圆锥曲线：抛物线的定点问题、定值问题、定直线问题、专项训练-2026届高三数学一轮复习

圆锥曲线：抛物线的定点问题、定值问题、定直线问题、抛物线的应用专项训练 圆锥曲线：抛物线的定点问题、定值问题、定直线问题、抛物线的应用专项训练 考点目录 抛物线的定点问题 抛物线的定值问题 抛物线的定直线问题 抛物线的应用问题 考点一 抛物线的定点问题 1．（25-26高三上·重庆·阶段练习）已知抛物线的焦点到直线的距离为，直线与交于两点. (1)求的准线方程； (2)若直线的方程为，求； (3)过两点分别作的切线，且相交于点，若点的纵坐标为，证明：直线过定点. 2．（25-26高三上·河南新乡·开学考试）已知抛物线仅经过中的一点. (1)求的方程； (2)过的焦点作两条互相垂直的直线，分别交于点和点，设线段的中点分别为，求证：直线过定点. 3．（25-26高三上·安徽蚌埠·开学考试）已知抛物线的焦点为为坐标原点，上存在点到和的距离都等于． (1)求抛物线的方程； (2)过点的直线交抛物线于点，直线与相交于另一点，直线与相交于另一点． （i）求证：； （ii）求证：直线经过定点． 4．（25-26高三上·河北衡水·开学考试）已知F是抛物线E：的焦点，为抛物线E上一点，且. (1)求抛物线E的方程； (2)设A，B为抛物线E上的两点（不同于点P），直线AP，BP分别与y轴交于M，N两点，且原点O恰为MN的中点. （i）证明：直线AB过定点； （ii）若直线AB的斜率大于0，且的面积为，求直线AB的方程. 5．（24-25高三下·江苏南京·开学考试）两条动直线和分别与抛物线相交于不同于原点的，两点，当的垂心恰是的焦点时，． (1)求； (2)若，弦中点为，点关于直线的对称点在抛物线上． ①证明动弦恒过定点 ②求的面积． 6．（2025·云南昭通·模拟预测）过抛物线上的点的直线，分别交抛物线于点，．设直线，的斜率分别为，，，当且点，关于轴对称时，的面积为16． (1)求抛物线的方程； (2)当时，证明：直线过定点． 7．（2025·河南信阳·模拟预测）某企业生产的系列玻璃器皿产品成功入选“一带一路十周年·国礼品牌”．其中某型号高脚杯的轴截面为抛物线C，如图1所示．往高脚杯中缓慢倒水，当杯中的水深为1cm时，水面宽度为4cm，如图2所示．以O为坐标原点建立平面直角坐标系，P，Q是抛物线C上异于点O的两点，且满足． (1)求抛物线C的方程； (2)求证：直线PQ过定点； (3)过点O作PQ的垂线，垂足为H．是否存在一个定点到点H的距离为定值?如果存在，求出该定点的坐标；如果不存在，请说明理由． 8．（2025·四川成都·模拟预测）已知点在抛物线的准线上． (1)求抛物线的方程； (2)过点作直线与抛物线交于、两点，过作斜率为2的直线交抛物线于． （i）求证：直线过定点； （ii）直线与抛物线交于另外一点，求证：． 9．（2025·安徽合肥·模拟预测）已知圆心在轴上移动的圆经过点，且与轴､轴分别交于两个不同的动点. (1)求动点的轨迹的方程； (2)直线与曲线交于两点，点，直线与的斜率分别为，，且，求证：直线过定点. 10．（2025·宁夏银川·三模）已知抛物线与双曲线的渐近线在第一､四象限的交点分别为P，，且. (1)求抛物线的方程； (2)过点的直线与抛物线相交于两点，关于轴的对称点为. （i）若，求直线的方程. （ii）证明：直线必过定点. 考点二 抛物线的定值问题 1．（25-26高三上·山东济南·开学考试）已知抛物线的焦点为是上第一象限内的点.且到距离与到的距离相等.过作的切线交轴于点. (1)求的标准方程； (2)求证：； (3)记关于轴的对称点为关于轴的对称直线为为上第四象限的点（与不重合），过做的切线，分别交于两点，若，直线的斜率为，直线的斜率为，试判断是否为定值？若为定值，求的值，若不为定值，请说明理由. 2．（25-26高三上·海南海口·阶段练习）在平面直角坐标系中，曲线的点均在圆外，且对上任意一点，点到直线的距离比点到点的距离小1． (1)求曲线的方程； (2)若直线上一动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，求四边形面积的最小值； (3)设为直线上一动点，过点作圆的两条切线，分别与曲线相交于点和．探究：点的纵坐标之积是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是定值，请说明理由． 3．（25-26高二上·湖北武汉·阶段练习）过坐标原点作圆的两条切线，切点为，，直线恰为抛物线的准线. (1)求的方程； (2)将抛物线向左移4个单位长度得到新抛物线，抛物线交轴于，两点，，为抛物线上不重合的两点，交于点.若直线经过坐标原点，求证：的面积恒为定值. 4．（25-26高三上·山西长治·开学考试）已知抛物线的焦点为，过点的直线交于两点，其中点在第一象限．若的中点到轴的距离为，且（为坐标原点）． (1)求抛物线的方程； (2)求的面积； (3)过点的直线与抛物线交于两点，问：在轴上是否存在定点，设直线的斜率分别为，使为定值，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 5．（24-25高二下·云南曲靖·期末）已知抛物线C：的焦点F关于直线l：对称的点为． (1)求C的方程； (2)设原点为O，点P，Q均在C上若直线PQ经过点，直线OP与直线：相交于点M，点Q在上的投影为R，设与x轴的交点为S，问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 6．（24-25高二下·湖南湘西·期末）在平面直角坐标系中，曲线的点均在圆外，且对上任意一点，点到直线的距离比点到点的距离小1． (1)求曲线的方程； (2)若直线上一动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，求四边形面积的最小值； (3)设为直线上一动点，过点作圆的两条切线，分别与曲线相交于点和．证明：点的纵坐标之积为定值2304． 7．（24-25高二下·河南漯河·期末）已知F为抛物线的焦点，为C上的一点，且，斜率为的直线l与C交于A，B两点，设直线，的斜率分别为，． (1)求抛物线C的方程； (2)求证为定值． 8．（2025·江苏苏州·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，直线与交于两点. (1)若过，另一条过的直线与交于两点（在轴上方），直线分别交直线于两点，证明：为的中点； (2)若上存在点，使得，证明：为定值. 9．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，点在C上，且，其中O为坐标原点，过点的直线l与C相交. (1)求C的方程； (2)若l与C仅有一个公共点且斜率存在，求l的斜率； (3)若l与C交于M，N两点，记直线OM与直线ON的斜率分别为，，证明：为定值，并求出该定值. 10．（2025·辽宁沈阳·三模）已知圆，抛物线的准线与圆相切，过抛物线焦点的动直线与抛物线交于、两点，线段的中点为． (1)求抛物线的方程； (2)当轴时，求直线的斜率； (3)求证：为定值，并求出该定值． 考点三 抛物线的定直线问题 1．（2025·甘肃白银·二模）已知抛物线的焦点为F，点是C上一点，且，记O为坐标原点，过点F的直线与C相交于A，B两点． (1)求抛物线C的方程与准线l的方程； (2)求的最小值； (3)已知P，M分别是抛物线C与准线l上的动点，若C在点P处的切线交y轴于点Q，且，试判断点N是否在定直线上，若在，请求出定直线的方程；若不在，请说明理由． 2．（2025·湖南岳阳·三模）已知抛物线的顶点在坐标原点处，对称轴为轴，且过点，，是上两个动点． (1)求抛物线的标准方程； (2)已知是上一点，且的焦点为的重心，设的横坐标为，求的取值范围； (3)已知为直线在第二象限内一点，直线，与抛物线分别相切于，两点，设，与轴分别交于，两点，证明：直线与直线的交点在定直线上． 3．（24-25高三下·贵州贵阳·阶段练习）已知抛物线的焦点到x轴的距离为，过点的直线与抛物线E交于A，B两点，设抛物线E在点A，B处的切线分别为和，已知与x轴交于点M，与x轴交于点N，设与的交点为P (1)求抛物线E的标准方程； (2)证明：点P在定直线上； (3)若的面积为，求点P的坐标． 4．（2025·甘肃金昌·二模）已知抛物线，过抛物线上一点作两条直线分别交抛物线于两点，直线的斜率分别为，且. (1)求抛物线的方程. (2)证明：直线过定点. (3)记直线经过的定点为为直线上一点（异于点），且满足，证明点在某定直线上，并求出该定直线的方程. 5．（24-25高三下·山东德州·阶段练习）过定点的动圆始终与直线相切. (1)求动圆圆心的轨迹的方程， (2)过点的直线与曲线C交于两点，是曲线的两条切线，是切点. （i）证明：点P的轨迹是定直线； （ii）求面积的最小值. 6．（24-25高三下·河北·阶段练习）已知抛物线的焦点为，过作互相垂直的两条直线，这两条直线与抛物线分别交于和两点，其中点在第一象限. (1)求抛物线的标准方程； (2)求四边形面积的最小值； (3)证明：直线与直线的交点在定直线上. 7．（24-25高三上·内蒙古包头·期末）抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，两点，在处的切线与在处的切线交于点. (1)求抛物线的方程； (2)证明：点在定直线上 8．（24-25高二上·云南丽江·阶段练习）已知抛物线Ω：焦点为F，过F作两条互相垂直的直线，，且直线与Ω交于M，N两点，直线与Ω交于E，P两点，M，E均在第一象限，设A，B分别为弦MN，EP的中点，直线ME与直线NP交于点H． (1)直线AB是否过定点？请说明理由； (2)证明：点H在直线上． 9．（2024·吉林长春·一模）已知为抛物线的焦点，为坐标原点，过焦点作一条直线交于A，B两点，点在的准线上，且直线MF的斜率为的面积为1. (1)求抛物线的方程； (2)试问在上是否存在定点，使得直线NA与NB的斜率之和等于直线NF斜率的平方？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)过焦点且与轴垂直的直线与抛物线交于P，Q两点，求证：直线AP与BQ的交点在一条定直线上. 10．（2024·湖南长沙·三模）已知抛物线，过点的直线与交于不同的两点.当直线的倾斜角为时，. (1)求的方程； (2)在线段上取异于点的点，且满足，试问是否存在一条定直线，使得点恒在这条定直线上？若存在，求出该直线；若不存在，请说明理由. 考点四 抛物线的应用问题 1．（24-25高二上·山东烟台·期末）某隧道的垂直剖面图近似为一抛物线，如图所示．已知隧道高为，宽为，隧道内设置两条车道，且隧道内行车不准跨过中间的实线．若载有集装箱的货车要经过此隧道，货车宽度为，集装箱宽度与货车宽度相同，则货车高度（即集装箱最高点距地面的距离）的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·重庆渝中·期中）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.在抛物线中，一平行于轴的光线射向抛物线上的点，反射后反射光线经过抛物线的焦点射向抛物线上的点，再反射后又沿平行轴方向的直线射出.则直线与之间的最小距离为（    ） A．4 B．2 C．8 D．16 3．（24-25高二上·北京海淀·期末）如图，是平面上一点， 以为圆心，分别画出半径为1， 2， 3， 4， 5 的同心圆.记半径为4的圆的一条切线为，再画出与平行的各圆的切线和一条穿过圆心与平行的直线. 若以为焦点，为准线的抛物线记为，则这个点（   ） A．都不在抛物线线上 B．只有个点在抛物线上 C．有个点在抛物线上 D．有个点在抛物线上 4．（24-25高二上·福建三明·期末）三明永安市贡川镇的会清桥是一座集通行、宗教祭祀等功能为一体的廊桥．该桥始修于明成化乙巳年（年），南北坐向，两墩三孔，各桥孔呈抛物线型，其中最大一桥孔（如图所示），当孔顶到水面距离为时，跨度达到了．若水面从图中示意位置上升，则水面宽变为（   ）． A． B． C． D． 5．（23-24高二上·湖北·期末·多选）设抛物线E：的焦点为F，从点F发出的光线经过E上的点不同于E的顶点反射，可证明反射光线平行于E的对称轴，这种特点称为抛物线的光学性质．过E上的动点A向准线l作垂线，垂足为B，过点A的直线m与E相切，设m交l于点C，连接CF，FB，FB交AC于点D，则以下结论正确的是（    ） A．m平分 B． C．与的面积之比为定值 D．点D在定直线上 6．（24-25高二下·甘肃张掖·期末·多选）如图，抛物线：（），绕其顶点按逆时针方向分别旋转90°，180°，270°得到抛物线，，，四条抛物线围成的图案如图中阴影区域，A，B分别是第一、四象限的交点.若抛物线的焦点为，则下列说法正确的有（    ）    A．抛物线的方程为 B．阴影区域的面积为64 C． D．图案上任意两点距离的最大值为 7．（25-26高三上·湖南·开学考试）抛物线有这样的光学性质：与抛物线的对称轴平行的光线经抛物线反射后，反射光线经过抛物线的焦点，由光路是可逆的，可知从焦点发出的光线，经抛物线反射后，反射光线与抛物线的对称轴平行．如图，雷达接收器的截面曲线可看作抛物线，光信号沿着直线入射到上的点，经反射到点，反射光线与x轴交于的焦点，则光信号经点反射后，反射光线所在直线的方程为 ．    8．（23-24高二上·河北张家口·期末）圆锥曲线因其特殊的形状而存在着特殊的光学性质.我们知道，抛物线的光学性质是平行于抛物线对称轴的光线经抛物线反射后汇聚于其焦点；双曲线的光学性质是从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上.卡式望远镜就是应用这些性质设计的.下图为卡式望远镜的中心截面示意图，其主要由两块反射镜组成，主镜是中央开孔的凹抛物面镜，副镜是双曲线左支的旋转面型凸双曲面镜，主镜对应抛物线的顶点与副镜对应双曲线的中心重合，当平行光线投射到主镜上时，经过主镜反射，将汇聚到主镜的焦点处，但光线尚未汇聚时，又受到以为焦点的凸双曲面镜的反射，穿过主镜中心的开孔后汇聚于另一个焦点处.以的中点为原点，为轴，建立平面直角坐标系.若米，凹抛物面镜的口径为米，凸双曲面镜的口径为1米，要使副镜的反射光线全部通过凹抛物面镜的中央孔洞，则孔洞直径最小为 米. 2 学科网（北京）股份有限公司 $圆锥曲线：抛物线的定点问题、定值问题、定直线问题、抛物线的应用专项训练 圆锥曲线：抛物线的定点问题、定值问题、定直线问题、抛物线的应用专项训练 考点目录 抛物线的定点问题 抛物线的定值问题 抛物线的定直线问题 抛物线的应用问题 考点一 抛物线的定点问题 1．（25-26高三上·重庆·阶段练习）已知抛物线的焦点到直线的距离为，直线与交于两点. (1)求的准线方程； (2)若直线的方程为，求； (3)过两点分别作的切线，且相交于点，若点的纵坐标为，证明：直线过定点. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）根据题意作图如下：    由题意知.因为点到直线的距离为，所以， 解得或，又因为，所以， 所以抛物线的准线方程为. （2）根据题意作图如下：    将代入，得， 则， 所以. （3）证明：根据题意作图如下：    由已知，直线与抛物线有两个交点，则其斜率一定存在. 设. 由，得， 所以. 由，得，则， 所以过点的切线方程为，即， 同理过点的切线方程为， 由，得，即， 又点的纵坐标为，所以，又， 所以， 解得，所以直线过定点. 2．（25-26高三上·河南新乡·开学考试）已知抛物线仅经过中的一点. (1)求的方程； (2)过的焦点作两条互相垂直的直线，分别交于点和点，设线段的中点分别为，求证：直线过定点. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【详解】（1）抛物线关于轴对称，而点关于轴对称， 若点之一在抛物线上，则另一点必在该抛物线上，不符合题意， 因此点必在抛物线上，，解得， 所以抛物线的方程为. （2）由（1）知，抛物线的焦点，显然直线都不垂直坐标轴， 设直线的方程为，则直线的方程为， 由消去得，设， 则，线段的中点， 同理得线段的中点，当时，直线斜率， 直线方程为，整理得，直线过定点， 当时，或，直线过定点， 所以直线过定点.    3．（25-26高三上·安徽蚌埠·开学考试）已知抛物线的焦点为为坐标原点，上存在点到和的距离都等于． (1)求抛物线的方程； (2)过点的直线交抛物线于点，直线与相交于另一点，直线与相交于另一点． （i）求证：； （ii）求证：直线经过定点． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【详解】（1）如图，作出符合题意的图形，    由题意得，则， 而，可得在的中垂线上，故设点的坐标为， 由两点间距离公式得，解得， 而点在上，则，即，解得， 故抛物线的方程为． （2）（i）如图，设直线的方程为，并记点，    联立方程组，消去得，易知， 则，， 而，则， 可知，即． （ii）由题意，点，设直线的方程为， 并记点， 联立方程组，消去得，则， 由三点共线，可得， 得到，将代入化简， 得， 所以，而，可知，同理可得， 则，解得， 故直线的方程为，过定点． 4．（25-26高三上·河北衡水·开学考试）已知F是抛物线E：的焦点，为抛物线E上一点，且. (1)求抛物线E的方程； (2)设A，B为抛物线E上的两点（不同于点P），直线AP，BP分别与y轴交于M，N两点，且原点O恰为MN的中点. （i）证明：直线AB过定点； （ii）若直线AB的斜率大于0，且的面积为，求直线AB的方程. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【详解】（1）因为抛物线的焦点为，准线方程为，且在抛物线上，，根据抛物线定义有，， 又因为在抛物线上，所以，即， 消去，可得，即，解得， 所以抛物线的方程为. （2）（i）设，，直线AB方程为，联立，消得，则，， 直线AP：，令，得纵坐标；同理纵坐标， 因是MN中点，，即，化简得，将，代入，得，即， 直线AB方程为，当时，，故直线AB过定点. （ii）设直线AB：，联立，得， 由韦达定理，，， 弦长， 根据点到直线的距离公式可知，点到直线AB距离为， 由可得，，即，化简得， 因式分解得，因，得， 所以直线AB方程为. 5．（24-25高三下·江苏南京·开学考试）两条动直线和分别与抛物线相交于不同于原点的，两点，当的垂心恰是的焦点时，． (1)求； (2)若，弦中点为，点关于直线的对称点在抛物线上． ①证明动弦恒过定点 ②求的面积． 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【详解】（1）当的垂心恰是的焦点时，，， 不妨假设，，因为， 由，得，解得. （2）①联立，可得，同理可得，所以， 因为， 所以的轨迹方程为， 当时，不妨设，，此时，，直线过点， 当时，直线的斜率为， 的方程为，整理得，直线过点， 综上，直线过定点； ②由，可得，即， 所以或， 当时，的中点为，直线的斜率为，方程为. 此时直线的方程为，联立，得或， 当坐标为时，直线为，故舍去， 此时，点到直线的距离为， 所以； 当时，同理可得， 综上所述，的面积为． 6．（2025·云南昭通·模拟预测）过抛物线上的点的直线，分别交抛物线于点，．设直线，的斜率分别为，，，当且点，关于轴对称时，的面积为16． (1)求抛物线的方程； (2)当时，证明：直线过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）已知当时，，，关于轴对称且． 设，因为，不妨设． 由斜率公式，即，解得，所以，． 面积，解得，抛物线方程为． （2）    证明：设，，， 则，． 因为，则，所以， 则，， 所以直线的方程为，整理得． 把代入直线方程，得， 所以直线过定点． 7．（2025·河南信阳·模拟预测）某企业生产的系列玻璃器皿产品成功入选“一带一路十周年·国礼品牌”．其中某型号高脚杯的轴截面为抛物线C，如图1所示．往高脚杯中缓慢倒水，当杯中的水深为1cm时，水面宽度为4cm，如图2所示．以O为坐标原点建立平面直角坐标系，P，Q是抛物线C上异于点O的两点，且满足． (1)求抛物线C的方程； (2)求证：直线PQ过定点； (3)过点O作PQ的垂线，垂足为H．是否存在一个定点到点H的距离为定值?如果存在，求出该定点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)存在点到点H的距离是定值． 【详解】（1）设抛物线的方程为， 由题知，代入抛物线方程，可得， 解得，所以，抛物线C的标准方程为． （2）设直线PQ的方程为，， 联立，得．， ，因为，所以． ． 因为，所以，解得，或． 因为不经过点，所以舍去． 所以直线的方程为，所以直线过定点． （3）存在定点，理由如下： 由（2）得直线过定点，过点作的垂线，垂足为． 所以，定点在上，即， 故点在以为直径的圆周上，圆心为的中点． 因为，所以中点坐标为，即为圆心的坐标， 因为圆心到圆周上的点H的距离等于半径1， 故存在点到点H的距离是定值． 8．（2025·四川成都·模拟预测）已知点在抛物线的准线上． (1)求抛物线的方程； (2)过点作直线与抛物线交于、两点，过作斜率为2的直线交抛物线于． （i）求证：直线过定点； （ii）直线与抛物线交于另外一点，求证：． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【详解】（1）抛物线的准线为，则，解得， 所以抛物线的方程为. （2）（i）设点，由点在抛物线上， 得直线的斜率， 则直线的方程为：，即， 由直线过点，得，设， 则直线斜率，即，， 于是，即，， 又直线的方程为：，即， 所以直线恒过定点． （ii）由直线过点，得，则， 而，于是，化简得， 则直线的斜率，所以. 9．（2025·安徽合肥·模拟预测）已知圆心在轴上移动的圆经过点，且与轴､轴分别交于两个不同的动点. (1)求动点的轨迹的方程； (2)直线与曲线交于两点，点，直线与的斜率分别为，，且，求证：直线过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）法一：由题意得，中点，点即为动圆圆心. 由得，化简得， 又不重合，因此，所以轨迹的方程为. 法二：由已知得线段是动圆的直径，故，即， 又，所以， 又不重合，因此，所以轨迹的方程为. （2）显然直线的斜率存在，设直线的方程为，    联立得， 则， 由题意得，，同理， 因为， 所以，即， 所以直线的方程为，因此直线过定点. 10．（2025·宁夏银川·三模）已知抛物线与双曲线的渐近线在第一､四象限的交点分别为P，，且. (1)求抛物线的方程； (2)过点的直线与抛物线相交于两点，关于轴的对称点为. （i）若，求直线的方程. （ii）证明：直线必过定点. 【答案】(1)； (2)（i）或；（ii）证明见解析. 【详解】（1）因为点关于x轴对称，设点P的坐标为， 双曲线的渐近线方程为， 因为点P在双曲线的渐近线上，所以， 所以点的坐标为， 又点在抛物线上，所以，所以， 故抛物线的标准方程为：； （2）（i）设直线的方程为，联立，消得，， 方程的判别式，即， 设，则①，②， ， ，代入①②得，则， 直线的方程为或； （ii）设关于轴的对称点为，则直线为， 根据抛物线的对称性，知定点必定在轴上， 令得： 直线过定点. 考点二 抛物线的定值问题 1．（25-26高三上·山东济南·开学考试）已知抛物线的焦点为是上第一象限内的点.且到距离与到的距离相等.过作的切线交轴于点. (1)求的标准方程； (2)求证：； (3)记关于轴的对称点为关于轴的对称直线为为上第四象限的点（与不重合），过做的切线，分别交于两点，若，直线的斜率为，直线的斜率为，试判断是否为定值？若为定值，求的值，若不为定值，请说明理由. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)为定值， 【详解】（1）由题意，抛物线准线方程为，故， 所以抛物线的标准方程为. （2）设，由于在第一象限，故斜率存在， 设直线的方程为， 由于在第一象限，可得，， 所以切线斜率为，即直线的方程为， 令得，由题意知， 故，， 故 （3）如图，    设， 由关于轴对称，可得， 由，，可得， 所以，即， 联立与，，解得 同理，故， 设直线与轴交于，则关于点对称，即， 由，令，得，所以， 故，则， 可得垂直于，故，可得， 延长交轴于，则， 又，故，从而与重合，即共线， 进而，注意到，故. 2．（25-26高三上·海南海口·阶段练习）在平面直角坐标系中，曲线的点均在圆外，且对上任意一点，点到直线的距离比点到点的距离小1． (1)求曲线的方程； (2)若直线上一动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，求四边形面积的最小值； (3)设为直线上一动点，过点作圆的两条切线，分别与曲线相交于点和．探究：点的纵坐标之积是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是定值，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)是，定值2304． 【详解】（1）方法一：由题意，到直线的距离比点到点的距离小1， 上任意一点到直线的距离等于点到点的距离， 因此，曲线的是以为焦点，直线为准线的抛物线， 故曲线的方程为． 方法二：由题意，设点的坐标为， 由题意得，易知点位于直线的右侧， ，化简得，曲线的方程为． （2）由题意得，的圆心为，半径， 又四边形的面积， 当的值最小时，四边形的面积最小，又的最小值为， 四边形面积的最小值为． （3）当点在直线上运动时，设点的坐标为．又， 过点且与圆相切的直线的斜率存在且不为0， 每条切线都与有两个交点，则切线方程为， 即，所以，整理得①. 设过点所作的两条切线的斜率分别为， 则是方程①的两个实数根， ． 联立得，③. 设点的纵坐标分别为，则是方程③的两个实数根， ． 同理可得，⑤. 联立①③⑤三式，得 ， 当在直线上运动时，点的纵坐标之积为定值2304． 3．（25-26高二上·湖北武汉·阶段练习）过坐标原点作圆的两条切线，切点为，，直线恰为抛物线的准线. (1)求的方程； (2)将抛物线向左移4个单位长度得到新抛物线，抛物线交轴于，两点，，为抛物线上不重合的两点，交于点.若直线经过坐标原点，求证：的面积恒为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）设直线与轴交于，由几何性质得 因为直线为抛物线的准线，直线为圆的切线， 所以， 在与中，为公共角， 所以，， 即，即，解得： 故抛物线的标准方程为; （2）解法一：依题意：，则，设， 则， 因为直线经过坐标原点，所以， 又，在抛物线上，，两式作差得，化简得， 因为，所以， 化简可得，即， 联立，得： ， 将代入得，为定值. 故. 解法二：向左平移4个单位后，新抛物线为， 则与轴的交点为， 因为直线经过原点，所以设其方程为， 设直线方程为，设直线方程为， 点和是直线与抛物线的交点，代入中得： ， 设该方程的两根为和，根据韦达定理：① 点在直线上，满足：② 点在直线上，满足：③ 联立方程： 由②和③得：， 利用①中的韦达定理结果：， 所以，即点的横坐标恒为， 故. 4．（25-26高三上·山西长治·开学考试）已知抛物线的焦点为，过点的直线交于两点，其中点在第一象限．若的中点到轴的距离为，且（为坐标原点）． (1)求抛物线的方程； (2)求的面积； (3)过点的直线与抛物线交于两点，问：在轴上是否存在定点，设直线的斜率分别为，使为定值，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，定点为 【详解】（1）由题意得 的中点到轴的距离为，      又点在抛物线上， ，又点在第一象限，即， ，,. 抛物线的方程：. （2）由（1）可知：，，， 所以直线的斜率为，则直线的方程为 联立抛物线可得，． 又，，那么     所以的面积. （3）如图： 设，，， 易知直线斜率存在，设直线， 联立，消得：     ， ， 由韦达定理得：，， ， 为使得为定值，则需满足与m无关， 故，即，， 综上，存在定点，使得为定值. 5．（24-25高二下·云南曲靖·期末）已知抛物线C：的焦点F关于直线l：对称的点为． (1)求C的方程； (2)设原点为O，点P，Q均在C上若直线PQ经过点，直线OP与直线：相交于点M，点Q在上的投影为R，设与x轴的交点为S，问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)为定值2． 【详解】（1）由已知得，则线段的中点为， 由题意得该中点在直线l：上， 所以，解得， 所以C的方程为． （2）设直线PQ的方程为，且，. 联立方程组，整理得. 可得，且，，则． 又直线OP的方程为，令，得点M的纵坐标， 又点Q在上的射影为R，所以点R的纵坐标.则由图可得： ， 所以为定值2． 6．（24-25高二下·湖南湘西·期末）在平面直角坐标系中，曲线的点均在圆外，且对上任意一点，点到直线的距离比点到点的距离小1． (1)求曲线的方程； (2)若直线上一动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，求四边形面积的最小值； (3)设为直线上一动点，过点作圆的两条切线，分别与曲线相交于点和．证明：点的纵坐标之积为定值2304． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）方法一： 由题意， ∵到直线的距离比点到点的距离小1， ∴上任意一点到直线的距离等于点到点的距离， 因此，曲线的是以为焦点，直线为准线的抛物线， 故曲线的方程为． 方法二：由题意， 设点的坐标为， 由题意得， 易知点位于直线的右侧， ∴，∴， 化简得， 曲线的方程为． （2）由题意得， 的圆心为，半径， 又∵四边形的面积， ∴当的值最小时，四边形的面积最小， 又的最小值为：， ∴四边形面积的最小值． （3）由题意及（1）（2）证明如下， 当点在直线上运动时， 设点的坐标为. 又， ∴过点且与圆相切得直线的斜率存在且不为0， 每条切线都与有两个交点， 则切线方程为， 即， 所以，整理得．① 设过点所作的两条切线的斜率分别为， 则是方程①的两个实数根， ∴．② 联立得．③ 设点的纵坐标分别为，则是方程③的两个实数根， ∴．④ 同理可得，．⑤ 联立②，④，⑤三式，得 ， ∴当在直线上运动时，点的纵坐标之积为定值2304． 7．（24-25高二下·河南漯河·期末）已知F为抛物线的焦点，为C上的一点，且，斜率为的直线l与C交于A，B两点，设直线，的斜率分别为，． (1)求抛物线C的方程； (2)求证为定值． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【详解】（1）依题意，，得，所以抛物线C的方程为． （2）设，联立，得． 由，得． 设，，则． 由（1）知，，． 所以为定值． 8．（2025·江苏苏州·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，直线与交于两点. (1)若过，另一条过的直线与交于两点（在轴上方），直线分别交直线于两点，证明：为的中点； (2)若上存在点，使得，证明：为定值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）设. 设，与抛物线联立，得， 则，即，同理可得. 又因为，令，得，同理， 将代入得，所以为的中点. （2）方法1：设，因为，得①， 由，得， ①②， 得， 即， 即. 因为，所以， 则，即为定值-4. 方法2：设，因为，所以， 即，同理得， 所以， 由，得①， 同理②，③， 由①-②，得④， 由①+②+③，得， 即， 而 故结合④可得， 则 ， 所以为定值-4. 9．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，点在C上，且，其中O为坐标原点，过点的直线l与C相交. (1)求C的方程； (2)若l与C仅有一个公共点且斜率存在，求l的斜率； (3)若l与C交于M，N两点，记直线OM与直线ON的斜率分别为，，证明：为定值，并求出该定值. 【答案】(1) (2)0或 (3)证明见解析， 【详解】（1）由抛物线的定义可知， 又，则. 即.所以. 又在抛物线上. 所以.且. 解得.则C的方程为. （2）设直线l的斜率为k，则. 联立， 可得， 当时，，符合题意； 当时，则有，解得. 综上，直线l的斜率为0或. （3）由题得l的斜率存在且不为零. 设l的方程为.，， 联立，可得， .即. 可得，. 故，. 则， 所以为定值. 10．（2025·辽宁沈阳·三模）已知圆，抛物线的准线与圆相切，过抛物线焦点的动直线与抛物线交于、两点，线段的中点为． (1)求抛物线的方程； (2)当轴时，求直线的斜率； (3)求证：为定值，并求出该定值． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析，定值为 【详解】（1）由题意可得，圆的圆心为，半径为，且抛物线的准线为，与圆详相切， 则，因为，解得，故抛物线的方程为. （2）设点、、， 显然直线的斜率不为零，设直线的方程为， 联立可得，则， 由韦达定理可得，， 则，，即点， 因为轴，则，解得， 因此，直线的斜率为. （3）由抛物线焦点弦长公式可得， 由（2）可得， 所以. 考点三 抛物线的定直线问题 1．（2025·甘肃白银·二模）已知抛物线的焦点为F，点是C上一点，且，记O为坐标原点，过点F的直线与C相交于A，B两点． (1)求抛物线C的方程与准线l的方程； (2)求的最小值； (3)已知P，M分别是抛物线C与准线l上的动点，若C在点P处的切线交y轴于点Q，且，试判断点N是否在定直线上，若在，请求出定直线的方程；若不在，请说明理由． 【答案】(1)；； (2)； (3)N在定直线上，直线方程为：. 【详解】（1）由是C上一点，且，结合抛物线定义， 可得准线方程为：，则焦点为，则； （2）由题可得点F的直线的斜率存在， 设过点F的直线方程为：，将直线方程与抛物线方程联立， 可得，判别式为. 设，由韦达定理，可得，则. 又由抛物线定义可得， 当且仅当，即时取等号； （3）设，， 则在处的切线方程为：. 令，得，设，则. 又注意到，， 则.因， 则，从而，即N在定直线上， 直线方程为：. 2．（2025·湖南岳阳·三模）已知抛物线的顶点在坐标原点处，对称轴为轴，且过点，，是上两个动点． (1)求抛物线的标准方程； (2)已知是上一点，且的焦点为的重心，设的横坐标为，求的取值范围； (3)已知为直线在第二象限内一点，直线，与抛物线分别相切于，两点，设，与轴分别交于，两点，证明：直线与直线的交点在定直线上． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）设抛物线方程为，代入点，得，得， 所以抛物线的标准方程为； （2）设，，， 则重心坐标公式可知，，， 得，， 且，，， 所以，且， 所以，得且， 综上可知，的取值范围是； （3）直线的斜率，直线的方程为， 设，，， 两边求导，，得， 设，， 抛物线在点处的切线方程为，即， 因为切线过点，即， 整理得， 同理，抛物线在点处的切线方程为， 所以是方程的两个根，则，， 切线，令，得，得，同理， 直线的方程为，即， 同理，直线的方程为， 设直线与直线的交点为， 联立直线与直线的方程为， ，得， 且，代入上式化简为，① 代回直线得，， 得 即，② 由①②可得， 所以直线与直线的交点在定直线上上. 3．（24-25高三下·贵州贵阳·阶段练习）已知抛物线的焦点到x轴的距离为，过点的直线与抛物线E交于A，B两点，设抛物线E在点A，B处的切线分别为和，已知与x轴交于点M，与x轴交于点N，设与的交点为P (1)求抛物线E的标准方程； (2)证明：点P在定直线上； (3)若的面积为，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)或 【详解】（1）因为抛物线的焦点坐标为，且焦点到x轴的距离为， 所以，所以， 所以抛物线E的标准方程为. （2）由，得，， 设，，， 则和的斜率分别为， 所以方程为：，整理得：， 同理可得，方程为：， 联立与的方程，解得：，， 因为点T在抛物线内部，可知直线的斜率存在，且与抛物线必相交， 设直线的方程为， 与抛物线方程联立得：， 故，， 所以，，可知， 所以点P在定直线上. （3）在，的方程中，令，得，， 由（2）知，，，， 所以面积， 故， 化简可得， 由于，则， 从而，故或， 所以点P的坐标为或. 4．（2025·甘肃金昌·二模）已知抛物线，过抛物线上一点作两条直线分别交抛物线于两点，直线的斜率分别为，且. (1)求抛物线的方程. (2)证明：直线过定点. (3)记直线经过的定点为为直线上一点（异于点），且满足，证明点在某定直线上，并求出该定直线的方程. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析， 【详解】（1）将点的坐标代入抛物线的方程可得，解得（舍去）或，故抛物线的方程为. （2）由（1）可知点的坐标，设， 则. 由，得，所以， . .所以直线的方程为， 即，整理得. 又， 从而直线的方程为，化简得， 因此直线过定点. （3）由（2）知，设，易知直线的斜率不为0， 设直线的方程为.由消去. 得.则. 因为.所以. 即， 当时，，化简得， 与直线的斜率不为0矛盾，不合题意； 当时，化简得， . 即.又. 可得，所以，即， 所以点在直线上. 5．（24-25高三下·山东德州·阶段练习）过定点的动圆始终与直线相切. (1)求动圆圆心的轨迹的方程， (2)过点的直线与曲线C交于两点，是曲线的两条切线，是切点. （i）证明：点P的轨迹是定直线； （ii）求面积的最小值. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）. 【详解】（1）设动圆圆心坐标为，因为过定点的动圆始终与直线相切，，化简得，即动圆圆心的轨迹方程. （2）（i）设，其中， 由题，直线斜率不为0，设直线， 联立，得：， 恒成立，， 由得：， 则，即即. 同理，， ， ， 即直线交点的轨迹为定直线：；    （ii）将代入 得：， 所以点的坐标为. 下面用两种方法进一步求解. 方法一：点到直线的距离， ， ， 时，面积最小为. 方法二：又中点轴 . 时，面积最小为. 6．（24-25高三下·河北·阶段练习）已知抛物线的焦点为，过作互相垂直的两条直线，这两条直线与抛物线分别交于和两点，其中点在第一象限. (1)求抛物线的标准方程； (2)求四边形面积的最小值； (3)证明：直线与直线的交点在定直线上. 【答案】(1)； (2)32； (3)证明见解析. 【详解】（1）由焦点为，即，所以抛物线的标准方程； （2）当直线的斜率为0时，不符合题意， 当直线的斜率不为0时，设直线， 联立，可得，恒成立， 设，， 所以，同理， 则四边形的面积为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以四边形面积的最小值为32； （3）设， 由（2）知，同理， 直线的方程为，化简得直线的方程为①， 同理直线的方程为②， 联立①②得， ， ， ， ， ，故直线与直线的交点在定直线上. 7．（24-25高三上·内蒙古包头·期末）抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，两点，在处的切线与在处的切线交于点. (1)求抛物线的方程； (2)证明：点在定直线上 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【详解】（1）抛物线的焦点坐标为，则，解得， 所以抛物线的方程为. （2）设，直线的方程为，由，求导得， 抛物线在处的切线方程为，即， 依题意，直线过，则， 同理在处的切线过，则， 显然点在上，即直线与是同一直线， 因此，则，所以点在定直线上. 8．（24-25高二上·云南丽江·阶段练习）已知抛物线Ω：焦点为F，过F作两条互相垂直的直线，，且直线与Ω交于M，N两点，直线与Ω交于E，P两点，M，E均在第一象限，设A，B分别为弦MN，EP的中点，直线ME与直线NP交于点H． (1)直线AB是否过定点？请说明理由； (2)证明：点H在直线上． 【答案】(1)过定点，理由见解析； (2)证明见解析. 【详解】（1）抛物线Ω：的焦点， 互相垂直的直线，与抛物线各有两个交点，知直线，斜率存在且不为0， 设直线的斜率为，则直线，设， 由，消去并整理得，， ，，弦MN的中点， 由垂直的条件，可将换为，设， 同理得，，有， 当或时，直线的方程为， 当且时，直线的斜率为，方程为， 即，当时，恒有， 所以直线过定点，其坐标为. （2）直线的斜率，同理得直线的斜率， 此时直线的方程为，即， 同理，直线的方程为，即，整理得， 由，消去解得， 所以直线ME与直线NP的交点在直线上. 9．（2024·吉林长春·一模）已知为抛物线的焦点，为坐标原点，过焦点作一条直线交于A，B两点，点在的准线上，且直线MF的斜率为的面积为1. (1)求抛物线的方程； (2)试问在上是否存在定点，使得直线NA与NB的斜率之和等于直线NF斜率的平方？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)过焦点且与轴垂直的直线与抛物线交于P，Q两点，求证：直线AP与BQ的交点在一条定直线上. 【答案】(1) (2)或 (3)证明见解析 【详解】（1）由题意得，直线方程为：， 令，则，故， 于是，解得（负值舍去）， 故抛物线方程为. （2）设的方程为，，， 由题意得，，即， 可得，通分可得， 联立和抛物线，得到，， 由，代入可得， 整理可得，解得或， 故，满足题意.    （3）由题意，， 则直线，直线， 两直线方程相减得到：， 由（2）知，，于是， 即， 即， 即， 于是， 解得， 即直线AP与BQ的交点在一条定直线上    10．（2024·湖南长沙·三模）已知抛物线，过点的直线与交于不同的两点.当直线的倾斜角为时，. (1)求的方程； (2)在线段上取异于点的点，且满足，试问是否存在一条定直线，使得点恒在这条定直线上？若存在，求出该直线；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)点恒在直线上. 【详解】（1）设. 若直线的倾斜角为，则直线的方程为. 联立得， 则， 且， 所以. 因为，所以，故的方程为. （2）存在，定直线为. 由题意知直线的斜率存在， 设直线的方程为，. 联立得. 由，得且， . 不妨设，则， 过点向轴作垂线，垂足分别为点，如图所示， 则，. 因为，所以， 整理得，所以. 代入直线的方程得. 因为，所以点恒在直线上. 考点四 抛物线的应用问题 1．（24-25高二上·山东烟台·期末）某隧道的垂直剖面图近似为一抛物线，如图所示．已知隧道高为，宽为，隧道内设置两条车道，且隧道内行车不准跨过中间的实线．若载有集装箱的货车要经过此隧道，货车宽度为，集装箱宽度与货车宽度相同，则货车高度（即集装箱最高点距地面的距离）的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】以抛物线的顶点为原点，建立如图平面直角坐标系， 设抛物线方程为， 由图可知抛物线过点，代入抛物线方程， 得，解得，所以抛物线方程为. 因为车道宽2米，两车道中间有隔离带，车宽2米， 所以车行驶时，的取值范围为. 当时，， 要使载货最高的货车通过隧道，货车高度的最大值为米. 故选：C 2．（24-25高二上·重庆渝中·期中）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.在抛物线中，一平行于轴的光线射向抛物线上的点，反射后反射光线经过抛物线的焦点射向抛物线上的点，再反射后又沿平行轴方向的直线射出.则直线与之间的最小距离为（    ） A．4 B．2 C．8 D．16 【答案】A 【详解】设；由题意：直线与之间的距离； 因为，设直线，与联立，整理得：； 由韦达定理：，， 则； 故时，. 故选：A. 3．（24-25高二上·北京海淀·期末）如图，是平面上一点， 以为圆心，分别画出半径为1， 2， 3， 4， 5 的同心圆.记半径为4的圆的一条切线为，再画出与平行的各圆的切线和一条穿过圆心与平行的直线. 若以为焦点，为准线的抛物线记为，则这个点（   ） A．都不在抛物线线上 B．只有个点在抛物线上 C．有个点在抛物线上 D．有个点在抛物线上 【答案】D 【详解】不妨以点D为坐标原点，过点D且平行于直线的直线为轴，过点D且垂直于直线的直线为轴，建立平面直角坐标系，如图， 此时，则抛物线的方程为， 易知该组同心圆的方程为， 联立解得， 由图可知，所给5点的纵坐标不小于0，故， 当时，可得，该点为点D； 当时，，该点为点E； 当时，，该点不存在； 当时，，该点为点B； 综上所述，有3个点在抛物线上. 故选：D. 4．（24-25高二上·福建三明·期末）三明永安市贡川镇的会清桥是一座集通行、宗教祭祀等功能为一体的廊桥．该桥始修于明成化乙巳年（年），南北坐向，两墩三孔，各桥孔呈抛物线型，其中最大一桥孔（如图所示），当孔顶到水面距离为时，跨度达到了．若水面从图中示意位置上升，则水面宽变为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】以抛物线的顶点为原点，抛物线的对称轴所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 根基题意，设抛物线的标准方程为， 由题意可知，点在抛物线上，则，解得， 所以，抛物线的标准方程为， 若水面从图中示意位置上升，即时，可得，解得， 此时，水面的宽度为. 故选：B. 5．（23-24高二上·湖北·期末·多选）设抛物线E：的焦点为F，从点F发出的光线经过E上的点不同于E的顶点反射，可证明反射光线平行于E的对称轴，这种特点称为抛物线的光学性质．过E上的动点A向准线l作垂线，垂足为B，过点A的直线m与E相切，设m交l于点C，连接CF，FB，FB交AC于点D，则以下结论正确的是（    ） A．m平分 B． C．与的面积之比为定值 D．点D在定直线上 【答案】ABD 【详解】如图， 由光学性质得到，因为， 所以，所以A正确； 因为，所以，所以，所以B正确； 因为，所以， 所以， 显然不是定值，所以C不正确， 因为由A可得，所以D为BF的中点，所以D在y轴上，所以D正确. 故选：ABD. 6．（24-25高二下·甘肃张掖·期末·多选）如图，抛物线：（），绕其顶点按逆时针方向分别旋转90°，180°，270°得到抛物线，，，四条抛物线围成的图案如图中阴影区域，A，B分别是第一、四象限的交点.若抛物线的焦点为，则下列说法正确的有（    ）    A．抛物线的方程为 B．阴影区域的面积为64 C． D．图案上任意两点距离的最大值为 【答案】ACD 【详解】对于选项A，由题意，抛物线开口向右，顶点为坐标原点O.因为抛物线的焦点为，所以，解得，所以抛物线的方程为. 因为抛物线绕其顶点按逆时针方向旋转90°得到的抛物线开口向上，所以抛物线开口向上，则其方程为，即，故A正确. 对于选项B，C，D，由题意及抛物线的对称性知，图案关于x轴、y轴、坐标原点、直线、直线均对称. 由解得或，则.由图案的对称性，得，所以. 由图案的对称性可知，另外两个交点分别为，，    连接点A，B，C，D，则四边形ABCD是边长为8的正方形，其面积为，所以阴影部分面积小于64. 因为图案在正方形ABCD内，所以图案上任意两点的距离小于等于.故B错误，C正确，D正确. 故选：ACD. 7．（25-26高三上·湖南·开学考试）抛物线有这样的光学性质：与抛物线的对称轴平行的光线经抛物线反射后，反射光线经过抛物线的焦点，由光路是可逆的，可知从焦点发出的光线，经抛物线反射后，反射光线与抛物线的对称轴平行．如图，雷达接收器的截面曲线可看作抛物线，光信号沿着直线入射到上的点，经反射到点，反射光线与x轴交于的焦点，则光信号经点反射后，反射光线所在直线的方程为 ．    【答案】 【详解】易得点A的坐标为，所以直线的方程为，代入， 可得点B的坐标为，故光信号经B点反射后，反射光线所在直线的方程为． 故答案为：. 8．（23-24高二上·河北张家口·期末）圆锥曲线因其特殊的形状而存在着特殊的光学性质.我们知道，抛物线的光学性质是平行于抛物线对称轴的光线经抛物线反射后汇聚于其焦点；双曲线的光学性质是从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上.卡式望远镜就是应用这些性质设计的.下图为卡式望远镜的中心截面示意图，其主要由两块反射镜组成，主镜是中央开孔的凹抛物面镜，副镜是双曲线左支的旋转面型凸双曲面镜，主镜对应抛物线的顶点与副镜对应双曲线的中心重合，当平行光线投射到主镜上时，经过主镜反射，将汇聚到主镜的焦点处，但光线尚未汇聚时，又受到以为焦点的凸双曲面镜的反射，穿过主镜中心的开孔后汇聚于另一个焦点处.以的中点为原点，为轴，建立平面直角坐标系.若米，凹抛物面镜的口径为米，凸双曲面镜的口径为1米，要使副镜的反射光线全部通过凹抛物面镜的中央孔洞，则孔洞直径最小为 米. 【答案】 【详解】因为曲线C的焦点坐标为， 所以，则抛物线C的方程为， 因为， 所以，则，解得, ， 设，又，所以， 易知，则 则，解得， 根据题意，从点反射，与轴的交点，此时孔洞半径最小，即. 易知，则, 即，解得,直径为. 所以要使副镜的反射光线全部通过凹抛物面镜的中央孔洞，则孔洞直径最小为. 故答案为：. 2 学科网（北京）股份有限公司 $