专题05 数列讲义-【备战2026年高考数学命题背景探究】（全国通用）（会一题通一类系列）

专题05 数列 备战2026年高考数学命题背景探究（全国通用） 目录 真题命题背景25 以等差数列基本量的计算为命题背景 1 真题命题背景26 以求等差数列通项公式为命题背景 2 真题命题背景27 以证明等差数列为命题背景 3 真题命题背景28 以求等差数列前n项和为命题背景 3 真题命题背景29 以等差数列的性质为命题背景 4 真题命题背景30 以等差数列前n项和的函数特性为命题背景 4 真题命题背景31 以等比数列基本量的计算为命题背景 5 真题命题背景32 以求比数列通项公式为命题背景 5 真题命题背景33 以等比数列的性质为命题背景 6 真题命题背景34 以等比数列前n项和的性质为命题背景 6 真题命题背景35 以等差等比混考问题为命题背景 6 真题命题背景36 以已知前n项和求通项公式为命题背景 7 真题命题背景37 以递增数列与递减数列为命题背景 7 真题命题背景38 以错位相减法求和为命题背景 7 真题命题背景39 以数列新定义为命题背景 8 基础过关练 9 提升巩固练 10 培优压轴练 11 真题命题背景25 以等差数列基本量的计算为命题背景 1. 等差数列通项公式： 或 2. 等差数列前n项和公式：或 等差数列的通项公式和前项和公式中有五个量和，这五个量可以＂ 知三求二 ＂．一般是利用公式列出 基本量和的方程组，解出和，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想． 真题练1．（2024·全国甲卷·高考真题）记为等差数列的前项和，已知，，则（    ） A． B． C． D． 真题练2．（2024·全国甲卷·高考真题）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．1 D． 真题练3．（2025·全国二卷·高考真题）记为等差数列的前n项和.若则（   ） A． B． C． D． 真题练4．（2023·全国甲卷·高考真题）记为等差数列的前项和．若，则（    ） A．25 B．22 C．20 D．15 真题练5．（2022·全国乙卷·高考真题）记为等差数列的前n项和．若，则公差 ． 真题练6．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）记为等差数列的前n项和，若，，则 . 真题命题背景26 以求等差数列通项公式为命题背景 真题练1．（2023·全国乙卷·高考真题）记为等差数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 真题练2．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列． (1)求的通项公式； (2)证明：． 真题练3．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，． (1)求的通项公式； (2)证明：当时，． 真题命题背景27 以证明等差数列为命题背景 证明数列为等差数列的方法 （1）（为常数）为等差数列 （2）通项公式：（一次函数），前项和：（无常数项的二次函数） （3）若，则，，三个数成等差数列 真题练1．（2022·全国甲卷·高考真题）记为数列的前n项和．已知． (1)证明：是等差数列； (2)若成等比数列，求的最小值． 真题练2．（2021·全国甲卷·高考真题）记为数列的前n项和，已知，且数列是等差数列，证明：是等差数列. 真题练3．（2025·全国一卷·高考真题）已知数列中，，. (1)证明：数列是等差数列； (2)给定正整数m，设函数，求． 真题练4．（2021·全国乙卷·高考真题）记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知． （1）证明：数列是等差数列; （2）求的通项公式． 真题命题背景28 以求等差数列前n项和为命题背景 真题练1．（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）记是公差不为0的等差数列的前n项和，若． （1）求数列的通项公式； （2）求使成立的n的最小值． 真题命题背景29 以等差数列的性质为命题背景 （1）若分别是公差为的等差数列，则有 数列 结论 公差为的等差数列为任一常数） 公差为的等差数列（为任一常数） 公差为的等差数列为常数， 公差为的等差数列为常数） （2） 从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为等差数列. 真题练1．（2020·山东·高考真题）将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为 ． 真题命题背景30 以等差数列前n项和的函数特性为命题背景 为等差数列⇒ 为等差数列. 真题练1．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 真题命题背景31 以等比数列基本量的计算为命题背景 1. 等比数列通项公式： 2. 等比数列前项和公式： 真题练1．（2022·全国乙卷·高考真题）已知等比数列的前3项和为168，，则（    ） A．14 B．12 C．6 D．3 真题练2．（2023·全国甲卷·高考真题）设等比数列的各项均为正数，前n项和，若，，则（    ） A． B． C．15 D．40 真题练3．（2025·全国二卷·高考真题）（多选）记为等比数列的前n项和，为的公比，若，则（   ） A． B． C． D． 真题练4．（2025·全国一卷·高考真题）若一个等比数列的各项均为正数，且前4项的和等于4，前8项的和等于68，则这个数列的公比等于 . 真题练5．（2023·全国甲卷·高考真题）记为等比数列的前项和．若，则的公比为 ． 真题命题背景32 以求比数列通项公式为命题背景 真题练1．（2024·全国甲卷·高考真题）已知等比数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和. 真题练2．（2020·海南·高考真题）已知公比大于的等比数列满足． （1）求的通项公式； （2）求. 真题命题背景33 以等比数列的性质为命题背景 “下标和”性质 在等比数列中，若，则； （1）特别地，时， ； 当时， （2）若数列是有穷数列，则与首末两项“等距离”的两项的积等于首末两项的积，即 真题练1．（2023·全国乙卷·高考真题）已知为等比数列，，，则 . 真题命题背景34 以等比数列前n项和的性质为命题背景 已知为等比数列，公比为，为其前项和，当时，， ，为等比数列； 真题练1．（2021·全国甲卷·高考真题）记为等比数列的前n项和.若，，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 真题练2．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）记为等比数列的前n项和，若，，则（    ）． A．120 B．85 C． D． 真题命题背景35 以等差等比混考问题为命题背景 真题练1．（2021·全国乙卷·高考真题）设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列． （1）求和的通项公式； （2）记和分别为和的前n项和．证明：． 真题命题背景36 以已知前n项和求通项公式为命题背景 真题练1．（2023·全国甲卷·高考真题）设为数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 真题练2．（2024·全国甲卷·高考真题）记为数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 真题命题背景37 以递增数列与递减数列为命题背景 真题练1．（2021·全国甲卷·高考真题）等比数列的公比为q，前n项和为，设甲：，乙：是递增数列，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 真题命题背景38 以错位相减法求和为命题背景 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前项和即可用错位相减法求解． 万能公式法求和 形如的数列求和为， 其中，， 真题练1．（2020·全国I卷·高考真题）设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项． （1）求的公比； （2）若，求数列的前项和． 真题练2．（2020·全国III卷·高考真题）设数列{an}满足a1=3，． （1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明； （2）求数列{2nan}的前n项和Sn． 真题命题背景39 以数列新定义为命题背景 真题练1．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设m为正整数，数列是公差不为0的等差数列，若从中删去两项和后剩余的项可被平均分为组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列是可分数列． (1)写出所有的，，使数列是可分数列； (2)当时，证明：数列是可分数列； (3)从中任取两个数和，记数列是可分数列的概率为，证明：． 一、单选题 1．（2025·四川成都·一模）在等差数列中，，，则（   ） A． B． C．1 D．2 2．（2025·江苏南京·一模）已知等比数列的前3项和为168，，则（ ） A． B．6 C．3 D．2 3．（2025·江苏连云港·模拟预测）已知等比数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 4．（2025·广东·模拟预测）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 5．（2025·全国·模拟预测）在数列中，，点在直线上，则（   ） A．8 B．16 C．32 D．64 6．（2025·湖南永州·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，公差，若，且，，成等比数列，则（   ） A．30 B．32 C．36 D．40 7．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）已知正项数列为等比数列，且是与的等差中项，若，则该数列的前5项和为（    ） A．10 B．15 C．30 D．31 8．（2025·江苏盐城·模拟预测）设等差数列的前项和为，若，，则当取最小值时的值为（    ） A．12 B．13 C．14 D．25 二、解答题 9．（2025·四川巴中·模拟预测）已知等差数列的前项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前项和为，求证：. 10．（2025·河南·模拟预测）已知数列和满足是等比数列，是等差数列. (1)求和的通项公式； (2)求和的通项公式； (3)求的前项和. 一、单选题 1．（2025·湖南长沙·模拟预测）设数列的前项和为，已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·辽宁盘锦·三模）已知数列满足，，若，则（   ） A． B． C． D． 3．（2025·浙江嘉兴·一模）已知数列的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 4．（2025·湖南长沙·三模）数列是公比不为1的等比数列，前项积为，则“，”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2025·四川巴中·模拟预测）已知数列是等比数列，数列是等差数列，若.则的值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（2025·黑龙江大庆·一模）已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（    ） A． B．是递增数列 C．当时， D．当或4时，取得最大值 7．（2025·河北邯郸·一模）已知为等差数列的前项和，则（    ） A．若，则 B．成等差数列 C．可能成等差数列 D．可能成等比数列 8．（2025·全国·模拟预测）已知数列的首项，且满足，则（   ） A．为等差数列 B． C．数列为递增数列 D．数列的前项和为 三、解答题 9．（2025·河北衡水·模拟预测）已知数列的前项和为. (1)证明：是常数列； (2)设，求数列的前项和. 10．（2025·河北邯郸·一模）已知等比数列的前项和为，若成等差数列. (1)求等比数列的公比； (2)若，求数列的前项和. 一、单选题 1．（2025·江苏苏州·三模）已知数列满足，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·河北唐山·模拟预测）数列的前项和为，的前项和为，则数列（    ） A．有最大项也有最小项 B．无最大项也无最小项 C．有最小项但无最大项 D．有最大项但无最小项 3．（25-26高三上·浙江·开学考试）已知等差数列的前项和满足：，则数列的最小项是第（    ）项. A．2026 B．2027 C．4048 D．4049 二、多选题 4．（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知数列满足，则下列说法正确的是（    ） A．，使得为常数列 B．若，则 C．若，使得时， D．若，则为递增数列 5．（2025·河南许昌·模拟预测）已知数列满足，，则下列说法正确的是（   ） A．为中的最小项 B．对任意的，，都有 C．存在，使得，，成等差数列 D．对任意的，，都有 6．（2025·广西南宁·模拟预测）已知数列满足，则下列说法正确的是（    ） A．当时， B．若数列为常数列，则或 C．若数列为递增数列，则 D．当时， 三、解答题 7．（2025·河南新乡·模拟预测）已知数列各项均为正数，且满足，，， (1)求数列的通项公式； (2)记，数列的前项和为，试证明：， 8．（2025·山西朔州·模拟预测）已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)若正整数成等差数列，且，试判断能否构成等比数列，并说明理由． 9．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知正项数列的前项和为，． (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足．求数列的前项和为； (3)设数列的前项和为，，且，若时，，求数列首项的取值范围． 10．（2025·天津·一模）已知等差数列满足，记数列的前n项和为． (1)求数列的通项公式； (2)在数列的每相邻两项间插入这两项的和，而形成新的数列，这样的过程叫做该数列的一阶“H拓展”．例如，对于数列，一阶“H拓展”得到数列；二阶“H拓展”得到数列；……设n阶“H拓展”得到数列，设，则，． （i）求数列的通项公式； （ii）设数列满足求数列的前项和． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 数列 备战2026年高考数学命题背景探究（全国通用） 目录 真题命题背景25 以等差数列基本量的计算为命题背景 1 真题命题背景26 以求等差数列通项公式为命题背景 4 真题命题背景27 以证明等差数列为命题背景 7 真题命题背景28 以求等差数列前n项和为命题背景 12 真题命题背景29 以等差数列的性质为命题背景 13 真题命题背景30 以等差数列前n项和的函数特性为命题背景 14 真题命题背景31 以等比数列基本量的计算为命题背景 15 真题命题背景32 以求比数列通项公式为命题背景 18 真题命题背景33 以等比数列的性质为命题背景 20 真题命题背景34 以等比数列前n项和的性质为命题背景 20 真题命题背景35 以等差等比混考问题为命题背景 22 真题命题背景36 以已知前n项和求通项公式为命题背景 24 真题命题背景37 以递增数列与递减数列为命题背景 26 真题命题背景38 以错位相减法求和为命题背景 27 真题命题背景39 以数列新定义为命题背景 30 基础过关练 33 提升巩固练 38 培优压轴练 45 真题命题背景25 以等差数列基本量的计算为命题背景 1. 等差数列通项公式： 或 2. 等差数列前n项和公式：或 等差数列的通项公式和前项和公式中有五个量和，这五个量可以＂ 知三求二 ＂．一般是利用公式列出 基本量和的方程组，解出和，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想． 真题练1．（2024·全国甲卷·高考真题）记为等差数列的前项和，已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由结合等差中项的性质可得，即可计算出公差，即可得的值. 【详解】由，则， 则等差数列的公差，故. 故选：B. 真题练2．（2024·全国甲卷·高考真题）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】可以根据等差数列的基本量，即将题目条件全转化成和来处理，亦可用等差数列的性质进行处理，或者特殊值法处理. 【详解】方法一：利用等差数列的基本量 由，根据等差数列的求和公式，， 又. 故选：D 方法二：利用等差数列的性质 根据等差数列的性质，，由，根据等差数列的求和公式， ，故. 故选：D 方法三：特殊值法 不妨取等差数列公差，则，则. 故选：D 真题练3．（2025·全国二卷·高考真题）记为等差数列的前n项和.若则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由等差数列前n项和公式结合题意列出关于首项和公差d的方程求出首项和公差d，再由等差数列前n项和公式即可计算求解. 【详解】设等差数列的公差为d，则由题可得 ， 所以. 故选：B. 真题练4．（2023·全国甲卷·高考真题）记为等差数列的前项和．若，则（    ） A．25 B．22 C．20 D．15 【答案】C 【分析】方法一：根据题意直接求出等差数列的公差和首项，再根据前项和公式即可解出； 方法二：根据等差数列的性质求出等差数列的公差，再根据前项和公式的性质即可解出． 【详解】方法一：设等差数列的公差为，首项为，依题意可得， ，即, 又，解得：， 所以． 故选：C. 方法二：，，所以，， 从而，于是， 所以． 故选：C. 真题练5．（2022·全国乙卷·高考真题）记为等差数列的前n项和．若，则公差 ． 【答案】2 【分析】转化条件为，即可得解. 【详解】由可得，化简得， 即，解得. 故答案为：2. 真题练6．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）记为等差数列的前n项和，若，，则 . 【答案】95 【分析】利用等差数列通项公式得到方程组，解出，再利用等差数列的求和公式即可得到答案. 【详解】因为数列为等差数列，则由题意得，解得， 则. 故答案为：. 真题命题背景26 以求等差数列通项公式为命题背景 真题练1．（2023·全国乙卷·高考真题）记为等差数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意列式求解，进而可得结果； （2）先求，讨论的符号去绝对值，结合运算求解. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由题意可得，即，解得， 所以， （2）因为， 令，解得，且， 当时，则，可得； 当时，则，可得 ； 综上所述：. 真题练2．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列． (1)求的通项公式； (2)证明：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得，得到，利用和与项的关系得到当时，,进而得：，利用累乘法求得，检验对于也成立，得到的通项公式； （2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到，进而证得. 【详解】（1）∵，∴,∴, 又∵是公差为的等差数列， ∴,∴, ∴当时，， ∴, 整理得：, 即, ∴ ， 显然对于也成立， ∴的通项公式； （2） ∴ 真题练3．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，． (1)求的通项公式； (2)证明：当时，． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）设等差数列的公差为，用表示及，即可求解作答. （2）方法1，利用（1）的结论求出，，再分奇偶结合分组求和法求出，并与作差比较作答；方法2，利用（1）的结论求出，，再分奇偶借助等差数列前n项和公式求出，并与作差比较作答. 【详解】（1）设等差数列的公差为，而， 则， 于是，解得，， 所以数列的通项公式是. （2）方法1：由（1）知，，， 当为偶数时，， ， 当时，，因此， 当为奇数时，， 当时，，因此， 所以当时，. 方法2：由（1）知，，， 当为偶数时，， 当时，，因此， 当为奇数时，若，则 ，显然满足上式，因此当为奇数时，， 当时，，因此， 所以当时，. 真题命题背景27 以证明等差数列为命题背景 证明数列为等差数列的方法 （1）（为常数）为等差数列 （2）通项公式：（一次函数），前项和：（无常数项的二次函数） （3）若，则，，三个数成等差数列 真题练1．（2022·全国甲卷·高考真题）记为数列的前n项和．已知． (1)证明：是等差数列； (2)若成等比数列，求的最小值． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（1）依题意可得，根据，作差即可得到，从而得证； （2）法一：由（1）及等比中项的性质求出，即可得到的通项公式与前项和，再根据二次函数的性质计算可得． 【详解】（1）因为，即①， 当时，②， ①②得，， 即， 即，所以，且， 所以是以为公差的等差数列． （2）[方法一]：二次函数的性质 由（1）可得，，， 又，，成等比数列，所以， 即，解得， 所以，所以， 所以，当或时，． [方法二]：【最优解】邻项变号法 由（1）可得，，， 又，，成等比数列，所以， 即，解得， 所以，即有. 则当或时，． 【整体点评】（2）法一：根据二次函数的性质求出的最小值，适用于可以求出的表达式； 法二：根据邻项变号法求最值，计算量小，是该题的最优解． 真题练2．（2021·全国甲卷·高考真题）记为数列的前n项和，已知，且数列是等差数列，证明：是等差数列. 【答案】证明见解析. 【分析】先根据求出数列的公差，进一步写出的通项，从而求出的通项公式，最终得证. 【详解】∵数列是等差数列，设公差为 ∴， ∴， ∴当时， 当时，，满足， ∴的通项公式为， ∴ ∴是等差数列. 【点睛】在利用求通项公式时一定要讨论的特殊情况. 真题练3．（2025·全国一卷·高考真题）已知数列中，，. (1)证明：数列是等差数列； (2)给定正整数m，设函数，求． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）根据题目所给条件化简，即可证明结论； （2）先求出的通项公式，代入函数并求导，函数两边同乘以，作差并利用等比数列前项和得出导函数表达式，即可得出结论. 【详解】（1）由题意证明如下，， 在数列中，，， ∴，即， ∴是以为首项，1为公差的等差数列. （2）由题意及（1）得，， 在数列中，首项为3，公差为1， ∴，即， 在中， ， ∴， 当且时， ∴， ∴ ∴ . 真题练4．（2021·全国乙卷·高考真题）记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知． （1）证明：数列是等差数列; （2）求的通项公式． 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【分析】（1）由已知得,且，取,得,由题意得,消积得到项的递推关系,进而证明数列是等差数列; （2）由（1）可得的表达式,由此得到的表达式,然后利用和与项的关系求得. 【详解】（1）[方法一]： 由已知得,且，, 取,由得, 由于为数列的前n项积， 所以, 所以， 所以, 由于 所以，即,其中 所以数列是以为首项，以为公差等差数列; [方法二]【最优解】： 由已知条件知    ① 于是．       ② 由①②得．     ③ 又，       ④ 由③④得． 令，由，得． 所以数列是以为首项，为公差的等差数列． [方法三]：   由，得，且，，． 又因为，所以，所以． 在中，当时，． 故数列是以为首项，为公差的等差数列． [方法四]：数学归纳法   由已知，得，，，，猜想数列是以为首项，为公差的等差数列，且． 下面用数学归纳法证明． 当时显然成立． 假设当时成立，即． 那么当时，． 综上，猜想对任意的都成立． 即数列是以为首项，为公差的等差数列． （2） 由（1）可得，数列是以为首项，以为公差的等差数列， , , 当n=1时，, 当n≥2时,,显然对于n=1不成立, ∴. 【整体点评】（1）方法一从得，然后利用的定义，得到数列的递推关系，进而替换相除消项得到相邻两项的关系，从而证得结论； 方法二先从的定义，替换相除得到，再结合得到，从而证得结论，为最优解； 方法三由，得，由的定义得，进而作差证得结论；方法四利用归纳猜想得到数列，然后利用数学归纳法证得结论． （2）由（1）的结论得到，求得的表达式,然后利用和与项的关系求得的通项公式； 真题命题背景28 以求等差数列前n项和为命题背景 真题练1．（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）记是公差不为0的等差数列的前n项和，若． （1）求数列的通项公式； （2）求使成立的n的最小值． 【答案】(1)；(2)7. 【分析】(1)由题意首先求得的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式； (2)首先求得前n项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n的最小值. 【详解】(1)由等差数列的性质可得：，则：， 设等差数列的公差为，从而有：， ， 从而：，由于公差不为零，故：， 数列的通项公式为：. (2)由数列的通项公式可得：，则：， 则不等式即：，整理可得：， 解得：或，又为正整数，故的最小值为. 真题命题背景29 以等差数列的性质为命题背景 （1）若分别是公差为的等差数列，则有 数列 结论 公差为的等差数列为任一常数） 公差为的等差数列（为任一常数） 公差为的等差数列为常数， 公差为的等差数列为常数） （2） 从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为等差数列. 真题练1．（2020·山东·高考真题）将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为 ． 【答案】 【分析】首先判断出数列与项的特征，从而判断出两个数列公共项所构成新数列的首项以及公差，利用等差数列的求和公式求得结果. 【详解】因为数列是以1为首项，以2为公差的等差数列， 数列是以1首项，以3为公差的等差数列， 所以这两个数列的公共项所构成的新数列是以1为首项，以6为公差的等差数列， 所以的前项和为， 故答案为：. 【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有两个等差数列的公共项构成新数列的特征，等差数列求和公式，属于简单题目. 真题命题背景30 以等差数列前n项和的函数特性为命题背景 为等差数列⇒ 为等差数列. 真题练1．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】C 【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n项和与第n项的关系推理判断作答.， 【详解】方法1，甲：为等差数列，设其首项为，公差为， 则， 因此为等差数列，则甲是乙的充分条件； 反之，乙：为等差数列，即为常数，设为， 即，则，有， 两式相减得：，即，对也成立， 因此为等差数列，则甲是乙的必要条件， 所以甲是乙的充要条件，C正确. 方法2，甲：为等差数列，设数列的首项，公差为，即， 则，因此为等差数列，即甲是乙的充分条件； 反之，乙：为等差数列，即， 即，， 当时，上两式相减得：，当时，上式成立， 于是，又为常数， 因此为等差数列，则甲是乙的必要条件， 所以甲是乙的充要条件. 故选：C 真题命题背景31 以等比数列基本量的计算为命题背景 1. 等比数列通项公式： 2. 等比数列前项和公式： 真题练1．（2022·全国乙卷·高考真题）已知等比数列的前3项和为168，，则（    ） A．14 B．12 C．6 D．3 【答案】D 【分析】设等比数列的公比为，易得，根据题意求出首项与公比，再根据等比数列的通项即可得解. 【详解】解：设等比数列的公比为， 若，则，与题意矛盾， 所以， 则，解得， 所以. 故选：D. 真题练2．（2023·全国甲卷·高考真题）设等比数列的各项均为正数，前n项和，若，，则（    ） A． B． C．15 D．40 【答案】C 【分析】根据题意列出关于的方程,计算出,即可求出. 【详解】由题知, 即,即,即. 由题知,所以. 所以. 故选:C. 真题练3．（2025·全国二卷·高考真题）（多选）记为等比数列的前n项和，为的公比，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】对A，根据等比数列通项公式和前项和公式得到方程组，解出，再利用其通项公式和前项和公式一一计算分析即可. 【详解】对A，由题意得，结合，解得或（舍去），故A正确； 对B，则，故B错误； 对C，，故C错误； 对D，，， 则，故D正确； 故选：AD. 真题练4．（2025·全国一卷·高考真题）若一个等比数列的各项均为正数，且前4项的和等于4，前8项的和等于68，则这个数列的公比等于 . 【答案】 【分析】法一：利用等比数列的求和公式作商即可得解；法二：利用等比数列的通项公式与前项和的定义，得到关于的方程，解之即可得解；法三：利用等比数列的前项和性质得到关于的方程，解之即可得解. 【详解】法一：设该等比数列为，是其前项和，则， 设的公比为， 当时，，即，则，显然不成立，舍去； 当时，则， 两式相除得，即， 则，所以， 所以该等比数列公比为2. 故答案为：. 法二：设该等比数列为，是其前项和，则， 设的公比为， 所以， ， 所以，则，所以， 所以该等比数列公比为2. 故答案为：2. 法三：设该等比数列为，是其前项和，则， 设的公比为， 因为， 又， 所以，所以， 所以该等比数列公比为. 故答案为：. 真题练5．（2023·全国甲卷·高考真题）记为等比数列的前项和．若，则的公比为 ． 【答案】 【分析】先分析，再由等比数列的前项和公式和平方差公式化简即可求出公比. 【详解】若， 则由得，则，不合题意. 所以. 当时，因为， 所以， 即，即，即， 解得. 故答案为： 真题命题背景32 以求比数列通项公式为命题背景 真题练1．（2024·全国甲卷·高考真题）已知等比数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用退位法可求公比，再求出首项后可求通项； （2）利用分组求和法即可求. 【详解】（1）因为,故， 所以即故等比数列的公比为， 故，故，故. （2）由等比数列求和公式得， 所以数列的前n项和 . 真题练2．（2020·海南·高考真题）已知公比大于的等比数列满足． （1）求的通项公式； （2）求. 【答案】（1）；（2） 【分析】(1)由题意得到关于首项、公比的方程组，求解方程组得到首项、公比的值即可确定数列的通项公式； (2)首先求得数列的通项公式，然后结合等比数列前n项和公式求解其前n项和即可. 【详解】(1) 设等比数列的公比为q(q>1)，则， 整理可得：， ， 数列的通项公式为：. (2)由于：，故： . 【点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，等差数列与等比数列求和公式是数列求和的基础. 真题命题背景33 以等比数列的性质为命题背景 “下标和”性质 在等比数列中，若，则； （1）特别地，时， ； 当时， （2）若数列是有穷数列，则与首末两项“等距离”的两项的积等于首末两项的积，即 真题练1．（2023·全国乙卷·高考真题）已知为等比数列，，，则 . 【答案】 【分析】根据等比数列公式对化简得，联立求出，最后得. 【详解】设的公比为，则，显然， 则，即，则，因为，则， 则，则，则， 故答案为：. 真题命题背景34 以等比数列前n项和的性质为命题背景 已知为等比数列，公比为，为其前项和，当时，， ，为等比数列； 真题练1．（2021·全国甲卷·高考真题）记为等比数列的前n项和.若，，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】根据题目条件可得，，成等比数列，从而求出，进一步求出答案. 【详解】∵为等比数列的前n项和，， ∴，，成等比数列 ∴， ∴， ∴. 故选：A. 真题练2．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）记为等比数列的前n项和，若，，则（    ）． A．120 B．85 C． D． 【答案】C 【分析】方法一：根据等比数列的前n项和公式求出公比，再根据的关系即可解出； 方法二：根据等比数列的前n项和的性质求解． 【详解】方法一：设等比数列的公比为，首项为， 若，则，与题意不符，所以； 若，则，与题意不符，所以； 由，可得，，①， 由①可得，，解得：， 所以． 故选：C． 方法二：设等比数列的公比为， 因为，，所以，否则， 从而，成等比数列， 所以有，，解得：或， 当时，，即为， 易知，，即； 当时，， 与矛盾，舍去． 故选：C． 【点睛】本题主要考查等比数列的前n项和公式的应用，以及整体思想的应用，解题关键是把握的关系，从而减少相关量的求解，简化运算． 真题命题背景35 以等差等比混考问题为命题背景 真题练1．（2021·全国乙卷·高考真题）设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列． （1）求和的通项公式； （2）记和分别为和的前n项和．证明：． 【答案】（1），；（2）证明见解析. 【分析】（1）利用等差数列的性质及得到，解方程即可； （2）利用公式法、错位相减法分别求出，再作差比较即可. 【详解】（1）因为是首项为1的等比数列且，，成等差数列， 所以，所以， 即，解得，所以， 所以. （2）[方法一]：作差后利用错位相减法求和 ， ， ． 设，    ⑧ 则．     ⑨ 由⑧-⑨得． 所以． 因此． 故． [方法二]【最优解】：公式法和错位相减求和法 证明：由（1）可得， ，① ，② ①②得 ， 所以， 所以， 所以. [方法三]：构造裂项法 由（Ⅰ）知，令，且，即， 通过等式左右两边系数比对易得，所以． 则，下同方法二． [方法四]：导函数法 设， 由于， 则． 又， 所以 ，下同方法二． 【整体点评】本题主要考查数列的求和，涉及到等差数列的性质，错位相减法求数列的和，考查学生的数学运算能力，是一道中档题，其中证明不等式时采用作差法，或者作商法要根据式子得结构类型灵活选择，关键是要看如何消项化简的更为简洁. （2）的方法一直接作差后利用错位相减法求其部分和，进而证得结论； 方法二根据数列的不同特点，分别利用公式法和错位相减法求得,然后证得结论,为最优解； 方法三采用构造数列裂项求和的方法，关键是构造，使，求得的表达式，这是错位相减法的一种替代方法， 方法四利用导数方法求和，也是代替错位相减求和法的一种方法. 真题命题背景36 以已知前n项和求通项公式为命题背景 真题练1．（2023·全国甲卷·高考真题）设为数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据即可求出； （2）根据错位相减法即可解出． 【详解】（1）因为， 当时，，即； 当时，，即， 当时，，所以， 化简得：，当时，，即， 当时都满足上式，所以． （2）因为，所以， ， 两式相减得， ， ，即，． 真题练2．（2024·全国甲卷·高考真题）记为数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用退位法可求的通项公式． （2）利用错位相减法可求. 【详解】（1）当时，，解得． 当时，，所以即， 而，故，故， ∴数列是以4为首项，为公比的等比数列， 所以. （2）, 所以 故 所以 ， . 真题命题背景37 以递增数列与递减数列为命题背景 真题练1．（2021·全国甲卷·高考真题）等比数列的公比为q，前n项和为，设甲：，乙：是递增数列，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】B 【分析】当时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当是递增数列时，必有成立即可说明成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案． 【详解】由题，当数列为时，满足， 但是不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件． 若是递增数列，则必有成立，若不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则成立，所以甲是乙的必要条件． 故选：B． 【点睛】在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过程． 真题命题背景38 以错位相减法求和为命题背景 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前项和即可用错位相减法求解． 万能公式法求和 形如的数列求和为， 其中，， 真题练1．（2020·全国I卷·高考真题）设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项． （1）求的公比； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）由已知结合等差中项关系，建立公比的方程，求解即可得出结论； （2）由（1）结合条件得出的通项，根据的通项公式特征，用错位相减法，即可求出结论. 【详解】（1）设的公比为，为的等差中项， ， ； （2）设的前项和为，， ，① ，② ①②得， ， . 【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的计算、等差中项的性质，以及错位相减法求和，考查计算求解能力，属于基础题. 真题练2．（2020·全国III卷·高考真题）设数列{an}满足a1=3，． （1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明； （2）求数列{2nan}的前n项和Sn． 【答案】（1），，，证明见解析；（2）. 【分析】（1）方法一：（通性通法）利用递推公式得出，猜想得出的通项公式，利用数学归纳法证明即可； （2）方法一：（通性通法）根据通项公式的特征，由错位相减法求解即可． 【详解】（1） ［方法一］【最优解】：通性通法 由题意可得，，由数列的前三项可猜想数列是以为首项，2为公差的等差数列，即． 证明如下： 当时，成立； 假设时，成立. 那么时，也成立. 则对任意的，都有成立； ［方法二］：构造法 由题意可得，．由得．，则，两式相减得．令，且，所以，两边同时减去2，得，且，所以，即，又，因此是首项为3，公差为2的等差数列，所以． ［方法三］：累加法 由题意可得，． 由得，即，，……．以上各式等号两边相加得，所以．所以．当时也符合上式．综上所述，． ［方法四］：构造法 ，猜想．由于，所以可设，其中为常数．整理得．故，解得．所以．又，所以是各项均为0的常数列，故，即． （2）由（1）可知， ［方法一］：错位相减法 ，① ，② 由①②得： ， 即. ［方法二］【最优解】：裂项相消法 ，所以． ［方法三］：构造法 当时，，设，即，则，解得． 所以，即为常数列，而，所以． 故． ［方法四］： 因为，令，则 ， ， 所以． 故． 【整体点评】（1）方法一：通过递推式求出数列的部分项从而归纳得出数列的通项公式，再根据数学归纳法进行证明，是该类问题的通性通法，对于此题也是最优解； 方法二：根据递推式，代换得，两式相减得，设，从而简化递推式，再根据构造法即可求出，从而得出数列的通项公式； 方法三：由化简得，根据累加法即可求出数列的通项公式； 方法四：通过递推式求出数列的部分项，归纳得出数列的通项公式，再根据待定系数法将递推式变形成，求出，从而可得构造数列为常数列，即得数列的通项公式． （2） 方法一：根据通项公式的特征可知，可利用错位相减法解出，该法也是此类题型的通性通法； 方法二：根据通项公式裂项，由裂项相消法求出，过程简单，是本题的最优解法； 方法三：由时，，构造得到数列为常数列，从而求出； 方法四：将通项公式分解成，利用分组求和法分别求出数列的前项和即可，其中数列的前项和借助于函数的导数，通过赋值的方式求出，思路新颖独特，很好的简化了运算． 真题命题背景39 以数列新定义为命题背景 真题练1．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设m为正整数，数列是公差不为0的等差数列，若从中删去两项和后剩余的项可被平均分为组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列是可分数列． (1)写出所有的，，使数列是可分数列； (2)当时，证明：数列是可分数列； (3)从中任取两个数和，记数列是可分数列的概率为，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）直接根据可分数列的定义即可； （2）根据可分数列的定义即可验证结论； （3）证明使得原数列是可分数列的至少有个，再使用概率的定义. 【详解】（1）首先，我们设数列的公差为，则. 由于一个数列同时加上一个数或者乘以一个非零数后是等差数列，当且仅当该数列是等差数列， 故我们可以对该数列进行适当的变形， 得到新数列，然后对进行相应的讨论即可. 换言之，我们可以不妨设，此后的讨论均建立在该假设下进行. 回到原题，第1小问相当于从中取出两个数和，使得剩下四个数是等差数列. 那么剩下四个数只可能是，或，或. 所以所有可能的就是. （2）由于从数列中取出和后，剩余的个数可以分为以下两个部分，共组，使得每组成等差数列： ①，共组； ②，共组. （如果，则忽略②） 故数列是可分数列. （3）定义集合，. 下面证明，对，如果下面两个命题同时成立， 则数列一定是可分数列： 命题1：或； 命题2：. 我们分两种情况证明这个结论. 第一种情况：如果，且. 此时设，，. 则由可知，即，故. 此时，由于从数列中取出和后， 剩余的个数可以分为以下三个部分，共组，使得每组成等差数列： ①，共组； ②，共组； ③，共组. （如果某一部分的组数为，则忽略之） 故此时数列是可分数列. 第二种情况：如果，且. 此时设，，. 则由可知，即，故. 由于，故，从而，这就意味着. 此时，由于从数列中取出和后，剩余的个数可以分为以下四个部分，共组，使得每组成等差数列： ①，共组； ②，，共组； ③全体，其中，共组； ④，共组. （如果某一部分的组数为，则忽略之） 这里对②和③进行一下解释：将③中的每一组作为一个横排，排成一个包含个行，个列的数表以后，个列分别是下面这些数： ，，，. 可以看出每列都是连续的若干个整数，它们再取并以后，将取遍中除开五个集合，，，，中的十个元素以外的所有数. 而这十个数中，除开已经去掉的和以外，剩余的八个数恰好就是②中出现的八个数. 这就说明我们给出的分组方式满足要求，故此时数列是可分数列. 至此，我们证明了：对，如果前述命题1和命题2同时成立，则数列一定是可分数列. 然后我们来考虑这样的的个数. 首先，由于，和各有个元素，故满足命题1的总共有个； 而如果，假设，则可设，，代入得. 但这导致，矛盾，所以. 设，，，则，即. 所以可能的恰好就是，对应的分别是，总共个. 所以这个满足命题1的中，不满足命题2的恰好有个. 这就得到同时满足命题1和命题2的的个数为. 当我们从中一次任取两个数和时，总的选取方式的个数等于. 而根据之前的结论，使得数列是可分数列的至少有个. 所以数列是可分数列的概率一定满足 . 这就证明了结论. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对新定义数列的理解，只有理解了定义，方可使用定义验证或探究结论. 一、单选题 1．（2025·四川成都·一模）在等差数列中，，，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据等差数列的性质若，则，求解即可. 【详解】在等差数列中，，. 故选：B 2．（2025·江苏南京·一模）已知等比数列的前3项和为168，，则（ ） A． B．6 C．3 D．2 【答案】C 【分析】根据等比数列通项公式的性质，设出首项和公比，根据条件列出方程组，求出结果. 【详解】设数列的首项为，公比为， 则， ， ∴，即，则， ∴， ∴， 故选：C. 3．（2025·江苏连云港·模拟预测）已知等比数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化简表达式，求出首项和公比，即可求出. 【详解】由题意，， 在等比数列中，， 设公比为q， ，解得， ∴， 当时，，解得：， ∴是以2为首项，3为公比的等比数列， ∴. 故选：A. 4．（2025·广东·模拟预测）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设等差数列的公差为，由得，解出，进而求解. 【详解】设等差数列的公差为， 由题意有， 所以， 故选：B. 5．（2025·全国·模拟预测）在数列中，，点在直线上，则（   ） A．8 B．16 C．32 D．64 【答案】B 【分析】根据题意可得，故数列是以首项为1，公比为2的等比数列，根据等比数列的通项公式即可求解. 【详解】∵点在直线上，∴. 又，∴数列是以首项为1，公比为2的等比数列，∴. 故选：B. 6．（2025·湖南永州·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，公差，若，且，，成等比数列，则（   ） A．30 B．32 C．36 D．40 【答案】B 【分析】利用等差数列的求和公式可得，再由等比中项可得，两式联立可得和，然后求出数列的通项可得. 【详解】由，即， 又，，成等比数列，则， 即，得， ，. , . 故选：. 7．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）已知正项数列为等比数列，且是与的等差中项，若，则该数列的前5项和为（    ） A．10 B．15 C．30 D．31 【答案】D 【分析】由是与的等差中项可得，再利用等比数列的通项公式代入求出和，最后利用等比数列的前项和公式求解即可. 【详解】因为数列为正项等比数列，设公比为， 又是与的等差中项，所以，即， 解得或（舍去）， 所以由解得， 所以该数列的前5项和， 故选：D 8．（2025·江苏盐城·模拟预测）设等差数列的前项和为，若，，则当取最小值时的值为（    ） A．12 B．13 C．14 D．25 【答案】C 【分析】利用等差数列的性质化简，得到，结合，判断公差，得到即可判断. 【详解】由可得，由等差数列的性质可得：， 因，则等差数列的公差，即等差数列为递增数列， 故，即取最小值时，的值为14. 故选：C. 二、解答题 9．（2025·四川巴中·模拟预测）已知等差数列的前项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前项和为，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据已知条件列方程求出等差数列的首项与公差，根据等差数列定义写出通项公式； （2）通过裂项相消的方法化简的表达式，并证明不等式. 【详解】（1）在等差数列中：，则. 又，所以该等差数列公差.故. 所以 故数列的通项公式为： （2）因为，所以 则 化简得 因，所以，故. 10．（2025·河南·模拟预测）已知数列和满足是等比数列，是等差数列. (1)求和的通项公式； (2)求和的通项公式； (3)求的前项和. 【答案】(1)，； (2)； (3). 【分析】（1）根据已知求、的基本量，再由等比、等差数列的定义写出通项公式； （2）由（1）所得通项公式求和的通项公式； （3）应用分组求和，结合等差、等比数列的前n项和公式求. 【详解】（1）由， 因为是等比数列， 则公比为，所以， 因为是等差数列， 则公差为，所以. （2）由（1）得， 则. （3）由（2）有. 一、单选题 1．（2025·湖南长沙·模拟预测）设数列的前项和为，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据的关系，可得数列是公差为4的等差数列，再由等差数列的通项公式与求和公式求解即可. 【详解】当时，， 则，即， 所以数列是公差为4的等差数列． 又，则． 所以． 故选：A. 2．（2025·辽宁盘锦·三模）已知数列满足，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用构造法整理递推公式，根据等差数列的定义，求得数列通项公式，可得答案. 【详解】依题意，，故数列是首项为1，公差为1的等差数列， 则．因为，故，则． 故选：D. 3．（2025·浙江嘉兴·一模）已知数列的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得、，再借助等比数列求和公式计算即可得. 【详解】由，则， 由，则，故， 则、、、， 则. 故选：A. 4．（2025·湖南长沙·三模）数列是公比不为1的等比数列，前项积为，则“，”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由等比数列的性质，结合充分条件与必要条件的意义判断即可. 【详解】充分性：因为，，所以，所以， 又由数列是公比不为1的等比数列，所以， 可得同号，同号，所以，所以， 所以“，”是“”的充分条件； 必要性：若数列每项均为正数时，若且时，则对恒成立， 无法得到对恒成立，必要性不成立， 故“，”是“”的充分不必要条件. 故选：B. 5．（2025·四川巴中·模拟预测）已知数列是等比数列，数列是等差数列，若.则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用等差、等比数列的性质，求得，得到的值，进而得到，结合两角差的正弦公式，即可求解. 【详解】由数列是等比数列，数列是等差数列，且， 可得，解得， 又由等差数列与等比数列的性质，可得， 所以. 故选：D. 二、多选题 6．（2025·黑龙江大庆·一模）已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（    ） A． B．是递增数列 C．当时， D．当或4时，取得最大值 【答案】ACD 【分析】由题意可知，数列是首项为9,公差为-3的等差数列，由此求得其通项公式和前n项和公式，并对选项逐一判断即可. 【详解】因为，所以，又所以数列是首项为9,公差为-3的等差数列. 记公差为d,则,所以,. 选项A：.所以选项A正确. 选项B：因为公差为-3，所以数列是递减数列.所以选项B错误. 选项C：当，即.所以选项C正确. 选项D：,所以在时单调递增，在时单调递减.因为,所以当或时，取得最大值，最大值为18.所以选项D正确. 故选：ACD. 7．（2025·河北邯郸·一模）已知为等差数列的前项和，则（    ） A．若，则 B．成等差数列 C．可能成等差数列 D．可能成等比数列 【答案】BC 【分析】利用等差数列的通项公式，求和公式，及等差数列等比数列的定义一一分析，进行求解. 【详解】对于选项A：，当时，； 当时，， 适合，，故选项A错误； 对于选项B：为等差数列的前项和，设的公差为d， 则， ，， ， , ，，，成等差数列，故选项B正确； 对于选项C：设等差数列的公差为，则，，， 若成等差数列，则， 即，解得， ，，，，，，成等差数列，故选项C正确； 对于选项D：设等差数列的公差为，则，，， 若成等比数列，则，即， 解得，将看成是关于的一元二次方程，，只有当时，方程有解， 且解为，此时，则不可能成等比数列，故选项D错误. 故选：BC. 8．（2025·全国·模拟预测）已知数列的首项，且满足，则（   ） A．为等差数列 B． C．数列为递增数列 D．数列的前项和为 【答案】BCD 【分析】对取倒数，采用构造法证明为等比数列，判断A；利用是首项为，公比为的等比数列，求判断B；对化简为，证明为递增数列判断C；，采用分组求和和错位相减法求和判断D. 【详解】由得，则，即为等比数列，故A错误； 由得，所以是首项为，公比为的等比数列， 则，整理得，故B正确； 由得，则数列为递增数列，故C正确； 由得， 数列为首项为1，公差为2的等差数列，则数列的前项和为， 设数列的前项和①， 则②， ①-②得，， 即 所以，所以前项和为，故D正确， 故选：BCD． 三、解答题 9．（2025·河北衡水·模拟预测）已知数列的前项和为. (1)证明：是常数列； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用的关系作差变形，并验证首项证明即可； （2）利用第一问的结论，先计算，由等差数列的求和公式计算，再根据裂项求和法计算即可. 【详解】（1）已知数列的前项和为. 当时，. 当时，，∴. 当时，， ∴， 即， ∴， 当时也符合上式，∴数列是常数列. （2）由（1）知，∴，∴， ， ∴. 10．（2025·河北邯郸·一模）已知等比数列的前项和为，若成等差数列. (1)求等比数列的公比； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由和并结合题意即可求解； （2）由（1）可求得，从而可得，再利用错位相减法即可求解. 【详解】（1）由题意若成等差数列， 则得，即， 则得，所以， 故. （2）由（1）可知，又，所以， 则， 所以， （1）， （2）， 由（1）-（2）可得 ， 解得. 所以数列的前项和. 一、单选题 1．（2025·江苏苏州·三模）已知数列满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定的递推公式，变形计算判断AB；裂项，结合累加法求通推理判断CD. 【详解】对于A，由，得，，则，A错误； 对于B，由，得，当时，，B错误； 对于CD，由，得，则， 即，则当时，， ，因此，，， ，而，C正确，D错误. 故选：C 2．（2025·河北唐山·模拟预测）数列的前项和为，的前项和为，则数列（    ） A．有最大项也有最小项 B．无最大项也无最小项 C．有最小项但无最大项 D．有最大项但无最小项 【答案】A 【分析】根据数列和数列的前项和，分别求出数列和数列的通项公式，进而可以得到数列的通项公式，通过判断其单调性，可得是否存在最大值和最小值. 【详解】设数列的前项和为，的前项和为，则，， 当时，， 当时，， 经验证，时成立，所以， 同理可求得，适合； 所以， 令， 又，，，， ， 当时，，，所以，且时，， 则， 所以当时，，数列单调递增，得； 当时，，数列单调递减，得； 当时，，数列单调递增，得； 由此可知最大，最小， 综上所述，数列存在最大项，也存在最小项. 故选：A 3．（25-26高三上·浙江·开学考试）已知等差数列的前项和满足：，则数列的最小项是第（    ）项. A．2026 B．2027 C．4048 D．4049 【答案】A 【分析】由题设可得，，，等差数列为递增数列，进而得到，，进而结合单调性分析求解即可. 【详解】由， 则，，， 因此等差数列为递增数列， 而， ， 则时，，，即； 当时，，要使最小，则， 此时，数列为递增数列， 则随着的增大，增大，减小，增大，但，，则增大， 因此，当时，最小. 故选：A. 二、多选题 4．（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知数列满足，则下列说法正确的是（    ） A．，使得为常数列 B．若，则 C．若，使得时， D．若，则为递增数列 【答案】ABD 【分析】对于A，令，可判断选项正误；对于BCD，由题可得，令，可得当时，通项公式，据此可判断选项正误. 【详解】对于A，令，解得或，故A正确； 由，得，令，则. 若，则，此时；若，则当时，. 所以当时，有，所以， 即当时，. 对于B，若，则，当时，. 因函数在R上单调递减，又，则. 故当时，，故B正确； 对于C，若，则，当时，. 因函数在R上单调递增，又，则当当时，，故C错误； 对于D，若，则，且， 所以.又当时，. 则当时，. 因函数在R上单调递增，又，则当时，单调递增， 则也单调递增，所以当时，单调递增，故D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点睛：对于数列单调性相关问题，常见思路为求出通项公式，研究与通项公式相关函数单调性来研究数列单调性；也可利用作差法或作商法，比较数列中相邻几项的大小关系，从而判断单调性. 5．（2025·河南许昌·模拟预测）已知数列满足，，则下列说法正确的是（   ） A．为中的最小项 B．对任意的，，都有 C．存在，使得，，成等差数列 D．对任意的，，都有 【答案】ABD 【分析】对于选项A，B，将递推数列构造成一个函数，然后对函数求导并判断单调性，从而可验证A,B的正确性；对于选项C，构造新函数，对新函数求导，判断函数的单调性，进而可判断的大小；对于选项D，基于C中构造的新函数的单调性，即可判断不等式的成立. 【详解】令，所以， 当，；当，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，又， 所以，，…，， 所以是中最小的项. 且对任意的，，都有，故A，B正确； 令，， 所以，所以在上单调递减，所以， 所以即；即，…，即， 综上所述，是中最大的项，所以不可能使得，，成等差数列，故C错误； 因为当，，，所以， 所以，即， 所以对任意的，，都有，故D正确. 故选：ABD. 6．（2025·广西南宁·模拟预测）已知数列满足，则下列说法正确的是（    ） A．当时， B．若数列为常数列，则或 C．若数列为递增数列，则 D．当时， 【答案】ABD 【分析】令可得，据此判断A，令，由递推关系求出即可判断B，根据B及条件数列为递增数列，分类讨论求出或时判断C，通过对取对数，构造等比数列求解即可判断D. 【详解】对于A，当时，， 令，则，，故， 即，故A正确； 对于B，若数列为常数列，令，则，解得或， 或，故B正确； 对于C，令，则， 若数列为递增数列，则数列为递增数列， 则，解得或， 当时，，且， ，此时数列为递增数列，即数列为递增数列； 当时，，且， ，此时数列不为递增数列，即数列不为递增数列； 当时，， ，此时数列为递增数列，即数列为递增数列. 综上所述，当或，即或时，数列为递增数列，故C错误； 对于D，令，则，， 则，， 数列是首项为1，公比为2的等比数列， ，即，故D正确. 故选：ABD. 三、解答题 7．（2025·河南新乡·模拟预测）已知数列各项均为正数，且满足，，， (1)求数列的通项公式； (2)记，数列的前项和为，试证明：， 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）变形给定的递推公式，再取对数构造等比数列并求出通项公式. （2）由（1）求出，再利用分组求和法求出，构造函数，利用函数的单调性推理得证. 【详解】（1）正项数列中，，，由，得， 则，即，，于是， 令，则有，因此，即， ，则是以2为公比，以为首项的等比数列， 于是，即，解得， 所以数列的通项公式是. （2）由（1）知，，显然是等比数列， 即， 令函数，求导得， 当时，，则， ，函数在区间上单调递减，， 所以 8．（2025·山西朔州·模拟预测）已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)若正整数成等差数列，且，试判断能否构成等比数列，并说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)不能构成等比数列，理由见解析. 【分析】（1）当时，求得；当时，利用，得到，结合等比数列的定义和通项公式，即可求解； （2）由（1）知，得到，结合等差数列的求和公式，以及乘公比错位相减法求和，即可得到答案. （3）假设成等差数列，则，由构成等比数列，得到，化简得到，再由，得到，两边同除，求得，结合为奇数，为偶数，得出等式不成立，即可得到结论. 【详解】（1）由数列的前项和为，且， 当时，可得，解得； 当时，可得， 整理得，即，所以， 所以数列是首项，公比为的等比数列，则， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）知，可得， 设， 则 两式相减，可得 ， 所以， 又由，所以. （3）由题意，正整数成等差数列，则， 若构成等比数列，则满足， 因为，可得， 整理得，即， 又因为，可得，所以，即 两边同除，可得， 因为，且，所以， 所以与均为偶数，则为奇数，为偶数， 所以等式不成立，所以不能构成等比数列. 9．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知正项数列的前项和为，． (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足．求数列的前项和为； (3)设数列的前项和为，，且，若时，，求数列首项的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）令可求得的值，令，由可得，两式作差推导出数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得数列的通项公式； （2）求得，利用裂项相消法可求得； （3）根据已知条件求出，，，分、，求出的表达式，根据可得出关于的不等式组，由此可求得的取值范围. 【详解】（1）由已知条件可知，对任意的，. 当时，，解得； 当时，由可得， 上述两式作差得，即， 即， 由已知条件可知，所以， 所以，数列是等差数列，且首项为，公差也为，因此，. （2）由（1）可得， 所以，. （3）因为，所以①， ②，③， ②①可得，②③可得， 又， 当时，， 当时，， 又因为，当时，， 当时，， 当时，， 对任意的，则恒成立，故. 10．（2025·天津·一模）已知等差数列满足，记数列的前n项和为． (1)求数列的通项公式； (2)在数列的每相邻两项间插入这两项的和，而形成新的数列，这样的过程叫做该数列的一阶“H拓展”．例如，对于数列，一阶“H拓展”得到数列；二阶“H拓展”得到数列；……设n阶“H拓展”得到数列，设，则，． （i）求数列的通项公式； （ii）设数列满足求数列的前项和． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）设数列的公差为，根据列方程组可求数列的通项公式 （2）（i）根据，可得，构造等比数列可求数列的通项公式； （ii）当为奇数时，利用错位相减法求和；当为偶数时，利用裂项相消法求和，然后再将奇数项和与偶数项和相加即可得到数列的前项和. 【详解】（1）设数列的公差为， 因为， 则解得 故. （2）(ⅰ)， ， 所以， 即. 又， 则是首项为12，公比为的等比数列. . (ⅱ)当为奇数时，， 记， 则， ， 两式相减，得 ， 化简，得， 得； 为偶数时， 记， 则 . 故 . 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $