专题04 不等式及基本不等式讲义-【备战2026年高考数学命题背景探究】（全国通用）（会一题通一类系列）

专题04 不等式及基本不等式 备战2026年高考数学命题背景探究（全国通用） 目录 真题命题背景19 以一元二次不等式为命题背景 1 真题命题背景20 以分式不等式为命题背景 2 真题命题背景21 以根式不等式为命题背景 3 真题命题背景22 以三次不等式为命题背景 3 真题命题背景23 以单绝对值不等式为命题背景 3 真题命题背景24 以基本不等式为命题背景 4 基础过关练 7 提升巩固练 11 培优压轴练 16 真题命题背景19 以一元二次不等式为命题背景 判别式 二次函数的图象 一元二次方程的根 有两个相异实根，（） 有两个相等实根 没有实根 一元二次不等式的解集 或 R 一元二次不等式的解集 真题练1．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根据交集的运算解出． 方法二：将集合中的元素逐个代入不等式验证，即可解出． 【详解】方法一：因为，而， 所以． 故选：C． 方法二：因为，将代入不等式，只有使不等式成立，所以． 故选：C． 真题命题背景20 以分式不等式为命题背景 ① ② ③ ④ 真题练1．（2025·全国二卷·高考真题）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】移项后转化为求一元二次不等式的解即可. 【详解】即为即，故， 故解集为. 故选：C. 真题命题背景21 以根式不等式为命题背景 真题练1．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）若集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出集合后可求. 【详解】，故， 故选：D 真题命题背景22 以三次不等式为命题背景 真题练1．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化简集合，由交集的概念即可得解. 【详解】因为，且注意到， 从而. 故选：A. 真题命题背景23 以单绝对值不等式为命题背景 真题练1．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】方法一：求出集合后可求. 【详解】[方法一]：直接法 因为，故，故选：B. [方法二]：【最优解】代入排除法 代入集合，可得，不满足，排除A、D； 代入集合，可得，不满足，排除C. 故选：B. 真题命题背景24 以基本不等式为命题背景 1. ，，（积定和最小） 2. ，，（和定积最大） 3. ，， 4. 推广公式： 真题练1．（2021·全国乙卷·高考真题）下列函数中最小值为4的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的性质可判断选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出不符合题意，符合题意． 【详解】对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意； 对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意； 对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意； 对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性质即可解出． 真题练2．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（    ） A．13 B．12 C．9 D．6 【答案】C 【分析】本题通过利用椭圆定义得到，借助基本不等式即可得到答案． 【详解】由题，，则， 所以（当且仅当时，等号成立）． 故选：C． 【点睛】 真题练3．（2022·全国甲卷·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知，再利用基本不等式，换底公式可得，，然后由指数函数的单调性即可解出． 【详解】［方法一］：（指对数函数性质） 由可得，而，所以，即，所以. 又，所以，即， 所以.综上，. ［方法二］：【最优解】（构造函数） 由，可得． 根据的形式构造函数 ，则， 令，解得 ，由 知 . 在 上单调递增，所以 ，即 ， 又因为 ，所以 . 故选：A. 【点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法； 法二：利用的形式构造函数，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解． 真题练4．（2020·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）（多选）已知a>0，b>0，且a+b=1，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据，结合基本不等式及二次函数知识进行求解. 【详解】对于A，， 当且仅当时，等号成立，故A正确； 对于B，，所以，故B正确； 对于C，， 当且仅当时，等号成立，故C不正确； 对于D，因为， 所以，当且仅当时，等号成立，故D正确； 故选：ABD 【点睛】本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学运算的核心素养. 真题练5．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）（多选）若x，y满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假． 【详解】因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确； 由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确； 因为变形可得，设，所以，因此 ，所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误． 故选：BC． 一、单选题 1．（2025·广东广州·模拟预测）已知集合，，则的元素个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】化简集合，根据集合交集运算求解，可判断的元素个数. 【详解】因为集合， 集合， 所以， 所以的元素个数为5. 故选：C 2．（2025·广西·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先解得集合A，再由集合的交集的定义可得. 【详解】由，解得或， 所以或， 因为，所以.如图：    故选：B. 3．（2025·宁夏吴忠·二模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先解不等式求出集合，再根据集合的交集运算即可求解. 【详解】由题意知，解得，所以. 故选：B 4．（2025·湖南长沙·三模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先解不等式得出集合，再根据交集定义计算求解. 【详解】集合，， 则. 故选：D. 5．（2025·湖南永州·模拟预测）已知集合，，则（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】B 【详解】根据分式不等式和一元二次不等式得解法解出集合、，再按照集合的并集运算即可． 【分析】在集合中，因为，所以， 则，解得，所以， 因为，故. 故选：B． 6．（2025·全国·模拟预测）设集合{是小于10的自然数}，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解不等式可化简B，C，然后由交集，并集定义可得答案. 【详解】,则； ，则. 则，则. 故选：C 7．（2025·四川广元·模拟预测）对于任意，都有意义，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用一元二次不等式的解法，分类讨论计算即可. 【详解】易知恒成立， 显然当时，符合题意； 当时，要满足题意需，即， 综上. 故选：C 8．（2025·安徽合肥·三模）已知正数、满足，则的最小值为（   ） A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】D 【分析】利用基本不等式的乘“1”法即可得解. 【详解】由题意得， 当且仅当时，即时，取得最小值9． 故选：D. 9．（2025·黑龙江佳木斯·三模）已知正数，满足，则的最小值是（   ） A． B．9 C． D．13 【答案】C 【分析】由可得，再根据基本不等式“1”的妙用求解即可. 【详解】由，则，即，则， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是. 故选：C. 10．（2025·山东临沂·二模）已知为正项等差数列，若，则的最大值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】由题意求得，，进一步将所求转换为关于的二次式子即可求解. 【详解】，解得， 由于为正项等差数列，则，解得， ，等号成立当且仅当， 所以的最大值为8. 故选：C. 一、单选题 1．（2025·陕西安康·模拟预测）已知集合，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先解一元二次不等式求解集合，再根据集合间的关系得出参数范围即可. 【详解】因为， ，所以，所以. 故选：C. 2．（2025·云南玉溪·模拟预测）已知全集，集合，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化简集合，再利用集合的包含关系列式求解. 【详解】依题意，，，或， 由，得，解得， 所以a的取值范围是. 故选：B 3．（2025·广东梅州·模拟预测）已知，且，则的最小值是（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】将已知等式变形为，然后使用常数代换法，结合基本不等式可得. 【详解】由得，即， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为8. 故选：D 4．（2025·山西·三模）已知正实数，满足，则的最小值为（     ） A． B． C．4 D．7 【答案】D 【分析】对于，利用以值代参，求解基本不等式. 【详解】 ， 当且仅当,即取等号． 故选：D． 5．（2025·全国·模拟预测）已知x，y为正数，则的最小值为（   ） A．4 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值. 【详解】由x，y均为正数，则， 当且仅当，即时取等号， 故的最小值为. 故选：D. 6．（2025·湖北黄冈·一模）已知为正实数，且，则的最小值为（　　） A．12 B．16 C．18 D．20 【答案】B 【分析】由题可得，然后由基本不等式可得答案. 【详解】. 当且仅当，即时取等号. 故选：B 7．（2025·陕西汉中·模拟预测）已知函数，，，若，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】C 【分析】由结合对数的运算性质可得，利用基本不等式1的代换即可求得最小值. 【详解】由题意可知：的定义域为， 令，解得；令，解得； 则当时，，故，所以； 当时，，故，所以， 所以； 故， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 8．（2025·河南许昌·模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理化边为角，通过三角公式推出，再将转化，借助基本不等式求最小值. 【详解】因为，由正弦定理得， 所以.又因为， 所以， 所以，即.所以， ， 显然必为正，否则和都为负，就两个钝角， 所以， 当且仅当，即，取等号， 所以的最小值是， 故选：C. 二、多选题 9．（2025·湖北恩施·模拟预测）若正实数满足，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】利用基本不等式进行求解. 【详解】因为正实数满足， 对A选项：，当且仅当时等号成立，故A正确；   对B选项：，，当时等号成立，故B错误； 对C选项：由，则，当且仅当时等号成立，故C正确； 对D选项：，当且仅当时，等号成立，故D正确. 故选：ACD. 10．（2025·福建漳州·模拟预测）已知正实数，满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】对于A，直接利用基本不等式即可判断；对于B，消元法可求出的范围，即可判断；对于C，利用常值代换法，利用基本不等式即可求解；对于D，消元后利用基本不等式求得的范围即可判断. 【详解】对于A，因，则，即得，当且仅当时，等号成立，故A正确； 对于B ，因，由可得，故在时取得最小值，，故B错误； 对于C，由，当且仅当时，等号成立，故C正确； 对于D，因，由，当且仅当时等号成立，由上分析，故有，即D正确. 故选：ACD. 一、单选题 1．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）已知，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】对进行变形，结合，运用基本不等式计算即可. 【详解】, 由于， 当且仅当，即取等号. 则. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题关键是对进行变形，然后结合进行配凑放缩，即可求出最值. 2．（2025·陕西咸阳·模拟预测）记表示实数a，b中的较大的数，已知x，y，z均为正数，则的最小值为（   ） A． B．3 C． D．6 【答案】C 【分析】本题分两种情况讨论，当和时的两种情况，然后根据基本不等式的性质求出最小值. 【详解】设， 当时，， 因为均为正数，所以 ， 当且仅当，，时，等式成立； 当时，， 当且仅当，，时，等式成立. 综上可知，t的最小值为. 故选：C. 二、多选题 3．（23-24高三上·山东青岛·期末）若实数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】对于A项，只需将通过基本不等式放大为，解不等式即得；对于B项，只需将通过基本不等式缩小为，解不等式即得；对于C项，可以通过原等式消去一元代入所求式，再凑项运用基本不等式即得；对于D项，应注意到与的关系，即可整体运用基本不等式求得. 【详解】对于选项A，由，当且仅当时等号成立，不妨设，则得， 解得：或，因，则，故A项错误； 对于选项B，由，当且仅当时等号成立，不妨设，则， 解得：或，因，则，即，故B项正确； 对于选项C，由可得：，则，且， 则，当且仅当时取等号， 即时，有最小值，故C项正确； 对于选项D，由可得：，即，且， 则，当且仅当时等号成立， 由解得：，即当且仅当时，有最小值，故D项正确. 故选：BCD. 4．（2025·湖南郴州·三模）设正实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】对于A：设，整理可得得，结合运算求解；对于BD：利用基本不等式分析判断；对于C：先证，即可得结果. 【详解】对于选项A：因为正实数满足， 设，则， 因为， 即，整理可得得， 将其看为关于的一元二次方程，则，解得， 即，故A正确； 对于选项D：因为，且，， 则，当且仅当时，等号成立， 所以，故D正确； 对于选项B：因为，则， 当且仅当时，等号成立， 则，得，当且仅当时，等号成立，故B错误； 对于选项C：因为 ， 因为，则，， 可得，当且仅当时，等号成立， 即，可得， 即，当且仅当时，等号成立 所以，故C正确； 故选：ACD. 5．（2025·江苏淮安·模拟预测）若满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用基本不等式计算可得A正确，将表达式参数化利用三角函数值域计算可得B正确，将表达式化简计算可得，解不等式可得，即可得C错误，D正确. 【详解】对于A，由可得， 因此，可得， 当且仅当时，等号成立，即A正确； 对于B，将表达式化简可得， 将方程参数化可知，； 所以，其中； 又，所以，可得B正确； 对于C，由可得， 即， 因此，解得， 当且仅当时，等号成立，即C错误，D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：在求解的取值范围时关键在于利用表达式特征，将等式参数化并利用辅助角公式计算即可得出结论. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 不等式及基本不等式 备战2026年高考数学命题背景探究（全国通用） 目录 真题命题背景19 以一元二次不等式为命题背景 1 真题命题背景20 以分式不等式为命题背景 2 真题命题背景21 以根式不等式为命题背景 2 真题命题背景22 以三次不等式为命题背景 2 真题命题背景23 以单绝对值不等式为命题背景 3 真题命题背景24 以基本不等式为命题背景 3 基础过关练 4 提升巩固练 5 培优压轴练 6 真题命题背景19 以一元二次不等式为命题背景 判别式 二次函数的图象 一元二次方程的根 有两个相异实根，（） 有两个相等实根 没有实根 一元二次不等式的解集 或 R 一元二次不等式的解集 真题练1．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 真题命题背景20 以分式不等式为命题背景 ① ② ③ ④ 真题练1．（2025·全国二卷·高考真题）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 真题命题背景21 以根式不等式为命题背景 真题练1．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）若集合，则（    ） A． B． C． D． 真题命题背景22 以三次不等式为命题背景 真题练1．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 真题命题背景23 以单绝对值不等式为命题背景 真题练1．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 真题命题背景24 以基本不等式为命题背景 1. ，，（积定和最小） 2. ，，（和定积最大） 3. ，， 4. 推广公式： 真题练1．（2021·全国乙卷·高考真题）下列函数中最小值为4的是（    ） A． B． C． D． 真题练2．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（    ） A．13 B．12 C．9 D．6 真题练3．（2022·全国甲卷·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 真题练4．（2020·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）（多选）已知a>0，b>0，且a+b=1，则（    ） A． B． C． D． 真题练5．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）（多选）若x，y满足，则（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（2025·广东广州·模拟预测）已知集合，，则的元素个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（2025·广西·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025·宁夏吴忠·二模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 4．（2025·湖南长沙·三模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 5．（2025·湖南永州·模拟预测）已知集合，，则（    ） A．或 B． C． D．或 6．（2025·全国·模拟预测）设集合{是小于10的自然数}，，，则（    ） A． B． C． D． 7．（2025·四川广元·模拟预测）对于任意，都有意义，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（2025·安徽合肥·三模）已知正数、满足，则的最小值为（   ） A．4 B．6 C．8 D．9 9．（2025·黑龙江佳木斯·三模）已知正数，满足，则的最小值是（   ） A． B．9 C． D．13 10．（2025·山东临沂·二模）已知为正项等差数列，若，则的最大值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 一、单选题 1．（2025·陕西安康·模拟预测）已知集合，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·云南玉溪·模拟预测）已知全集，集合，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·广东梅州·模拟预测）已知，且，则的最小值是（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 4．（2025·山西·三模）已知正实数，满足，则的最小值为（     ） A． B． C．4 D．7 5．（2025·全国·模拟预测）已知x，y为正数，则的最小值为（   ） A．4 B． C．3 D． 6．（2025·湖北黄冈·一模）已知为正实数，且，则的最小值为（　　） A．12 B．16 C．18 D．20 7．（2025·陕西汉中·模拟预测）已知函数，，，若，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 8．（2025·河南许昌·模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2025·湖北恩施·模拟预测）若正实数满足，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 10．（2025·福建漳州·模拟预测）已知正实数，满足，则（   ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）已知，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 2．（2025·陕西咸阳·模拟预测）记表示实数a，b中的较大的数，已知x，y，z均为正数，则的最小值为（   ） A． B．3 C． D．6 二、多选题 3．（23-24高三上·山东青岛·期末）若实数，且，则（    ） A． B． C． D． 4．（2025·湖南郴州·三模）设正实数满足，则（    ） A． B． C． D． 5．（2025·江苏淮安·模拟预测）若满足，则（    ） A． B． C． D． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $