专题01 集合讲义-【备战2026年高考数学命题背景探究】（全国通用）（会一题通一类系列）

专题01 集合 备战2026年高考数学命题背景探究（全国通用） 目录 真题命题背景01 以集合交并补运算为命题背景 1 真题命题背景02 以容斥原理为命题背景 2 真题命题背景03 以元素与集合的关系为命题背景 2 真题命题背景04 以集合间的包含关系为命题背景 3 基础过关练 3 提升巩固练 4 培优压轴练 6 真题命题背景01 以集合交并补运算为命题背景 集合间的基本运算： 交集，并集，补集 真题练1．（2025·全国二卷·高考真题）已知集合则（   ） A． B． C． D． 真题练2．（2025·全国一卷·高考真题）已知集合，，则中元素个数为（   ） A．0 B．3 C．5 D．8 真题练3．（2023·全国乙卷·高考真题）设集合，集合，，则（    ） A． B． C． D． 真题练4．（2023·全国甲卷·高考真题）设全集,集合，（    ） A． B． C． D． 真题命题背景02 以容斥原理为命题背景 真题练1．（2020·山东·高考真题）某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（    ） A．62% B．56% C．46% D．42% 真题命题背景03 以元素与集合的关系为命题背景 集合中元素与集合的关系 属于或不属于 若元素在集合中，记作， 若元素不在集合中，记作 真题练1．（2022·全国乙卷·高考真题）设全集，集合M满足，则（    ） A． B． C． D． 真题命题背景04 以集合间的包含关系为命题背景 集合间的基本关系： （1） 子集：对于两个集合、，若集合中的任意一个元素都在集合中，则是的子集；记作，读作包含于 （2） 真子集：对于两个集合、，若集合中的任意一个元素都在集合中，集合中至少有一个元素不在集合中，则是的真子集；记作，读作真包含于 （3） 相等：若，，则 真题练1．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）设集合，，若，则（    ）． A．2 B．1 C． D． 一、单选题 1．（2025·四川绵阳·模拟预测）集合的子集有（   ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 2．（2025·浙江嘉兴·一模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025·广东梅州·模拟预测）集合，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2025·河北·模拟预测）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 5．（2025·浙江杭州·模拟预测）设全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 6．（2025·全国·模拟预测）已知集合，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（2025·四川巴中·模拟预测）已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 8．（2025·河南开封·二模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 9．（2025·江西·模拟预测）已知集合，，下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则可以取3 10．（2025·湖北黄冈·模拟预测）对于集合、，定义运算：且，.若，，则（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（2025·陕西西安·模拟预测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025·辽宁盘锦·三模）若集合，，则（   ） A． B． C． D． 3．（2025·河北唐山·三模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2025·湖南湘潭·一模）已知集合 则（    ） A． B． C． D． 5．（2025·云南玉溪·模拟预测）已知全集，集合，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2025·辽宁大连·一模）已知集合 则 （   ） A．或 B．或 C． D． 7．（2025·广东·一模）已知全集为：的定义域为集合．的解集为集合，则（    ） A． B． C． D． 8．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知集合，，则图中的阴影部分表示的集合为（    ） A．或 B．或 C． D． 二、多选题 9．（2025·河南新乡·三模）已知非空数集M具有如下性质：①若，则；②若，则.下列说法中正确的有（    ）. A．. B．. C．若，则. D．若，则. 10．（2025·河南·三模）已知全集，集合，，，若，则（    ） A．的取值有个 B． C． D．所有子集的个数为 一、单选题 1．（2025·福建厦门·三模）已知集合，，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 2．（2025·四川绵阳·三模）已知集合，对于中的任意两个元素都有，则集合的元素个数可以为（    ） A．4个 B．7个 C．9个 D．10个 3．（2025·福建福州·三模）若非空实数集中存在最大元素和最小元素，则定义.据此，下列命题中不正确的是（   ） A．若，，且，则 B．若，且，则对任意，都有 C．若，，则存在实数，使得 D．若，，则对任意的实数，总存在实数，使得 三、解答题 4．（2025·湖北武汉·二模）已知集合，集合B满足． (1)判断，，，中的哪些元素属于B； (2)证明：若，，则； (3)证明：若，则． 5．（2025·江苏盐城·模拟预测）对于有限集合，定义，用表示集合的元素个数. (1)若，求； (2)求证：； (3)设，且，记，求. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 集合 备战2026年高考数学命题背景探究（全国通用） 目录 真题命题背景01 以集合交并补运算为命题背景 1 真题命题背景02 以容斥原理为命题背景 2 真题命题背景03 以元素与集合的关系为命题背景 3 真题命题背景04 以集合间的包含关系为命题背景 4 基础过关练 4 提升巩固练 7 培优压轴练 12 真题命题背景01 以集合交并补运算为命题背景 集合间的基本运算： 交集，并集，补集 真题练1．（2025·全国二卷·高考真题）已知集合则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出集合后结合交集的定义可求. 【详解】，故， 故选：D. 真题练2．（2025·全国一卷·高考真题）已知集合，，则中元素个数为（   ） A．0 B．3 C．5 D．8 【答案】C 【分析】根据补集的定义即可求出． 【详解】因为，所以， 中的元素个数为， 故选：C． 真题练3．（2023·全国乙卷·高考真题）设集合，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意逐一考查所给的选项运算结果是否为即可. 【详解】由题意可得，则，选项A正确； ，则，选项B错误； ，则或，选项C错误； 或，则或，选项D错误； 故选：A. 真题练4．（2023·全国甲卷·高考真题）设全集,集合，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据整数集的分类，以及补集的运算即可解出． 【详解】因为整数集，，所以，． 故选：A． 真题命题背景02 以容斥原理为命题背景 真题练1．（2020·山东·高考真题）某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（    ） A．62% B．56% C．46% D．42% 【答案】C 【分析】由容斥原理即可得解.. 【详解】由题意，该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为 所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为. 故选：C. 真题命题背景03 以元素与集合的关系为命题背景 集合中元素与集合的关系 属于或不属于 若元素在集合中，记作， 若元素不在集合中，记作 真题练1．（2022·全国乙卷·高考真题）设全集，集合M满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先写出集合,然后逐项验证即可 【详解】由题知,对比选项知，正确,错误 故选: 真题命题背景04 以集合间的包含关系为命题背景 集合间的基本关系： （1） 子集：对于两个集合、，若集合中的任意一个元素都在集合中，则是的子集；记作，读作包含于 （2） 真子集：对于两个集合、，若集合中的任意一个元素都在集合中，集合中至少有一个元素不在集合中，则是的真子集；记作，读作真包含于 （3） 相等：若，，则 真题练1．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）设集合，，若，则（    ）． A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据包含关系分和两种情况讨论，运算求解即可. 【详解】因为，则有： 若，解得，此时，，不符合题意； 若，解得，此时，，符合题意； 综上所述：. 故选：B. 一、单选题 1．（2025·四川绵阳·模拟预测）集合的子集有（   ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】D 【分析】根据集合中有个元素，其子集有个元素即可得解. 【详解】由题意得集合中有3个元素，则其子集有个. 故选：D. 2．（2025·浙江嘉兴·一模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据并集的概念运算即可. 【详解】由题意可知. 故选：D 3．（2025·广东梅州·模拟预测）集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先解集合B，再求两集合的交集可得. 【详解】由，得，在数轴上表示集合A，B如图，      ，所以. 故选：A. 4．（2025·河北·模拟预测）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分式不等式解法求出集合，再根据补集概念计算即可. 【详解】或， 所以. 故选：A 5．（2025·浙江杭州·模拟预测）设全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化简集合B，再利用集合之间的包含关系即可得到结果. 【详解】因为集合， ，故， 故选：B 6．（2025·全国·模拟预测）已知集合，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出集合，再根据题干的条件即可求出. 【详解】由题干知，，，，， 则，即，所以实数的取值范围是. 故选：B． 7．（2025·四川巴中·模拟预测）已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据交集的结果有，即可得参数范围. 【详解】由，知，则. 故选：A 二、多选题 8．（2025·河南开封·二模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据集合交并补的运算一一分析即可/ 【详解】， 对A，若，则，则根据有，显然矛盾，故A错误； 对B，假设，则，根据有，显然矛盾，则，故B正确； 对C，由A知，，则，故C正确； 对D，显然，必有，故D错误； 故选：BC. 9．（2025·江西·模拟预测）已知集合，，下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则可以取3 【答案】AC 【分析】把代入，求解判断AB；利用集合的包含关系求解判断CD. 【详解】对于AB，若，则任意实数均满足，因此，A正确，B错误； 对于CD，由，得，解得，C正确，D错误. 故选：AC. 10．（2025·湖北黄冈·模拟预测）对于集合、，定义运算：且，.若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据题中定义以及集合运算逐项判断即可. 【详解】对于A选项，根据题中信息可得，A对； 对于B选项，根据题意可得，故，B对； 对于C选项，，C错； 对于D选项，，D对. 故选：ABD. 一、单选题 1．（2025·陕西西安·模拟预测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解二次不等式和分式不等式，明确集合，再根据交集的概念进行计算. 【详解】由，即，解得，所以. 由，移项得，即，等价于，解得，所以. 则. 故选：A 2．（2025·辽宁盘锦·三模）若集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由不等式性质以及对数函数的性质，求得集合，根据交集，可得答案. 【详解】依题意，，，故． 故选：B. 3．（2025·河北唐山·三模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次不等式的解法求，根据对数函数的单调性求后可求. 【详解】， ， 故， 故选：D. 4．（2025·湖南湘潭·一模）已知集合 则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过求解分数不等式及指数不等式，再结合交集运算即可求解. 【详解】由可得：， 即，所以， 由，可得，所以， 所以， 故选：B 5．（2025·云南玉溪·模拟预测）已知全集，集合，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化简集合，再利用集合的包含关系列式求解. 【详解】依题意，，，或， 由，得，解得， 所以a的取值范围是. 故选：B 6．（2025·辽宁大连·一模）已知集合 则 （   ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【分析】利用对数函数的性质结合题目所给条件计算求出集合，进而求出. 【详解】令，函数图象开口向上， 当时，取最小值， 当时，， 当时，， 所以 所以， 所以集合， 所以或. 故选：B. 7．（2025·广东·一模）已知全集为：的定义域为集合．的解集为集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出的定义域确定出，求出已知不等式的解集确定出，找出与补集的交集即可． 【详解】由，得到，即，即， ， 不等式，变形得：， 解得：或，即， ， 则， 故选：C． 8．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知集合，，则图中的阴影部分表示的集合为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】根据图象可知，阴影部分表示的是，由此求得的取值范围. 【详解】或， 根据图象可知阴影部分表示的是， 因为，， 所以或. 故选：A 二、多选题 9．（2025·河南新乡·三模）已知非空数集M具有如下性质：①若，则；②若，则.下列说法中正确的有（    ）. A．. B．. C．若，则. D．若，则. 【答案】BC 【分析】用特殊值代入判断A，D，C,列举法根据性质性质①②，判断B. 【详解】对于，若，令，则，令，则，令，不存在，即，矛盾，所以，故错误， 对于，由于集合非空，取任意元素，根据性质①，得，再根据性质②，得，进而，故正确， 对于，因为，所以，因为，所以，故正确， 对于，若，则，故错误， 故选：. 10．（2025·河南·三模）已知全集，集合，，，若，则（    ） A．的取值有个 B． C． D．所有子集的个数为 【答案】BCD 【分析】利用集合的包含关系结合集合元素的互异性可求出的值，可判断A选项；利用交集的定义可判断B选项；利用并集的定义可判断C选项；利用集合的运算结合子集个数公式可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为，，且， 则或，且，，解得，故的取值只有个，故A错误； 对于B选项，，，所以，故B正确； 对于C选项，，，故C正确； 对于D选项，， 所以，，则， 其的子集的个数为，故D正确． 故选：BCD. 一、单选题 1．（2025·福建厦门·三模）已知集合，，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先解一元二次不等式求出集合，然后由可得在时，恒成立，将问题转化为求在上的最小值，从而可求出的取值范围. 【详解】由，得，解得， 所以， 因为，， 所以当时，恒成立，即恒成立， 令，，则， 当时，，当时，， 所以在上递减，在上递增， 所以， 所以，即的取值范围是. 故选：B 二、多选题 2．（2025·四川绵阳·三模）已知集合，对于中的任意两个元素都有，则集合的元素个数可以为（    ） A．4个 B．7个 C．9个 D．10个 【答案】AB 【分析】通过对集合中元素满足的不等式进行变形，分析元素之间的关系，利用函数单调性来确定集合中元素个数的上限，并通过举例验证元素个数的可能性. 【详解】当时，不满足集合元素的互异性，排除. 不妨设（效果一样），已知，则. 将其变形为关于的表达式： ，移项可得，进一步得到. 因为且，所以，那么. 由此可知，所以集合至多有中的一个整数，若有两个，取较小者为，会与不等式矛盾. 令，对求导，可得，所以在上是递增函数. 假设存在且，令，， 由的单调性可知，这与矛盾， 所以中至多只有中的一个整数. 因为，所以集合至多只有中的一个整数. 因为，所以集合至多有中的一个整数. 因为，所以集合至多有中的一个整数. 又因为，，，所以集合中可以同时存在，，.   综上，集合至多有个元素. ，符合条件，说明集合的元素个数可以是个或个. 故选：AB. 3．（2025·福建福州·三模）若非空实数集中存在最大元素和最小元素，则定义.据此，下列命题中不正确的是（   ） A．若，，且，则 B．若，且，则对任意，都有 C．若，，则存在实数，使得 D．若，，则对任意的实数，总存在实数，使得 【答案】ABC 【分析】对于选项A，首先根据题意求出，然后求出，即可得到的值；对于选项B，可找出反例证明选项B错误；对于选项C，讨论的不同范围下，的不同范围；令，即可验证选项D的正确性. 【详解】A选项，由，，可得，，因为，所以，，故A错误； B选项，例如：，，满足，但是并不都大于等于，故B错误； C选项，由，， 当，即时，； 当时，可得； 当时，可得； 当时，可得，所以不存在实数a，使得，故C错误； D选项，由，，取，可得，对任意实数a，总存在b使之成立，故D正确. 故选：ABC. 三、解答题 4．（2025·湖北武汉·二模）已知集合，集合B满足． (1)判断，，，中的哪些元素属于B； (2)证明：若，，则； (3)证明：若，则． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据所给定义判断元素的倒数是否属于即可； （2）先证明若，，则，即可得到，从而得证； （3）依题意可得，从而求出，再说明即可. 【详解】（1）因为，所以； 因为，所以； 因为没有倒数，所以； 因为，所以； 综上可得，. （2）先证明：若，，则； 设，，为整数， 所以， 由于，都是整数，所以， 当，时，，，所以，所以； （3）因为， 所以， 所以，都是整数， 所以为整数， 所以， 假如，则，则应为的倍数， 设为整数，若，则不是的倍数； 若，则不是的倍数； 若，则不是的倍数； 所以，即. 5．（2025·江苏盐城·模拟预测）对于有限集合，定义，用表示集合的元素个数. (1)若，求； (2)求证：； (3)设，且，记，求. 【答案】(1)4 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由和的定义可得结果； （2）由，代入，化简即可证明； （3）由集合的包含关系和组合数的计算可得结果. 【详解】（1）因为， 所以， 于是. （2）证：因为， 所以， ， 综上：. （3）当时，， 所以时，， 所以， 又， ， 所以， 所以. 当时结论也成立. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $