专题03 绝对值 4大高频考点（期中真题汇编）七年级数学上学期人教版2024

专题03 绝对值 4大高频考点概览 考点01 绝对值的概念 考点02 利用绝对值的性质求值 考点03 分类讨论问题 考点04 最值问题 地 城 考点01 绝对值的概念 一、选择题 1．（24-25七上•安徽蚌埠•期中）的绝对值是（　　） A． B．﹣ C．﹣2025 D．2025 2．（24-25七上•河南南阳•镇平县期中）如图，检测5个排球，其中超过标准的克数记为正数，不足的克数记为负数．从轻重的角度看，哪个球最接近标准？（　　） A．﹣3.5 B．+0.7 C．﹣2.5 D．﹣0.6 3．（24-25七上•上海宝安区•期中）下列四个数中，绝对值最大的是（　　） A．2 B． C．0 D．﹣3 4．（24-25七上•广东广州•番禺区期中）下列各式中正确的是（　　） A．|﹣5|＝﹣|5| B．|﹣5|＝﹣5 C．|﹣5|＝|5| D．﹣|﹣5|＝5 5．（24-25七上•云南昆明•官渡区期中）若|a﹣5|＝5﹣a，则a的取值范围为（　　） A．a≤5 B．a＜5 C．a≥5 D．a＞5 6．（24-25七上•湖南娄底•期中）下列结论成立的是（　　） A．若|a|＝a，则a＞0 B．若|a|＝|b|，则a＝b或a＝﹣b C．若|a|＞a，则a≤0 D．若|a|＞|b|，则a＞b． 二、填空题 7．（24-25七上•广西南宁•期中）＝　 　． 8．（24-25七上•黑龙江牡丹江•期中）某有理数满足它的绝对值等于它的相反数，写出一个符合该条件的数　 　． 9．（24-25七上•北京顺义区•期中）|﹣7|＝　 　，绝对值等于6的数有　 　． 10．（24-25七上•广东深圳•龙华区期中）已知a是﹣5的相反数，b是绝对值最小的数，c是最大的负整数，则3a+2b+c的值是　 　． 地 城 考点02 利用绝对值的性质求值 一、选择题 11．（24-25七上•贵州遵义•播州区期中）已知a＝﹣4，且|a|＝|b|，则b的值为（　　） A．4 B．﹣4 C．±4 D．0 12．（24-25七上•广东湛江•麻章区期中）已知数a满足|a﹣1|＝1﹣a，则a不可能为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 13．（24-25七上•山西大同•云冈区期中）若x的相反数是3，|y|＝5，则x+y的值为（　　） A．﹣8 B．2 C．8或﹣2 D．﹣8或2 14．（24-25七上•天津南开区•期中）若|x﹣1|+|y+2|＝0，则5x﹣2y的值为（　　） A．﹣9 B．3 C．9 D．﹣1 15．（24-25七上•河南驻马店•正阳县期中）当2＜a＜3时，代数式|a﹣3|+|2﹣a|的值是（　　） A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣3 16．（24-25七上•河南南阳•期中）若|a﹣1|与|b+2|互为相反数，则（a+b）2025的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．0 D．﹣2 二、填空题 17．（24-25七上•黑龙江大庆•期中）若a与﹣1互为相反数，则|a﹣2|等于　 　． 18．（24-25七上•四川成都•锦江区期中）绝对值大于2且小于5的所有整数的和是　 　． 19．（24-25七上•湖南长沙•期中）若|a﹣2|+|b+4|＝0，则ba的值为　 　． 20．（24-25七上•浙江杭州•期中）已知a、b、c的位置如图：则化简|a|+|a﹣c|﹣|c﹣b|＝　 　． 三、解答题 21．（24-25七上•广东深圳•期中）有理数a、b、c在数轴上的位置如图： （1）判断正负，用“＞”或“＜”填空：b﹣c　 　0，a+b　 　0，c﹣a　 　0． （2）化简：|b﹣c|+|a+b|﹣|c﹣a|． 22．（24-25七上•江西景德镇•乐平市期中）已知有理数ab＜0，a+b＞0，且|a|＝2，|b|＝3，求的值． 地 城 考点03 分类讨论问题 一、选择题 23．（24-25七上•浙江杭州•期中）已知|m|＝4，|n|＝6，且m+n＝|m+n|，则m﹣n的值是（　　） A．﹣10 B．﹣2 C．﹣2或﹣10 D．2 24．（24-25七上•四川绵阳•江油市期中）已知：有理数a，b满足ab≠0，则的值为（　　） A．±2 B．±1 C．±2或0 D．±1或0 25．（24-25七上•福建泉州•鲤城区期中）已知a，b，c为非零的实数，则的可能值的个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 26．（24-25七上•广东清远•期中）若3a+b＝0（a≠0），则的值为（　　） A．0或1 B．﹣1或0 C．﹣1 D．﹣2 二、填空题 27．（24-25七上•四川攀枝花•期中）已知|a|＝2，|b|＝3，a＞b，则a+b＝　 　． 28．（24-25七上•山东日照•东港区期中）若实数a，b满足|a|＝2，|4﹣b|＝1﹣a，则a+b＝　 　． 29．（24-25七上•江苏南京•期中）已知|x|＝2，|y|＝3，且xy＜0，则x+y的值为　 　． 30．（24-25七上•江西九江•永修县期中）若有理数x，y满足xy≠0，且，则m＝　 　． 三、解答题 31．（24-25七上•湖南湘西•凤凰县期中）同学们都知道，|4﹣（﹣2）|表示4与﹣2的差的绝对值，实际上也可理解为4与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理|x﹣3|也可理解为x与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探索： （1）求|4﹣（﹣2）|＝　 　 ； （2）若|x﹣2|＝5，则x＝　 　 ； （3）请你找出所有符合条件的整数x，使得|1﹣x|+|x+2|＝3． 32．（24-25七上•广东汕头•龙湖区期中）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】三个有理数a，b，c满足abc＞0，求的值． 【解决问题】解：由题意，得a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①a，b，c都是正数，即a＞0，b＞0，c＞0时，则； ②当a，b，c中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设a＞0，b＜0，c＜0，则 ． 综上所述，值为3或﹣1． 【探究拓展】请根据上面的解题思路解答下面的问题： （1）已知a，b是不为0的有理数，当|ab|＝﹣ab时，则的值是 　 　 ； （2）已知a，b，c是有理数，当abc＜0时，求的值； （3）已知a，b，c是有理数，a+b+c＝0，abc＜0，求的值． 地 城 考点04 最值问题 一、选择题 33．（24-25七上•江苏宿迁•期中）式子5﹣|x﹣2|的最大值是（　　） A．5 B．7 C．3 D．0 34．（24-25七上•重庆江岸区•期中）若a是任意的有理数，则式子2024﹣|a﹣2024|的最大值是（　　） A．2024 B．4048 C．a D．﹣a 35．（24-25七上•黑龙江大庆•期中）式子|x+1|+2取最小值时，x等于（　　） A．0 B．1 C．2 D．﹣1 36．（24-25七上•福建厦门•思明区期中）已知|2﹣6|表示2与6的差的绝对值，也可理解为2与6两数在数轴上对应的两点之间的距离；同理|x﹣4|+|x+2|表示数轴上有理数x对应的点到4和﹣2对应的两点的距离之和，可以借助数轴分析得|x﹣4|+|x+2|的最小值为6．利用该方法，可得|x+6|+|x+2|+|x﹣2|+2|x﹣4|的最小值为（　　） A．15 B．16 C．17 D．18 二、填空题 37．（24-25七上•黑龙江哈尔滨•南岗区期中）已知a为有理数，则|a﹣2|+4的最小值为 　 　 ． 38．（24-25七上•浙江宁波•期中）|x﹣1|+2|x﹣2|+3|x﹣3|+4|x﹣4|的最小值为 　 　 ． 39．（24-25七上•福建厦门•湖里区期中）已知a，m，n均为有理数，且满足|a﹣x|＝3，|y﹣a|＝5，那么|x﹣y|的最大值为　 　． 40．（24-25七上•浙江杭州•西湖区期中）已知|2﹣（﹣1）|表示2与﹣1的差的绝对值，实际上可理解为在数轴上正数2对应的点与负数﹣1对应的点之间的距离，则|x﹣1|+|x+1|+|x﹣3|的最小值为　 　． 41．（24-25七上•重庆合川区•期中）当x＝a时，代数式|x﹣1|+10有最小值b，则a+b的值为　 　． 42．（24-25七上•四川泸州•江阳区期中）当代数式|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是　 ． 三、解答题 43．（24-25七上•天津河西区•期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是　 　；表示﹣3和2两点之间的距离是　 　；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．如果表示数a和﹣1的两点之间的距离是3，那么a＝　 　． （2）若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，则|a+4|+|a﹣2|的值为　 　； （3）利用数轴找出所有符合条件的整数点x，使得|x+2|+|x﹣5|＝7，这些点表示的数的和是　 　． （4）当a＝　 　时，|a+3|+|a﹣1|+|a﹣4|的值最小，最小值是　 　． 44．（24-25七上•福建龙岩•上杭县期中）大家知道|5|＝|5﹣0|，它在数轴上表示5的点与原点（即表示0的点）之间的距离．又如式子|6﹣3|，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离．即点A、B在数轴上分别表示数a、b，则A、B两点的距离可表示为：|AB|＝|a﹣b|．根据以上信息，回答下列问题： （1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是　 　；数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是　 　； （2）点A、B在数轴上分别表示实数x和﹣1． ①用代数式表示A、B两点之间的距离； ②如果|AB|＝2，求x的值． （3）直接写出代数式|x+1|+|x﹣4|的最小值及相应的x的取值范围． 45．（24-25七上•浙江金华•东阳市期中）对于有理数x，y，a，t，若|x﹣a|+|y﹣a|＝t，则称x和y关于a的“美好关联数”为t，例如，|2﹣1|+|3﹣1|＝3，则2和3关于1的“美好关联数”为3． （1）﹣3和5关于2的“美好关联数”为　 　； （2）若x和2关于3的“美好关联数”为4，求x的值； （3）若x0和x1关于1的“美好关联数”为1，x1和x2关于2的“美好关联数”为1，x2和x3关于3的“美好关联数”为1，…，x40和x41关于41的“美好关联数”为1，…． ①x0+x1的最小值为　 　； ②x1+x2+x3+……+x40的最小值为　 　． 46．（24-25七上•云南昆明•官渡区期中）同学们都知道，|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索 （1）求|5﹣（﹣2）|＝　 　； （2）同样道理|x+1008|＝|x﹣1005|表示数轴上有理数x所对点到﹣1008和1005所对的两点距离相等，则x＝　 　 （3）类似的|x+5|+|x﹣2|表示数轴上有理数x所对点到﹣5和2所对的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得|x+5|+|x﹣2|＝7，这样的整数是　 　． （4）由以上探索猜想对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 绝对值 4大高频考点概览 考点01 绝对值的概念 考点02 利用绝对值的性质求值 考点03 分类讨论问题 考点04 最值问题 地 城 考点01 绝对值的概念 一、选择题 1．（24-25七上•安徽蚌埠•期中）的绝对值是（　　） A． B． C．﹣2025 D．2025 解：． 答案：A． 2．（24-25七上•河南南阳•镇平县期中）如图，检测5个排球，其中超过标准的克数记为正数，不足的克数记为负数．从轻重的角度看，哪个球最接近标准？（　　） A．﹣3.5 B．+0.7 C．﹣2.5 D．﹣0.6 解：通过求五个排球的绝对值得： |﹣0.6|＝0.6，|+0.7|＝0.7，|﹣2.5|＝2.5，|﹣3.5|＝3.5，|5|＝5， ﹣0.6的绝对值最小． 所以最后一个球是接近标准的球． 答案：D． 3．（24-25七上•上海宝安区•期中）下列四个数中，绝对值最大的是（　　） A．2 B． C．0 D．﹣3 解：A、|2|＝2；B、；C、|0|＝0；D、|﹣3|＝3； ∵， ∴四个数中绝对值最大的是﹣3． 答案：D． 4．（24-25七上•广东广州•番禺区期中）下列各式中正确的是（　　） A．|﹣5|＝﹣|5| B．|﹣5|＝﹣5 C．|﹣5|＝|5| D．﹣|﹣5|＝5 解：A、|﹣5|＝5，﹣|5|＝﹣5，|﹣5|≠﹣|5|，选项错误，不符合题意； B、|﹣5|＝5，5≠﹣5，选项错误，不符合题意； C、|﹣5|＝5，|5|＝5，5＝5，选项正确，符合题意； D、﹣|﹣5|＝﹣5，5≠﹣5，选项错误，不符合题意． 答案：C． 5．（24-25七上•云南昆明•官渡区期中）若|a﹣5|＝5﹣a，则a的取值范围为（　　） A．a≤5 B．a＜5 C．a≥5 D．a＞5 解：根据绝对值的意义可得a﹣5≤0， ∴a≤5， 答案：A． 6．（24-25七上•湖南娄底•期中）下列结论成立的是（　　） A．若|a|＝a，则a＞0 B．若|a|＝|b|，则a＝b或a＝﹣b C．若|a|＞a，则a≤0 D．若|a|＞|b|，则a＞b． 解：A．若|a|＝a，则a为正数或0，故结论不成立； B．若|a|＝|b|，则a与b互为相反数或相等，故结论成立； C．若|a|＞a，则a为负数，故结论不成立； D．若|a|＞|b|，若a，b均为负数，则a＜b，故结论不成立； 答案：B． 二、填空题 7．（24-25七上•广西南宁•期中）　　 ． 解：， 答案： 8．（24-25七上•黑龙江牡丹江•期中）某有理数满足它的绝对值等于它的相反数，写出一个符合该条件的数 　﹣1　 ． 解：因为负数的绝对值等于其相反数，故写一负数即可， 答案：﹣1． 9．（24-25七上•北京顺义区•期中）|﹣7|＝ 　7　 ，绝对值等于6的数有 　±6　 ． 解：|﹣7|＝7， ∵|±6|＝6， ∴绝对值等于6的数有±6， 答案：7，±6． 10．（24-25七上•广东深圳•龙华区期中）已知a是﹣5的相反数，b是绝对值最小的数，c是最大的负整数，则3a+2b+c的值是　14　 ． 解：根据题意可知，a是﹣5的相反数，b是绝对值最小的数，c是最大的负整数， ∴a＝5，b＝0，c＝﹣1， ∴原式＝3×5+2×0+（﹣1）＝15+0﹣1＝14． 答案：14． 地 城 考点02 利用绝对值的性质求值 一、选择题 11．（24-25七上•贵州遵义•播州区期中）已知a＝﹣4，且|a|＝|b|，则b的值为（　　） A．4 B．﹣4 C．±4 D．0 解：由题意得，|a|＝|﹣4|＝4． ∵|a|＝|b|， ∴|b|＝4． ∴b＝±4． 答案：C． 12．（24-25七上•广东湛江•麻章区期中）已知数a满足|a﹣1|＝1﹣a，则a不可能为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 解：∵|a﹣1|＝1﹣a， ∴a≤1， 故选项A，B，C符合题意，D不符合题意． 答案：D． 13．（24-25七上•山西大同•云冈区期中）若x的相反数是3，|y|＝5，则x+y的值为（　　） A．﹣8 B．2 C．8或﹣2 D．﹣8或2 解：x的相反数是3，则x＝﹣3， |y|＝5，y＝±5， ∴x+y＝﹣3+5＝2，或x+y＝﹣3﹣5＝﹣8． 则x+y的值为﹣8或2． 答案：D． 14．（24-25七上•天津南开区•期中）若|x﹣1|+|y+2|＝0，则5x﹣2y的值为（　　） A．﹣9 B．3 C．9 D．﹣1 解：∵|x﹣1|+|y+2|＝0， ∴x﹣1＝0，y+2＝0， ∴x＝1，y＝﹣2， ∴5x﹣2y＝5×1﹣2×（﹣2）＝9． 答案：C． 15．（24-25七上•河南驻马店•正阳县期中）当2＜a＜3时，代数式|a﹣3|+|2﹣a|的值是（　　） A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣3 解：∵2＜a＜3， ∴a﹣3＜0，2﹣a＜0， ∴原式＝3﹣a+a﹣2＝1． 答案：B． 16．（24-25七上•河南南阳•期中）若|a﹣1|与|b+2|互为相反数，则（a+b）2025的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．0 D．﹣2 解：∵|a﹣1|和|b+2|互为相反数， ∴|a﹣1|+|b+2|＝0， ∴a﹣1＝0，b+2＝0， ∴a＝1，b＝﹣2， ∴（a+b）2025＝（1﹣2）2025＝﹣1． 答案：B． 二、填空题 17．（24-25七上•黑龙江大庆•期中）若a与﹣1互为相反数，则|a﹣2|等于 　1　 ． 解：∵a和﹣1互为相反数， ∴a+（﹣1）＝0， ∴a＝1， ∴|a﹣2|＝1． 答案：1． 18．（24-25七上•四川成都•锦江区期中）绝对值大于2且小于5的所有整数的和是 　0　 ． 解：根据绝对值性质，可知绝对值大于2且小于5的所有整数为±3，±4． 所以3﹣3+4﹣4＝0． 19．（24-25七上•湖南长沙•期中）若|a﹣2|+|b+4|＝0，则ba的值为 　16　 ． 解：∵|a﹣2|+|b+4|＝0， ∴a﹣2＝0，b+4＝0， ∴a＝2，b＝﹣4， ∴ba＝（﹣4）2＝16． 答案：16． 20．（24-25七上•浙江杭州•期中）已知a、b、c的位置如图：则化简|a|+|a﹣c|﹣|c﹣b|＝　﹣2a+b　 ． 解：由数轴图可知，a＜0＜b＜c，|a|＜b＜c， ∴a﹣c＜0，c﹣b＞0， ∴|a|+|a﹣c|﹣|c﹣b| ＝﹣a+[﹣（a﹣c）]﹣（c﹣b） ＝﹣a﹣a+c﹣c+b ＝﹣2a+b． 答案：﹣2a+b． 三、解答题 21．（24-25七上•广东深圳•期中）有理数a、b、c在数轴上的位置如图： （1）判断正负，用“＞”或“＜”填空：b﹣c 　＜　 0，a+b 　＜　 0，c﹣a 　＞　 0． （2）化简：|b﹣c|+|a+b|﹣|c﹣a|． 解：（1）由图可知，a＜0，b＞0，c＞0且|b|＜|a|＜|c|， 所以，b﹣c＜0，a+b＜0，c﹣a＞0； 答案：＜，＜，＞； （2）|b﹣c|+|a+b|﹣|c﹣a| ＝（c﹣b）+（﹣a﹣b）﹣（c﹣a） ＝c﹣b﹣a﹣b﹣c+a ＝﹣2b． 22．（24-25七上•江西景德镇•乐平市期中）已知有理数ab＜0，a+b＞0，且|a|＝2，|b|＝3，求的值． 解：∵|a|＝2，|b|＝3， ∴a＝±2，b＝±3． ∵ab＜0， ∴a＝﹣2，b＝3，或a＝2，b＝﹣3． 又∵a+b＞0， ∴a＝﹣2，b＝3． 地 城 考点03 分类讨论问题 一、选择题 23．（24-25七上•浙江杭州•期中）已知|m|＝4，|n|＝6，且m+n＝|m+n|，则m﹣n的值是（　　） A．﹣10 B．﹣2 C．﹣2或﹣10 D．2 解：∵m+n＝|m+n|，|m|＝4，|n|＝6， ∴m＝4，n＝6或m＝﹣4，n＝6， ∴m﹣n＝4﹣6＝﹣2或m﹣n＝﹣4﹣6＝﹣10． 答案：C． 24．（24-25七上•四川绵阳•江油市期中）已知：有理数a，b满足ab≠0，则的值为（　　） A．±2 B．±1 C．±2或0 D．±1或0 解：∵ab≠0， ∴a＞0，b＜0，此时原式＝1﹣1＝0； a＞0，b＞0，此时原式＝1+1＝2； a＜0，b＜0，此时原式＝﹣1﹣1＝﹣2； a＜0，b＞0，此时原式＝﹣1+1＝0， 答案：C． 25．（24-25七上•福建泉州•鲤城区期中）已知a，b，c为非零的实数，则的可能值的个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 解：①a、b、c三个数都是正数时， 原式＝1+1+1+1 ＝4； ②设为a＞0，b＞0，c＜0， 则ab＞0，ac＜0，bc＜0， 原式＝1+1﹣1﹣1 ＝0； 设为a＞0，b＜0，c＞0， 则ab＜0，ac＞0，bc＜0， 原式＝1﹣1+1﹣1 ＝0； 设为a＜0，b＞0，c＞0， 则ab＜0，ac＜0，bc＞0， 原式＝﹣1﹣1﹣1+1 ＝﹣2； ③设为a＞0，b＜0，c＜0， 则ab＜0，ac＜0，bc＞0， 原式＝1﹣1﹣1+1 ＝0； 设为a＜0，b＞0，c＜0， 则ab＜0，ac＞0，bc＜0， 原式＝﹣1﹣1+1﹣1 ＝﹣2； 设为a＜0，b＜0，c＞0， 则ab＞0，ac＜0，bc＜0， 原式＝﹣1+1﹣1﹣1 ＝﹣2； ④a、b、c三个数都是负数时，即a＜0，b＜0，c＜0， 则ab＞0，ac＞0，bc＞0， 原式＝﹣1+1+1+1 ＝2． 综上所述，的可能值的个数为4． 答案：C． 26．（24-25七上•广东清远•期中）若3a+b＝0（a≠0），则的值为（　　） A．0或1 B．﹣1或0 C．﹣1 D．﹣2 解：∵3a+b＝0（a≠0）， ∴3a＝﹣b， ， 分两种情况： 当a＞0时，则b＜0， ∴ ＝﹣2； 当a＜0时，则b＞0， ∴ ＝﹣2； 综上所述：的值为﹣2， 答案：D． 二、填空题 27．（24-25七上•四川攀枝花•期中）已知|a|＝2，|b|＝3，a＞b，则a+b＝　﹣5或﹣1　 ． 解：∵|a|＝2，|b|＝3， ∴a＝±2，b＝±3， 而a＞b， ∴a＝﹣2，b＝﹣3；a＝2，b＝﹣3， 当a＝﹣2，b＝﹣3时，a+b＝﹣2﹣3＝﹣5； 当a＝2，b＝﹣3时，a+b＝2﹣3＝﹣1． 答案：﹣5或﹣1． 28．（24-25七上•山东日照•东港区期中）若实数a，b满足|a|＝2，|4﹣b|＝1﹣a，则a+b＝　﹣1或5　 ． 解：∵|a|＝2， ∴a＝±2， 当a＝2时，|4﹣b|＝1﹣2＝﹣1，此时b不存在； 当a＝﹣2时，|4﹣b|＝3， 所以4﹣b＝3或4﹣b＝﹣3， 即b＝1或b＝7， 当a＝﹣2，b＝1时，a+b＝﹣1； 当a＝﹣2，b＝7时，a+b＝5， 答案：﹣1或5． 29．（24-25七上•江苏南京•期中）已知|x|＝2，|y|＝3，且xy＜0，则x+y的值为　±1　 ． 解：∵|x|＝2，|y|＝3， ∴x＝±2，y＝±3， ∵xy＜0， ∴xy符号相反， ①x＝2，y＝﹣3时，x+y＝﹣1； ②x＝﹣2，y＝3时，x+y＝1． 答案：±1． 30．（24-25七上•江西九江•永修县期中）若有理数x，y满足xy≠0，且，则m＝　﹣4或0或2　 ． 解：当x、y的符号都为正时，则原式， 当x、y的符号都为负时，则； 当x、y的符号为一正，一负时，不妨设x的符号为负，则 ； 综上所述，m＝﹣4或m＝0或m＝2， 答案：﹣4或0或2． 三、解答题 31．（24-25七上•湖南湘西•凤凰县期中）同学们都知道，表示4与的差的绝对值，实际上也可理解为4与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理也可理解为与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探索： （1）求　6　； （2）若，则　 　； （3）请你找出所有符合条件的整数，使得． 解：（1）原式； （2）， ， 或； （3）由题意可知：表示数到1和的距离之和， 或或0或1． 答案：（1）6；（2）7或； 32．（24-25七上•广东汕头•龙湖区期中）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】三个有理数，，满足，求的值． 【解决问题】解：由题意，得，，三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①，，都是正数，即，，时，则； ②当，，中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，，，则． 综上所述，值为3或． 【探究拓展】请根据上面的解题思路解答下面的问题： （1）已知，是不为0的有理数，当时，则的值是 　0　； （2）已知，，是有理数，当时，求的值； （3）已知，，是有理数，，，求的值． 解：（1），是不为0的有理数，当时，，，或，， 当，时，； 当，时，． （2）， 、、都是负数或其中一个为负数，另两个为正数， ①当、、都是负数，即，，时， 则：； ②、、有一个为负数，另两个为正数时，设，，， 则； （3），，为三个不为0的有理数，且得，，，． ，，中只有一个负数，另两个为正数时，设，，， ． 地 城 考点04 最值问题 一、选择题 33．（24-25七上•江苏宿迁•期中）式子5﹣|x﹣2|的最大值是（　　） A．5 B．7 C．3 D．0 解：∵|x﹣2|≥0， ∴5﹣|x﹣2|≤5， ∴5﹣|x﹣2|的最大值是5， 答案：A． 34．（24-25七上•重庆江岸区•期中）若a是任意的有理数，则式子2024﹣|a﹣2024|的最大值是（　　） A．2024 B．4048 C．a D．﹣a 解：∵|a﹣2024|≥0， ∴当|a﹣2024|的值最小时，式子2024﹣|a﹣2024|的值最大， ∴a﹣2024＝0， ∴a＝2024， 答案：A． 35．（24-25七上•黑龙江大庆•期中）式子|x+1|+2取最小值时，x等于（　　） A．0 B．1 C．2 D．﹣1 解：∵式子|x+1|+2取最小值时， ∴x+1＝0， 解得：x＝﹣1． 答案：D． 36．（24-25七上•福建厦门•思明区期中）已知|2﹣6|表示2与6的差的绝对值，也可理解为2与6两数在数轴上对应的两点之间的距离；同理|x﹣4|+|x+2|表示数轴上有理数x对应的点到4和﹣2对应的两点的距离之和，可以借助数轴分析得|x﹣4|+|x+2|的最小值为6．利用该方法，可得|x+6|+|x+2|+|x﹣2|+2|x﹣4|的最小值为（　　） A．15 B．16 C．17 D．18 解：当x＜﹣6时， |x+6|+|x+2|+|x﹣2|+2|x﹣4| ＝﹣x﹣6﹣x﹣2﹣x+2﹣2x+8 ＝﹣5x+2， 当﹣6≤x＜﹣2时， |x+6|+|x+2|+|x﹣2|+2|x﹣4| ＝x+6﹣x﹣2﹣x+2﹣2x+8 ＝﹣3x+14， 当x＝﹣6时， ﹣3x+14 ＝﹣3×（﹣6）+14 ＝32； 当﹣2≤x≤2时， |x+6|+|x+2|+|x﹣2|+2|x﹣4| ＝x+6+x+2+2﹣x+2（4﹣x） ＝x+6+x+4﹣x+8﹣2x ＝﹣x+18， 当x＝2时， ﹣x+18 ＝﹣2+18 ＝16， 所以当x＝2时，有最小值是16， 当2＜x≤4时， |x+6|+|x+2|+|x﹣2|+2|x﹣4| ＝x+6+x+2+x﹣2﹣2x+8 ＝x+14， 当x＝4时， x+14 ＝4+14 ＝18． 答案：B． 二、填空题 37．（24-25七上•黑龙江哈尔滨•南岗区期中）已知a为有理数，则|a﹣2|+4的最小值为 　4　 ． 解：∵|a﹣2|≥0， ∴当a＝2时，|a﹣2|+4的最小值是4． 答案：4． 38．（24-25七上•浙江宁波•期中）|x﹣1|+2|x﹣2|+3|x﹣3|+4|x﹣4|的最小值为 　8　 ． 解：令y＝|x﹣1|+2|x﹣2|+3|x﹣3|+4|x﹣4|， 按顺序排列零点：1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，共10个零点， 应该在最中间的3处取得最小值，代入可得y＝8． 故y＝|x﹣1|+2|x﹣2|+3|x﹣3|+4|x﹣4|的最小值为8． 39．（24-25七上•福建厦门•湖里区期中）已知a，m，n均为有理数，且满足|a﹣x|＝3，|y﹣a|＝5，那么|x﹣y|的最大值为　8　 ． 解：由题知， 因为|a﹣x|＝3，|y﹣a|＝5， 所以数轴上表示x的点到表示a的点之间的距离是3，表示y的点到表示a的点之间的距离是5． 如图所示， 当表示x的点和表示y的点在表示a的点的两侧时，|x﹣y|取得最大值， 所以|x﹣y|的最大值为：3+5＝8． 答案：8． 40．（24-25七上•浙江杭州•西湖区期中）已知|2﹣（﹣1）|表示2与﹣1的差的绝对值，实际上可理解为在数轴上正数2对应的点与负数﹣1对应的点之间的距离，则|x﹣1|+|x+1|+|x﹣3|的最小值为　4　 ． 解：|x﹣1|+|x+1|+|x﹣3|表示到数﹣1，1，3的距离和， 只有当x＝1时， |x﹣1|+|x+1|+|x﹣3| ＝0+2+2 ＝4，有最小值4． 答案：4． 41．（24-25七上•重庆合川区•期中）当x＝a时，代数式|x﹣1|+10有最小值b，则a+b的值为 　11　 ． 解：∵代数式|x﹣1|+10有最小值b， ∴x﹣1＝0，b＝10， 解得：x＝1， 故a＝1， 则a+b＝11． 答案：11． 42．（24-25七上•四川泸州•江阳区期中）当代数式|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是　﹣1≤x≤2　 ． 解：当代数式|x+1|十|x﹣2|取最小值时， ∴x+1≥0，x﹣2≤0， ∴﹣1≤x≤2． 答案：﹣1≤x≤2． 三、解答题 43．（24-25七上•天津河西区•期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是　3　 ；表示﹣3和2两点之间的距离是　5　 ；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．如果表示数a和﹣1的两点之间的距离是3，那么a＝　﹣4或2　 ． （2）若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，则|a+4|+|a﹣2|的值为　6　 ； （3）利用数轴找出所有符合条件的整数点x，使得|x+2|+|x﹣5|＝7，这些点表示的数的和是　12　 ． （4）当a＝　1　 时，|a+3|+|a﹣1|+|a﹣4|的值最小，最小值是　7　 ． 解：（1）|1﹣4|＝3， |﹣3﹣2|＝5， |a﹣（﹣1）|＝3， 所以，a+1＝3或a+1＝﹣3， 解得a＝﹣4或a＝2； （2）∵表示数a的点位于﹣4与2之间， ∴a+4＞0，a﹣2＜0， ∴|a+4|+|a﹣2|＝（a+4）+[﹣（a﹣2）]＝a+4﹣a+2＝6； （3）使得|x+2|+|x﹣5|＝7的整数点有﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5， ﹣2﹣1+0+1+2+3+4+5＝12． 故这些点表示的数的和是12； （4）a＝1有最小值，最小值＝|1+3|+|1﹣1|+|1﹣4|＝4+0+3＝7． 答案：3，5，﹣4或2；6；12；1；7． 44．（24-25七上•福建龙岩•上杭县期中）大家知道|5|＝|5﹣0|，它在数轴上表示5的点与原点（即表示0的点）之间的距离．又如式子|6﹣3|，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离．即点A、B在数轴上分别表示数a、b，则A、B两点的距离可表示为：|AB|＝|a﹣b|．根据以上信息，回答下列问题： （1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是　3　 ；数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是　3　 ； （2）点A、B在数轴上分别表示实数x和﹣1． ①用代数式表示A、B两点之间的距离； ②如果|AB|＝2，求x的值． （3）直接写出代数式|x+1|+|x﹣4|的最小值及相应的x的取值范围． 解：根据分析，可得 （1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是：|5﹣2|＝3； 数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是： |（﹣2）﹣（﹣5）|＝|﹣2+5|＝|3|＝3． （2）①|AB|＝|x﹣（﹣1）|＝|x+1|． ②如果|AB|＝2， 则|x+1|＝2， x+1＝2或x+1＝﹣2， 解得x＝1或x＝﹣3． （3）∵代数式|x+1|+|x﹣4|表示数轴上有理数x所对应的点到4和﹣1所对应的两点距离之和， ∴当﹣1≤x≤4时，代数式|x+1|+|x﹣4|的最小值是：|4﹣（﹣1）|＝5， 即代数式|x+1|+|x﹣4|的最小值是5，x的取值范围是﹣1≤x≤4． 答案：5，﹣1≤x≤4． 45．（24-25七上•浙江金华•东阳市期中）对于有理数x，y，a，t，若|x﹣a|+|y﹣a|＝t，则称x和y关于a的“美好关联数”为t，例如，|2﹣1|+|3﹣1|＝3，则2和3关于1的“美好关联数”为3． （1）﹣3和5关于2的“美好关联数”为 　8　 ； （2）若x和2关于3的“美好关联数”为4，求x的值； （3）若x0和x1关于1的“美好关联数”为1，x1和x2关于2的“美好关联数”为1，x2和x3关于3的“美好关联数”为1，…，x40和x41关于41的“美好关联数”为1，…． ①x0+x1的最小值为 　1　 ； ②x1+x2+x3+……+x40的最小值为 　820　 ． 解：（1）|﹣3﹣2|+|5﹣2|＝8， 答案：8； （2）∵x和2关于3的“美好关联数”为4， ∴|x﹣3|+|2﹣3|＝4， ∴|x﹣3|＝3， 解得x＝6或x＝0； （3）①∵x0和x1关于1的“美好关联数”为1， ∴|x0﹣1|+|x1﹣1|＝1， ∴在数轴上可以看作数x0到1的距离与数x1到1的距离和为1， ∴x0+x1有最小值1， 答案：1； ②由题意可知： |x1﹣2|+|x2﹣2|＝1， ∵1≤x1≤2，2≤x2≤3， ∴x1+x2的最小值1+2＝3； |x3﹣4|+|x4﹣4|＝1， ∵3≤x3≤4，4≤x4≤5， ∴x3+x4的最小值3+4＝7； 同理，|x5﹣6|+|x6﹣6|＝1，x5+x6的最小值5+6＝11； |x7﹣8|+|x8﹣8|＝1，x7+x8的最小值7+8＝15； ……； |x39﹣40|+|x40﹣40|＝1，x39+x40的最小值39+40＝79； ∴x1+x2+x3+……+x40的最小值： 3+7+11+15+……+79 ＝820． 答案：820． 46．（24-25七上•云南昆明•官渡区期中）同学们都知道，|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索 （1）求|5﹣（﹣2）|＝　7　 ； （2）同样道理|x+1008|＝|x﹣1005|表示数轴上有理数x所对点到﹣1008和1005所对的两点距离相等，则x＝　﹣1.5　 （3）类似的|x+5|+|x﹣2|表示数轴上有理数x所对点到﹣5和2所对的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得|x+5|+|x﹣2|＝7，这样的整数是 　﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2　 ． （4）由以上探索猜想对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． 解：（1）|5﹣（﹣2）|＝7； （2）（﹣1008+1005）÷2＝﹣1.5； （3）式子|x+5|+|x﹣2|＝7理解为：在数轴上，某点到﹣5所对应的点的距离和到2所对应的点的距离之和为7， 所以满足条件的整数x可为﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2； （4）有，最小值为6﹣3＝3． 答案：7；﹣1.5；﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $