专题06 函数的概念与性质、指对幂函数讲义-【备战2026年高考数学命题背景探究】（全国通用）（会一题通一类系列）

专题06 函数的概念与性质、指对幂函数 备战2026年高考数学命题背景探究（全国通用） 目录 真题命题背景40 以函数单调性为命题背景 1 真题命题背景41 以函数奇偶性为命题背景 3 真题命题背景42 以函数周期性为命题背景 9 真题命题背景43 以函数对称性为命题背景 12 真题命题背景44 以求函数值为命题背景 15 真题命题背景45 以分段函数单调性为命题背景 16 真题命题背景46 以复合函数单调性为命题背景 16 真题命题背景47 以对数的运算为命题背景 17 真题命题背景48 以对数值大小比较为命题背景 18 真题命题背景49 以指对函数模型为命题背景 20 真题命题背景50 以函数交点与函数零点为命题背景 23 基础过关练 26 提升巩固练 30 培优压轴练 37 真题命题背景40 以函数单调性为命题背景 函数的单调性与单调区间 设函数的定义域是D，区间，如果对于任意的，，当时，都有 ，则称在区间I上是增函数，（也称在区间I上单调递增），如图所示. 当时，都有，则称在区间I上是减函数，（也称在区间I上单调递减）如图所示. 两种情况下，都称函数在区间I上具有单调性 （区间I称为函数的 单调区间 ，也可分别称为 单调递增区间 和单调递减区间 ） 真题练1．（2021·全国甲卷·高考真题）下列函数中是增函数的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项. 【详解】对于A，为上的减函数，不合题意，舍. 对于B，为上的减函数，不合题意，舍. 对于C，在为减函数，不合题意，舍. 对于D，为上的增函数，符合题意， 故选：D. 真题练2．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数．记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可. 【详解】令，则开口向下，对称轴为， 因为，而， 所以，即 由二次函数性质知， 因为，而， 即，所以， 综上，， 又为增函数，故，即. 故选：A. 真题练3．（2020·山东·高考真题）若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果. 【详解】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且， 所以在上也是单调递减，且，， 所以当时，，当时，， 所以由可得： 或或 解得或， 所以满足的的取值范围是， 故选：D. 【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题. 真题命题背景41 以函数奇偶性为命题背景 函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，设函数的定义域为，如果对内任意一个，都有，且，则称函数是偶函数 关于轴对称 奇函数 一般地，设函数的定义域为，如果对内任意一个，都有，且，则称函数是奇函数 关于原点对称 真题练1．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知函数是偶函数，则 . 【答案】1 【分析】利用偶函数的定义可求参数的值. 【详解】因为，故， 因为为偶函数，故， 时，整理得到， 故， 故答案为：1 真题练2．（2022·全国乙卷·高考真题）若是奇函数，则 ， ． 【答案】 ； ． 【分析】根据奇函数的定义即可求出． 【详解】[方法一]：奇函数定义域的对称性 若，则的定义域为，不关于原点对称 若奇函数的有意义，则且 且， 函数为奇函数，定义域关于原点对称， ，解得， 由得，， ， 故答案为：；． [方法二]：函数的奇偶性求参 函数为奇函数 [方法三]： 因为函数为奇函数，所以其定义域关于原点对称． 由可得，，所以，解得：，即函数的定义域为，再由可得，．即，在定义域内满足，符合题意． 故答案为：；． 真题练3．（2023·全国甲卷·高考真题）若为偶函数，则 ． 【答案】2 【分析】利用偶函数的性质得到，从而求得，再检验即可得解. 【详解】因为为偶函数，定义域为， 所以，即， 则，故， 此时， 所以， 又定义域为，故为偶函数， 所以. 故答案为：2. 真题练4．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）若为偶函数，则（    ）． A． B．0 C． D．1 【答案】B 【分析】根据偶函数性质，利用特殊值法求出值，再检验即可. 【详解】因为 为偶函数，则 ，解得， 当时，，，解得或， 则其定义域为或，关于原点对称. ， 故此时为偶函数. 故选：B. 真题练5．（2023·全国乙卷·高考真题）已知是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据偶函数的定义运算求解. 【详解】因为为偶函数，则， 又因为不恒为0，可得，即， 则，即，解得. 故选：D. 真题练6．（2025·全国一卷·高考真题）已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据周期性和奇偶性把待求自变量转化为的范围中求解. 【详解】由题知对一切成立， 于是. 故选：A 真题练7．（2021·全国甲卷·高考真题）设是定义域为R的奇函数，且.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得的值. 【详解】由题意可得：， 而， 故. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了函数的奇偶性和函数的递推关系式，灵活利用所给的条件进行转化是解决本题的关键. 真题练8．（2020·全国II卷·高考真题）设函数，则f(x)（    ） A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减 C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减 【答案】D 【分析】根据奇偶性的定义可判断出为奇函数，排除AC；当时，利用函数单调性的性质可判断出单调递增，排除B；当时，利用复合函数单调性可判断出单调递减，从而得到结果. 【详解】由得定义域为，关于坐标原点对称， 又， 为定义域上的奇函数，可排除AC； 当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增，排除B； 当时，， 在上单调递减，在定义域内单调递增， 根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确. 故选：D. 【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据与的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论. 真题练9．（2021·全国乙卷·高考真题）设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可. 【详解】由题意可得， 对于A，不是奇函数； 对于B，是奇函数； 对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数； 对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数. 故选：B 【点睛】本题主要考查奇函数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题. 真题命题背景42 以函数周期性为命题背景 知识点5函数的周期性 ①周期函数：一般地，设函数的定义域为D，如果存在一个非零常数，使得对每一个都有，且，那么函数就叫做周期函数．非零常数叫做这个函数的周期． ②最小正周期：如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期． 若，则的周期为： 若，则的周期为： 若，则的周期为：（周期扩倍问题） 若，则的周期为：（周期扩倍问题） 真题练1．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知函数的定义域为R，且，则（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】法一：根据题意赋值即可知函数的一个周期为，求出函数一个周期中的的值，即可解出． 【详解】[方法一]：赋值加性质 因为，令可得，，所以，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数的一个周期为．因为，，，，，所以 一个周期内的．由于22除以6余4， 所以．故选：A． [方法二]：【最优解】构造特殊函数 由，联想到余弦函数和差化积公式 ，可设，则由方法一中知，解得，取， 所以，则 ，所以符合条件，因此的周期，，且，所以， 由于22除以6余4， 所以．故选：A． 【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法； 法二：作为选择题，利用熟悉的函数使抽象问题具体化，简化推理过程，直接使用具体函数的性质解题，简单明了，是该题的最优解. 真题练2．（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】推导出函数是以为周期的周期函数，由已知条件得出，结合已知条件可得出结论. 【详解】因为函数为偶函数，则，可得， 因为函数为奇函数，则，所以，， 所以，，即， 故函数是以为周期的周期函数， 因为函数为奇函数，则， 故，其它三个选项未知. 故选：B. 真题练3．（2021·全国甲卷·高考真题）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过是奇函数和是偶函数条件，可以确定出函数解析式，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案． 【详解】[方法一]： 因为是奇函数，所以①； 因为是偶函数，所以②． 令，由①得：，由②得：， 因为，所以， 令，由①得：，所以． 思路一：从定义入手． 所以． [方法二]： 因为是奇函数，所以①； 因为是偶函数，所以②． 令，由①得：，由②得：， 因为，所以， 令，由①得：，所以． 思路二：从周期性入手 由两个对称性可知，函数的周期． 所以． 故选：D． 【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果． 真题命题背景43 以函数对称性为命题背景 函数的对称性 轴对称 ①若，则的对称轴为 ②若，则的对称轴为 点对称 ①若，则的对称中心为 ②若，则的对称中心为 周期性对称性综合问题 ①若，，其中，则的周期为： ②若，，其中，则的周期为： ③若，，其中，则的周期为： 奇偶性对称性综合问题 ①已知为偶函数，为奇函数，则的周期为： ②已知为奇函数，为偶函数，则的周期为： 真题练1．（2022·全国乙卷·高考真题）已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对称性和已知条件得到，从而得到，，然后根据条件得到的值，再由题意得到从而得到的值即可求解. 【详解】因为的图像关于直线对称， 所以， 因为，所以，即， 因为，所以， 代入得，即， 所以， . 因为，所以，即，所以. 因为，所以，又因为， 联立得，， 所以的图像关于点中心对称，因为函数的定义域为R， 所以 因为，所以. 所以. 故选：D 【点睛】含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽，考生需要根据已知条件进行恰当的转化，然后得到所需的一些数值或关系式从而解题. 真题练2．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】方法一：转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可得解. 【详解】[方法一]：对称性和周期性的关系研究 对于，因为为偶函数，所以即①，所以，所以关于对称，则，故C正确； 对于，因为为偶函数，，，所以关于对称，由①求导，和，得，所以，所以关于对称，因为其定义域为R，所以，结合关于对称，从而周期，所以，，故B正确，D错误； 若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误. 故选：BC. [方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法. 由方法一知周期为2，关于对称，故可设，则，显然A，D错误，选BC. 故选：BC. [方法三]： 因为，均为偶函数， 所以即，， 所以，，则，故C正确； 函数，的图象分别关于直线对称， 又，且函数可导， 所以， 所以，所以， 所以，，故B正确，D错误； 若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误. 故选：BC. 【点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的通性通法； 方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解． 真题命题背景44 以求函数值为命题背景 真题练1．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】代入得到，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断. 【详解】因为当时，所以， 又因为， 则， ， ， ， ，则依次下去可知，则B正确； 且无证据表明ACD一定正确. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用，再利用题目所给的函数性质，代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可. 真题命题背景45 以分段函数单调性为命题背景 注意各自单调性及端点函数值 真题练1．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可. 【详解】因为在上单调递增，且时，单调递增， 则需满足，解得， 即a的范围是. 故选：B. 真题命题背景46 以复合函数单调性为命题背景 复合函数的单调性 （2020·海南·高考真题）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求出的定义域，然后求出的单调递增区间即可. 【详解】由得或 所以的定义域为 因为在上单调递增 所以在上单调递增 所以 故选：D 【点睛】在求函数的单调区间时一定要先求函数的定义域. 真题练2．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答. 【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减， 则有函数在区间上单调递减，因此，解得， 所以的取值范围是. 故选：D 真题命题背景47 以对数的运算为命题背景 指数和对数的互化公式 对数的性质与运算法则 （1） 两个基本对数： ①，② （2） 对数恒等式： ①，② （3） 幂的对数： ①： ②： ③： （4） 积的对数： （5） 商的对数： 换底公式： ； 推广1：对数的倒数式 推广2： 真题练1．（2024·全国甲卷·高考真题）已知且，则 ． 【答案】64 【分析】将利用换底公式转化成来表示即可求解. 【详解】由题，整理得， 或，又， 所以，故 故答案为：64. 真题命题背景48 以对数值大小比较为命题背景 真题练1．（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知，，，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对数函数的单调性可比较、与的大小关系，由此可得出结论. 【详解】，即. 故选：C. 真题练2．（2025·全国一卷·高考真题）已知，则x，y，z的大小关系不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】法一：设，对讨论赋值求出，即可得出大小关系，利用排除法求出； 法二：根据数形结合解出. 【详解】法一：设，所以 令，则，此时，A有可能； 令，则，此时，C有可能； 令，则，此时，D有可能； 故选：B． 法二：设，所以， 根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根， 作出函数的图象，以上方程的根分别是函数的图象与直线的交点纵坐标，如图所示： 易知，随着的变化可能出现：，，，， 故选：B． 真题练3．（2020·全国II卷·高考真题）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将不等式变为，根据的单调性知，以此去判断各个选项中真数与的大小关系，进而得到结果. 【详解】由得：， 令， 为上的增函数，为上的减函数，为上的增函数， ， ，，，则A正确，B错误； 与的大小不确定，故CD无法确定. 故选：A. 【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到的大小关系，考查了转化与化归的数学思想. 真题命题背景49 以指对函数模型为命题背景 常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 反比例函数模型 f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0) 指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 对数函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 幂函数模型 f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0，α≠0) 真题练1．（2020·山东·高考真题）基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （    ） A．1.2天 B．1.8天 C．2.5天 D．3.5天 【答案】B 【分析】根据题意可得，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，根据，解得即可得结果. 【详解】因为，，，所以，所以， 设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天， 则，所以，所以， 所以天. 故选：B. 【点睛】本题考查了指数型函数模型的应用，考查了指数式化对数式，属于基础题. 真题练2．（2021·全国甲卷·高考真题）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（    ）（） A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6 【答案】C 【分析】根据关系，当时，求出，再用指数表示，即可求解. 【详解】由，当时，， 则. 故选：C. 真题练3．（2020·全国III卷·高考真题）Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为（    ）（ln19≈3） A．60 B．63 C．66 D．69 【答案】C 【分析】将代入函数结合求得即可得解. 【详解】，所以，则， 所以，，解得. 故选：C. 【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题. 真题练4．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）（多选）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离 声压级 燃油汽车 10 混合动力汽车 10 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据题意可知，结合对数运算逐项分析判断. 【详解】由题意可知：， 对于选项A：可得， 因为，则，即， 所以且，可得，故A正确； 对于选项B：可得， 因为，则，即， 所以且，可得， 当且仅当时，等号成立，故B错误； 对于选项C：因为，即， 可得，即，故C正确； 对于选项D：由选项A可知：， 且，则， 即，可得，且，所以，故D正确； 故选：ACD. 真题练5．（2020·全国I卷·高考真题）某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：°C）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据得到下面的散点图： 由此散点图，在10°C至40°C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据散点图的分布可选择合适的函数模型. 【详解】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近， 因此，最适合作为发芽率和温度的回归方程类型的是. 故选：D. 【点睛】本题考查函数模型的选择，主要观察散点图的分布，属于基础题. 真题命题背景50 以函数交点与函数零点为命题背景 函数的零点 对于函数，我们把的实数叫做函数的零点 函数的零点与方程的根和图象与轴交点的关系 函数的零点就是方程的实数解，也就是函数的图象与轴交点的横坐标 方程的实数解 函数的零点 函数的图象与轴有交点 零点存在性定理 如果函数在区间的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么函数在区间至少有一个零点，即存在，使得，这个也是方程的解 真题练1．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）当时，曲线与的交点个数为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】画出两函数在上的图象，根据图象即可求解 【详解】因为函数的最小正周期为， 函数的最小正周期为， 所以在上函数有三个周期的图象， 在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示： 由图可知，两函数图象有6个交点. 故选：C 真题练2．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】解法一：令，分析可知曲线与恰有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y轴上，即可得，并代入检验即可；解法二：令，可知为偶函数，根据偶函数的对称性可知的零点只能为0，即可得，并代入检验即可. 【详解】解法一：令，即，可得， 令， 原题意等价于当时，曲线与恰有一个交点， 注意到均为偶函数，可知该交点只能在y轴上， 可得，即，解得， 若，令，可得 因为，则，当且仅当时，等号成立， 可得，当且仅当时，等号成立， 则方程有且仅有一个实根0，即曲线与恰有一个交点， 所以符合题意； 综上所述：. 解法二：令， 原题意等价于有且仅有一个零点， 因为， 则为偶函数， 根据偶函数的对称性可知的零点只能为0， 即，解得， 若，则， 又因为当且仅当时，等号成立， 可得，当且仅当时，等号成立， 即有且仅有一个零点0，所以符合题意； 故选：D. 真题练3．（2024·全国甲卷·高考真题）曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】将函数转化为方程，令，分离参数，构造新函数结合导数求得单调区间，画出大致图形数形结合即可求解. 【详解】令，即，令 则，令得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增，， 因为曲线与在上有两个不同的交点， 所以等价于与有两个交点，所以. 故答案为： 真题练4．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】令，得有3个根，从而结合余弦函数的图像性质即可得解. 【详解】因为，所以， 令，则有3个根， 令，则有3个根，其中， 结合余弦函数的图像性质可得，故， 故答案为：. 一、单选题 1．（2025·湖南永州·模拟预测）下列函数中既是奇函数又是增函数的为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】逐项判断函数的奇偶性和单调性即可. 【详解】对于A：函数为奇函数，在上单调递减，不符合； 对于B：函数为偶函数，不符合； 对于C：函数为奇函数，在和分别单调递增，但在整个定义域上不具有单调性，不符合； 对于D：函数为奇函数，在上单调递增，符合题意. 故选：D 2．（2025·广西·模拟预测）已知函数，则的值为（    ） A．1 B．0 C． D．2 【答案】A 【分析】根据分段函数性质代入求出，再代入计算即可求得结果. 【详解】由函数可知， 所以. 故选：A. 3．（2025·广东梅州·模拟预测）若函数是奇函数，则（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【分析】根据化简即可得解. 【详解】因为是奇函数，定义域关于原点对称， 所以对任意,， 即， 解得. 故选：D 4．（2025·福建泉州·模拟预测）定义在上的奇函数满足，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得函数的周期为2，利用函数为奇函数及周期为2，求解即可. 【详解】因为， 所以函数是周期函数，是其一个周期， 所以， 又因为函数为R上的奇函数， 所以， 即. 故选：B. 5．（2025·山东泰安·模拟预测），则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数与指数函数的图象与性质，分别求得的取值范围，即可求解. 【详解】由幂函数为增函数，得； 由指数函数为减函数，得； 由对数函数为减函数，得. 所以. 故选：A. 6．（2025·广东·模拟预测）某生物科研小组培育了甲、乙两种固氮菌，其数量（单位：个）分别记为和.设培育时间为（单位：天），据统计，两者数量满足以下关系：.若要求甲种菌数量首次超过乙种菌，则大约需要（    ） A．3天 B．4天 C．5天 D．6天 【答案】B 【分析】列出不等式，验证选项即可. 【详解】由题意，，整理得， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，又，所以. 故选：B 二、多选题 7．（2025·河南鹤壁·二模）设，则（     ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用对数的运算法则计算可判断各选项的正误. 【详解】因为，所以，所以， 因为，，所以，所以选项B、D错误，A、C正确. 故选：AC. 8．（2025·辽宁·模拟预测）震级是以地震仪测定的每次地震活动释放的能量多少来确定的，我国目前使用的震级标准，是国际上通用的里氏分级表，共分9个等级，其中能量（单位：焦耳）与里氏震级的对应关系为，则（    ） A．若某次地震的震级不超过2级，则产生的能量低于焦耳 B．若某次地震的震级超过4级，则产生的能量高于焦耳 C．5级地震的能量是4级地震的能量的100倍 D．3级地震的能量是7级地震的能量的 【答案】ABD 【分析】借助能量E与里氏震级M的对应关系计算即可判断各选项. 【详解】记表示震级为级地震的能量， 对于项，若，则，所以，故A项正确； 对于B项，若，则，所以，故B项正确； 对于C项，，则，故C项错误； 对于C项，，则，故D项正确. 故选：ABD. 9．（2025·山东菏泽·一模）已知函数的定义域为，且，若，则（    ） A． B．是奇函数 C．是增函数 D． 【答案】ABD 【分析】对于选项A和选项B：利用奇函数的定义以及奇函数在原点有定义就有即可判断； 对于C：举反例即可判断；对于D：分别令和即可判断. 【详解】对于B：令，由题设可知，故是奇函数.故B正确； 对于A：又的定义域为R，所以，故A正确. 对于C：不妨取，则满足，且，故C错误. 对于D：令，则；令，则， 故，故D正确. 故选:ABD 10．（2025·江西·模拟预测）对于任意的，函数满足，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用赋值法求得，，判断ABD，题干等式转化为，再赋值求解判断C. 【详解】根据题意可知，函数满足， 令，得，解得，故A错误； 令，得，即， 因为，所以，故B正确； 因为，则， 令，则，故C正确； 又， 则，故D错误. 故选：BC. 一、单选题 1．（2025·北京·三模）已知 是函数的图象上两个不同的点 则下面结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对于AB，即可判断；对于D，取即可判断；对于C，分析得知，只需证明恒成立即可，通过切线放缩即可得证. 【详解】对于AB，取，此时，故AB错误； 对于D，取，此时，故D错误； 对于C，不妨设，则，欲证， 只需证明，即只需证明，即只需证明， 设，只需证明恒成立即可； 设，求导得，令， 解得， 所以的斜率为1的切线方程为， 而的图象是下凸的， 从而恒成立， 因为， 所以， 所以恒成立， 综上所述，恒成立，即恒成立，故C正确. 故选：C. 2．（2025·广东广州·模拟预测）若函数在区间单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数复合函数的区间单调性，结合二次函数的性质有，即可得. 【详解】令，又在R上单调递减， 所以要使在区间单调递增， 则在区间单调递减， 所以由的开口向上且对称轴为得，解得. 故选：D 3．（2025·江苏连云港·模拟预测）设是定义在上的函数，若是奇函数，是偶函数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得出，解出这个方程组可得出的值. 【详解】由于函数是奇函数，函数为偶函数， 所以，，即，化简得 ， 解得. 故选：A. 4．（2025·河北·模拟预测）若函数，在上单调递增，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分段函数的性质结合已知条件对函数进行分段讨论，当，根据对数函数性质得出函数单调性和最大值，当，对函数求导，结合函数单调递增，列出关于的不等式①并得出在上的最小值，再利用时的最小值不小于时的最大值，列出关于的不等式②，合并求出m的取值范围. 【详解】若，，因为底数，对数函数为单调递增函数， 在上的最大值为. 若，，求导得， 要使单调递增，则需满足①对所有恒成立，解得， 因为，则，所以， 若在上单调递增，则②，解得， 所以. 故选：C. 5．（2025·福建漳州·模拟预测）定义在上的奇函数满足：，且，，若，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题干条件，构造函数，结合单调性的定义，可得的单调性，根据奇偶性的定义，可得的奇偶性，结合特殊值，计算分析，即可得答案. 【详解】因为，且，， 所以， 设， 则，，且，， 根据单调性的定义可得，在上单调递增， 因为在R上为奇函数， 所以， 所以在R上为奇函数， 所以在上单调递增， 因为， 所以，则， 所以的解集为， 所以的解集为. 故选：D 6．（2025·黑龙江大庆·一模）已知函数的定义域为，且在上单调递减，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用对称性及单调性求解函数不等式. 【详解】由函数的定义域为，得函数的图象关于直线对称， 又函数在上单调递减，则不等式， 即，解得，所以所求不等式的解集为. 故选：D 7．（2025·陕西咸阳·模拟预测）“喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声音时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等物理声学作用，激起水波，形成涌泉.声音越大，涌起的泉水越高.已知听到的声强与标准声强（约为，单位：）之比的常用对数称作声强的声强级，记作（贝尔），即，取贝尔的十倍作为响度的常用单位，简称为分贝.已知某处“喊泉”的声音响度（分贝）与喷出的泉水高度（米）满足关系式，现知同学用喇叭大喝一声激起的涌泉最高高度为2米，若同学用喇叭大喝一声的声强大约为不用喇叭大喝一声的声强的10倍，则同学大喝一声激起的涌泉最高高度约为（   ） A．1.75米 B．1.5米 C．1.25米 D．1米 【答案】A 【分析】设同学不用喇叭时的声强为，喷出泉水高度为，则同学用喇叭时的声强为，喷出泉水高度为2米.由题意知及，联立方程组，结合对数的运算性质即可求解. 【详解】设同学不用喇叭时的声强为，喷出泉水高度为，则同学用喇叭时的声强为，喷出泉水高度为2米. 由题意知，，即①. 又，即，即②. 由可得，解得. 故选：A. 二、多选题 8．（2025·福建福州·一模）已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则（    ） A．的图象关于点对称 B．是以8为周期的周期函数 C． D． 【答案】BC 【分析】根据函数奇偶性以及表达式，可得，则的图象关于点对称，故A错误；化简可得，故B正确；又，可得，故C正确；利用赋值法可求得，故D错误. 【详解】对于A，由题意，，且， 又，即①， 用替换中的，得②， 由①+②得，所以的图象关于点对称，故A错误； 对于B，由，可得，即， 所以， 所以是以8为周期的周期函数，故B正确； 对于C，由①可得，则， 所以，故C正确； 对于D，因为，为偶函数，所以， 令，则有， 令，则有， 令，则有， ， 令，则有， 所以 ，故D错误. 故选：BC. 9．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数满足：①定义域为，②，③当时，，则（    ） A． B． C． D．若，则的取值范围为 【答案】BC 【分析】用赋值法先令求得，再令即可求得，进而判断A、B；任取，则，由函数单调性的定义判断C；令可判断奇偶性，利用奇偶性与单调性解不等式判断D. 【详解】在中， 令得，则， 令得，则， 故，，故A错，B对； 对于C，设，则， 由，得， 所以， 则在上是增函数，从而，故C正确； 对于D，令得，即， 所以是偶函数，故等价于， 又在上是增函数，所以， 解得且，故D错误. 故选：BC. 10．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）已知函数与的定义域都为是的导函数，若，则下列说法正确的是（    ） A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称 C．4为的一个周期 D． 【答案】ACD 【分析】对于A由得，令即可求，进而判断，对于B由得即可判断，对于C由有，又得，进而得，即可判断，对于D由求，又由得，利用周期即可求解. 【详解】对于A：由有，为常数， 令得，所以，所以的图象关于直线对称，故A正确； 对于B：由有， 所以的图象关于点对称，故B错误； 对于C：由有，又， 所以，即，所以， 所以4为的一个周期，故C正确； 对于D：由，令得，令得， 又，令得，所以，所以 ，故D正确. 故选：ACD. 一、单选题 1．（2025·甘肃白银·三模）已知对于，，，，且，则（   ） A． B． C．1 D．0 【答案】D 【分析】根据函数对称性结合计算得出函数周期性计算函数值和即可. 【详解】因为，所以，所以. 由，得，两式相加得，所以， 所以，所以是以6为周期的周期函数. 当时，，又，所以，所以，所以； 当时，，所以，因为， 所以， 所以. 故选：D. 2．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数的定义域为，且当时，，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由得，进而得即可判断A，由猜想，利用数学归纳法验证，即可判断BD，由，利用即可判断C. 【详解】由题意有，得，所以，故A错误； 因为 ，，由有， 所以，， 猜想，当时，显然成立， 假设时，猜想成立，即，当时，，即成立，所以， 所以，故D正确，B错误， 当时，，所以有，又，所以， ， ，故C错误. 故选：D. 3．（2025·辽宁盘锦·三模）已知定义域均为的函数，满足，，，若，则下列说法错误的是（   ） A．的图象关于y轴对称 B．为的一个周期 C． D． 【答案】C 【分析】根据抽象函数的奇偶性和对称性，求出周期，确定对称轴，求函数值的和分别判断各个选项. 【详解】因为，所以，又因为，所以，所以，所以的图象关于y轴对称，故A正确； 又因为，所以，所以，即， 所以，所以，故B正确； 在中，令，得，所以，故C错误； 因为，所以，所以，所以，， 故，故D正确． 故选：C 4．（2025·全国·模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为，记是定义在上的奇函数，且的一个周期为2，则（    ） A．2为的周期 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数奇偶性，得到对称性和周期性，逐个计算判断即可. 【详解】因为 是定义在 上的奇函数， 所以 , 所以 ， 所以 关于 对称，且 ， 又 的一个周期为 2 ， 所以 ，即 ， 所以 ，所以 的周期为 4 ，所以 A 选项错误； 因为 ， 所以 ， 又 的周期为 4 ，即， 所以 ， 所以 ，所以 B 选项错误； 因为 ， ， 所以 ，, 即 ， ， 所以 ， ， 所以 ， ， 所以 C 选项错误，D 选项正确． 故选：D． 5．（2025·全国·模拟预测）设为定义在整数集上的函数，，，，对任意的整数均有，则=（   ） A．0 B．1013 C．2025 D．4050 【答案】B 【分析】通过代入特定值分析函数的周期性，确定取值规律，进而求解的值. 【详解】令，则，所以． 令，则，又，所以． 令，则，所以函数的图像关于直线对称． 令，则，所以，的图像关于点对称． 故，则,是周期的函数． 又，当为偶数时，．当为偶数时，也为偶数，此时；当为奇数时，令，则. 所以1013． 故选：B． 二、多选题 6．（2025·湖北黄冈·一模）定义在上的函数和，为奇函数，为偶函数，且，则（　　） A． B． C．的图象关于对称 D．8为的一个周期 【答案】BCD 【分析】对A：由为奇函数可得，再利用，从而可消去，即可得解；对B：由为偶函数可得，再利用，从而可消去，即可得解；对C：借助B中所得，结合赋值法计算即可得；对D：结合A中所得及为偶函数计算即可得. 【详解】对A：由为奇函数，则， 故，由， 则，且有， 即，则， 令，则，即，故A错误； 对B：由为偶函数，则， 由，则、， 故，又， 则，则，则， 由，则，故， 故，故B正确； 对C：由，则的图象关于对称，故C正确； 对D：由，则， 又，则，则， 则，即， 即8为的一个周期，故D正确. 故选：BCD. 7．（2025·河北唐山·模拟预测）已知非常数函数是定义在上的偶函数，且，则（　　） A． B．2是的一个周期 C．当且仅当时， D．不存在最小正周期 【答案】ABD 【分析】A选项，由，令结合是偶函数可求解；B选项，由已知条件可得的图象关于直线对称且为偶函数，可求周期；C选项，举特例说明；D选项，证明是的一个周期时，也是的一个周期. 【详解】由，令，得， 又是定义在上的偶函数，则，A选项正确； 由，令，有， 由，令，有， 又是定义在上的偶函数，， 则有， 所以函数的图象关于直线对称，有， 又是定义在上的偶函数，则， 故，所以2是的一个周期，B选项正确； 由，令，得，故C选项错误； 若是的一个周期，则， 所以， 则也是的一个周期， 结合B选项可知，都是的周期，所以不存在最小正周期， D选项正确. 故选：ABD 8．（2025·山东·一模）已知定义在R上且不恒为0的函数，对任意的，都有，则（    ） A． B．为周期函数 C．是奇函数 D．若，则 【答案】AC 【分析】令得，由即可判断A；令，得，再求得，根据奇偶性定义判断B；由递推式得，进而有，应用错位相减法求判断D；由，假设为的最小正周期，而不能恒成立判断B. 【详解】令，则，而， 所以，A对； 令，则，令，则， 令，则，故，故是奇函数，C对； 由 ， 由，则，故， 所以， 所以， 所以，D错. 假设为的最小正周期， 由，则，故， 显然，对于，，，不能恒成立， 即不能恒成立，与前提矛盾，B错. 故选：AC 9．（25-26高三上·重庆·阶段练习）设函数的定义域为R，且满足，为奇函数，则下列说法正确的是（    ） A．为偶函数 B．关于对称 C． D．的导函数的周期为 【答案】BCD 【分析】由为奇函数可得对恒成立，故对恒成立，即可判断选项A，B；结合，可得，推导可得，即可判断选项C，选项D. 【详解】∵为奇函数，对恒成立， ∴对恒成立，∴函数为奇函数， 且函数的图象关于对称，故选项A错误，选项B正确； ∵，∴， 故，而的图象关于对称，即有， 故，则， ∴， ∴函数是周期为8的周期函数， 对于。令，可得， ∴，故选项C正确； 又，∴，∴的周期为8，故选项D正确. 故选：BCD. 10．（2025·广东佛山·三模）已知函数及其导函数的定义域为，若为奇函数，，且对任意，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】方法一：根据赋值法，结合原函数与导函数的对称性，奇、偶函数的定义、函数周期性进行求解即可.方法二：构造满足题意的函数，进一步逐一验证各个选项即可. 【详解】解法1：由，令，则，因为，所以，故A错误； 令，则，① 所以， 因为为奇函数，所以为偶函数，， 所以，② 由①－②并整理得， 即， 所以， 所以是周期为3的周期函数，故，故B正确； 因为，所以，故C正确； 由上知， 在①中，令，得，所以， 所以，所以，故D正确． 解法2：令，此函数满足题意． 对于A，，A错误． 对于B，，B正确． 对于C， 因此，C正确． 对于D，， ，D正确． 故选：BCD. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 函数的概念与性质、指对幂函数 备战2026年高考数学命题背景探究（全国通用） 目录 真题命题背景40 以函数单调性为命题背景 1 真题命题背景41 以函数奇偶性为命题背景 2 真题命题背景42 以函数周期性为命题背景 4 真题命题背景43 以函数对称性为命题背景 5 真题命题背景44 以求函数值为命题背景 6 真题命题背景45 以分段函数单调性为命题背景 6 真题命题背景46 以复合函数单调性为命题背景 6 真题命题背景47 以对数的运算为命题背景 7 真题命题背景48 以对数值大小比较为命题背景 8 真题命题背景49 以指对函数模型为命题背景 8 真题命题背景50 以函数交点与函数零点为命题背景 10 基础过关练 11 提升巩固练 12 培优压轴练 14 真题命题背景40 以函数单调性为命题背景 函数的单调性与单调区间 设函数的定义域是D，区间，如果对于任意的，，当时，都有 ，则称在区间I上是增函数，（也称在区间I上单调递增），如图所示. 当时，都有，则称在区间I上是减函数，（也称在区间I上单调递减）如图所示. 两种情况下，都称函数在区间I上具有单调性 （区间I称为函数的 单调区间 ，也可分别称为 单调递增区间 和单调递减区间 ） 真题练1．（2021·全国甲卷·高考真题）下列函数中是增函数的为（    ） A． B． C． D． 真题练2．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数．记，则（    ） A． B． C． D． 真题练3．（2020·山东·高考真题）若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 真题命题背景41 以函数奇偶性为命题背景 函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，设函数的定义域为，如果对内任意一个，都有，且，则称函数是偶函数 关于轴对称 奇函数 一般地，设函数的定义域为，如果对内任意一个，都有，且，则称函数是奇函数 关于原点对称 真题练1．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知函数是偶函数，则 . 真题练2．（2022·全国乙卷·高考真题）若是奇函数，则 ， ． 真题练3．（2023·全国甲卷·高考真题）若为偶函数，则 ． 真题练4．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）若为偶函数，则（    ）． A． B．0 C． D．1 真题练5．（2023·全国乙卷·高考真题）已知是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 真题练6．（2025·全国一卷·高考真题）已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 真题练7．（2021·全国甲卷·高考真题）设是定义域为R的奇函数，且.若，则（    ） A． B． C． D． 真题练8．（2020·全国II卷·高考真题）设函数，则f(x)（    ） A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减 C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减 真题练9．（2021·全国乙卷·高考真题）设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 真题命题背景42 以函数周期性为命题背景 知识点5函数的周期性 ①周期函数：一般地，设函数的定义域为D，如果存在一个非零常数，使得对每一个都有，且，那么函数就叫做周期函数．非零常数叫做这个函数的周期． ②最小正周期：如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期． 若，则的周期为： 若，则的周期为： 若，则的周期为：（周期扩倍问题） 若，则的周期为：（周期扩倍问题） 真题练1．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知函数的定义域为R，且，则（    ） A． B． C．0 D．1 真题练2．（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 真题练3．（2021·全国甲卷·高考真题）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（    ） A． B． C． D． 真题命题背景43 以函数对称性为命题背景 函数的对称性 轴对称 ①若，则的对称轴为 ②若，则的对称轴为 点对称 ①若，则的对称中心为 ②若，则的对称中心为 周期性对称性综合问题 ①若，，其中，则的周期为： ②若，，其中，则的周期为： ③若，，其中，则的周期为： 奇偶性对称性综合问题 ①已知为偶函数，为奇函数，则的周期为： ②已知为奇函数，为偶函数，则的周期为： 真题练1．（2022·全国乙卷·高考真题）已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（    ） A． B． C． D． 真题练2．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 真题命题背景44 以求函数值为命题背景 真题练1．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 真题命题背景45 以分段函数单调性为命题背景 注意各自单调性及端点函数值 真题练1．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 真题命题背景46 以复合函数单调性为命题背景 复合函数的单调性 （2020·海南·高考真题）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 真题练2．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 真题命题背景47 以对数的运算为命题背景 指数和对数的互化公式 对数的性质与运算法则 （1） 两个基本对数： ①，② （2） 对数恒等式： ①，② （3） 幂的对数： ①： ②： ③： （4） 积的对数： （5） 商的对数： 换底公式： ； 推广1：对数的倒数式 推广2： 真题练1．（2024·全国甲卷·高考真题）已知且，则 ． 真题命题背景48 以对数值大小比较为命题背景 真题练1．（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知，，，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 真题练2．（2025·全国一卷·高考真题）已知，则x，y，z的大小关系不可能是（   ） A． B． C． D． 真题练3．（2020·全国II卷·高考真题）若，则（    ） A． B． C． D． 真题命题背景49 以指对函数模型为命题背景 常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 反比例函数模型 f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0) 指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 对数函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 幂函数模型 f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0，α≠0) 真题练1．（2020·山东·高考真题）基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （    ） A．1.2天 B．1.8天 C．2.5天 D．3.5天 真题练2．（2021·全国甲卷·高考真题）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（    ）（） A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6 真题练3．（2020·全国III卷·高考真题）Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为（    ）（ln19≈3） A．60 B．63 C．66 D．69 真题练4．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）（多选）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离 声压级 燃油汽车 10 混合动力汽车 10 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（    ）． A． B． C． D． 真题练5．（2020·全国I卷·高考真题）某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：°C）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据得到下面的散点图： 由此散点图，在10°C至40°C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（    ） A． B． C． D． 真题命题背景50 以函数交点与函数零点为命题背景 函数的零点 对于函数，我们把的实数叫做函数的零点 函数的零点与方程的根和图象与轴交点的关系 函数的零点就是方程的实数解，也就是函数的图象与轴交点的横坐标 方程的实数解 函数的零点 函数的图象与轴有交点 零点存在性定理 如果函数在区间的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么函数在区间至少有一个零点，即存在，使得，这个也是方程的解 真题练1．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）当时，曲线与的交点个数为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 真题练2．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（    ） A． B． C．1 D．2 真题练3．（2024·全国甲卷·高考真题）曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为 ． 真题练4．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 ． 一、单选题 1．（2025·湖南永州·模拟预测）下列函数中既是奇函数又是增函数的为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·广西·模拟预测）已知函数，则的值为（    ） A．1 B．0 C． D．2 3．（2025·广东梅州·模拟预测）若函数是奇函数，则（    ） A． B． C．0 D．1 4．（2025·福建泉州·模拟预测）定义在上的奇函数满足，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 5．（2025·山东泰安·模拟预测），则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·广东·模拟预测）某生物科研小组培育了甲、乙两种固氮菌，其数量（单位：个）分别记为和.设培育时间为（单位：天），据统计，两者数量满足以下关系：.若要求甲种菌数量首次超过乙种菌，则大约需要（    ） A．3天 B．4天 C．5天 D．6天 二、多选题 7．（2025·河南鹤壁·二模）设，则（     ） A． B． C． D． 8．（2025·辽宁·模拟预测）震级是以地震仪测定的每次地震活动释放的能量多少来确定的，我国目前使用的震级标准，是国际上通用的里氏分级表，共分9个等级，其中能量（单位：焦耳）与里氏震级的对应关系为，则（    ） A．若某次地震的震级不超过2级，则产生的能量低于焦耳 B．若某次地震的震级超过4级，则产生的能量高于焦耳 C．5级地震的能量是4级地震的能量的100倍 D．3级地震的能量是7级地震的能量的 9．（2025·山东菏泽·一模）已知函数的定义域为，且，若，则（    ） A． B．是奇函数 C．是增函数 D． 10．（2025·江西·模拟预测）对于任意的，函数满足，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（2025·北京·三模）已知 是函数的图象上两个不同的点 则下面结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·广东广州·模拟预测）若函数在区间单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·江苏连云港·模拟预测）设是定义在上的函数，若是奇函数，是偶函数，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·河北·模拟预测）若函数，在上单调递增，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·福建漳州·模拟预测）定义在上的奇函数满足：，且，，若，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 6．（2025·黑龙江大庆·一模）已知函数的定义域为，且在上单调递减，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 7．（2025·陕西咸阳·模拟预测）“喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声音时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等物理声学作用，激起水波，形成涌泉.声音越大，涌起的泉水越高.已知听到的声强与标准声强（约为，单位：）之比的常用对数称作声强的声强级，记作（贝尔），即，取贝尔的十倍作为响度的常用单位，简称为分贝.已知某处“喊泉”的声音响度（分贝）与喷出的泉水高度（米）满足关系式，现知同学用喇叭大喝一声激起的涌泉最高高度为2米，若同学用喇叭大喝一声的声强大约为不用喇叭大喝一声的声强的10倍，则同学大喝一声激起的涌泉最高高度约为（   ） A．1.75米 B．1.5米 C．1.25米 D．1米 二、多选题 8．（2025·福建福州·一模）已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则（    ） A．的图象关于点对称 B．是以8为周期的周期函数 C． D． 9．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数满足：①定义域为，②，③当时，，则（    ） A． B． C． D．若，则的取值范围为 10．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）已知函数与的定义域都为是的导函数，若，则下列说法正确的是（    ） A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称 C．4为的一个周期 D． 一、单选题 1．（2025·甘肃白银·三模）已知对于，，，，且，则（   ） A． B． C．1 D．0 2．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数的定义域为，且当时，，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·辽宁盘锦·三模）已知定义域均为的函数，满足，，，若，则下列说法错误的是（   ） A．的图象关于y轴对称 B．为的一个周期 C． D． 4．（2025·全国·模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为，记是定义在上的奇函数，且的一个周期为2，则（    ） A．2为的周期 B． C． D． 5．（2025·全国·模拟预测）设为定义在整数集上的函数，，，，对任意的整数均有，则=（   ） A．0 B．1013 C．2025 D．4050 二、多选题 6．（2025·湖北黄冈·一模）定义在上的函数和，为奇函数，为偶函数，且，则（　　） A． B． C．的图象关于对称 D．8为的一个周期 7．（2025·河北唐山·模拟预测）已知非常数函数是定义在上的偶函数，且，则（　　） A． B．2是的一个周期 C．当且仅当时， D．不存在最小正周期 8．（2025·山东·一模）已知定义在R上且不恒为0的函数，对任意的，都有，则（    ） A． B．为周期函数 C．是奇函数 D．若，则 9．（25-26高三上·重庆·阶段练习）设函数的定义域为R，且满足，为奇函数，则下列说法正确的是（    ） A．为偶函数 B．关于对称 C． D．的导函数的周期为 10．（2025·广东佛山·三模）已知函数及其导函数的定义域为，若为奇函数，，且对任意，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $