·新疆昌吉·期末） 圆的圆心和半径分别是（      ） A．， B．，2 C．，1 D．， 由圆的方程，可得它的圆心和半径分别为，．故选：D． 2．（23-24高二上·广东惠州·期中） 点与圆的位置关系为（     ） A．点在圆外 B．点在圆内 C．点在圆上 D．与m的值有关 ， 在圆外，故选：A. 3．（24-25高二上·贵州黔东南·期末）若圆的圆心为，则点到直线的距离为（     ） A．2 B． C． D． 因为圆，所以圆心的坐标为 则圆心到直线的距离为. 故选：D. 4．（24-25高二上·陕西榆林·期末）若直线是圆的一条对称轴，则（     ）． A． B．0 C． D．1 圆的圆心坐标为， 因为直线是圆的一条对称轴， 所以直线过点，所以，解得． 故选：C． 5．（23-24高二上·河北邯郸·期末）已知圆过点，则圆的标准方程是（     ） A． B． C． D． 由在圆上，故圆心在直线上， 由在圆上，故圆心在直线上， 即圆心，半径，故方程为. 故选：A. 6．（24-25高二上·重庆渝中·期末）已知圆C经过两点，且圆心C在直线上，则圆C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 设圆的标准方程为，由题意得， 解得， 故圆的方程为，故选：B $