专题08 三角函数与解三角形讲义-【备战2026年高考数学命题背景探究】（全国通用）（会一题通一类系列）

专题08 三角函数与解三角形 备战2026年高考数学命题背景探究（全国通用） 目录 真题命题背景59 以三角函数弦切互化为命题背景 1 真题命题背景60 以三角函数的图象与性质为命题背景 2 真题命题背景61 以三角函数的伸缩平移变换为命题背景 9 真题命题背景62 以求ω为命题背景 12 真题命题背景63 以函数图象综合为命题背景 14 真题命题背景64 以三角恒等变换为命题背景 15 真题命题背景65 以半角公式为命题背景 20 真题命题背景66 以正弦定理为命题背景 21 真题命题背景67 以余弦定理为命题背景 24 真题命题背景68 以正余弦定理为命题背景 26 真题命题背景69 以面积公式为命题背景 32 真题命题背景70 以角平分线定理为命题背景 34 真题命题背景71 以周长最值为命题背景 36 真题命题背景72 以解三角形实际应用为命题背景 37 基础过关练 38 提升巩固练 43 培优压轴练 51 真题命题背景59 以三角函数弦切互化为命题背景 平方关系： 商数关系： 推导公式： 真题练1．（2024·全国甲卷·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将弦化切求得，再根据两角和的正切公式即可求解. 【详解】因为， 所以，， 所以， 故选：B. 真题练2．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母()，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入即可得到结果． 【详解】将式子进行齐次化处理得： ． 故选：C． 【点睛】易错点睛：本题如果利用，求出的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论． 真题命题背景60 以三角函数的图象与性质为命题背景 三角函数型函数的图象和性质 （1） 正弦型函数、余弦型函数性质 ， 振幅，决定函数的值域，值域为 决定函数的周期， 叫做相位，其中叫做初相 （2） 正切型函数性质 的周期公式为： 真题练1．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）下列区间中，函数单调递增的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解不等式，利用赋值法可得出结论. 【详解】因为函数的单调递增区间为， 对于函数，由， 解得， 取，可得函数的一个单调递增区间为， 则，，A选项满足条件，B不满足条件； 取，可得函数的一个单调递增区间为， 且，，CD选项均不满足条件. 故选：A. 【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成形式，再求的单调区间，只需把看作一个整体代入的相应单调区间内即可，注意要先把化为正数． 真题练2．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）当时，曲线与的交点个数为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】画出两函数在上的图象，根据图象即可求解 【详解】因为函数的最小正周期为， 函数的最小正周期为， 所以在上函数有三个周期的图象， 在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示： 由图可知，两函数图象有6个交点. 故选：C 真题练3．（2024·全国甲卷·高考真题）函数在上的最大值是 ． 【答案】2 【分析】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可. 【详解】，当时，， 当时，即时，. 故答案为：2 真题练4．（2025·全国一卷·高考真题）已知点是函数的图象的一个对称中心，则a的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正切函数的对称中心的结论求解. 【详解】根据正切函数的性质，的对称中心横坐标满足， 即的对称中心是， 即， 又，则时最小，最小值是， 即. 故选：B 真题练5．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则 ．    【答案】 【分析】设，依题可得，，结合的解可得，，从而得到的值，再根据以及，即可得，进而求得． 【详解】设，由可得， 由可知，或，，由图可知， ，即，． 因为，所以，即，． 所以， 所以或， 又因为，所以，． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查根据图象求出以及函数的表达式，从而解出，熟练掌握三角函数的有关性质，以及特殊角的三角函数值是解题关键． 真题练6．（2021·全国甲卷·高考真题）已知函数的部分图像如图所示，则 . 【答案】 【分析】首先确定函数的解析式，然后求解的值即可. 【详解】由题意可得：， 当时，， 令可得：， 据此有：. 故答案为：. 【点睛】已知f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法： (1)由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ. (2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求. 真题练7．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意分别求出其周期，再根据其最小值求出初相，代入即可得到答案. 【详解】因为在区间单调递增， 所以，且，则，， 当时，取得最小值，则，， 则，，不妨取，则， 则， 故选：D. 真题练8．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则（    ） A．1 B． C． D．3 【答案】A 【分析】由三角函数的图象与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解. 【详解】由函数的最小正周期T满足，得，解得， 又因为函数图象关于点对称，所以，且， 所以，所以，， 所以. 故选：A 真题练9．（2021·全国乙卷·高考真题）函数的最小正周期和最大值分别是（    ） A．和 B．和2 C．和 D．和2 【答案】C 【分析】利用辅助角公式化简，结合三角函数周期性和值域求得函数的最小正周期和最大值. 【详解】由题，，所以的最小正周期为，最大值为. 故选：C． 真题练10．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）（多选）对于函数和，下列说法中正确的有（    ） A．与有相同的零点 B．与有相同的最大值 C．与有相同的最小正周期 D．与的图象有相同的对称轴 【答案】BC 【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可. 【详解】A选项，令，解得，即为零点， 令，解得，即为零点， 显然零点不同，A选项错误； B选项，显然，B选项正确； C选项，根据周期公式，的周期均为，C选项正确； D选项，根据正弦函数的性质的对称轴满足， 的对称轴满足， 显然图像的对称轴不同，D选项错误. 故选：BC 真题练11．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）（多选）已知函数的图像关于点中心对称，则（    ） A．在区间单调递减 B．在区间有两个极值点 C．直线是曲线的对称轴 D．直线是曲线的切线 【答案】AD 【分析】根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可解出． 【详解】由题意得：，所以，， 即， 又，所以时，，故． 对A，当时，，由正弦函数图象知在上是单调递减； 对B，当时，，由正弦函数图象知只有1个极值点，由，解得，即为函数的唯一极值点； 对C，当时，，，直线不是对称轴； 对D，由得：， 解得或, 从而得：或, 所以函数在点处的切线斜率为， 切线方程为：即． 故选：AD． 真题命题背景61 以三角函数的伸缩平移变换为命题背景 三角函数的伸缩平移变换 （1） 伸缩变换（，是伸缩量） 振幅，决定函数的值域，值域为； 若↗，纵坐标伸长；若↘，纵坐标缩短；与纵坐标的伸缩变换成正比 决定函数的周期， 若↗，↘，横坐标缩短；若↘，↗，横坐标伸长；与横坐标的伸缩变换成反比 （2） 平移变换（，是平移量） 平移法则：左右，上下 真题练1．（2023·全国甲卷·高考真题）函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先利用三角函数平移的性质求得，再作出与的部分大致图像，考虑特殊点处与的大小关系，从而精确图像，由此得解. 【详解】因为向左平移个单位所得函数为，所以， 而显然过与两点， 作出与的部分大致图像如下，    考虑，即处与的大小关系， 当时，，； 当时，，； 当时，，； 所以由图可知，与的交点个数为. 故选：C. 真题练2．（2022·全国甲卷·高考真题）将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由平移求出曲线的解析式，再结合对称性得，即可求出的最小值. 【详解】由题意知：曲线为，又关于轴对称，则， 解得，又，故当时，的最小值为. 故选：C. 真题练3．（2021·全国乙卷·高考真题）把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解法一：从函数的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到，即得，再利用换元思想求得的解析表达式； 解法二：从函数出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到的解析表达式. 【详解】解法一：函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，再把所得曲线向右平移个单位长度，应当得到的图象， 根据已知得到了函数的图象，所以， 令,则, 所以,所以； 解法二：由已知的函数逆向变换， 第一步：向左平移个单位长度，得到的图象， 第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象， 即为的图象，所以. 故选：B. 真题命题背景62 以求ω为命题背景 真题练1．（2022·全国甲卷·高考真题）设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由的取值范围得到的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式组，解得即可． 【详解】解：依题意可得，因为，所以， 要使函数在区间恰有三个极值点、两个零点，又，的图象如下所示：      则，解得，即． 故选：C． 真题练2．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】令，得有3个根，从而结合余弦函数的图像性质即可得解. 【详解】因为，所以， 令，则有3个根， 令，则有3个根，其中， 结合余弦函数的图像性质可得，故， 故答案为：. 真题练3．（2022·全国乙卷·高考真题）记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】首先表示出，根据求出，再根据为函数的零点，即可求出的取值，从而得解； 【详解】解： 因为，（，） 所以最小正周期，因为， 又，所以，即， 又为的零点，所以，解得， 因为，所以当时； 故答案为： 真题命题背景63 以函数图象综合为命题背景 图象问题解题思路（判断奇偶性、特值、极限思想） ① ② ③ ④ 特别地：当时 例如：， 当时 真题练1．（2022·全国甲卷·高考真题）函数在区间的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解. 【详解】令， 则， 所以为奇函数，排除BD； 又当时，，所以，排除C. 故选：A. 真题练2．（2022·全国乙卷·高考真题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解. 【详解】设，则，故排除B; 设，当时，， 所以，故排除C; 设，则，故排除D. 故选：A. 真题命题背景64 以三角恒等变换为命题背景 1. 正弦的和差公式 ， 2. 余弦的和差公式 ， 3. 正切的和差公式 ， 4. 正弦的倍角公式 5. 余弦的倍角公式 升幂公式：， 降幂公式：， 6. 正切的倍角公式 7. 推导公式 8. 辅助角公式 ，，其中， 真题练1．（2021·全国乙卷·高考真题）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意结合诱导公式可得，再由二倍角公式即可得解. 【详解】由题意， . 故选：D. 真题练2．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出，再利用二倍角的余弦公式计算作答. 【详解】因为，而，因此， 则， 所以. 故选：B 【点睛】方法点睛：三角函数求值的类型及方法 （1）“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数． （2）“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系． （3）“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围． 真题练3．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两角和的余弦可求的关系，结合的值可求前者，故可求的值. 【详解】因为，所以， 而，所以， 故即， 从而，故， 故选：A. 真题练4．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解. 【详解】[方法一]：直接法 由已知得：, 即：， 即： 所以 故选：C [方法二]：特殊值排除法 解法一:设β=0则sinα +cosα =0，取，排除A, B； 再取α=0则sinβ +cosβ= 2sinβ，取β，排除D；选C. [方法三]：三角恒等变换 所以 即 故选：C. 真题练5．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为锐角，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二倍角公式（或者半角公式）即可求出． 【详解】因为，而为锐角， 解得：． 故选：D． 真题练6．（2020·全国I卷·高考真题）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用二倍角的余弦公式，将已知方程转化为关于的一元二次方程，求解得出，再用同角间的三角函数关系，即可得出结论. 【详解】，得， 即，解得或（舍去）， 又. 故选：A. 【点睛】本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题. 真题练7．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为第一象限角，为第三象限角，，，则 . 【答案】 【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得，再缩小的范围，最后结合同角的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案. 【详解】法一：由题意得， 因为，， 则，， 又因为， 则，，则， 则，联立 ，解得. 法二： 因为为第一象限角，为第三象限角，则, ，， 则 故答案为：. 真题命题背景65 以半角公式为命题背景 半角公式 (1)sin ＝± . (2)cos＝± . (3)tan＝± ＝＝. 以上称之为半角公式，符号由所在象限决定． 真题练1．（2025·全国二卷·高考真题）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二倍角余弦公式得，则，最后再根据两角差的正弦公式即可得到答案. 【详解】， 因为，则，则， 则. 故选：D. 真题练2．（2021·全国甲卷·高考真题）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由二倍角公式可得，再结合已知可求得，利用同角三角函数的基本关系即可求解. 【详解】 ， ，，，解得， ，. 故选：A. 【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出. 真题命题背景66 以正弦定理为命题背景 正弦定理 （1） 基本公式： （其中为外接圆的半径） （2） 变形 ① ② ③ ④ （3） 应用：边角互化 ① ② ③ 或（舍） 真题练1．（2023·全国乙卷·高考真题）在中，内角的对边分别是，若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先利用正弦定理边化角，然后结合诱导公式和两角和的正弦公式求得的值，最后利用三角形内角和定理可得的值. 【详解】由题意结合正弦定理可得， 即， 整理可得，由于，故， 据此可得， 则. 故选：C. 真题练2．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A． (2)若，，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据辅助角公式对条件进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同角三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决； （2）先根据正弦定理边角互化算出，然后根据正弦定理算出即可得出周长. 【详解】（1）方法一：常规方法（辅助角公式） 由可得，即， 由于，故，解得 方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系） 由，又，消去得到： ，解得， 又，故 方法三：利用极值点求解 设，则， 显然时，，注意到， ，在开区间上取到最大值，于是必定是极值点， 即，即， 又，故 方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式） 设，由题意，， 根据向量的数量积公式， ， 则，此时，即同向共线， 根据向量共线条件，， 又，故 方法五：利用万能公式求解 设，根据万能公式，， 整理可得，， 解得，根据二倍角公式，， 又，故 （2）由题设条件和正弦定理 ， 又，则，进而，得到， 于是， ， 由正弦定理可得，，即， 解得， 故的周长为 真题命题背景67 以余弦定理为命题背景 余弦定理 （1） 边的余弦定理 ，， （2） 角的余弦定理 ，， 真题练1．（2025·全国二卷·高考真题）在中，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由余弦定理直接计算求解即可. 【详解】由题意得， 又，所以. 故选：A 真题练2．（2021·全国甲卷·高考真题）在中，已知，，，则（    ） A．1 B． C． D．3 【答案】D 【分析】利用余弦定理得到关于BC长度的方程，解方程即可求得边长. 【详解】设， 结合余弦定理：可得：， 即：，解得：（舍去）， 故. 故选：D. 【点睛】利用余弦定理及其推论解三角形的类型： (1)已知三角形的三条边求三个角； (2)已知三角形的两边及其夹角求第三边及两角； (3)已知三角形的两边与其中一边的对角，解三角形． 真题练3．（2023·全国甲卷·高考真题）记的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，求面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据余弦定理即可解出； （2）由（1）可知，只需求出即可得到三角形面积，对等式恒等变换，即可解出． 【详解】（1）因为，所以，解得：． （2）由正弦定理可得 ， 变形可得：，即， 而，所以，又，所以， 故的面积为． 真题练4．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， (1)求B； (2)若的面积为，求c． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出，最后结合已知得的值即可； （2）首先求出，然后由正弦定理可将均用含有的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求解. 【详解】（1）由余弦定理有，对比已知， 可得， 因为，所以， 从而， 又因为，即， 注意到， 所以. （2）由（1）可得，，，从而，， 而， 由正弦定理有， 从而， 由三角形面积公式可知，的面积可表示为 ， 由已知的面积为，可得， 所以. 真题命题背景68 以正余弦定理为命题背景 真题练1．（2024·全国甲卷·高考真题）记的内角的对边分别为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理得，再利用余弦定理有，由正弦定理得到的值，最后代入计算即可. 【详解】因为，则由正弦定理得. 由余弦定理可得:， 即:，根据正弦定理得， 所以， 因为为三角形内角，则，则. 故选：C. 真题练2．（2022·全国乙卷·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知． (1)若，求C； (2)证明： 【答案】(1)； (2)证明见解析． 【分析】（1）根据题意可得，，再结合三角形内角和定理即可解出； （2）由题意利用两角差的正弦公式展开得，再根据正弦定理，余弦定理化简即可证出． 【详解】（1）由，可得，，而，所以，即有，而，显然，所以，，而，，所以． （2）由可得， ，再由正弦定理可得， ，然后根据余弦定理可知， ，化简得： ，故原等式成立． 真题练3．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，. （1）证明：； （2）若，求. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【分析】（1）根据正弦定理的边角关系有，结合已知即可证结论. （2）方法一：两次应用余弦定理，求得边与的关系，然后利用余弦定理即可求得的值. 【详解】（1）设的外接圆半径为R，由正弦定理， 得， 因为，所以，即． 又因为，所以． （2）[方法一]【最优解】：两次应用余弦定理 因为，如图，在中，，① 在中，．② 由①②得，整理得． 又因为，所以，解得或， 当时，（舍去）． 当时，． 所以． [方法二]：等面积法和三角形相似 如图，已知，则， 即， 而，即， 故有，从而． 由，即，即，即， 故，即， 又，所以， 则． [方法三]：正弦定理、余弦定理相结合 由（1）知，再由得． 在中，由正弦定理得． 又，所以，化简得． 在中，由正弦定理知，又由，所以． 在中，由余弦定理，得． 故． [方法四]：构造辅助线利用相似的性质 如图，作，交于点E，则． 由，得． 在中，． 在中． 因为， 所以， 整理得． 又因为，所以， 即或． 下同解法1． [方法五]：平面向量基本定理 因为，所以． 以向量为基底，有． 所以， 即， 又因为，所以．③ 由余弦定理得， 所以④ 联立③④，得． 所以或． 下同解法1． [方法六]：建系求解 以D为坐标原点，所在直线为x轴，过点D垂直于的直线为y轴， 长为单位长度建立直角坐标系， 如图所示，则． 由（1）知，，所以点B在以D为圆心，3为半径的圆上运动． 设，则．⑤ 由知，， 即．⑥ 联立⑤⑥解得或（舍去），， 代入⑥式得， 由余弦定理得． 【整体点评】(2)方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题； 方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路； 方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路； 方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择； 方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起； 方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化. 真题命题背景69 以面积公式为命题背景 三角形的面积公式 真题练1．（2021·全国乙卷·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则 ． 【答案】 【分析】由三角形面积公式可得，再结合余弦定理即可得解. 【详解】由题意，， 所以， 所以，解得（负值舍去）. 故答案为：. 真题练2．（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）在中，角、、所对的边长分别为、、，，.． （1）若，求的面积； （2）是否存在正整数，使得为钝角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）；（2）存在，且. 【分析】（1）由正弦定理可得出，结合已知条件求出的值，进一步可求得、的值，利用余弦定理以及同角三角函数的基本关系求出，再利用三角形的面积公式可求得结果； （2）分析可知，角为钝角，由结合三角形三边关系可求得整数的值. 【详解】（1）因为，则，则，故，， ，所以，为锐角，则， 因此，； （2）显然，若为钝角三角形，则为钝角， 由余弦定理可得， 解得，则， 由三角形三边关系可得，可得，，故. 真题练3．（2023·全国乙卷·高考真题）在中，已知，，. (1)求； (2)若D为BC上一点，且，求的面积. 【答案】(1)； (2). 【分析】(1)首先由余弦定理求得边长的值为，然后由余弦定理可得，最后由同角三角函数基本关系可得； (2)由题意可得，则，据此即可求得的面积. 【详解】（1）由余弦定理可得： ， 则，， . （2）由三角形面积公式可得， 则. 真题练4．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知． (1)求的面积； (2)若，求b． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先表示出，再由求得，结合余弦定理及平方关系求得，再由面积公式求解即可； （2）由正弦定理得，即可求解. 【详解】（1）由题意得，则， 即，由余弦定理得，整理得，则，又， 则，，则； （2）由正弦定理得：，则，则，. 真题命题背景70 以角平分线定理为命题背景 角平分线定理 （1）在中，为的角平分线，则有 （2） （3）（库斯顿定理） （4） 真题练1．（2023·全国甲卷·高考真题）在中，，的角平分线交BC于D，则 ． 【答案】 【分析】方法一：利用余弦定理求出，再根据等面积法求出； 方法二：利用余弦定理求出，再根据正弦定理求出，即可根据三角形的特征求出． 【详解】 如图所示：记， 方法一：由余弦定理可得，， 因为，解得：， 由可得， ， 解得：． 故答案为：． 方法二：由余弦定理可得，，因为，解得：， 由正弦定理可得，，解得：，， 因为，所以，， 又，所以，即． 故答案为：． 【点睛】本题压轴相对比较简单，既可以利用三角形的面积公式解决角平分线问题，也可以用角平分定义结合正弦定理、余弦定理求解，知识技能考查常规． 真题命题背景71 以周长最值为命题背景 化为边-基本不等式，化为角-三角函数的值域 方法一：求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等关系求得最值. 方法二：采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围进行求解最值，如果三角形是锐角三角形或有限制条件的，则采用此法解决. 方法三：巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦函数求最值问题. 真题练1．（2020·全国II卷·高考真题）中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC． （1）求A； （2）若BC=3，求周长的最大值. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）利用正弦定理角化边，配凑出的形式，进而求得； （2）方法一：利用余弦定理可得到，利用基本不等式可求得的最大值，进而得到结果. 【详解】（1）由正弦定理可得：， ， ，. （2）[方法一]【最优解】：余弦+不等式 由余弦定理得：， 即. （当且仅当时取等号）， ， 解得：（当且仅当时取等号）， 周长，周长的最大值为. [方法二]：正弦化角（通性通法） 设，则，根据正弦定理可知，所以，当且仅当，即时，等号成立．此时周长的最大值为． [方法三]：余弦与三角换元结合 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．由余弦定理得，即．令，得，易知当时，， 所以周长的最大值为． 真题命题背景72 以解三角形实际应用为命题背景 真题练1．（2021·全国乙卷·高考真题）魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点，，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，与的差称为“表目距的差”则海岛的高（    ） A．表高 B．表高 C．表距 D．表距 【答案】A 【分析】利用平面相似的有关知识以及合分比性质即可解出． 【详解】如图所示： 由平面相似可知，，而 ，所以 ，而 ， 即＝ ． 故选：A. 【点睛】本题解题关键是通过相似建立比例式，围绕所求目标进行转化即可解出． 一、单选题 1．（2025·黑龙江大庆·一模）已知，则（    ） A．-3 B．-5 C．5 D．3 【答案】A 【分析】利用化弦为切及和差公式即可求解. 【详解】，可得， 所以. 故答案为：. 2．（2025·河北衡水·模拟预测）已知为锐角，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，利用倍角公式即可求出，再根据的范围即可求出. 【详解】令，则，则， 故，得， 因为为锐角，则，则. 故选：A 3．（2025·广东梅州·模拟预测）在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据余弦定理可求得AC的长. 【详解】在中，，由余弦定理得： ，所以. 故选：C. 4．（2025·福建三明·模拟预测）已知，是第一象限角，，求（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】由三角恒等变换化简已知条件得，可求. 【详解】已知，得， 即， 可得， 由，是第一象限角，有， 所以，则有. 故选：D. 5．（2025·陕西西安·模拟预测）中内角，，所对的边分别为，，，若，且，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】利用余弦定理求出，再结合同角三角函数的基本关系求出，最后利用正弦定理求解即可. 【详解】因为，所以， 则，由余弦定理得， 因为，所以， 由同角三角函数的基本关系得，解得， 由正弦定理得，故A正确. 故选：A. 二、多选题 6．（25-26高三上·江西·开学考试）已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称 C．在上单调递增 D．的一个零点为 【答案】ABC 【分析】选项A，利用周期公式计算；选项B，代入看是否满足对称轴方程；选项C，通过解不等式确定的范围，结合正弦函数单调性判断；选项D，先求出的表达式，再代入值判断是否为零点. 【详解】选项A，的最小正周期为，所以A正确； 选项B，因为，所以的图象关于直线对称，所以B正确； 选项C，由，可得，则在上单调递增，所以C正确； 选项D，，，所以D不正确. 故选：ABC. 7．（2025·福建漳州·模拟预测）在中，角的对边分别是，，，，则的值可以是（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】AC 【分析】根据余弦定理直接求解即可. 【详解】根据余弦定理可得， 即，，，， 解得或. 故选：AC. 三、解答题 8．（2025·全国·二模）的内角的对边分别为 (1)求A； (2)若的面积为，求的周长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理和两角和的正弦公式化简计算即可求解； （2）根据三角形的面积公式求得，结合余弦定理计算求得，进而得出结果. 【详解】（1）由得， 因为， 所以，即， 因为，所以，所以， 所以，因为，所以； （2）因为三角形的面积为，所以，所以， 由余弦定理知，即， 所以，故， 所以三角形的周长为. 9．（2025·江苏连云港·模拟预测）在中，点在边上，，，． (1)若，求； (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中，利用余弦定理求得，从而得，进而在中，可解； （2）设，，（），借助直角三角形可，则利用正弦定理求得，再用余弦定理求出，即可得解. 【详解】（1）在中，， 由余弦定理， ， 得， 所以． 所以在中，． （2）设，，（），在中， 由正弦定理得，又因为， 代入上式有：，得． 由余弦定理得， 综上，． 10．（2025·广东·模拟预测）记的内角的对边分别为，已知. (1)求； (2)设，求边上的高. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理得，结合同角三角函数平方关系即可求解； （2）先求，由正弦定理得，进而得，再由平方关系求，利用两角和的正弦公式求，进而求解. 【详解】（1）由和正弦定理，可得， 因为，所以， 两边取平方，可得， 解得，因，则得； （2）由（1）可得. 由和正弦定理，可得，， 又，故为锐角，则. 所以. 因，则. 边上的高为. 一、单选题 1．（2025·河北邯郸·一模）若函数为偶函数，则取得最小值时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦型函数的图象和性质，结合已知条件推出的取值范围，再求出取得最小值时的值，从而求解. 【详解】根据正弦函数的图象和性质，若为偶函数，则， 已知函数为偶函数，则需满足，所以. 当时，，；当时，，， 所以取得最小值. 所以. 故选：C. 2．（2025·湖北黄冈·一模）若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，利用平方关系得到，进而得，再代入，利用和差角的余弦公式，计算即得. 【详解】由两边取平方，可得①， 由，两边取平方，可得②， 由①②得到，整理得到， 又，解得，即， 将其代入，可得，即， 即，所以， 故得. 故选：A. 3．（2025·山西·模拟预测）若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由同角三角函数的商数关系得到，由及两角和的余弦公式得到，由二倍角公式求得. 【详解】由得， 由， 得， ， 所以， 故选：A. 4．（2024·新疆·二模）设，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同角的商数关系以及两角差的正弦公式，利用诱导公式即可得出结果. 【详解】由题设，所以， 因为，则，又因为，则， 又， 所以，解得． 故选：B 5．（2025·广东佛山·三模）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列结论正确的是（    ） A．是奇函数 B．的图象关于直线对称 C．在上的值域为 D．在上单调递增 【答案】C 【分析】首先根据平移规律求函数的解析式，根据奇函数的性质，判断A，利用代入法，判断BCD. 【详解】由题意知不是奇函数，故A错误． 不关于直线对称，故B错误． 由，得，则，故C正确． 当时，，而在上不单调， 所以在上不单调，故D错误． 故选：C 二、多选题 6．（2025·江西新余·模拟预测）下列关于函数的相关命题，叙述正确的有（    ） A．的最小正周期为 B．的一条对称轴为 C．的单调增区间为 D．若时，函数有两个不同零点，则 【答案】ACD 【分析】根据三角恒等变换化简得，利用最小正周期公式求解判断A，根据正弦函数对称性求对称轴判断B，根据正弦函数单调性求解单调区间判断C，将问题转化为曲线与直线在区间上有且仅有两个交点，画出函数图象数形结合即可求解判断D. 【详解】由于 ， 故最小正周期，故A正确； 令，解得，令得， 所以直线不是函数图像的对称轴，故B错误； 令，所以， 所以函数的单调递增区间为，故C正确； 若函数有两个不同的零点， 即曲线与直线在区间上有且仅有两个交点， 由，得， 设，则， 作出函数图象如图所示， 由图可知：，故D正确. 故选：ACD. 7．（2025·广西南宁·模拟预测）已知函数，则（    ） A．为的周期 B．的图象关于对称 C．的图象关于点对称 D．是奇函数 【答案】ACD 【分析】根据函数的周期性，对称性，奇偶性的定义，和诱导公式，分别判断各选项正误. 【详解】已知， 则， 可得，所以为的周期，A正确. 可知， 可得，则B错误，C正确. 可知， 则，可知， 所以是奇函数，所以D正确. 故选：ACD. 三、解答题 8．（2025·湖北黄冈·一模）已知函数的最小正周期为． (1)求的值； (2)将函数的图象先向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数的图象，若在区间上有且仅有3个零点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件，利用正弦的和角公式及倍角公式得，再结合条件，即可求解； （2）根据条件得，由可得或，再结合条件，即可求解. 【详解】（1） ， 又的最小正周期为，，则，所以. （2）由（1）知，所以， 由时，得到，所以或 即或， 因为在区间上有且仅有3个零点， 由，令，得；令，得； 由，令，得；，得； 所以， 故的取值范围是. 9．（2025·广西·模拟预测）在中，内角所对的边分别为，已知. (1)求内角的大小； (2)若，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理边化角，再利用辅助角公式化简，结合特殊角即可求出角A； （2）法一：结合余弦定理以及基本不等式即可求出最值；法二：根据正弦定理边化角，利用三角函数求最值，注意定义域. 【详解】（1）由正弦定理有， 因为，所以， 故，即，即， 因为，所以， 所以，即. （2）法一：因为，即， 因为， 所以，即（当且仅当时取等）， 故（当且仅当时取等）， 所以当时，△ABC面积S有最大值，最大值为. 法二：由正弦定理有， 即，， 因为，所以， 当，即时，有最大值，最大值为1， . 10．（2025·四川达州·模拟预测）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足. (1)设A与B存在函数关系，并记，求函数； (2)求的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由正弦定理边化角，可得，再求出范围，可得函数；（2）切化弦整理得，令，求导判断其单调性，根据单调性求范围. 【详解】（1）由正弦定理得，.所以， 即， 解得或（舍），所以. 因为为锐角三角形，，. 由得. 故函数，. （2）， 当且仅当即时即时取等号，此时，而， 所以等号取不到. 令，则，对函数，在上恒成立， 所以函数在上单调递增， 当时，；当时， 所以函数的值域为， 故的取值范围为. 一、单选题 1．（2025·辽宁沈阳·三模）已知函数在区间上有且仅有一个零点，当最大时，的图象的一条对称轴方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由可求得，根据函数在区间上有且仅有一个零点可求出的取值范围，再利用正弦型函数的对称性可求得结果. 【详解】当时，且，， 由可得，所以，， 解得，， 若无解，则或，解得或， 由于且存在，故或，即或，则有或， 故的最大值为，此时， 由可得， 当时，函数的一条对称轴方程为， 故选：B. 2．（2025·浙江·三模）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形内角和与诱导公式将已知条件转化为边角的三角函数关系，利用正弦定理由边化角，使用二倍角公式进行恒等变换以及利用同角的三角函数关系求出的三角函数值，再利用正弦定理和同角的三角函数关系根据的范围求出结果. 【详解】由得，即，即，又，故， 故， 因为，所以，故，得，， 因为， 因为，，所以， 故，所以，所以， 故选D． 3．（2025·河北秦皇岛·三模）已知函数满足：当时，的最小值为，且，则函数在区间内的零点个数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】根据的最小值为可求周期，再根据对称轴可求，最后根据正弦函数的性质可求在给定范围上零点的个数. 【详解】令，则，解得， 而，故， 此时， 即曲线在对称中心处的切线的斜率的绝对值最大①， 考虑正弦函数，，若时， 则由①可得当且仅当时，最小且最小值为即为周期的， 而当时，的最小值为， 类比可得的周期为，故， 故，而由可得为对称轴， 故，而，故，故， 当时，， 因在的零点为， 故在区间内的零点个数为4个， 故选：A. 4．（2025高三·全国·专题练习）已知函数在区间上单调递增且存在零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据在区间上单调递增，得到，换元法得到，根据的性质得到不等式组，求出或，得到答案. 【详解】设函数的最小正周期为，因为在区间上单调递增， 所以，解得，所以. 令，则当时，. 因为在区间上单调递增且存在零点， 所以，解得， 又，时，得，时，得，其他值，均不合要求， 所以或， 所以的取值范围是. 故选：C 5．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数在上单调，且，，则的最大值与最小值之和为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】由函数的对称性可得对称轴，再由零点联立方程得出，再由函数单调性确定关于周期的不等式，求出，联立可得的范围，据此分类讨论确定检验，即可得出 【详解】由得， 即的图象关于直线对称，且， 故，则， 即， 由函数在上单调， 得，即， 所以，，解得，而，故，1，2. 当时，，则，，结合，得， 此时，当时， 由于在上单调递增，故在上单调递增，满足题意； 当时，，则，，结合，得， 此时，当时，， 由于在上单调递减，故在上单调递减，满足题意； 当时，，，，结合，得， 此时，当时， 由于在上不单调，故在上不单调，不满足题意. 综上，或1，则的最大值与最小值之和为. 故选：B 二、多选题 6．（2025·重庆九龙坡·三模）已知函数 ，则（   ） A． 为 的一个周期 B． 的图象关于点 对称 C． 在 上单调递增 D． 的值域为 【答案】ABC 【分析】根据降幂公式化简函数，利用函数的周期性和对称性定义，判断A和B；再对函数进行求导，判断C；通过消元换元，将函数化成求二次函数的值域，判断D即可. 【详解】因为所以， 对于A，，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，， 当时，，则， 即，即在 上单调递增.故C正确； 对于D，令，则， ， 令，则，且， ， 令，则，则 当时，取得最大值3，故，此时，，故D错误. 故选：ABC. 7．（2025·福建泉州·模拟预测）已知不是直角三角形，若，则（    ） A． B．的最大值为 C． D． 【答案】BCD 【分析】由正弦定理及余弦定可得，即有，从而判断A；结合基本不等式判断B；由A可知，结合三角恒等变换可得，再利用诱导公式化简即可判断C；由三角恒等变换可得，由A、余弦定理及正弦定理可得，再由三角恒等变换可得，即可判断D. 【详解】对于A，因为， 即， 整理得：， 即，故A错误； 对于B，因为， 所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以， 又因为， 所以， 所以的最大值为，故B正确； 对于C，由A可知， 即， 又因为 ， 即， 同理可得， 所以， 即， 所以，故C正确； 对于D，因为， 又因为， 所以， ， 所以，故D正确. 故选：BCD. 三、解答题 8．（2025·浙江·三模）如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，，，，且和的外接圆半径相等． (1)若，求OA的长； (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由条件可得，然后在与中用余弦定理代入计算，即可得到，然后在中结合余弦定理代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，分别在与中结合正弦定理代入计算，即可得到与相等或互补，然后分别讨论，即可得到结果. 【详解】（1）由题，， 因为和的外接圆半径相等， 由正弦定理得，所以， 设，，则，， 在中，由余弦定理得：， 即， 在中，由余弦定理得：， 即， 所以， 解得，即， 在中，由余弦定理得：， 即，解得或（舍）， 所以． （2）在中，由正弦定理得：，即， 在中，由正弦定理得：，即， 因为，所以，所以， 或， 若，则，此时， ， 易得，，不成立， 所以，故， 解得（舍）或， 因为，所以， 故． 9．（2025·浙江绍兴·三模）在三角形ABC中，内角A，B，C对应边分别为a，b，c，的面积为S且． (1)求角B的大小； (2)设点M是三角形内一点，且，，过点M作直线l分别交BA，BC（或延长线）于点P，Q，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由余弦定理结合三角形的面积公式代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，分别在与中结合正弦定理表示出，然后代入计算，结合正弦函数的值域，即可得到结果. 【详解】（1）由余弦定理可得，则， 又，由可得， 即，且，所以. （2） 设，则，则， 在中，由正弦定理可得， 则， 则， 由可得， 且， ， 在中，由正弦定理可得， 则， 所以 ， 则， 且，所以当时，即，取得最大值. 10．（2025·湖南长沙·三模）已知的角所对应的边为，，. (1)若，求； (2)若，求； (3)在（2）的条件下，求证：. 【答案】(1) (2)； (3)证明见解析 【分析】（1）利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，得到，由同角三角函数关系求出； （2）再由的等式推出，结合三角形内角和得到； （3）通过三角函数公式化简得到关于的方程，构造函数利用单调性确定范围，进而得到、范围.最后根据角的大小关系比较边的大小，得出. 【详解】（1）由和正弦定理知， 又，则，又， 因，解得； （2）由得， ， 即， 由，，即， 则或， 当时，，与题目中的矛盾，舍去， 故，又，故， 即； （3）因，则， 则，即， 故， 即， 因为，故为钝角，令，， 令， 由， 故在上单调递减， 有，，所以， 因，则 由可得， 则，从而，则. 又，则， 所以，即 又，则， 综上： 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 三角函数与解三角形 备战2026年高考数学命题背景探究（全国通用） 目录 真题命题背景59 以三角函数弦切互化为命题背景 1 真题命题背景60 以三角函数的图象与性质为命题背景 2 真题命题背景61 以三角函数的伸缩平移变换为命题背景 4 真题命题背景62 以求ω为命题背景 5 真题命题背景63 以函数图象综合为命题背景 5 真题命题背景64 以三角恒等变换为命题背景 7 真题命题背景65 以半角公式为命题背景 8 真题命题背景66 以正弦定理为命题背景 9 真题命题背景67 以余弦定理为命题背景 9 真题命题背景68 以正余弦定理为命题背景 10 真题命题背景69 以面积公式为命题背景 11 真题命题背景70 以角平分线定理为命题背景 11 真题命题背景71 以周长最值为命题背景 12 真题命题背景72 以解三角形实际应用为命题背景 12 基础过关练 13 提升巩固练 14 培优压轴练 16 真题命题背景59 以三角函数弦切互化为命题背景 平方关系： 商数关系： 推导公式： 真题练1．（2024·全国甲卷·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 真题练2．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）若，则（    ） A． B． C． D． 真题命题背景60 以三角函数的图象与性质为命题背景 三角函数型函数的图象和性质 （1） 正弦型函数、余弦型函数性质 ， 振幅，决定函数的值域，值域为 决定函数的周期， 叫做相位，其中叫做初相 （2） 正切型函数性质 的周期公式为： 真题练1．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）下列区间中，函数单调递增的区间是（    ） A． B． C． D． 真题练2．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）当时，曲线与的交点个数为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 真题练3．（2024·全国甲卷·高考真题）函数在上的最大值是 ． 真题练4．（2025·全国一卷·高考真题）已知点是函数的图象的一个对称中心，则a的最小值为（   ） A． B． C． D． 真题练5．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则 ．    真题练6．（2021·全国甲卷·高考真题）已知函数的部分图像如图所示，则 . 真题练7．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（    ） A． B． C． D． 真题练8．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则（    ） A．1 B． C． D．3 真题练9．（2021·全国乙卷·高考真题）函数的最小正周期和最大值分别是（    ） A．和 B．和2 C．和 D．和2 真题练10．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）（多选）对于函数和，下列说法中正确的有（    ） A．与有相同的零点 B．与有相同的最大值 C．与有相同的最小正周期 D．与的图象有相同的对称轴 真题练11．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）（多选）已知函数的图像关于点中心对称，则（    ） A．在区间单调递减 B．在区间有两个极值点 C．直线是曲线的对称轴 D．直线是曲线的切线 真题命题背景61 以三角函数的伸缩平移变换为命题背景 三角函数的伸缩平移变换 （1） 伸缩变换（，是伸缩量） 振幅，决定函数的值域，值域为； 若↗，纵坐标伸长；若↘，纵坐标缩短；与纵坐标的伸缩变换成正比 决定函数的周期， 若↗，↘，横坐标缩短；若↘，↗，横坐标伸长；与横坐标的伸缩变换成反比 （2） 平移变换（，是平移量） 平移法则：左右，上下 真题练1．（2023·全国甲卷·高考真题）函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 真题练2．（2022·全国甲卷·高考真题）将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 真题练3．（2021·全国乙卷·高考真题）把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（    ） A． B． C． D． 真题命题背景62 以求ω为命题背景 真题练1．（2022·全国甲卷·高考真题）设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 真题练2．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 ． 真题练3．（2022·全国乙卷·高考真题）记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则的最小值为 ． 真题命题背景63 以函数图象综合为命题背景 图象问题解题思路（判断奇偶性、特值、极限思想） ① ② ③ ④ 特别地：当时 例如：， 当时 真题练1．（2022·全国甲卷·高考真题）函数在区间的图象大致为（    ） A． B． C． D． 真题练2．（2022·全国乙卷·高考真题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（    ） A． B． C． D． 真题命题背景64 以三角恒等变换为命题背景 1. 正弦的和差公式 ， 2. 余弦的和差公式 ， 3. 正切的和差公式 ， 4. 正弦的倍角公式 5. 余弦的倍角公式 升幂公式：， 降幂公式：， 6. 正切的倍角公式 7. 推导公式 8. 辅助角公式 ，，其中， 真题练1．（2021·全国乙卷·高考真题）（    ） A． B． C． D． 真题练2．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知，则（    ）． A． B． C． D． 真题练3．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 真题练4．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）若，则（    ） A． B． C． D． 真题练5．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为锐角，，则（    ）． A． B． C． D． 真题练6．（2020·全国I卷·高考真题）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 真题练7．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为第一象限角，为第三象限角，，，则 . 真题命题背景65 以半角公式为命题背景 半角公式 (1)sin ＝± . (2)cos＝± . (3)tan＝± ＝＝. 以上称之为半角公式，符号由所在象限决定． 真题练1．（2025·全国二卷·高考真题）已知，，则（   ） A． B． C． D． 真题练2．（2021·全国甲卷·高考真题）若，则（    ） A． B． C． D． 真题命题背景66 以正弦定理为命题背景 正弦定理 （1） 基本公式： （其中为外接圆的半径） （2） 变形 ① ② ③ ④ （3） 应用：边角互化 ① ② ③ 或（舍） 真题练1．（2023·全国乙卷·高考真题）在中，内角的对边分别是，若，且，则（    ） A． B． C． D． 真题练2．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A． (2)若，，求的周长． 真题命题背景67 以余弦定理为命题背景 余弦定理 （1） 边的余弦定理 ，， （2） 角的余弦定理 ，， 真题练1．（2025·全国二卷·高考真题）在中，，，，则（   ） A． B． C． D． 真题练2．（2021·全国甲卷·高考真题）在中，已知，，，则（    ） A．1 B． C． D．3 真题练3．（2023·全国甲卷·高考真题）记的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，求面积． 真题练4．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， (1)求B； (2)若的面积为，求c． 真题命题背景68 以正余弦定理为命题背景 真题练1．（2024·全国甲卷·高考真题）记的内角的对边分别为，若，，则（    ） A． B． C． D． 真题练2．（2022·全国乙卷·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知． (1)若，求C； (2)证明： 真题练3．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，. （1）证明：； （2）若，求. 真题命题背景69 以面积公式为命题背景 三角形的面积公式 真题练1．（2021·全国乙卷·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则 ． 真题练2．（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）在中，角、、所对的边长分别为、、，，.． （1）若，求的面积； （2）是否存在正整数，使得为钝角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 真题练3．（2023·全国乙卷·高考真题）在中，已知，，. (1)求； (2)若D为BC上一点，且，求的面积. 真题练4．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知． (1)求的面积； (2)若，求b． 真题命题背景70 以角平分线定理为命题背景 角平分线定理 （1）在中，为的角平分线，则有 （2） （3）（库斯顿定理） （4） 真题练1．（2023·全国甲卷·高考真题）在中，，的角平分线交BC于D，则 ． 真题命题背景71 以周长最值为命题背景 化为边-基本不等式，化为角-三角函数的值域 方法一：求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等关系求得最值. 方法二：采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围进行求解最值，如果三角形是锐角三角形或有限制条件的，则采用此法解决. 方法三：巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦函数求最值问题. 真题练1．（2020·全国II卷·高考真题）中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC． （1）求A； （2）若BC=3，求周长的最大值. 真题命题背景72 以解三角形实际应用为命题背景 真题练1．（2021·全国乙卷·高考真题）魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点，，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，与的差称为“表目距的差”则海岛的高（    ） A．表高 B．表高 C．表距 D．表距 一、单选题 1．（2025·黑龙江大庆·一模）已知，则（    ） A．-3 B．-5 C．5 D．3 2．（2025·河北衡水·模拟预测）已知为锐角，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025·广东梅州·模拟预测）在中，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2025·福建三明·模拟预测）已知，是第一象限角，，求（    ） A． B． C． D．1 5．（2025·陕西西安·模拟预测）中内角，，所对的边分别为，，，若，且，则（   ） A． B． C． D．2 二、多选题 6．（25-26高三上·江西·开学考试）已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称 C．在上单调递增 D．的一个零点为 7．（2025·福建漳州·模拟预测）在中，角的对边分别是，，，，则的值可以是（   ） A．1 B． C．2 D． 三、解答题 8．（2025·全国·二模）的内角的对边分别为 (1)求A； (2)若的面积为，求的周长. 9．（2025·江苏连云港·模拟预测）在中，点在边上，，，． (1)若，求； (2)若，求． 10．（2025·广东·模拟预测）记的内角的对边分别为，已知. (1)求； (2)设，求边上的高. 一、单选题 1．（2025·河北邯郸·一模）若函数为偶函数，则取得最小值时，（    ） A． B． C． D． 2．（2025·湖北黄冈·一模）若，则（　　） A． B． C． D． 3．（2025·山西·模拟预测）若，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024·新疆·二模）设，且，则（   ） A． B． C． D． 5．（2025·广东佛山·三模）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列结论正确的是（    ） A．是奇函数 B．的图象关于直线对称 C．在上的值域为 D．在上单调递增 二、多选题 6．（2025·江西新余·模拟预测）下列关于函数的相关命题，叙述正确的有（    ） A．的最小正周期为 B．的一条对称轴为 C．的单调增区间为 D．若时，函数有两个不同零点，则 7．（2025·广西南宁·模拟预测）已知函数，则（    ） A．为的周期 B．的图象关于对称 C．的图象关于点对称 D．是奇函数 三、解答题 8．（2025·湖北黄冈·一模）已知函数的最小正周期为． (1)求的值； (2)将函数的图象先向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数的图象，若在区间上有且仅有3个零点，求的取值范围． 9．（2025·广西·模拟预测）在中，内角所对的边分别为，已知. (1)求内角的大小； (2)若，求面积的最大值. 10．（2025·四川达州·模拟预测）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足. (1)设A与B存在函数关系，并记，求函数； (2)求的取值范围. 一、单选题 1．（2025·辽宁沈阳·三模）已知函数在区间上有且仅有一个零点，当最大时，的图象的一条对称轴方程为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·浙江·三模）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·河北秦皇岛·三模）已知函数满足：当时，的最小值为，且，则函数在区间内的零点个数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 4．（2025高三·全国·专题练习）已知函数在区间上单调递增且存在零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数在上单调，且，，则的最大值与最小值之和为（    ） A． B． C．2 D． 二、多选题 6．（2025·重庆九龙坡·三模）已知函数 ，则（   ） A． 为 的一个周期 B． 的图象关于点 对称 C． 在 上单调递增 D． 的值域为 7．（2025·福建泉州·模拟预测）已知不是直角三角形，若，则（    ） A． B．的最大值为 C． D． 三、解答题 8．（2025·浙江·三模）如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，，，，且和的外接圆半径相等． (1)若，求OA的长； (2)若，求． 9．（2025·浙江绍兴·三模）在三角形ABC中，内角A，B，C对应边分别为a，b，c，的面积为S且． (1)求角B的大小； (2)设点M是三角形内一点，且，，过点M作直线l分别交BA，BC（或延长线）于点P，Q，求的最大值． 10．（2025·湖南长沙·三模）已知的角所对应的边为，，. (1)若，求； (2)若，求； (3)在（2）的条件下，求证：. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $