2.2用配方法求解一元二次方程同步练习 -2025-2026学年北师大版九年级数学上册

2.2 用配方法求解一元二次方程 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．一元二次方程的解是（    ） A． B． C．， D．， 2．若，则的值是（　　） A． B． C．2 D．4 3．把方程化成的形式，则的值是（    ） A．17 B．15 C．9 D．7 4．已知实数 满足 ，设 ，则 的最大值是 （   ） A． B． C． D．1 5．把方程化成的形式，则的值是（ ） A． B． C． D． 6．如果关于x的方程可以用直接开平方法求解，那么m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 7．若2是方程的一个根，则的值和方程的另一个根分别是（　　） A．4， B．2， C．， D．， 8．用配方法解一元二次方程时，若原方程变形为，则的值为（    ） A． B． C． D． 9．已知、是实数，，．则、的大小关系是（　　） A． B． C．＜ D．＞ 10．用配方法解一元二次方程x2﹣8x=9时，应当在方程的两边同时加上(　　) A．16 B．﹣16 C．4 D．﹣4 二、填空题 11．将一元二次方程化成的形式，则 ． 12．用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为 ． 13．关于x的一元二次方程的一个根是0，则m的值是 ． 14．将方程配方成的形式为 ． 15．若方程有实数根，则b的取值范围是 ． 三、解答题 16．解下列方程： (1) ； (2)； (3)． 17．用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 18．市区内有一块边长为15米的正方形绿地，经城市规划，需扩大绿化面积，预计规划后的正方形绿地面积将达到289平方米，求这块绿地的边长增加了多少米？ 19．用配方法把代数式化为的形式，并说明不论x取何值，这个代数式的值总是负数．并求出当x取何值时，这个代数式的值最大． 20．已知，图1中阴影面积为，图2中阴影面积为． (1)用含x的代数式表示，；当时，求的值； (2)比较与的大小，并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2.2 用配方法求解一元二次方程》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B C B D D A A B A 1．C 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用直接开平方法求出方程的解即可． 【详解】解：， ， ，， 故选：C． 2．B 【分析】把当作一个整体，利用平方差公式即可求解 【详解】解：， ， ， 故答案选：B． 【点睛】本题考查的是解一元二次方程-直接开平方法，掌握平方差公式及把看成一个整体是解题关键． 3．C 【分析】本题考查了一元二次方程的配方法，熟练掌握配方法是解题的关键．根据配方法，可以得到和，再代入求解． 【详解】解：， ， ， ， ，， ， 故选：C． 4．B 【分析】根据，可以得到，然后可以得到，进而得到，再设，即可得到，然后即可写出的最大值，从而可以得到的最大值．本题考查配方法的应用、非负数的性质，解答本题的关键是明确题意，求出的最大值． 【详解】解：， ， ， ， 设，则， 则， 的最大值为， 即的最大值为， 故选：B． 5．D 【分析】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法-配方法，本题属于基础题型． 根据配方法写成的形式再代入计算即可求出答案． 【详解】解：方程整理得：， 配方得：，即， ，， 则． 故选：D． 6．D 【分析】根据直接开平方法的特点即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 解得， 故选D 【点睛】本题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，理解能直接开平方的数是非负数成为解题的关键． 7．A 【分析】根据方程根的定义，把代入即可得出，再根据直接开平方法即可得出另一个根． 【详解】解：是方程的一个根， ， 解得， 则， 解得，． 故选：A． 【点睛】本题考查了解一元二次方程直接开平方法，注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．③方法是根据平方根的意义开平方． 8．A 【分析】本题考查解一元二次方程的知识，解题的关键是掌握配方法解一元二次方程，即可． 【详解】解：配方法为：， ， ， ， ∵当原方程变形为时，，， ∴． 故选：A． 9．B 【分析】判断、的大小关系，把进行整理，判断结果的符号可得、的大小关系．考查了配方法的应用；关键是根据比较式子的大小进行计算；通常是让两个式子相减，若为正数，则被减数大；反之减数大． 【详解】解：， ，， ， ， 故选：B 10．A 【详解】x2﹣8x=9配方，得x2﹣8x+42=9+42，即（x－4）2=25，方程左右两边同时加上16. 故选A. 点睛：二次项系数为1时，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方. 11． 【分析】此题考查的是配方法的应用，在方程的两边都加上 ，配方后可求解的值，从而可得答案． 【详解】解：∵ ， ， ， ． 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，先利用配方法将一元二次方程化为，从而得到的值，最后代入计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 13． 【分析】把方程的根代入方程中，得到关于m的方程，解方程即可． 【详解】解：把代入得：， 解得：， 又∵ ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的概念及解一元二次方程，掌握一元二次方程解的概念是关键．但要注意验证一元二次方程的二次项系数非零，切记． 14． 【分析】本题考查了一元二次方程的配方法，运用完全平方公式进行配方即可． 【详解】解：， 移项，得， 配方，得， 即：． 故答案为： ． 15． 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程的判别式． 首先把方程化为一般形式，再根据方程有实数解可得，再代入相应数据进行计算即可． 【详解】∵ ∴， ∵方程有实数解， ∴， 解得：， 故答案为：． 16．(1)， (2)， (3)， 【分析】（1）将方程变形为，然后利用直接开平方法求解即可； （2）利用直接开平方法求解即可； （3）将方程变形为，然后利用直接开平方法求解即可； 本题主要考查了利用直接开平方法解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法的解题步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：将方程变形，得． 直接开平方，得． ∴，． （2）解：直接开平方，得． ∴． ∴，． （3）解：将方程变形，得． 直接开平方，得， ∴． ∴，． 17．(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键： （1）配方法解方程即可； （2）配方法解方程即可； （3）配方法解方程即可； （4）配方法解方程即可． 【详解】（1）解： ， ∴； （2） ∴； （3） ∴； （4） ， ∴． 18．这块绿地的边长增加了2米． 【分析】此题考查运用一元二次方程解决实际问题，熟练运算一元二次方程式是解题关键． 设边长应该延长x米，根据题意得到改造后花坛的边长为米，根据规划后的正方形绿地面积将达到289平方米列方程求解即可． 【详解】设边长应该增加x米， 根据题意得， 解得，（舍去） ∴这块绿地的边长增加了2米． 19．证明见解析；，-. 【分析】本题考查的是配方法的应用，先利用配方法得到，再根据非负数的性质得到，即不论x取何值，的值总是负数，易得当时，这个代数式的值最大． 【详解】解：， ， ， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴不论x取何值，的值总是负数， 且当时，这个代数式的值最大，最大值为． 20．(1)，， (2)，理由见解析 【分析】本题考查列代数式，整式的加减运算，完全平方公式： （1）直接利用梯形和长方形的面积公式进行计算，列出代数式即可，将，代入所列代数式，进行计算即可； （2）判断两个代数式相减后与0的大小关系，即可得出结论． 【详解】（1）解：； ， ， 当时，； （2）， 理由如下：，， ， ， ， ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $