第02讲 空间向量在空间几何中的应用讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦“空间向量在空间几何中的应用”，围绕空间角、距离、轨迹与外接球五大核心考向系统设计，通过例题精讲、变式训练和题组巩固层层递进，构建从概念理解到综合运用的完整学习路径，体现知识结构化与思维进阶性的有机统一。 亮点在于以“问题驱动+任务探究”为主线，融合几何直观、逻辑推理与数学建模等核心素养，如通过“四棱锥翻折后二面角变化”探究活动引导学生深度理解空间关系，借助“动点轨迹长度计算”任务发展空间想象能力。每课时均配有思维导图梳理知识脉络，设置分层练习与错题集锦强化反思，既助力学生形成清晰的认知框架，也为教师开展单元教学提供可操作性强、针对性突出的教学支持。

第02讲 婴温故知新 空间向量在空间几何中的应用 1 空间向量在空间几何中的应用 (①)设出平面的法向量n=(x,y,) (2)找出平面内两步共线的已知向量a的坐标 法向量 nea=0 (3)建立关于x、y、z的方程组 6=0 (④)解方程组 空间位置 位置关系 向量表示 线线位置 4∥6 耳∥八台月=k儿，k∈R) 吉线4，上的方向向量分别为%， 关系 h12 乃1%台%1%=0 线面位置 直线的方向向量为n,平面的法拘 l∥a 开1m台nm=0 关系 量为加 ILa 龙∥m台往=kmk∈) 面面位置 a∥e i∥m分云=k知kER) 平面a,的法拘分别为n,m 关系 alB n上m分m=0 空间角 a. 线线角：设异面直线a、b所成的角为日，则c05日 oc 线面角：/为平面a的斜线，中为I与a所成的角，则sing|cosa,m= 范0，受 二面角：平面a畔面8的（所，元〉=日，则c050=1% 范围[0，n] 元m21 已知AB为平面a的一条斜线段，n为平面a的法向量 空间距离 侧B到平面a的矩高为威-西小 知识帆固 考向一 考向二 空间向量在空间几何中的应用 考向三 考向四 考向五 考向一空间向量求空间角 【例1-1】（2025·全国·模拟预测)由四棱柱ABCD-A,B,CD,截去 的几何体，四边形ABCD是菱形，AC=4,BD=2,0为AC与BD的交点 B D (1)求证：B,O11平面A,DC: (2)若B,0=2V5,求AC,与平面ADC,所成角的正弦值. 3 空间向量求空间角 空间向量求空间距离 空间几何中的动点 空间向量求空间轨迹 空间几何中的外接球 三棱锥D,-ADC1后得到如图所示 B,O⊥平面ABCD. 【例1-2】（25-26北京丰台)如图，在几何体ABCDE中，平面ABC1平面ACD,BE=2,AC=3, CD=4,∠ACD=90°，BE∥CD D B (1)若F为AC的中点，求证：BF∥平面AED; (2)若ABC为等边三角形，求平面ABC与平面AED夹角的余弦值. 【变式】 1.（25-26湖南长沙)已知四棱台ABCD-A,B,C,D,底面ABCD是边长为2的菱形，AA⊥平面ABCD, ∠ABC=60°，AA,=A,B,=1,E是BC的中点. A C C (1)证明：平面ADDA,⊥平面ADE; (2)求平面AD,E与平面ADE夹角的正切值. 2.(25-26广东深圳)如图，在三棱锥S-ABC中，SA=SC,D,E分别为AC,SC的中点，平面BSD⊥平 面SAC,AE∩SD=F,且CF⊥平面DBE. B (1)证明：平面SAC1平面ABC; 2若平面ABE与平面4BC的夹角的余弦值为，求直线SH与平面ABE所成角的正弦衔 3.（2025·福建三明)如图，等腰梯形ABCD中，ABI1CD,CD=2AB=4,AE1CD,垂足为E,将 ADE沿AE翻折，得到四棱锥P-ABCE.在四棱锥P-ABCE中，点M,N分别在线段PB,AC上， 且4=BM=2. ·NCMP E M D A A B (1)求证：MN/1平面PCE; (2)若二面角P-AE-C为120°，求直线MN与平面PAE所成角的余弦值. 考向二空间向量求空间距离 【例2】(2025·天津和平)如图，已知正四棱柱ABCD-A,B,C,D,的底面边长为2，侧棱AA=3,E、 H分别是B,C、BC延长线上的点，且CB=CH,CB,=C,E. A D B C A B C (1)求平面ABB,A与平面BDE的夹角的正弦值； (2)求直线B,H与平面BDE所成角的正弦值； (3)求，点A到平面BDE的距离. 【变式】 1.(25-26湖南怀化)PA,PB,PC是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60°，A, B,C分别是射线PA,PB,PC上的点，且PA=2,PB,=4,PC,=3,D,E,F分别为PA,PB, 6 B,C的中点，则，点E到直线DF的距离为() A.5 B.②7 C.33 3 D.39 3 6 6 2.(2024·广东广州·模拟预测)如图所示的空间几何体是以AD为轴的】圆柱与以ABCD为轴截面 的半圆柱拼接而成，其中AD为半圆柱的母线，点G为孤CD的中点 G D E A B (1)求证：平面BDF⊥平面BCG; (2)当AB=4,平面BDF与平面ABG夹角的余弦值为5时，求点E到直线BG的距离. 5 > 3（2025·天津)如图，在正三棱柱ABC-AB,C,中，AB=AA,=2,M为BC的中点. A B (1)求证：直线BC⊥平面AMA; (2)求平面AMC与平面A,MB夹角的余弦值； (3)求点A到平面AMC的距离. 【例3-1】（2025·福建漳州)如图，点P为正方形ABCD所在平面外一点，M为PA中点， DE=DP(0<2<1). D B- M (1)求证：PC∥平面BDM; (2)若平面ABCD⊥平面ABP,AB=BP=2,AB⊥BP. (i)当元=时，求证：PD⊥平面BBM: 3 (ii)当二面角D-BM-E的正弦值为6时，求入的值 9 【例3-2】(25-26北京)如图，在四棱锥A-BCFG中，ABC是边长为4的等边三角形，四边形BCFG 为菱形，LCBG=60°，平面ABC⊥平面BCFG,D为棱AB的中点，记平面ABC和平面AFG的交线为1. E A D (1)证明：1IBC; (2)在线段C6(不含端，点)上是否存在一点E,使得直线DE与平面ACF所成角的正弦值为6？若存 10 在，求E的位置；若不存在，请说明理由. 【变式】 1.(25-26河北)如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC,AB=4,PB=BC=PC=2V3,且平面PAB1 平面PBC. 9 A- (1)证明：AB⊥平面PBC; ②线段B即上是香存在一点，使得二面角EC-9的正初信为，若存在，求出器的值，并给出 证明；若不存在，请说明理由 2.（25-26广西南宁)如图，在四棱锥P-ABCD中，AB/1CD,AB=2DC,∠ABC=90°，△PAD为等腰直 角三角形，AD为斜边，其中AB=2,PD=BC=L,PB=PC. (1)证明：平面PAD⊥平面ABCD; ②)钱货9上是否存在一点1，使得7与平面P40所成商的正孩值为治，若存在，求出码的值： 若不存在，请说明理由， 3.(24-25高二下·湖南·期末)如图，在正三棱柱ABC-A,B,C中，底面边长为2，侧棱长为√5，D 是BC的中点. 10第02讲空间向量在空间几何中的应用 婴温故加新 1 空间向量在空间几何中的应用 )设出平面的法向量n=(,y,) (2)找出平面内两步共线的已知向量a的坐标 法向量 noa=0 (3)建立关于x、y、z的方程组 6=0 (4)解方程组 空间位置 位置关系 向量表示 线线位置 h∥h 月∥n2台=k,(k∈R) 直线4,6的方向向量分别为%，乃 关系 4⊥h 所1%台%%，=0 线面位置 直线1的方向向量为疗，平面的法拘 l∥a n1m台n'm=0 关系 量为m 11a n∥m台n=km(keR) 面面位置 a∥p n∥m台n=kmk∈R) 4 平面a,的法拘分别为1，m 关系 alB n1m分分m=0 空间角 a.B 线线角：设异面直线4、b所成的角为日，则c0s日= 0e0 F 线面角：/为平面a的斜线，中为/与a所成的角，则sing|cosa,n1= 范围[0， 二面角：平面a解面8的（所，元〉=0，则c0s日= 范围[0，n] |%川n2 B 已知AB为平面a的一条斜线段，n为平面a的法向量 空间距离 侧8到平面Q的距离为别威_应小 lal 2 考向一空间向量求空间角 考向二空间向量求空间距离 空间向量在空间几何中的应用 考向三空间几何中的动点 考向四空间向量求空间轨迹 考向五空间几何中的外接球 考向一空间向量求空间角 【例1-1】（2025·全国·模拟预测)由四棱柱 BCD-ABCD疯去三棱锥D-ADC后得到如图所示 的几何体，四边形1BCD是菱形，1C=4,BD-2,0为4C与D的交点，B0 平面ABCD B D B,O1 (1)求证： 平面4DC (2)若B,0=2V5 求4C与平面4DC所成角的正孩值 √29 【答案】(1)证明见解析(2)29 【解折】(1)知图所示，取4G中点0，连接B0,0D,00, 3 则由题意BB1私/O0且BB=M=00,故四边形8800是平行四边形， 所以B01/B0且B0=B0,故B01OD且B0=0D BODO BO1/OD 所以四边形 是平行四边形，则 B A D文 平面4DC,ODC平面4DC,所以B0 B,O￠ 又 平面4DG AC,BD,OB 0-xyz (2)由题意可知 两两垂直，故可建立如图所示的空间直角坐标系 则由题意40，-2,0，D10,0,C0,20,B(-L0,01,B00,25 又4=C=BB-10,25 0C=0C+CC=0C+BB=(0,2,0)+1,0,2W5=1,2,2V5 04=0A+4=0A+BB=(0,-2,0)+1,0,25=1,-2,25 即4-2,25，C1,225 所以C=142,D4=0-2,2).DC=0,225) m⊥DA 设平面4DC的一个法向量为m=(x,),则m1DC, m-DA=-2y+2W3z,=0 所以m-DG=2y+25z=0，则y=2=0,取x=1,则m=(1,00) 设1C与平面40C所成角°， 4 则sin0=cos 4C,m ACm1-√29 AC29 29 V29 所以AC与平面ADC所成角的正弦值为29. 【例1-2】(25-26北京丰台)如图，在几何体ABCDE中，平面ABC⊥平面ACD,BE=2,AC=3, CD=4,∠ACD=90°，BE∥CD. (1)若F为AC的中点，求证：BF∥平面AED: (2)若△ABC为等边三角形，求平面ABC与平面AED夹角的余弦值. 【答实】（①证明见解析②） 【解析】(1)取AD中点G,连接GE,GF,则GF为△ACD的中位线..GF/CD,FG=2 又：BECD∴.BEIFG且BE=FG=2.∴.四边形BFGE为平行四边形.∴.BFIEG 又，·BF文平面AED,EGC平面AED.BF∥平面AED D G (2)法一：延长CB,DE交于H,连接AH 5 D G 是等边三角形，为 的中点， B H业 .'△ABC F AC .BF⊥AC 又：EiCD且BG-D.:BB为。iD的中位线，6为IC的中点 2 又：F为AC的中点，BF为△AHC的中位线，∴BF∥AH,.AH⊥AC, ,平面ABC⊥平面ACD,平面ABC∩平面ACD=AC,AHc平面ABC,.AH⊥平面ACD. ADC平面ACD,.AH⊥AD 因此，二面角D-H-C的平面角为∠D1C.os∠DC=S号 AD5 3 因此，平面4BC与平面AED夹角的余弦值为5· 法二：：平面ABC⊥平面ACD,平面ABC∩平面ACD=AC,CD⊥AC ∴.CD⊥平面ABC. :FGIICD∴.FG⊥平面ABC.FG⊥BF,FG⊥FC 又△ABC等边三角形，F为AC的中点∴BF⊥FC FB,FC,FG 所以 两两垂直，以F为原，点，如图建立空间直角坐标系 ZA G B 2, BF=35 6 所以40,004，s 2,0,2) D=03,4,AE=223 元=(xy2列为平面AD5的一个法向量， 设 3y+4z=0 AD.=0 则 AE元=0 即 35x+3y+2z=0 22 令z=1,解得=0等》设m=化)为平面H8C的一个法向量马得丽=00，). cos0-os n.m3 设平面ABC与平面AED夹角为0， m5. 3 因此，平面ABC与平面AED夹角的余弦值为 【变式】 1.（25-26湖南长沙)已知四棱台 BCD-ABCD,底面BCD是边长为2的菱形，A 平面ABCD ∠ABC=60,AM=AB=1,E是BC的中点. D C D ADD,A⊥ ADE (1)证明：平面 平面 2)求平面405与平面 DE 夹角的正切值. √5 【答案】(1)证明见解析(2)3， 【解析】(1)因底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，E是BC中，点，所以AE1BC, 又DC,则LD.已知M十年面46CD,4Ec年西8CD,所以从1。 7 因为M,DC平面MDD, 且4nA0=A AADD ,所以1E上平面 因为46c平面06，平 ADD,A上平面 ADE ∠A A D A D B B D T BL- BE- E C x (2)解法1：在等腰直角△A1D中，过作4M1D 则M是0中点，4==M0=号0= 2 平面0E 又4MDD,所以4M 又因为0BC平面0E, 所以AM1DE 过M作MTLDE ，连接47 由于4MIMT=M,4M,MTC平面4M7,所 平面Mr E⊥ ,所以 又47C平面47，故DEL47,所以A M为平面10E与平面4DE 的夹角， 由(1)知01A,在Rt△1DE中，1E=4B-sim60=5,0=5 故ED=V5,MT=MD,·sin∠MDT=MD·sin∠AD,E=MD,DE=10 因为4M1平面 AD,EMTC平面 DE,所以4MLM7 ② 则tan∠ATM=4M-2-VI5 MTV303· 10 解法2：因为14上 平面1BCD,所 AB,AD,AA两两垂直， 8 以A为原点， AE,A0,AA所在直钱分别为，轴，建立空间直角坐标系 则E5.0,0,4(00,1,D0,20,D(01,1,.4D=(0,1o0,◆AE=5,0,e-l, 由(1)易知平面10E的一个法向量为0=(0,1，-。 设平面4DE的法向量为”=(x八)。 [n-4D=y=0 则n4正=3x-2=0不妨取z=3,得n=V5,0,3, ww I DD.n 3 设平西DE与平面4DE的夫角为，则as0=册时 V6 DDn V2×2√5=4， √15 故正切值为3· 2.(25-26广东深圳)如图，在三楼维S-1BC ,SA=SC,D,E、 .AC,SC BSD⊥ 中， 分别为 的中点，平面 平面SAC,AE∩SD=F,且CF⊥平面DBE. F (1)证明：平面SAC⊥平面ABC: √5 (2)若平面ABE与平面ABC的夹角的余弦值为5，求直线SA与平面ABE所成角的正弦值. 【答案】()证明见解析：(25 【解析】(1)证明：SA=SC,D为AC中点， AC⊥SD,又平面BSD⊥平面SAC,平面BSDn平面SAC=SD, ∴.AC⊥平面BSD,又BDC平面BSD,AC⊥BD, 9 又CF⊥平面DBE,BDc平面DBE,所以CF⊥BD, 4CnCF=C,4C,CFC平面MC,所以D上平面MC, 又 又BDc平面ABC,所以平面SAC⊥平面ABC. (2)由(1)知BDL平面SAC,SDC平面SAC,所以BD⊥SD, 所以SD,AC,BD两两垂直，以D为原点建立如图所示空间直角坐标系， ZA 为 的重心， A C B :AE∩SD=F.F△SAC 又CF⊥平面DBE,DEC平面DBE,所以CF⊥DE, 又D,E分别为AC,SC的中点，所以DEI/SA,则CF⊥SA, 所以AC=SC=SA,所以△SAC为等边三角形， 故可设DA=a,DS=V3a,DB=b 对00网da0,aa0,号a9. 则孤-a0E兰0=a-】 由题易得平面MBC的一个法向量为m=(0,0, 设平面ABE的一个法向量 =(x,y,2 AB·n=-ax+by=0 花i-0x+5@:=0,不坊取，则1=6a 则 x+- 2 2 x=b 5 又平面ABE与平面ABC的夹角的余弦值为5， 0