第一次月考押题重难点检测卷（提高卷）（考试范围：二次根式+一元二次方程全部内容）-2025-2026学年九年级数学上册重难点专题提升讲练（华东师大版）

第一次月考押题重难点检测卷（提高卷） （满分120分，考试时间120分钟，共25题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：二次根式+一元二次方程全部内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）函数中，自变量的取值范围是（　　） A． B．且 C．且 D． 【答案】C 【分析】本题考查求函数自变量的取值范围，涉及分式有意义的条件、二次根式有意义的条件，熟悉分式有意义的条件、二次根式有意义的条件是解决问题的关键．由分式有意义的条件、二次根式有意义的条件得到，且，解不等式即可得到答案． 【详解】解：要使函数有意义，则，且， 解得，且， 故选：C． 2．（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）已知，，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，掌握二次根式的性质与化简的方法是关键． 根据代入求解即可． 【详解】 原式 ． 故选：D． 3．（2025·河南驻马店·模拟预测）已知关于的一元二次方程，以下不正确的是（　　） A．此方程必有实数根 B．若方程有一个根为，则另一个根为 C．两根之积为 D．两根之和为 【答案】D 【分析】本题考查了根与系数的关系。根的判别式和一元二次方程的解，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，以及根与系数的关系． 先把二次项系数化为正系数，计算根的判别式的值，结合根与系数的关系，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：方程化为， ∵， ∴方程有两个不相等的实数解， ∴选项的说法正确，不符合题意； ∵方程的两根之积为， ∴若方程有一个根为，则另一个根为， ∴选项、选项的说法正确，不符合题意； ∵方程的两根之和为， ∴选项的说法不正确，符合题意， 故选：． 4．（2025·四川宜宾·模拟预测）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值等于（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了根的判别式，代数式求值，正确掌握根的判别式公式是解题的关键． 根据题意可得到，化简得，由得到，，整理后即可得到的答案． 【详解】解：根据题意得：， 整理得：， ， 方程是一元二次方程， ， 等式两边同时除以得：， 则． 故选B． 5．（24-25九年级上·四川内江·期末）若关于的方程满足，称此方程为“贺岁”方程．已知方程是“贺岁”方程，则的值为（  ） A． B．2024 C． D．2025 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的解、代数式求值等知识点，掌握整体代入的方法是解题的关键． 利用新定义得到“贺岁”方程的一个解为，则，即、，然后对原式变形后再整体代入计算即可． 【详解】解：根据题意得“贺岁”方程的一个解为， ∵方程是“贺岁”方程， ∴，即、， ∴ ． 故选C． 6．（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）设，，，……，．其中n为正整数，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，先求出，然后把代数式进行化简，再进行计算，即可得到答案． 【详解】解：∵n为正整数， ∴ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝； ∴ ＝（1+）+（1+）+（1+）+…+（1+） ＝2021+1﹣ ＝2021+1﹣ ＝． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是用裂项法将分数化成，再化简，寻找抵消规律求和． 7．（25-26九年级上·福建厦门·阶段练习）古希腊数学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦-秦九韶公式．公式大意：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积．如图，在中，，则的面积为（   ） A． B． C．18 D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的应用，二次根式的化简，利用阅读材料，先计算出p的值，然后根据海伦公式计算的面积． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴的面积； 故选：A． 8．（2025·四川资阳·模拟预测）如图，电路中有三个定值电阻 ，且的阻值（单位：Ω）满足方程，．若闭合开关S后，电流表的读数为 ，则电源的电压是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根与系数关系，正确理解是解题的关键． 先求得，，再代入求得，电后由电源的电压求解即可． 【详解】解：∵的阻值（单位：Ω）满足方程， ∴，， 设并联部分的电阻为， ∵ ∴， ∴电源的电压， 故选：B． 9．（24-25九年级上·四川宜宾·期中）某数学兴趣小组在学习二次根式的时候发现：有时候两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，例如，，，．通过查阅相关资料发现，这样的两个代数式互为有理化因式．小组成员利用有理化因式，分别得到了一个结论： 甲：； 乙：设有理数，满足：，则； 丙：； 丁：已知，则； 戊：． 以上结论正确的有　　 A．甲丙丁 B．甲丙戊 C．甲乙戊 D．乙丙丁 【答案】B 【分析】读懂题意，利用分母有理化计算并判断即可． 【详解】解： ， 甲正确； ， ， ， 解得， ，乙错误； ， ， ， 丙正确； 已知， ， ， ， 则， 丁错误； ， 戊正确， 正确的有甲丙戊， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，解题的关键是掌握分母有理化． 10．（24-25九年级上·河南新乡·阶段练习）在桥梁结构的力学分析中，工程师们用到一元二次方程来计算结构的受力情况．对于这个方程，有下列说法： ①若，则方程必有一个根为； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若r是方程的一个根，则一定有成立． 这些说法对于准确评估桥梁结构的稳定性至关重要，其中正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题主要考查一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质，熟练掌握一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质是解决本题的关键． 按照方程的解的含义、一元二次方程的实数根与判别式的关系、等式的性质等知识对各选项分别讨论，可得答案． 【详解】解：①当时，，所以方程必有一个根为，故①正确． ②方程有两个不相等的实根，则，那么，故方程必有两个不相等的实根，故②正确． ③由是方程的一个根，得． 当，则；当，则不一定等于，故③不一定正确． 综上所述：正确的有2个； 故选：C． 第II卷（非选择题） 二、填空题（6小题，每小题3分，共18分） 11．（24-25九年级上·广西桂林·阶段练习）当时，二次根式的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求二次根式的值，解题的关键是掌握二次根式的定义． 将把代入，再化简即可． 【详解】解：把代入得： 原式； 故答案为：． 12．（25-26九年级上·河南驻马店·开学考试）已知关于x的一元二次方程的常数项为0，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，解一元二次方程，根据一元二次方程的定义、常数项概念可得，求解即可求得答案． 【详解】解：由题意得，， 解得， 故答案为：． 13．（2025·四川遂宁·模拟预测）嘉阳准备解一元二次方程，发现常数项“”印刷不清楚，嘉阳妈妈看了该题的答案后说：“这个方程是有实数根的．”则印刷不清楚的常数项“”可能是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查根的判别式，设常数项“”为，根据方程的系数，结合根的判别式，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，再取其中的任意一值，即可得出结论．牢记“当方程有实数根”是解题的关键． 【详解】解：设常数项“”为，则， ∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， 解得：， ∴常数项“”可能是． 故答案为：（答案不唯一）． 14．（25-26九年级上·全国·课后作业）将方程化为一般形式是 ，其中 ， ， ，则 ，用求根公式可得 ， ． 【答案】 2 8 【分析】根据给出一元二次方程的一般形式，找到其中的， 表达出根的判别式,再结合条件填空即可。 【详解】解：将关于的方程化为一般形式是， 其中则， 用求根公式可得： 故答案为： 【点睛】本题主要一元二次方程的一般形式，根的判别式，求根公式。 15．（2025九年级上·四川攀枝花·模拟预测）观察下列各式： ， ， ， ．．． 请利用你发现的规律，计算： ，其结果为 ． 【答案】 【分析】先根据所给式子，找到规律，判断出每个式子的值，再整体求和． 本题主要考查探索规律，二次根式的化简等内容，根据给出式子，找到规律是解题关键． 【详解】解：由题意可得： ． 故答案为：． 16．（24-25九年级上·福建厦门·随堂练习）某皮衣专卖店销售某款皮衣，其进价为每件750元，经市场调查发现，按每件1100元出售，平均每天可售出30件，每件降价50元，平均每天的销售量可增加10件，皮衣专卖店想要平均每天获利12000元，则每件皮衣定价为多少元？ (1)以下是小明和小红的两种不同设法，请帮忙填完整； 小明：设每件皮衣降价x元， 由题意，可列方程为________________． 小红：设每件皮衣定价为y元， 由题意，可列方程为________________． (2)每件皮衣定价为________元时，皮衣专卖店平均每天获得12000元． 【答案】(1)； (2)1050或950 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． （1）根据利润单件利润件数列出一元二次方程即可； （2）根据（1）中列出的一元二次方程计算即可得解． 【详解】（1）解：小明：设每件皮衣降价x元，则平均每天的销售量为件， 依题意，得； 小红：设每件皮衣定价为y元，则平均每天的销售量为件， 依题意，得． （2）解：选择小明的设法，则， 整理，得， 解得，， 则定价为元或元， 答：每件皮衣定价为1050元或950元； 选择小红的设法，则， 整理，得， 解得，． 答：每件皮衣定价为1050元或950元． 三、解答题（9小题，共72分） 17．（25-26九年级上·陕西汉中·开学考试）解方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了一元二次方程的多种解法，包括直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法，掌握不同解法的适用情况是解题的关键． （1）利用直接开平方法，先将方程变形为完全平方形式等于常数的形式，再开平方求解． （2）利用因式分解法，将方程右边的项移到左边，提取公因式进行因式分解求解． （3）利用因式分解法（十字相乘法），将二次三项式分解为两个一次式的乘积求解． （4）可选择因式分解法或公式法，这里用因式分解法（十字相乘法）求解． 【详解】（1）， ， ， 当时，， 当时，． （2）， ， ， 则或， 解得，． （3）， ， 则或， 解得，． （4）， ， 则或， 解得，． 18．（24-25九年级上·山西临汾·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了实数混合运算法则，二次根式混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）先根据二次根式性质进行化简，然后再根据二次根式加减运算法则，进行计算即可； （2）根据二次根式混合运算法则，结合平方差公式和完全平方公式，进行计算即可； （3）根据算术平方根定义，立方根定义和绝对值意义，进行计算即可； （4）根据二次根式混合运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 19．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）学习了后，数学老师出了一道化简题：．下面是小亮和小芳的解答过程． 小亮：解：原式； 小芳：解：原式，，原式， (1)________的解法是正确的； (2)化简：，其中，． 【答案】(1)小芳 (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算． （1）利用二次根式的性质得到，然后根据a的范围去绝对值后合并得到原式，从而可判断小芳的解法正确； （2）先根据二次根式的乘法法则运算，再根据二次根式的性质计算，然后根据a、b的取值范围去绝对值即可． 【详解】（1）解：当时，,则， 所以小芳的解法正确， 故答案为：小芳； （2）解： ， ∵，， ∴，, ∴原式． 20．（24-25九年级上·四川内江·阶段练习）已知关于的方程． (1)若是方程的一个根，求的值和方程的另一根； (2)当取何值时，方程总有实数根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了根的判别式，解一元二次方程等知识，解题的关键是熟练掌握根的判别式． （1）把方程的根代入求得的值，然后解方程得到另一个根即可； （2）根据关于的方程的根的判别式的取值范围，来判断该方程的根的情况． 【详解】（1）解：将，代入得， 解得，， 所以方程为： ∴ 所以，方程的另一个根为； （2）解： 解得，， 当时，方程总有实数根． 21．（24-25九年级上·四川巴中·阶段练习）小明在解决问题，已知，求的值，他是这样分析与解答的： ∵． ∴ ∴，即 ∴ ∴． 请你根据小明分析过程的思想方法，解决如下问题： (1)分母有理化：______， (2)计算：； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2)9 (3)9 【分析】本题考查的是分母有理化，构建整体代入求解代数式的值，熟练运算方法是解题的关键. （1）分子与分母都乘以，再利用平方差公式计算即可得到答案； （2）先把每一项都分母有理化，再合并同类二次根式即可得到答案； （3）先求解，再变形可得：，再整体代入即可得到答案. 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：∵， ∴， ∴，即． ∴， ∴． 22．（24-25九年级上·四川宜宾·阶段练习）（1）比较大小：______，______，______（填“”，“”或“”）； （2）由（1）中各式猜想与的大小关系，并说明理由； （3）请利用上述结论解决下面问题： 某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成矩形的花圃，如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为的花圃，所用的篱笆至少需要多少米？ 【答案】（1），，；（2） ，见解析；（3） 【分析】本题主要考查了二次根式比较大小，二次根式的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据二次根式比较大小的方法求解即可； （2）当，时，，则可证明； （3）设花圃的长为米，宽为米，则，，．根据（2）的结论可得：． 【详解】解：（1）由题意，，， ∵， ； ∵， ∴， ，， ． ，， ． 故答案为：，，． （2）理由如下： 当，时，， ， ， ． （3）设花圃的长为米，宽为米， ，，． 根据（2）的结论可得：， 篱笆至少需要米． 故答案为：． 23．（24-25九年级上·四川资阳·阶段练习）白露是秋季第三个节气，具有昼夜温差显著、气候转凉的特点，在这一天有收集清露、饮白露茶、吃龙眼等习俗．某水果店在白露节气来临之际，主推本地龙眼，已知该龙眼每千克成本为8元，原售价定为每千克20元时，每天可销售50千克．根据销售经验，每千克售价每降低1元，日销售量可增加10千克． (1)若将该龙眼每千克售价定为17元，每天可销售多少千克？ (2)高温天气水果难以保鲜，水果店想在保证销售量尽可能大的前提下，通过调整售价使每天的利润达到660元，每千克龙眼售价应定为多少元？ 【答案】(1)龙眼每千克售价定为17元，每天可销售80千克 (2)为了销售量尽可能大，每千克龙眼售价应定为14元 【分析】该题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意． （1）根据“原售价定为每千克20元时，每天可销售50千克，每千克售价每降低1元，日销售量可增加10千克”列式计算即可． （2）设每千克龙眼售价为x元，根据利润数量每千克的利润，列方程解答即可． 【详解】（1）解：（千克）． 答：若将该龙眼每千克售价定为17元，每天可销售80千克． （2）解：设每千克龙眼售价为x元， 由题意得， 解得，， 要保证销售量尽可能大， 每千克龙眼售价应定为14元． 24．（24-25九年级上·四川简阳·阶段练习）材料一：定义：若关于x的一元二次方程有两个实数根，且满足，则称此类方程为“和积方程”． 例如：，即，解得 ，是“和积方程”． 材料二：法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，则：，这就是一元二次方程根与系数的关系，也被称作“韦达定理”． (1)方程 （填是或不是）“和积方程”； (2)若关于x的方程是“和积方程”，则_____ (3)若关于x的一元二次方程是“和积方程”，求m的值． 【答案】(1)不是 (2)或 (3)m的值为或或． 【分析】本题考查了新定义运算，解一元二次方程，根的判别式，根与系数的关系，理解新定义是解题的关键． （1）根据“韦达定理”计算即可判断； （2）根据“韦达定理”结合“和积方程”的定义，得到，据此计算即可求解； （3）利用要根的判别式求得，再根据“韦达定理”结合“和积方程”的定义，得到，据此计算即可求解． 【详解】（1）解：设方程的两个实数根为，， ∴，， ∵， ∴， ∴方程不是“和积方程”， 故答案为：不是； （2）解：∵关于x的方程是“和积方程”， ，， ∴， 当时，解得； 当时，解得； （3）解：∵方程有两个实数根， ∴， ∴， ∵方程是“和积方程”， ∴， 当时， 整理得， 解得（舍去）或； 当时， 整理得， 解得或； ∴m的值为或或． 25．（2025九年级上·吉林长春·专题练习）如图，在中，，厘米，厘米．点从点开始沿边向点以1厘米秒的速度移动（到达点即停止运动），点从点开始沿边向点以2厘米秒的速度移动（到达点即停止运动）． (1)如果、分别从、两点同时出发，经过几秒钟，的面积等于的三分之一？ (2)如果、两点分别从、两点同时出发，而且动点从点出发，沿移动（到达点即停止运动），动点从出发，沿移动（到达点即停止运动），几秒钟后，、相距6厘米？ 【答案】(1)2秒或4秒 (2)秒 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，掌握三角形的面积计算方法，勾股定理，能够表示出线段和的长是解答本题的关键． （1）设经过秒钟，的面积等于的三分之一，分别表示出线段和线段的长，然后根据面积之间的关系列出方程求得时间即可； （2）设秒时，、相距6厘米，根据勾股定理列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：设秒后，的面积等于的三分之一，根据题意得： ， 解得：或4． 答：2秒或4秒后，的面积等于的三分之一． （2）解：设秒时，、相距6厘米，根据题意得： ， 解得：（舍去）或． 答：秒时，、相距6厘米． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一次月考押题重难点检测卷（提高卷） （满分120分，考试时间120分钟，共25题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：二次根式+一元二次方程全部内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）函数中，自变量的取值范围是（　　） A． B．且 C．且 D． 2．（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）已知，，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 3．（2025·河南驻马店·模拟预测）已知关于的一元二次方程，以下不正确的是（　　） A．此方程必有实数根 B．若方程有一个根为，则另一个根为 C．两根之积为 D．两根之和为 4．（2025·四川宜宾·模拟预测）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值等于（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（24-25九年级上·四川内江·期末）若关于的方程满足，称此方程为“贺岁”方程．已知方程是“贺岁”方程，则的值为（  ） A． B．2024 C． D．2025 6．（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）设，，，……，．其中n为正整数，则的值是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·福建厦门·阶段练习）古希腊数学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦-秦九韶公式．公式大意：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积．如图，在中，，则的面积为（   ） A． B． C．18 D． 8．（2025·四川资阳·模拟预测）如图，电路中有三个定值电阻 ，且的阻值（单位：Ω）满足方程，．若闭合开关S后，电流表的读数为 ，则电源的电压是（    ） A． B． C． D． 9．（24-25九年级上·四川宜宾·期中）某数学兴趣小组在学习二次根式的时候发现：有时候两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，例如，，，．通过查阅相关资料发现，这样的两个代数式互为有理化因式．小组成员利用有理化因式，分别得到了一个结论： 甲：； 乙：设有理数，满足：，则； 丙：； 丁：已知，则； 戊：． 以上结论正确的有　　 A．甲丙丁 B．甲丙戊 C．甲乙戊 D．乙丙丁 10．（24-25九年级上·河南新乡·阶段练习）在桥梁结构的力学分析中，工程师们用到一元二次方程来计算结构的受力情况．对于这个方程，有下列说法： ①若，则方程必有一个根为； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若r是方程的一个根，则一定有成立． 这些说法对于准确评估桥梁结构的稳定性至关重要，其中正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 第II卷（非选择题） 二、填空题（6小题，每小题3分，共18分） 11．（24-25九年级上·广西桂林·阶段练习）当时，二次根式的值为 ． 12．（25-26九年级上·河南驻马店·开学考试）已知关于x的一元二次方程的常数项为0，则k的值为 ． 13．（2025·四川遂宁·模拟预测）嘉阳准备解一元二次方程，发现常数项“”印刷不清楚，嘉阳妈妈看了该题的答案后说：“这个方程是有实数根的．”则印刷不清楚的常数项“”可能是 ． 14．（25-26九年级上·全国·课后作业）将方程化为一般形式是 ，其中 ， ， ，则 ，用求根公式可得 ， ． 15．（2025九年级上·四川攀枝花·模拟预测）观察下列各式： ， ， ， ．．． 请利用你发现的规律，计算： ，其结果为 ． 16．（24-25九年级上·福建厦门·随堂练习）某皮衣专卖店销售某款皮衣，其进价为每件750元，经市场调查发现，按每件1100元出售，平均每天可售出30件，每件降价50元，平均每天的销售量可增加10件，皮衣专卖店想要平均每天获利12000元，则每件皮衣定价为多少元？ (1)以下是小明和小红的两种不同设法，请帮忙填完整； 小明：设每件皮衣降价x元， 由题意，可列方程为________________． 小红：设每件皮衣定价为y元， 由题意，可列方程为________________． (2)每件皮衣定价为________元时，皮衣专卖店平均每天获得12000元． 三、解答题（9小题，共72分） 17．（25-26九年级上·陕西汉中·开学考试）解方程： (1) (2) (3) (4) 18．（24-25九年级上·山西临汾·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4) 19．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）学习了后，数学老师出了一道化简题：．下面是小亮和小芳的解答过程． 小亮：解：原式； 小芳：解：原式，，原式， (1)________的解法是正确的； (2)化简：，其中，． 20．（24-25九年级上·四川内江·阶段练习）已知关于的方程． (1)若是方程的一个根，求的值和方程的另一根； (2)当取何值时，方程总有实数根． 21．（24-25九年级上·四川巴中·阶段练习）小明在解决问题，已知，求的值，他是这样分析与解答的： ∵． ∴ ∴，即 ∴ ∴． 请你根据小明分析过程的思想方法，解决如下问题： (1)分母有理化：______， (2)计算：； (3)若，求的值． 22．（24-25九年级上·四川宜宾·阶段练习）（1）比较大小：______，______，______（填“”，“”或“”）； （2）由（1）中各式猜想与的大小关系，并说明理由； （3）请利用上述结论解决下面问题： 某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成矩形的花圃，如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为的花圃，所用的篱笆至少需要多少米？ 23．（24-25九年级上·四川资阳·阶段练习）白露是秋季第三个节气，具有昼夜温差显著、气候转凉的特点，在这一天有收集清露、饮白露茶、吃龙眼等习俗．某水果店在白露节气来临之际，主推本地龙眼，已知该龙眼每千克成本为8元，原售价定为每千克20元时，每天可销售50千克．根据销售经验，每千克售价每降低1元，日销售量可增加10千克． (1)若将该龙眼每千克售价定为17元，每天可销售多少千克？ (2)高温天气水果难以保鲜，水果店想在保证销售量尽可能大的前提下，通过调整售价使每天的利润达到660元，每千克龙眼售价应定为多少元？ 24．（24-25九年级上·四川简阳·阶段练习）材料一：定义：若关于x的一元二次方程有两个实数根，且满足，则称此类方程为“和积方程”． 例如：，即，解得 ，是“和积方程”． 材料二：法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，则：，这就是一元二次方程根与系数的关系，也被称作“韦达定理”． (1)方程 （填是或不是）“和积方程”； (2)若关于x的方程是“和积方程”，则_____ (3)若关于x的一元二次方程是“和积方程”，求m的值． 25．（2025九年级上·吉林长春·专题练习）如图，在中，，厘米，厘米．点从点开始沿边向点以1厘米秒的速度移动（到达点即停止运动），点从点开始沿边向点以2厘米秒的速度移动（到达点即停止运动）． (1)如果、分别从、两点同时出发，经过几秒钟，的面积等于的三分之一？ (2)如果、两点分别从、两点同时出发，而且动点从点出发，沿移动（到达点即停止运动），动点从出发，沿移动（到达点即停止运动），几秒钟后，、相距6厘米？ 学科网（北京）股份有限公司 $