第一次月考押题重难点检测卷（培优卷）（考试范围：二次根式+一元二次方程）-2025-2026学年九年级数学上册重难点专题提升讲练（华东师大版）

第一次月考押题重难点检测卷（培优卷） （满分120分，考试时间120分钟，共25题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：二次根式+一元二次方程全部内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（24-25九年级上·河南新乡·期末）下列各式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式即被开方数中含有开得尽方的因数，被开方数不含有分母．根据最简二次根式的定义判断即可． 【详解】解：A、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； B、，被开方数中含有开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意． C、，符合定义，是最简二次根式，符合题意； D、，被开方数中含有开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意． 故选：C． 2．（24-25九年级上·福建漳州·期中）计算的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了二次根式的减法，二次根式的性质，先根据二次根式的性质进行化简，然后合并即可，正确化简二次根式是解题的关键． 【详解】解： ， 故选：． 3．（2025九年级上·四川巴中·模拟预测）设，则等于（   ） A．24 B．25 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求代数式的值、二次根式的化简、整式的恒等变形，将所求式子进行适当的变形是解本题的关键． 首先根据，得出，再根据等式两边平方，得出，再把进行变形，然后把代入计算即可． 【详解】解：由， 可得：， ∴， ∴， ∴ ． 故选：A 4．（2025九年级·吉林长春·模拟预测）关于的一元二次方程的根的情况是（    ） A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根是解题关键．根据题意得到，即可得到答案． 【详解】解：， 则， 方程有两个不相等的实数根， 故选：C． 5．（2025九年级上·福建厦门·专题练习）现定义运算“★”，对于任意实数a、b都有，如：，若，则实数x的值是（ ） A． B．4 C．或4 D．1或 【答案】C 【分析】此题考查了新定义，利用因式分解法解一元二次方程． 原式根据题中的新定义，进行列式计算即可得到结果． 【详解】解：∵对于任意实数a，b，都有， ∴， 即， ∴， ∴， ∴或， ∴． 故选C． 6．（24-25九年级上·山西长治·期末）若m为实数，在“□m”的“□”中添上一种运算符号（在“”“”“”“”中选择）后，其运算的结果为有理数，则m的值不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．通过选择不同运算符使结果有理数，需逐一验证各选项的可能性． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、， ， ， ， 无论中间是哪种运算符号，运算结果均不为有理数，符合题意； D、，不符合题意； 故选C． 7．（2025·陕西汉中·模拟预测）在中，，，所对的边分别为a，b，c，那么有以下结论：．若，，，则c的值为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的求解，解决本题的关键是根据题目已知结论代入计算． 将，，代入公式求解即可． 【详解】解：∵， 且，，， ∴， 化简得：， 即， 利用求根公式：， 解得：或 两个解均为正数，符合三角形边长要求． 故选：D ． 8．（24-25九年级上·四川内江·阶段练习）对于一元二次方程，下列说法： ①若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ②若是一元二次方程的根，则； ③存在实数，使得； ④若是方程的一个根，则一定有成立 其中正确的有（   ） A．①② B．②③④ C．①②③④ D．①②③ 【答案】D 【分析】此题考查了一元二次方程综合．熟练掌握方程解的含义，根与判别式的关系，根与系数的关系，是解题的关键． 一元二次方程的有关性质．一元二次方程解的含义，代数变形，一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，逐一分析每个命题的正确性，进行判断即可． 【详解】命题①：∵方程有两个不等实根， ∴根判别式． ∴原方程的判别式为， 原方程必有两个不等实根． ∴①正确． 命题②：∵是方程的根， ∴， ∴． ∴． ∴②正确． 命题③：∵， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴． 存在实数m、n满足此条件（如取，）． ∴③正确． 命题④：∵c是方程的根， ∴， ∴． 当时，方程成立但不一定为0． ∴④错误． 综上，正确的命题为①②③， 故选：D． 9．（24-25九年级上·四川宜宾·期末）近年来，宜宾市积极推进产业转型和升级，在新兴产业领域取得了显著的突破．在2024年前三季度的地区生产总值总量中，宜宾位居全省第三．其中第一季度全市地区生产总值约为829亿元，到第三季度全市地区生产总值累计达到约2606亿元．设第一季度到第三季度全市地区生产总值平均增长率为，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列一元二次方程，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．先分别求出第二季度全市地区生产总值约亿元，第三季度全市地区生产总值约亿元，再根据“第一季度全市地区生产总值约为829亿元，到第三季度全市地区生产总值累计达到约2606亿元”建立方程即可得． 【详解】解：由题意得：第二季度全市地区生产总值约亿元，第三季度全市地区生产总值约亿元， ∵第一季度全市地区生产总值约为829亿元，到第三季度全市地区生产总值累计达到约2606亿元， ∴可列方程为， 故选：D． 10．（24-25九年级上·四川遂宁·期中）如图，在长方形中无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，解本题的要点在于求出、的长度，从而求出空白部分面积．根据正方形的面积求出两个正方形的边长，从而求出、，再根据空白部分的面积等于长方形的面积减去两个正方形的面积列式计算即可得解． 【详解】解：在长方形中无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片， 小正方形边长为：，大正方形边长为， ， 图中空白部分的面积为：， 故选：B． 第II卷（非选择题） 二、填空题（6小题，每小题3分，共18分） 11．（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）计算： ． 【答案】2 【分析】本题考查了二次根式的乘除法运算，按顺序计算即可，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：2． 12．（2025·湖南衡阳·模拟预测）函数的自变量的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，求函数自变量的取值范围． 根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件作答即可 【详解】由二次根式有意义的条件，分式有意义的条件可知：且 即且， 故答案为且 13．（24-25九年级上·四川内江·期中）已知关于x的方程的一个根是，则 ． 【答案】 【分析】此题考查一元二次方程的解的定义．解题关键在于掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． 将代入一元二次方程，即可求得k的值，本题得以解决． 【详解】解： ∵一元二次方程有一个根为， ∴， 解得，， 故答案为：． 14．（24-25九年级上·四川巴中·阶段练习）关于的方程的解是，（、、均为常数，），则方程的解是 ． 【答案】，/， 【分析】本题考查了用换元法解一元二次方程，首先把方程 ，整理成的形式，根据方程的解是，，可知方程的解是，，从而求出方程的解． 【详解】解：， 整理得：， 方程的解是，， 方程的解是，， 解得：，． 故答案为：， ． 15．（24-25九年级上·四川眉山·期末）观察下列分母有理化． ； ； ； … 从计算结果中找出规律： ． 【答案】2024 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式的运用，先分母有理化，然后合并同类二次根式后利用平方差公式计算． 【详解】解： ， 故答案为：2024． 16．（2026·四川宜宾·模拟预测）☆|数学文化《几何原本》欧几里得的《几何原本》中记载，形如 的方程的图解法如下：如图，以和b为两直角边长作，再在斜边上截取 则 的长就是所求方程的正根． 利用以上方法解关于x的一元二次方程 时，若构造后的图形满足，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的图解法，理解图解法的含义是解答本题的关键． 根据题意构造图形，则，，，然后代入一元二次方程即可求出m的值． 【详解】解：根据题意，构造图形如图所示: 则，， ∵， ∴， 即m就是的一个正根， ∴ 解得 (负值已舍)． 故答案为：． 三、解答题（9小题，共72分） 17．（25-26九年级上·四川攀枝花·开学考试）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法和加减法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）直接合并同类二次根式即可； （2）先计算乘法，再计算减法． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．（24-25九年级上·陕西汉中·阶段练习）按要求解下列方程： (1)（公式法） (2)（配方法） (3)（因式分解法） 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解答的关键． （1）利用公式法解一元二次方程即可解答； （2）利用配方法解一元二次方程即可解答； （3）利用因式分解法解一元二次方程即可解答． 【详解】（1）解：，，， ， ∴， ∴，； （2）解：配方，得， 即 开方，得 ∴，； （3）解：移项，得 则 ∴或 ∴，． 19．（24-25九年级上·河南周口·阶段练习）已知关于x的方程． (1)若该方程的一个根为，求m的值； (2)求证：不论m取何实数，该方程总有实数根． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． （1）把代入得出关于m的方程，再解关于m的方程即可； （2）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可． 【详解】（1）解：将代入原方程可得： ， 解得：； （2）解：∵一元二次方程中，，，， ∴， ∴不论m取何实数，该方程总有实数根． 20．（24-25九年级上·陕西汉中·期末）先观察解题过程，再解决问题． 比较与的大小． 解：∵，， ∴，． 又∵， ∴． 试用以上方法，比较与的大小． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，掌握二次根式的运算法则，把二次根式化为分子为1的数，是解题的关键． 根据示例中的方法，把与化为分子为1的数，再比较大小即可． 【详解】解：，， ∴，， 又∵， ∴＜，即：． 21．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）聪聪在解方程时采用了下面的方法： 由， 又有①，可得②， 将得：且，将两边平方可解得， 经检验是原方程的解．请你学习聪聪的方法，解下面的方程： (1)方程的解是____________； (2)方程的解是____________； (3)解方程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题主要考查了二次根式在解方程中的应用，平方差公式的应用，解答此题的关键是在解决实际问题的过程中能熟练应用有关二次根式的概念、性质和运算的方法． （1）参照题中给出的解题方法，按步骤进行解题即可． （2）参照题中给出的解题方法，按步骤进行解题即可． （3）参照题中给出的解题方法，按步骤进行解题即可． 【详解】（1）， 又①， ②， 得，， 将两边平方可解得，经检验，是原方程的解， 方程的解是． （2）， 又①， ②， 得，， 将两边平方整理得，解得，经检验是原方程的解． 方程的解是． （3） ， ， ， 又①， ②， 整理得， 将两边平方整理得，经检验，是原方程的解． 方程的解为． 22．（24-25九年级上·福建龙岩·阶段练习）“欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远．如图，若观测点的高度为，观测者视线能达到的最远距离为，则，其中是地球半径，约为． (1)小丽站在海边的一幢高楼顶上，眼睛离海平面的高度为，她观测到远处一艘船刚露出海平面，求此时的值； (2)已知一座山的海拔为，这座山到海边的最短距离为，天气晴朗时站在山巅能否看到大海？请说明理由．（人的高度忽略不计） 【答案】(1)的值为； (2)天气晴朗时站在山之巅能看到大海，理由见解析． 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，算术平方根的应用． （1）将，代入即可求解； （2）先将，代入，得到此时的值，与最短距离比较即可求解． 【详解】（1）解：，， ， 所以此时的值为． （2）解：能看到，理由如下 ，， ， 所以天气晴朗时站在山之巅能看到大海． 23．（2025·山西晋城·模拟预测）为庆祝六一儿童节，某书店推出了一系列优惠活动．为了鼓励广大儿童阅读《世界经典童话》（如图），购买此书籍则赠送如图2所示的精致矩形包书纸，在图2的包书纸示意图中，虚线是折痕，阴影是裁掉的部分，四角均为大小相同的正方形，正方形的边长为折进去的宽度．已知该包书纸的面积为（含阴影部分），且正好可以包好图1中的《世界经典童话》这本书，该书的长为，宽为，厚为．请求出该包书纸包这本书时折进去的宽度． 【答案】折叠进去的宽度为 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． 设折叠进去的宽度为，根据题意分别得到书纸长为，宽为，进而列方程求解即可． 【详解】解：设折叠进去的宽度为， 则， 整理得， 或（不合题意，舍去）， 答：折叠进去的宽度为 24．（25-26九年级上·四川宜宾·开学考试）阅读材料：对于一元二次方程（其中），其两个根和与系数、、之间存在以下关系：①两根的和：；②两根的积：．这两个关系式被称为一元二次方程的根与系数的关系，也被称为韦达定理（Vieta's formulas）． 解决问题： (1)验证关系：给定一元二次方程，请验证其两个根的和与积是否分别满足和． (2)应用关系：若一元二次方程的两个根分别为3和，且二次项系数为1，请写出这个一元二次方程的一般形式 ； (3)能力素养：学习了根与系数的关系后，秦老师布置了一道课后思考题，题目是：和是关于的方程的两个实数根，且，求的值． 【答案】(1)满足，详解见解析 (2) (3) 【分析】此题考查了一元二次方程中根与系数的关系和根的判别式，用公式法、因式分解法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程中根与系数之间关系，和根的判别式． （1）根据公式法求出的两个根，再根据题意计算和，最后验证两个根的和与积是否分别满足和； （2）根据题干中的韦达定理解答即可； （3）先根据根的判别式得，由题干中的韦达定理得和，再化简，将和代入后得到关于的一元二次方程，解方程并判断是否符合题意． 【详解】（1）由，这里，，， ， ， ，， ，， 则一元二次方程两个根的和与积满足和； （2）一元二次方程的两个根分别为3和，且二次项系数为1， 设一元二次方程的一般式是， ，， 解得：，， 这个一元二次方程的一般形式为； （3）和是关于的方程的两个实数根， ，，， ， 又， ， 则， ， 当时，， 当时，， ，（舍去）， 则． 25．（24-25九年级上·广西百色·阶段练习）综合探究： 像两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．例如： ； ． 根据以上信息解答下列问题． (1)与 ___________ 互为有理化因式； (2)根据以上规律，请你化简（n为正整数）； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3)1011 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，分母有理化． （1）利用互为有理化因式的定义，即可解答； （2）利用分母有理化进行化简计算，即可解答； （3）利用分母有理化先化简各数，然后再进行计算即可解答． 【详解】（1）解：与互为有理化因式， 故答案为：； （2）解：； （3）解： ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一次月考押题重难点检测卷（培优卷） （满分120分，考试时间120分钟，共25题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：二次根式+一元二次方程全部内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（24-25九年级上·河南新乡·期末）下列各式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·福建漳州·期中）计算的值为（　　） A． B． C． D． 3．（2025九年级上·四川巴中·模拟预测）设，则等于（   ） A．24 B．25 C． D． 4．（2025九年级·吉林长春·模拟预测）关于的一元二次方程的根的情况是（    ） A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 5．（2025九年级上·福建厦门·专题练习）现定义运算“★”，对于任意实数a、b都有，如：，若，则实数x的值是（ ） 6．（24-25九年级上·山西长治·期末）若m为实数，在“□m”的“□”中添上一种运算符号（在“”“”“”“”中选择）后，其运算的结果为有理数，则m的值不可能是（    ） A． B． C． D． 7．（2025·陕西汉中·模拟预测）在中，，，所对的边分别为a，b，c，那么有以下结论：．若，，，则c的值为（    ） A． B． C． D．或 8．（24-25九年级上·四川内江·阶段练习）对于一元二次方程，下列说法： ①若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ②若是一元二次方程的根，则； ③存在实数，使得； ④若是方程的一个根，则一定有成立 其中正确的有（   ） A．①② B．②③④ C．①②③④ D．①②③ 9．（24-25九年级上·四川宜宾·期末）近年来，宜宾市积极推进产业转型和升级，在新兴产业领域取得了显著的突破．在2024年前三季度的地区生产总值总量中，宜宾位居全省第三．其中第一季度全市地区生产总值约为829亿元，到第三季度全市地区生产总值累计达到约2606亿元．设第一季度到第三季度全市地区生产总值平均增长率为，可列方程为（    ） A． B． C． D． 10．（24-25九年级上·四川遂宁·期中）如图，在长方形中无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（    ）． A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（6小题，每小题3分，共18分） 11．（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）计算： ． 12．（2025·湖南衡阳·模拟预测）函数的自变量的取值范围是 ． 13．（24-25九年级上·四川内江·期中）已知关于x的方程的一个根是，则 ． 14．（24-25九年级上·四川巴中·阶段练习）关于的方程的解是，（、、均为常数，），则方程的解是 ． 15．（24-25九年级上·四川眉山·期末）观察下列分母有理化． ； ； ； … 从计算结果中找出规律： ． 16．（2026·四川宜宾·模拟预测）☆|数学文化《几何原本》欧几里得的《几何原本》中记载，形如 的方程的图解法如下：如图，以和b为两直角边长作，再在斜边上截取 则 的长就是所求方程的正根． 利用以上方法解关于x的一元二次方程 时，若构造后的图形满足，则m的值为 ． 三、解答题（9小题，共72分） 17．（25-26九年级上·四川攀枝花·开学考试）计算： (1)； (2) 18．（24-25九年级上·陕西汉中·阶段练习）按要求解下列方程： (1)（公式法） (2)（配方法） (3)（因式分解法） 19．（24-25九年级上·河南周口·阶段练习）已知关于x的方程． (1)若该方程的一个根为，求m的值； (2)求证：不论m取何实数，该方程总有实数根． 20．（24-25九年级上·陕西汉中·期末）先观察解题过程，再解决问题． 比较与的大小． 解：∵，， ∴，． 又∵， ∴． 试用以上方法，比较与的大小． 21．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）聪聪在解方程时采用了下面的方法： 由， 又有①，可得②， 将得：且，将两边平方可解得， 经检验是原方程的解．请你学习聪聪的方法，解下面的方程： (1)方程的解是____________； (2)方程的解是____________； (3)解方程． 22．（24-25九年级上·福建龙岩·阶段练习）“欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远．如图，若观测点的高度为，观测者视线能达到的最远距离为，则，其中是地球半径，约为． (1)小丽站在海边的一幢高楼顶上，眼睛离海平面的高度为，她观测到远处一艘船刚露出海平面，求此时的值； (2)已知一座山的海拔为，这座山到海边的最短距离为，天气晴朗时站在山巅能否看到大海？请说明理由．（人的高度忽略不计） 23．（2025·山西晋城·模拟预测）为庆祝六一儿童节，某书店推出了一系列优惠活动．为了鼓励广大儿童阅读《世界经典童话》（如图），购买此书籍则赠送如图2所示的精致矩形包书纸，在图2的包书纸示意图中，虚线是折痕，阴影是裁掉的部分，四角均为大小相同的正方形，正方形的边长为折进去的宽度．已知该包书纸的面积为（含阴影部分），且正好可以包好图1中的《世界经典童话》这本书，该书的长为，宽为，厚为．请求出该包书纸包这本书时折进去的宽度． 24．（25-26九年级上·四川宜宾·开学考试）阅读材料：对于一元二次方程（其中），其两个根和与系数、、之间存在以下关系：①两根的和：；②两根的积：．这两个关系式被称为一元二次方程的根与系数的关系，也被称为韦达定理（Vieta's formulas）． 解决问题： (1)验证关系：给定一元二次方程，请验证其两个根的和与积是否分别满足和． (2)应用关系：若一元二次方程的两个根分别为3和，且二次项系数为1，请写出这个一元二次方程的一般形式 ； (3)能力素养：学习了根与系数的关系后，秦老师布置了一道课后思考题，题目是：和是关于的方程的两个实数根，且，求的值． 25．（24-25九年级上·广西百色·阶段练习）综合探究： 像两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．例如： ； ． 根据以上信息解答下列问题． (1)与 ___________ 互为有理化因式； (2)根据以上规律，请你化简（n为正整数）； (3)计算：． 学科网（北京）股份有限公司 $