专题02 复数讲义-【备战2026年高考数学命题背景探究】（全国通用）（会一题通一类系列）

专题02 复数 备战2026年高考数学命题背景探究（全国通用） 目录 真题命题背景05 以共轭复数为命题背景 1 真题命题背景06 以复数四则运算为命题背景 2 真题命题背景07 以复数的实部与虚部为命题背景 2 真题命题背景08 以复数相等为命题背景 3 真题命题背景09 以复数的模长为命题背景 3 真题命题背景10 以复数的几何意义为命题背景 4 基础过关练 4 提升巩固练 5 培优压轴练 7 真题命题背景05 以共轭复数为命题背景 共轭复数 若两个复数的实部相等，而虚部是互为相反数时，这两个复数叫互为共轭复数；， 推广： 结论： 真题练1．（2023·全国乙卷·高考真题）设，则（    ） A． B． C． D． 真题练2．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知，则（    ） A． B． C．0 D．1 真题练3．（2022·全国甲卷·高考真题）若，则（    ） A． B． C． D． 真题命题背景06 以复数四则运算为命题背景 复数的四则运算 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 (1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； (2)减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； (3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； (4)除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)． 真题练1．（2023·全国甲卷·高考真题）（    ） A． B．1 C． D． 真题练2．（2025·全国二卷·高考真题）已知，则（   ） A． B． C． D．1 真题练3．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）若，则（    ） A． B． C． D． 真题命题背景07 以复数的实部与虚部为命题背景 复数的代数形式 Z=，叫实部，叫虚部 真题练1．（2025·全国一卷·高考真题）的虚部为（   ） A． B．0 C．1 D．6 真题练2．（2020·全国III卷·高考真题）复数的虚部是（    ） A． B． C． D． 真题命题背景08 以复数相等为命题背景 复数相等 若 真题练1．（2022·全国乙卷·高考真题）设，其中为实数，则（    ） A． B． C． D． 真题练2．（2021·全国乙卷·高考真题）设，则（    ） A． B． C． D． 真题练3．（2023·全国甲卷·高考真题）设，则（    ） A．-1 B．0    C．1 D．2 真题练4．（2022·全国乙卷·高考真题）已知，且，其中a，b为实数，则（    ） A． B． C． D． 真题命题背景09 以复数的模长为命题背景 复数的模 ， 则 ； 真题练1．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 真题练2．（2023·全国乙卷·高考真题）（    ） A．1 B．2 C． D．5 真题练3．（2022·全国甲卷·高考真题）若．则（    ） A． B． C． D． 真题练4．（2020·全国II卷·高考真题）设复数，满足，，则= . 真题命题背景10 以复数的几何意义为命题背景 复数的几何意义 复数复平面内的点 真题练1．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）在复平面内，对应的点位于（    ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 真题练2．（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）复数在复平面内对应的点所在的象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 一、单选题 1．（2025·四川巴中·模拟预测）已知复数，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·福建泉州·模拟预测）若，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（2025·广东广州·模拟预测）已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 4．（2025·黑龙江大庆·一模）已知复数（为虚数单位），则（    ） A．5 B．3 C． D． 5．（2025·河北·模拟预测）已知复数 为纯虚数，则实数（    ） A． B．1 C．3 D．或1 6．（2025·河北邯郸·一模）已知复数（为虚数单位），则（    ） A．1 B． C． D． 7．（2025·广西·模拟预测）已知复数满足（为虚数单位），则复数的虚部为（    ） A． B．1 C． D． 8．（2025·陕西西安·模拟预测）若复数在复平面内对应的点在直线上，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2025·河南·模拟预测）已知复数，为虚数单位，为的共轭复数，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．是实数 D．在复平面上对应的点在第二象限 10．（2025·四川巴中·模拟预测）已知（为虚数单位），表示的共轭复数，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（2025·广东东莞·模拟预测）已知复数满足，则复数在复平面对应的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）若复数为纯虚数，i为虚数单位，则的虚部为（    ） A．1 B． C． D． 3．（2025·云南·模拟预测）在复平面内，复数与复数对应的点关于实轴对称，则（   ） A．1 B． C． D．2 4．（2025·广西南宁·模拟预测）已知i为虚数单位，复数，复数z的共轭复数为，则的虚部为（   ） A． B．3 C． D． 5．（2025·河南·模拟预测）在复平面内，复数z对应的点与对应的点关于实轴对称，则（   ） A． B． C． D． 6．（2025·甘肃金昌·三模）已知a为非零实数，复数，其中为虚数单位，则（    ）. A．的虚部为 B．的最小值为 C．的实部为 D．当时，为纯虚数 7．（2025·河南新乡·模拟预测）已知，是虚数单位，方程有解，则正实数（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 8．（2025·湖北黄冈·一模）已知，且，为虚数单位，则的最大值是（　　） A． B． C．2 D． 二、多选题 9．（2025·江苏南通·模拟预测）设为复数，则（    ） A． B． C． D． 10．（2025·全国·模拟预测）设为复数，则（   ） A． B． C．若，则的值只能取 D．若为实系数一元二次方程的两虚根，则 一、多选题 1．（2025·重庆·模拟预测）关于非零复数，及其共轭复数，，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·辽宁·开学考试）设复数，且,其中为确定的复数，下列说法正确的是（    ）. A．若，则是实数 B．若，则存在唯一实数对使得 C．若 ，则 在复平面内对应的点的轨迹是射线 D．若，则 3．（2024·湖北襄阳·二模）已知复数满足，（为虚数单位），是方程在复数范围内的两根，则下列结论正确的是（   ） A．的最小值为 B．的最小值为4 C．当时，则 D．当时，则 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 复数 备战2026年高考数学命题背景探究（全国通用） 目录 真题命题背景05 以共轭复数为命题背景 1 真题命题背景06 以复数四则运算为命题背景 2 真题命题背景07 以复数的实部与虚部为命题背景 3 真题命题背景08 以复数相等为命题背景 4 真题命题背景09 以复数的模长为命题背景 5 真题命题背景10 以复数的几何意义为命题背景 7 基础过关练 8 提升巩固练 11 培优压轴练 16 真题命题背景05 以共轭复数为命题背景 共轭复数 若两个复数的实部相等，而虚部是互为相反数时，这两个复数叫互为共轭复数；， 推广： 结论： 真题练1．（2023·全国乙卷·高考真题）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意首先计算复数的值，然后利用共轭复数的定义确定其共轭复数即可. 【详解】由题意可得， 则. 故选：B. 真题练2．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知，则（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】根据复数的除法运算求出，再由共轭复数的概念得到，从而解出． 【详解】因为，所以，即． 故选：A． 真题练3．（2022·全国甲卷·高考真题）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由共轭复数的概念及复数的运算即可得解. 【详解】 故选 ：C 真题命题背景06 以复数四则运算为命题背景 复数的四则运算 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 (1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； (2)减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； (3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； (4)除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)． 真题练1．（2023·全国甲卷·高考真题）（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】利用复数的四则运算求解即可. 【详解】 故选：C. 真题练2．（2025·全国二卷·高考真题）已知，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】由复数除法即可求解. 【详解】因为，所以. 故选：A. 真题练3．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由复数四则运算法则直接运算即可求解. 【详解】因为，所以. 故选：C. 真题命题背景07 以复数的实部与虚部为命题背景 复数的代数形式 Z=，叫实部，叫虚部 真题练1．（2025·全国一卷·高考真题）的虚部为（   ） A． B．0 C．1 D．6 【答案】C 【分析】根据复数代数形式的运算法则以及虚部的定义即可求出. 【详解】因为，所以其虚部为1， 故选：C. 真题练2．（2020·全国III卷·高考真题）复数的虚部是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用复数的除法运算求出z即可. 【详解】因为， 所以复数的虚部为. 故选：D. 真题命题背景08 以复数相等为命题背景 复数相等 若 真题练1．（2022·全国乙卷·高考真题）设，其中为实数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数代数形式的运算法则以及复数相等的概念即可解出． 【详解】因为R，，所以，解得：． 故选：A. 真题练2．（2021·全国乙卷·高考真题）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于、的等式，解出这两个未知数的值，即可得出复数. 【详解】设，则，则， 所以，，解得，因此，. 故选：C. 真题练3．（2023·全国甲卷·高考真题）设，则（    ） A．-1 B．0    C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据复数的代数运算以及复数相等即可解出． 【详解】因为， 所以，解得：． 故选：C. 真题练4．（2022·全国乙卷·高考真题）已知，且，其中a，b为实数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先算出,再代入计算,实部与虚部都为零解方程组即可 【详解】 由,结合复数相等的充要条件为实部、虚部对应相等， 得,即 故选: 真题命题背景09 以复数的模长为命题背景 复数的模 ， 则 ； 真题练1．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】由复数模的计算公式直接计算即可. 【详解】若，则. 故选：C. 真题练2．（2023·全国乙卷·高考真题）（    ） A．1 B．2 C． D．5 【答案】C 【分析】由题意首先化简，然后计算其模即可. 【详解】由题意可得， 则. 故选：C. 真题练3．（2022·全国甲卷·高考真题）若．则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数代数形式的运算法则，共轭复数的概念以及复数模的计算公式即可求出． 【详解】因为，所以，所以． 故选：D. 真题练4．（2020·全国II卷·高考真题）设复数，满足，，则= . 【答案】 【分析】方法一：令，，根据复数的相等可求得，代入复数模长的公式中即可得到结果. 方法二：设复数所对应的点为,, 根据复数的几何意义及复数的模，判定平行四边形为菱形，，进而根据复数的减法的几何意义用几何方法计算. 【详解】方法一：设，， ， ，又，所以，， . 故答案为：. 方法二：如图所示，设复数所对应的点为,, 由已知, ∴平行四边形为菱形，且都是正三角形，∴， ∴. 真题命题背景10 以复数的几何意义为命题背景 复数的几何意义 复数复平面内的点 真题练1．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）在复平面内，对应的点位于（    ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】根据复数的乘法结合复数的几何意义分析判断. 【详解】因为， 则所求复数对应的点为，位于第一象限. 故选：A. 真题练2．（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）复数在复平面内对应的点所在的象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】利用复数的除法可化简，从而可求对应的点的位置. 【详解】，所以该复数对应的点为， 该点在第一象限， 故选：A. 一、单选题 1．（2025·四川巴中·模拟预测）已知复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据共轭复数及复数模的性质求. 【详解】由. 故选：D 2．（2025·福建泉州·模拟预测）若，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】利用复数的除法法则将复数化简，再利用复数的几何意义进行判断即可. 【详解】，， 在复平面内对应的点为，位于第四象限. 故选：D. 3．（2025·广东广州·模拟预测）已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复数的四则运算计算求解即可. 【详解】由，得， 所以， 故选：A 4．（2025·黑龙江大庆·一模）已知复数（为虚数单位），则（    ） A．5 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】根据复数的运算法则进行化简，再通过模公式求出模即可. 【详解】由题意，， 所以. 故选：D. 5．（2025·河北·模拟预测）已知复数 为纯虚数，则实数（    ） A． B．1 C．3 D．或1 【答案】B 【分析】利用纯虚数的概念可得所满足的条件，计算求解即可. 【详解】因为复数是纯虚数， 所以，解得. 故选：B. 6．（2025·河北邯郸·一模）已知复数（为虚数单位），则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数乘法规则依次计算即可得解. 【详解】由题可得， 所以. 故选：A 7．（2025·广西·模拟预测）已知复数满足（为虚数单位），则复数的虚部为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的运算法则，化简复数为，结合复数的概念，即可求解. 【详解】由复数的运算法则，可得， 所以复数的虚部为. 故选：B. 8．（2025·陕西西安·模拟预测）若复数在复平面内对应的点在直线上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用复数的几何意义得出对应点坐标，代入直线方程可得，进而得出复数，最后利用复数乘法运算即可. 【详解】因为， 所以复数在复平面内对应的点为 又点在直线上， 所以，解得， 所以复数， ， 故选：D. 二、多选题 9．（2025·河南·模拟预测）已知复数，为虚数单位，为的共轭复数，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．是实数 D．在复平面上对应的点在第二象限 【答案】ABC 【分析】根据复数的除法运算公式，求出复数，根据共轭复数，复数的乘方，和复数与复平面内点的对应关系，分别判断各选项正误. 【详解】，所以，故A正确； ，故B正确； ，故C正确； 在复平面上对应的点在第四象限，故D错误. 故选：ABC. 10．（2025·四川巴中·模拟预测）已知（为虚数单位），表示的共轭复数，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用共轭复数的概念与复数的乘法与乘方运算法则运算可判断ABD，利用复数的模的计算公式计算可判断C. 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，， ，故，故C错误； 对于D， ，故D正确. 故选：ABD. 一、单选题 1．（2025·广东东莞·模拟预测）已知复数满足，则复数在复平面对应的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】先利用复数除法和共轭复数的概念求出，再根据复数对应复平面内点的坐标判断象限即可. 【详解】由题意可得， 所以在复平面对应点，在第一象限， 故选：A 2．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）若复数为纯虚数，i为虚数单位，则的虚部为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】利用除法运算求出，根据复数的类型求出参数的值后可求. 【详解】由题意得，是纯虚数， 所以，，所以，所以，所以，则的虚部为1. 故选：A. 3．（2025·云南·模拟预测）在复平面内，复数与复数对应的点关于实轴对称，则（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】首先根据复平面内关于实轴对称的点的坐标特征求出复数，然后再根据复数模的计算公式求出. 【详解】，其在复平面内对应的点为. 因为复数与复数对应的点关于实轴对称，在平面直角坐标系中，关于实轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数.所以对应的点为，那么复数. 由，其中，，将其代入模的计算公式可得： . 故选：B. 4．（2025·广西南宁·模拟预测）已知i为虚数单位，复数，复数z的共轭复数为，则的虚部为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】方法一、设代入化简，即可求得复数z； 方法二、利用为实数可得，即可得出的虚部. 【详解】方法一、设，， 所以， ，，所以的虚部为， 故选：A． 方法二、，得，则有， 所以的虚部为， 故选：A． 5．（2025·河南·模拟预测）在复平面内，复数z对应的点与对应的点关于实轴对称，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先化简复数，再利用复数的几何意义求解. 【详解】， 所以． 故选：B 6．（2025·甘肃金昌·三模）已知a为非零实数，复数，其中为虚数单位，则（    ）. A．的虚部为 B．的最小值为 C．的实部为 D．当时，为纯虚数 【答案】B 【分析】根据复数的乘法及复数的概念判断ACD，根据复数的模及基本不等式判断B. 【详解】由题意，，实部为，虚部为，故A，C错误； |z1|=≥=(当且仅当，即时取等号)，故B正确； 当时，，为实数，故D错误. 故选：B 7．（2025·河南新乡·模拟预测）已知，是虚数单位，方程有解，则正实数（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【分析】根据复数相等列式计算求解，再代入计算求解判断. 【详解】由复数相等的充要条件得， 解得或， 当时，解得， 当时，解得舍； 故选：C. 8．（2025·湖北黄冈·一模）已知，且，为虚数单位，则的最大值是（　　） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据复数模的几何意义，利用点与圆上点的距离的最大值去求的最大值即可. 【详解】表示以为圆心，为半径的圆， 则圆心C到点的距离， 则的最大值为. 故选：A 二、多选题 9．（2025·江苏南通·模拟预测）设为复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】设，，根据复数的乘法及复数模的定义计算判断A，取特殊值判断B，根据复数的加减法运算及模与共轭的概念运算判断C，根据复数的模及共轭运算判断D. 【详解】设，. 对于A选项，， 所以， ，A对； 对于B选项，取，，则， ，则，即，B错； 对于C选项，，， ，， ，所以C错误； 对于D选项，， ，， 所以，故D正确. 故选：AD 10．（2025·全国·模拟预测）设为复数，则（   ） A． B． C．若，则的值只能取 D．若为实系数一元二次方程的两虚根，则 【答案】ABD 【分析】根据复数乘法运算结合复数的模长公式以及运算法则可得A，B正确，若，的值可以是或，可得C错误，根据一元二次方程求虚根的公式直接计算可判断D正确. 【详解】对于A，设，则， ，所以，A正确． 对于B，设， 则，，， 故，因此B正确． 对于C，若，易知的值可以是或．C错误． 对于D，易知，由可得； 由求根公式可得，故．D正确． 故选：ABD． 一、多选题 1．（2025·重庆·模拟预测）关于非零复数，及其共轭复数，，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】本题可根据复数的运算法则，分别对选项进行分析判断. 【详解】因为，，所以，. ， ， 则，选项A正确. ， ，所以，选项B正确. ， 显然，选项C错误. ， 则 则, 所以，选项D正确. 故选：ABD. 2．（23-24高三上·辽宁·开学考试）设复数，且,其中为确定的复数，下列说法正确的是（    ）. A．若，则是实数 B．若，则存在唯一实数对使得 C．若 ，则 在复平面内对应的点的轨迹是射线 D．若，则 【答案】ACD 【分析】根据复数的概念及运算性质，以及共轭复数的性质和复数模的性质，逐项计算，即可求解. 【详解】对于A中，若，因为，则，可得， 设，则，所以A正确； 对于B中，由A得，设，若， 则， 只要或，选项B就不正确； 例如：，此时， 可表示为或， 所以表示方法不唯一，所以B错误. 对于C中，若，则，可得， 则，所以且， 设，则，其中， 则复数对应的向量与复数对应的向量方向共线，且长度是倍， 故在复平面内对应的点的轨迹是射线（且与方向共线），所以C正确. 对于D中，若，可得，同理， 由，即，可得， 即， 即，即， 即， 因为，所以成立， 所以成立，所以D正确. 故选：ACD. 3．（2024·湖北襄阳·二模）已知复数满足，（为虚数单位），是方程在复数范围内的两根，则下列结论正确的是（   ） A．的最小值为 B．的最小值为4 C．当时，则 D．当时，则 【答案】ACD 【分析】利用复数的几何意义，在复平面内画出点，的轨迹方程，可判断AB选项；复数范围解一元二次方程，讨论判别式，分别求解，用根与系数的关系化简求值，在去掉绝对值号时又需进一步对a的取值进行分类讨论，进而可判断CD选项. 【详解】设在复平面内的对应点分别为， 由得，所以在直线上. 由得，所以在圆上. 如图所示： 对于A：表示复平面内圆上的点到直线上点的距离， 所以的最小值为，故A正确； 对于B：表示复平面内圆上的点到直线上点的距离， 所以的最小值为，故B错误； 对于CD：因为是方程在复数范围内的两根， 所以. 若，即或，此时， 由得或， ∴当或时，； 当时，，故C正确； 若，即，此时，为一对共轭虚根， ，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】思路点睛： （1）在遇到此类问题是利用复数的几何意义，在复平面内画出点，的轨迹方程，进而转化为直线与圆的位置关系，即转化为圆上的点到定直线（图形）上的最值问题. （2）复数范围解一元二次方程，讨论判别式，分别求解，用根与系数的关系化简求值. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $