专题05 角的平分线的性质 5大高频考点（期中真题汇编）八年级数学上学期人教版2024

专题05 角的平分线的性质 5大高频考点概览 考点01 利用角平分线的性质求长度 考点02 利用角平分线的性质求角度 考点03 利用角平分线的性质求面积 考点04 与角平分线的性质相关的多结论问题 考点05 角平分线的基本作图 地 城 考点01 利用角平分线的性质求长度 一、选择题 1．（24-25八上•上海宝安区•期中）如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝24，DE＝4，AB＝7，则AC长是（　　） A．3 B．4 C．6 D．5 2．（24-25八上•广东佛山•南海区期中）如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB交AB于点E，DF⊥AC交AC于点F，若S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（24-25八上•福建福州•仓山区期中）如图，OP平分∠AOB，PF⊥OA于点F，点D在OB上，DH⊥OP于点H，若OD＝4，OP＝8，PF＝3.5，则DH的长为（　　） A．4.5 B．5 C．7 D． 4．（24-25八上•广东广州•天河区期中）如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝8，则点P到BC的距离是（　　） A．8 B．6 C．4 D．2 5．（24-25八上•广西南宁•兴宁区期中）如图，点P在∠AOB的平分线上，PC⊥OA于点C，∠AOB＝30°，点D在边OB上，且OD＝DP＝4，则CP的长度为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（24-25八上•广东珠海•期中）如图1，这是一个平板电脑支架，由托板、支撑板和底座构成，平板电脑放置在托板上，图2是其侧面结构示意图．现量得托板长AB＝10cm，支撑板顶端的C恰好是托板AB的中点，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动．当CD⊥AB，且射线DB恰好是∠CDE的平分线时，此时点B到直线DE的距离是（　　） A．3cm B．5cm C．6cm D．10cm 二、填空题 7．（24-25八上•江苏常州•武进区期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，AC＝9cm，且CD：AD＝1：2，则点D到AB的距离为　 　cm． 8．（24-25八上•江苏扬州•江都区期中）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝9，DE＝2，AB＝5，则AC的长是　 　． 9．（24-25八上•天津红桥区•期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠CAB的平分线，DE⊥AB于点E，且DE＝3cm，BD＝5cm，则BC＝　 　cm． 10．（24-25八上•河南开封•顺河区期中）已知∠AOB＝60°，OC是∠AOB的平分线，点D为OC上一点，过D作直线DE⊥OA，垂足为点E，且直线DE交OB于点F，如图所示．若DE＝2，则DF＝　 　 ． 三、解答题 11．（24-25八上•福建莆田•涵江区期中）如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，△ABC的面积是28cm2，AB＝16cm，AC＝12cm，求DE的长． 12．（24-25八上•广东广州•期中）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，E为AC上一点，且DE＝CE． （1）求证：DE∥BC； （2）若∠A＝90°，S△BCD＝26，BC＝13，求AD的长． 13．（24-25八上•四川成都•期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BD是∠ABC的平分线，过点D作DE⊥AB于点E，延长ED交BC的延长线于点F． （1）求证：AD＝DF； （2）若CF＝6，EF＝18，求DE的长． 14．（24-25八上•重庆荣昌区•期中）如图，A，B两点分别在射线OM，ON上，点C在∠MON的内部且CA＝CB，CD⊥OM，CE⊥ON，垂足分别为D，E，且AD＝BE． （1）求证：OC平分∠MON； （2）如果AO＝12，BO＝4，求OD的长． 地 城 考点02 利用角平分线的性质求角度 一、选择题 15．（24-25八上•云南昆明•官渡区期中）如图，将两个完全相同的直角三角板按如图所示方式放置，使得顶点C重合，∠OEC＝∠OFC＝90°，若∠AOC＝25°，则∠OCF的度数是（　　） A．60° B．65° C．75° D．80° 16．（24-25八上•广东广州•期中）如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC＝110°，则∠MAB＝（　　） A．30° B．35° C．45° D．60° 17．（24-25八上•山东临沂•沂南县期中）如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等，连接OB、OC，若∠BOC＝120°，则∠A的度数是（　　） A．30° B．60° C．45° D．70° 18．（24-25八上•湖北咸宁•咸安区期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，点E在BC的延长线上，∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD，下列结论中不正确的是（　　） A．∠BAC＝70° B．∠DOC＝90° C．∠BDC＝35° D．∠DAC＝55° 二、填空题 19．（24-25八上•山西太原•期中）如图，在△ABC中，∠B＝80°，点D在△ABC内部，且到三边的距离相等，则∠ADC＝　 　°． 20．（24-25八上•广东湛江•赤坎区期中）如图，直线AB、CD交于点O，ME⊥AB于点E，MF⊥CD于点F，若OE＝OF，且∠AOC＝56°，则∠OME的度数为　 　． 21．（24-25八上•浙江杭州•期中）如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP＝　 　． 22．（24-25八上•河南许昌•禹州市期中）如图，点P是△ABC内部的一点，点P到三边AB，AC，BC的距离PD＝PE＝PF，若∠BPC＝142°，则∠BAC的度数为　 　． 三、解答题 23．（24-25八上•安徽宿州•埇桥区期中）已知：如图，△ABC的外角，∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F， （1）求证：点F在∠DAE的平分线上． （2）若∠A＝50°，求∠BFC的大小． 24．（24-25八上•浙江宁波•奉化区期中）已知：如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点P，且PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为E、F． （1）求证：PE＝PF； （2）若∠BAC＝60°，连接AP，求∠EAP的度数． 地 城 考点03 利用角平分线的性质求面积 一、选择题 25．（24-25八上•天津河东区•期中）如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于（　　） A．10 B．5 C．4 D．7 26．（24-25八上•广东佛山•顺德区期中）如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，点D在OB上，若PC＝3，OD＝6，则△POD的面积为（　　） A．3 B．6 C．9 D．18 27．（24-25八上•河南郑州•二七区期中）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E为AB的中点，若AB＝12，CD＝3，则△DBE的面积为（　　） A．10 B．12 C．9 D．6 28．（24-25八上•辽宁沈阳•期中）如图，已知△ABC的周长是18cm，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，OD⊥BC于点D，若OD＝3cm，则△ABC的面积是（　　）cm2． A．24 B．27 C．30 D．33 二、填空题 29．（24-25八上•贵州遵义•红花岗区期中）如图，在△ABC中，AC＝2AB，AD是∠BAC的平分线，延长AD至点E，使，连接BE，若△BED的面积为2，则△ABC的面积是　 　． 30．（24-25八上•江苏苏州•工业园区期中）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，AF是△ABC的中线，AB＝16，AC＝6，DE＝5，则△ADF的面积为　 　． 31．（24-25八上•江苏南通•海安市期中）如图，在△ABC中，S△ABC＝21，∠BAC的角平分线AD交BC于点D，点E为AD的中点．连接BE，点F为BE上一点，且BF＝2EF．若S△DEF＝2，则AB：AC＝　 　． 32．（24-25八上•福建厦门•集美区期中）如图，△ABC的两条外角平分线BP，CP相交于点P．PE⊥AC交AC的延长线于点E．若△ABC的周长为9，PE＝2，S△BPC＝2，则S△ABC＝　 　． 三、解答题 33．（24-25八上•湖北荆州•沙市区期中）如图，在△ABC中，AD是高，AE，BF是角平分线，AE交BF于点O，∠BAC＝80°，∠C＝70°． （1）求∠AOB的大小； （2）若CD＝2，AD＝5，求△AEC的面积． 34．（24-25八上•四川泸州•江阳区期中）如图，△ABC中，点D在边BC延长线上，∠ACB＝100°，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且∠CEH＝50°． （1）求∠ACE的度数； （2）求证：AE平分∠CAF； （3）若AC+CD＝14，AB＝8.5，且S△ACD＝21，求△ABE的面积． 35．（24-25八上•广东珠海•香洲区期中）如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE． （1）求∠DAE的值； （2）求证：DE平分∠ADC； （3）若AB＝6，AD＝4，CD＝8，且S△ACD＝18，求△ABE的面积． 36．（24-25八上•广东汕头•潮阳区期中）如图，已知在△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB． （1）如图1，求∠BDC的度数； （2）如图2，连接AD，作DE⊥AB，DE＝2，AC＝4，求△ADC的面积． 地 城 考点04 与角平分线的性质相关的多结论问题 一、选择题 37．（24-25八上•山东日照•期中）如图，AD平分∠BAC，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF．则下列结论中： ①AD是△ABC的高； ②AD是△ABC的中线； ③ED＝FD； ④AB＝AE+BF． 其中正确的个数有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 38．（24-25八上•山东枣庄•薛城区期中）如图，△ABC两个外角的平分线BD与CE相交于点P，PN⊥AC于点N，PM⊥AB于点M，且BD∥AC，小明同学得出了下列结论：①PM＝PN；②点P在∠CAB的平分线上；③∠CPB＝90°﹣∠A；④AB＝CB．其中错误的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 39．（24-25八上•陕西宝鸡•陇县期中）如图，△ABC中，AD⊥BC交BC于D，AE平分∠BAC交BC于E，F为BC的延长线上一点，FG⊥AE交AD的延长线于G，AC的延长线交FG于H，连接BG，下列结论： ①∠DAE＝∠F； ②2∠DAE＝∠ABD﹣∠ACE； ③S△AEB：S△AEC＝AB：AC； ④∠AGH＝∠BAE+∠ACB．其中正确的结论有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 40．（24-25八上•天津河东区•期中）如图，△ABC中，∠ACF、∠EAC的角平分线CP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF．则下列结论中正确的个数（　　） ①BP平分∠ABC；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠CAB＝2∠CPB；④S△PAC＝S△MAP+S△NCP． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 41．（24-25八上•江苏无锡•惠山区期中）如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF，则下列结论中正确的是　 　．（填序号） ①CP平分∠ACF； ②∠ABC+2∠APC＝180°； ③∠ACB＝2∠APB； ④S△PAC＝S△MAP+S△NCP． 42．（24-25八上•广东广州•期中）如图，△ABC的内角∠ABC和外角∠ACD的角平分线交于点O．BO交AC于点F，过点O作OG∥BC交BA延长线于点E，交CA延长线于点G，连接AO，有以下结论：①CG﹣BE＝GE；②FG＝FO；③S△BCO：S△ABO＝BC：AB；④若∠ACO＝α，则∠AOB＝90°﹣α．其中正确的结论有　 　． 地 城 考点05 角平分线的基本作图 一、选择题 43．（24-25八上•湖南长沙•期中）已知∠AOB，求作射线OC，使OC平分∠AOB，那么作法的合理顺序是（　　） ①作射线OC； ②在射线OA和OB上分别截取OD、OE，使OD＝OE； ③分别以D、E为圆心，大于的长为半径在∠AOB内作弧，两弧交于点C． A．①②③ B．②①③ C．②③① D．③①② 44．（24-25八上•重庆九龙坡区•期中）如图，在△ABC中，以点C为圆心，适当长为半径画弧，交CB于点D，交CA于点E，分别以点D、E为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点F，射线CF交AB于点G．若∠A＝24°，∠B＝120°，则∠BCG为（　　） A．12° B．18° C．28° D．36° 45．（24-25八上•浙江杭州•期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边AC，AB于点M、N，再分别以M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝4，AB＝25，则△ABD的面积为（　　） A．25 B．45 C．50 D．100 46．（24-25八上•广西南宁•江南区期中）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，利用尺规在BC，BA上分别截取BE，BD，使BE＝BD；分别以D，E为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F；作射线BF交AC于点G．若AC＝3，BC＝4，AB＝5，P为AB上一动点，则GP的最小值为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 47．（24-25八上•山东东营•东营区期中）如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝50°，观察尺规作图的痕迹，则∠DAE的度数为　 　． 48．（24-25八上•湖北孝感•安陆市期中）如图，在锐角三角形ABC中，AD是边BC上的高，在BA，BC上分别截取线段BE，BF，使BE＝BF；分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，在∠ABC内，两弧交于点P，作射线BP，交AD于点M，过点M作MN⊥AB于点N．若MN＝2，AD＝4MD，则AM＝　 　． 三、解答题 49．（24-25八上•陕西西安•新城区期中）如图，点P在射线BA上，使用尺规作图法在BC上求一点D，使∠BPD＝∠B．（不写作法，保留作图痕迹） 50．（24-25八上•广东广州•越秀区期中）如图，已知△ABC中，AB＝AC，在AC上有一点D，延长BD，并在BD的延长线上取点E，使AE＝AB，连接AE． （1）作图：作∠EAC的平分线AF，交DE于点F，（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，连接CF，求证：∠ABE＝∠ACF． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 角的平分线的性质 5大高频考点概览 考点01 利用角平分线的性质求长度 考点02 利用角平分线的性质求角度 考点03 利用角平分线的性质求面积 考点04 与角平分线的性质相关的多结论问题 考点05 角平分线的基本作图 地 城 考点01 利用角平分线的性质求长度 一、选择题 1．（24-25八上•上海宝安区•期中）如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝24，DE＝4，AB＝7，则AC长是（　　） A．3 B．4 C．6 D．5 解：作DF⊥AC于F，如图， ∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF＝4， ∵S△ADB+S△ADC＝S△ABC， ∴， ∴AC＝5， 答案：D． 2．（24-25八上•广东佛山•南海区期中）如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB交AB于点E，DF⊥AC交AC于点F，若S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 解：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DF＝DE＝2， ∵S△ABD+S△ACD＝S△ABC， ∴， ∴AC＝3． 答案：A． 3．（24-25八上•福建福州•仓山区期中）如图，OP平分∠AOB，PF⊥OA于点F，点D在OB上，DH⊥OP于点H，若OD＝4，OP＝8，PF＝3.5，则DH的长为（　　） A．4.5 B．5 C．7 D． 解：作PN⊥OB于N， ∵OP平分∠AOB，PF⊥OA，PN⊥OB， ∴PF＝PN＝3.5， ， ∴， 解得，， 答案：D． 4．（24-25八上•广东广州•天河区期中）如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝8，则点P到BC的距离是（　　） A．8 B．6 C．4 D．2 解：过点P作PE⊥BC于E， ∵AB∥CD，PA⊥AB， ∴PD⊥CD， ∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB， ∴PA＝PE，PD＝PE， ∴PE＝PA＝PD， ∵PA+PD＝AD＝8， ∴PA＝PD＝4， ∴PE＝4． 答案：C． 5．（24-25八上•广西南宁•兴宁区期中）如图，点P在∠AOB的平分线上，PC⊥OA于点C，∠AOB＝30°，点D在边OB上，且OD＝DP＝4，则CP的长度为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 解：如图，过点P作PE⊥OB于E， ∴∠AOP＝∠BOP， ∵OD＝DP， ∴∠OPD＝∠BOP， ∴∠AOP＝∠OPD， ∴PD∥OA， ∴∠PDE＝∠AOB＝30°， ， ∵OP是∠AOB的平分线，PC⊥OA，PE⊥OB， ∴CP＝PE＝2， 答案：B． 6．（24-25八上•广东珠海•期中）如图1，这是一个平板电脑支架，由托板、支撑板和底座构成，平板电脑放置在托板上，图2是其侧面结构示意图．现量得托板长AB＝10cm，支撑板顶端的C恰好是托板AB的中点，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动．当CD⊥AB，且射线DB恰好是∠CDE的平分线时，此时点B到直线DE的距离是（　　） A．3cm B．5cm C．6cm D．10cm 解：过点B作BF⊥DE，垂足为点F， ∵C是AB的中点，AB＝10cm， ∴， ∵CD⊥AB，BF⊥DE，射线DB是∠CDE的平分线， ∴BC＝BF＝5cm， 答案：B． 二、填空题 7．（24-25八上•江苏常州•武进区期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，AC＝9cm，且CD：AD＝1：2，则点D到AB的距离为 　3　 cm． 解：如图，过点D作DE⊥AB于E， ∵AC＝9cm，CD：AD＝1：2， ∴， ∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，∠C＝90°， ∴CD＝DE＝3cm， ∴点D到AB的距离为3cm， 答案：3． 8．（24-25八上•江苏扬州•江都区期中）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝9，DE＝2，AB＝5，则AC的长是 　4　 ． 解：过D作DF⊥AC于F， ∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB， ∴DE＝DF＝2， ， ∵△ABC的面积为9， ∴△ADC的面积为9﹣5＝4， ∴， ∴， ∴AC＝4， 答案：4． 9．（24-25八上•天津红桥区•期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠CAB的平分线，DE⊥AB于点E，且DE＝3cm，BD＝5cm，则BC＝ 　8　 cm． 解：∵∠C＝90°，AD是∠CAB的平分线，DE⊥AB， ∴CD＝DE， ∵DE＝3cm，BD＝5cm， ∴BC＝CD+BD＝3+5＝8cm． 答案：8． 10．（24-25八上•河南开封•顺河区期中）已知∠AOB＝60°，OC是∠AOB的平分线，点D为OC上一点，过D作直线DE⊥OA，垂足为点E，且直线DE交OB于点F，如图所示．若DE＝2，则DF＝　4　 ． 解：过点D作DM⊥OB，垂足为M，如图所示． ∵OC是∠AOB的平分线， ∴DM＝DE＝2． 在Rt△OEF中，∠OEF＝90°，∠EOF＝60°， ∴∠OFE＝30°，即∠DFM＝30°． 在Rt△DMF中，∠DMF＝90°，∠DFM＝30°， ∴DF＝2DM＝4． 答案：4． 三、解答题 11．（24-25八上•福建莆田•涵江区期中）如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，△ABC的面积是28cm2，AB＝16cm，AC＝12cm，求DE的长． 解：∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF， ， ， 即， 解得DE＝2（cm）． 12．（24-25八上•广东广州•期中）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，E为AC上一点，且DE＝CE． （1）求证：DE∥BC； （2）若∠A＝90°，S△BCD＝26，BC＝13，求AD的长． 解：（1）∵CD平分∠ACB， ∴∠ECD＝∠BCD， 又∵DE＝CE， ∴∠ECD＝∠EDC， ∴∠BCD＝∠CDE， ∴DE∥BC； （2）如图，过D作DF⊥BC于F， ∵∠A＝90°，CD平分∠ACB， ∴AD＝FD， ∵S△BCD＝26，BC＝13， ∴， ∴DF＝4， ∴AD＝4． 13．（24-25八上•四川成都•期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BD是∠ABC的平分线，过点D作DE⊥AB于点E，延长ED交BC的延长线于点F． （1）求证：AD＝DF； （2）若CF＝6，EF＝18，求DE的长． （1）证明：∵BD是∠ABC的平分线，∠ACB＝90°，DE⊥AB， ∴DE＝DC，∠FCD＝∠DEA． 在△DAE和△DFC中， ， ∴△DAE≌△DFC（ASA）， ∴AD＝DF． （2）解：∵△DAE≌△DFC， ∴AE＝CF＝6，AD＝DF． 又∵EF＝18， ∴AD+DE＝18， 即AD＝18﹣DE． 在Rt△ADE中， DE2+AE2＝AD2， ∴DE2+62＝（18﹣DE）2， 解得DE＝8， ∴DE的长为8． 14．（24-25八上•重庆荣昌区•期中）如图，A，B两点分别在射线OM，ON上，点C在∠MON的内部且CA＝CB，CD⊥OM，CE⊥ON，垂足分别为D，E，且AD＝BE． （1）求证：OC平分∠MON； （2）如果AO＝12，BO＝4，求OD的长． （1）证明：∵CD⊥OM，CE⊥ON， ∴∠CDA＝90°，∠CDE＝90°， 在Rt△CDA和Rt△CEB中， ， ∴Rt△CDA≌Rt△CEB（HL）， ∴CD＝CE，AD＝BE， ∴点C在∠MON的平分线上， ∴OC平分∠MON； （2）解：设OD＝x， ∵OA＝12， ∴AD＝OA﹣OD＝12﹣x， ∴AD＝BE＝12﹣x， 在Rt△OCD和Rt△OCE中， ， ∴Rt△OCD≌Rt△OCE（HL）， ∴OD＝OE＝x， ∴BO＝OE﹣BE＝x﹣（12﹣x）＝2x﹣12， ∵BO＝4， ∴2x﹣12﹣4＝12， 解得：x＝8， ∴OD＝8． 地 城 考点02 利用角平分线的性质求角度 一、选择题 15．（24-25八上•云南昆明•官渡区期中）如图，将两个完全相同的直角三角板按如图所示方式放置，使得顶点C重合，∠OEC＝∠OFC＝90°，若∠AOC＝25°，则∠OCF的度数是（　　） A．60° B．65° C．75° D．80° 解：由题意得：∠OEC＝∠OFC＝90°，CE＝CF， ∴OC平分∠AOB， ∴∠BOC＝∠AOC＝25°， ∴∠OCF＝90°﹣∠BOC＝65°， 答案：B． 16．（24-25八上•广东广州•期中）如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC＝110°，则∠MAB＝（　　） A．30° B．35° C．45° D．60° 解：作MN⊥AD于N， ∵∠B＝∠C＝90°， ∴AB∥CD， ∴∠DAB＝180°﹣∠ADC＝70°， ∵DM平分∠ADC，MN⊥AD，MC⊥CD， ∴MN＝MC， ∵M是BC的中点， ∴MC＝MB， ∴MN＝MB，又MN⊥AD，MB⊥AB， ， 答案：B． 17．（24-25八上•山东临沂•沂南县期中）如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等，连接OB、OC，若∠BOC＝120°，则∠A的度数是（　　） A．30° B．60° C．45° D．70° 解：∵点O在△ABC内，且到三边的距离相等， ∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB， ∴∠ABC＝2∠OBC，∠ACB＝2∠OCB， ∵∠OBC+∠OCB＝180°﹣∠BOC＝180°﹣120°＝60°， ∴∠ABC+∠ACB＝2（∠OBC+∠OCB）＝2×60°＝120°， ∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝60°． 答案：B． 18．（24-25八上•湖北咸宁•咸安区期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，点E在BC的延长线上，∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD，下列结论中不正确的是（　　） A．∠BAC＝70° B．∠DOC＝90° C．∠BDC＝35° D．∠DAC＝55° 解：∵∠ABC＝50°，∠ACB＝60°， ∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣50°﹣60°＝70°， 故A选项正确， ∵BD平分∠ABC， ， 在△ABO中， ∠AOB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABO＝180°﹣70°﹣25°＝85°， ∴∠DOC＝∠AOB＝85°， 故B选项错误； ∵CD平分∠ACE， ， ∴∠BDC＝180°﹣85°﹣60°＝35°， 故C选项正确； ∵BD、CD分别是∠ABC和∠ACE的平分线， ∴D到AB、AC、BC的距离相等， ∴AD是△ABC的外角平分线， 故D选项正确． 答案：B． 二、填空题 19．（24-25八上•山西太原•期中）如图，在△ABC中，∠B＝80°，点D在△ABC内部，且到三边的距离相等，则∠ADC＝　130　 °． 解：∵点D在△ABC内部，且到三边的距离相等， ∴AD平分∠BAC，CD平分∠ACB， ∴，， ∵∠ADC＝180°﹣∠DAC﹣∠DCA， ， ∵∠BAC+∠ACB＝180°﹣∠B， ， ∵∠B＝80°， ． 答案：130． 20．（24-25八上•广东湛江•赤坎区期中）如图，直线AB、CD交于点O，ME⊥AB于点E，MF⊥CD于点F，若OE＝OF，且∠AOC＝56°，则∠OME的度数为 　28°　 ． 解：∵ME⊥AB，MF⊥CD， ∴∠OEM＝∠OFM＝90°， ∴∠FOE+∠FME＝180°， ∵∠FOE+∠AOC＝180°， ∴∠FME＝∠AOC＝56°， ∵ME⊥AB，MF⊥CD，OE＝OF， ∴OM平分∠FME， ∴， 答案：28°． 21．（24-25八上•浙江杭州•期中）如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP＝ 　50°　 ． 解：延长BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC， 设∠PCD＝x°， ∵CP平分∠ACD， ∴∠ACP＝∠PCD＝x°，PM＝PN， ∵BP平分∠ABC， ∴∠ABP＝∠PBC，PF＝PN， ∴PF＝PM， ∵∠BPC＝40°， ∴∠ABP＝∠PBC＝∠PCD﹣∠BPC＝（x﹣40）°， ∴∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC＝2x°﹣（x°﹣40°）﹣（x°﹣40°）＝80°， ∴∠CAF＝100°， 在Rt△PFA和Rt△PMA中， ∵， ∴Rt△PFA≌Rt△PMA（HL）， ∴∠FAP＝∠PAC＝50°． 答案：50°． 22．（24-25八上•河南许昌•禹州市期中）如图，点P是△ABC内部的一点，点P到三边AB，AC，BC的距离PD＝PE＝PF，若∠BPC＝142°，则∠BAC的度数为 　104°　 ． 解：∵点P到三边AB，AC，BC的距离PD＝PE＝PF， ∴BP、CP是∠ABP、∠ACP的角平分线， ∴∠ABC＝2∠PBC，∠ACB＝2∠PCB， ∵∠BPC＝142°， ∴∠PBC+∠PCB＝38°， ∴∠ABC+∠ACB＝2∠PBC+2∠PCB＝2（∠PBC+∠PBC）＝76°， ∴∠BAC＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣76°＝104°． 答案：104°． 三、解答题 23．（24-25八上•安徽宿州•埇桥区期中）已知：如图，△ABC的外角，∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F， （1）求证：点F在∠DAE的平分线上． （2）若∠A＝50°，求∠BFC的大小． （1）证明：作FM⊥AB于M，FN⊥BC于N，FG⊥AC于G， ∵BF平分∠CBD，FM⊥AB，FN⊥BC， ∴FM＝FN， 同理，FG＝FN， ∴FM＝FG， 又FM⊥AB，FG⊥AC， ∴点F在∠DAE的平分线上； （2）解：∵BF、CF为△ABC两外角∠CBD、∠BCE的平分线，∠A＝50°， ，； 由三角形内角和定理得： ． 24．（24-25八上•浙江宁波•奉化区期中）已知：如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点P，且PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为E、F． （1）求证：PE＝PF； （2）若∠BAC＝60°，连接AP，求∠EAP的度数． 解：（1）过点P作PD⊥BC于D， ∵∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点P，且PE⊥AB，PF⊥AC， ∴PD＝PE，PD＝PF， ∴PE＝PF； （2）∵PE＝PF，PE⊥AB，PF⊥AC， ∴AP平分∠BAC， ∵∠BAC＝60°， ． 地 城 考点03 利用角平分线的性质求面积 一、选择题 25．（24-25八上•天津河东区•期中）如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于（　　） A．10 B．5 C．4 D．7 解：作EF⊥BC于F， ∵BE平分∠ABC，EF⊥BC，ED⊥AB， ∴EF＝DE＝2， ∴△BCE的面积． 答案：B． 26．（24-25八上•广东佛山•顺德区期中）如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，点D在OB上，若PC＝3，OD＝6，则△POD的面积为（　　） A．3 B．6 C．9 D．18 解：过P点作PE⊥OB于E点，如图， ∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PE⊥OB， ∴PE＝PC＝3， △ 答案：C． 27．（24-25八上•河南郑州•二七区期中）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E为AB的中点，若AB＝12，CD＝3，则△DBE的面积为（　　） A．10 B．12 C．9 D．6 解：过D作DF⊥AB于F， ∵∠C＝90°， ∴DC⊥BC， ∵BD平分∠ABC，CD＝3， ∴DF＝CD＝3， ∵点E为AB的中点，AB＝12， ∴BE＝6， ∴△DBE的面积， 答案：C． 28．（24-25八上•辽宁沈阳•期中）如图，已知△ABC的周长是18cm，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，OD⊥BC于点D，若OD＝3cm，则△ABC的面积是（　　）cm2． A．24 B．27 C．30 D．33 解：过O点作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，如图， ∵OB平分∠ABC，OD⊥BC，OE⊥AB， ∴OE＝OD＝3， 同理可得OF＝OD＝3， ∴S△ABC＝S△OAB+S△OBC+S△OAC ， ∵△ABC的周长是18， ． 答案：B． 二、填空题 29．（24-25八上•贵州遵义•红花岗区期中）如图，在△ABC中，AC＝2AB，AD是∠BAC的平分线，延长AD至点E，使，连接BE，若△BED的面积为2，则△ABC的面积是 　12　 ． 解：过D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N， ∵AD平分∠BAC， ∴DM＝DN， ， ∴S△ABD＝2S△BED＝2×2＝4， ，， ∴S△ABD：S△ACD＝AB：AC， ∵AC＝2AB， ∴S△ACD＝2S△ABD＝2×4＝8， ∴△ABC的面积＝△ABD的面积+△ACD的面积＝12． 答案：12． 30．（24-25八上•江苏苏州•工业园区期中）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，AF是△ABC的中线，AB＝16，AC＝6，DE＝5，则△ADF的面积为 　12.5　 ． 解：过D作DH⊥AB于H， ∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC， ∴DH＝DE＝5， ∵AB＝16，AC＝6， ∴△ABD的面积，△ACD的面积， ∴△ABC的面积＝△ABD的面积+△ACD的面积＝55， ∵AF是△ABC的中线， ∴△ABF的面积＝△ACF的面积， ∴△ADF的面积＝△ABD的面积﹣△ABF的面积＝40﹣27.5＝12.5． 答案：12.5． 31．（24-25八上•江苏南通•海安市期中）如图，在△ABC中，S△ABC＝21，∠BAC的角平分线AD交BC于点D，点E为AD的中点．连接BE，点F为BE上一点，且BF＝2EF．若S△DEF＝2，则AB：AC＝　4：3　 ． 解：∵BF＝2EF．S△DEF＝2， ∴S△BDE＝3S△DEF＝3×2＝6， ∵点E为AD的中点， ∴S△ABD＝2S△BDE＝2×6＝12， ∵S△ABC＝21， ∴S△ACD＝21﹣12＝9， 过D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N， ∵AD是∠BAC的角平分线， ∴DM＝DN， ∴， 则AB：AC＝4：3， 答案：4：3． 32．（24-25八上•福建厦门•集美区期中）如图，△ABC的两条外角平分线BP，CP相交于点P．PE⊥AC交AC的延长线于点E．若△ABC的周长为9，PE＝2，S△BPC＝2，则S△ABC＝ 　5　 ． 解：过点P作PF⊥BC于点F，PG⊥AB于点G，连接AP， ∵△ABC的两条外角平分线BP，CP相交于点P，PE⊥AC，PF⊥BC，PG⊥AB，PE＝2， ∴PF＝PG＝PE＝2， ∵S△BPC＝2， ∴， 解得：BC＝2， ∵△ABC的周长为9， ∴AC+AB＝9﹣2＝7， 答案：5． 三、解答题 33．（24-25八上•湖北荆州•沙市区期中）如图，在△ABC中，AD是高，AE，BF是角平分线，AE交BF于点O，∠BAC＝80°，∠C＝70°． （1）求∠AOB的大小； （2）若CD＝2，AD＝5，求△AEC的面积． （1）解：∵∠BAC＝80°，∠C＝70°， ∴∠ABC＝180°﹣80°﹣70°＝30°， ∵AE，BF是角平分线， ∴，， ∴∠AOB＝180°﹣15°﹣40°＝125°； （2）解：∵∠BAO＝40°，∠ABC＝30°， ∴∠AEC＝30°+40°＝70°＝∠C， ∵AD是高， ∴ED＝DC＝2， ∴EC＝2DC＝4， ∴△AEC的面积． 34．（24-25八上•四川泸州•江阳区期中）如图，△ABC中，点D在边BC延长线上，∠ACB＝100°，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且∠CEH＝50°． （1）求∠ACE的度数； （2）求证：AE平分∠CAF； （3）若AC+CD＝14，AB＝8.5，且S△ACD＝21，求△ABE的面积． （1）解：∵∠ACB＝100°， ∴∠ACD＝180°﹣100°＝80°， ∵EH⊥BD， ∴∠CHE＝90°， ∵∠CEH＝50°， ∴∠ECH＝90°﹣50°＝40°， ∴∠ACE＝80°﹣40°＝40°； （2）证明：过E点分别作EM⊥BF于M，EN⊥AC与N， ∵BE平分∠ABC， ∴EM＝EH， ∵∠ACE＝∠ECH＝40°， ∴CE平分∠ACD， ∴EN＝EH， ∴EM＝EN， ∴AE平分∠CAF； （3）解：∵AC+CD＝14，S△ACD＝21，EM＝EN＝EH， ， 即， 解得EM＝3， ∵AB＝8.5， 35．（24-25八上•广东珠海•香洲区期中）如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE． （1）求∠DAE的值； （2）求证：DE平分∠ADC； （3）若AB＝6，AD＝4，CD＝8，且S△ACD＝18，求△ABE的面积． （1）解：∵EF⊥AB， ∴∠AFE＝90°， ∴∠EAF＝90°﹣∠AEF＝90°﹣50°＝40°， ∵∠BAD＝100°， ∴∠DAE＝180°﹣100°﹣40°＝40°； （2）证明：过E作EM⊥AD于M，EN⊥BC于N， ∵BE平分∠ABC，EF⊥AB， ∴EF＝EN， ∵∠EAF＝∠DAE＝40°， ∴AE平分∠DAF， ∴FE＝EM， ∴EM＝EN， ∵EM⊥AD，EN⊥CD， ∴DE平分∠ADC； （3）解：∵△ACD的面积＝△ADE的面积+△CDE的面积， ∴， ∴， ∴， ∴EM＝3， ∴EF＝3， ∴△ABE的面积． 36（24-25八上•广东汕头•潮阳区期中）如图，已知在△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB． （1）如图1，求∠BDC的度数； （2）如图2，连接AD，作DE⊥AB，DE＝2，AC＝4，求△ADC的面积． 解：（1）∵BD平分∠ABC ， ∵CD平分∠ACB， ， ∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB ＝180°﹣30°﹣20° ＝130°， ∴∠BDC的度数为130°； （2）过点D作DF⊥AC，垂足为F，过点D作DH⊥BC，垂足为H， ∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DH⊥BC， ∴DH＝DE＝2， ∵CD平分∠ACB，DF⊥AC，DH⊥BC， ∴DF＝DH＝2， ∴△ADC的面积 ＝4 ∴△ADC的面积为4． 地 城 考点04 与角平分线的性质相关的多结论问题 一、选择题 37．（24-25八上•山东日照•期中）如图，AD平分∠BAC，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF．则下列结论中： ①AD是△ABC的高； ②AD是△ABC的中线； ③ED＝FD； ④AB＝AE+BF． 其中正确的个数有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 解：∵BC恰好平分∠ABF， ∴∠ABC＝∠FBD， ∵AC∥BF， ∴∠C＝∠FBD， ∴∠C＝∠ABC， ∴△ABC为等腰三角形， ∵AD平分∠BAC， ∴AD⊥BC，CD＝BD，所以①②正确； 过D点作DH⊥AB于H，如图， ∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，DH⊥AB， ∴DE＝DH， ∵AC∥BF，DE⊥AC， ∴DF⊥BF， ∵BD平分∠ABF，DH⊥AB， ∴DH＝DF， ∴DE＝DF，所以③正确； 在△ADE和△ADH中， ∴△ADE≌△ADH（HL）， ∴AH＝AE， 同理可得BH＝BF， ∴AB＝AH+BH＝AE+BF，所以④正确． 答案：A． 38．（24-25八上•山东枣庄•薛城区期中）如图，△ABC两个外角的平分线BD与CE相交于点P，PN⊥AC于点N，PM⊥AB于点M，且BD∥AC，小明同学得出了下列结论：①PM＝PN；②点P在∠CAB的平分线上；③∠CPB＝90°﹣∠A；④AB＝CB．其中错误的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 解：过点P作PG⊥BC于点G， ∵BD平分∠MBD，CE平分∠BCN，PN⊥AC于点N，PM⊥AB于点M， ∴PM＝PG，PN＝PG， ∴PM＝PN，故①正确； 连接AP， ∵PM＝PN， ∴点P在∠CAB的平分线上，故②正确； ∵BD∥AC， ∴∠A＝∠MBP， ∵PM⊥AB， ∴∠MBP+∠BPM＝90°， ∴∠MPB＝90°﹣∠A， 在Rt△BPM与Rt△BPG中， ∴Rt△BPM≌Rt△BPG（HL）， ∴∠GPB＝∠MPB， ∴∠GPB＝90°﹣∠A，由图可知∠BPC≠∠BPG，故③错误； ∵BD是∠MBC的平分线， ∴∠MBP＝∠PBC， ∵BD∥AC， ∴∠A＝∠MBP，∠ACB＝∠PBC， ∴∠A＝∠ACB， ∴AB＝CB，故④正确． 答案：A． 39．（24-25八上•陕西宝鸡•陇县期中）如图，△ABC中，AD⊥BC交BC于D，AE平分∠BAC交BC于E，F为BC的延长线上一点，FG⊥AE交AD的延长线于G，AC的延长线交FG于H，连接BG，下列结论： ①∠DAE＝∠F； ②2∠DAE＝∠ABD﹣∠ACE； ③S△AEB：S△AEC＝AB：AC； ④∠AGH＝∠BAE+∠ACB．其中正确的结论有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 解：如图，AE交GF于M， ①∵AD⊥BC，FG⊥AE， ∴∠ADE＝∠AMF＝90°， ∵∠AED＝∠MEF， ∴∠DAE＝∠F；故①正确； ②∵AE平分∠BAC交BC于E， ∴， ∠DAE＝90°﹣∠AED ＝90°﹣（∠ACE+∠EAC）， ， ， ， 即2∠DAE＝∠ABD﹣∠ACE， 故②正确； ③∵AE平分∠BAC交BC于E， ∴点E到AB和AC的距离相等， ∴S△AEB：S△AEC＝AB：CA；故③正确， ④∵∠DAE＝∠F，∠FDG＝∠FME＝90°， ∴∠AGH＝∠MEF， ∵∠MEF＝∠CAE+∠ACB， ∴∠AGH＝∠CAE+∠ACB， ∴∠AGH＝∠BAE+∠ACB；故④正确； 答案：D． 40．（24-25八上•天津河东区•期中）如图，△ABC中，∠ACF、∠EAC的角平分线CP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF．则下列结论中正确的个数（　　） ①BP平分∠ABC；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠CAB＝2∠CPB；④S△PAC＝S△MAP+S△NCP． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解：过P作PQ⊥AC于Q， ∵∠ACF、∠EAC的角平分线CP、AP交于点P，PM⊥BE，PN⊥BF， ∴PM＝PQ，PQ＝PN， ∴PM＝PN， ∴P在∠ABC的角平分线上，即BP平分∠ABC，故①正确； ∵PM⊥AB，PN⊥BC，PQ⊥AC， ∴∠PMA＝∠PQA＝90°，∠PQC＝∠PNC＝90°， 在Rt△PMA和Rt△PQA中， ∴Rt△PMA≌Rt△PQA（HL）， ∴∠MPA＝∠QPA， 同理Rt△PQC≌Rt△PNC， ∴∠QPC＝∠NPC， ∵∠PMA＝∠PNC＝90°， ∴∠ABC+∠MPN＝360°﹣90°﹣90°＝180°， ∴∠ABC+2∠APC＝180°，故②正确； ∵PC平分∠FCA，BP平分∠ABC， ∴∠FCA＝∠ABC+∠CAB＝2∠PCN， 又 ∴∠CAB＝2∠CPB，故③正确； ∵Rt△PMA≌Rt△PQA，Rt△PQC≌Rt△PNC， ∴S△PAC＝S△MAP+S△NCP，故④正确； 即正确的个数是4， 答案：D． 二、填空题 41．（24-25八上•江苏无锡•惠山区期中）如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF，则下列结论中正确的是 　①②③④　 ．（填序号） ①CP平分∠ACF； ②∠ABC+2∠APC＝180°； ③∠ACB＝2∠APB； ④S△PAC＝S△MAP+S△NCP． 解：①过点P作PD⊥AC于D， ∵PB平分∠ABC，PA平分∠EAC，PM⊥BE，PN⊥BF，PD⊥AC， ∴PM＝PN，PM＝PD， ∴PM＝PN＝PD， ∴点P在∠ACF的角平分线上，故①正确； ②∵PM⊥AB，PN⊥BC， ∴∠ABC+90°+∠MPN+90°＝360°， ∴∠ABC+∠MPN＝180°， 在Rt△PAM和Rt△PAD中， ， ∴Rt△PAM≌Rt△PAD（HL）， ∴∠APM＝∠APD， 同理：Rt△PCD≌Rt△PCN（HL）， ∴∠CPD＝∠CPN， ∴∠MPN＝2∠APC， ∴∠ABC+2∠APC＝180°，②正确； ③∵PA平分∠CAE，BP平分∠ABC， ∴∠CAE＝∠ABC+∠ACB＝2∠PAM，∠PAM＝∠ABC+∠APB， ∴∠ACB＝2∠APB，③正确； ④由②可知Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），Rt△PCD≌Rt△PCN（HL） ∴S△APD＝S△APM，S△CPD＝S△CPN， ∴S△APM+S△CPN＝S△APC，故④正确， 答案：①②③④． 42．（24-25八上•广东广州•期中）如图，△ABC的内角∠ABC和外角∠ACD的角平分线交于点O．BO交AC于点F，过点O作OG∥BC交BA延长线于点E，交CA延长线于点G，连接AO，有以下结论：①CG﹣BE＝GE；②FG＝FO；③S△BCO：S△ABO＝BC：AB；④若∠ACO＝α，则∠AOB＝90°﹣α．其中正确的结论有　①③④　 ． 解：△ABC的内角∠ABC和外角∠ACD的角平分线交于点O，BO交AC于点F，过点O作OG∥BC交BA延长线于点E，交CA延长线于点G，连接AO， 对于①，∵CO平分∠ACD， ∴∠1＝∠2， ∵OG∥BC， ∴∠2＝∠GOC， ∴∠1＝∠GOC， ∴GC＝GO， 同理可得：EB＝EO， ∵OG﹣OE＝GE， ∴CG﹣BE＝GE， 故①正确； 对于②，条件不足，证明不出， 故②错误； 对于③，过点O作OM⊥BD，ON⊥BE，垂足分别为M，N， ∵BO平分∠ABC， ∴OM＝ON， ∴， 故③正确； 对于④，过点O作OH⊥AC于点H， 同上可得OM＝OH， ∵OM＝ON， ∴ON＝OH， ∵ON⊥AE，OH⊥AC， ∴AO平分∠CAE，则∠5＝∠6， 设∠1＝∠2＝α， 设∠3＝∠4＝β， ∴∠ACB＝180°﹣2α， ∴∠EAC＝∠ABC+∠ACB＝2β+180°﹣2α， ∴∠6＝β+90°﹣α，∠BAC＝180°﹣∠EAC＝2α﹣2β， 在△ABO中， ∴∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠ABO＝180°﹣（β+90°﹣α+2α﹣2β）﹣β＝90°﹣α， 故④正确， 综上所述，正确的选项有三个，分别是①③④． 答案：①③④． 地 城 考点05 角平分线的基本作图 一、选择题 43．（24-25八上•湖南长沙•期中）已知∠AOB，求作射线OC，使OC平分∠AOB，那么作法的合理顺序是（　　） ①作射线OC； ②在射线OA和OB上分别截取OD、OE，使OD＝OE； ③分别以D、E为圆心，大于的长为半径在∠AOB内作弧，两弧交于点C． A．①②③ B．②①③ C．②③① D．③①② 解：根据作一个角的平分线的过程可知： ②在射线OA和OB上分别截取OD、OE，使OD＝OE； ③分别以D、E为圆心，大于的长为半径在∠AOB内作弧，两弧交于点C； ①作射线OC． 则射线OC平分∠AOB． 所以作法的合理顺序是②③①． 答案：C． 44．（24-25八上•重庆九龙坡区•期中）如图，在△ABC中，以点C为圆心，适当长为半径画弧，交CB于点D，交CA于点E，分别以点D、E为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点F，射线CF交AB于点G．若∠A＝24°，∠B＝120°，则∠BCG为（　　） A．12° B．18° C．28° D．36° 解：由作图过程可知，CG为∠ACB的平分线， ． ∵∠A＝24°，∠B＝120°， ∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝36°， ∴∠BCG＝18°． 答案：B． 45．（24-25八上•浙江杭州•期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边AC，AB于点M、N，再分别以M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝4，AB＝25，则△ABD的面积为（　　） A．25 B．45 C．50 D．100 解：如图，过点D作DH⊥AB于H． 由作图可知，AD平分∠CAB， ∵DC⊥AC，DH⊥AB， ∴DC＝DH＝4， ， 答案：C． 46．（24-25八上•广西南宁•江南区期中）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，利用尺规在BC，BA上分别截取BE，BD，使BE＝BD；分别以D，E为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F；作射线BF交AC于点G．若AC＝3，BC＝4，AB＝5，P为AB上一动点，则GP的最小值为（　　） A． B． C． D． 解：如图，过点G作GH⊥AB于点H． ∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5， 由作图过程可知：BG平分∠ABC，GC⊥BC，GH⊥AB， ∴GH＝GC， 设GH＝GC＝x，则有， ， ， ∵P为AB上一动点， 则GP的最小值为， 答案：B． 二、填空题 47．（24-25八上•山东东营•东营区期中）如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝50°，观察尺规作图的痕迹，则∠DAE的度数为 　25°　 ． 解：∵DF垂直平分线段AB， ∴DA＝DB， ∴∠BAD＝∠B＝40°， ∵∠B＝40°，∠C＝50°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣40°﹣50°＝90°， ∴∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝90°﹣40°＝50°， ∵AE平分∠CAD， ∴∠DAE＝∠CAD＝×50°＝25°， 答案：25°． 48．（24-25八上•湖北孝感•安陆市期中）如图，在锐角三角形ABC中，AD是边BC上的高，在BA，BC上分别截取线段BE，BF，使BE＝BF；分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，在∠ABC内，两弧交于点P，作射线BP，交AD于点M，过点M作MN⊥AB于点N．若MN＝2，AD＝4MD，则AM＝ 　6　 ， 解：由作图过程可知，BP为∠ABC的平分线， ∵AD是边BC上的高， ∴AD⊥BC， ∵MN⊥AB， ∴MD＝MN＝2． ∴AD＝4MD＝8， ∴AM＝AD﹣MD＝6． 答案：6． 49．（24-25八上•湖北武汉•期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝44°，按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当的长为半径作弧，分别交AC，AB于M，N两点；②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作射线AP，交BC于点E．则∠CAE＝ 　23　 °． 解：由作法得AP平分∠BAC， ∴∠CAE＝∠BAC， ∵∠ACB＝90°，∠B＝44°， ∴∠BAC＝90°﹣44°＝46°， ∴∠CAE＝×46°＝23°． 答案：23． 50．（24-25八上•山东泰安•宁阳县期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点D，若CD＝2，AB＝5，则△ABD的面积是　5　 ． 解：作DE⊥AB于E， ∵∠C＝90°， ∴CD⊥AC， 由作图步骤可得AD为∠CAB的平分线， ∵DE⊥AB， ∴DE＝CD＝2， ∵AB＝5， ∴△ABD的面积． 答案：5． 三、解答题 51．（24-25八上•陕西西安•新城区期中）如图，点P在射线BA上，使用尺规作图法在BC上求一点D，使∠BPD＝∠B．（不写作法，保留作图痕迹） 解：如图所示． 52．（24-25八上•广东广州•越秀区期中）如图，已知△ABC中，AB＝AC，在AC上有一点D，延长BD，并在BD的延长线上取点E，使AE＝AB，连接AE． （1）作图：作∠EAC的平分线AF，交DE于点F，（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，连接CF，求证：∠ABE＝∠ACF． （1）解：如图所示：射线AF即为∠EAC的平分线AF； （2）证明：连接CF， ∵AB＝AC，AE＝AB， ∴AE＝AC，∠ABE＝∠AEB， 在△EAF和△CAF中， ∴△EAF≌△CAF（SAS）， ∴∠AEF＝∠ACF， ∴∠ABE＝∠ACF． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $